Exercices corrigés : fonctions et modèles d'évolution (maths complémentaires)

a) $f'(x)=6x-12=6(x-2)$, négative avant 2 et positive après. La fonction décroît puis croît : elle admet un minimum en $x=2$, valant $f(2)=12-24+7=-5$.

b) $g'(x)=2\times 0{,}5\,\mathrm{e}^{0{,}5x}=\mathrm{e}^{0{,}5x}$, strictement positive pour tout réel. La fonction est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ et n'admet aucun extremum.

c) $h'(x)=\frac{5}{x}-1=\frac{5-x}{x}$. Sur $]0;+\infty[$ le dénominateur est positif, donc le signe est celui de $5-x$ : positif avant 5, négatif après. La fonction croît puis décroît, avec un maximum en $x=5$ valant $h(5)=5\ln 5-5\approx 3{,}047$.

a) $P(0)=5000\,\mathrm{e}^{0}=5000$ habitants.

b) 2030 correspond à $t=10$ : $P(10)=5000\,\mathrm{e}^{0{,}3}\approx 5000\times 1{,}349859\approx 6749$ habitants.

c) On cherche $t$ tel que $\mathrm{e}^{0{,}03t}=2$, soit $0{,}03t=\ln 2$, donc $t=\frac{\ln 2}{0{,}03}\approx 23{,}1$ ans. Ce temps ne dépend pas de la population de départ.

d) D'une année à la suivante, la population est multipliée par $\mathrm{e}^{0{,}03}\approx 1{,}030455$, ce qui correspond à une hausse d'environ $3{,}05\ \%$. Ce n'est pas exactement 3 % : le coefficient $0{,}03$ est un taux continu, légèrement inférieur au taux effectif à cause de la composition continue.

a) $L=10\log(10^{6})=10\times 6=60$ décibels.

b) $L=10\log(10^{9})=10\times 9=90$ décibels.

c) Si $L$ augmente de 10, alors $\log\left(\frac{I}{I_{0}}\right)$ augmente de 1, donc le rapport $\frac{I}{I_{0}}$ est multiplié par 10. L'intensité est donc multipliée par 10.

d) Non. Deux sources identiques donnent une intensité double, pas au carré. Le nouveau niveau vaut $10\log(2\times 10^{6})=10(\log 2+6)\approx 10\times 6{,}301=63{,}01$ décibels. Doubler l'intensité n'ajoute qu'environ 3 décibels.

e) Parce que l'oreille humaine perçoit des intensités s'étalant sur plus de douze ordres de grandeur. Une échelle logarithmique compresse cet intervalle immense en une graduation lisible de 0 à environ 130, et elle correspond mieux à la perception, qui réagit aux rapports d'intensité plutôt qu'aux différences.

a) $C'(t)=3t^{2}-18t+30$. Son discriminant vaut $324-360=-36<0$ : la dérivée ne s'annule jamais et reste du signe de son coefficient dominant, donc strictement positive. Le nombre d'inscriptions est toujours croissant.

b) $C''(t)=6t-18=6(t-3)$, négative pour $t<3$ et positive pour $t>3$.

c) La dérivée seconde change de signe en $t=3$ : c'est l'abscisse du point d'inflexion. L'ordonnée vaut $C(3)=27-81+90+50=86$ milliers d'inscriptions.

d) Avant le troisième mois, la courbe est concave : les inscriptions augmentent, mais de moins en moins vite, le rythme ralentit. Après le troisième mois elle devient convexe : le rythme repart à la hausse. Le point d'inflexion marque donc le mois où la dynamique se retourne.

e) Le rythme est la dérivée $C'$. Elle est minimale là où sa propre dérivée s'annule, c'est-à-dire en $t=3$ : $C'(3)=27-54+30=3$. Le rythme minimal est donc de 3 milliers d'inscriptions par mois, atteint au troisième mois.

a) $f(0)=20$ litres par minute et $f(10)=20-20=0$ : la source est tarie au bout de 10 minutes.

b) Une primitive est $20t-t^{2}$, donc $\int_{0}^{10}f(t)\,dt=(200-100)-0=100$. Ce nombre est le volume total écoulé pendant les dix minutes, soit 100 litres : intégrer un débit sur une durée donne un volume.

c) La valeur moyenne vaut $\frac{1}{10-0}\times 100=10$ litres par minute.

d) On résout $20-2t=10$, soit $t=5$ minutes. Comme le débit décroît linéairement, la moyenne est atteinte exactement au milieu de l'intervalle.

e) La courbe de $f$ est un segment de droite allant de $(0,\ 20)$ à $(10,\ 0)$. La région sous la courbe est donc un triangle rectangle de base 10 et de hauteur 20, dont l'aire vaut $\frac{10\times 20}{2}=100$. On retrouve bien le même résultat.

a) $T(0)=20+60\,\mathrm{e}^{0}=20+60=80$ degrés. Le modèle est cohérent avec l'énoncé.

b) $T(10)=20+60\,\mathrm{e}^{-1}\approx 20+22{,}07\approx 42{,}1$ degrés.

c) $T'(t)=60\times(-0{,}1)\mathrm{e}^{-0{,}1t}=-6\,\mathrm{e}^{-0{,}1t}$. L'exponentielle étant toujours strictement positive, $T'$ est strictement négative : la température décroît continûment.

d) On résout $20+60\,\mathrm{e}^{-0{,}1t}=30$, soit $\mathrm{e}^{-0{,}1t}=\frac{1}{6}$, donc $-0{,}1t=-\ln 6$ et $t=10\ln 6\approx 17{,}9$ minutes.

e) Quand $t$ augmente, $\mathrm{e}^{-0{,}1t}$ tend vers 0, donc $T(t)$ tend vers 20 degrés. C'est la température de la pièce : la boisson se met à l'équilibre avec son environnement sans jamais descendre en dessous, ce qui est physiquement correct.

a) Une solution constante vérifie $y'=0$, donc $-0{,}1y+2=0$, soit $y=20$. L'équilibre est à 20 degrés, la température de la pièce.

b) Les solutions de $y'=ay+b$ avec $a=-0{,}1$ et $b=2$ s'écrivent $y(t)=C\mathrm{e}^{-0{,}1t}-\frac{b}{a}=C\mathrm{e}^{-0{,}1t}+20$, où $C$ est une constante réelle.

c) La condition $y(0)=80$ donne $C+20=80$, donc $C=60$. La solution est $y(t)=20+60\,\mathrm{e}^{-0{,}1t}$.

d) C'est exactement la fonction $T$ de l'exercice 6. Le modèle exponentiel proposé là-bas n'était donc pas arbitraire : il est la solution de l'équation différentielle qui traduit la loi physique de refroidissement.

e) $y'(t)=-6\,\mathrm{e}^{-0{,}1t}$. Par ailleurs $-0{,}1y+2=-0{,}1(20+60\,\mathrm{e}^{-0{,}1t})+2=-2-6\,\mathrm{e}^{-0{,}1t}+2=-6\,\mathrm{e}^{-0{,}1t}$. Les deux expressions coïncident, la solution est validée.

a) $C(0)=0$ : au moment de l'injection, le médicament n'est pas encore passé dans le sang.

b) C'est un produit : $C'(t)=5\,\mathrm{e}^{-0{,}5t}+5t\times(-0{,}5)\mathrm{e}^{-0{,}5t}=5\,\mathrm{e}^{-0{,}5t}(1-0{,}5t)$.

c) L'exponentielle étant strictement positive, le signe de $C'$ est celui de $1-0{,}5t$ : positif avant $t=2$, négatif après. Le pic a donc lieu au bout de 2 heures, et vaut $C(2)=10\,\mathrm{e}^{-1}\approx 3{,}68$ milligrammes par litre.

d) $C(0{,}5)=2{,}5\,\mathrm{e}^{-0{,}25}\approx 1{,}95$, inférieur à 2, tandis que $C(0{,}6)=3\,\mathrm{e}^{-0{,}3}\approx 2{,}22$, supérieur à 2 : le seuil est franchi entre $0{,}5$ et $0{,}6$ heure. Ensuite $C(5)=25\,\mathrm{e}^{-2{,}5}\approx 2{,}05$, encore supérieur à 2, et $C(6)=30\,\mathrm{e}^{-3}\approx 1{,}49$, inférieur : le seuil est repassé entre 5 et 6 heures. La période d'activité est donc comprise entre environ $0{,}55$ et $5{,}1$ heures.

e) Quand $t$ tend vers l'infini, l'exponentielle décroissante l'emporte sur le facteur $5t$, par croissances comparées : la concentration tend vers 0. Le médicament finit par être entièrement éliminé.

a) $CM(q)=\frac{q^{2}+100q+900}{q}=q+100+\frac{900}{q}$ pour $q>0$.

b) $CM'(q)=1-\frac{900}{q^{2}}=\frac{q^{2}-900}{q^{2}}$. Sur $]0;+\infty[$, le signe est celui de $q^{2}-900$, négatif avant 30 et positif après. Le coût moyen décroît puis croît : il est minimal pour $q=30$ unités.

c) $CM(30)=30+100+\frac{900}{30}=30+100+30=160$ dollars par unité.

d) $C'(q)=2q+100$, donc $C'(30)=60+100=160$ dollars.

e) Les deux valent exactement 160 : au minimum du coût moyen, le coût marginal est égal au coût moyen. Ce n'est pas une coïncidence. Tant que produire une unité de plus coûte moins que la moyenne actuelle, la moyenne baisse ; dès que cela coûte plus, elle remonte. Le croisement des deux courbes a donc nécessairement lieu au minimum du coût moyen.

a) Un modèle n'est validé que sur le domaine où il a été ajusté. Six mois de données ne disent rien du comportement à dix ans : extrapoler sur un horizon vingt fois plus long que la période d'observation n'a aucune garantie, quelle que soit la qualité de l'ajustement.

b) Aucune croissance exponentielle ne se poursuit indéfiniment dans un système réel : le marché est fini, la production est limitée, la concurrence réagit. Le modèle exponentiel décrit une phase de démarrage, pas un régime permanent.

c) $\mathrm{e}^{18}\approx 6{,}566\times 10^{7}$, donc $V(120)\approx 1{,}3\times 10^{10}$ ventes mensuelles, soit plus de treize milliards. C'est supérieur à la population mondiale : le résultat est absurde et invalide à lui seul l'extrapolation.

d) Non. Le coefficient $0{,}15$ est un taux continu. Le taux effectif mensuel vaut $\mathrm{e}^{0{,}15}-1\approx 0{,}1618$, soit environ $16{,}18\ \%$. Confondre les deux est une erreur d'interprétation fréquente.

e) Il faudrait un modèle à croissance limitée, avec un palier : par exemple un modèle logistique, ou une fonction du type $V(t)=L-A\mathrm{e}^{-kt}$ qui croît d'abord rapidement puis sature vers une capacité maximale $L$. Il faudrait aussi disposer de données sur une période bien plus longue avant de prétendre prévoir à dix ans.