Exercice 0.1 : Dériver les fonctions du programme : dix calculs directs

Pour chaque fonction, définie sur l'intervalle indiqué, calculez la dérivée à l'aide des formules du cours, puis évaluez-la au point demandé. Donnez la valeur exacte quand elle est entière ou fractionnaire, sinon une valeur au millième.

Une seule méthode pour les dix lignes : repérer la FORME de la fonction avant de dériver. Une somme se dérive terme à terme ; un produit ou un quotient appelle $(uv)'=u'v+uv'$ ou $\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}$ ; une fonction de la forme $f(ax+b)$ , $\mathrm{e}^{u}$ , $\ln u$ ou $u^{2}$ appelle sa formule, et chacune fait apparaître la dérivée de l'intérieur en facteur : $a f'(ax+b)$ , $u'\mathrm{e}^{u}$ , $\frac{u'}{u}$ , $2uu'$ . On ne remplace $x$ par sa valeur qu'à la fin.

a) $f(x)=2x^{3}-5x^{2}+4x-1$ sur $\mathbb{R}$ , puis $f'(2)$ .
b) $g(x)=4\mathrm{e}^{-2x}+3$ sur $\mathbb{R}$ , puis $g'(0{,}5)$ .
c) $h(x)=x^{2}-4\ln x+1$ sur $]0\,;+\infty[$ , puis $h'(4)$ .
d) $k(x)=(3x-2)^{2}$ sur $\mathbb{R}$ , puis $k'(1)$ .
e) $m(x)=\sqrt{4x+1}$ sur $\left]-\frac{1}{4}\,;+\infty\right[$ , puis $m'(2)$ .
f) $p(x)=\ln(5-2x)$ sur $\left]-\infty\,;\frac{5}{2}\right[$ , puis $p'(2)$ .
g) $q(x)=x\ln x$ sur $]0\,;+\infty[$ , puis $q'\left(\mathrm{e}^{2}\right)$ .
h) $r(x)=\mathrm{e}^{x^{2}-3x}$ sur $\mathbb{R}$ , puis $r'(1)$ .
i) $s(x)=\ln\left(x^{2}+2x+3\right)$ sur $\mathbb{R}$ , puis $s'(2)$ .
j) $t(x)=\frac{\ln x}{x}$ sur $]0\,;+\infty[$ , puis $t'(2)$ .

Tape tes réponses, la page te dit juste ou faux 0/10

a)

f'(2)

b)

g'(0{,}5)

c)

h'(4)

d)

k'(1)

e)

m'(2)

f)

p'(2)

g)

q'\left(\mathrm{e}^{2}\right)

h)

r'(1)

i)

s'(2)

j)

t'(2)

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Réponses

a) $f'(x)=6x^{2}-10x+4$ ; $f'(2)=8$
b) $g'(x)=-8\mathrm{e}^{-2x}$ ; $g'(0{,}5)=-\frac{8}{\mathrm{e}}\approx-2{,}943$
c) $h'(x)=2x-\frac{4}{x}$ ; $h'(4)=7$
d) $k'(x)=6(3x-2)$ ; $k'(1)=6$
e) $m'(x)=\frac{2}{\sqrt{4x+1}}$ ; $m'(2)=\frac{2}{3}$
f) $p'(x)=\frac{-2}{5-2x}$ ; $p'(2)=-2$
g) $q'(x)=\ln x+1$ ; $q'\left(\mathrm{e}^{2}\right)=3$
h) $r'(x)=(2x-3)\mathrm{e}^{x^{2}-3x}$ ; $r'(1)=-\mathrm{e}^{-2}\approx-0{,}135$
i) $s'(x)=\frac{2x+2}{x^{2}+2x+3}$ ; $s'(2)=\frac{6}{11}\approx 0{,}545$
j) $t'(x)=\frac{1-\ln x}{x^{2}}$ ; $t'(2)=\frac{1-\ln 2}{4}\approx 0{,}0767$

Le geste qui décide de tout se fait AVANT de dériver : nommer la forme. $(3x-2)^{2}$ est un $u^{2}$ , $\sqrt{4x+1}$ un $f(ax+b)$ , $\mathrm{e}^{x^{2}-3x}$ un $\mathrm{e}^{u}$ , $x\ln x$ un produit, $\frac{\ln x}{x}$ un quotient. Une fois la forme nommée, la seule erreur possible est d'oublier la dérivée de l'intérieur.

a)

Terme à terme : $f'(x)=6x^{2}-10x+4$ . Donc $f'(2)=24-20+4=8$ . La constante $-1$ disparaît.

b)

$\mathrm{e}^{-2x}$ est de la forme $\mathrm{e}^{ax+b}$ avec $a=-2$ : $\left(\mathrm{e}^{-2x}\right)'=-2\mathrm{e}^{-2x}$ . Donc $g'(x)=-8\mathrm{e}^{-2x}$ , et $g'(0{,}5)=-8\mathrm{e}^{-1}=-\frac{8}{\mathrm{e}}\approx-2{,}943$ . Piège : recopier $4\mathrm{e}^{-2x}$ sans le facteur $-2$ , ou garder le $+3$ , dont la dérivée est nulle.

c)

$(\ln x)'=\frac{1}{x}$ , donc $h'(x)=2x-\frac{4}{x}$ . Ainsi $h'(4)=8-1=7$ .

d)

Forme $u^{2}$ avec $u=3x-2$ et $u'=3$ : $k'(x)=2u'u=2\times 3\times(3x-2)=6(3x-2)$ . Donc $k'(1)=6\times 1=6$ . Piège : $2(3x-2)$ , sans le facteur $3$ , qui donne $2$ . Contrôle par le développement : $k(x)=9x^{2}-12x+4$ , $k'(x)=18x-12$ , $k'(1)=6$ .

e)

Forme $f(ax+b)$ avec $f(X)=\sqrt{X}$ et $a=4$ : $m'(x)=4\times\frac{1}{2\sqrt{4x+1}}=\frac{2}{\sqrt{4x+1}}$ . Donc $m'(2)=\frac{2}{\sqrt{9}}=\frac{2}{3}$ . Piège : $\frac{1}{2\sqrt{4x+1}}$ seul, qui oublie le $4$ et donne $\frac{1}{6}$ .

f)

Forme $\ln u$ avec $u=5-2x$ et $u'=-2$ : $p'(x)=\frac{-2}{5-2x}$ . Donc $p'(2)=\frac{-2}{1}=-2$ . Piège : $\frac{1}{5-2x}$ , qui oublie $u'$ et donne $1$ , avec le mauvais signe : $p$ est décroissante.

g)

Produit $u=x$ , $v=\ln x$ : $q'(x)=1\times\ln x+x\times\frac{1}{x}=\ln x+1$ . Donc $q'\left(\mathrm{e}^{2}\right)=\ln\left(\mathrm{e}^{2}\right)+1=2+1=3$ . Piège : dériver chaque facteur, $1\times\frac{1}{x}$ , ce qui n'est pas la règle du produit.

h)

Forme $\mathrm{e}^{u}$ avec $u=x^{2}-3x$ et $u'=2x-3$ : $r'(x)=(2x-3)\mathrm{e}^{x^{2}-3x}$ . Donc $r'(1)=(2-3)\mathrm{e}^{1-3}=-\mathrm{e}^{-2}\approx-0{,}135$ . L'exponentielle se recopie telle quelle, c'est son exposant qu'on dérive.

i)

Forme $\ln u$ avec $u=x^{2}+2x+3$ , strictement positif sur $\mathbb{R}$ puisque $u=(x+1)^{2}+2$ : $s'(x)=\frac{2x+2}{x^{2}+2x+3}$ . Donc $s'(2)=\frac{6}{4+4+3}=\frac{6}{11}\approx 0{,}545$ . Piège : $\frac{1}{x^{2}+2x+3}$ , qui oublie le numérateur $u'$ .

j)

Quotient $u=\ln x$ , $v=x$ : $t'(x)=\frac{\frac{1}{x}\times x-\ln x\times 1}{x^{2}}=\frac{1-\ln x}{x^{2}}$ . Donc $t'(2)=\frac{1-\ln 2}{4}\approx 0{,}0767$ . Piège : l'ordre du numérateur, $u'v-uv'$ et non $uv'-u'v$ , qui change le signe.

Contrôle : pour chaque ligne, le taux $\frac{f(a+0{,}001)-f(a-0{,}001)}{0{,}002}$ calculé à la calculatrice tombe à moins d'un millième de la valeur trouvée. Si ce n'est pas le cas, on cherche d'abord un facteur intérieur oublié : le $-2$ de b), le $3$ de d), le $4$ de e), le $u'$ de f), h) et i).

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Exercice 1 : Dérivation et variations

Pour chaque fonction, calculez la dérivée, étudiez son signe et donnez l'extremum s'il existe.

a) $f(x)=3x^{2}-12x+7$ sur $\mathbb{R}$
b) $g(x)=2\mathrm{e}^{0{,}5x}$ sur $\mathbb{R}$
c) $h(x)=5\ln x-x$ sur $]0;+\infty[$

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Réponses

a) $f'(x)=6(x-2)$ : minimum $-5$ en $2$
b) $g'(x)=\mathrm{e}^{0{,}5x}>0$ : aucun extremum
c) $h'(x)=\frac{5-x}{x}$ : maximum $5\ln 5-5\approx 3{,}047$ en $5$

a)

$f'(x)=6x-12=6(x-2)$ , négative avant $2$ et positive après. La fonction DÉCROÎT puis CROÎT : elle admet donc un minimum en $x=2$ , valant $f(2)=3\times 4-24+7=12-24+7=-5$ . C'est un minimum global, la parabole étant tournée vers le haut.

b)

$g'(x)=2\times 0{,}5\,\mathrm{e}^{0{,}5x}=\mathrm{e}^{0{,}5x}$ , le facteur $0{,}5$ venant de la dérivée de l'exposant. Cette dérivée est strictement positive pour tout réel, l'exponentielle ne s'annulant jamais : la fonction est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ et n'admet AUCUN extremum. Une exponentielle de coefficient positif ne se retourne jamais.

c)

$h'(x)=\frac{5}{x}-1=\frac{5-x}{x}$ , après mise au même dénominateur. Sur $]0;+\infty[$ le dénominateur est strictement positif, donc le signe est celui du numérateur $5-x$ : positif avant $5$ , négatif après. La fonction croît puis décroît, avec un MAXIMUM en $x=5$ valant $h(5)=5\ln 5-5\approx 5\times 1{,}609-5\approx 3{,}047$ .

Les trois fonctions illustrent les trois comportements possibles, et il vaut la peine de les distinguer. Un polynôme du second degré a toujours exactement un extremum. Une exponentielle pure n'en a jamais, sa dérivée gardant un signe constant. Une combinaison de logarithme et de terme linéaire en a un, parce que les deux termes tirent en sens opposés et que leurs forces s'inversent : le logarithme domine près de zéro, le terme $-x$ domine à l'infini. Le point de méthode commun est la MISE AU MÊME DÉNOMINATEUR de la question c) : c'est elle qui rend le signe lisible, alors que la forme $\frac{5}{x}-1$ n'en dit rien.

Exercice 2 : Croissance exponentielle

La population d'une ville est modélisée par $P(t)=5000\,\mathrm{e}^{0{,}03t}$ , où $t$ désigne le nombre d'années écoulées depuis 2020.

a) Quelle était la population en 2020 ?
b) Calculez la population prévue en 2030, arrondie à l'unité.
c) Déterminez le temps de doublement de cette population, arrondi au dixième d'année.
d) Quel est le taux de croissance annuel effectif, en pourcentage arrondi au centième ? Comparez-le à la valeur 3 %.

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Réponses

a) $5\,000$
b) $6\,749$
c) $\frac{\ln 2}{0{,}03}\approx 23{,}1$ ans
d) $3{,}05$ %, pas $3$ %

a)

$P(0)=5\,000\,\mathrm{e}^{0}=5\,000\times 1=5\,000$ habitants. Le coefficient devant l'exponentielle est donc toujours la valeur INITIALE, ce qui permet de le lire directement sur l'expression.

b)

L'année 2030 correspond à $t=10$ : $P(10)=5\,000\,\mathrm{e}^{0{,}03\times 10}=5\,000\,\mathrm{e}^{0{,}3}\approx 5\,000\times 1{,}349859\approx 6\,749$ habitants. On arrondit à l'unité comme demandé, une population étant un nombre entier.

c)

On cherche $t$ tel que $P(t)=2P(0)$ , c'est-à-dire $\mathrm{e}^{0{,}03t}=2$ . Le facteur $5\,000$ SE SIMPLIFIE, ce qui est le point important : $0{,}03t=\ln 2$ , donc $t=\frac{\ln 2}{0{,}03}\approx 23{,}1$ ans. Ce temps de doublement ne dépend donc PAS de la population de départ, propriété caractéristique de la croissance exponentielle.

d)

D'une année à la suivante, la population est multipliée par $\frac{P(t+1)}{P(t)}=\mathrm{e}^{0{,}03}\approx 1{,}030455$ , rapport qui ne dépend pas de $t$ . Cela correspond à une hausse d'environ $3{,}05\ \%$ . Ce n'est donc PAS exactement $3\ \%$ : le coefficient $0{,}03$ est un taux CONTINU, légèrement inférieur au taux effectif à cause de la composition continue, exactement comme un taux bancaire nominal diffère du taux annuel effectif.

L'écart de la question d) est petit ici, mais il grandit vite avec le coefficient, et il faut le savoir. Pour un taux continu de $0{,}03$ , l'écart n'est que de cinq centièmes de point ; pour $0{,}5$ , le taux effectif atteint $64{,}9\ \%$ au lieu de $50\ \%$ , soit près de quinze points d'écart. La règle générale est $\mathrm{e}^{a}-1>a$ dès que $a>0$ , inégalité qui n'est autre que celle de la tangente vue en Terminale. En pratique, il faut donc toujours préciser DE QUEL taux on parle, et l'exercice 10 montrera qu'une confusion de ce genre suffit à discréditer une étude entière.

Exercice 3 : Échelle logarithmique

Le niveau sonore, en décibels, est donné par $L=10\log\left(\frac{I}{I_{0}}\right)$ , où $I$ est l'intensité mesurée et $I_{0}$ une intensité de référence. Le logarithme est ici le logarithme décimal.

a) Calculez le niveau sonore lorsque $I=10^{6}I_{0}$ .
b) Calculez le niveau sonore lorsque $I=10^{9}I_{0}$ .
c) Par combien l'intensité est-elle multipliée lorsque le niveau augmente de 10 décibels ?
d) Deux sources de 60 décibels fonctionnent ensemble. Le niveau total est-il de 120 décibels ? Justifiez.
e) Pourquoi utilise-t-on une échelle logarithmique pour le son ?

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Réponses

a) $60$ dB
b) $90$ dB
c) Intensité $\times 10$
d) Non : $\approx 63{,}01$ dB
e) Compresser douze ordres de grandeur, comme l'oreille

a)

$L=10\log\left(10^{6}\right)=10\times 6=60$ décibels. Le logarithme décimal d'une puissance de dix en donne directement l'exposant, ce qui rend ces calculs immédiats.

b)

$L=10\log\left(10^{9}\right)=10\times 9=90$ décibels. On notera que l'intensité a été multipliée par mille entre a) et b), alors que le niveau n'a augmenté que de trente décibels : c'est tout l'effet de l'échelle logarithmique.

c)

Si $L$ augmente de $10$ , alors $\log\left(\frac{I}{I_{0}}\right)$ augmente de $1$ , ce qui signifie que le rapport $\frac{I}{I_{0}}$ est MULTIPLIÉ par $10$ . L'intensité est donc multipliée par dix, et non augmentée de dix. C'est le principe même d'une échelle logarithmique : une addition d'un côté correspond à une multiplication de l'autre.

d)

Non, et l'erreur est grossière. Deux sources identiques donnent une intensité DOUBLE, pas élevée au carré. Le nouveau niveau vaut $10\log\left(2\times 10^{6}\right)=10\left(\log 2+6\right)\approx 10\times 6{,}301=63{,}01$ décibels. Doubler l'intensité n'ajoute donc qu'environ TROIS décibels, ce qui est à peine perceptible. Ajouter les décibels reviendrait à multiplier les intensités, ce qui n'a aucun sens physique.

e)

Parce que l'oreille humaine perçoit des intensités s'étalant sur plus de DOUZE ordres de grandeur, du seuil d'audition au seuil de douleur. Une échelle logarithmique compresse cet intervalle immense en une graduation lisible allant de $0$ à environ $130$ . Elle correspond en outre bien mieux à la perception, qui réagit aux RAPPORTS d'intensité plutôt qu'aux différences : passer de $60$ à $70$ décibels est perçu comme un accroissement comparable à celui de $90$ à $100$ , alors que les intensités en jeu diffèrent d'un facteur mille.

Ce principe dépasse largement l'acoustique et l'on en retrouve partout : les échelles de Richter pour les séismes, de pH pour l'acidité, de magnitude pour l'éclat des étoiles fonctionnent toutes de la même façon. Le réflexe à acquérir est de traduire immédiatement toute variation ADDITIVE de l'échelle en variation MULTIPLICATIVE de la grandeur physique. Deux points de pH en moins signifient cent fois plus d'ions hydrogène, deux degrés de Richter en plus signifient mille fois plus d'énergie libérée, et dix décibels de plus signifient dix fois plus d'intensité. C'est aussi ce qui explique qu'un séisme de magnitude $7$ ne soit pas légèrement pire qu'un de magnitude $6$ , mais trente fois plus destructeur.

Exercice 4 : Point d'inflexion et changement de régime

Le nombre cumulé d'inscriptions à un service, en milliers, est modélisé par $C(t)=t^{3}-9t^{2}+30t+50$ pour $t$ compris entre 0 et 8, où $t$ est le nombre de mois écoulés.

a) Calculez $C'(t)$ . Cette dérivée s'annule-t-elle sur $[0;8]$ ?
b) Calculez $C''(t)$ et déterminez son signe.
c) Déterminez l'abscisse du point d'inflexion et l'ordonnée correspondante.
d) Interprétez ce point d'inflexion en termes de rythme d'inscription.
e) À quel moment le rythme d'inscription est-il le plus faible, et que vaut-il ?

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Réponses

a) $C'(t)=3t^{2}-18t+30$ , $\Delta<0$ : jamais nulle
b) $C''(t)=6(t-3)$
c) Inflexion en $(3\,;86)$
d) Le rythme cesse de ralentir et repart
e) Rythme minimal $3$ milliers par mois au mois $3$

a)

$C'(t)=3t^{2}-18t+30$ . Son discriminant vaut $\Delta=(-18)^{2}-4\times 3\times 30=324-360=-36<0$ : la dérivée ne s'annule JAMAIS et garde donc le signe de son coefficient dominant, qui est positif. Le nombre d'inscriptions est ainsi toujours croissant sur $[0\,;\,8]$ , ce qui est rassurant pour un cumul.

b)

$C''(t)=6t-18=6(t-3)$ , fonction affine croissante, négative pour $t<3$ et positive pour $t>3$ .

c)

La dérivée seconde change de signe en $t=3$ : c'est bien l'abscisse d'un point d'inflexion, l'annulation seule ne suffisant pas. L'ordonnée vaut $C(3)=27-81+90+50=86$ milliers d'inscriptions.

d)

Avant le troisième mois, la courbe est CONCAVE : les inscriptions augmentent, mais de moins en moins vite, le rythme ralentit. Après le troisième mois elle devient CONVEXE : le rythme repart à la hausse. Le point d'inflexion marque donc précisément le mois où la dynamique se retourne, ce qui est une information de gestion bien plus utile que le nombre d'inscriptions lui-même.

e)

Le rythme d'inscription est la dérivée $C'$ . Elle est minimale là où sa propre dérivée $C''$ s'annule en changeant de signe, c'est-à-dire en $t=3$ : $C'(3)=27-54+30=3$ . Le rythme minimal est donc de $3$ milliers d'inscriptions par mois, atteint au troisième mois. Il ne descend jamais en dessous, conformément à a).

Il faut bien distinguer les trois niveaux de lecture, car l'exercice les fait tous intervenir et les confondre est fatal. La fonction $C$ donne le NOMBRE cumulé d'inscrits, toujours croissant ici. Sa dérivée $C'$ donne le RYTHME mensuel, qui passe par un minimum. Sa dérivée seconde $C''$ donne l'ACCÉLÉRATION du rythme, qui change de signe. Une phrase du type les inscriptions baissent serait donc fausse : ce n'est pas le nombre d'inscrits qui baisse, c'est leur rythme, et seulement pendant les trois premiers mois. Cette distinction entre une grandeur, sa vitesse et son accélération est exactement celle qui a été médiatiquement malmenée lors des épidémies, où ralentissement de la hausse a souvent été confondu avec baisse.

Exercice 5 : Aire et valeur moyenne

Le débit d'une source, en litres par minute, est modélisé par $f(t)=20-2t$ pour $t$ compris entre 0 et 10 minutes.

a) Calculez le débit à l'instant initial et au bout de 10 minutes.
b) Calculez $\int_{0}^{10}f(t)\,dt$ et interprétez ce nombre.
c) Calculez la valeur moyenne du débit sur $[0;10]$ .
d) À quel instant le débit est-il égal à sa valeur moyenne ?
e) Retrouvez le résultat de la question b) par une méthode géométrique.

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Réponses

a) $20$ L/min puis $0$
b) $100$ L écoulés
c) $10$ L/min
d) $t=5$ min
e) Triangle : $\frac{10\times 20}{2}=100$

a)

$f(0)=20-0=20$ litres par minute au départ, et $f(10)=20-2\times 10=20-20=0$ : la source est TARIE au bout de dix minutes exactement. Le modèle s'arrête donc naturellement là, un débit négatif n'ayant aucun sens.

b)

Une primitive de $20-2t$ est $20t-t^{2}$ , donc $\int_{0}^{10}f(t)\,dt=\left[20t-t^{2}\right]_{0}^{10}=(200-100)-0=100$ . Ce nombre est le VOLUME total écoulé pendant les dix minutes, soit $100$ litres : intégrer un débit sur une durée donne toujours une quantité accumulée, et l'analyse des unités le confirme puisqu'on multiplie des litres par minute par des minutes.

c)

La valeur moyenne est l'intégrale divisée par la LONGUEUR de l'intervalle : $\frac{1}{10-0}\times 100=10$ litres par minute. Oublier ce diviseur, et donc confondre valeur moyenne et intégrale, est l'erreur classique.

d)

On résout $20-2t=10$ , soit $2t=10$ et $t=5$ minutes. Comme le débit décroît LINÉAIREMENT, la moyenne est atteinte exactement au milieu de l'intervalle, ce qui n'aurait pas été le cas pour un débit exponentiel.

e)

La courbe de $f$ est un segment de droite allant de $(0\,;\,20)$ à $(10\,;\,0)$ . La région sous la courbe est donc un TRIANGLE rectangle de base $10$ et de hauteur $20$ , dont l'aire vaut $\frac{10\times 20}{2}=100$ ✓. On retrouve exactement le résultat de b), sans aucune primitive.

La question e) mérite d'être retenue comme une méthode et pas seulement comme une vérification. Chaque fois que la fonction à intégrer est AFFINE ou constante par morceaux, l'intégrale se calcule par des aires de trapèzes et de triangles, ce qui est plus rapide et moins sujet à erreur qu'une primitive. C'est d'ailleurs ainsi qu'on lit un graphique de débit ou de vitesse sans disposer d'aucune formule. La valeur moyenne s'interprète alors géométriquement : c'est la hauteur du RECTANGLE de même base qui aurait la même aire, ici un rectangle de $10$ sur $10$ , dont l'aire vaut bien $100$ ✓.

Exercice 6 : Refroidissement d'une boisson

Une boisson sort à 80 degrés Celsius dans une pièce à 20 degrés. Sa température, en degrés, est modélisée par $T(t)=20+60\,\mathrm{e}^{-0{,}1t}$ , où $t$ est le temps en minutes.

a) Vérifiez que le modèle donne bien 80 degrés à l'instant initial.
b) Calculez la température au bout de 10 minutes, arrondie au dixième.
c) Calculez $T'(t)$ et justifiez que la température décroît.
d) Au bout de combien de temps la boisson atteint-elle 30 degrés ? Arrondissez au dixième de minute.
e) Vers quelle température le modèle tend-il ? Interprétez physiquement.

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Réponses

a) $T(0)=80$
b) $T(10)\approx 42{,}1$
c) $T'(t)=-6\,\mathrm{e}^{-0{,}1t}<0$
d) $t=10\ln 6\approx 17{,}9$ min
e) Limite $20$ : la température de la pièce

a)

$T(0)=20+60\,\mathrm{e}^{0}=20+60\times 1=80$ degrés ✓. Le modèle est cohérent avec l'énoncé, et l'on vérifie au passage la structure : $20$ est la température ambiante et $60$ l'ÉCART initial à cette température, non la température initiale elle-même.

b)

$T(10)=20+60\,\mathrm{e}^{-0{,}1\times 10}=20+60\,\mathrm{e}^{-1}\approx 20+60\times 0{,}3679\approx 20+22{,}07\approx 42{,}1$ degrés. En dix minutes, la boisson a donc perdu près de deux tiers de son écart initial.

c)

$T'(t)=60\times(-0{,}1)\mathrm{e}^{-0{,}1t}=-6\,\mathrm{e}^{-0{,}1t}$ , la constante $20$ disparaissant. L'exponentielle étant toujours strictement positive, $T'$ est strictement NÉGATIVE : la température décroît continûment, sans jamais remonter. On notera que $|T'|$ diminue avec le temps, ce qui traduit un refroidissement de plus en plus lent.

d)

On résout $20+60\,\mathrm{e}^{-0{,}1t}=30$ , soit $60\,\mathrm{e}^{-0{,}1t}=10$ et $\mathrm{e}^{-0{,}1t}=\frac{1}{6}$ . En passant au logarithme : $-0{,}1t=\ln\frac{1}{6}=-\ln 6$ , donc $t=10\ln 6\approx 17{,}9$ minutes.

e)

Quand $t$ augmente, $\mathrm{e}^{-0{,}1t}$ tend vers $0$ , donc $T(t)$ tend vers $20$ degrés. C'est exactement la température de la pièce : la boisson se met à l'ÉQUILIBRE avec son environnement sans jamais descendre en dessous, ce qui est physiquement correct. Une limite de $0$ degré aurait invalidé le modèle.

La structure $T(t)=T_{\text{ambiante}}+\text{écart initial}\times\mathrm{e}^{-kt}$ est celle de tous les phénomènes de relaxation, et la reconnaître fait gagner beaucoup de temps. On y lit directement trois choses : la limite, qui est la constante additive ; la valeur initiale, qui est la somme des deux termes ; et la rapidité, gouvernée par $k$ . Le temps caractéristique $\frac{1}{k}=10$ minutes est la durée au bout de laquelle l'écart a été divisé par $\mathrm{e}$ , ce qui est précisément le calcul de la question b) ✓. Une règle pratique en découle : après $3$ temps caractéristiques, soit $30$ minutes ici, le phénomène est achevé à $95\ \%$ , et la boisson est à $23$ degrés.

Exercice 7 : L'équation différentielle du refroidissement

La loi de refroidissement s'écrit sous la forme d'une équation différentielle : la vitesse de refroidissement est proportionnelle à l'écart avec la température ambiante.

On considère l'équation $y'=-0{,}1y+2$ avec la condition initiale $y(0)=80$ .

a) Déterminez la solution constante de cette équation, appelée équilibre.
b) Donnez la forme générale des solutions de $y'=-0{,}1y+2$ .
c) Déterminez la solution vérifiant $y(0)=80$ .
d) Comparez avec la fonction $T$ de l'exercice 6.
e) Vérifiez directement que votre solution satisfait l'équation différentielle.

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Réponses

a) $y=20$
b) $y=C\mathrm{e}^{-0{,}1t}+20$
c) $C=60$
d) C'est la fonction $T$
e) $y'=-0{,}1y+2=-6\,\mathrm{e}^{-0{,}1t}$ ✓

a)

Une solution constante a une dérivée nulle, donc elle vérifie $-0{,}1y+2=0$ , soit $y=\frac{2}{0{,}1}=20$ . L'équilibre est à $20$ degrés, c'est-à-dire exactement la température de la pièce, ce qui n'a rien d'un hasard : à cette température, il n'y a plus d'écart, donc plus d'échange de chaleur.

b)

Les solutions de $y'=ay+b$ avec $a=-0{,}1$ et $b=2$ s'écrivent $y(t)=C\mathrm{e}^{at}-\frac{b}{a}=C\mathrm{e}^{-0{,}1t}-\frac{2}{-0{,}1}=C\mathrm{e}^{-0{,}1t}+20$ , où $C$ est une constante réelle quelconque. On reconnaît la somme de l'équilibre trouvé en a) et d'un terme qui s'efface.

c)

La condition initiale $y(0)=80$ donne $C\mathrm{e}^{0}+20=C+20=80$ , donc $C=60$ . La solution est $y(t)=20+60\,\mathrm{e}^{-0{,}1t}$ . Une seule condition suffit à déterminer l'unique constante, comme toujours pour une équation du premier ordre.

d)

C'est EXACTEMENT la fonction $T$ de l'exercice 6. Le modèle exponentiel proposé là-bas n'était donc pas choisi arbitrairement pour bien coller aux données : il est la SOLUTION de l'équation différentielle qui traduit la loi physique de refroidissement de Newton, selon laquelle la vitesse de refroidissement est proportionnelle à l'écart avec l'ambiance.

e)

$y'(t)=60\times(-0{,}1)\mathrm{e}^{-0{,}1t}=-6\,\mathrm{e}^{-0{,}1t}$ . Par ailleurs $-0{,}1y+2=-0{,}1\left(20+60\,\mathrm{e}^{-0{,}1t}\right)+2=-2-6\,\mathrm{e}^{-0{,}1t}+2=-6\,\mathrm{e}^{-0{,}1t}$ . Les deux expressions coïncident pour tout $t$ ✓, la solution est validée.

Le lien établi en d) est le point le plus important de l'exercice, et il change le statut du modèle. Un modèle AJUSTÉ sur des données est toujours suspect d'être une coïncidence, comme le montrera l'exercice 10 ; un modèle DÉRIVÉ d'une loi physique est bien plus solide, car il explique pourquoi la forme exponentielle apparaît plutôt qu'une autre. C'est aussi ce qui permet de prévoir hors du domaine observé : on sait que la limite sera $20$ degrés sans l'avoir mesurée, simplement parce que l'équation le dit. La démarche générale se retient ainsi : chercher d'abord l'équilibre en annulant la dérivée, puis ajouter l'écart qui décroît exponentiellement, et enfin déterminer la constante par la condition initiale.

Exercice 8 : Concentration d'un médicament

Après une injection, la concentration d'un médicament dans le sang, en milligrammes par litre, est modélisée par $C(t)=5t\,\mathrm{e}^{-0{,}5t}$ , où $t$ est le temps écoulé en heures.

a) Calculez $C(0)$ et interprétez.
b) Calculez $C'(t)$ et factorisez le résultat.
c) Déterminez l'instant du pic de concentration et la concentration maximale, arrondie au centième.
d) Le médicament est actif tant que la concentration dépasse 2 milligrammes par litre. En testant $t=0{,}5$ ; $t=0{,}6$ ; $t=5$ et $t=6$ , encadrez la période d'activité.
e) Que devient la concentration au bout d'un temps très long ?

Voir la correction

Réponses

a) $C(0)=0$
b) $C'(t)=5\,\mathrm{e}^{-0{,}5t}(1-0{,}5t)$
c) Pic à $2$ h : $10\,\mathrm{e}^{-1}\approx 3{,}68$ mg/L
d) Actif d'environ $0{,}55$ h à $5{,}1$ h
e) Limite $0$

a)

$C(0)=5\times 0\times\mathrm{e}^{0}=0$ : au moment de l'injection, le médicament n'est pas encore passé dans le sang. Le modèle décrit donc une montée puis une élimination, et non une chute depuis un maximum initial.

b)

C'est un produit, et il faut dériver les deux facteurs : $C'(t)=5\,\mathrm{e}^{-0{,}5t}+5t\times(-0{,}5)\mathrm{e}^{-0{,}5t}=5\,\mathrm{e}^{-0{,}5t}\left(1-0{,}5t\right)$ . La factorisation par l'exponentielle est l'étape qui rend l'étude de signe possible.

c)

L'exponentielle étant strictement positive, le signe de $C'$ est celui de $1-0{,}5t$ : positif avant $t=2$ , négatif après. Le PIC a donc lieu au bout de deux heures et vaut $C(2)=5\times 2\times\mathrm{e}^{-1}=10\,\mathrm{e}^{-1}\approx 3{,}68$ milligrammes par litre.

d)

On évalue aux quatre instants proposés. $C(0{,}5)=2{,}5\,\mathrm{e}^{-0{,}25}\approx 1{,}95$ , inférieur à $2$ , tandis que $C(0{,}6)=3\,\mathrm{e}^{-0{,}3}\approx 2{,}22$ , supérieur : le seuil est franchi entre $0{,}5$ et $0{,}6$ heure. Ensuite $C(5)=25\,\mathrm{e}^{-2{,}5}\approx 2{,}05$ , encore supérieur à $2$ , et $C(6)=30\,\mathrm{e}^{-3}\approx 1{,}49$ , inférieur : le seuil est repassé entre $5$ et $6$ heures. La période d'activité dure donc environ de $0{,}55$ à $5{,}1$ heures, soit à peu près quatre heures et demie. La figure du corrigé montre la courbe franchissant deux fois le seuil de 2 milligrammes par litre, une fois sur la montée et une fois sur la descente.

e)

Quand $t$ tend vers l'infini, on a une forme indéterminée du type $\infty\times 0$ , que l'on lève par CROISSANCES COMPARÉES : l'exponentielle décroissante l'emporte sur le facteur linéaire $5t$ , donc la concentration tend vers $0$ . Le médicament finit par être entièrement éliminé, ce qui est le comportement attendu.

La méthode de la question d) mérite d'être nommée, car l'énoncé la guide ici mais ne le fera pas toujours. Résoudre $5t\,\mathrm{e}^{-0{,}5t}=2$ est ALGÉBRIQUEMENT IMPOSSIBLE, l'inconnue apparaissant à la fois dans un facteur et dans un exposant. On procède donc par ENCADREMENT, en évaluant la fonction de part et d'autre du seuil et en invoquant la monotonie sur chaque branche : croissante avant $2$ , décroissante après, la fonction franchit donc le seuil exactement deux fois. C'est le théorème des valeurs intermédiaires appliqué séparément aux deux morceaux, et c'est la seule voie possible pour ce type d'équation.

Exercice 9 : Coût moyen minimal

Une entreprise produit $q$ unités, avec $q>0$ . Son coût total, en dollars, est $C(q)=q^{2}+100q+900$ .

Le coût moyen est $CM(q)=\frac{C(q)}{q}$ et le coût marginal est $C'(q)$ .

a) Montrez que $CM(q)=q+100+\frac{900}{q}$ .
b) Calculez $CM'(q)$ et déterminez la quantité qui minimise le coût moyen.
c) Calculez ce coût moyen minimal.
d) Calculez le coût marginal pour cette même quantité.
e) Que remarquez-vous en comparant les réponses c) et d) ?

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Réponses

a) $CM(q)=q+100+\frac{900}{q}$
b) $CM'(q)=\frac{q^{2}-900}{q^{2}}$ : minimum en $q=30$
c) $160$ dollars
d) $C'(30)=160$ dollars
e) Coût marginal $=$ coût moyen au minimum

a)

On divise chaque terme par $q$ , ce qui est licite puisque $q>0$ : $CM(q)=\frac{q^{2}+100q+900}{q}=\frac{q^{2}}{q}+\frac{100q}{q}+\frac{900}{q}=q+100+\frac{900}{q}$ ✓. Cette écriture SÉPARÉE est bien plus utile que la fraction initiale, car elle montre trois composantes distinctes du coût unitaire.

b)

$CM'(q)=1-\frac{900}{q^{2}}=\frac{q^{2}-900}{q^{2}}$ , après mise au même dénominateur. Sur $]0;+\infty[$ le dénominateur est strictement positif, donc le signe est celui de $q^{2}-900$ , négatif avant $30$ et positif après. Le coût moyen décroît puis croît : il est MINIMAL pour $q=30$ unités.

c)

$CM(30)=30+100+\frac{900}{30}=30+100+30=160$ dollars par unité.

d)

$C'(q)=2q+100$ , donc $C'(30)=60+100=160$ dollars. C'est le coût de la trentième unité supplémentaire.

e)

Les deux valent EXACTEMENT $160$ : au minimum du coût moyen, le coût marginal égale le coût moyen. Ce n'est pas une coïncidence, et le raisonnement économique l'explique mieux qu'un calcul. Tant que produire une unité de plus coûte MOINS que la moyenne actuelle, cette unité tire la moyenne vers le bas et le coût moyen baisse ; dès que produire une unité de plus coûte PLUS que la moyenne, elle la tire vers le haut. Le croisement des deux courbes a donc nécessairement lieu au minimum du coût moyen.

La lecture des trois termes de $CM$ éclaire toute la situation économique. Le terme constant $100$ est le coût unitaire incompressible de la matière. Le terme $\frac{900}{q}$ est le coût fixe de $900$ dollars ÉTALÉ sur les unités produites, et il diminue quand on produit plus : ce sont les économies d'échelle. Le terme $q$ traduit au contraire une dégradation, chaque unité supplémentaire coûtant un peu plus cher, par exemple à cause de la saturation de l'atelier. L'optimum à $q=30$ est exactement le point où ces deux forces opposées s'équilibrent, ce qui se voit aussi sur les valeurs : les deux termes variables y valent tous deux $30$ ✓. Le résultat de e) est enfin général et vaut pour n'importe quelle fonction de coût dérivable, ce qu'on démontre en annulant la dérivée de $\frac{C(q)}{q}$ .

Exercice 10 : Lecture critique d'un modèle

Un cabinet publie une étude affirmant : « Les ventes de notre client suivent le modèle $V(t)=200\,\mathrm{e}^{0{,}15t}$ , ajusté sur les six derniers mois avec une excellente qualité d'ajustement. Nous prévoyons donc les ventes dans dix ans. »

Chacune des affirmations suivantes tirées de ce rapport pose problème. Expliquez pourquoi.

a) « Le modèle étant très bien ajusté sur six mois, il est fiable pour prévoir à dix ans. »
b) « Les ventes vont continuer de croître de 15 % par mois indéfiniment. »
c) « Le modèle donne $V(120)\approx 200\times\mathrm{e}^{18}$ ventes dans dix ans. » Calculez cet ordre de grandeur et commentez.
d) « Le coefficient $0{,}15$ signifie que les ventes augmentent de 15 % par mois. »
e) Que proposeriez-vous pour rendre ce modèle plus crédible sur le long terme ?

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Réponses

a) Six mois ne valident pas dix ans
b) Croissance réelle toujours limitée
c) $\approx 1{,}3\times 10^{10}$ ventes mensuelles : absurde
d) Taux effectif $\approx 16{,}18$ %
e) Modèle à palier, plus de données, validation

a)

Un modèle n'est VALIDÉ que sur le domaine où il a été ajusté. Six mois de données ne disent rien du comportement à dix ans, et extrapoler sur un horizon vingt fois plus long que la période d'observation n'offre aucune garantie, quelle que soit la qualité de l'ajustement. Un excellent ajustement sur six points signifie seulement que la courbe passe près de ces six points, pas qu'elle décrit la réalité ailleurs. La figure du corrigé superpose trois modèles, linéaire, exponentiel et logarithmique, qui passent tous par les six points observés et qui s'écartent complètement au delà.

b)

Aucune croissance exponentielle ne se poursuit indéfiniment dans un système RÉEL : le marché est fini, la capacité de production est limitée, la concurrence réagit et les prix s'ajustent. Le modèle exponentiel décrit correctement une phase de DÉMARRAGE, où les contraintes ne se font pas encore sentir, mais jamais un régime permanent.

c)

$\mathrm{e}^{18}\approx 6{,}566\times 10^{7}$ , donc $V(120)\approx 200\times 6{,}566\times 10^{7}\approx 1{,}3\times 10^{10}$ ventes MENSUELLES, soit plus de treize milliards. C'est supérieur à la population mondiale, et il s'agirait de ventes chaque mois : le résultat est absurde et invalide à lui seul l'extrapolation. Ce contrôle de plausibilité aurait dû être fait par le cabinet avant publication.

d)

Non. Le coefficient $0{,}15$ est un taux CONTINU, comme à l'exercice 2. Le taux effectif mensuel vaut $\mathrm{e}^{0{,}15}-1\approx 0{,}1618$ , soit environ $16{,}18\ \%$ et non $15\ \%$ . L'écart d'un peu plus d'un point paraît mineur, mais composé sur cent vingt mois il représente un facteur considérable.

e)

Il faudrait un modèle à croissance LIMITÉE, comportant un palier. Un modèle logistique conviendrait, ou une fonction du type $V(t)=L-A\mathrm{e}^{-kt}$ qui croît d'abord rapidement puis SATURE vers une capacité maximale $L$ correspondant à la taille du marché. Il faudrait en outre disposer de données sur une période bien plus longue avant de prétendre prévoir à dix ans, et idéalement valider le modèle sur des données qui n'ont pas servi à l'ajuster.

Les cinq critiques se ramènent à une seule question, celle du DOMAINE DE VALIDITÉ, et c'est la dernière étape de toute modélisation. Un modèle comporte toujours trois éléments qu'il faut savoir énoncer : une forme fonctionnelle choisie, des paramètres ajustés sur des données, et un intervalle sur lequel on accepte de s'en servir. Le cabinet a soigné les deux premiers et complètement omis le troisième. Le contraste avec l'exercice 7 est instructif : là, le modèle exponentiel était JUSTIFIÉ par une loi physique et sa limite était connue d'avance ; ici il n'est qu'un ajustement empirique, et rien ne garantit qu'il vaille au-delà des six mois observés. Un bon réflexe consiste à toujours évaluer le modèle en un point très éloigné, comme en c), et à se demander si le résultat est physiquement possible.

Exercice 11 : La règle de 70

Un capital placé au taux annuel $r$ , intérêts composés, est multiplié par $1+r$ chaque année. Les financiers estiment son temps de doublement, en années, par la « règle de 70 » : $\frac{70}{r\ \%}$ , où $r\ \%$ est le taux écrit en pourcentage.

a) Montrez que le temps de doublement exact vaut $n=\frac{\ln 2}{\ln(1+r)}$ , puis calculez-le pour $r=5\ \%$ , au centième.
b) Que donne la règle de 70 pour $r=5\ \%$ ? Calculez l'écart relatif avec la valeur exacte.
c) Même question pour $r=10\ \%$ . La règle est-elle meilleure ou moins bonne ?
d) La tangente à la courbe de $\ln(1+x)$ en $0$ a pour équation $y=x$ . Expliquez d'où vient la règle de 70.
e) Avec une inflation de $2\ \%$ par an, en combien d'années les prix doublent-ils ? Donnez la valeur exacte au dixième.

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Réponses

a) $n=\frac{\ln 2}{\ln 1{,}05}\approx 14{,}21$ ans
b) $14$ ans : écart $1{,}5$ %
c) $7{,}27$ contre $7$ : écart $3{,}7$ %
d) $\ln(1+r)\approx r$ : $n\approx\frac{69{,}3}{r\ \%}$
e) $35{,}0$ ans

a)

Le capital est multiplié par $(1+r)^{n}$ en $n$ ans. On cherche $(1+r)^{n}=2$ ; en passant au logarithme, $n\ln(1+r)=\ln 2$ , soit $n=\frac{\ln 2}{\ln(1+r)}$ . Pour $r=0{,}05$ : $n=\frac{0{,}6931}{0{,}04879}\approx 14{,}21$ ans.

b)

$\frac{70}{5}=14$ ans. Écart relatif : $\frac{14{,}21-14}{14{,}21}\approx 1{,}5\ \%$ , remarquablement faible pour un calcul de tête.

c)

Exact : $\frac{\ln 2}{\ln 1{,}1}\approx 7{,}27$ ans ; règle : $\frac{70}{10}=7$ ans. L'écart relatif monte à $3{,}7\ \%$ : la règle est MOINS bonne quand le taux grandit.

d)

Pour $x$ proche de $0$ , la courbe de $\ln(1+x)$ est proche de sa tangente : $\ln(1+r)\approx r$ . Alors $n\approx\frac{\ln 2}{r}=\frac{0{,}693}{r}=\frac{69{,}3}{r\ \%}$ , que l'on arrondit à $70$ pour faciliter le calcul mental. L'approximation se dégrade quand $r$ s'éloigne de $0$ , ce qui explique c).

e)

Règle : $\frac{70}{2}=35$ ans. Exact : $\frac{\ln 2}{\ln 1{,}02}\approx 35{,}0$ ans. Pour un petit taux, la règle est quasi exacte : en une vie de travail, une inflation de $2\ \%$ suffit à diviser par deux le pouvoir d'achat d'une somme gardée sous le matelas.

Exercice 12 : Une loi de puissance en biologie : la loi de Kleiber

Chez les mammifères, la puissance consommée au repos $P$ , en watts, dépend de la masse $M$ , en kilogrammes, selon la loi de Kleiber : $P=3{,}4\,M^{0{,}75}$ .

a) Calculez la puissance au repos d'une souris de $25\ \mathrm{g}$ , au millième.
b) Calculez celle d'un éléphant de $5\,000\ \mathrm{kg}$ , à l'unité.
c) L'éléphant est $200\,000$ fois plus lourd. Par combien sa puissance est-elle multipliée ? Exprimez ce facteur comme une puissance de $200\,000$ .
d) Calculez la puissance par kilogramme de chaque animal. Lequel brûle le plus d'énergie par kilogramme, et dans quel rapport ?
e) Que devient la loi si l'on trace $\ln P$ en fonction de $\ln M$ ?

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Réponses

a) $\approx 0{,}214$ W
b) $\approx 2\,022$ W
c) $\times 9\,457=200\,000^{0{,}75}$
d) $8{,}55$ contre $0{,}404$ W/kg : rapport $21$
e) Droite de pente $0{,}75$

a)

$M=0{,}025\ \mathrm{kg}$ : $P=3{,}4\times 0{,}025^{0{,}75}\approx 3{,}4\times 0{,}0629\approx 0{,}214\ \mathrm{W}$ . La masse doit être en kilogrammes, pas en grammes.

b)

$P=3{,}4\times 5\,000^{0{,}75}\approx 3{,}4\times 594{,}6\approx 2\,022\ \mathrm{W}$ .

c)

$\frac{2\,022}{0{,}214}\approx 9\,457$ , et c'est exactement $200\,000^{0{,}75}$ : le coefficient $3{,}4$ se simplifie dans le rapport. La puissance est multipliée par moins de dix mille, alors que la masse l'est par deux cent mille.

d)

Souris : $\frac{0{,}214}{0{,}025}\approx 8{,}55\ \mathrm{W/kg}$ ; éléphant : $\frac{2\,022}{5\,000}\approx 0{,}404\ \mathrm{W/kg}$ . La souris brûle $21$ fois plus d'énergie par kilogramme, rapport égal à $200\,000^{0{,}25}$ . C'est pourquoi une souris mange chaque jour une part de son poids, et son cœur bat plus de dix fois plus vite.

e)

$\ln P=\ln 3{,}4+0{,}75\ln M$ : une fonction AFFINE de $\ln M$ , de pente $0{,}75$ . En coordonnées logarithmiques, une loi de puissance devient une droite, et c'est ainsi qu'on repère l'exposant sur des données réelles.

Exercice 13 : La lumière qui s'éteint sous l'eau

Dans un lac, l'intensité lumineuse à la profondeur $x$ , en mètres, vaut $I(x)=I_{0}\,\mathrm{e}^{-kx}$ , où $I_{0}$ est l'intensité en surface et $k>0$ . On mesure que la moitié de la lumière est absorbée dans les $5$ premiers mètres.

a) Déterminez $k$ , au millième.
b) Quelle fraction de la lumière de surface reste-t-il à $10\ \mathrm{m}$ ?
c) Les algues ne poussent plus quand il reste moins de $1\ \%$ de la lumière. Jusqu'à quelle profondeur poussent-elles ? Arrondissez au dixième.
d) Quel pourcentage de la lumière est absorbé dans chaque mètre d'eau ?
e) Dans une eau trouble, la moitié de la lumière est absorbée dès $2\ \mathrm{m}$ . Quelle est la nouvelle profondeur limite des algues ?

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Réponses

a) $k=\frac{\ln 2}{5}\approx 0{,}139$ m⁻¹
b) $25$ %
c) $\approx 33{,}2$ m
d) $\approx 12{,}9$ % par mètre
e) $\approx 13{,}3$ m

a)

$I(5)=\frac{I_{0}}{2}$ donne $\mathrm{e}^{-5k}=\frac{1}{2}$ , soit $5k=\ln 2$ et $k=\frac{\ln 2}{5}\approx 0{,}139\ \mathrm{m^{-1}}$ . L'intensité $I_{0}$ se simplifie : la profondeur de moitié ne dépend pas de l'éclairage.

b)

$\mathrm{e}^{-10k}=\left(\mathrm{e}^{-5k}\right)^{2}=\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{1}{4}$ : il reste $25\ \%$ . À $10\ \mathrm{m}$ , on n'a PAS perdu toute la lumière, on l'a divisée par deux deux fois.

c)

$\mathrm{e}^{-kx}=0{,}01$ donne $x=\frac{\ln 100}{k}=\frac{5\ln 100}{\ln 2}\approx 33{,}2\ \mathrm{m}$ .

d)

D'un mètre au suivant, l'intensité est multipliée par $\mathrm{e}^{-k}=2^{-1/5}\approx 0{,}871$ : chaque mètre absorbe environ $12{,}9\ \%$ de la lumière qui l'atteint. Ce pourcentage est le même à toute profondeur, ce qui caractérise une décroissance exponentielle.

e)

Toutes les distances sont multipliées par $\frac{2}{5}$ : $x=\frac{2\ln 100}{\ln 2}\approx 13{,}3\ \mathrm{m}$ . Diviser la profondeur de moitié par $2{,}5$ divise d'autant la zone où la vie végétale est possible.

Exercice 14 : La canette qui utilise le moins de métal

On veut fabriquer une canette cylindrique de volume $V=330\ \mathrm{cm^{3}}$ avec le moins de métal possible, c'est-à-dire la plus petite surface totale, fond et couvercle compris. On note $r$ le rayon et $h$ la hauteur, en centimètres.

a) Exprimez $h$ en fonction de $r$ , puis montrez que la surface vaut $S(r)=2\pi r^{2}+\frac{660}{r}$ .
b) Calculez $S'(r)$ et déterminez le rayon qui minimise la surface, au millième.
c) Calculez la hauteur correspondante et comparez-la au rayon.
d) Calculez la surface minimale, au dixième.
e) Les canettes réelles ont un rayon voisin de $3{,}0\ \mathrm{cm}$ . Calculez leur hauteur et leur surface, puis le pourcentage de métal en plus.

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Réponses

a) $h=\frac{330}{\pi r^{2}}$ , $S=2\pi r^{2}+\frac{660}{r}$
b) $r=\left(\frac{165}{\pi}\right)^{1/3}\approx 3{,}745$ cm
c) $h\approx 7{,}49$ cm $=2r$
d) $S_{\min}\approx 264{,}4$ cm²
e) $h\approx 11{,}7$ cm, $S\approx 276{,}5$ cm² : $+4{,}6$ %

a)

$V=\pi r^{2}h$ donne $h=\frac{330}{\pi r^{2}}$ . La surface comprend deux disques et la paroi : $S=2\pi r^{2}+2\pi rh=2\pi r^{2}+2\pi r\times\frac{330}{\pi r^{2}}=2\pi r^{2}+\frac{660}{r}$ .

b)

$S'(r)=4\pi r-\frac{660}{r^{2}}=\frac{4\pi r^{3}-660}{r^{2}}$ . Le dénominateur est positif, $S'$ s'annule et change de signe, du négatif au positif, quand $r^{3}=\frac{660}{4\pi}=\frac{165}{\pi}$ , soit $r=\left(\frac{165}{\pi}\right)^{1/3}\approx 3{,}745\ \mathrm{cm}$ . C'est un minimum.

c)

$h=\frac{330}{\pi\times 3{,}745^{2}}\approx 7{,}490\ \mathrm{cm}$ , soit exactement $2r$ : la hauteur égale le DIAMÈTRE. En effet $r^{3}=\frac{V}{2\pi}$ donne $h=\frac{V}{\pi r^{2}}=\frac{2\pi r^{3}}{\pi r^{2}}=2r$ . La canette optimale est aussi haute que large.

d)

$S=2\pi\times 3{,}745^{2}+\frac{660}{3{,}745}\approx 88{,}1+176{,}2\approx 264{,}4\ \mathrm{cm^{2}}$ .

e)

$h=\frac{330}{9\pi}\approx 11{,}7\ \mathrm{cm}$ et $S=18\pi+220\approx 276{,}5\ \mathrm{cm^{2}}$ , soit $4{,}6\ \%$ de métal en plus. Le fabricant accepte ce surcoût : une canette plus fine tient mieux en main, et le couvercle, plus épais que la paroi, coûte moins cher s'il est petit. Le modèle ne tient pas compte de ces contraintes.

Exercice 15 : La courbe en cloche et ses points d'inflexion

On étudie la fonction $f(x)=\mathrm{e}^{-\frac{x^{2}}{2}}$ sur $\mathbb{R}$ , dont la courbe « en cloche » intervient partout en statistiques.

a) Calculez $f'(x)$ et déduisez-en le maximum de $f$ .
b) Montrez que $f''(x)=(x^{2}-1)\mathrm{e}^{-\frac{x^{2}}{2}}$ .
c) Déterminez les points d'inflexion et la valeur de $f$ en ces points, au millième.
d) Déterminez l'équation de la tangente au point d'abscisse $1$ et l'abscisse de son intersection avec l'axe des abscisses.
e) Sur quel intervalle $f$ est-elle concave ? Pour quelle valeur positive de $x$ la fonction vaut-elle la moitié de son maximum ?

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Réponses

a) $f'(x)=-x\,\mathrm{e}^{-\frac{x^{2}}{2}}$ ; maximum $1$
b) Dérivée du produit ✓
c) Inflexions en $\pm 1$ , $f(\pm 1)\approx 0{,}607$
d) $y=\mathrm{e}^{-\frac{1}{2}}(2-x)$ ; coupe l'axe en $2$
e) Concave sur $[-1\,;1]$ ; $x=\sqrt{2\ln 2}\approx 1{,}177$

a)

Avec $u=-\frac{x^{2}}{2}$ , $u'=-x$ : $f'(x)=-x\,\mathrm{e}^{-\frac{x^{2}}{2}}$ . L'exponentielle est positive, donc $f'$ est du signe de $-x$ : $f$ croît sur $]-\infty\,;0]$ , décroît ensuite, et son maximum vaut $f(0)=1$ .

b)

On dérive le produit $-x\times\mathrm{e}^{-\frac{x^{2}}{2}}$ : $f''(x)=-\mathrm{e}^{-\frac{x^{2}}{2}}+(-x)(-x)\mathrm{e}^{-\frac{x^{2}}{2}}=(x^{2}-1)\mathrm{e}^{-\frac{x^{2}}{2}}$ .

c)

$f''$ a le signe de $x^{2}-1$ : il change de signe en $-1$ et en $1$ , qui sont les abscisses des deux points d'inflexion. $f(\pm 1)=\mathrm{e}^{-\frac{1}{2}}\approx 0{,}607$ . La figure du corrigé place les deux points d'inflexion à la hauteur $\mathrm{e}^{-\frac{1}{2}}$ , de part et d'autre du sommet.

d)

$f'(1)=-\mathrm{e}^{-\frac{1}{2}}$ , donc $y=-\mathrm{e}^{-\frac{1}{2}}(x-1)+\mathrm{e}^{-\frac{1}{2}}=\mathrm{e}^{-\frac{1}{2}}(2-x)$ . Elle coupe l'axe des abscisses en $x=2$ : c'est la tangente la plus pentue du flanc droit de la cloche.

e)

$f''\leq 0$ pour $x^{2}\leq 1$ : $f$ est concave sur $[-1\,;1]$ , convexe en dehors. $f(x)=\frac{1}{2}$ donne $\frac{x^{2}}{2}=\ln 2$ , soit $x=\sqrt{2\ln 2}\approx 1{,}177$ . En statistiques, la distance $1$ entre le sommet et l'inflexion s'appelle l'écart-type : c'est là que la cloche change de courbure.

Exercice 16 : Un drone et le théorème des valeurs intermédiaires

Un drone de cartographie décolle du toit d'un bâtiment. Son altitude, en dizaines de mètres, est modélisée pour $t\in[0\,;4{,}5]$ , où $t$ est le temps en minutes, par $h(t)=t^{3}-6t^{2}+9t+1$ . Sa courbe est tracée ci-dessous.

On admet le théorème des valeurs intermédiaires : si $f$ est continue sur $[a\,;b]$ , toute valeur $k$ comprise entre $f(a)$ et $f(b)$ est atteinte au moins une fois sur $[a\,;b]$ . Si de plus $f$ est strictement monotone sur $[a\,;b]$ , elle est atteinte exactement une fois.

def dichotomie(a, b, k, e):
    while b - a > e:
        m = (a + b) / 2
        if m**3 - 6*m**2 + 9*m + 1 > k:
            b = m
        else:
            a = m
    return a, b

a) Calculez $h'(t)$ , étudiez son signe et dressez le tableau de variation de $h$ sur $[0\,;4{,}5]$ , avec les valeurs aux bornes et aux extremums.
b) La réglementation impose de signaler chaque passage à $30$ m d'altitude, c'est-à-dire chaque solution de $h(t)=3$ . Combien y en a-t-il sur $[0\,;4{,}5]$ ? Justifiez intervalle par intervalle.
c) L'altitude de $60$ m, soit $h(t)=6$ , est-elle atteinte ? Combien de fois, et sur quel intervalle de monotonie ? On note $\alpha$ cette solution.
d) En partant de l'intervalle $[4\,;4{,}5]$ , appliquez la méthode de dichotomie à la main jusqu'à obtenir un encadrement de $\alpha$ d'amplitude inférieure à $0{,}1$ .
e) La fonction Python ci-dessus applique la même méthode. L'appel dichotomie(4, 4.5, 6, 0.001) renvoie l'encadrement $[4{,}10352\,;4{,}10449]$ (valeurs arrondies). Donnez $\alpha$ au centième, puis résolvez l'inéquation $h(t)\leq 6$ sur $[0\,;4{,}5]$ .

Tape tes réponses, la page te dit juste ou faux 0/10

a)

h(1)

h(3)

h(4{,}5)

b)

Solutions de

h(t)=3

c)

Solutions de

h(t)=6

Intervalle

d)

Borne inférieure

Borne supérieure

e)

\alpha

Solutions de

h(t)\leq 6

Voir la correction

Réponses

a) $h'(t)=3(t-1)(t-3)$ ; $h$ croît sur $[0\,;1]$ , décroît sur $[1\,;3]$ , croît sur $[3\,;4{,}5]$ ; $h(0)=1$ , $h(1)=5$ , $h(3)=1$ , $h(4{,}5)=11{,}125$
b) Trois solutions, une par intervalle de monotonie : $2-\sqrt{3}$ , $2$ et $2+\sqrt{3}$
c) Une seule solution $\alpha$ , dans $]3\,;4{,}5[$
d) $4{,}0625\leq\alpha\leq 4{,}125$
e) $\alpha\approx 4{,}10$ ; $h(t)\leq 6\iff t\in[0\,;\alpha]$

a)

$h'(t)=3t^{2}-12t+9=3\left(t^{2}-4t+3\right)=3(t-1)(t-3)$ . Ce trinôme est positif à l'extérieur de ses racines $1$ et $3$ et négatif entre elles : $h$ est strictement croissante sur $[0\,;1]$ , strictement décroissante sur $[1\,;3]$ , strictement croissante sur $[3\,;4{,}5]$ . Les valeurs à porter dans le tableau : $h(0)=1$ , $h(1)=1-6+9+1=5$ , $h(3)=27-54+27+1=1$ et $h(4{,}5)=91{,}125-121{,}5+40{,}5+1=11{,}125$ . Le drone monte à $50$ m, redescend à $10$ m, puis remonte jusqu'à environ $111$ m.

b)

On applique le théorème sur chacun des trois intervalles de monotonie, jamais sur $[0\,;4{,}5]$ d'un bloc. Sur $[0\,;1]$ , $h$ est continue (c'est un polynôme) et strictement croissante de $1$ à $5$ ; or $3$ est compris entre $1$ et $5$ , donc $h(t)=3$ a exactement une solution. Sur $[1\,;3]$ , $h$ décroît strictement de $5$ à $1$ : encore exactement une solution. Sur $[3\,;4{,}5]$ , $h$ croît strictement de $1$ à $11{,}125$ : une troisième. Le drone passe donc TROIS fois à $30$ m. On peut le vérifier : $h(2)=8-24+18+1=3$ , et $h(t)-3=(t-2)\left(t^{2}-4t+1\right)$ donne aussi $t=2-\sqrt{3}\approx 0{,}27$ et $t=2+\sqrt{3}\approx 3{,}73$ .

c)

Sur $[0\,;3]$ , $h$ ne dépasse jamais son maximum $h(1)=5$ : la valeur $6$ n'y est pas atteinte. Sur $[3\,;4{,}5]$ , $h$ est continue et strictement croissante de $1$ à $11{,}125$ , et $6$ est compris entre ces deux valeurs : exactement une solution $\alpha$ . L'altitude de $60$ m est atteinte une seule fois, dans $]3\,;4{,}5[$ . Le piège est de conclure « deux solutions » parce que la courbe a deux bosses : c'est le tableau de variation, et lui seul, qui compte.

d)

On coupe l'intervalle en deux et on garde la moitié où $h-6$ change de signe. $h(4)=5<6$ et $h(4{,}5)>6$ , donc $\alpha\in[4\,;4{,}5]$ . Milieu $4{,}25$ : $h(4{,}25)\approx 7{,}64>6$ , on garde $[4\,;4{,}25]$ . Milieu $4{,}125$ : $h(4{,}125)\approx 6{,}22>6$ , on garde $[4\,;4{,}125]$ . Milieu $4{,}0625$ : $h(4{,}0625)\approx 5{,}59<6$ , on garde $[4{,}0625\,;4{,}125]$ , d'amplitude $0{,}0625<0{,}1$ . Trois étapes suffisent, car chaque étape divise l'amplitude par deux : $\frac{0{,}5}{2^{3}}=0{,}0625$ . Le test « $h(m)>6$ » ne marche que parce que $h$ est CROISSANTE sur l'intervalle de départ : sur un intervalle où elle décroît, il faudrait inverser les deux cas.

e)

L'encadrement $[4{,}10352\,;4{,}10449]$ donne $\alpha\approx 4{,}10$ au centième, soit environ $4$ min $6$ s après le décollage. Pour l'inéquation, on lit le tableau : sur $[0\,;3]$ , $h(t)\leq 5<6$ partout ; sur $[3\,;4{,}5]$ , $h$ est croissante et vaut $6$ en $\alpha$ , donc $h(t)\leq 6$ exactement pour $t\leq\alpha$ . L'ensemble des solutions est $[0\,;\alpha]$ . Le drone vole sous $60$ m pendant ses $4{,}1$ premières minutes, puis au-dessus jusqu'à la fin du vol.

À retenir : le théorème des valeurs intermédiaires donne l'EXISTENCE ; la stricte monotonie donne l'UNICITÉ. On découpe donc toujours selon le tableau de variation avant de compter des solutions.

def dichotomie(a, b, k, e):
    while b - a > e:
        m = (a + b) / 2
        if m**3 - 6*m**2 + 9*m + 1 > k:
            b = m
        else:
            a = m
    return a, b

Exercice 17 : De la trace de freinage à la vitesse : une fonction réciproque

Sur route sèche, la distance de freinage d'une voiture, en mètres, est modélisée en fonction de sa vitesse $v$ , en kilomètres par heure, par $d(v)=\frac{v^{2}+20v}{200}$ pour $v\geq 0$ . Après un accident, un expert mesure la longueur de la trace de freinage et veut remonter à la vitesse.

a) Justifiez que $d$ est continue et strictement croissante sur $[0\,;+\infty[$ , puis calculez $d(0)$ et la limite de $d$ en $+\infty$ . Que peut-on en déduire pour l'équation $d(v)=D$ , où $D$ est un réel positif ?
b) Calculez $d(90)$ , puis déterminez la vitesse correspondant à une trace de $30$ m, au dixième.
c) On note $g$ la fonction réciproque de $d$ : $g(D)$ est l'unique vitesse telle que $d(v)=D$ . Montrez que $g(D)=-10+\sqrt{100+200D}$ pour $D\geq 0$ , puis calculez $g\left(d(90)\right)$ et $g(97{,}5)$ .
d) Dans un repère orthonormé, comment la courbe de $g$ se déduit-elle de celle de $d$ ? Quel est le sens de variation de $g$ ?
e) La trace mesurée vaut $40$ m, à $2$ m près. Encadrez la vitesse du véhicule au centième. La vitesse était limitée à $80$ km/h : l'expert peut-il affirmer que le conducteur roulait trop vite ?

Tape tes réponses, la page te dit juste ou faux 0/10

a)

Nombre de solutions de

d(v)=D

b)

d(90)

m

Vitesse pour

30

m km/h

c)

g\left(d(90)\right)

g(97{,}5)

km/h

d)

Courbe de g

Sens de variation de

g

e)

Vitesse minimale km/h

Vitesse maximale km/h

Excès de vitesse certain ?

Voir la correction

Réponses

a) $d'(v)=\frac{v+10}{100}>0$ , $d(0)=0$ , limite $+\infty$ : exactement une vitesse pour chaque $D\geq 0$
b) $d(90)=49{,}5$ m ; $v=-10+\sqrt{6\,100}\approx 68{,}1$ km/h
c) $g(D)=-10+\sqrt{100+200D}$ ; $g(49{,}5)=90$ et $g(97{,}5)=130$
d) Symétrique par rapport à $y=x$ ; $g$ strictement croissante
e) $77{,}75\leq v\leq 82{,}20$ km/h ; non, $80$ est dans l'encadrement

a)

$d$ est un polynôme, donc continue. $d'(v)=\frac{2v+20}{200}=\frac{v+10}{100}>0$ pour $v\geq 0$ : $d$ est strictement croissante. $d(0)=0$ et, quand $v$ tend vers $+\infty$ , $v^{2}$ tend vers $+\infty$ , donc $d(v)$ aussi. Pour tout $D\geq 0$ , il existe donc un réel $b$ avec $d(b)>D$ , et le théorème des valeurs intermédiaires appliqué sur $[0\,;b]$ , où $d$ est strictement croissante, donne une solution et une seule : à chaque trace correspond exactement une vitesse. C'est ce qui autorise à parler de LA vitesse, donc de fonction réciproque.

b)

$d(90)=\frac{8\,100+1\,800}{200}=49{,}5$ m. Pour $D=30$ : $v^{2}+20v=6\,000$ , soit $v^{2}+20v-6\,000=0$ . Le discriminant vaut $400+24\,000=24\,400$ , et la seule racine positive est $v=\frac{-20+\sqrt{24\,400}}{2}=-10+\sqrt{6\,100}\approx 68{,}1$ km/h. La racine négative est rejetée : elle n'est pas dans l'intervalle $[0\,;+\infty[$ où l'on a défini $d$ .

c)

Même calcul avec $D$ quelconque : $v^{2}+20v-200D=0$ a pour discriminant $400+800D>0$ et pour racine positive $v=\frac{-20+\sqrt{400+800D}}{2}=-10+\frac{\sqrt{4\left(100+200D\right)}}{2}=-10+\sqrt{100+200D}$ . Donc $g(D)=-10+\sqrt{100+200D}$ . Contrôle : $g\left(d(90)\right)=g(49{,}5)=-10+\sqrt{10\,000}=90$ , on retrouve la vitesse de départ, ce qui est la définition même d'une réciproque. Et $g(97{,}5)=-10+\sqrt{19\,600}=-10+140=130$ km/h : une trace de $97{,}5$ m correspond à $130$ km/h.

d)

Le point $(90\,;49{,}5)$ est sur la courbe de $d$ si et seulement si le point $(49{,}5\,;90)$ est sur celle de $g$ : on échange abscisse et ordonnée. Dans un repère ORTHONORMÉ, échanger les coordonnées revient à prendre le symétrique par rapport à la droite $y=x$ : la courbe de $g$ est la symétrique de celle de $d$ par rapport à cette droite. Une fonction strictement croissante a une réciproque strictement croissante : plus la trace est longue, plus la vitesse était grande. La figure de la correction montre les deux courbes, la droite $y=x$ en pointillés et le couple de points associés.

e)

$g$ étant strictement croissante, elle conserve l'ordre : $38\leq D\leq 42$ donne $g(38)\leq v\leq g(42)$ , avec $g(38)=-10+\sqrt{7\,700}\approx 77{,}75$ et $g(42)=-10+\sqrt{8\,500}\approx 82{,}20$ . La vitesse était donc comprise entre $77{,}75$ et $82{,}20$ km/h. Or $g(40)=-10+\sqrt{8\,100}=80$ exactement : la limite est au milieu de l'encadrement, et l'incertitude de $2$ m sur la trace suffit à rendre possible une vitesse réglementaire comme une vitesse excessive. L'expert ne peut RIEN affirmer avec cette mesure.

À retenir : une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle se retourne ; sa réciproque a le même sens de variation, et sa courbe est la symétrique par rapport à $y=x$ dans un repère orthonormé.

Exercice 18 : La méthode d'Euler pour un parachutiste

Avant l'ouverture de son parachute, la vitesse $v$ d'un parachutiste, en mètres par seconde, vérifie l'équation différentielle $v'=10-0{,}2v$ , avec $v(0)=0$ au moment du saut, le temps $t$ étant en secondes. Le frottement de l'air, proportionnel à la vitesse, freine la chute.

La méthode d'Euler de pas $h$ remplace la courbe de $v$ par une ligne brisée : on pose $t_{n}=nh$ , $v_{0}=0$ et $v_{n+1}=v_{n}+h\times\left(10-0{,}2v_{n}\right)$ , ce qui revient à suivre la tangente pendant une durée $h$ . Le nombre $v_{n}$ est une valeur approchée de $v(t_{n})$ .

a) Avec le pas $h=1$ , montrez que $v_{n+1}=0{,}8v_{n}+10$ , puis calculez $v_{1}$ , $v_{2}$ et $v_{3}$ .
b) Déterminez le point fixe de cette relation, exprimez $v_{n}$ en fonction de $n$ , puis calculez $v_{5}$ , valeur approchée de $v(5)$ , au centième.
c) Résolvez l'équation différentielle $v'=10-0{,}2v$ avec $v(0)=0$ , puis calculez $v(5)$ au centième. Quelle est la vitesse limite du parachutiste ?
d) Reprenez la méthode avec le pas $h=0{,}5$ : écrivez la relation de récurrence, puis calculez l'approximation de $v(5)$ au centième. Comparez les erreurs commises avec les deux pas.
e) Un élève pressé prend le pas $h=10$ . Calculez $v_{1}$ , $v_{2}$ et $v_{3}$ , puis expliquez ce qui se passe.

Voir la correction

Réponses

a) $v_{1}=10$ , $v_{2}=18$ , $v_{3}=24{,}4$
b) Point fixe $50$ ; $v_{n}=50-50\times 0{,}8^{n}$ ; $v_{5}\approx 33{,}62$ m/s
c) $v(t)=50-50\,\mathrm{e}^{-0{,}2t}$ ; $v(5)\approx 31{,}61$ m/s ; limite $50$ m/s
d) $v_{n+1}=0{,}9v_{n}+5$ ; $v_{10}\approx 32{,}57$ ; erreurs $2{,}01$ et $0{,}96$ , divisée par deux environ
e) $v_{1}=100$ , $v_{2}=0$ , $v_{3}=100$ : le schéma oscille, le pas est trop grand

a)

Avec $h=1$ : $v_{n+1}=v_{n}+10-0{,}2v_{n}=0{,}8v_{n}+10$ . Donc $v_{1}=0{,}8\times 0+10=10$ , $v_{2}=0{,}8\times 10+10=18$ et $v_{3}=0{,}8\times 18+10=24{,}4$ . Le schéma d'Euler a transformé une équation différentielle en une suite ARITHMÉTICO-GÉOMÉTRIQUE : c'est exactement le passage du continu au discret que le thème « modèles d'évolution » met en regard.

b)

Le point fixe vérifie $\ell=0{,}8\ell+10$ , soit $0{,}2\ell=10$ et $\ell=50$ . La suite $w_{n}=v_{n}-50$ est géométrique de raison $0{,}8$ et de premier terme $-50$ , donc $v_{n}=50-50\times 0{,}8^{n}$ . Pour $n=5$ : $0{,}8^{5}=0{,}32768$ , d'où $v_{5}=50-16{,}384=33{,}616\approx 33{,}62$ m/s.

c)

L'équation s'écrit $v'=-0{,}2v+10$ , de la forme $y'=ay+b$ avec $a=-0{,}2$ et $b=10$ . La solution constante vaut $-\frac{b}{a}=50$ , et les solutions sont $v(t)=C\,\mathrm{e}^{-0{,}2t}+50$ . La condition $v(0)=0$ donne $C=-50$ , donc $v(t)=50-50\,\mathrm{e}^{-0{,}2t}$ . Alors $v(5)=50-50\,\mathrm{e}^{-1}\approx 31{,}61$ m/s. Comme $\mathrm{e}^{-0{,}2t}$ tend vers $0$ , la vitesse tend vers $50$ m/s, soit $180$ km/h : c'est la vitesse limite, atteinte quand le frottement compense exactement la pesanteur. Le point fixe de la suite et l'équilibre de l'équation différentielle sont le MÊME nombre, $50$ .

d)

Avec $h=0{,}5$ : $v_{n+1}=v_{n}+0{,}5\left(10-0{,}2v_{n}\right)=0{,}9v_{n}+5$ , de point fixe $50$ encore, donc $v_{n}=50-50\times 0{,}9^{n}$ . L'instant $t=5$ correspond maintenant au rang $n=10$ : $v_{10}=50-50\times 0{,}9^{10}\approx 32{,}57$ m/s. Erreur avec $h=1$ : $33{,}62-31{,}61\approx 2{,}01$ ; avec $h=0{,}5$ : $32{,}57-31{,}61\approx 0{,}96$ . Diviser le pas par deux a divisé l'erreur par deux environ. La méthode surestime la vitesse parce que $v$ est CONCAVE : la tangente, que suit chaque segment d'Euler, passe au-dessus de la courbe. La figure de la correction montre la ligne brisée au-dessus de la courbe exacte.

e)

Avec $h=10$ : $v_{n+1}=v_{n}+10\left(10-0{,}2v_{n}\right)=-v_{n}+100$ . Donc $v_{1}=100$ , $v_{2}=0$ , $v_{3}=100$ : la suite oscille indéfiniment entre $0$ et $100$ , alors que la vraie vitesse croît régulièrement vers $50$ . Le coefficient de la récurrence vaut $1-0{,}2h$ ; il vaut ici $-1$ , et le point fixe $50$ n'est plus approché. Dès que $h>10$ , ce coefficient devient inférieur à $-1$ et les termes s'écartent de plus en plus de $50$ . Un pas trop grand ne donne pas une approximation grossière : il donne un modèle faux.

À retenir : la méthode d'Euler fabrique une suite ; son point fixe est l'équilibre de l'équation, et l'erreur diminue avec le pas, à condition que le pas reste petit devant l'échelle de temps du phénomène, ici $\frac{1}{0{,}2}=5$ secondes.

Exercices corrigés : fonctions et modèles d'évolution (maths complémentaires)

Rappel de cours

Calculs : les dérivées à calculer

Exercice 0.1 : Dériver les fonctions du programme : dix calculs directs

Partie A : Les bases (/50)

Exercice 1 : Dérivation et variations

Exercice 2 : Croissance exponentielle

Exercice 3 : Échelle logarithmique

Exercice 4 : Point d'inflexion et changement de régime

Exercice 5 : Aire et valeur moyenne

Partie B : Niveau examen (/50)

Exercice 6 : Refroidissement d'une boisson

Exercice 7 : L'équation différentielle du refroidissement

Exercice 8 : Concentration d'un médicament

Exercice 9 : Coût moyen minimal

Exercice 10 : Lecture critique d'un modèle

Partie C : les classiques (/50)

Exercice 11 : La règle de 70

Exercice 12 : Une loi de puissance en biologie : la loi de Kleiber

Exercice 13 : La lumière qui s'éteint sous l'eau

Exercice 14 : La canette qui utilise le moins de métal

Exercice 15 : La courbe en cloche et ses points d'inflexion

Partie D : continuité, réciproque et méthode d'Euler (/30)

Exercice 16 : Un drone et le théorème des valeurs intermédiaires

Exercice 17 : De la trace de freinage à la vitesse : une fonction réciproque

Exercice 18 : La méthode d'Euler pour un parachutiste

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