Exercices corrigés : fonctions et modèles d'évolution (maths complémentaires)

a) $f'(x)=6x-12=6(x-2)$, négative avant $2$ et positive après. La fonction DÉCROÎT puis CROÎT : elle admet donc un minimum en $x=2$, valant $f(2)=3\times 4-24+7=12-24+7=-5$. C'est un minimum global, la parabole étant tournée vers le haut.

b) $g'(x)=2\times 0{,}5\,\mathrm{e}^{0{,}5x}=\mathrm{e}^{0{,}5x}$, le facteur $0{,}5$ venant de la dérivée de l'exposant. Cette dérivée est strictement positive pour tout réel, l'exponentielle ne s'annulant jamais : la fonction est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ et n'admet AUCUN extremum. Une exponentielle de coefficient positif ne se retourne jamais.

c) $h'(x)=\frac{5}{x}-1=\frac{5-x}{x}$, après mise au même dénominateur. Sur $]0;+\infty[$ le dénominateur est strictement positif, donc le signe est celui du numérateur $5-x$ : positif avant $5$, négatif après. La fonction croît puis décroît, avec un MAXIMUM en $x=5$ valant $h(5)=5\ln 5-5\approx 5\times 1{,}609-5\approx 3{,}047$.

Les trois fonctions illustrent les trois comportements possibles, et il vaut la peine de les distinguer. Un polynôme du second degré a toujours exactement un extremum. Une exponentielle pure n'en a jamais, sa dérivée gardant un signe constant. Une combinaison de logarithme et de terme linéaire en a un, parce que les deux termes tirent en sens opposés et que leurs forces s'inversent : le logarithme domine près de zéro, le terme $-x$ domine à l'infini. Le point de méthode commun est la MISE AU MÊME DÉNOMINATEUR de la question c) : c'est elle qui rend le signe lisible, alors que la forme $\frac{5}{x}-1$ n'en dit rien.

a) $P(0)=5\,000\,\mathrm{e}^{0}=5\,000\times 1=5\,000$ habitants. Le coefficient devant l'exponentielle est donc toujours la valeur INITIALE, ce qui permet de le lire directement sur l'expression.

b) L'année 2030 correspond à $t=10$ : $P(10)=5\,000\,\mathrm{e}^{0{,}03\times 10}=5\,000\,\mathrm{e}^{0{,}3}\approx 5\,000\times 1{,}349859\approx 6\,749$ habitants. On arrondit à l'unité comme demandé, une population étant un nombre entier.

c) On cherche $t$ tel que $P(t)=2P(0)$, c'est-à-dire $\mathrm{e}^{0{,}03t}=2$. Le facteur $5\,000$ SE SIMPLIFIE, ce qui est le point important : $0{,}03t=\ln 2$, donc $t=\frac{\ln 2}{0{,}03}\approx 23{,}1$ ans. Ce temps de doublement ne dépend donc PAS de la population de départ, propriété caractéristique de la croissance exponentielle.

d) D'une année à la suivante, la population est multipliée par $\frac{P(t+1)}{P(t)}=\mathrm{e}^{0{,}03}\approx 1{,}030455$, rapport qui ne dépend pas de $t$. Cela correspond à une hausse d'environ $3{,}05\ \%$. Ce n'est donc PAS exactement $3\ \%$ : le coefficient $0{,}03$ est un taux CONTINU, légèrement inférieur au taux effectif à cause de la composition continue, exactement comme un taux bancaire nominal diffère du taux annuel effectif.

L'écart de la question d) est petit ici, mais il grandit vite avec le coefficient, et il faut le savoir. Pour un taux continu de $0{,}03$, l'écart n'est que de cinq centièmes de point ; pour $0{,}5$, le taux effectif atteint $64{,}9\ \%$ au lieu de $50\ \%$, soit près de quinze points d'écart. La règle générale est $\mathrm{e}^{a}-1>a$ dès que $a>0$, inégalité qui n'est autre que celle de la tangente vue en Terminale. En pratique, il faut donc toujours préciser DE QUEL taux on parle, et l'exercice 10 montrera qu'une confusion de ce genre suffit à discréditer une étude entière.

a) $L=10\log\left(10^{6}\right)=10\times 6=60$ décibels. Le logarithme décimal d'une puissance de dix en donne directement l'exposant, ce qui rend ces calculs immédiats.

b) $L=10\log\left(10^{9}\right)=10\times 9=90$ décibels. On notera que l'intensité a été multipliée par mille entre a) et b), alors que le niveau n'a augmenté que de trente décibels : c'est tout l'effet de l'échelle logarithmique.

c) Si $L$ augmente de $10$, alors $\log\left(\frac{I}{I_{0}}\right)$ augmente de $1$, ce qui signifie que le rapport $\frac{I}{I_{0}}$ est MULTIPLIÉ par $10$. L'intensité est donc multipliée par dix, et non augmentée de dix. C'est le principe même d'une échelle logarithmique : une addition d'un côté correspond à une multiplication de l'autre.

d) Non, et l'erreur est grossière. Deux sources identiques donnent une intensité DOUBLE, pas élevée au carré. Le nouveau niveau vaut $10\log\left(2\times 10^{6}\right)=10\left(\log 2+6\right)\approx 10\times 6{,}301=63{,}01$ décibels. Doubler l'intensité n'ajoute donc qu'environ TROIS décibels, ce qui est à peine perceptible. Ajouter les décibels reviendrait à multiplier les intensités, ce qui n'a aucun sens physique.

e) Parce que l'oreille humaine perçoit des intensités s'étalant sur plus de DOUZE ordres de grandeur, du seuil d'audition au seuil de douleur. Une échelle logarithmique compresse cet intervalle immense en une graduation lisible allant de $0$ à environ $130$. Elle correspond en outre bien mieux à la perception, qui réagit aux RAPPORTS d'intensité plutôt qu'aux différences : passer de $60$ à $70$ décibels est perçu comme un accroissement comparable à celui de $90$ à $100$, alors que les intensités en jeu diffèrent d'un facteur mille.

Ce principe dépasse largement l'acoustique et l'on en retrouve partout : les échelles de Richter pour les séismes, de pH pour l'acidité, de magnitude pour l'éclat des étoiles fonctionnent toutes de la même façon. Le réflexe à acquérir est de traduire immédiatement toute variation ADDITIVE de l'échelle en variation MULTIPLICATIVE de la grandeur physique. Deux points de pH en moins signifient cent fois plus d'ions hydrogène, deux degrés de Richter en plus signifient mille fois plus d'énergie libérée, et dix décibels de plus signifient dix fois plus d'intensité. C'est aussi ce qui explique qu'un séisme de magnitude $7$ ne soit pas légèrement pire qu'un de magnitude $6$, mais trente fois plus destructeur.

a) $C'(t)=3t^{2}-18t+30$. Son discriminant vaut $\Delta=(-18)^{2}-4\times 3\times 30=324-360=-36<0$ : la dérivée ne s'annule JAMAIS et garde donc le signe de son coefficient dominant, qui est positif. Le nombre d'inscriptions est ainsi toujours croissant sur $[0\,;\,8]$, ce qui est rassurant pour un cumul.

b) $C''(t)=6t-18=6(t-3)$, fonction affine croissante, négative pour $t<3$ et positive pour $t>3$.

c) La dérivée seconde change de signe en $t=3$ : c'est bien l'abscisse d'un point d'inflexion, l'annulation seule ne suffisant pas. L'ordonnée vaut $C(3)=27-81+90+50=86$ milliers d'inscriptions.

d) Avant le troisième mois, la courbe est CONCAVE : les inscriptions augmentent, mais de moins en moins vite, le rythme ralentit. Après le troisième mois elle devient CONVEXE : le rythme repart à la hausse. Le point d'inflexion marque donc précisément le mois où la dynamique se retourne, ce qui est une information de gestion bien plus utile que le nombre d'inscriptions lui-même.

e) Le rythme d'inscription est la dérivée $C'$. Elle est minimale là où sa propre dérivée $C''$ s'annule en changeant de signe, c'est-à-dire en $t=3$ : $C'(3)=27-54+30=3$. Le rythme minimal est donc de $3$ milliers d'inscriptions par mois, atteint au troisième mois. Il ne descend jamais en dessous, conformément à a).

Il faut bien distinguer les trois niveaux de lecture, car l'exercice les fait tous intervenir et les confondre est fatal. La fonction $C$ donne le NOMBRE cumulé d'inscrits, toujours croissant ici. Sa dérivée $C'$ donne le RYTHME mensuel, qui passe par un minimum. Sa dérivée seconde $C''$ donne l'ACCÉLÉRATION du rythme, qui change de signe. Une phrase du type les inscriptions baissent serait donc fausse : ce n'est pas le nombre d'inscrits qui baisse, c'est leur rythme, et seulement pendant les trois premiers mois. Cette distinction entre une grandeur, sa vitesse et son accélération est exactement celle qui a été médiatiquement malmenée lors des épidémies, où ralentissement de la hausse a souvent été confondu avec baisse.

a) $f(0)=20-0=20$ litres par minute au départ, et $f(10)=20-2\times 10=20-20=0$ : la source est TARIE au bout de dix minutes exactement. Le modèle s'arrête donc naturellement là, un débit négatif n'ayant aucun sens.

b) Une primitive de $20-2t$ est $20t-t^{2}$, donc $\int_{0}^{10}f(t)\,dt=\left[20t-t^{2}\right]_{0}^{10}=(200-100)-0=100$. Ce nombre est le VOLUME total écoulé pendant les dix minutes, soit $100$ litres : intégrer un débit sur une durée donne toujours une quantité accumulée, et l'analyse des unités le confirme puisqu'on multiplie des litres par minute par des minutes.

c) La valeur moyenne est l'intégrale divisée par la LONGUEUR de l'intervalle : $\frac{1}{10-0}\times 100=10$ litres par minute. Oublier ce diviseur, et donc confondre valeur moyenne et intégrale, est l'erreur classique.

d) On résout $20-2t=10$, soit $2t=10$ et $t=5$ minutes. Comme le débit décroît LINÉAIREMENT, la moyenne est atteinte exactement au milieu de l'intervalle, ce qui n'aurait pas été le cas pour un débit exponentiel.

e) La courbe de $f$ est un segment de droite allant de $(0\,;\,20)$ à $(10\,;\,0)$. La région sous la courbe est donc un TRIANGLE rectangle de base $10$ et de hauteur $20$, dont l'aire vaut $\frac{10\times 20}{2}=100$ ✓. On retrouve exactement le résultat de b), sans aucune primitive.

La question e) mérite d'être retenue comme une méthode et pas seulement comme une vérification. Chaque fois que la fonction à intégrer est AFFINE ou constante par morceaux, l'intégrale se calcule par des aires de trapèzes et de triangles, ce qui est plus rapide et moins sujet à erreur qu'une primitive. C'est d'ailleurs ainsi qu'on lit un graphique de débit ou de vitesse sans disposer d'aucune formule. La valeur moyenne s'interprète alors géométriquement : c'est la hauteur du RECTANGLE de même base qui aurait la même aire, ici un rectangle de $10$ sur $10$, dont l'aire vaut bien $100$ ✓.

a) $T(0)=20+60\,\mathrm{e}^{0}=20+60\times 1=80$ degrés ✓. Le modèle est cohérent avec l'énoncé, et l'on vérifie au passage la structure : $20$ est la température ambiante et $60$ l'ÉCART initial à cette température, non la température initiale elle-même.

b) $T(10)=20+60\,\mathrm{e}^{-0{,}1\times 10}=20+60\,\mathrm{e}^{-1}\approx 20+60\times 0{,}3679\approx 20+22{,}07\approx 42{,}1$ degrés. En dix minutes, la boisson a donc perdu près de deux tiers de son écart initial.

c) $T'(t)=60\times(-0{,}1)\mathrm{e}^{-0{,}1t}=-6\,\mathrm{e}^{-0{,}1t}$, la constante $20$ disparaissant. L'exponentielle étant toujours strictement positive, $T'$ est strictement NÉGATIVE : la température décroît continûment, sans jamais remonter. On notera que $|T'|$ diminue avec le temps, ce qui traduit un refroidissement de plus en plus lent.

d) On résout $20+60\,\mathrm{e}^{-0{,}1t}=30$, soit $60\,\mathrm{e}^{-0{,}1t}=10$ et $\mathrm{e}^{-0{,}1t}=\frac{1}{6}$. En passant au logarithme : $-0{,}1t=\ln\frac{1}{6}=-\ln 6$, donc $t=10\ln 6\approx 17{,}9$ minutes.

e) Quand $t$ augmente, $\mathrm{e}^{-0{,}1t}$ tend vers $0$, donc $T(t)$ tend vers $20$ degrés. C'est exactement la température de la pièce : la boisson se met à l'ÉQUILIBRE avec son environnement sans jamais descendre en dessous, ce qui est physiquement correct. Une limite de $0$ degré aurait invalidé le modèle.

La structure $T(t)=T_{\text{ambiante}}+\text{écart initial}\times\mathrm{e}^{-kt}$ est celle de tous les phénomènes de relaxation, et la reconnaître fait gagner beaucoup de temps. On y lit directement trois choses : la limite, qui est la constante additive ; la valeur initiale, qui est la somme des deux termes ; et la rapidité, gouvernée par $k$. Le temps caractéristique $\frac{1}{k}=10$ minutes est la durée au bout de laquelle l'écart a été divisé par $\mathrm{e}$, ce qui est précisément le calcul de la question b) ✓. Une règle pratique en découle : après $3$ temps caractéristiques, soit $30$ minutes ici, le phénomène est achevé à $95\ \%$, et la boisson est à $23$ degrés.

a) Une solution constante a une dérivée nulle, donc elle vérifie $-0{,}1y+2=0$, soit $y=\frac{2}{0{,}1}=20$. L'équilibre est à $20$ degrés, c'est-à-dire exactement la température de la pièce, ce qui n'a rien d'un hasard : à cette température, il n'y a plus d'écart, donc plus d'échange de chaleur.

b) Les solutions de $y'=ay+b$ avec $a=-0{,}1$ et $b=2$ s'écrivent $y(t)=C\mathrm{e}^{at}-\frac{b}{a}=C\mathrm{e}^{-0{,}1t}-\frac{2}{-0{,}1}=C\mathrm{e}^{-0{,}1t}+20$, où $C$ est une constante réelle quelconque. On reconnaît la somme de l'équilibre trouvé en a) et d'un terme qui s'efface.

c) La condition initiale $y(0)=80$ donne $C\mathrm{e}^{0}+20=C+20=80$, donc $C=60$. La solution est $y(t)=20+60\,\mathrm{e}^{-0{,}1t}$. Une seule condition suffit à déterminer l'unique constante, comme toujours pour une équation du premier ordre.

d) C'est EXACTEMENT la fonction $T$ de l'exercice 6. Le modèle exponentiel proposé là-bas n'était donc pas choisi arbitrairement pour bien coller aux données : il est la SOLUTION de l'équation différentielle qui traduit la loi physique de refroidissement de Newton, selon laquelle la vitesse de refroidissement est proportionnelle à l'écart avec l'ambiance.

e) $y'(t)=60\times(-0{,}1)\mathrm{e}^{-0{,}1t}=-6\,\mathrm{e}^{-0{,}1t}$. Par ailleurs $-0{,}1y+2=-0{,}1\left(20+60\,\mathrm{e}^{-0{,}1t}\right)+2=-2-6\,\mathrm{e}^{-0{,}1t}+2=-6\,\mathrm{e}^{-0{,}1t}$. Les deux expressions coïncident pour tout $t$ ✓, la solution est validée.

Le lien établi en d) est le point le plus important de l'exercice, et il change le statut du modèle. Un modèle AJUSTÉ sur des données est toujours suspect d'être une coïncidence, comme le montrera l'exercice 10 ; un modèle DÉRIVÉ d'une loi physique est bien plus solide, car il explique pourquoi la forme exponentielle apparaît plutôt qu'une autre. C'est aussi ce qui permet de prévoir hors du domaine observé : on sait que la limite sera $20$ degrés sans l'avoir mesurée, simplement parce que l'équation le dit. La démarche générale se retient ainsi : chercher d'abord l'équilibre en annulant la dérivée, puis ajouter l'écart qui décroît exponentiellement, et enfin déterminer la constante par la condition initiale.

a) $C(0)=5\times 0\times\mathrm{e}^{0}=0$ : au moment de l'injection, le médicament n'est pas encore passé dans le sang. Le modèle décrit donc une montée puis une élimination, et non une chute depuis un maximum initial.

b) C'est un produit, et il faut dériver les deux facteurs : $C'(t)=5\,\mathrm{e}^{-0{,}5t}+5t\times(-0{,}5)\mathrm{e}^{-0{,}5t}=5\,\mathrm{e}^{-0{,}5t}\left(1-0{,}5t\right)$. La factorisation par l'exponentielle est l'étape qui rend l'étude de signe possible.

c) L'exponentielle étant strictement positive, le signe de $C'$ est celui de $1-0{,}5t$ : positif avant $t=2$, négatif après. Le PIC a donc lieu au bout de deux heures et vaut $C(2)=5\times 2\times\mathrm{e}^{-1}=10\,\mathrm{e}^{-1}\approx 3{,}68$ milligrammes par litre.

d) On évalue aux quatre instants proposés. $C(0{,}5)=2{,}5\,\mathrm{e}^{-0{,}25}\approx 1{,}95$, inférieur à $2$, tandis que $C(0{,}6)=3\,\mathrm{e}^{-0{,}3}\approx 2{,}22$, supérieur : le seuil est franchi entre $0{,}5$ et $0{,}6$ heure. Ensuite $C(5)=25\,\mathrm{e}^{-2{,}5}\approx 2{,}05$, encore supérieur à $2$, et $C(6)=30\,\mathrm{e}^{-3}\approx 1{,}49$, inférieur : le seuil est repassé entre $5$ et $6$ heures. La période d'activité dure donc environ de $0{,}55$ à $5{,}1$ heures, soit à peu près quatre heures et demie.

e) Quand $t$ tend vers l'infini, on a une forme indéterminée du type $\infty\times 0$, que l'on lève par CROISSANCES COMPARÉES : l'exponentielle décroissante l'emporte sur le facteur linéaire $5t$, donc la concentration tend vers $0$. Le médicament finit par être entièrement éliminé, ce qui est le comportement attendu.

La méthode de la question d) mérite d'être nommée, car l'énoncé la guide ici mais ne le fera pas toujours. Résoudre $5t\,\mathrm{e}^{-0{,}5t}=2$ est ALGÉBRIQUEMENT IMPOSSIBLE, l'inconnue apparaissant à la fois dans un facteur et dans un exposant. On procède donc par ENCADREMENT, en évaluant la fonction de part et d'autre du seuil et en invoquant la monotonie sur chaque branche : croissante avant $2$, décroissante après, la fonction franchit donc le seuil exactement deux fois. C'est le théorème des valeurs intermédiaires appliqué séparément aux deux morceaux, et c'est la seule voie possible pour ce type d'équation.

a) On divise chaque terme par $q$, ce qui est licite puisque $q>0$ : $CM(q)=\frac{q^{2}+100q+900}{q}=\frac{q^{2}}{q}+\frac{100q}{q}+\frac{900}{q}=q+100+\frac{900}{q}$ ✓. Cette écriture SÉPARÉE est bien plus utile que la fraction initiale, car elle montre trois composantes distinctes du coût unitaire.

b) $CM'(q)=1-\frac{900}{q^{2}}=\frac{q^{2}-900}{q^{2}}$, après mise au même dénominateur. Sur $]0;+\infty[$ le dénominateur est strictement positif, donc le signe est celui de $q^{2}-900$, négatif avant $30$ et positif après. Le coût moyen décroît puis croît : il est MINIMAL pour $q=30$ unités.

c) $CM(30)=30+100+\frac{900}{30}=30+100+30=160$ dollars par unité.

d) $C'(q)=2q+100$, donc $C'(30)=60+100=160$ dollars. C'est le coût de la trentième unité supplémentaire.

e) Les deux valent EXACTEMENT $160$ : au minimum du coût moyen, le coût marginal égale le coût moyen. Ce n'est pas une coïncidence, et le raisonnement économique l'explique mieux qu'un calcul. Tant que produire une unité de plus coûte MOINS que la moyenne actuelle, cette unité tire la moyenne vers le bas et le coût moyen baisse ; dès que produire une unité de plus coûte PLUS que la moyenne, elle la tire vers le haut. Le croisement des deux courbes a donc nécessairement lieu au minimum du coût moyen.

La lecture des trois termes de $CM$ éclaire toute la situation économique. Le terme constant $100$ est le coût unitaire incompressible de la matière. Le terme $\frac{900}{q}$ est le coût fixe de $900$ dollars ÉTALÉ sur les unités produites, et il diminue quand on produit plus : ce sont les économies d'échelle. Le terme $q$ traduit au contraire une dégradation, chaque unité supplémentaire coûtant un peu plus cher, par exemple à cause de la saturation de l'atelier. L'optimum à $q=30$ est exactement le point où ces deux forces opposées s'équilibrent, ce qui se voit aussi sur les valeurs : les deux termes variables y valent tous deux $30$ ✓. Le résultat de e) est enfin général et vaut pour n'importe quelle fonction de coût dérivable, ce qu'on démontre en annulant la dérivée de $\frac{C(q)}{q}$.

a) Un modèle n'est VALIDÉ que sur le domaine où il a été ajusté. Six mois de données ne disent rien du comportement à dix ans, et extrapoler sur un horizon vingt fois plus long que la période d'observation n'offre aucune garantie, quelle que soit la qualité de l'ajustement. Un excellent ajustement sur six points signifie seulement que la courbe passe près de ces six points, pas qu'elle décrit la réalité ailleurs.

b) Aucune croissance exponentielle ne se poursuit indéfiniment dans un système RÉEL : le marché est fini, la capacité de production est limitée, la concurrence réagit et les prix s'ajustent. Le modèle exponentiel décrit correctement une phase de DÉMARRAGE, où les contraintes ne se font pas encore sentir, mais jamais un régime permanent.

c) $\mathrm{e}^{18}\approx 6{,}566\times 10^{7}$, donc $V(120)\approx 200\times 6{,}566\times 10^{7}\approx 1{,}3\times 10^{10}$ ventes MENSUELLES, soit plus de treize milliards. C'est supérieur à la population mondiale, et il s'agirait de ventes chaque mois : le résultat est absurde et invalide à lui seul l'extrapolation. Ce contrôle de plausibilité aurait dû être fait par le cabinet avant publication.

d) Non. Le coefficient $0{,}15$ est un taux CONTINU, comme à l'exercice 2. Le taux effectif mensuel vaut $\mathrm{e}^{0{,}15}-1\approx 0{,}1618$, soit environ $16{,}18\ \%$ et non $15\ \%$. L'écart d'un peu plus d'un point paraît mineur, mais composé sur cent vingt mois il représente un facteur considérable.

e) Il faudrait un modèle à croissance LIMITÉE, comportant un palier. Un modèle logistique conviendrait, ou une fonction du type $V(t)=L-A\mathrm{e}^{-kt}$ qui croît d'abord rapidement puis SATURE vers une capacité maximale $L$ correspondant à la taille du marché. Il faudrait en outre disposer de données sur une période bien plus longue avant de prétendre prévoir à dix ans, et idéalement valider le modèle sur des données qui n'ont pas servi à l'ajuster.

Les cinq critiques se ramènent à une seule question, celle du DOMAINE DE VALIDITÉ, et c'est la dernière étape de toute modélisation. Un modèle comporte toujours trois éléments qu'il faut savoir énoncer : une forme fonctionnelle choisie, des paramètres ajustés sur des données, et un intervalle sur lequel on accepte de s'en servir. Le cabinet a soigné les deux premiers et complètement omis le troisième. Le contraste avec l'exercice 7 est instructif : là, le modèle exponentiel était JUSTIFIÉ par une loi physique et sa limite était connue d'avance ; ici il n'est qu'un ajustement empirique, et rien ne garantit qu'il vaille au-delà des six mois observés. Un bon réflexe consiste à toujours évaluer le modèle en un point très éloigné, comme en c), et à se demander si le résultat est physiquement possible.

a) Le capital est multiplié par $(1+r)^{n}$ en $n$ ans. On cherche $(1+r)^{n}=2$ ; en passant au logarithme, $n\ln(1+r)=\ln 2$, soit $n=\frac{\ln 2}{\ln(1+r)}$. Pour $r=0{,}05$ : $n=\frac{0{,}6931}{0{,}04879}\approx 14{,}21$ ans.

b) $\frac{70}{5}=14$ ans. Écart relatif : $\frac{14{,}21-14}{14{,}21}\approx 1{,}5\ \%$, remarquablement faible pour un calcul de tête.

c) Exact : $\frac{\ln 2}{\ln 1{,}1}\approx 7{,}27$ ans ; règle : $\frac{70}{10}=7$ ans. L'écart relatif monte à $3{,}7\ \%$ : la règle est MOINS bonne quand le taux grandit.

d) Pour $x$ proche de $0$, la courbe de $\ln(1+x)$ est proche de sa tangente : $\ln(1+r)\approx r$. Alors $n\approx\frac{\ln 2}{r}=\frac{0{,}693}{r}=\frac{69{,}3}{r\ \%}$, que l'on arrondit à $70$ pour faciliter le calcul mental. L'approximation se dégrade quand $r$ s'éloigne de $0$, ce qui explique c).

e) Règle : $\frac{70}{2}=35$ ans. Exact : $\frac{\ln 2}{\ln 1{,}02}\approx 35{,}0$ ans. Pour un petit taux, la règle est quasi exacte : en une vie de travail, une inflation de $2\ \%$ suffit à diviser par deux le pouvoir d'achat d'une somme gardée sous le matelas.

a) $M=0{,}025\ \mathrm{kg}$ : $P=3{,}4\times 0{,}025^{0{,}75}\approx 3{,}4\times 0{,}0629\approx 0{,}214\ \mathrm{W}$. La masse doit être en kilogrammes, pas en grammes.

b) $P=3{,}4\times 5\,000^{0{,}75}\approx 3{,}4\times 594{,}6\approx 2\,022\ \mathrm{W}$.

c) $\frac{2\,022}{0{,}214}\approx 9\,457$, et c'est exactement $200\,000^{0{,}75}$ : le coefficient $3{,}4$ se simplifie dans le rapport. La puissance est multipliée par moins de dix mille, alors que la masse l'est par deux cent mille.

d) Souris : $\frac{0{,}214}{0{,}025}\approx 8{,}55\ \mathrm{W/kg}$ ; éléphant : $\frac{2\,022}{5\,000}\approx 0{,}404\ \mathrm{W/kg}$. La souris brûle $21$ fois plus d'énergie par kilogramme, rapport égal à $200\,000^{0{,}25}$. C'est pourquoi une souris mange chaque jour une part de son poids, et son cœur bat plus de dix fois plus vite.

e) $\ln P=\ln 3{,}4+0{,}75\ln M$ : une fonction AFFINE de $\ln M$, de pente $0{,}75$. En coordonnées logarithmiques, une loi de puissance devient une droite, et c'est ainsi qu'on repère l'exposant sur des données réelles.

a) $I(5)=\frac{I_{0}}{2}$ donne $\mathrm{e}^{-5k}=\frac{1}{2}$, soit $5k=\ln 2$ et $k=\frac{\ln 2}{5}\approx 0{,}139\ \mathrm{m^{-1}}$. L'intensité $I_{0}$ se simplifie : la profondeur de moitié ne dépend pas de l'éclairage.

b) $\mathrm{e}^{-10k}=\left(\mathrm{e}^{-5k}\right)^{2}=\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{1}{4}$ : il reste $25\ \%$. À $10\ \mathrm{m}$, on n'a PAS perdu toute la lumière, on l'a divisée par deux deux fois.

c) $\mathrm{e}^{-kx}=0{,}01$ donne $x=\frac{\ln 100}{k}=\frac{5\ln 100}{\ln 2}\approx 33{,}2\ \mathrm{m}$.

d) D'un mètre au suivant, l'intensité est multipliée par $\mathrm{e}^{-k}=2^{-1/5}\approx 0{,}871$ : chaque mètre absorbe environ $12{,}9\ \%$ de la lumière qui l'atteint. Ce pourcentage est le même à toute profondeur, ce qui caractérise une décroissance exponentielle.

e) Toutes les distances sont multipliées par $\frac{2}{5}$ : $x=\frac{2\ln 100}{\ln 2}\approx 13{,}3\ \mathrm{m}$. Diviser la profondeur de moitié par $2{,}5$ divise d'autant la zone où la vie végétale est possible.

a) $V=\pi r^{2}h$ donne $h=\frac{330}{\pi r^{2}}$. La surface comprend deux disques et la paroi : $S=2\pi r^{2}+2\pi rh=2\pi r^{2}+2\pi r\times\frac{330}{\pi r^{2}}=2\pi r^{2}+\frac{660}{r}$.

b) $S'(r)=4\pi r-\frac{660}{r^{2}}=\frac{4\pi r^{3}-660}{r^{2}}$. Le dénominateur est positif, $S'$ s'annule et change de signe, du négatif au positif, quand $r^{3}=\frac{660}{4\pi}=\frac{165}{\pi}$, soit $r=\left(\frac{165}{\pi}\right)^{1/3}\approx 3{,}745\ \mathrm{cm}$. C'est un minimum.

c) $h=\frac{330}{\pi\times 3{,}745^{2}}\approx 7{,}490\ \mathrm{cm}$, soit exactement $2r$ : la hauteur égale le DIAMÈTRE. En effet $r^{3}=\frac{V}{2\pi}$ donne $h=\frac{V}{\pi r^{2}}=\frac{2\pi r^{3}}{\pi r^{2}}=2r$. La canette optimale est aussi haute que large.

d) $S=2\pi\times 3{,}745^{2}+\frac{660}{3{,}745}\approx 88{,}1+176{,}2\approx 264{,}4\ \mathrm{cm^{2}}$.

e) $h=\frac{330}{9\pi}\approx 11{,}7\ \mathrm{cm}$ et $S=18\pi+220\approx 276{,}5\ \mathrm{cm^{2}}$, soit $4{,}6\ \%$ de métal en plus. Le fabricant accepte ce surcoût : une canette plus fine tient mieux en main, et le couvercle, plus épais que la paroi, coûte moins cher s'il est petit. Le modèle ne tient pas compte de ces contraintes.

a) Avec $u=-\frac{x^{2}}{2}$, $u'=-x$ : $f'(x)=-x\,\mathrm{e}^{-\frac{x^{2}}{2}}$. L'exponentielle est positive, donc $f'$ est du signe de $-x$ : $f$ croît sur $]-\infty\,;0]$, décroît ensuite, et son maximum vaut $f(0)=1$.