Exercices corrigés : l'approche historique de la fonction logarithme (maths complémentaires)

$\log 1000=\log 10^{3}=3$. $\log 0{,}01=\log 10^{-2}=-2$. $\log 1=\log 10^{0}=0$. Enfin $\log\sqrt{10}=\log 10^{1/2}=\frac{1}{2}=0{,}5$.

$\log 6=\log(2\times 3)=0{,}3010+0{,}4771=0{,}7781$. Pour 5 on écrit $5=\frac{10}{2}$, donc $\log 5=1-0{,}3010=0{,}6990$. Pour 12 on écrit $12=2^{2}\times 3$, donc $\log 12=2\times 0{,}3010+0{,}4771=1{,}0791$. Enfin $1{,}5=\frac{3}{2}$, donc $\log 1{,}5=0{,}4771-0{,}3010=0{,}1761$.

Non. Les propriétés du logarithme ne permettent de déduire que les nombres qui s'écrivent comme produits et quotients de puissances de 2, de 3 et de 10. Or 7 est un nombre premier, étranger à 2, 3 et 5 : aucune combinaison de ces facteurs ne le donne. C'est exactement pour cette raison que les tables historiques listaient une valeur par nombre premier, et que leur construction a demandé des années de calcul.

Prenons $a=b=1$ : $\log(1+1)=\log 2\approx 0{,}3010$, tandis que $\log 1+\log 1=0+0=0$. Les deux membres diffèrent. La confusion vient du fait que la propriété du logarithme relie bien une somme et un produit, mais dans l'autre sens : c'est le produit à l'intérieur qui devient une somme à l'extérieur. Une somme à l'intérieur ne se simplifie pas du tout.

On additionne : $3{,}73496+3{,}94275=7{,}67771$. La partie entière 7 annonce un nombre à huit chiffres, de l'ordre de $10^{7}$. Il reste à trouver le nombre dont le logarithme vaut $0{,}67771$, ce que la table donne à rebours : environ $4{,}7611$. Le produit vaut donc environ $4{,}7611\times 10^{7}$, soit 47 611 000. La valeur exacte est 47 611 480 : l'écart est d'environ un cent-millième, entièrement dû aux arrondis de la table à cinq décimales.

On a $5432=54{,}32\times 100$, donc $\log 5432=\log 54{,}32+2$. Les deux logarithmes diffèrent d'un entier, donc leurs parties décimales sont identiques. C'est ce qui rendait les tables utilisables : on n'y listait que la partie décimale, appelée mantisse, pour les nombres entre 1 et 10, et la partie entière, appelée caractéristique, se lisait directement sur l'ordre de grandeur. Une table de quelques pages suffisait ainsi pour tous les nombres.

$\log\left(5432^{3}\right)=3\times 3{,}73496=11{,}20488$. La caractéristique 11 annonce un nombre à douze chiffres, et la mantisse $0{,}20488$ correspond à environ $1{,}6028$. Donc $5432^{3}\approx 1{,}6028\times 10^{11}$, soit environ 160 280 000 000. La valeur exacte est 160 279 981 568. Une puissance devient une simple multiplication : c'est le second grand avantage de la méthode.

$\log\sqrt{5432}=\frac{3{,}73496}{2}=1{,}86748$. La caractéristique 1 annonce un nombre à deux chiffres avant la virgule, et la mantisse $0{,}86748$ correspond à environ $7{,}3702$. Donc $\sqrt{5432}\approx 73{,}70$. Vérification : $73{,}70^{2}=5431{,}69$, ce qui est bien cohérent. Une racine devient une division par 2, opération qu'un calculateur du 17e siècle savait faire de tête.

Deux exemples parmi d'autres. Premièrement, toutes les échelles de mesure de la perception ou des phénomènes très étendus, pH, magnitude sismique, magnitude stellaire, niveau sonore : y additionner des unités revient à multiplier des grandeurs physiques, et c'est précisément cette conversion que l'on cherche. Deuxièmement, le calcul d'ordres de grandeur et la stabilité numérique en informatique : quand un algorithme multiplie des milliers de probabilités toutes petites, le produit devient nul par arrondi, alors que la somme de leurs logarithmes reste parfaitement calculable. C'est la raison pour laquelle les logiciels de statistique travaillent en log-vraisemblance.

Pour deux séismes de magnitudes $M_{1}$ et $M_{2}$, $\frac{E_{2}}{E_{1}}=\frac{E_{0}\times 10^{1{,}5M_{2}}}{E_{0}\times 10^{1{,}5M_{1}}}=10^{1{,}5\left(M_{2}-M_{1}\right)}$. L'énergie de référence disparaît, et seul l'écart de magnitude compte. C'est la signature d'une échelle logarithmique : ce qui a un sens, ce sont les différences de magnitude, jamais les magnitudes prises isolément.

L'écart vaut 2, donc le rapport est $10^{1{,}5\times 2}=10^{3}=1000$. Le séisme de magnitude 7 libère mille fois plus d'énergie.

L'écart vaut cette fois 1, donc le rapport est $10^{1{,}5}\approx 31{,}6$. Un point de magnitude correspond donc toujours à un facteur d'environ 32 sur l'énergie, quel que soit l'endroit de l'échelle où l'on se place.

On cherche $M$ tel que $10^{1{,}5(M-6)}=100$, soit $1{,}5(M-6)=2$, donc $M-6=\frac{4}{3}$ et $M\approx 7{,}3$. Multiplier l'énergie par 100 ne coûte qu'environ $1{,}3$ point de magnitude.

L'écart de magnitude vaut 4, donc le rapport des énergies vaut $10^{1{,}5\times 4}=10^{6}$ : le séisme de magnitude 8 a libéré un million de fois plus d'énergie, pas deux fois plus. Le journaliste a lu la magnitude comme une mesure directe, alors qu'elle est un exposant. Une formulation exacte et lisible serait : « le séisme de magnitude 8 a libéré environ un million de fois plus d'énergie que celui de magnitude 4 ; sur cette échelle, chaque point supplémentaire correspond à une énergie multipliée par 32 environ. »

$\mathrm{pH}=-\log\left(2{,}5\times 10^{-4}\right)=-\left(\log 2{,}5-4\right)=4-\log 2{,}5\approx 4-0{,}3979\approx 3{,}60$.

De $\mathrm{pH}=-\log\left[\mathrm{H}_{3}\mathrm{O}^{+}\right]$ on tire $\left[\mathrm{H}_{3}\mathrm{O}^{+}\right]=10^{-\mathrm{pH}}=10^{-8{,}4}\approx 3{,}98\times 10^{-9}$ mole par litre. La solution est basique, sa concentration en ions hydronium est très faible.

Diluer dix fois divise la concentration par 10. Le nouveau pH vaut $-\log\frac{c}{10}=-\log c+\log 10=\mathrm{pH}+1$. Le pH augmente donc exactement d'une unité, quelle que soit la valeur de départ. C'est la traduction directe de la propriété fondamentale du logarithme.

Non. Ce sont les concentrations qui se moyennent, pas les pH. La première solution a une concentration de $10^{-3}$ et la seconde de $10^{-5}$ mole par litre. À volumes égaux, le mélange a pour concentration $\frac{10^{-3}+10^{-5}}{2}=\frac{0{,}001+0{,}00001}{2}=5{,}05\times 10^{-4}$ mole par litre, d'où $\mathrm{pH}=-\log\left(5{,}05\times 10^{-4}\right)\approx 3{,}30$. Le mélange est presque aussi acide que la solution la plus acide, et non intermédiaire : la solution de pH 5 apporte cent fois moins d'ions que l'autre, elle ne fait pratiquement que diluer. La figure du corrigé porte les deux solutions et le mélange sur l'échelle des pH : c'est la rangée des concentrations qui se moyenne, jamais celle des pH.

Notons $c_{1}=10^{-\mathrm{pH}_{1}}$ et $c_{2}=10^{-\mathrm{pH}_{2}}$. Comme $\mathrm{pH}_{1}\leq \mathrm{pH}_{2}$, on a $0<c_{2}\leq c_{1}$. La concentration du mélange vaut $c=\frac{c_{1}+c_{2}}{2}$, donc $\frac{c_{1}}{2}<c\leq c_{1}$. La fonction $-\log$ étant décroissante, on obtient $-\log c_{1}\leq-\log c<-\log\frac{c_{1}}{2}$, c'est-à-dire $\mathrm{pH}_{1}\leq \mathrm{pH}\leq \mathrm{pH}_{1}+\log 2$. Comme $\log 2\approx 0{,}30$, le pH d'un mélange à volumes égaux ne peut jamais s'écarter de plus de trois dixièmes du pH le plus acide, même si la seconde solution est un million de fois moins concentrée. La question d) en est l'illustration : $3{,}297$ est juste en dessous de la limite supérieure $3+\log 2\approx 3{,}301$.

En passant au logarithme népérien : $x\ln 3=\ln 50$, donc $x=\frac{\ln 50}{\ln 3}\approx\frac{3{,}9120}{1{,}0986}\approx 3{,}5609$.

$n\ln 1{,}05\geq\ln 2$, et $\ln 1{,}05>0$, donc le sens est conservé : $n\geq\frac{\ln 2}{\ln 1{,}05}\approx 14{,}2067$. Le plus petit entier convenable est $n=15$. C'est la règle du doublement d'un capital à 5 % : environ quinze ans.

$n\ln 0{,}85\leq\ln 0{,}01$. Ici $\ln 0{,}85\approx -0{,}1625$ est négatif, donc la division renverse l'inégalité : $n\geq\frac{\ln 0{,}01}{\ln 0{,}85}\approx\frac{-4{,}6052}{-0{,}1625}\approx 28{,}3362$. Le plus petit entier convenable est $n=29$. C'est l'erreur de signe la plus fréquente du chapitre : la solution est bien $n\geq 29$ et non $n\leq 28$.

$x\ln 2=(x-1)\ln 3$, soit $x\ln 2-x\ln 3=-\ln 3$, donc $x\left(\ln 2-\ln 3\right)=-\ln 3$ et $x=\frac{\ln 3}{\ln 3-\ln 2}\approx\frac{1{,}0986}{0{,}4055}\approx 2{,}7095$. Vérification : $2^{2{,}7095}\approx 6{,}5410$ et $3^{1{,}7095}\approx 6{,}5410$.

L'ensemble de définition impose d'abord $x>0$ et $x-3>0$, donc $x>3$. L'équation devient $\log\left(x(x-3)\right)=1$, soit $x^{2}-3x=10$, c'est-à-dire $x^{2}-3x-10=0$. Le discriminant vaut $9+40=49$, et les racines sont $x=5$ et $x=-2$. Seule $x=5$ appartient à l'ensemble de définition : la solution est $x=5$. La racine $-2$ est un artefact du passage à l'équation polynomiale, et l'oublier de rejeter est l'erreur la plus coûteuse de cet exercice. Vérification : $\log 5+\log 2=\log 10=1$.

On obtient successivement $\log 120\approx 2{,}0792$, $\log 174\approx 2{,}2405$, $\log 252\approx 2{,}4014$, $\log 366\approx 2{,}5635$, $\log 530\approx 2{,}7243$ et $\log 769\approx 2{,}8859$.

Les écarts successifs valent $0{,}1613$, $0{,}1609$, $0{,}1621$, $0{,}1608$ et $0{,}1616$ : ils sont pratiquement constants, ce qui est exactement la caractéristique d'un alignement. Le coefficient directeur de la droite joignant le premier et le dernier point vaut $\frac{2{,}8859-2{,}0792}{5-0}\approx 0{,}1613$.

L'ordonnée à l'origine est $\log 120\approx 2{,}0792$, donc $\log y\approx 0{,}1613\,t+2{,}0792$. En repassant aux puissances de 10 : $y\approx 10^{2{,}0792}\times\left(10^{0{,}1613}\right)^{t}=120\times 1{,}45^{t}$. Le nombre d'utilisateurs est donc multiplié par $1{,}45$ chaque mois, ce qui correspond à une croissance de 45 % par mois.

$y(8)\approx 120\times 1{,}45^{8}\approx 120\times 19{,}541\approx 2345$ milliers d'utilisateurs, soit environ 2,3 millions. On peut aussi rester en logarithmes : $\log y\approx 0{,}1613\times 8+2{,}0792\approx 3{,}3696$, et $10^{3{,}3696}\approx 2342$, l'écart venant des arrondis.

Une droite en repère ordinaire signale une croissance linéaire, $y=at+b$ : c'est l'accroissement qui est constant. Une droite en repère semi-logarithmique, où l'on porte $\log y$ contre $t$, signale une croissance exponentielle $y=Aq^{t}$ : c'est le taux de croissance qui est constant, donc le rapport d'un mois au suivant. Une droite en repère logarithmique dans les deux directions, où l'on porte $\log y$ contre $\log t$, signale une loi de puissance $y=At^{k}$, le coefficient directeur valant l'exposant $k$ : on la rencontre en biologie pour les lois d'échelle et en économie pour les distributions de richesse. Choisir le bon papier, c'est donc déjà formuler une hypothèse sur la nature du phénomène.

Cinq grandeurs d'écart, de la première à la sixième, correspondent à un rapport de flux de 100. Si chaque grandeur multiplie le flux par un même facteur $k$, alors $k^{5}=100$, donc $k=100^{1/5}=10^{2/5}=10^{0{,}4}\approx 2{,}512$. En passant au logarithme, un écart d'une magnitude correspond à $\log k=0{,}4$, donc un écart de $\Delta m$ correspond à $\log\frac{F}{F'}=0{,}4\,\Delta m$, soit $\Delta m=2{,}5\log\frac{F}{F'}$. Le coefficient $2{,}5$ n'est donc pas un choix arbitraire : c'est l'inverse de $0{,}4$, imposé par la volonté de conserver le classement d'Hipparque tout en le rendant quantitatif.

L'écart de magnitude vaut $0-(-1{,}46)=1{,}46$, donc $\frac{F_{\text{Sirius}}}{F_{\text{Véga}}}=10^{1{,}46/2{,}5}=10^{0{,}584}\approx 3{,}84$. Sirius est environ 3,84 fois plus brillante que Véga.

L'écart vaut 5 magnitudes, donc le rapport des flux vaut $10^{5/2{,}5}=10^{2}=100$ : c'est exactement la mesure historique du a), ce qui est rassurant puisque l'échelle a été construite pour cela.

L'écart vaut $31-6=25$ magnitudes, donc le rapport des flux vaut $10^{25/2{,}5}=10^{10}$. Hubble détecte des objets dix milliards de fois moins lumineux que la limite de l'œil nu.

L'échelle est croissante vers les étoiles faibles parce qu'Hipparque a numéroté ses classes par ordre d'apparition dans le ciel du soir : les plus brillantes se voient les premières et forment la première grandeur. La convention a été conservée par respect de deux mille ans de catalogues, au prix d'un signe moins dans la définition moderne. Quant à l'échelle logarithmique, elle s'imposait pour deux raisons. D'abord l'étendue : entre l'étoile la plus brillante et l'objet le plus faible détecté, le rapport de flux dépasse $10^{20}$, un intervalle qu'aucune graduation linéaire ne peut représenter. Ensuite la perception : l'œil, comme l'oreille, réagit approximativement aux rapports d'intensité et non aux différences, si bien qu'Hipparque, en classant simplement ce qu'il voyait, avait déjà construit sans le savoir une échelle logarithmique. C'est le même mécanisme qui a produit plus tard le décibel et le pH.

Par définition de la demi-vie, $p(5730)=\frac{1}{2}$, donc $\mathrm{e}^{-5730\lambda}=\frac{1}{2}$. En passant au logarithme népérien : $-5730\lambda=-\ln 2$, d'où $\lambda=\frac{\ln 2}{5730}\approx 0{,}000120968$ par an.

On résout $\mathrm{e}^{-\lambda t}=0{,}32$, soit $-\lambda t=\ln 0{,}32$, donc $t=\frac{-\ln 0{,}32}{\lambda}=\frac{1{,}13943}{0{,}000120968}\approx 9419$ ans, soit environ 9420 ans.

Première méthode : après chaque demi-vie la proportion est divisée par 2, donc après trois demi-vies elle vaut $\left(\frac{1}{2}\right)^{3}=\frac{1}{8}=12{,}5\ \%$. Seconde méthode : trois demi-vies représentent $3\times 5730=17\,190$ ans, et $p(17\,190)=\mathrm{e}^{-0{,}000120968\times 17\,190}\approx\mathrm{e}^{-2{,}0794}\approx 0{,}125$. Les deux méthodes concordent, ce qui est attendu puisque $\mathrm{e}^{-3\ln 2}=2^{-3}$.

Pour 33 % : $t=\frac{-\ln 0{,}33}{\lambda}\approx 9165$ ans. Pour 31 % : $t=\frac{-\ln 0{,}31}{\lambda}\approx 9682$ ans. L'âge est donc compris entre 9165 et 9682 ans, soit environ $9420\pm 260$ ans. Une incertitude de un point sur une proportion de 32 % se traduit par une incertitude de 260 ans sur un âge de 9400 ans, soit moins de 3 % : la datation est fiable dans cette gamme.

À 50 000 ans, $p=\mathrm{e}^{-0{,}000120968\times 50\,000}=\mathrm{e}^{-6{,}048}\approx 0{,}00236$, soit 0,236 % : il ne reste que deux atomes sur mille. Or l'âge s'écrit $t=\frac{-\ln p}{\lambda}$, dont la dérivée est $\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}p}=\frac{-1}{\lambda p}$. Une variation $\Delta p=0{,}0005$ déplace donc l'âge de $\frac{\Delta p}{\lambda p}=\frac{0{,}0005}{0{,}000120968\times 0{,}00236}\approx 1750$ ans. La comparaison avec le d) est frappante : la même erreur relative pèse d'autant plus lourd que la proportion restante est faible, parce que le logarithme, très plat près de 1 et très raide près de 0, amplifie les erreurs sur les petites proportions. À cela s'ajoute que 0,236 % est proche du seuil de détection des instruments et de la contamination naturelle des échantillons. La limite de 50 000 ans n'est donc pas une frontière arbitraire : c'est l'âge au-delà duquel l'incertitude de la méthode devient plus grande que ce qu'elle prétend mesurer.

$S(0)=30\ln 1=0$ : sans aucune révision le modèle prédit un score nul, ce qui est une simplification puisque l'élève sait déjà quelque chose. $S(4)=30\ln 5\approx 48{,}3$, $S(9)=30\ln 10\approx 69{,}1$ et $S(19)=30\ln 20\approx 89{,}9$.

$S'(x)=\frac{30}{x+1}$, strictement positive pour tout $x$ positif : la fonction est strictement croissante, réviser ne fait jamais baisser le score. On a $S'(0)=30$, $S'(9)=3$ et $S'(19)=1{,}5$. Cette dérivée mesure le gain de points apporté par une heure de révision supplémentaire : la première heure vaut environ trente points, la dixième environ trois, la vingtième un et demi.

$30\ln(x+1)=60$ donne $\ln(x+1)=2$, donc $x=\mathrm{e}^{2}-1\approx 6{,}39$ heures. De même $30\ln(x+1)=90$ donne $\ln(x+1)=3$, donc $x=\mathrm{e}^{3}-1\approx 19{,}09$ heures.

Les trente premiers points s'obtiennent en $\mathrm{e}-1\approx 1{,}72$ heure, les trente suivants coûtent $6{,}39-1{,}72\approx 4{,}67$ heures de plus, et les trente d'après $19{,}09-6{,}39\approx 12{,}70$ heures encore. Chaque tranche de trente points coûte donc environ $\mathrm{e}\approx 2{,}72$ fois plus de temps que la précédente : le coût des tranches suit une progression géométrique alors que le gain suit une progression arithmétique. C'est la loi des rendements décroissants, et c'est précisément ce que le logarithme sert à modéliser. La figure du corrigé montre les trois tranches : à gain égal de trente points, la largeur en heures est multipliée par $\mathrm{e}$ à chaque fois.

Le défaut est que la fonction n'est pas bornée : $\ln(x+1)$ tend vers $+\infty$, donc le modèle finit par prédire des scores supérieurs à 100, ce qui n'a aucun sens pour une note sur 100. On résout $30\ln(x+1)>100$, soit $x>\mathrm{e}^{10/3}-1\approx 27{,}03$ : le modèle n'est utilisable que sur l'intervalle $[0\ ;\ 27]$ environ. Une correction naturelle consiste à prendre un modèle qui tend vers un palier, par exemple $S(x)=100\left(1-\mathrm{e}^{-kx}\right)$ : il conserve les rendements décroissants et la croissance stricte, mais il est majoré par 100 quel que soit $x$. On ajusterait $k$ sur les mêmes données que le modèle logarithmique.

L'affirmation confond la pente et le signe de la pente. Sur un repère semi-logarithmique, une pente positive plus faible signifie que le taux de croissance a diminué, donc que l'épidémie croît moins vite, mais elle croît toujours : le nombre de cas continue d'augmenter à chaque instant. Il faudrait une pente négative pour que le nombre de malades diminue. C'est exactement l'erreur commise en masse dans la presse au printemps 2020, et elle est d'autant plus facile à commettre que l'échelle logarithmique aplatit visuellement les courbes exponentielles.

Faux, la différence est d'un facteur 10. La concentration en ions hydronium vaut $10^{-6}$ contre $10^{-7}$ mole par litre : la solution de pH 6 est dix fois plus acide. Un point de pH n'est pas une petite différence, c'est un ordre de grandeur. C'est d'ailleurs pour cela que l'on mesure le pH au centième dans les analyses médicales : un pH sanguin de 7,35 et un pH de 7,45 délimitent la plage normale, et un écart de quelques dixièmes met la vie en danger.

Faux pour les réels strictement négatifs. Si $x=-10$, alors $x^{2}=100$ et $\log\left(x^{2}\right)=2$, tandis que $\log x=\log(-10)$ n'existe pas : le membre de gauche est défini et celui de droite ne l'est pas. Les deux expressions n'ont donc pas le même ensemble de définition, ce qui suffit à invalider l'égalité. La formule correcte pour tout $x$ non nul est $\log\left(x^{2}\right)=2\log|x|$.

Absurde. $\log 0$ n'existe pas : par définition $\log y$ est l'exposant $a$ tel que $10^{a}=y$, et aucune puissance de 10 ne vaut 0, puisqu'elles sont toutes strictement positives. Ce qui est vrai, c'est que $\log x$ tend vers $-\infty$ lorsque $x$ tend vers 0 par valeurs positives : $\log 10^{-100}=-100$. Il n'y a donc pas de valeur limite finie à attribuer, et surtout pas $-1$, qui est le logarithme de $0{,}1$.

Faux, ou plutôt vrai en logarithme et faux en grandeur réelle. Deux droites parallèles en semi-logarithmique ont le même coefficient directeur, donc le même $\log q$, donc le même taux de croissance. L'écart constant porte sur $\log y$, ce qui signifie que c'est le RAPPORT des deux grandeurs qui reste constant, et non leur différence. Concrètement, si l'une vaut toujours le double de l'autre, l'écart absolu double lui aussi à chaque période et devient énorme, alors que les deux droites restent sagement parallèles à l'écran. C'est la lecture la plus contre-intuitive de ces graphiques, et la plus utile : le semi-logarithmique compare des rythmes, jamais des quantités.

En passant au logarithme, qui est croissant : $k-1\leq\log N<k$. Donc $k-1$ est la partie entière de $\log N$, et $k=\lfloor\log N\rfloor+1$. Par exemple $\log 999\approx 2{,}9996$ donne $3$ chiffres, et $\log 1\,000=3$ en donne $4$.

$\log\left(2^{2024}\right)=2\,024\times 0{,}30103\approx 609{,}28$ : $2^{2024}$ compte $610$ chiffres.

$\log\left(3^{100}\right)=100\log 3\approx 47{,}71$ : $48$ chiffres.

$82\,589\,933\times 0{,}30103\approx 24\,862\,047{,}2$ : ce nombre compte $24\,862\,048$ chiffres. Imprimé à raison de $3\,000$ chiffres par page, il remplirait plus de huit mille pages.

$2^{n}>10^{100}$ équivaut à $n\log 2>100$, soit $n>\frac{100}{0{,}30103}\approx 332{,}2$ : $n=333$. Pour le premier chiffre de $2^{2024}$ : $2^{2024}=10^{609{,}2847}=10^{0{,}2847}\times 10^{609}\approx 1{,}93\times 10^{609}$. Le premier chiffre est $1$ : la partie DÉCIMALE du logarithme donne les premiers chiffres, la partie entière la place de la virgule.