Exercice 0.1 : Calculer une intégrale à l'aide d'une primitive : dix calculs directs

Pour chaque ligne, déterminez une primitive de la fonction intégrée, puis calculez l'intégrale demandée. Donnez la valeur exacte quand elle est entière ou fractionnaire, sinon une valeur au millième.

Une seule méthode pour les dix lignes : reconnaître une dérivée. Les fonctions de référence se lisent dans le tableau des dérivées à l'envers ; pour les formes composées, on cherche l'intérieur $u$ et sa dérivée $u'$ en facteur, à une constante près : $\frac{u'}{u}$ a pour primitive $\ln u$ si $u>0$ , $u'\mathrm{e}^{u}$ a pour primitive $\mathrm{e}^{u}$ , $2uu'$ a pour primitive $u^{2}$ . On écrit ensuite $\int_{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a)$ , entre crochets, avant de remplacer.

a) $\int_{0}^{3}\left(2x^{2}-x+1\right)dx$ .
b) $\int_{1}^{5}\frac{2}{x}\,dx$ .
c) $\int_{0}^{1}\mathrm{e}^{3x}\,dx$ .
d) $\int_{0}^{2}\left(x+\mathrm{e}^{x}\right)dx$ .
e) $\int_{1}^{4}\frac{1}{x^{2}}\,dx$ .
f) $\int_{0}^{1}\frac{3x^{2}}{x^{3}+1}\,dx$ .
g) $\int_{0}^{1}3x^{2}\,\mathrm{e}^{x^{3}}\,dx$ .
h) $\int_{0}^{1}6x\left(x^{2}+2\right)dx$ , en reconnaissant la forme $2uu'$ .
i) La valeur moyenne de $f(x)=4-x^{2}$ sur l'intervalle $[-1\,;2]$ .
j) $f$ est continue sur $\mathbb{R}$ , avec $\int_{-1}^{4}f(x)\,dx=9$ et $\int_{2}^{4}f(x)\,dx=-3$ . Calculez $\int_{-1}^{2}f(x)\,dx$ , puis $\int_{2}^{-1}f(x)\,dx$ .

Tape tes réponses, la page te dit juste ou faux 0/11

a)

\int_{0}^{3}

b)

\int_{1}^{5}

c)

\int_{0}^{1}

d)

\int_{0}^{2}

e)

\int_{1}^{4}

f)

\int_{0}^{1}

g)

\int_{0}^{1}

h)

\int_{0}^{1}

i)

Valeur moyenne

j)

\int_{-1}^{2}

\int_{2}^{-1}

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Réponses

a) $\left[\frac{2x^{3}}{3}-\frac{x^{2}}{2}+x\right]_{0}^{3}=\frac{33}{2}$
b) $\left[2\ln x\right]_{1}^{5}=2\ln 5\approx 3{,}219$
c) $\left[\frac{1}{3}\mathrm{e}^{3x}\right]_{0}^{1}=\frac{\mathrm{e}^{3}-1}{3}\approx 6{,}362$
d) $\left[\frac{x^{2}}{2}+\mathrm{e}^{x}\right]_{0}^{2}=1+\mathrm{e}^{2}\approx 8{,}389$
e) $\left[-\frac{1}{x}\right]_{1}^{4}=\frac{3}{4}$
f) $\left[\ln\left(x^{3}+1\right)\right]_{0}^{1}=\ln 2\approx 0{,}693$
g) $\left[\mathrm{e}^{x^{3}}\right]_{0}^{1}=\mathrm{e}-1\approx 1{,}718$
h) $\left[\frac{3}{2}\left(x^{2}+2\right)^{2}\right]_{0}^{1}=\frac{15}{2}$
i) $\frac{1}{3}\int_{-1}^{2}\left(4-x^{2}\right)dx=\frac{9}{3}=3$
j) $\int_{-1}^{2}f=12$ ; $\int_{2}^{-1}f=-12$

Le geste qui décide de tout se fait AVANT d'intégrer : vérifier la primitive en la dérivant. Une primitive qui, dérivée, ne redonne pas exactement la fonction intégrée, à commencer par le facteur constant, donne une intégrale fausse quelle que soit la suite du calcul.

a)

$F(x)=\frac{2x^{3}}{3}-\frac{x^{2}}{2}+x$ . Donc $\int_{0}^{3}=F(3)-F(0)=18-\frac{9}{2}+3-0=\frac{33}{2}=16{,}5$ .

b)

$F(x)=2\ln x$ sur $]0\,;+\infty[$ . Donc $\int_{1}^{5}\frac{2}{x}\,dx=2\ln 5-2\ln 1=2\ln 5\approx 3{,}219$ . Rappel : $\ln 1=0$ .

c)

$\left(\mathrm{e}^{3x}\right)'=3\mathrm{e}^{3x}$ , donc $F(x)=\frac{1}{3}\mathrm{e}^{3x}$ . Ainsi $\int_{0}^{1}\mathrm{e}^{3x}\,dx=\frac{\mathrm{e}^{3}-1}{3}\approx 6{,}362$ . Piège : la primitive $3\mathrm{e}^{3x}$ , qui multiplie par $3$ au lieu de diviser, et donne $\approx 57{,}26$ . Autre piège : oublier que $\mathrm{e}^{0}=1$ et non $0$ .

d)

$F(x)=\frac{x^{2}}{2}+\mathrm{e}^{x}$ . Donc $\int_{0}^{2}=\left(2+\mathrm{e}^{2}\right)-\left(0+\mathrm{e}^{0}\right)=1+\mathrm{e}^{2}\approx 8{,}389$ . Piège : $F(0)=0$ , alors que $\mathrm{e}^{0}=1$ .

e)

$\left(-\frac{1}{x}\right)'=\frac{1}{x^{2}}$ , donc $F(x)=-\frac{1}{x}$ . Ainsi $\int_{1}^{4}\frac{1}{x^{2}}\,dx=-\frac{1}{4}-(-1)=\frac{3}{4}$ . Piège : la primitive $\frac{1}{x}$ , sans le signe moins, qui donne $-\frac{3}{4}$ , une intégrale négative d'une fonction positive.

f)

Forme $\frac{u'}{u}$ avec $u=x^{3}+1>0$ sur $[0\,;1]$ et $u'=3x^{2}$ : $F(x)=\ln\left(x^{3}+1\right)$ . Donc $\int_{0}^{1}=\ln 2-\ln 1=\ln 2\approx 0{,}693$ .

g)

Forme $u'\mathrm{e}^{u}$ avec $u=x^{3}$ et $u'=3x^{2}$ : $F(x)=\mathrm{e}^{x^{3}}$ . Donc $\int_{0}^{1}=\mathrm{e}^{1}-\mathrm{e}^{0}=\mathrm{e}-1\approx 1{,}718$ .

h)

Avec $u=x^{2}+2$ , $u'=2x$ et $2uu'=4x\left(x^{2}+2\right)$ . Or $6x\left(x^{2}+2\right)=\frac{3}{2}\times 2uu'$ , donc $F(x)=\frac{3}{2}\left(x^{2}+2\right)^{2}$ . Ainsi $\int_{0}^{1}=\frac{3}{2}(9-4)=\frac{15}{2}=7{,}5$ . Contrôle par le développement : $6x^{3}+12x$ a pour primitive $\frac{3}{2}x^{4}+6x^{2}$ , qui donne $\frac{3}{2}+6=7{,}5$ . Piège : $3\left(x^{2}+2\right)^{2}$ , qui donne $15$ : sa dérivée vaut $12x\left(x^{2}+2\right)$ .

i)

$\int_{-1}^{2}\left(4-x^{2}\right)dx=\left[4x-\frac{x^{3}}{3}\right]_{-1}^{2}=\left(8-\frac{8}{3}\right)-\left(-4+\frac{1}{3}\right)=\frac{16}{3}+\frac{11}{3}=9$ . La valeur moyenne vaut $\frac{1}{2-(-1)}\times 9=\frac{9}{3}=3$ . Piège : diviser par $2$ , la borne supérieure, au lieu de la longueur $b-a=3$ . La moyenne $3$ est bien comprise entre le minimum $0$ et le maximum $4$ de $f$ sur l'intervalle.

j)

Relation de Chasles : $\int_{-1}^{4}f=\int_{-1}^{2}f+\int_{2}^{4}f$ , donc $\int_{-1}^{2}f=9-(-3)=12$ . Puis, en échangeant les bornes, $\int_{2}^{-1}f=-\int_{-1}^{2}f=-12$ . Piège : $9+(-3)=6$ , en ajoutant au lieu de retrancher le morceau connu.

Contrôle : on dérive chaque primitive trouvée et l'on doit retrouver la fonction intégrée, facteur compris ; une intégrale d'une fonction positive sur $[a\,;b]$ avec $a<b$ est positive, ce qui écarte d'emblée le résultat $-\frac{3}{4}$ en e).

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Exercice 1 : Primitives des fonctions usuelles

Déterminez une primitive de chacune des fonctions suivantes sur l'intervalle indiqué, puis répondez à la dernière question.

a) $f(x)=3x^{2}-4x+5$ sur $\mathbb{R}$
b) $g(x)=\mathrm{e}^{-0{,}5x}$ sur $\mathbb{R}$
c) $h(x)=\frac{1}{x}$ sur $]0;+\infty[$
d) $k(x)=\frac{2x}{x^{2}+1}$ sur $\mathbb{R}$
e) Déterminez la primitive $F$ de $f$ qui s'annule en 1.

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Réponses

a) $x^{3}-2x^{2}+5x+C$
b) $-2\,\mathrm{e}^{-0{,}5x}+C$
c) $\ln x+C$
d) $\ln(x^{2}+1)+C$
e) $F(x)=x^{3}-2x^{2}+5x-4$

a)

On primitive terme à terme : $F(x)=x^{3}-2x^{2}+5x+C$ . Vérification : $F'(x)=3x^{2}-4x+5=f(x)$ .

b)

Une primitive de $\mathrm{e}^{ax}$ est $\frac{1}{a}\mathrm{e}^{ax}$ . Ici $a=-0{,}5$ , donc $G(x)=\frac{1}{-0{,}5}\mathrm{e}^{-0{,}5x}=-2\,\mathrm{e}^{-0{,}5x}+C$ . Vérification : $G'(x)=-2\times(-0{,}5)\mathrm{e}^{-0{,}5x}=\mathrm{e}^{-0{,}5x}$ .

c)

$H(x)=\ln x+C$ sur $]0;+\infty[$ . L'intervalle compte : sur $]-\infty;0[$ une primitive serait $\ln(-x)$ , et la formule commune est $\ln|x|$ .

d)

On reconnaît la forme $\frac{u'}{u}$ avec $u(x)=x^{2}+1$ et $u'(x)=2x$ . Comme $u$ est strictement positive, $K(x)=\ln\left(x^{2}+1\right)+C$ . Vérification : $K'(x)=\frac{2x}{x^{2}+1}$ .

e)

On cherche $C$ tel que $F(1)=0$ , avec $F(x)=x^{3}-2x^{2}+5x+C$ . Or $F(1)=1-2+5+C=4+C$ , donc $C=-4$ et $F(x)=x^{3}-2x^{2}+5x-4$ . Il n'y a qu'une seule primitive vérifiant une condition donnée en un point : c'est ce qui rend la notion utile pour les modèles.

Exercice 2 : Calcul d'intégrales et propriétés

Les questions a), b) et c) sont des calculs directs. Les questions d) et e) portent sur les propriétés de l'intégrale.

a) Calculez $\int_{0}^{2}\left(3x^{2}-4x+5\right)dx$ .
b) Calculez $\int_{0}^{4}\mathrm{e}^{-0{,}5x}\,dx$ , arrondi au dix-millième.
c) Calculez $\int_{1}^{\mathrm{e}}\frac{1}{x}\,dx$ .
d) Une fonction $f$ continue vérifie $\int_{0}^{5}f=25$ et $\int_{0}^{2}f=10$ . Calculez $\int_{2}^{5}f$ , puis $\int_{5}^{0}f$ .
e) Un élève affirme que $\int_{a}^{b}\left(f\times g\right)=\left(\int_{a}^{b}f\right)\times\left(\int_{a}^{b}g\right)$ . Donnez un contre-exemple sur $[0;1]$ .

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Réponses

a) $10$
b) $2(1-\mathrm{e}^{-2})\approx 1{,}7293$
c) $1$
d) $15$ et $-25$
e) $\frac{1}{3}\neq\frac{1}{4}$

a)

Une primitive est $x^{3}-2x^{2}+5x$ , donc l'intégrale vaut $\left(8-8+10\right)-0=10$ .

b)

Une primitive est $-2\,\mathrm{e}^{-0{,}5x}$ , donc l'intégrale vaut $-2\,\mathrm{e}^{-2}-\left(-2\right)=2\left(1-\mathrm{e}^{-2}\right)\approx 2\times 0{,}864665\approx 1{,}7293$ .

c)

Une primitive est $\ln x$ , donc l'intégrale vaut $\ln\mathrm{e}-\ln 1=1-0=1$ . Ce résultat est la définition même du nombre $\mathrm{e}$ vue du côté des aires, on y revient dans l'exercice 9.

d)

Par la relation de Chasles, $\int_{0}^{5}f=\int_{0}^{2}f+\int_{2}^{5}f$ , donc $\int_{2}^{5}f=25-10=15$ . Par ailleurs échanger les bornes change le signe : $\int_{5}^{0}f=-\int_{0}^{5}f=-25$ .

e)

Prenons $f(x)=g(x)=x$ sur $[0;1]$ . D'un côté $\int_{0}^{1}x^{2}\,dx=\left[\frac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{1}=\frac{1}{3}\approx 0{,}3333$ . De l'autre $\left(\int_{0}^{1}x\,dx\right)^{2}=\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{1}{4}=0{,}25$ . Les deux nombres diffèrent, l'égalité est donc fausse. L'intégrale est linéaire, ce qui concerne les sommes et les multiplications par une constante, mais elle n'est pas multiplicative : rien dans la notion d'aire ne permettrait de l'espérer.

Exercice 3 : Puissance et énergie consommée

La puissance électrique appelée par un atelier, en kilowatts, est modélisée par $P(t)=2+3t-0{,}25t^{2}$ , où $t$ désigne le nombre d'heures écoulées depuis l'ouverture, pour $t$ compris entre 0 et 12.

L'énergie consommée, en kilowattheures, est l'intégrale de la puissance sur la durée.

a) Calculez $P(0)$ et $P(12)$ , et commentez.
b) Déterminez l'instant où la puissance appelée est maximale, et cette puissance maximale.
c) Calculez l'énergie totale consommée sur la journée de douze heures.
d) Déduisez-en la puissance moyenne appelée.
e) À quels instants la puissance appelée est-elle exactement égale à sa moyenne ? Comparez avec ce qui se passerait si $P$ était affine.

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Réponses

a) $2$ kW au début et à la fin
b) Maximum $11$ kW à $6$ h
c) $96$ kWh
d) $8$ kW
e) $t=6\pm 2\sqrt{3}$ : $2{,}54$ h et $9{,}46$ h

a)

$P(0)=2$ kilowatts et $P(12)=2+36-36=2$ kilowatts. L'atelier part et revient à la même puissance de veille : le modèle décrit une journée qui monte puis redescend symétriquement.

b)

$P'(t)=3-0{,}5t$ , qui s'annule en $t=6$ et change de signe du positif au négatif. La puissance est donc maximale au bout de six heures, et vaut $P(6)=2+18-9=11$ kilowatts.

c)

Une primitive de $P$ est $2t+1{,}5t^{2}-\frac{t^{3}}{12}$ . L'énergie vaut donc $\left(24+216-144\right)-0=96$ kilowattheures.

d)

La puissance moyenne est $\frac{1}{12}\int_{0}^{12}P(t)\,dt=\frac{96}{12}=8$ kilowatts. Elle est nettement inférieure au maximum de 11 kilowatts, ce qui est normal : la pointe n'est atteinte qu'un instant. La figure du corrigé montre le rectangle de hauteur 8 sur les douze heures : il a exactement la même aire que la région sous la courbe, et c'est la définition même de la valeur moyenne.

e)

On résout $2+3t-0{,}25t^{2}=8$ , soit $0{,}25t^{2}-3t+6=0$ , ou encore $t^{2}-12t+24=0$ . Le discriminant vaut $144-96=48$ , donc $t=\frac{12\pm\sqrt{48}}{2}=6\pm 2\sqrt{3}$ , c'est-à-dire $t\approx 2{,}54$ heure et $t\approx 9{,}46$ heure. Il y a donc DEUX instants où la puissance vaut sa moyenne, encadrant symétriquement la pointe. Si $P$ était affine, la valeur moyenne serait atteinte une seule fois, exactement au milieu de l'intervalle. Le nombre de solutions n'a rien d'automatique : il dépend de la forme de la courbe, et c'est la raison pour laquelle une puissance moyenne ne renseigne jamais sur la pointe, alors que c'est la pointe qui dimensionne l'installation électrique.

Exercice 4 : Aire entre deux courbes et le théorème d'Archimède

On considère les fonctions $f(x)=6x-x^{2}$ et $g(x)=x$ , représentées ci-dessous. La région hachurée est comprise entre la parabole et la droite.

Archimède a démontré, vingt-deux siècles avant l'invention du calcul intégral, que l'aire d'un segment de parabole vaut les quatre tiers de l'aire du triangle inscrit ayant la même corde pour base et pour troisième sommet le point de la parabole où la tangente est parallèle à cette corde. La dernière question vérifie ce résultat.

a) Déterminez les abscisses des points d'intersection des deux courbes.
b) Étudiez la position relative de $f$ et de $g$ sur l'intervalle délimité par ces deux abscisses.
c) Calculez l'aire de la région hachurée, en unités d'aire.
d) Déterminez le point de la parabole où la tangente est parallèle à la corde joignant les deux points d'intersection.
e) Calculez l'aire du triangle formé par les deux points d'intersection et le point trouvé au d), puis vérifiez le résultat d'Archimède.

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Réponses

a) $x=0$ et $x=5$
b) $f-g=x(5-x)\geq 0$ : parabole au-dessus
c) $\frac{125}{6}\approx 20{,}83$ u.a.
d) $(2{,}5\,;8{,}75)$
e) $15{,}625$ ; $\frac{4}{3}\times 15{,}625=\frac{125}{6}$ ✓

a)

On résout $6x-x^{2}=x$ , soit $5x-x^{2}=0$ , c'est-à-dire $x(5-x)=0$ . Les abscisses sont $x=0$ et $x=5$ , correspondant aux points $(0\ ;\ 0)$ et $(5\ ;\ 5)$ .

b)

Sur $[0;5]$ , $f(x)-g(x)=5x-x^{2}=x(5-x)$ . Les deux facteurs sont positifs sur cet intervalle, donc la différence est positive : la parabole est au-dessus de la droite, et elle la rejoint exactement aux deux extrémités.

c)

L'aire vaut $\int_{0}^{5}\left(5x-x^{2}\right)dx=\left[\frac{5x^{2}}{2}-\frac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{5}=\frac{125}{2}-\frac{125}{3}=\frac{375-250}{6}=\frac{125}{6}\approx 20{,}83$ unité d'aire.

d)

La corde joint $(0\ ;\ 0)$ à $(5\ ;\ 5)$ , son coefficient directeur vaut 1. On cherche donc $x$ tel que $f'(x)=1$ , avec $f'(x)=6-2x$ : cela donne $6-2x=1$ , soit $x=2{,}5$ . Le point cherché est $\left(2{,}5\ ;\ 8{,}75\right)$ , puisque $f(2{,}5)=15-6{,}25=8{,}75$ . C'est aussi le point où l'écart vertical entre la parabole et la droite est maximal, et il vaut $8{,}75-2{,}5=6{,}25$ .

e)

Le triangle a pour sommets $(0\ ;\ 0)$ , $(5\ ;\ 5)$ et $(2{,}5\ ;\ 8{,}75)$ . En prenant la corde comme base, sa longueur vaut $5\sqrt{2}$ et la hauteur est la distance du troisième sommet à la droite $y=x$ , soit $\frac{\left|8{,}75-2{,}5\right|}{\sqrt{2}}=\frac{6{,}25}{\sqrt{2}}$ . L'aire vaut donc $\frac{1}{2}\times 5\sqrt{2}\times\frac{6{,}25}{\sqrt{2}}=\frac{31{,}25}{2}=15{,}625$ . Enfin $\frac{4}{3}\times 15{,}625=\frac{62{,}5}{3}\approx 20{,}83$ , ce qui est exactement l'aire calculée au c). Le théorème d'Archimède est vérifié. Il mérite d'être médité : ce calcul, obtenu ici en trois lignes de primitives, a coûté à Archimède une démonstration par exhaustion d'une dizaine de pages, et il est resté pendant dix-huit siècles le seul calcul d'aire courbe connu.

Exercice 5 : Encadrement par rectangles et méthode des trapèzes

On cherche à approcher $I=\int_{1}^{2}\frac{1}{x}\,dx$ sans utiliser de primitive. On découpe $[1;2]$ en quatre sous-intervalles de longueur $0{,}25$ .

On rappelle que la valeur exacte est $\ln 2\approx 0{,}693147$ , ce qui permettra de mesurer la qualité de chaque méthode. Les résultats seront arrondis au millionième.

a) Calculez la somme des aires des rectangles construits sur les extrémités gauches des sous-intervalles.
b) Calculez la somme des aires des rectangles construits sur les extrémités droites.
c) Justifiez que ces deux sommes encadrent $I$ , et vérifiez numériquement l'encadrement.
d) Calculez l'approximation par la méthode des trapèzes, puis comparez les trois erreurs commises.
e) Montrez que pour une fonction monotone sur $[a;b]$ découpé en $n$ parts, l'écart entre les deux sommes de rectangles vaut exactement $\frac{b-a}{n}\left|f(b)-f(a)\right|$ . Combien de sous-intervalles faudrait-il ici pour garantir un encadrement d'amplitude inférieure à $0{,}001$ ?

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Réponses

a) $S_{g}\approx 0{,}759524$
b) $S_{d}\approx 0{,}634524$
c) Fonction décroissante : $S_{d}\leq\ln 2\leq S_{g}$
d) $T\approx 0{,}697024$ , erreur dix-sept fois plus petite
e) Écart $\frac{0{,}5}{n}$ : $n=501$

a)

Les extrémités gauches sont 1 ; $1{,}25$ ; $1{,}5$ ; $1{,}75$ , où $f$ vaut respectivement 1 ; $0{,}8$ ; $0{,}666667$ ; $0{,}571429$ . La somme de ces valeurs est $3{,}038095$ , et en multipliant par la largeur $0{,}25$ on obtient $S_{g}\approx 0{,}759524$ .

b)

Les extrémités droites sont $1{,}25$ ; $1{,}5$ ; $1{,}75$ ; 2, où $f$ vaut $0{,}8$ ; $0{,}666667$ ; $0{,}571429$ ; $0{,}5$ . La somme vaut $2{,}538095$ , d'où $S_{d}\approx 0{,}634524$ .

c)

La fonction inverse est strictement décroissante sur $[1;2]$ . Sur chaque sous-intervalle, sa valeur en l'extrémité gauche majore donc toutes les autres, et sa valeur en l'extrémité droite les minore : le rectangle de gauche contient la portion d'aire et celui de droite y est contenu. En sommant, $S_{d}\leq I\leq S_{g}$ , soit $0{,}634524\leq 0{,}693147\leq 0{,}759524$ , ce qui est bien vérifié. La figure du corrigé superpose les deux escaliers : celui des rectangles à gauche enveloppe la courbe, celui des rectangles à droite reste dessous.

d)

La méthode des trapèzes donne la moyenne des deux sommes : $T=\frac{0{,}759524+0{,}634524}{2}\approx 0{,}697024$ . Les erreurs valent respectivement $0{,}066377$ pour les rectangles à gauche, $0{,}058623$ pour ceux à droite et seulement $0{,}003877$ pour les trapèzes, soit environ dix-sept fois moins. Les deux erreurs de rectangles sont de signes opposés, et c'est précisément pour cela que leur moyenne les compense presque entièrement.

e)

Notons $h=\frac{b-a}{n}$ . Les deux sommes portent sur les mêmes valeurs de $f$ , sauf aux deux bouts : $S_{g}$ utilise $f(a)$ mais pas $f(b)$ , et $S_{d}$ l'inverse. Tous les autres termes se télescopent, donc $S_{g}-S_{d}=h\left(f(a)-f(b)\right)$ , dont la valeur absolue est $\frac{b-a}{n}\left|f(b)-f(a)\right|$ . Ici $\frac{1}{n}\times\left|0{,}5-1\right|=\frac{0{,}5}{n}$ , et on vérifie avec $n=4$ : $\frac{0{,}5}{4}=0{,}125=0{,}759524-0{,}634524$ . Pour obtenir une amplitude inférieure à $0{,}001$ il faut $\frac{0{,}5}{n}<0{,}001$ , soit $n>500$ : il en faudrait 501. C'est la faiblesse de la méthode des rectangles, dont la précision ne s'améliore que proportionnellement à $n$ , alors que celle des trapèzes s'améliore comme $n^{2}$ .

Exercice 6 : Lecture graphique d'une quantité cumulée

Le débit d'entrée d'eau dans un bassin, en mètres cubes par heure, est représenté ci-dessous en fonction du temps $t$ exprimé en heures, sur une durée de huit heures. Le graphe est formé de trois segments : une montée linéaire de 0 à 4 entre $t=0$ et $t=2$ , un palier à 4 entre $t=2$ et $t=5$ , puis une descente linéaire jusqu'à 0 entre $t=5$ et $t=8$ .

On note $V(t)$ le volume d'eau, en mètres cubes, entré dans le bassin depuis l'instant initial. Toutes les questions se traitent par des aires géométriques, sans aucune primitive.

a) Calculez $V(2)$ , $V(5)$ et $V(8)$ en découpant l'aire en figures élémentaires.
b) Le bassin a une capacité de 20 mètres cubes. Déborde-t-il ? Si oui, à quel instant ?
c) À quel instant la moitié du volume total est-elle entrée ?
d) Calculez le débit moyen sur les huit heures, et comparez-le au débit maximal.
e) Étudiez la convexité de la fonction $V$ sur $[0;8]$ et localisez son point d'inflexion. Justifiez sans calculer $V$ explicitement.

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Réponses

a) $4$ ; $16$ ; $22$ m³
b) Oui, à $t=8-\sqrt{3}\approx 6{,}27$ h
c) $t=3{,}75$ h
d) $2{,}75$ m³/h contre $4$
e) Convexe, affine, concave : inflexion en $t=5$

a)

Entre 0 et 2 la région est un triangle de base 2 et de hauteur 4, donc $V(2)=\frac{2\times 4}{2}=4$ mètres cubes. Entre 2 et 5 c'est un rectangle de base 3 et de hauteur 4, d'aire 12, donc $V(5)=4+12=16$ mètres cubes. Entre 5 et 8 c'est un triangle de base 3 et de hauteur 4, d'aire 6, donc $V(8)=16+6=22$ mètres cubes.

b)

Oui, puisque le volume final de 22 mètres cubes dépasse la capacité de 20. Le débordement a lieu pendant la phase de descente, car $V(5)=16$ et $V(8)=22$ . Il faut donc trouver $t$ dans $[5;8]$ tel que l'aire ajoutée depuis $t=5$ vaille 4. Sur cette phase le débit vaut $\frac{4(8-t)}{3}$ , et l'aire restante à droite de $t$ est un triangle d'aire $\frac{(8-t)}{2}\times\frac{4(8-t)}{3}=\frac{2(8-t)^{2}}{3}$ . L'aire ajoutée entre 5 et $t$ vaut donc $6-\frac{2(8-t)^{2}}{3}=4$ , soit $(8-t)^{2}=3$ et $t=8-\sqrt{3}\approx 6{,}27$ heure. Le bassin déborde environ six heures et seize minutes après l'ouverture.

c)

La moitié du volume total vaut 11 mètres cubes. Comme $V(2)=4$ et $V(5)=16$ , l'instant cherché est dans la phase de palier, où le débit est constant à 4 mètres cubes par heure. Il faut y accumuler $11-4=7$ mètres cubes, ce qui demande $\frac{7}{4}=1{,}75$ heure. L'instant cherché est donc $t=2+1{,}75=3{,}75$ heure.

d)

Le débit moyen vaut $\frac{22}{8}=2{,}75$ mètres cubes par heure, contre un débit maximal de 4. Le rapport des deux est le même que celui de l'aire réelle à celle du rectangle plein de hauteur 4, ce qui se lit directement sur le graphique : la région occupe un peu moins de sept dixièmes du rectangle.

e)

La fonction $V$ est une primitive du débit, donc $V'$ est le débit lui-même et $V''$ est sa dérivée, c'est-à-dire la pente du graphique. Sur $[0;2]$ le débit croît, donc $V''>0$ et $V$ est convexe. Sur $[2;5]$ le débit est constant, donc $V''=0$ et $V$ est affine, de pente 4. Sur $[5;8]$ le débit décroît, donc $V''<0$ et $V$ est concave. Le changement de convexité s'opère en $t=5$ , qui est donc le point d'inflexion. En $t=2$ la courbe passe de convexe à affine sans changer de sens de courbure au sens strict, ce n'est pas un point d'inflexion. Ce raisonnement illustre le point clé du chapitre : les variations de $V$ se lisent sur le SIGNE du graphique, et sa convexité sur sa PENTE.

Exercice 7 : Surplus du consommateur et prix plafond

Sur un marché, le prix que les acheteurs sont prêts à payer pour la $q$ -ième unité est donné par la fonction de demande $D(q)=50-0{,}5q$ , et le prix minimal auquel les producteurs acceptent de la vendre par la fonction d'offre $S(q)=10+0{,}3q$ , les prix étant en dollars.

Le surplus du consommateur est l'aire comprise entre la courbe de demande et le prix effectivement payé ; le surplus du producteur est l'aire comprise entre ce prix et la courbe d'offre.

a) Déterminez la quantité et le prix d'équilibre du marché.
b) Calculez le surplus du consommateur à l'équilibre, et interprétez-le concrètement.
c) Calculez le surplus du producteur, puis le surplus total.
d) Retrouvez ces trois résultats par un calcul purement géométrique.
e) Les pouvoirs publics imposent un prix plafond de 20 dollars. Calculez la quantité échangée, les deux surplus, et la perte sèche pour la collectivité.

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Réponses

a) $q^{*}=50$ , $p^{*}=25$ dollars
b) $625$ dollars
c) $375$ ; total $1\,000$ dollars
d) Triangles de hauteurs $25$ , $15$ et $40$
e) $q=\frac{100}{3}$ ; $722{,}22$ et $166{,}67$ ; perte sèche $111{,}11$ dollars

a)

L'équilibre vérifie $D(q)=S(q)$ , soit $50-0{,}5q=10+0{,}3q$ , donc $40=0{,}8q$ et $q^{*}=50$ unités. Le prix d'équilibre vaut $p^{*}=D(50)=50-25=25$ dollars.

b)

Le surplus du consommateur vaut $\int_{0}^{50}\left(D(q)-p^{*}\right)dq=\int_{0}^{50}\left(25-0{,}5q\right)dq=\left[25q-0{,}25q^{2}\right]_{0}^{50}=1250-625=625$ dollars. Concrètement : les premiers acheteurs auraient accepté de payer jusqu'à 50 dollars et n'en paient que 25 ; en cumulant ces économies sur les cinquante unités, les acheteurs gagnent au total 625 dollars par rapport à ce qu'ils étaient prêts à débourser.

c)

Le surplus du producteur vaut $\int_{0}^{50}\left(p^{*}-S(q)\right)dq=\int_{0}^{50}\left(15-0{,}3q\right)dq=\left[15q-0{,}15q^{2}\right]_{0}^{50}=750-375=375$ dollars. Le surplus total est donc $625+375=1000$ dollars.

d)

Les deux fonctions étant affines, les régions sont des triangles. Pour le consommateur : base 50, hauteur $D(0)-p^{*}=50-25=25$ , donc aire $\frac{50\times 25}{2}=625$ . Pour le producteur : base 50, hauteur $p^{*}-S(0)=25-10=15$ , donc aire $\frac{50\times 15}{2}=375$ . Le surplus total est le triangle de hauteur $50-10=40$ , d'aire $\frac{50\times 40}{2}=1000$ . Les trois résultats coïncident, ce qui est le meilleur contrôle possible du calcul intégral.

e)

À 20 dollars, les producteurs n'offrent que la quantité vérifiant $10+0{,}3q=20$ , soit $q=\frac{100}{3}\approx 33{,}33$ unités : c'est elle qui limite les échanges, puisque la demande à ce prix serait de 60 unités. Le surplus du consommateur devient $\int_{0}^{100/3}\left(50-0{,}5q-20\right)dq=\left[30q-0{,}25q^{2}\right]_{0}^{100/3}=1000-\frac{2500}{9}\approx 722{,}22$ dollars, et celui du producteur $\int_{0}^{100/3}\left(20-10-0{,}3q\right)dq=\left[10q-0{,}15q^{2}\right]_{0}^{100/3}=\frac{1000}{3}-\frac{500}{3}\approx 166{,}67$ dollars. Le surplus total tombe à $888{,}89$ dollars, soit une perte sèche de $1000-888{,}89\approx 111{,}11$ dollars. On la retrouve géométriquement comme le triangle de base $50-\frac{100}{3}=\frac{50}{3}$ et de hauteur $D\left(\frac{100}{3}\right)-S\left(\frac{100}{3}\right)=\frac{100}{3}-20=\frac{40}{3}$ , d'aire $\frac{1}{2}\times\frac{50}{3}\times\frac{40}{3}=\frac{1000}{9}\approx 111{,}11$ . La leçon est que le prix plafond enrichit bien les consommateurs, de 625 à 722 dollars, mais qu'il retire davantage aux producteurs, et surtout que les échanges non réalisés font disparaître une valeur que personne ne récupère.

Exercice 8 : Valeur actualisée d'un flux financier

Un investissement produit un flux de revenu continu de 8000 dollars par an pendant vingt ans. Avec un taux d'actualisation continu de 5 % par an, un dollar reçu à l'instant $t$ ne vaut aujourd'hui que $\mathrm{e}^{-0{,}05t}$ dollar.

La valeur actualisée du flux sur $[0;T]$ est donc $V(T)=\int_{0}^{T}8000\,\mathrm{e}^{-0{,}05t}\,dt$ .

a) Montrez que $V(T)=160\,000\left(1-\mathrm{e}^{-0{,}05T}\right)$ .
b) Calculez la valeur actualisée du flux sur vingt ans, arrondie au dollar, et comparez-la au total non actualisé.
c) Au bout de combien d'années la moitié de cette valeur actualisée est-elle acquise ? Commentez.
d) Si le flux durait indéfiniment, la valeur actualisée serait-elle infinie ? Justifiez en étudiant la limite de $V(T)$ .
e) Déduisez du d) la règle financière donnant la valeur d'une rente perpétuelle, et vérifiez-la sur cet exemple.

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Réponses

a) $V(T)=160\,000(1-\mathrm{e}^{-0{,}05T})$
b) $\approx 101\,139$ dollars contre $160\,000$
c) $\approx 7{,}6$ ans
d) Limite $160\,000$ dollars : valeur finie
e) Flux divisé par le taux ; $400\,000$ dollars à $2$ %

a)

Une primitive de $8000\,\mathrm{e}^{-0{,}05t}$ est $\frac{8000}{-0{,}05}\mathrm{e}^{-0{,}05t}=-160\,000\,\mathrm{e}^{-0{,}05t}$ . Donc $V(T)=-160\,000\,\mathrm{e}^{-0{,}05T}+160\,000=160\,000\left(1-\mathrm{e}^{-0{,}05T}\right)$ .

b)

$V(20)=160\,000\left(1-\mathrm{e}^{-1}\right)\approx 160\,000\times 0{,}632121\approx 101\,139$ dollars. Le total non actualisé vaut $8000\times 20=160\,000$ dollars : l'actualisation en retire près de 58 861 dollars, soit 37 % du total. Ignorer l'actualisation sur un horizon de vingt ans conduit donc à surévaluer un projet de plus d'un tiers.

c)

La moitié vaut environ $50\,570$ dollars. On résout $160\,000\left(1-\mathrm{e}^{-0{,}05T}\right)=50\,570$ , soit $\mathrm{e}^{-0{,}05T}\approx 0{,}68394$ , donc $T=\frac{-\ln 0{,}68394}{0{,}05}\approx 7{,}6$ ans. La moitié de la valeur est acquise en moins de huit ans sur vingt : les premières années pèsent bien davantage que les dernières, puisque leurs dollars sont moins escomptés. C'est la raison pour laquelle un projet qui rapporte tôt est préféré à un projet qui rapporte autant mais tard.

d)

Non. Quand $T$ tend vers $+\infty$ , $\mathrm{e}^{-0{,}05T}$ tend vers 0, donc $V(T)$ tend vers $160\,000$ dollars. Un flux infini a une valeur finie, parce que les termes lointains sont escomptés à une vitesse exponentielle, plus rapide que l'accumulation linéaire des années.

e)

La limite vaut $\frac{8000}{0{,}05}=160\,000$ : la valeur d'une rente perpétuelle est le flux annuel divisé par le taux. Sur cet exemple, le flux perpétuel vaut exactement autant que vingt ans de flux non actualisé, ce qui donne une lecture intuitive du taux de 5 % : $\frac{1}{0{,}05}=20$ années de revenu. C'est la formule utilisée pour valoriser une obligation perpétuelle ou un immeuble de rapport, et elle explique pourquoi une baisse des taux fait mécaniquement bondir la valeur de ces actifs : à 2 %, le même flux vaudrait $\frac{8000}{0{,}02}=400\,000$ dollars, soit deux fois et demie plus.

Exercice 9 : L'aire sous l'hyperbole et la naissance du logarithme

Pour tout réel $x$ strictement positif, on note $A(x)=\int_{1}^{x}\frac{1}{t}\,dt$ . Pour $x>1$ , c'est l'aire comprise entre l'hyperbole, l'axe des abscisses et les droites verticales d'abscisses 1 et $x$ .

En 1647, Grégoire de Saint-Vincent a remarqué que cette aire possédait une propriété stupéfiante, laquelle a révélé après coup ce qu'était vraiment le logarithme inventé par Napier trente ans plus tôt. Les valeurs seront arrondies au millionième.

a) Calculez $A(2)$ , $A(4)$ et $A(8)$ .
b) Vérifiez que $A(4)=2A(2)$ et $A(8)=3A(2)$ . Que vaut $A\left(2^{n}\right)$ ?
c) Sur la figure, les trois régions comprises entre 1 et 2, entre 2 et 4, puis entre 4 et 8 ont donc la même aire, alors que leurs largeurs sont 1, 2 et 4. Expliquez ce paradoxe apparent.
d) Admettons plus généralement que $A(ab)=A(a)+A(b)$ pour tous réels strictement positifs $a$ et $b$ . Que vaut $A(\mathrm{e})$ ? Quelle définition du nombre $\mathrm{e}$ cela fournit-il ?
e) En quoi cette propriété d'aire explique-t-elle que la fonction ainsi définie soit exactement l'outil dont les calculateurs du 17e siècle avaient besoin ? Et pourquoi l'hyperbole plutôt qu'une autre courbe ?

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Réponses

a) $\ln 2$ ; $\ln 4$ ; $\ln 8$
b) $A(2^{n})=n\ln 2$
c) Largeur doublée, hauteur divisée par deux
d) $A(\mathrm{e})=1$
e) Produits changés en sommes ; seule $\frac{1}{t}$ convient

a)

Une primitive de $\frac{1}{t}$ sur $]0;+\infty[$ est $\ln t$ , donc $A(x)=\ln x-\ln 1=\ln x$ . Ainsi $A(2)=\ln 2\approx 0{,}693147$ , $A(4)=\ln 4\approx 1{,}386294$ et $A(8)=\ln 8\approx 2{,}079442$ .

b)

On a bien $1{,}386294=2\times 0{,}693147$ et $2{,}079442=3\times 0{,}693147$ . Cela tient à ce que $4=2^{2}$ et $8=2^{3}$ , donc $A\left(2^{n}\right)=\ln 2^{n}=n\ln 2=n\,A(2)$ . L'aire croît comme l'EXPOSANT, pas comme la borne.

c)

Il n'y a pas de paradoxe, mais une compensation exacte. Quand on passe de la région $[1;2]$ à la région $[2;4]$ , la largeur double, mais la hauteur de la courbe est divisée par 2 puisque $\frac{1}{2t}=\frac{1}{2}\times\frac{1}{t}$ . Le produit largeur par hauteur, donc l'aire, est inchangé. Plus précisément, la transformation qui multiplie les abscisses par 2 et divise les ordonnées par 2 conserve les aires et envoie exactement la portion d'hyperbole au-dessus de $[1;2]$ sur celle au-dessus de $[2;4]$ . C'est cette invariance d'échelle, propre à l'hyperbole, qui produit toute la propriété.

d)

En prenant $b=\frac{1}{a}$ dans la relation, $A(1)=A(a)+A\left(\frac{1}{a}\right)$ , et $A(1)=0$ puisque les bornes sont confondues. La relation est donc bien celle d'un logarithme. Comme $A(x)=\ln x$ , on a $A(\mathrm{e})=1$ . Cela fournit une définition du nombre $\mathrm{e}$ qui ne suppose rien d'autre que la notion d'aire : $\mathrm{e}$ est l'unique abscisse pour laquelle l'aire sous l'hyperbole, comptée depuis 1, vaut exactement 1.

e)

Les calculateurs cherchaient une fonction transformant les produits en sommes, pour remplacer des multiplications pénibles par des additions. Or la relation $A(ab)=A(a)+A(b)$ est précisément cela, et elle sort ici d'un pur argument d'aire, sans aucune table ni aucun calcul. C'est la rencontre inattendue entre un problème de géométrie, la quadrature de l'hyperbole, que les Grecs avaient laissé ouvert, et un problème de calcul pratique posé par l'astronomie et la navigation. Quant au choix de la courbe : la relation vient de ce que la dilatation horizontale d'un facteur $a$ et la contraction verticale du même facteur laissent la courbe globalement invariante. Seule la fonction $t\mapsto\frac{1}{t}$ a cette propriété, car elle est la seule à vérifier $f(at)=\frac{1}{a}f(t)$ pour tout $a$ . Aucune autre puissance de $t$ ne convient, et c'est bien pourquoi $\frac{1}{t}$ est aussi la seule fonction puissance dont la primitive ne soit pas une puissance.

Exercice 10 : Lecture critique des intégrales

Chacune des cinq affirmations suivantes est fausse. Expliquez précisément pourquoi, en appuyant chaque réponse sur un contre-exemple chiffré.

a) « $\int_{a}^{b}f(x)\,dx$ est toujours l'aire de la région comprise entre la courbe et l'axe des abscisses. »
b) « Si $\int_{0}^{1}f(x)\,dx=0$ , alors $f$ est la fonction nulle sur $[0;1]$ . »
c) « La valeur moyenne de $f$ sur $[a;b]$ est la moyenne de $f(a)$ et de $f(b)$ . »
d) « Si l'on double la longueur de l'intervalle d'intégration, l'intégrale double. »
e) « Une primitive d'un produit est le produit des primitives. »

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Réponses

a) Faux : $\int_{-1}^{1}x\,dx=0$ , aire $1$
b) Faux : $x-\frac{1}{2}$ sur $[0\,;1]$
c) Faux : $\frac{4}{3}$ contre $2$
d) Faux : huit fois plus pour $x^{2}$
e) Faux : $\frac{x^{3}}{3}$ contre $\frac{x^{4}}{4}$

a)

Faux dès que $f$ change de signe : l'intégrale compte négativement les portions situées sous l'axe. Prenons $f(x)=x$ sur $[-1;1]$ : l'intégrale vaut $\left[\frac{x^{2}}{2}\right]_{-1}^{1}=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}=0$ , alors que l'aire géométrique des deux triangles vaut $\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1$ . L'énoncé n'est correct que pour une fonction positive ; sinon il faut intégrer $|f|$ ou découper aux zéros.

b)

Faux, la compensation suffit. Prenons $f(x)=x-\frac{1}{2}$ sur $[0;1]$ : l'intégrale vaut $\left[\frac{x^{2}}{2}-\frac{x}{2}\right]_{0}^{1}=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}=0$ , et pourtant $f$ ne s'annule qu'en un seul point. Ce qui est vrai, c'est qu'une fonction CONTINUE et POSITIVE d'intégrale nulle est nécessairement nulle : il faut les deux hypothèses supplémentaires.

c)

Vrai seulement si $f$ est affine, faux en général. Prenons $f(x)=x^{2}$ sur $[0;2]$ : la valeur moyenne vaut $\frac{1}{2}\int_{0}^{2}x^{2}\,dx=\frac{1}{2}\times\frac{8}{3}=\frac{4}{3}\approx 1{,}33$ , alors que $\frac{f(0)+f(2)}{2}=\frac{0+4}{2}=2$ . La recette des deux extrémités ne voit que les bornes et ignore tout ce qui se passe entre elles ; elle ne peut donc marcher que si le comportement intermédiaire est entièrement déterminé par les bornes, c'est-à-dire dans le cas affine.

d)

Faux sauf si $f$ est constante. Prenons $f(x)=x^{2}$ : $\int_{0}^{1}x^{2}\,dx=\frac{1}{3}$ tandis que $\int_{0}^{2}x^{2}\,dx=\frac{8}{3}$ , soit huit fois plus et non deux. Doubler l'intervalle ajoute une région dont la hauteur est elle aussi plus grande, et les deux effets se multiplient. Le raisonnement ne serait valable que pour un rectangle.

e)

Faux. Prenons $f(x)=g(x)=x$ sur $\mathbb{R}$ . Une primitive de leur produit $x^{2}$ est $\frac{x^{3}}{3}$ , tandis que le produit des primitives vaut $\frac{x^{2}}{2}\times\frac{x^{2}}{2}=\frac{x^{4}}{4}$ . Les deux fonctions n'ont même pas le même degré. La dérivation d'un produit fait apparaître deux termes, $\left(uv\right)'=u'v+uv'$ , et c'est cette structure qui interdit toute formule simple en sens inverse : elle donne l'intégration par parties, qui n'est pas au programme de cette option mais dont la nécessité se voit ici clairement.

Exercice 11 : De la vitesse de croissance à la taille d'une plante

Une jeune plante mesure $5\ \mathrm{cm}$ le jour de sa plantation. Sa vitesse de croissance, en centimètres par jour, est $h'(t)=2\,\mathrm{e}^{-0{,}1t}$ , où $t$ est le nombre de jours écoulés.

a) Donnez toutes les primitives de $t\mapsto 2\,\mathrm{e}^{-0{,}1t}$ .
b) Déterminez la taille $h(t)$ de la plante.
c) Calculez la taille au bout de $10$ jours, au centième.
d) De combien la plante grandit-elle entre le jour $10$ et le jour $20$ ? Exprimez ce nombre comme une intégrale, puis calculez-le.
e) Quelle taille la plante ne dépassera-t-elle jamais ?

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Réponses

a) $-20\,\mathrm{e}^{-0{,}1t}+C$
b) $h(t)=25-20\,\mathrm{e}^{-0{,}1t}$
c) $\approx 17{,}64$ cm
d) $20(\mathrm{e}^{-1}-\mathrm{e}^{-2})\approx 4{,}65$ cm
e) $25$ cm

a)

Une primitive de $\mathrm{e}^{at}$ est $\frac{1}{a}\mathrm{e}^{at}$ : les primitives sont $t\mapsto\frac{2}{-0{,}1}\mathrm{e}^{-0{,}1t}+C=-20\,\mathrm{e}^{-0{,}1t}+C$ , $C$ réel.

b)

$h(0)=-20+C=5$ donne $C=25$ , donc $h(t)=25-20\,\mathrm{e}^{-0{,}1t}$ . Sans la condition initiale, en prenant $C=0$ , la plante mesurerait $-20\ \mathrm{cm}$ au départ.

c)

$h(10)=25-20\,\mathrm{e}^{-1}\approx 25-7{,}36=17{,}64\ \mathrm{cm}$ .

d)

La croissance entre deux instants est l'intégrale de la vitesse : $\int_{10}^{20}2\,\mathrm{e}^{-0{,}1t}\,dt=h(20)-h(10)=\left(25-20\,\mathrm{e}^{-2}\right)-\left(25-20\,\mathrm{e}^{-1}\right)=20\left(\mathrm{e}^{-1}-\mathrm{e}^{-2}\right)\approx 4{,}65\ \mathrm{cm}$ . Elle avait pris $12{,}64\ \mathrm{cm}$ pendant les dix premiers jours.

e)

$\mathrm{e}^{-0{,}1t}$ tend vers $0$ et reste positif, donc $h(t)<25$ et $h(t)$ tend vers $25\ \mathrm{cm}$ : la plante s'approche d'une taille adulte sans jamais l'atteindre exactement.

Exercice 12 : Du coût marginal au coût total

Une entreprise estime le coût marginal de production, en dollars par unité, à $C_{m}(q)=0{,}06q^{2}-1{,}2q+10$ , pour $q$ unités produites. Ses coûts fixes, supportés même sans rien produire, s'élèvent à $500$ dollars. Le coût total $C$ est la primitive du coût marginal qui vérifie $C(0)=500$ .

a) Déterminez le coût total $C(q)$ .
b) Calculez le coût total de production de $20$ unités.
c) Combien coûte la production des unités de la $21^{\text{e}}$ à la $30^{\text{e}}$ ? Exprimez-le comme une intégrale.
d) Pour quelle quantité le coût marginal est-il minimal ? Que vaut-il alors ?
e) Calculez le coût moyen des unités $21$ à $30$ . Est-il supérieur ou inférieur au coût marginal minimal ?

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Réponses

a) $C(q)=0{,}02q^{3}-0{,}6q^{2}+10q+500$
b) $620$ dollars
c) $\int_{20}^{30}C_{m}=180$ dollars
d) Minimum $4$ dollars pour $q=10$
e) $18$ dollars par unité

a)

On primitive terme à terme : $C(q)=0{,}02q^{3}-0{,}6q^{2}+10q+K$ , et $C(0)=K=500$ . Donc $C(q)=0{,}02q^{3}-0{,}6q^{2}+10q+500$ .

b)

$C(20)=0{,}02\times 8\,000-0{,}6\times 400+200+500=160-240+200+500=620$ dollars.

c)

$C(30)-C(20)=\int_{20}^{30}C_{m}(q)\,dq$ . Or $C(30)=540-540+300+500=800$ , donc ces dix unités coûtent $800-620=180$ dollars.

d)

$C_{m}'(q)=0{,}12q-1{,}2$ s'annule en $q=10$ et passe du négatif au positif : le coût marginal est minimal pour $10$ unités, où il vaut $C_{m}(10)=6-12+10=4$ dollars par unité.

e)

$\frac{180}{10}=18$ dollars par unité, bien au-dessus des $4$ dollars du minimum : au-delà de $10$ unités, chaque unité supplémentaire coûte de plus en plus cher, et l'intégrale en fait la somme.

Exercice 13 : Une aire sous l'exponentielle, en unités et en centimètres

On considère la fonction $f(x)=\mathrm{e}^{x}$ , représentée dans un repère orthogonal où $1$ unité vaut $2\ \mathrm{cm}$ sur l'axe des abscisses et $1\ \mathrm{cm}$ sur l'axe des ordonnées.

a) Calculez, en unités d'aire, l'aire du domaine compris entre la courbe, l'axe des abscisses et les droites $x=0$ et $x=\ln 3$ .
b) Convertissez cette aire en centimètres carrés.
c) Déterminez le réel $a>0$ tel que l'aire du domaine compris entre la courbe, l'axe des abscisses et les droites $x=0$ et $x=a$ vaille $1$ unité d'aire.
d) La droite $y=x+1$ est tangente à la courbe en $0$ et reste en dessous. Calculez l'aire comprise entre la courbe et cette tangente sur $[0\,;1]$ , au millième.
e) Calculez la valeur moyenne de $f$ sur $[0\,;1]$ et comparez-la à $f\left(\frac{1}{2}\right)$ .

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Réponses

a) $2$ u.a.
b) $4$ cm²
c) $a=\ln 2$
d) $\mathrm{e}-\frac{5}{2}\approx 0{,}218$ u.a.
e) $\mathrm{e}-1\approx 1{,}718>\sqrt{\mathrm{e}}$

a)

$f$ est positive, donc l'aire vaut $\int_{0}^{\ln 3}\mathrm{e}^{x}\,dx=\mathrm{e}^{\ln 3}-\mathrm{e}^{0}=3-1=2$ unités d'aire.

b)

Une unité d'aire est un rectangle de $2\ \mathrm{cm}$ sur $1\ \mathrm{cm}$ , soit $2\ \mathrm{cm^{2}}$ : l'aire vaut $2\times 2=4\ \mathrm{cm^{2}}$ . Répondre $2\ \mathrm{cm^{2}}$ oublie les unités graphiques.

c)

$\int_{0}^{a}\mathrm{e}^{x}\,dx=\mathrm{e}^{a}-1=1$ donne $\mathrm{e}^{a}=2$ , soit $a=\ln 2\approx 0{,}693$ .

d)

$\int_{0}^{1}\left(\mathrm{e}^{x}-x-1\right)dx=\left[\mathrm{e}^{x}-\frac{x^{2}}{2}-x\right]_{0}^{1}=\left(\mathrm{e}-\frac{1}{2}-1\right)-1=\mathrm{e}-\frac{5}{2}\approx 0{,}218$ unité d'aire.

e)

La valeur moyenne vaut $\frac{1}{1-0}\int_{0}^{1}\mathrm{e}^{x}\,dx=\mathrm{e}-1\approx 1{,}718$ , alors que $f\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\mathrm{e}}\approx 1{,}649$ . Pour une fonction convexe, la valeur moyenne dépasse la valeur au milieu : la courbe « se relève » plus qu'elle ne s'abaisse de part et d'autre.

Exercice 14 : L'aire d'un étang par la méthode des trapèzes

Pour estimer l'aire d'un étang, un géomètre trace une ligne droite de $120\ \mathrm{m}$ le long de sa plus grande dimension et mesure la largeur de l'étang perpendiculairement à cette ligne, tous les $20\ \mathrm{m}$ .

Position (m)	0	20	40	60	80	100	120
Largeur (m)	0	35	52	60	48	30	12

a) Estimez l'aire de l'étang par la méthode des rectangles à gauche.
b) Estimez-la par la méthode des rectangles à droite.
c) Estimez-la par la méthode des trapèzes. Quel lien y a-t-il avec a) et b) ?
d) La profondeur moyenne de l'étang est de $3{,}5\ \mathrm{m}$ . Estimez son volume.
e) En été, l'évaporation fait baisser le niveau de $5\ \mathrm{mm}$ par jour. Quel volume d'eau s'évapore en $30$ jours ? Quel pourcentage du volume cela représente-t-il ?

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Réponses

a) $4\,500$ m²
b) $4\,740$ m²
c) $4\,620$ m², moyenne des deux
d) $\approx 16\,170$ m³
e) $693$ m³, $\approx 4{,}3$ %

a)

Chaque rectangle a pour largeur $20\ \mathrm{m}$ et pour hauteur la largeur mesurée à gauche : $20\times(0+35+52+60+48+30)=20\times 225=4\,500\ \mathrm{m^{2}}$ .

b)

$20\times(35+52+60+48+30+12)=20\times 237=4\,740\ \mathrm{m^{2}}$ .

c)

Chaque trapèze a pour aire $20\times\frac{\ell_{k}+\ell_{k+1}}{2}$ : $20\times\left(\frac{0}{2}+35+52+60+48+30+\frac{12}{2}\right)=20\times 231=4\,620\ \mathrm{m^{2}}$ . C'est exactement la moyenne des deux estimations précédentes, $\frac{4\,500+4\,740}{2}$ : les erreurs des rectangles, de sens opposés, se compensent.

d)

$V\approx 4\,620\times 3{,}5=16\,170\ \mathrm{m^{3}}$ .

e)

Chaque jour, une couche de $0{,}005\ \mathrm{m}$ sur $4\,620\ \mathrm{m^{2}}$ , soit $23{,}1\ \mathrm{m^{3}}$ ; en $30$ jours, $693\ \mathrm{m^{3}}$ , environ $4{,}3\ \%$ du volume. On a supposé que la surface ne diminue pas quand le niveau baisse, ce qui est raisonnable pour une baisse de quinze centimètres.

Exercice 15 : Compter les cas d'une épidémie avec une intégrale

Lors d'une épidémie, le nombre de nouveaux cas par jour est modélisé par $n(t)=50t\,\mathrm{e}^{-0{,}1t}$ , où $t$ est le nombre de jours écoulés depuis le premier cas. Le nombre total de cas entre les jours $a$ et $b$ est $\int_{a}^{b}n(t)\,dt$ .

a) Déterminez le jour du pic des nouveaux cas et leur nombre ce jour-là, à l'unité.
b) Vérifiez que $F(t)=-500(t+10)\,\mathrm{e}^{-0{,}1t}$ est une primitive de $n$ .
c) Calculez le nombre total de cas pendant les $30$ premiers jours.
d) Vers quel nombre total de cas l'épidémie tend-elle ?
e) Quelle part de ce total survient avant le pic ?

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Réponses

a) Pic au jour $10$ : $\approx 184$ cas
b) $F'(t)=50t\,\mathrm{e}^{-0{,}1t}$ ✓
c) $\approx 4\,004$ cas
d) $5\,000$ cas
e) $\approx 26$ % avant le pic

a)

$n'(t)=50\,\mathrm{e}^{-0{,}1t}+50t\times(-0{,}1)\mathrm{e}^{-0{,}1t}=50\,\mathrm{e}^{-0{,}1t}(1-0{,}1t)$ , du signe de $1-0{,}1t$ : maximum en $t=10$ . $n(10)=500\,\mathrm{e}^{-1}\approx 184$ nouveaux cas.

b)

$F'(t)=-500\,\mathrm{e}^{-0{,}1t}-500(t+10)\times(-0{,}1)\mathrm{e}^{-0{,}1t}=\mathrm{e}^{-0{,}1t}\left(-500+50t+500\right)=50t\,\mathrm{e}^{-0{,}1t}=n(t)$ ✓. Vérifier une primitive donnée ne demande qu'une dérivation.

c)

$F(30)-F(0)=-500\times 40\,\mathrm{e}^{-3}+500\times 10=5\,000-20\,000\,\mathrm{e}^{-3}\approx 5\,000-996=4\,004$ cas.

d)

$F(t)=-500(t+10)\mathrm{e}^{-0{,}1t}$ tend vers $0$ par croissances comparées, donc $F(t)-F(0)$ tend vers $5\,000$ cas.

e)

Avant le pic : $F(10)-F(0)=5\,000-10\,000\,\mathrm{e}^{-1}\approx 1\,321$ cas, soit $26\ \%$ du total. Les trois quarts des cas surviennent APRÈS le pic : la décroissance, plus lente que la montée, dure bien plus longtemps. Annoncer la fin de l'épidémie au moment du pic est une erreur.

Exercice 16 : La fonction aire est une primitive

On considère la fonction $f$ définie sur $[0\,;3]$ par $f(t)=t^{2}+1$ , continue, positive et croissante, et pour $x\in[0\,;3]$ on note $F(x)=\int_{0}^{x}f(t)\,dt$ , l'aire sous la courbe entre $0$ et $x$ . La figure montre, en grossissant la bande, l'aire comprise entre $x$ et $x+h$ et deux rectangles de base $h$ .

a) Soit $x$ et $h>0$ tels que $0\leq x<x+h\leq 3$ . Justifiez l'encadrement $h\,f(x)\leq F(x+h)-F(x)\leq h\,f(x+h)$ . Donnez les deux bornes pour $x=1$ et $h=0{,}1$ .
b) Déduisez-en que $F$ est dérivable en $x$ et que $F'(x)=f(x)$ , pour un accroissement $h>0$ . Que valent $F'(1)$ et $F'(2)$ ?
c) Vérifiez que $x\mapsto\frac{x^{3}}{3}+x$ est une primitive de $f$ qui s'annule en $0$ , et déduisez-en que c'est $F$ . Calculez $F(1{,}1)-F(1)$ au dix-millième et contrôlez l'encadrement du a).
d) On pose maintenant $G(x)=\int_{0}^{x}\frac{1}{1+t^{2}}\,dt$ pour $x\geq 0$ , une fonction dont vous ne connaissez aucune primitive explicite. Calculez $G'(x)$ , $G'(0)$ et $G'(1)$ , puis étudiez les variations et la convexité de $G$ sur $[0\,;+\infty[$ .
e) En comparant $\frac{1}{1+t^{2}}$ à des constantes sur $[0\,;1]$ , encadrez $G(1)$ entre deux nombres simples.

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Réponses

a) $f$ croissante : $h\,f(x)\leq F(x+h)-F(x)\leq h\,f(x+h)$ ; bornes $0{,}2$ et $0{,}221$
b) Taux d'accroissement coincé, $f$ continue : $F'(x)=f(x)$ ; $F'(1)=2$ , $F'(2)=5$
c) $F(x)=\frac{x^{3}}{3}+x$ ; $F(1{,}1)-F(1)\approx 0{,}2103$ , dans $[0{,}2\,;0{,}221]$
d) $G'(x)=\frac{1}{1+x^{2}}$ , $G'(0)=1$ , $G'(1)=\frac{1}{2}$ ; $G$ croissante et concave
e) $\frac{1}{2}\leq G(1)\leq 1$

a)

Sur $[x\,;x+h]$ , $f$ est croissante, donc $f(x)\leq f(t)\leq f(x+h)$ pour tout $t$ de l'intervalle. L'aire $F(x+h)-F(x)=\int_{x}^{x+h}f(t)\,dt$ , par la relation de Chasles, est donc comprise entre celle du rectangle de base $h$ et de hauteur $f(x)$ et celle du rectangle de base $h$ et de hauteur $f(x+h)$ : c'est l'encadrement demandé, et la figure le montre. Pour $x=1$ et $h=0{,}1$ : $0{,}1\times f(1)=0{,}1\times 2=0{,}2$ et $0{,}1\times f(1{,}1)=0{,}1\times 2{,}21=0{,}221$ .

b)

On divise par $h>0$ , ce qui ne change pas le sens : $f(x)\leq\frac{F(x+h)-F(x)}{h}\leq f(x+h)$ . Quand $h$ tend vers $0$ , $f(x+h)$ tend vers $f(x)$ parce que $f$ est continue : le taux d'accroissement, coincé entre deux quantités qui tendent vers $f(x)$ , tend lui aussi vers $f(x)$ . C'est exactement dire que $F$ est dérivable en $x$ avec $F'(x)=f(x)$ . (Pour $h<0$ , le même raisonnement s'écrit sur $[x+h\,;x]$ .) Donc $F'(1)=f(1)=2$ et $F'(2)=f(2)=5$ , SANS avoir calculé $F$ : c'est tout l'intérêt du théorème, la dérivée de l'aire est la hauteur de la courbe au bord mobile.

c)

La dérivée de $\frac{x^{3}}{3}+x$ est $x^{2}+1=f(x)$ , et elle vaut $0$ en $0$ . $F$ est aussi une primitive de $f$ (question b) nulle en $0$ ; deux primitives diffèrent d'une constante, fixée ici par la valeur en $0$ : $F(x)=\frac{x^{3}}{3}+x$ . On retrouve au passage la formule $\int_{a}^{b}f=F(b)-F(a)$ , qui n'est qu'une conséquence de ce théorème. Alors $F(1{,}1)-F(1)=\frac{1{,}331-1}{3}+0{,}1\approx 0{,}2103$ , bien compris entre $0{,}2$ et $0{,}221$ .

d)

La fonction $t\mapsto\frac{1}{1+t^{2}}$ est continue sur $[0\,;+\infty[$ , donc le théorème s'applique : $G'(x)=\frac{1}{1+x^{2}}$ , et $G'(0)=1$ , $G'(1)=\frac{1}{2}$ . Comme $G'(x)>0$ , $G$ est strictement croissante : l'aire augmente quand on recule le bord. $G'$ est décroissante sur $[0\,;+\infty[$ (son dénominateur croît), donc $G$ est CONCAVE ; on peut aussi dériver : $G''(x)=\frac{-2x}{\left(1+x^{2}\right)^{2}}\leq 0$ . Aucune formule de $G$ n'a été nécessaire.

e)

Sur $[0\,;1]$ , $1\leq 1+t^{2}\leq 2$ , donc $\frac{1}{2}\leq\frac{1}{1+t^{2}}\leq 1$ . En intégrant sur un intervalle de longueur $1$ : $\frac{1}{2}\leq G(1)\leq 1$ . On peut montrer, au-delà du programme, que $G(1)=\frac{\pi}{4}\approx 0{,}785$ : c'est aussi l'aire du quart de disque de rayon $1$ que l'exercice suivant estime par la méthode de Monte-Carlo.

À retenir : si $f$ est continue, $x\mapsto\int_{a}^{x}f(t)\,dt$ est LA primitive de $f$ qui s'annule en $a$ . Pour dériver une aire, on n'a pas besoin de la calculer.

Exercice 17 : Estimer une aire, et le nombre pi, par la méthode de Monte-Carlo

On choisit au hasard un point $M(x\,;y)$ dans le carré $[0\,;1]\times[0\,;1]$ , chaque zone du carré ayant une chance d'être touchée proportionnelle à son aire. La fonction Python ci-dessous répète l'expérience $n$ fois et renvoie la proportion de points tombés dans le quart de disque de centre l'origine et de rayon $1$ . La figure montre $64$ tirages.

On admet que, pour $n$ assez grand, la proportion observée $f$ est à moins de $\frac{1}{\sqrt{n}}$ de la proportion théorique dans au moins $95\ \%$ des cas.

from random import random

def monte_carlo(n):
    k = 0
    for i in range(n):
        x = random()
        y = random()
        if x**2 + y**2 <= 1:
            k = k + 1
    return k / n

a) Quelle condition sur $x$ et $y$ traduit « $M$ est dans le quart de disque » ? Pourquoi la proportion théorique de points dans le quart de disque vaut-elle $\frac{\pi}{4}$ ? Donnez-en une valeur approchée au millième.
b) Un appel monte_carlo(10000) renvoie $0{,}7862$ . Déduisez-en une estimation de $\pi$ .
c) Donnez l'intervalle de précision $\left[f-\frac{1}{\sqrt{n}}\,;f+\frac{1}{\sqrt{n}}\right]$ de la proportion, puis l'encadrement de $\pi$ qui s'en déduit.
d) Combien de points faudrait-il tirer pour que cet encadrement de $\pi$ ait une demi-largeur de $0{,}01$ au plus ?
e) On veut estimer $I=\int_{0}^{1}\mathrm{e}^{-x^{2}}\,dx$ , dont on ne connaît aucune primitive explicite. Quelle ligne du programme faut-il modifier, et comment ? Avec $10\,000$ points, le programme modifié renvoie $0{,}7473$ : quelle estimation de $I$ en tirez-vous, avec quelle précision ?

Voir la correction

Réponses

a) $x^{2}+y^{2}\leq 1$ ; rapport des aires $\frac{\pi}{4}\approx 0{,}785$
b) $\pi\approx 4\times 0{,}7862=3{,}1448$
c) Proportion dans $[0{,}7762\,;0{,}7962]$ ; $\pi$ dans $[3{,}1048\,;3{,}1848]$
d) $n\geq 160\,000$
e) Test if y <= exp(-x**2) ; $I\approx 0{,}7473$ à $0{,}01$ près

a)

$M$ est dans le quart de disque lorsque sa distance à l'origine est au plus $1$ , soit $\sqrt{x^{2}+y^{2}}\leq 1$ , c'est-à-dire $x^{2}+y^{2}\leq 1$ : c'est le test du programme. Le quart de disque a pour aire $\frac{\pi\times 1^{2}}{4}=\frac{\pi}{4}$ , le carré a pour aire $1$ ; comme les points tombent partout avec une chance proportionnelle à l'aire, la proportion théorique est le RAPPORT DES AIRES, $\frac{\pi/4}{1}=\frac{\pi}{4}\approx 0{,}785$ .

b)

La proportion observée estime $\frac{\pi}{4}$ , donc $\pi\approx 4\times 0{,}7862=3{,}1448$ . Le facteur $4$ est l'erreur la plus fréquente à oublier : la proportion estime un QUART de $\pi$ .

c)

Avec $n=10\,000$ , $\frac{1}{\sqrt{n}}=\frac{1}{100}=0{,}01$ . La proportion théorique est donc, avec une confiance de $95\ \%$ , dans $[0{,}7762\,;0{,}7962]$ , et $\pi=4\times\frac{\pi}{4}$ dans $[3{,}1048\,;3{,}1848]$ . La vraie valeur $3{,}14159\ldots$ y est bien, mais l'encadrement est large : $10\,000$ tirages ne garantissent même pas la deuxième décimale.

d)

La demi-largeur sur $\pi$ vaut $4\times\frac{1}{\sqrt{n}}$ . On veut $\frac{4}{\sqrt{n}}\leq 0{,}01$ , soit $\sqrt{n}\geq 400$ et $n\geq 160\,000$ . Pour gagner UNE décimale, il faut multiplier $n$ par $100$ : la précision ne progresse qu'en $\frac{1}{\sqrt{n}}$ . C'est la faiblesse de la méthode de Monte-Carlo en dimension $1$ , où la méthode des trapèzes de l'exercice 5 fait bien mieux avec quelques points.

e)

On remplace le test par « $M$ est sous la courbe de $x\mapsto\mathrm{e}^{-x^{2}}$ », soit la ligne if y <= exp(-x**2):, sans oublier d'importer exp (programme de la correction). La courbe reste dans le carré puisque $0<\mathrm{e}^{-x^{2}}\leq 1$ sur $[0\,;1]$ , et l'aire sous la courbe est $I$ , divisée par l'aire $1$ du carré. Donc $I\approx 0{,}7473$ , avec la précision $\pm 0{,}01$ : $0{,}7373\leq I\leq 0{,}7573$ au niveau $95\ \%$ . Pour comparaison, la valeur exacte, obtenue par un calcul numérique fin, est $I\approx 0{,}7468$ . La méthode n'a besoin d'aucune primitive : seulement de savoir dire si un point est sous la courbe.

À retenir : une proportion de points tombés dans une région estime le rapport de son aire à celle du cadre, et la précision n'est que de l'ordre de $\frac{1}{\sqrt{n}}$ .

from random import random
from math import exp

def monte_carlo_gauss(n):
    k = 0
    for i in range(n):
        x = random()
        y = random()
        if y <= exp(-x**2):
            k = k + 1
    return k / n

Exercice 18 : Deux courbes de Lorenz et l'indice de Gini par une intégrale

On classe la population d'un pays du plus pauvre au plus riche. La courbe de Lorenz associe à la part $x$ de la population la plus pauvre la part $L(x)$ du revenu total qu'elle détient, $x$ et $L(x)$ étant dans $[0\,;1]$ . Une fonction $L$ modélise une courbe de Lorenz si elle est continue, croissante et convexe sur $[0\,;1]$ , avec $L(0)=0$ et $L(1)=1$ .

L'indice de Gini est le double de l'aire comprise entre la bissectrice $y=x$ et la courbe : $G=2\int_{0}^{1}\left(x-L(x)\right)dx$ . On étudie deux pays fictifs, $L_{A}(x)=0{,}4x+0{,}6x^{2}$ et $L_{B}(x)=\frac{\mathrm{e}^{2x}-1}{\mathrm{e}^{2}-1}$ .

a) Vérifiez que $L_{A}$ modélise une courbe de Lorenz. Que vaut $L_{A}'(0)$ ?
b) Calculez $L_{A}(0{,}5)$ et $1-L_{A}(0{,}9)$ , puis traduisez chaque résultat par une phrase sur la répartition des revenus.
c) Montrez que $x-L_{A}(x)=0{,}6x(1-x)$ et déduisez-en la position de la courbe par rapport à la bissectrice. Pour quelle valeur de $x$ l'écart est-il maximal, et que vaut-il ?
d) Calculez l'indice de Gini $G_{A}$ .
e) Calculez $G_{B}$ au millième, et la part du revenu détenue par la moitié la plus pauvre du pays B, en pourcentage au dixième. Lequel des deux pays est le plus inégalitaire ?

Tape tes réponses, la page te dit juste ou faux 0/11

a)

L_{A}'(0)

L_{A}

est

b)

Part des 50 % les plus pauvres %

Part des 10 % les plus riches %

c)

Position de la courbe

x

de l'écart maximal

Écart maximal

d)

G_{A}

e)

G_{B}

Part de la moitié pauvre (B) %

Pays le plus inégalitaire

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Réponses

a) $L_{A}(0)=0$ , $L_{A}(1)=1$ , $L_{A}'(x)=0{,}4+1{,}2x>0$ , $L_{A}''=1{,}2>0$ ; $L_{A}'(0)=0{,}4$
b) $L_{A}(0{,}5)=0{,}35$ : $35\ \%$ du revenu ; $1-L_{A}(0{,}9)=0{,}154$ : $15{,}4\ \%$
c) $x-L_{A}(x)=0{,}6x(1-x)\geq 0$ : sous la bissectrice ; écart maximal $0{,}15$ en $x=0{,}5$
d) $G_{A}=0{,}2$
e) $G_{B}=\frac{2}{\mathrm{e}^{2}-1}\approx 0{,}313$ ; $L_{B}(0{,}5)\approx 26{,}9\ \%$ ; B est le plus inégalitaire

a)

$L_{A}$ est un polynôme, donc continue. $L_{A}(0)=0$ et $L_{A}(1)=0{,}4+0{,}6=1$ . $L_{A}'(x)=0{,}4+1{,}2x>0$ sur $[0\,;1]$ : $L_{A}$ est croissante, et $L_{A}'(0)=0{,}4$ . Enfin $L_{A}''(x)=1{,}2>0$ : $L_{A}$ est convexe. Les cinq conditions sont réunies. La convexité n'est pas un détail technique : $L'$ croissante signifie que chaque tranche de population détient une part du revenu plus grande que la tranche plus pauvre qui la précède, ce qui est la définition même d'un classement du plus pauvre au plus riche.

b)

$L_{A}(0{,}5)=0{,}2+0{,}6\times 0{,}25=0{,}35$ : la moitié la plus pauvre de la population détient $35\ \%$ du revenu total. $L_{A}(0{,}9)=0{,}36+0{,}6\times 0{,}81=0{,}846$ , donc $1-L_{A}(0{,}9)=0{,}154$ : les $10\ \%$ les plus riches détiennent $15{,}4\ \%$ du revenu. Le piège est de lire $L(0{,}9)$ comme la part des plus riches : c'est celle des $90\ \%$ les plus PAUVRES, et il faut passer au complément.

c)

$x-L_{A}(x)=x-0{,}4x-0{,}6x^{2}=0{,}6x-0{,}6x^{2}=0{,}6x(1-x)$ , positif sur $[0\,;1]$ : la courbe est SOUS la bissectrice, et ne la touche qu'en $0$ et $1$ . C'est vrai de toute courbe de Lorenz : une fonction convexe reste sous sa corde, ici le segment de $(0\,;0)$ à $(1\,;1)$ . L'écart $0{,}6x(1-x)$ est un trinôme maximal en $x=0{,}5$ , où il vaut $0{,}6\times 0{,}25=0{,}15$ . En ce point, $L_{A}'(0{,}5)=0{,}4+0{,}6=1$ : la pente vaut $1$ là où le revenu individuel égale le revenu moyen, donc la moitié de la population du pays A gagne moins que la moyenne.

d)

$G_{A}=2\int_{0}^{1}0{,}6\left(x-x^{2}\right)dx=1{,}2\left[\frac{x^{2}}{2}-\frac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{1}=1{,}2\times\frac{1}{6}=0{,}2$ . On retrouve la même valeur par $G=1-2\int_{0}^{1}L_{A}$ , avec $\int_{0}^{1}L_{A}=0{,}2+0{,}2=0{,}4$ . L'erreur classique est d'oublier le facteur $2$ : l'aire entre la bissectrice et la courbe vaut au plus $\frac{1}{2}$ , et c'est le facteur $2$ qui ramène l'indice entre $0$ (égalité parfaite) et $1$ .

e)

Une primitive de $\mathrm{e}^{2x}$ est $\frac{1}{2}\mathrm{e}^{2x}$ , donc $\int_{0}^{1}\left(\mathrm{e}^{2x}-1\right)dx=\frac{\mathrm{e}^{2}-1}{2}-1=\frac{\mathrm{e}^{2}-3}{2}$ et $\int_{0}^{1}L_{B}=\frac{\mathrm{e}^{2}-3}{2\left(\mathrm{e}^{2}-1\right)}$ . D'où $G_{B}=1-\frac{\mathrm{e}^{2}-3}{\mathrm{e}^{2}-1}=\frac{2}{\mathrm{e}^{2}-1}\approx 0{,}313$ . La moitié la plus pauvre détient $L_{B}(0{,}5)=\frac{\mathrm{e}-1}{\mathrm{e}^{2}-1}=\frac{1}{\mathrm{e}+1}\approx 0{,}269$ , soit $26{,}9\ \%$ , contre $35\ \%$ dans le pays A. Le pays B est le plus inégalitaire : son indice est plus grand et sa courbe, sur la figure, est plus éloignée de la bissectrice. Sur des données réelles, on ne connaît que quelques points de la courbe (quintiles, déciles) et l'on estime l'aire par des trapèzes ; une fonction modèle donne l'indice exactement.

À retenir : une courbe de Lorenz est convexe et sous la bissectrice ; l'indice de Gini est le DOUBLE de l'aire entre les deux, et une part des plus riches se lit par le complément $1-L(x)$ .

Exercice 19 : Primitives de la forme 2uu' et u'e^u

On rappelle que, si $u$ est dérivable, $\left(u^{2}\right)'=2uu'$ et $\left(\mathrm{e}^{u}\right)'=u'\mathrm{e}^{u}$ . Reconnaître l'une de ces formes, à un facteur constant près, donne une primitive sans calcul.

a) Déterminez la primitive $F$ de $f(x)=(2x+1)\left(x^{2}+x\right)$ sur $\mathbb{R}$ qui s'annule en $0$ , puis calculez $F(1)$ .
b) Déterminez une primitive de $g(x)=x\,\mathrm{e}^{x^{2}}$ sur $\mathbb{R}$ , puis calculez $\int_{0}^{1}g(x)\,dx$ au millième.
c) Déterminez une primitive de $h(x)=(1-2x)\,\mathrm{e}^{x-x^{2}}$ . Calculez $\int_{0}^{1}h(x)\,dx$ , puis l'aire, au millième, du domaine compris entre la courbe de $h$ et l'axe des abscisses sur $[0\,;1]$ .
d) Un élève affirme qu'une primitive de $\left(3x^{2}+1\right)^{2}$ est $\frac{\left(3x^{2}+1\right)^{3}}{3}$ . Dérivez sa proposition et concluez. Calculez ensuite $\int_{0}^{1}\left(3x^{2}+1\right)^{2}dx$ .
e) Calculez $\int_{0}^{2}x\,\mathrm{e}^{-\frac{x^{2}}{2}}\,dx$ au millième.

Voir la correction

Réponses

a) $F(x)=\frac{1}{2}\left(x^{2}+x\right)^{2}$ ; $F(1)=2$
b) $G(x)=\frac{1}{2}\mathrm{e}^{x^{2}}$ ; intégrale $\frac{\mathrm{e}-1}{2}\approx 0{,}859$
c) $H(x)=\mathrm{e}^{x-x^{2}}$ ; intégrale $0$ ; aire $2\left(\mathrm{e}^{1/4}-1\right)\approx 0{,}568$
d) Fausse : sa dérivée est $6x\left(3x^{2}+1\right)^{2}$ ; intégrale $4{,}8$
e) $1-\mathrm{e}^{-2}\approx 0{,}865$

a)

Avec $u(x)=x^{2}+x$ , on a $u'(x)=2x+1$ , donc $f=u'u=\frac{1}{2}\times 2uu'$ . Une primitive est $\frac{1}{2}u^{2}=\frac{1}{2}\left(x^{2}+x\right)^{2}$ , qui vaut $0$ en $0$ : c'est $F$ . Contrôle en dérivant : $\frac{1}{2}\times 2\left(x^{2}+x\right)(2x+1)=f(x)$ . Alors $F(1)=\frac{1}{2}\times 2^{2}=2$ . Développer $f$ en $2x^{3}+3x^{2}+x$ marchait aussi, mais la forme $2uu'$ évite le calcul et protège d'une erreur de développement.

b)

Avec $u(x)=x^{2}$ , $u'(x)=2x$ , donc $g=\frac{1}{2}u'\mathrm{e}^{u}$ et $G(x)=\frac{1}{2}\mathrm{e}^{x^{2}}$ est une primitive. $\int_{0}^{1}g=G(1)-G(0)=\frac{\mathrm{e}-1}{2}\approx 0{,}859$ . Le facteur $\frac{1}{2}$ compense le $2$ de $u'$ qui manque dans $g$ : l'oublier donne un résultat deux fois trop grand.

c)

Avec $u(x)=x-x^{2}$ , $u'(x)=1-2x$ : $h=u'\mathrm{e}^{u}$ exactement, et $H(x)=\mathrm{e}^{x-x^{2}}$ . $\int_{0}^{1}h=H(1)-H(0)=\mathrm{e}^{0}-\mathrm{e}^{0}=0$ . L'intégrale est nulle, mais l'aire ne l'est pas : $h$ est positive sur $\left[0\,;\frac{1}{2}\right]$ (car $1-2x\geq 0$ ) et négative sur $\left[\frac{1}{2}\,;1\right]$ , et les deux morceaux se compensent. L'aire vaut $\int_{0}^{1/2}h-\int_{1/2}^{1}h=2\left(\mathrm{e}^{1/4}-1\right)\approx 0{,}568$ , car $H\left(\frac{1}{2}\right)=\mathrm{e}^{1/4}$ . Une intégrale est une aire ALGÉBRIQUE : pour une aire, on coupe là où la fonction change de signe.

d)

La dérivée de $\frac{1}{3}\left(3x^{2}+1\right)^{3}$ est $\frac{1}{3}\times 3\left(3x^{2}+1\right)^{2}\times 6x=6x\left(3x^{2}+1\right)^{2}$ : il manque le facteur $6x$ , la proposition est FAUSSE. L'élève a traité $3x^{2}+1$ comme si c'était $x$ . Aucune des trois formes du programme ne s'applique ici, puisque $u'=6x$ n'apparaît pas : on développe. $\left(3x^{2}+1\right)^{2}=9x^{4}+6x^{2}+1$ , de primitive $\frac{9x^{5}}{5}+2x^{3}+x$ , donc $\int_{0}^{1}\left(3x^{2}+1\right)^{2}dx=\frac{9}{5}+2+1=4{,}8$ .

e)

Avec $u(x)=-\frac{x^{2}}{2}$ , $u'(x)=-x$ , donc $x\,\mathrm{e}^{-\frac{x^{2}}{2}}=-u'\mathrm{e}^{u}$ , de primitive $-\mathrm{e}^{-\frac{x^{2}}{2}}$ . Ainsi $\int_{0}^{2}x\,\mathrm{e}^{-\frac{x^{2}}{2}}\,dx=-\mathrm{e}^{-2}+\mathrm{e}^{0}=1-\mathrm{e}^{-2}\approx 0{,}865$ . Le signe moins est le piège : sans lui, on trouve une aire négative pour une fonction positive, ce qu'un contrôle de signe détecte immédiatement.

À retenir : on cherche $u$ , on calcule $u'$ , et on ajuste le facteur constant qui manque. Si c'est un facteur en $x$ qui manque, la forme ne s'applique pas.

Exercices corrigés : intégrales et calculs d'aires (maths complémentaires)

Rappel de cours

Calculs : les intégrales à calculer

Exercice 0.1 : Calculer une intégrale à l'aide d'une primitive : dix calculs directs

Partie A : Les bases (/50)

Exercice 1 : Primitives des fonctions usuelles

Exercice 2 : Calcul d'intégrales et propriétés

Exercice 3 : Puissance et énergie consommée

Exercice 4 : Aire entre deux courbes et le théorème d'Archimède

Exercice 5 : Encadrement par rectangles et méthode des trapèzes

Partie B : Niveau examen (/50)

Exercice 6 : Lecture graphique d'une quantité cumulée

Exercice 7 : Surplus du consommateur et prix plafond

Exercice 8 : Valeur actualisée d'un flux financier

Exercice 9 : L'aire sous l'hyperbole et la naissance du logarithme

Exercice 10 : Lecture critique des intégrales

Partie C : les classiques (/50)

Exercice 11 : De la vitesse de croissance à la taille d'une plante

Exercice 12 : Du coût marginal au coût total

Exercice 13 : Une aire sous l'exponentielle, en unités et en centimètres

Exercice 14 : L'aire d'un étang par la méthode des trapèzes

Exercice 15 : Compter les cas d'une épidémie avec une intégrale

Partie D : fonction aire, Monte-Carlo et inégalités (/40)

Exercice 16 : La fonction aire est une primitive

Exercice 17 : Estimer une aire, et le nombre pi, par la méthode de Monte-Carlo

Exercice 18 : Deux courbes de Lorenz et l'indice de Gini par une intégrale

Exercice 19 : Primitives de la forme 2uu' et u'e^u

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