Spécialité maths, Première • Exercices corrigés à Montréal
L'exponentielle arrive en fin d'année et se révise mal : les règles de calcul se confondent avec celles des puissances entières, et une seule d'entre elles suffit à faire tomber une question complète. Pourtant tout le chapitre repose sur une propriété unique et facile à retenir : est strictement positif pour tout réel .
Cette fiche ne redit pas les formules du polycopié. Elle montre les huit endroits où les copies se trompent, la phrase exacte à recopier pour chacun, l'arbre qui dit quelle méthode employer selon la FORME de l'équation, et un problème d'élimination de médicament décortiqué étape par étape.
Le fil du chapitre
Une exponentielle ne s'annule jamais et ne change jamais de signe. C'est cette unique propriété qui décide du signe d'un produit, du domaine d'un quotient et de la fin d'une équation : toutes les erreurs du chapitre reviennent à traiter comme un polynôme, c'est-à-dire comme quelque chose qui pourrait valoir zéro.
Écrire « donc le signe de est celui de » rapporte systématiquement un demi-point. Le correcteur cherche cette justification, pas le tableau tout seul.
Une somme d'exponentielles se traite par FACTORISATION, jamais par simplification : , et le second facteur est visiblement positif.
En Première, le logarithme n'est pas disponible : un seuil qui ne se résout pas par identification d'exposants se traite par tableau de valeurs ou par algorithme, et c'est une réponse attendue, pas un aveu d'échec.
Après avoir dérivé un produit contenant une exponentielle, mettre l'exponentielle en facteur avant toute chose. Le signe de la dérivée se lit alors sur le seul facteur polynomial, en une ligne.
Chaque ligne se lit de gauche à droite : les hypothèses, puis le résultat. Une case rouge n'est pas une réponse, c'est le constat que la forme ne décide rien et l'ordre de transformer l'écriture. Chaque cas est suivi d'un exemple chiffré.
Toutes disent la même chose : dans l'exposant, une somme devient un produit. La colonne de droite est ce qu'on a le droit d'écrire, et la ligne d'exemple donne les deux nombres qui le confirment.
| L'écriture de départ | Ce qu'elle devient | Sur un exemple |
|---|---|---|
| Exemple : : les exposants s'additionnent, les valeurs se multiplient. | ||
| Exemple : . C'est la même règle lue à l'envers. | ||
| Exemple : C'est l'INVERSE de , pas son opposé : le résultat reste strictement positif, comme toute exponentielle. | ||
| Exemple : À ne pas confondre avec , où l'exposant lui-même est au carré : en cela donnerait . | ||
| exactement | ||
| Exemple : C'est la deuxième moitié de la définition, avec , et elle donne la condition initiale de tout modèle : une population vaut exactement individus en . | ||
Le signe ne fait jamais partie du calcul : pour tout , donc dans un produit le signe est celui de seul, et cette phrase se rédige dans chaque tableau de signes.
Elles reviennent à chaque copie. Un nombre suffit à les écarter, et ce nombre est plus rapide à écrire qu'une explication.
| L'écriture | Ce qu'on croit pouvoir écrire | La vérité |
|---|---|---|
| ne se simplifie pas du tout règle inexistante | ||
| Exemple : , quand . Rien ne rapproche ces deux nombres. Ce qu'il faut faire : Une SOMME d'exponentielles se factorise, elle ne se fusionne pas : , et c'est cette factorisation que l'énoncé attend pour étudier un signe. | ||
| deux fonctions différentes règle inexistante | ||
| Exemple : En : contre . Un facteur vingt sépare les deux. Ce qu'il faut faire : On lit la position de l'exposant AVANT de calculer : , de dérivée , alors que est une autre fonction, dont la dérivée relève du programme de Terminale. | ||
| une équation à résoudre | aucune solution, jamais règle inexistante | |
| Exemple : L'exponentielle est strictement positive : la plus petite valeur qu'elle prend sur est , et elle reste positive. Ce qu'il faut faire : On écrit la phrase au lieu de chercher : « pour tout réel, donc cette équation n'a pas de solution ». Elle vaut son point. | ||
Ces trois lignes sont la raison pour laquelle une étude de signe avec exponentielle est plus simple qu'elle n'en a l'air : le facteur exponentiel se met de côté dès la première ligne, et tout le travail porte sur le reste.
Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« . »
Ce qu'il faut écrire
« . En revanche ne se simplifie pas; au mieux on factorise : . »
Pourquoi : La règle porte sur le PRODUIT. Le contrôle prend cinq secondes à la calculatrice : alors que .
Ce qu'il ne faut pas écrire
« donc ou , donc ou . »
Ce qu'il faut écrire
« ; or pour tout réel , donc l'équation équivaut à : l'unique solution est . »
Pourquoi : et non : l'exponentielle vaut en zéro, elle ne s'y annule pas. Aucune valeur de ne l'annule, et c'est précisément ce qui rend le produit nul en un seul point.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« : il faut étudier le signe de et celui de dans un tableau à deux lignes. »
Ce qu'il faut écrire
« sur , donc est du signe de : négatif sur , nul en , positif sur . »
Pourquoi : Un facteur de signe constant ne se met pas dans un tableau de signes, il se commente en une phrase. La ligne « signe de » est une ligne de plus sur toute sa longueur : elle n'apprend rien.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« donne , donc . »
Ce qu'il faut écrire
« donne par stricte croissance; en multipliant par , l'inégalité CHANGE de sens : . »
Pourquoi : L'exponentielle conserve l'ordre, la multiplication par un nombre négatif le retourne. Ce sont deux étapes distinctes, et c'est la seconde qui se saute. Le contrôle : tester , qui donne , donc appartient bien à l'ensemble des solutions.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« , donc . »
Ce qu'il faut écrire
« avec , donc . »
Pourquoi : Seule est sa propre dérivée. Dès que est multiplié par un nombre , la dérivée est multipliée par . Le contrôle numérique : le taux d'accroissement de en vaut environ , pas .
Ce qu'il ne faut pas écrire
« . »
Ce qu'il faut écrire
« , car élever à la puissance multiplie l'exposant par . La fonction est une tout autre fonction. »
Pourquoi : L'exposant de l'exponentielle et l'exposant extérieur ne jouent pas le même rôle. En : , alors que .
Ce qu'il ne faut pas écrire
« . »
Ce qu'il faut écrire
« , un nombre strictement positif et strictement inférieur à . »
Pourquoi : Un exposant négatif donne un INVERSE, jamais un opposé. Le repère : un exposant négatif rend le résultat petit, entre et ; il ne le rend jamais négatif.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« : la quantité baisse de par heure. »
Ce qu'il faut écrire
« D'une heure à la suivante, la quantité est multipliée par : la baisse est d'environ par heure, et non de . »
Pourquoi : Le coefficient est un taux CONTINU, pas un pourcentage horaire. Le passage de l'un à l'autre est exactement , et l'écart entre les deux se voit dès la première décimale.
On regarde combien d'exponentielles apparaissent et sous quelle forme, avant de savoir de quoi parle l'exercice.
Si une exponentielle de chaque côté : → identifier les exposants, , et résoudre l'équation obtenue
Exemple : donne , donc
Si plusieurs exponentielles du même côté, en produit ou en quotient → tout ramener à UNE exponentielle avec les règles de calcul, puis identifier
Exemple : donne , donc
Si une exponentielle égale à , ou un produit égal à → utiliser : l'exponentielle ne s'annule jamais, seul l'autre facteur peut le faire
Exemple : a pour solutions et
Si une somme d'exponentielles, ou et ensemble → FACTORISER par la plus petite puissance, jamais simplifier
Exemple : , qui s'annule pour
Le facteur étant positif, tout le signe est porté par la parenthèse.
Si une inéquation avec un exposant contenant un signe moins → identifier les exposants d'abord, retourner l'inégalité ensuite, en deux étapes séparées
Exemple : donne puis
Si un seuil qui ne se ramène pas à une identification d'exposants → tableau de valeurs ou algorithme, avec les deux valeurs encadrantes écrites sur la copie
Exemple : : on lit dans la table, avec et
Le logarithme n'est pas au programme de Première : la réponse par balayage est la réponse attendue, pas un contournement.
Aucune branche ne s'applique ? Poser quand l'équation ne contient que et : on retombe sur un second degré en , et il faut ensuite revenir à en écartant les valeurs négatives de .
Les questions du contrôle se ressemblent toutes. Le verbe désigne l'outil, et il n'y en a que cinq.
Si « simplifier », « écrire sous la forme » → règles de calcul, en ramenant tout à une seule exponentielle
Exemple :
Si « étudier le signe de » → factoriser, dire en une phrase que l'exponentielle est positive, puis étudier le facteur restant
Si « étudier les variations », « dresser le tableau de variations » → dériver, FACTORISER par l'exponentielle, et lire le signe sur le facteur polynomial
Exemple : , du signe de
Si « tangente au point d'abscisse » → calculer et , puis
Exemple : pour en : , , donc
Si un modèle : « la population évolue selon » → le taux d'évolution par unité de temps est , à calculer, jamais à lire sur
Exemple : donne , soit une baisse de
Le mot « conjecturer » n'appelle aucun calcul : il demande la calculatrice et une phrase au conditionnel. C'est la question suivante qui demandera la démonstration.
Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.
Quand l'utiliser : Dès que l'énoncé demande le signe de , ou la position de la courbe par rapport à l'axe des abscisses, avec une exponentielle dans l'expression.
Phrase de conclusion
Pour tout réel , ; donc est du signe de : est strictement négative sur , nulle en , et strictement positive sur .
Le piège : Construire un tableau de signes à deux lignes dont l'une est celle de . Cette ligne ne contient que des , elle n'apporte rien, et elle fait perdre deux minutes en contrôle.
Barème : 0,5 point pour la factorisation, 0,5 point pour la phrase sur la positivité de l'exponentielle, 1 point pour le signe du facteur restant, 0,5 point pour la conclusion par intervalles.
Quand l'utiliser : L'exercice de fin de sujet : une fonction produit d'un polynôme et d'une exponentielle, à étudier sur un intervalle donné.
Phrase de conclusion
; comme , est du signe de , donc est décroissante sur puis croissante sur , avec un minimum .
Le piège : Ne pas factoriser et écrire . Le signe de cette somme est illisible, et la copie s'arrête là alors que la factorisation tenait en une ligne.
Barème : 1 point pour la dérivée, 1 point pour la factorisation, 0,5 point pour la phrase sur le signe de l'exponentielle, 1,5 point pour le tableau complet.
Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.
Tester une simplification sur un nombre
Remplacer par ou par dans l'expression de départ et dans l'expression simplifiée, à la calculatrice. Les deux résultats doivent coïncider.
contre : la simplification est fausse, et cela se voit en cinq secondes.
Vérifier qu'aucun résultat n'est négatif là où il ne peut pas l'être
Toute valeur d'une exponentielle doit être strictement positive. Un annoncé négatif, ou une quantité de médicament négative, signale une erreur de signe.
écrit : l'exponentielle est toujours positive, donc c'est faux. La valeur juste est .
Contrôler une dérivée par un taux d'accroissement numérique
Calculer et comparer à la valeur trouvée pour . Deux décimales suffisent à trancher.
Pour en , le taux donne environ : la dérivée prédisait , elle est donc fausse.
Tester une valeur dans l'ensemble de solutions d'une inéquation
Choisir un nombre simple de l'ensemble trouvé et vérifier qu'il satisfait l'inéquation de départ. Puis en tester un hors de l'ensemble.
Pour avec : donne , vrai; donne , faux. L'ensemble est bon.
Comparer un taux continu et le pourcentage annoncé
Calculer à la calculatrice et le comparer au pourcentage écrit dans la copie. Les deux ne coïncident jamais exactement, et l'écart croît avec .
donne , soit une baisse de ; une copie qui annonce a lu l'exposant au lieu de le calculer.
Une dose de mg d'un médicament est injectée à l'instant . La quantité présente dans le sang, en milligrammes, est modélisée par , où est le temps écoulé en heures.
1. Calculer . 2. Montrer que la quantité diminue d'un pourcentage constant chaque heure, et le calculer. 3. Étudier le sens de variation de . 4. Au bout de combien d'heures entières la quantité devient-elle inférieure à mg ?
Étape 1
mg.
Pourquoi
L'exposant vaut , pas . Écrire l'exposant avant de taper la calculatrice évite l'erreur, et l'unité en fin de résultat vaut souvent un demi-point.
Étape 2
, quel que soit .
Pourquoi
Le quotient de deux exponentielles est une exponentielle de différence, et cette différence ne dépend pas de : c'est exactement ce qui définit un pourcentage CONSTANT. La démonstration tient en une ligne, à condition de partir du quotient.
Étape 3
La quantité est donc multipliée par chaque heure, soit une diminution d'environ par heure.
Pourquoi
Le passage du coefficient multiplicateur au pourcentage se fait par . Lire directement sur l'exposant est l'erreur attendue par le sujet.
Étape 4
. Or pour tout , donc : est strictement décroissante sur .
Pourquoi
Le facteur de est ce qui donne le signe. Sans lui, la dérivée serait positive et la conclusion inversée : c'est le même oubli que dans le piège sur .
Étape 5
Tableau de valeurs : mg et mg. La quantité passe donc sous mg à partir de la douzième heure.
Pourquoi
Le logarithme n'est pas au programme de Première : le balayage EST la méthode attendue. Les deux valeurs encadrantes sont ce qui démontre le mot « à partir de », et elles valent la moitié des points de la question.
Étape 6
Vérification : mg, conforme à la dose injectée; décroît bien de à puis à ; et une baisse de par heure divise environ par en douze heures, ce qui recoupe le résultat.
Pourquoi
Trois contrôles indépendants et rapides : la valeur initiale, la cohérence de la décroissance, et un ordre de grandeur obtenu autrement. Aucun ne demande de refaire les calculs.
Conclusion rédigée
La quantité de médicament vaut environ mg au bout de trois heures, diminue de par heure, décroît strictement, et devient inférieure à mg à partir de la douzième heure.
L'erreur classique sur cet exercice : Répondre « la quantité baisse de par heure » en lisant l'exposant. Le coefficient est un taux continu; le pourcentage horaire est , et l'écart de presque deux points est précisément ce que la question évalue.
Jamais. Elle est strictement positive pour tout nombre réel, aussi grand que soit l'exposant négatif. En moins quatre elle vaut environ zéro virgule zéro dix-huit, un nombre petit mais bien supérieur à zéro. C'est cette propriété qui permet de dire, dans un produit, que le signe est porté par l'autre facteur.
On ne la simplifie pas, on la factorise. Les règles de calcul transforment un produit d'exponentielles en exponentielle de somme, jamais une somme d'exponentielles en une seule. On met donc en facteur la plus petite des deux, ce qui laisse une parenthèse dont le signe est facile à étudier.
Parce que seule l'exponentielle de x toute seule est égale à sa propre dérivée. Pour l'exponentielle de a fois t, la dérivée vaut a fois l'exponentielle de a fois t : pour l'exponentielle de trois x, c'est trois fois l'exponentielle de trois x. Une constante ajoutée dans l'exposant se sort en facteur et ne change pas ce coefficient. La formule générale, pour un exposant quelconque, est vue en Terminale.
L'exponentielle étant strictement croissante, on peut identifier les exposants en gardant le sens de l'inégalité. C'est ensuite, si l'exposant contient un signe moins qu'il faut éliminer, que l'inégalité change de sens. Les deux étapes sont distinctes et il faut les écrire séparément sur la copie.
On calcule le quotient de deux valeurs séparées d'une unité de temps : il vaut l'exponentielle du coefficient placé devant le temps, et il ne dépend pas de l'instant choisi. Le pourcentage s'obtient ensuite en retranchant un à ce coefficient multiplicateur. Lire le pourcentage directement sur l'exposant donne toujours un résultat faux.
Par tableau de valeurs à la calculatrice, ou par un algorithme qui répète le calcul tant que le seuil n'est pas franchi. C'est la méthode attendue au programme de Première, où le logarithme n'existe pas encore. Sur la copie, il faut écrire la valeur au rang trouvé ET celle du rang précédent, faute de quoi le mot premier n'est pas démontré.
© Ahmed Squalli Houssaini. Fiche publiée sur www.letuteurscientifique.ca/fiches/1spe-exponentielle. Libre pour l'usage personnel et en classe ; sa republication ailleurs demande une autorisation écrite (mentions légales).
