Maths complémentaires, Terminale • Exercices corrigés à Montréal

Fiche de révision : la fonction logarithme décimal (maths complémentaires)

Q: Que signifie une unité de plus sur une échelle logarithmique ?

Une multiplication par dix de la grandeur mesurée, pas une addition de dix. C'est vrai pour l'échelle de Richter, pour les décibels et, au signe près, pour le pH. Deux unités correspondent donc à un facteur cent, ce qui rend ces échelles très compactes et très trompeuses à la lecture.

Q: Peut-on faire la moyenne de deux pH ?

Non, jamais. Le pH est un logarithme : c'est la concentration en ions qui se moyenne, en tenant compte des volumes, puis on repasse au logarithme. Le mélange à volumes égaux de solutions de pH trois et cinq donne un pH de trois virgule trois, et non quatre, car la plus acide contient cent fois plus d'ions.

Q: Quelle différence entre le logarithme décimal et le logarithme népérien ?

Ils sont proportionnels : le logarithme décimal vaut le népérien divisé par le logarithme népérien de dix, soit environ deux virgule trois. Le décimal répond à la question quelle puissance de dix, ce qui en fait la fonction naturelle des échelles graduées en puissances de dix, comme le pH ou les décibels.

Q: Comment résoudre une équation où l'inconnue est en exposant ?

En prenant le logarithme des deux membres, ce qui fait descendre l'exposant devant. On divise ensuite par le logarithme de la base. S'il s'agit d'une inéquation et que la base est inférieure à un, ce logarithme est négatif et le sens de l'inégalité se retourne à la division.

Q: Pourquoi trace-t-on des graphiques semi-logarithmiques ?

Parce qu'une croissance exponentielle y devient une droite : en portant le logarithme de la grandeur en ordonnée, on transforme la multiplication répétée en addition répétée. C'est donc un test visuel immédiat du caractère exponentiel d'un phénomène, et la pente de la droite donne le logarithme de la raison.

Q: Le logarithme d'une somme se décompose-t-il ?

Non. Seuls les produits, les quotients et les puissances se décomposent. Le logarithme de sept ne vaut pas la somme des logarithmes de quatre et de trois : cette somme donne le logarithme de douze. Le test numérique le montre en deux touches de calculatrice.

Le logarithme décimal a été inventé pour transformer des multiplications en additions, à une époque où l'on calculait à la main. C'est encore sa fonction aujourd'hui : les échelles de pH, de Richter et de décibels compressent des grandeurs qui s'étalent sur dix ordres de grandeur.

Cette fiche liste les huit erreurs qui reviennent, avec la phrase exacte qui les remet, la lecture d'une échelle logarithmique et d'un graphique semi-logarithmique, l'arbre des équations exponentielles, et un calcul de pH de mélange décortiqué ligne par ligne.

Le fil du chapitre

Une échelle logarithmique compte des MULTIPLICATIONS, pas des additions : passer d'une graduation à la suivante multiplie par dix. C'est pour cela qu'on ne moyenne jamais des pH, des décibels ni des magnitudes.

Ce chapitre fait partie de Maths complémentaires en Terminale

Avant ce chapitre

Cette fiche suppose ces notions acquises. Si une méthode ci-dessous reste opaque, c'est presque toujours l'une d'elles qui manque, pas la fiche.

La fonction exponentiellePremière, Mathématiques Fiche

Remonter plus loin : la chaîne complète (10 chapitres) ↓

Le chemin de remédiation, du plus ancien au plus proche. Un élève qui reprend ce chapitre de zéro le reprend dans cet ordre.

1Généralités sur les fonctionsSeconde, Mathématiques
2Fonctions affines et systèmesSeconde, Mathématiques
3Algorithmique et PythonSeconde, Mathématiques
4Les suites numériquesPremière, Mathématiques
5La dérivationPremière, Mathématiques
6La fonction exponentiellePremière, Mathématiques
7La notion de fonctionTroisième, Mathématiques
8Les fonctions affinesTroisième, Mathématiques
9Équations, équations produit et inéquationsTroisième, Mathématiques
10Algorithmique et ScratchTroisième, Mathématiques

Notions couvertes

Logarithme décimal
Propriétés algébriques du logarithme
Échelle logarithmique
Graphique semi-logarithmique
Équation exponentielle
Sens d'une inéquation
Échelle de pH
Échelle de Richter
Niveau sonore
Dérivée du logarithme

L'essentiel

Une échelle logarithmique compte des multiplications

• $\log x$ est l'unique exposant tel que $10^{\log x}=x$ , défini seulement pour $x>0$ . En particulier $\log 10^{n}=n$ .
• Sur une échelle logarithmique, passer d'une graduation à la suivante MULTIPLIE la grandeur par $10$ , il ne l'augmente pas de $10$ .
• Une différence de deux unités correspond donc à un facteur $100$ , et de trois unités à un facteur $1000$ .
• C'est ce qui permet de représenter sur un même axe des grandeurs allant de $10^{-14}$ à $10^{0}$ , comme les concentrations en ions oxonium.

Les sept graduations sont régulièrement espacées, et pourtant les valeurs qu'elles portent sont multipliées par dix à chaque pas. C'est exactement ce que fait une échelle de Richter ou de pH.

L'ordre de grandeur d'un nombre se lit directement dans la partie entière de son logarithme : $\log(2{,}5\times 10^{-4})\approx-3{,}6$ , donc le nombre est entre $10^{-4}$ et $10^{-3}$ .

Les propriétés, et leur seul sens de lecture

• $\log(ab)=\log a+\log b$ , $\log\frac{a}{b}=\log a-\log b$ , $\log(a^{n})=n\log a$ et $\log\sqrt{a}=\frac{1}{2}\log a$ , pour $a$ et $b$ strictement positifs.
• Ce qui n'existe pas : $\log(a+b)$ ne se décompose PAS, et $\left(\log a\right)^{n}$ n'est pas $\log(a^{n})$ .
• Lien avec le logarithme népérien : $\log x=\frac{\ln x}{\ln 10}$ , avec $\ln 10\approx 2{,}302585$ .
• $\log 0$ n'existe pas, et $\log x$ tend vers $-\infty$ quand $x$ tend vers $0$ par valeurs positives.

Le logarithme transforme les PRODUITS en sommes : c'est exactement ce pour quoi Napier l'a inventé, afin de remplacer des multiplications de sept chiffres par des additions lues dans une table.

Sur un graphique semi-logarithmique, une exponentielle est une droite

• On porte $\log y$ en ordonnée, et $t$ en abscisse, sans toucher à l'axe horizontal.
• Une croissance exponentielle $y=A\times q^{t}$ devient $\log y=\log A+t\log q$ : une fonction AFFINE de $t$ , donc une droite.
• Le coefficient directeur de cette droite vaut $\log q$ , et son ordonnée à l'origine $\log A$ .
• C'est le test graphique d'une croissance exponentielle : si les points s'alignent en semi-logarithmique, le modèle est exponentiel.

La population double toutes les

3{,}32

unités de temps, et pourtant les points s'alignent parfaitement : c'est

\log y

qui est porté en ordonnée, pas

y

Résoudre une équation exponentielle

• $a^{x}=b$ avec $a>0$ et $a\neq 1$ : on prend le logarithme des deux membres, d'où $x=\frac{\ln b}{\ln a}$ , ou de façon équivalente $\frac{\log b}{\log a}$ .
• Si $0<a<1$ , alors $\ln a<0$ : diviser une INÉQUATION par ce nombre RENVERSE son sens.
• On isole toujours la puissance AVANT de prendre le logarithme : un logarithme de somme ne se décompose pas.
• Dérivées : $\left(\ln x\right)'=\frac{1}{x}$ sur $]0\,;+\infty[$ , et plus généralement $\left(\ln u\right)'=\frac{u'}{u}$ .

Les règles de calcul en tableau

Chaque ligne se lit de gauche à droite : les hypothèses, puis le résultat. Une case rouge n'est pas une réponse, c'est le constat que la forme ne décide rien et l'ordre de transformer l'écriture. Chaque cas est suivi d'un exemple chiffré.

Une différence sur l'échelle, un FACTEUR sur la grandeur

C'est toute la lecture d'une échelle logarithmique, et la source de la moitié des erreurs du chapitre : on additionne sur l'échelle, on multiplie sur la grandeur.

Écart de $\log$	Ce que cela veut dire	Facteur sur la grandeur
$+1$	une graduation plus haut	$\times 10$
Exemple : Un pH de $5$ contre un pH de $6$ : la concentration en ions oxonium passe de $10^{-6}$ à $10^{-5}$ mol/L, elle est DIX fois plus grande, pas plus grande de $10$ .
$+2$	deux graduations	$\times 100$
Exemple : Une magnitude $7$ contre une magnitude $5$ : l'amplitude du séisme est $100$ fois plus grande.
$+3$	trois graduations	$\times 1000$
Exemple : De $10^{-14}$ à $10^{-11}$ : trois graduations, et pourtant un facteur mille.
$+0{,}301$	moins d'une graduation	$\times 2$
Exemple : $\log 2\approx 0{,}301$ : un doublement représente à peine un tiers de graduation, ce qui explique qu'une croissance exponentielle paraisse plate en échelle logarithmique.
$-1$	une graduation plus bas	$\div 10$
Exemple : Un signal atténué d'une graduation est dix fois plus faible : $\log 0{,}1=-1$ .

Sur un graphique semi-logarithmique, une croissance exponentielle $y=A\times q^{t}$ devient la droite $\log y=\log A+t\log q$ . Le coefficient directeur est $\log q$ , donc une droite de pente $0{,}301$ signifie un doublement par unité de temps.

Les propriétés du logarithme décimal, vérifiées sur des nombres

Mêmes règles que pour le logarithme népérien, avec la base $10$ qui rend chaque vérification lisible de tête.

L'écriture	Condition	Ce qu'elle devient
$\log(ab)$	$a>0$ et $b>0$	$\log a+\log b$
Exemple : $\log 1000=3$ , et $\log 10+\log 100=1+2=3$ .
$\log\frac{a}{b}$	$a>0$ et $b>0$	$\log a-\log b$
Exemple : $\log\frac{100}{10}=\log 10=1$ , et $2-1=1$ .
$\log\left(a^{n}\right)$	$a>0$	$n\log a$
Exemple : $\log\left(2^{10}\right)=\log 1024\approx 3{,}010$ , et $10\log 2\approx 10\times 0{,}301=3{,}010$ . C'est cette ligne qui résout les équations $a^{x}=b$ .
$\log\sqrt{a}$	$a>0$	$\frac{1}{2}\log a$
Exemple : $\log\sqrt{100}=\log 10=1$ , soit la moitié de $2$ .
$\log x$ en fonction de $\ln x$	$x>0$	$\frac{\ln x}{\ln 10}$
Exemple : $\log 5\approx 0{,}699$ , et $\frac{\ln 5}{\ln 10}\approx\frac{1{,}609}{2{,}303}\approx 0{,}699$ . Les deux logarithmes ne diffèrent que par ce facteur constant.
$\log(a+b)$	$\log a+\log b$	ne se décompose pas règle inexistante
Exemple : $\log(10+100)=\log 110\approx 2{,}041$ , alors que $\log 10+\log 100=3$ . Les deux nombres n'ont rien à voir. Ce qu'il faut faire : On isole la PUISSANCE avant de prendre le logarithme, jamais après : pour résoudre $3\times 2^{x}=48$ , on écrit d'abord $2^{x}=16$ , puis on prend le logarithme.

Une inéquation exponentielle change de sens quand la base est plus petite que $1$ : $\ln 0{,}5\approx -0{,}693$ est négatif, et diviser par ce nombre RENVERSE l'inégalité. C'est la faute la plus coûteuse de l'épreuve sur ce chapitre.

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Éclater le logarithme d'une somme

toute la question, et l'erreur passe souvent inaperçue

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\log(4+3)=\log 4+\log 3$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $\log(4+3)=\log 7\approx 0{,}845$ , tandis que $\log 4+\log 3=\log 12\approx 1{,}079$ . Le logarithme transforme les PRODUITS en sommes, jamais les sommes. »

\log(x+3)

\log 3+\log x=\log(3x)

sont deux courbes distinctes, qui ne se croisent qu'en un point. La règle du produit n'a jamais rien dit sur une somme.

Pourquoi : La propriété fondamentale porte sur le produit : $\log a+\log b$ vaut $\log(ab)$ et non $\log(a+b)$ . Le contrôle numérique tient en deux touches de calculatrice.

2. Faire la moyenne de deux pH

toute la question, avec une erreur de sept dixièmes d'unité

Ce qu'il ne faut pas écrire

« On mélange à volumes égaux une solution de pH $3$ et une de pH $5$ : le pH du mélange vaut $4$ . »

Ce qu'il faut écrire

« Le pH est un logarithme : c'est la CONCENTRATION qui se moyenne, pas le pH. $\frac{10^{-3}+10^{-5}}{2}=5{,}05\times 10^{-4}$ , donc $\mathrm{pH}=-\log\left(5{,}05\times 10^{-4}\right)\approx 3{,}30$ . »

Pourquoi : La solution la plus acide domine, parce qu'elle contient cent fois plus d'ions que l'autre. Une échelle logarithmique n'est pas linéaire : moyenner ses valeurs revient à moyenner des exposants, ce qui n'a pas de sens physique.

3. Lire une échelle logarithmique comme une échelle linéaire

1 à 2 points, sur la question d'interprétation

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Un séisme de magnitude $7$ est un peu plus fort qu'un séisme de magnitude $5$ : deux unités de plus. »

Ce qu'il faut écrire

« L'échelle est logarithmique : deux unités correspondent à une amplitude multipliée par $10^{2}=100$ . Ce n'est pas un peu plus fort, c'est cent fois plus. »

Pourquoi : Chaque unité gagnée multiplie par dix, ce qui rend l'échelle très compacte et très trompeuse. C'est la même compression qui fait qu'un pH de $2$ est cent fois plus acide qu'un pH de $4$ .

4. Ne pas retourner l'inégalité en divisant par un logarithme négatif

1 point, et une réponse du mauvais côté du seuil

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $0{,}9^{n}<0{,}5$ donne $n<\frac{\ln 0{,}5}{\ln 0{,}9}\approx 6{,}6$ , donc $n=6$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $\ln 0{,}9$ est NÉGATIF : la division retourne l'inégalité, donc $n>6{,}6$ et le premier entier convenable est $n=7$ . »

Pourquoi : Le logarithme d'un nombre compris entre $0$ et $1$ est négatif, et diviser une inégalité par un nombre négatif en retourne le sens. C'est la seule difficulté du calcul de seuil, et elle est systématiquement testée.

5. Confondre le logarithme décimal et le logarithme népérien

toute la question, avec un facteur $2{,}3$ d'erreur

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\log 100=\ln 100\approx 4{,}6$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $\log 100=2$ , puisque $10^{2}=100$ . Le logarithme népérien de $100$ vaut environ $4{,}6$ : les deux fonctions sont proportionnelles, avec $\log x=\frac{\ln x}{\ln 10}$ . »

Pourquoi : Les deux logarithmes diffèrent par le facteur constant $\ln 10\approx 2{,}3$ . Les échelles de pH, de Richter et de décibels utilisent toutes le logarithme DÉCIMAL, parce que leurs graduations sont des puissances de dix.

6. Écrire un logarithme d'un nombre négatif ou nul

1 point, et une limite du mauvais côté

Ce qu'il ne faut pas écrire

« La concentration tend vers $0$ , donc le pH tend vers $\log 0=0$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $\log 0$ n'existe PAS. Quand la concentration tend vers $0$ par valeurs positives, $\log$ tend vers $-\infty$ , donc le pH tend vers $+\infty$ . »

Pourquoi : Le logarithme n'est défini que sur les nombres strictement positifs, et il plonge vers $-\infty$ au voisinage de zéro. Le signe moins de la définition du pH inverse ensuite ce comportement.

7. Élever le logarithme au lieu de logarithmer la puissance

toute la question, avec un résultat absurdement petit

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\log\left(2^{10}\right)=\left(\log 2\right)^{10}$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $\log\left(a^{n}\right)=n\log a$ : l'exposant DESCEND devant, il ne s'applique pas au logarithme. Ici $\log\left(2^{10}\right)=10\log 2\approx 3{,}01$ . »

Pourquoi : La propriété vient de ce qu'une puissance est un produit répété : $\log(a\times a\times\cdots)$ devient une somme de $n$ termes égaux. Le contrôle numérique le confirme : $\left(\log 2\right)^{10}$ vaut environ $10^{-5}$ .

8. Résoudre une équation exponentielle sans logarithme

toute la question, avec un résultat sans rapport

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $1{,}05^{n}=2$ , donc $n=\frac{2}{1{,}05}\approx 1{,}9$ . »

Ce qu'il faut écrire

« L'inconnue est en EXPOSANT : il faut prendre le logarithme des deux membres. $n\ln 1{,}05=\ln 2$ , donc $n=\frac{\ln 2}{\ln 1{,}05}\approx 14{,}2$ . »

Pourquoi : Diviser ne fait descendre un facteur que s'il MULTIPLIE. Un exposant ne descend que par le logarithme, qui est précisément la fonction inventée pour cela.

Quelle méthode choisir

Quelle méthode pour une équation ou une inéquation

On regarde où se trouve l'inconnue : en exposant, dans un logarithme, ou dans les deux.

Si l'inconnue est en EXPOSANT, du type $a^{x}=b$ → logarithme des deux membres, puis $x=\frac{\ln b}{\ln a}$

Exemple : $1{,}05^{n}=2$ donne $n\approx 14{,}2$
Si l'inconnue est en exposant dans une INÉQUATION → même méthode, en surveillant le SIGNE de $\ln a$ avant de diviser

Si la base est comprise entre $0$ et $1$ , le sens de l'inégalité se retourne.
Si l'expression contient une somme et une puissance → ISOLER la puissance avant de logarithmer, car un logarithme de somme ne se décompose pas

Exemple : $45\,000\times 1{,}03^{n}-40\,000\ge 30\,000$ s'isole d'abord en $1{,}03^{n}\ge\frac{14}{9}$
Si l'inconnue est DANS un logarithme → écrire le domaine, puis passer à la puissance de dix des deux membres

Exemple : $\log x=-3$ donne $x=10^{-3}$
Si l'énoncé donne une grandeur sur une échelle logarithmique → revenir à la grandeur physique par une puissance de dix avant tout calcul

Exemple : un pH de $3$ correspond à $10^{-3}\ \mathrm{mol\cdot L^{-1}}$
Si l'énoncé demande un rapport entre deux grandeurs d'échelle → soustraire les valeurs d'échelle, puis élever $10$ à cette différence

La règle qui résume l'arbre : on ne moyenne, n'additionne ni ne soustrait jamais des valeurs d'échelle logarithmique sans repasser par les grandeurs physiques. Une différence, en revanche, se lit directement comme un rapport.

Comment lire une échelle logarithmique

On identifie ce que la graduation représente, puis on traduit toute différence en rapport.

Si l'échelle est le pH → $\mathrm{pH}=-\log\left[\mathrm{H_{3}O^{+}}\right]$ : une unité de MOINS correspond à dix fois PLUS d'ions

Exemple : un pH de $2$ est cent fois plus acide qu'un pH de $4$
Si l'échelle est celle de Richter → une unité de plus multiplie l'amplitude par $10$ ; l'énergie, elle, est multipliée par environ $32$
Si l'échelle est celle des décibels → $L=10\log\frac{I}{I_{0}}$ : $+10\ \mathrm{dB}$ correspond à une intensité multipliée par $10$ , et $+3\ \mathrm{dB}$ à un doublement
Si l'énoncé demande de MÉLANGER deux solutions → revenir aux CONCENTRATIONS, les moyenner en tenant compte des volumes, puis repasser au logarithme
Si l'énoncé demande de comparer deux valeurs d'échelle → soustraire, puis élever $10$ à la différence : c'est le rapport des grandeurs physiques
Si les points d'un nuage s'alignent en semi-logarithmique → le modèle est EXPONENTIEL, de raison $10^{p}$ où $p$ est le coefficient directeur de la droite

Toutes ces échelles ont été construites pour la même raison : rendre lisible une grandeur qui varie sur dix ordres de grandeur. Le prix de cette lisibilité est qu'aucune opération arithmétique ordinaire n'y a de sens direct.

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Résoudre une équation exponentielle

Quand l'utiliser : La question la plus fréquente du chapitre : temps de doublement, seuil d'un placement, durée d'une décroissance.

1 ISOLER la puissance : tous les termes additifs passent de l'autre côté.
2 Prendre le logarithme des deux membres, népérien ou décimal indifféremment.
3 Faire descendre l'exposant par la propriété $\log(a^{n})=n\log a$ .
4 Diviser par le logarithme de la base, en VÉRIFIANT son signe s'il s'agit d'une inéquation.
5 Donner la valeur exacte sous forme de quotient de logarithmes, puis la valeur approchée.
6 Conclure dans le contexte, avec l'unité et l'arrondi demandé.

Phrase de conclusion

$1{,}05^{n}=2$ équivaut à $n\ln 1{,}05=\ln 2$ , donc $n=\frac{\ln 2}{\ln 1{,}05}\approx 14{,}2$ : le capital double au bout de $15$ années complètes.

Le piège : Prendre le logarithme avant d'avoir isolé la puissance. On obtient alors le logarithme d'une somme, qui ne se décompose pas, et le calcul est bloqué.

Barème : 1 point pour l'isolement, 1 point pour le passage au logarithme, 1 point pour la valeur exacte, 0,5 point pour l'arrondi conclu dans le contexte.

Calculer sur une échelle logarithmique

Quand l'utiliser : L'énoncé donne des pH, des magnitudes ou des décibels et demande une comparaison ou un mélange.

1 Rappeler la définition de l'échelle employée, avec son signe : $\mathrm{pH}=-\log\left[\mathrm{H_{3}O^{+}}\right]$ .
2 Revenir aux GRANDEURS PHYSIQUES par une puissance de dix, pour chacune des valeurs données.
3 Effectuer l'opération demandée sur ces grandeurs : moyenne pondérée par les volumes, somme d'intensités, rapport.
4 Repasser à l'échelle logarithmique sur le résultat obtenu.
5 Comparer au résultat qu'aurait donné un calcul direct sur l'échelle, pour montrer l'écart.
6 Conclure avec le nombre de chiffres significatifs de l'énoncé.

Phrase de conclusion

Les concentrations valent $10^{-3}$ et $10^{-5}\ \mathrm{mol\cdot L^{-1}}$ ; à volumes égaux, le mélange contient $\frac{10^{-3}+10^{-5}}{2}=5{,}05\times 10^{-4}\ \mathrm{mol\cdot L^{-1}}$ , soit un pH de $3{,}30$ et non $4$ .

Le piège : Effectuer l'opération directement sur les valeurs d'échelle. C'est exactement l'erreur que la question teste, et elle donne ici $4$ au lieu de $3{,}30$ .

Barème : 0,5 point pour la définition rappelée, 1 point pour le retour aux concentrations, 1 point pour l'opération, 1 point pour le retour à l'échelle et la comparaison.

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

Contrôler un logarithme par l'ordre de grandeur

La partie entière du logarithme décimal donne l'exposant de dix. Un résultat dont la partie entière ne correspond pas à l'ordre de grandeur du nombre est faux.

$\log\left(2{,}5\times 10^{-4}\right)\approx-3{,}6$ : le nombre est bien entre $10^{-4}$ et $10^{-3}$ .
Vérifier une résolution exponentielle par substitution

Remplacer la valeur trouvée dans l'équation de départ doit redonner le second membre, à l'arrondi près.

$1{,}05^{14{,}2}\approx 2{,}00$ : la résolution est validée.
Tester une propriété douteuse sur des nombres

Toute identité sur les logarithmes se vérifie avec $2$ , $3$ et $4$ . Si les deux membres diffèrent une seule fois, la propriété est fausse.

$\log 7\approx 0{,}85$ contre $\log 4+\log 3\approx 1{,}08$ : la règle de la somme n'existe pas.
Vérifier qu'un pH de mélange est plus proche du plus acide

Le pH d'un mélange est toujours tiré vers la solution la plus concentrée en ions, donc vers le pH le plus BAS. Un résultat au milieu signale une moyenne interdite.

Mélange de pH $3$ et $5$ : le résultat $3{,}30$ est proche de $3$ , pas de $4$ .
Contrôler le signe du logarithme de la base

Une base inférieure à $1$ a un logarithme négatif : toute division d'inéquation par ce nombre en retourne le sens. Un coup d'oeil suffit.

$\ln 0{,}9\approx-0{,}105$ : le seuil trouvé est un minorant, et l'entier cherché est celui juste au-dessus.

L'exercice type décortiqué

Le pH, une échelle logarithmique, comme à l'examen

Le pH d'une solution aqueuse est défini par $\mathrm{pH}=-\log\left[\mathrm{H_{3}O^{+}}\right]$ , la concentration étant exprimée en moles par litre.

1. Calculer le pH d'une solution de concentration $2{,}5\times 10^{-4}\ \mathrm{mol\cdot L^{-1}}$ . 2. Que devient ce pH si l'on dilue dix fois ? 3. Quelle concentration correspond à un pH de $2$ ? 4. Combien de fois une solution de pH $3$ est-elle plus acide qu'une solution de pH $5$ ? 5. On mélange à volumes égaux une solution de pH $3$ et une de pH $5$ : quel est le pH du mélange ?

Étape 1

$\mathrm{pH}=-\log\left(2{,}5\times 10^{-4}\right)=-\left(\log 2{,}5+\log 10^{-4}\right)=-\left(0{,}398-4\right)\approx 3{,}60$ .

Pourquoi

On décompose le produit en somme de logarithmes, ce qui fait apparaître l'ordre de grandeur $-4$ et le facteur $2{,}5$ . Le résultat entre $3$ et $4$ est cohérent avec une concentration entre $10^{-4}$ et $10^{-3}$ .

Étape 2

Diluer dix fois divise la concentration par $10$ : elle devient $2{,}5\times 10^{-5}$ , et $\mathrm{pH}=-\log\left(2{,}5\times 10^{-5}\right)\approx 4{,}60$ . Le pH a AUGMENTÉ d'exactement une unité.

Pourquoi

Une division par dix retire une unité au logarithme, donc en ajoute une au pH à cause du signe moins. C'est la propriété qui définit l'échelle, et elle vaut le point d'interprétation.

Étape 3

$\mathrm{pH}=2$ donne $\log\left[\mathrm{H_{3}O^{+}}\right]=-2$ , donc $\left[\mathrm{H_{3}O^{+}}\right]=10^{-2}=0{,}010\ \mathrm{mol\cdot L^{-1}}$ .

Pourquoi

On passe du logarithme à la grandeur par une puissance de dix : c'est la réciproque, et elle s'écrit directement. Le signe moins de la définition du pH se reporte sur l'exposant.

Étape 4

Rapport des concentrations : $\frac{10^{-3}}{10^{-5}}=10^{2}=100$ . La solution de pH $3$ est donc CENT fois plus acide.

Pourquoi

Une différence de deux unités de pH devient un rapport de cent. C'est la traduction directe d'une différence d'échelle en rapport de grandeurs, sans aucun calcul intermédiaire.

Étape 5

Pour le mélange, on revient aux concentrations : $\left[\mathrm{H_{3}O^{+}}\right]_{1}=10^{-3}$ et $\left[\mathrm{H_{3}O^{+}}\right]_{2}=10^{-5}\ \mathrm{mol\cdot L^{-1}}$ .

Pourquoi

C'est le geste central de la question : aucune opération n'est licite sur les pH eux-mêmes. Le retour aux concentrations est ce que le barème attend avant tout calcul.

Étape 6

À volumes égaux, la quantité d'ions se répartit dans le double du volume : $\left[\mathrm{H_{3}O^{+}}\right]=\frac{10^{-3}+10^{-5}}{2}=\frac{1{,}01\times 10^{-3}}{2}=5{,}05\times 10^{-4}\ \mathrm{mol\cdot L^{-1}}$ .

Pourquoi

La moyenne porte sur les CONCENTRATIONS, et le facteur $\frac{1}{2}$ vient du doublement du volume total. La solution la plus acide apporte à elle seule $99\ \%$ des ions.

Étape 7

$\mathrm{pH}=-\log\left(5{,}05\times 10^{-4}\right)\approx 3{,}30$ .

Pourquoi

Le résultat est bien plus proche de $3$ que de $5$ , ce qui est cohérent : c'est la solution la plus concentrée en ions qui impose le pH du mélange.

Étape 8

Comparaison : la moyenne des deux pH donnerait $\frac{3+5}{2}=4$ , soit une erreur de $0{,}70$ unité, c'est-à-dire un facteur $5$ sur la concentration réelle.

Pourquoi

Chiffrer l'écart montre que l'erreur n'est pas anodine : un facteur cinq sur une concentration change complètement la conclusion d'une analyse chimique.

Conclusion rédigée

Une solution à $2{,}5\times 10^{-4}\ \mathrm{mol\cdot L^{-1}}$ a un pH de $3{,}60$ , qui passe à $4{,}60$ après une dilution au dixième; un pH de $2$ correspond à $0{,}010\ \mathrm{mol\cdot L^{-1}}$ , une solution de pH $3$ est cent fois plus acide qu'une de pH $5$ , et leur mélange à volumes égaux donne un pH de $3{,}30$ , pas $4$ .

L'erreur classique sur cet exercice : Moyenner les deux pH pour obtenir $4$ . L'échelle est logarithmique : c'est la concentration qui se moyenne, et la solution la plus acide, cent fois plus concentrée en ions, domine largement le mélange.

À savoir par cœur

• $\log x$ est l'exposant tel que $10^{\log x}=x$ ; il n'existe que pour $x>0$ , et $\log 10^{n}=n$ .
• Sur une échelle logarithmique, $+1$ unité veut dire $\times 10$ , jamais $+10$ .
• $\log(ab)=\log a+\log b$ , mais $\log(a+b)$ ne se décompose PAS.
• $\log(a^{n})=n\log a$ : l'exposant descend devant, il ne s'applique pas au logarithme.
• $\log x=\frac{\ln x}{\ln 10}$ , avec $\ln 10\approx 2{,}30$ .
• On ne moyenne jamais des pH, des décibels ni des magnitudes : on revient aux grandeurs physiques.
• $a^{x}=b$ se résout par $x=\frac{\ln b}{\ln a}$ ; si $0<a<1$ , l'inéquation se RETOURNE.
• On isole la puissance AVANT de prendre le logarithme.
• En semi-logarithmique, une exponentielle devient une DROITE de coefficient directeur $\log q$ .

Questions fréquentes

Que signifie une unité de plus sur une échelle logarithmique ?

Une multiplication par dix de la grandeur mesurée, pas une addition de dix. C'est vrai pour l'échelle de Richter, pour les décibels et, au signe près, pour le pH. Deux unités correspondent donc à un facteur cent, ce qui rend ces échelles très compactes et très trompeuses à la lecture.

Peut-on faire la moyenne de deux pH ?

Non, jamais. Le pH est un logarithme : c'est la concentration en ions qui se moyenne, en tenant compte des volumes, puis on repasse au logarithme. Le mélange à volumes égaux de solutions de pH trois et cinq donne un pH de trois virgule trois, et non quatre, car la plus acide contient cent fois plus d'ions.

Quelle différence entre le logarithme décimal et le logarithme népérien ?

Ils sont proportionnels : le logarithme décimal vaut le népérien divisé par le logarithme népérien de dix, soit environ deux virgule trois. Le décimal répond à la question quelle puissance de dix, ce qui en fait la fonction naturelle des échelles graduées en puissances de dix, comme le pH ou les décibels.

Comment résoudre une équation où l'inconnue est en exposant ?

En prenant le logarithme des deux membres, ce qui fait descendre l'exposant devant. On divise ensuite par le logarithme de la base. S'il s'agit d'une inéquation et que la base est inférieure à un, ce logarithme est négatif et le sens de l'inégalité se retourne à la division.

Pourquoi trace-t-on des graphiques semi-logarithmiques ?

Parce qu'une croissance exponentielle y devient une droite : en portant le logarithme de la grandeur en ordonnée, on transforme la multiplication répétée en addition répétée. C'est donc un test visuel immédiat du caractère exponentiel d'un phénomène, et la pente de la droite donne le logarithme de la raison.

Le logarithme d'une somme se décompose-t-il ?

Non. Seuls les produits, les quotients et les puissances se décomposent. Le logarithme de sept ne vaut pas la somme des logarithmes de quatre et de trois : cette somme donne le logarithme de douze. Le test numérique le montre en deux touches de calculatrice.

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Exercices corrigés : La fonction logarithme, approche historique

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

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