Maths complémentaires, Terminale • Exercices corrigés à Montréal

Fiche de révision : fonctions et modèles d'évolution (maths complémentaires)

En maths complémentaires, une fonction n'est presque jamais étudiée pour elle-même : elle modélise une population, un capital, une concentration. Les questions portent donc autant sur l'INTERPRÉTATION que sur le calcul, et c'est là que se joue la note.

Cette fiche liste les huit erreurs qui reviennent, avec la phrase exacte qui les remet, l'arbre qui dit quel modèle reconnaître selon l'énoncé, la lecture du point d'inflexion comme changement de régime, et une croissance bactérienne décortiquée du temps de doublement jusqu'aux limites du modèle.

Le fil du chapitre

Un modèle exponentiel n'a pas de palier : il finit toujours par donner des valeurs absurdes. Savoir dire jusqu'où un modèle vaut fait autant partie de la réponse que le calcul lui-même, et c'est ce que les maths complémentaires évaluent.

Ce chapitre fait partie de Maths complémentaires en Terminale

Avant ce chapitre

Cette fiche suppose ces notions acquises. Si une méthode ci-dessous reste opaque, c'est presque toujours l'une d'elles qui manque, pas la fiche.

La fonction exponentiellePremière, Mathématiques Fiche

Remonter plus loin : la chaîne complète (10 chapitres) ↓

Le chemin de remédiation, du plus ancien au plus proche. Un élève qui reprend ce chapitre de zéro le reprend dans cet ordre.

1Généralités sur les fonctionsSeconde, Mathématiques
2Fonctions affines et systèmesSeconde, Mathématiques
3Algorithmique et PythonSeconde, Mathématiques
4Les suites numériquesPremière, Mathématiques
5La dérivationPremière, Mathématiques
6La fonction exponentiellePremière, Mathématiques
7La notion de fonctionTroisième, Mathématiques
8Les fonctions affinesTroisième, Mathématiques
9Équations, équations produit et inéquationsTroisième, Mathématiques
10Algorithmique et ScratchTroisième, Mathématiques

Notions couvertes

Fonction exponentielle
Taux de croissance continu
Temps de doublement
Asymptote horizontale
Point d'inflexion
Modèle logistique
Équation différentielle
Valeur moyenne d'une fonction
Domaine de validité d'un modèle
Dérivée d'une composée

L'essentiel

La croissance exponentielle et son temps de doublement

• Modèle $f(t)=A\mathrm{e}^{kt}$ avec $k>0$ : $A$ est la valeur INITIALE, $k$ le taux de croissance CONTINU.
• Temps de doublement : $\frac{\ln 2}{k}$ . Il ne dépend PAS de $A$ : une population double toujours en la même durée, quelle que soit sa taille.
• Attention, $k$ n'est pas le taux effectif : un taux continu $k$ correspond à un taux par période de $\mathrm{e}^{k}-1$ , qui lui est toujours supérieur.
• Le modèle n'a ni palier ni maximum : il finit par dépasser toute valeur, ce qui borne son domaine de validité.

Les quatre points marqués sont espacés de la MÊME durée en abscisse, et leurs ordonnées doublent à chaque fois :

10

20

40

80

. Le temps de doublement ne dépend donc pas du point de départ.

Repère utile pour la lecture d'un énoncé : $k=0{,}05$ correspond à environ $5{,}1\ \%$ par période, écart négligeable; $k=0{,}35$ correspond à $41{,}9\ \%$ , écart considérable. Plus $k$ est grand, plus l'écart compte.

Décroissance vers un palier, et pas vers zéro

• Modèle $f(t)=L+A\mathrm{e}^{-kt}$ avec $k>0$ : la fonction tend vers $L$ , pas vers $0$ .
• $L$ est le PALIER, c'est-à-dire l'asymptote horizontale : température ambiante, concentration résiduelle, effectif d'équilibre.
• $A$ est l'ÉCART INITIAL au palier, et il est multiplié par $\mathrm{e}^{-k}$ à chaque unité de temps.
• Ce modèle est exactement la solution de $y'=-k(y-L)$ , c'est-à-dire de $y'=ay+b$ avec $a=-k$ et $L=-\frac{b}{a}$ .

Le point d'inflexion marque un changement de régime

• Un point d'inflexion est le point où la COURBURE change, c'est-à-dire où $f''$ change de signe.
• Sur une courbe de croissance en S, il marque le moment où le rythme cesse d'ACCÉLÉRER et commence à ralentir.
• Ce n'est ni un maximum ni un minimum : la fonction continue de croître, c'est sa VITESSE de croissance qui est maximale à cet instant.
• Pour un modèle logistique de palier $L$ , l'inflexion a lieu exactement à mi-hauteur, en $f(t)=\frac{L}{2}$ .

Un modèle ne vaut que sur son domaine d'ajustement

• Un modèle est ajusté sur des données observées : rien ne garantit sa validité en dehors de l'intervalle où ces données existent.
• Une croissance exponentielle prolongée donne toujours des valeurs absurdes : population supérieure à la masse de la Terre, capital dépassant le produit mondial.
• La question « ce modèle reste-t-il valable » attend une réponse CHIFFRÉE : on calcule la valeur prédite et on la compare à une borne physique.
• Le modèle logistique corrige précisément ce défaut, en introduisant un palier de saturation.

C'est une question de commentaire, présente dans presque tous les sujets de maths complémentaires. Une réponse du type « le modèle n'est plus valable » sans calcul ne rapporte pas le point.

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Confondre le taux continu et le taux effectif par période

1 à 2 points, sur une question d'interprétation

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $f(t)=500\mathrm{e}^{0{,}35t}$ , donc la population augmente de $35\ \%$ par heure. »

Ce qu'il faut écrire

« Le taux EFFECTIF par heure vaut $\mathrm{e}^{0{,}35}-1\approx 0{,}419$ , soit environ $41{,}9\ \%$ . Le coefficient $0{,}35$ est un taux CONTINU, qui n'est pas directement un pourcentage. »

Pourquoi : La croissance continue capitalise en permanence : sur une période, l'effet cumulé dépasse le taux nominal. L'écart est faible pour de petits $k$ et devient important au-delà de $0{,}1$ .

2. Faire dépendre le temps de doublement de la valeur initiale

1 point, et l'exploitation du modèle est faussée

Ce qu'il ne faut pas écrire

« La population de départ est plus grande, donc elle mettra plus de temps à doubler. »

Ce qu'il faut écrire

« Le temps de doublement vaut $\frac{\ln 2}{k}$ : il ne contient PAS $A$ . Une population double toujours en la même durée, qu'elle parte de $500$ ou de $50\,000$ . »

Pourquoi : L'équation $A\mathrm{e}^{kt}=2A$ se simplifie par $A$ dès la première ligne : c'est exactement ce qui caractérise une croissance exponentielle, par opposition à une croissance linéaire.

3. Annoncer une limite nulle quand il y a un palier

1 à 2 points, et l'interprétation physique disparaît

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $f(t)=20+60\mathrm{e}^{-0{,}3t}$ décroît, donc sa limite est $0$ . »

Ce qu'il faut écrire

« Seul le terme $60\mathrm{e}^{-0{,}3t}$ tend vers $0$ : la limite de $f$ vaut $20$ , qui est le PALIER. La droite d'équation $y=20$ est asymptote horizontale. »

La courbe s'aplatit sur la droite du bas, qui n'est pas l'axe des abscisses : elle est vingt unités au-dessus. C'est le terme constant du modèle, et il survit au passage à la limite.

Pourquoi : Le terme constant ne dépend pas de $t$ : il subsiste à la limite. C'est lui qui porte le sens du modèle, température ambiante ou concentration résiduelle, et l'oublier vide la question de son contenu.

4. Extrapoler un modèle bien au-delà de son domaine

1 à 2 points, systématiquement prévus au barème

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Le modèle donne $N(48)=9{,}9\times 10^{9}$ bactéries au bout de deux jours. »

Ce qu'il faut écrire

« Ce chiffre dépasse toute capacité du milieu de culture : le modèle exponentiel, ajusté sur les premières heures, n'est plus valable à $48\ \mathrm{h}$ . Un modèle logistique, avec palier, serait plus réaliste. »

Pourquoi : Un modèle exponentiel n'a aucune borne supérieure : prolongé assez loin, il produit toujours une absurdité. La question de validité attend un calcul, puis une comparaison à une limite physique.

5. Confondre un point d'inflexion et un maximum

1 à 2 points, sur la question d'interprétation la plus fréquente du chapitre

Ce qu'il ne faut pas écrire

« La courbe présente un point d'inflexion, donc la population atteint là son maximum. »

Ce qu'il faut écrire

« Au point d'inflexion, la fonction continue de CROÎTRE : c'est sa VITESSE de croissance qui est maximale. Le maximum de $f$ correspondrait à une annulation de $f'$ , pas de $f''$ . »

Le point marqué est à mi-hauteur du palier : la courbe y est la plus raide, et pourtant elle continue de monter ensuite. Un maximum serait un sommet, ce que la courbe n'atteint jamais.

Pourquoi : L'inflexion se lit sur la dérivée seconde et marque un changement de courbure, pas de sens de variation. Sur une courbe en S, elle indique le moment où la diffusion est la plus rapide, bien avant la saturation.

6. Additionner des pourcentages successifs

1 point, et l'erreur grandit avec le nombre de périodes

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Le prix augmente de $10\ \%$ puis encore de $10\ \%$ : au total $20\ \%$ . »

Ce qu'il faut écrire

« Les coefficients se MULTIPLIENT : $1{,}10\times 1{,}10=1{,}21$ , soit une hausse totale de $21\ \%$ . »

Pourquoi : Un pourcentage porte sur la valeur du moment, qui a déjà changé. C'est la même raison qui fait qu'une baisse de $20\ \%$ suivie d'une hausse de $20\ \%$ ne ramène pas au prix initial, mais à $96\ \%$ de celui-ci.

7. Prendre la moyenne des valeurs extrêmes pour la valeur moyenne

1 point, et un écart qui peut dépasser $20\ \%$

Ce qu'il ne faut pas écrire

« La valeur moyenne de $f$ sur $[0\,;4]$ vaut $\frac{f(0)+f(4)}{2}$ . »

Ce qu'il faut écrire

« La valeur moyenne est $\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}f(t)\,dt$ . La moyenne des extrémités ne coïncide avec elle que pour une fonction AFFINE, jamais pour une exponentielle. »

Pourquoi : La valeur moyenne tient compte de toute la courbe, pas de deux points. Pour une fonction convexe, la moyenne des extrémités la surestime toujours, exactement comme une corde est au-dessus de sa courbe.

8. Oublier le facteur intérieur en dérivant une exponentielle composée

1 point, et la vitesse de croissance est trois fois trop grande

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $f(t)=500\mathrm{e}^{0{,}35t}$ donc $f'(t)=500\mathrm{e}^{0{,}35t}$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $\left(\mathrm{e}^{u}\right)'=u'\mathrm{e}^{u}$ , donc $f'(t)=0{,}35\times 500\mathrm{e}^{0{,}35t}=175\mathrm{e}^{0{,}35t}$ . »

Pourquoi : Le coefficient de $t$ dans l'exposant ressort devant à la dérivation. C'est aussi ce qui donne la relation $f'=kf$ , caractéristique de tout modèle exponentiel.

Quelle méthode choisir

Quel modèle reconnaître selon l'énoncé

On lit la phrase qui décrit l'évolution : elle désigne un modèle et un seul.

Si « augmente de $t\ \%$ par période » → modèle GÉOMÉTRIQUE discret, de raison $1+\frac{t}{100}$ , ou exponentiel continu si l'énoncé parle d'un temps continu
Si « la vitesse de croissance est proportionnelle à l'effectif » → $f'=kf$ , donc $f(t)=A\mathrm{e}^{kt}$ : croissance exponentielle sans palier
Si « tend vers une valeur limite » ou « se stabilise » → modèle $f(t)=L+A\mathrm{e}^{-kt}$ , solution de $y'=-k(y-L)$

Exemple : refroidissement, dilution, effectif d'équilibre
Si « la croissance ralentit à l'approche d'une saturation » → modèle LOGISTIQUE, courbe en S avec un point d'inflexion à mi-hauteur du palier
Si l'énoncé donne une équation différentielle $y'=ay+b$ → solutions $y=C\mathrm{e}^{at}-\frac{b}{a}$ , la constante venant de la condition initiale
Si l'énoncé demande une consommation totale ou une quantité cumulée → intégrale du débit sur la période, et valeur moyenne en divisant par la durée

La question finale de ces exercices est presque toujours la même : « ce modèle vous paraît-il réaliste à long terme ». On y répond en calculant une valeur prédite lointaine et en la comparant à une borne concrète.

Quelle question, quel outil

Le mot employé désigne le calcul, et il n'y en a que six sur ce chapitre.

Si « au bout de combien de temps atteint-on la valeur $S$ » → résoudre l'équation par le logarithme, en isolant l'exponentielle AVANT

Exemple : $500\mathrm{e}^{0{,}35t}=10\,000$ donne $t=\frac{\ln 20}{0{,}35}\approx 8{,}6\ \mathrm{h}$
Si « temps de doublement » ou « demi-vie » → $\frac{\ln 2}{k}$ dans les deux cas, au signe de $k$ près, et indépendant de la valeur initiale
Si « taux d'évolution par période » → $\mathrm{e}^{k}-1$ , converti en pourcentage, et non $k$ lui-même
Si « vitesse de croissance » à un instant donné → dériver, sans oublier le facteur intérieur, puis évaluer
Si « moment où la croissance est la plus rapide » → point d'INFLEXION, obtenu en annulant $f''$ avec changement de signe
Si « valeur moyenne sur une période » → $\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}f$ , jamais la moyenne des valeurs extrêmes

Toutes ces questions se traitent à la calculatrice, mais la rédaction attend l'expression LITTÉRALE avant la valeur numérique. Un résultat sans formule ne rapporte que la moitié des points.

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Exploiter un modèle exponentiel de bout en bout

Quand l'utiliser : L'exercice type du chapitre : une croissance donnée, plusieurs grandeurs à en tirer.

1 Identifier $A$ et $k$ dans l'expression, et dire ce que représente chacun avec son unité.
2 Pour un temps de doublement ou une demi-vie, écrire l'équation $f(t)=2A$ ou $f(t)=\frac{A}{2}$ et la résoudre en simplifiant par $A$ .
3 Pour un taux par période, calculer $\mathrm{e}^{k}-1$ et le convertir en pourcentage.
4 Pour un seuil, isoler l'exponentielle AVANT de prendre le logarithme.
5 Donner chaque résultat avec son unité et un nombre raisonnable de chiffres significatifs.
6 Terminer par un commentaire sur la validité du modèle, appuyé sur une valeur calculée.

Phrase de conclusion

Le temps de doublement vaut $\frac{\ln 2}{0{,}35}\approx 2{,}0\ \mathrm{h}$ , et il ne dépend pas de la population initiale; le taux effectif par heure est $\mathrm{e}^{0{,}35}-1\approx 42\ \%$ .

Le piège : Prendre le logarithme de l'équation complète sans avoir isolé l'exponentielle. On aboutit alors au logarithme d'une somme, qui ne se décompose pas, et le calcul est bloqué.

Barème : 0,5 point par grandeur identifiée, 1 point pour chaque résolution avec sa formule littérale, 1 point pour le commentaire final.

Commenter la validité d'un modèle

Quand l'utiliser : La dernière question de presque tous les sujets, et souvent la moins bien traitée.

1 Rappeler sur quel INTERVALLE le modèle a été ajusté, tel que l'énoncé le donne.
2 Calculer la valeur prédite à la date demandée, en dehors de cet intervalle.
3 Comparer cette valeur à une borne CONCRÈTE : capacité d'un milieu, population mondiale, taille d'une salle.
4 Conclure explicitement que le modèle n'est plus adapté, en citant le nombre obtenu.
5 Proposer une alternative : modèle logistique avec palier, ou réajustement sur des données récentes.
6 Ne pas conclure que le calcul est faux : le calcul est juste, c'est le modèle qui ne l'est plus.

Phrase de conclusion

Le modèle prédit $9{,}9\times 10^{9}$ bactéries au bout de $48\ \mathrm{h}$ , ce qui dépasse largement la capacité du milieu de culture : il n'est donc plus valable sur cette durée, et un modèle logistique avec palier serait plus réaliste.

Le piège : Répondre « le modèle n'est pas réaliste » sans aucun chiffre. La valeur prédite doit être calculée et comparée à quelque chose : c'est le calcul, et non l'affirmation, qui est noté.

Barème : 1 point pour la valeur prédite calculée, 1 point pour la comparaison à une borne concrète, 0,5 point pour l'alternative proposée.

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

Vérifier une durée de seuil par substitution

Remplacer la date trouvée dans le modèle doit redonner la valeur seuil de l'énoncé, à l'arrondi près. Cinq secondes à la calculatrice.

$500\mathrm{e}^{0{,}35\times 8{,}56}\approx 10\,000$ : la durée trouvée est validée.
Contrôler que le taux effectif dépasse le taux continu

$\mathrm{e}^{k}-1$ est toujours SUPÉRIEUR à $k$ pour $k>0$ . Un taux effectif inférieur signale une erreur de sens.

$k=0{,}35$ donne $41{,}9\ \%$ et non $35\ \%$ : l'écart croît avec $k$ .
Vérifier la limite en regardant le terme constant

Dans $L+A\mathrm{e}^{-kt}$ , seul le terme exponentiel s'annule. La limite est donc le terme constant, qui se lit directement dans l'expression.

$20+60\mathrm{e}^{-0{,}3t}$ tend vers $20$ ; annoncer $0$ revient à supprimer le premier terme.
Comparer la valeur prédite à une borne concrète

Avant de conclure sur la validité d'un modèle, chercher une grandeur de référence : la population mondiale, la capacité d'un récipient, la surface d'un terrain.

Dix milliards de bactéries dans un tube à essai : le nombre est plausible en biologie, mais pas la vitesse à laquelle le modèle y arrive.
Relire ce que le pourcentage mesure

Un taux de croissance porte sur la valeur du moment. Avant d'additionner deux pourcentages, se demander s'ils portent sur la même base : c'est presque jamais le cas.

Deux hausses de $10\ \%$ donnent $21\ \%$ ; une baisse puis une hausse de $20\ \%$ laissent $96\ \%$ du prix initial.

L'exercice type décortiqué

Une croissance bactérienne, comme à l'examen

Une culture de bactéries est modélisée par $N(t)=500\,\mathrm{e}^{0{,}35t}$ , où $t$ est le temps en heures et $N$ le nombre de bactéries. Le modèle a été ajusté sur les huit premières heures.

1. Donner la population initiale. 2. Calculer le temps de doublement. 3. Donner le taux de croissance effectif par heure. 4. Au bout de combien de temps la population atteint-elle $10\,000$ bactéries ? 5. Le modèle est-il encore valable au bout de $48\ \mathrm{h}$ ?

Étape 1

$N(0)=500\,\mathrm{e}^{0}=500$ : la population initiale est de $500$ bactéries.

Pourquoi

Le coefficient devant l'exponentielle EST la valeur initiale, puisque l'exponentielle vaut $1$ en zéro. C'est la lecture la plus rapide d'un modèle exponentiel.

Étape 2

Temps de doublement $T$ : $500\mathrm{e}^{0{,}35T}=1000$ , soit $\mathrm{e}^{0{,}35T}=2$ , donc $T=\frac{\ln 2}{0{,}35}\approx 2{,}0\ \mathrm{h}$ .

Pourquoi

Le $500$ se simplifie dès la deuxième ligne : c'est cette simplification qui montre que le temps de doublement ne dépend pas de la population de départ, et il faut la faire apparaître.

Étape 3

Taux effectif par heure : $\frac{N(t+1)}{N(t)}=\mathrm{e}^{0{,}35}\approx 1{,}419$ , donc une augmentation de $\mathrm{e}^{0{,}35}-1\approx 0{,}419$ , soit environ $41{,}9\ \%$ par heure.

Pourquoi

On calcule le RAPPORT de deux valeurs distantes d'une heure : il ne dépend pas de $t$ , ce qui est la définition d'une croissance à taux constant. Le $0{,}35$ de l'énoncé n'est pas ce pourcentage.

Étape 4

$500\mathrm{e}^{0{,}35t}=10\,000$ donne $\mathrm{e}^{0{,}35t}=20$ , puis $0{,}35t=\ln 20$ , soit $t=\frac{\ln 20}{0{,}35}\approx 8{,}6\ \mathrm{h}$ .

Pourquoi

L'exponentielle est ISOLÉE avant le passage au logarithme. Prendre le logarithme de $500\mathrm{e}^{0{,}35t}$ directement obligerait à décomposer un produit, ce qui reste possible mais rallonge inutilement.

Étape 5

Vérification : $500\mathrm{e}^{0{,}35\times 8{,}56}=500\times 19{,}99\approx 9\,995$ , conforme à $10\,000$ à l'arrondi près.

Pourquoi

La substitution valide à la fois la résolution et l'arrondi. Un écart important signalerait une erreur de logarithme ou de division.

Étape 6

À $48\ \mathrm{h}$ : $N(48)=500\mathrm{e}^{0{,}35\times 48}=500\mathrm{e}^{16{,}8}\approx 9{,}9\times 10^{9}$ bactéries.

Pourquoi

Le calcul se fait avant le commentaire : c'est le nombre obtenu, et non l'intuition, qui fonde la réponse. La calculatrice affiche une puissance de dix, ce qui est déjà un signal.

Étape 7

Ce nombre dépasse largement ce qu'un milieu de culture ordinaire peut contenir, et le modèle n'a été ajusté que sur les huit premières heures. Il n'est donc PAS valable à $48\ \mathrm{h}$ .

Pourquoi

Les deux arguments sont donnés : l'absurdité de la valeur, et le domaine d'ajustement rappelé par l'énoncé. Le second est souvent oublié alors qu'il est écrit dans le texte.

Étape 8

Alternative : un modèle logistique, de la forme $\frac{L}{1+A\mathrm{e}^{-kt}}$ , tiendrait compte de la saturation du milieu par un palier $L$ et croîtrait comme le modèle exponentiel au début.

Pourquoi

Proposer une correction vaut un demi-point et montre qu'on a compris la nature du défaut : ce n'est pas le calcul qui est faux, c'est l'absence de palier dans le modèle choisi.

Conclusion rédigée

La culture part de $500$ bactéries, double toutes les deux heures environ, croît de près de $42\ \%$ par heure et atteint $10\,000$ bactéries au bout de $8{,}6\ \mathrm{h}$ ; en revanche le modèle prédit $9{,}9$ milliards de bactéries à $48\ \mathrm{h}$ , ce qui le disqualifie bien avant cette échéance.

L'erreur classique sur cet exercice : Annoncer une croissance de $35\ \%$ par heure en lisant le coefficient de l'exposant. Le taux effectif vaut $41{,}9\ \%$ , et l'écart de sept points se répercute sur toutes les prévisions du problème.

À savoir par cœur

• $f(t)=A\mathrm{e}^{kt}$ : $A$ est la valeur initiale, $k$ le taux CONTINU.
• Temps de doublement $\frac{\ln 2}{k}$ , INDÉPENDANT de la valeur initiale.
• Taux effectif par période : $\mathrm{e}^{k}-1$ , toujours supérieur à $k$ .
• $f(t)=L+A\mathrm{e}^{-kt}$ tend vers $L$ , pas vers $0$ : $L$ est le palier.
• Point d'inflexion : la croissance est la plus RAPIDE, ce n'est pas un maximum.
• Les pourcentages successifs se MULTIPLIENT : $1{,}10\times 1{,}10=1{,}21$ .
• Valeur moyenne : $\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}f$ , jamais la moyenne des extrémités.
• $\left(\mathrm{e}^{u}\right)'=u'\mathrm{e}^{u}$ : le coefficient de l'exposant ressort devant.
• Un modèle ne vaut que sur son domaine d'ajustement, et la question de validité attend un CHIFFRE.

Questions fréquentes

Le coefficient de l'exposant est-il le pourcentage de croissance ?

Non. C'est un taux continu : le pourcentage effectif par période vaut l'exponentielle de ce coefficient, moins un. Pour un coefficient de zéro virgule trente-cinq, la croissance réelle est de quarante-deux pour cent par période, pas de trente-cinq. L'écart est négligeable pour de petites valeurs et considérable au-delà.

Le temps de doublement dépend-il de la population de départ ?

Non. Il vaut le logarithme de deux divisé par le taux de croissance, et la valeur initiale se simplifie dès la première ligne du calcul. Une population double toujours en la même durée, qu'elle compte cinq cents ou cinquante mille individus. C'est ce qui caractérise une croissance exponentielle.

Vers quoi tend une fonction du type palier plus exponentielle décroissante ?

Vers le palier, c'est-à-dire le terme constant, et non vers zéro. Seul le terme exponentiel s'annule quand le temps augmente. Ce terme constant porte tout le sens du modèle : température ambiante, concentration résiduelle ou effectif d'équilibre, et l'oublier vide la question de son contenu.

Que signifie un point d'inflexion sur une courbe de croissance ?

Le moment où la vitesse de croissance est maximale, donc où le phénomène cesse d'accélérer pour commencer à ralentir. Ce n'est pas un maximum de la fonction : celle-ci continue de croître ensuite. Sur un modèle logistique, ce point se situe exactement à mi-hauteur du palier.

Peut-on additionner deux pourcentages d'évolution successifs ?

Non, il faut multiplier les coefficients multiplicateurs. Deux hausses de dix pour cent donnent une hausse totale de vingt et un pour cent, pas de vingt. De même, une baisse de vingt pour cent suivie d'une hausse de vingt pour cent ne ramène pas au prix de départ mais à quatre-vingt-seize pour cent de celui-ci.

Jusqu'où un modèle exponentiel reste-t-il valable ?

Sur son domaine d'ajustement, et guère au-delà. Un modèle exponentiel n'a pas de borne supérieure : prolongé assez loin, il produit toujours des valeurs absurdes. Pour répondre à une question de validité, il faut calculer la valeur prédite et la comparer à une limite concrète, puis proposer un modèle avec palier.

Passer à la pratique

Exercices corrigés : Fonctions et modèles d'évolution

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

15 exercices corrigés
150 points
225 minutes

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