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Maths complémentaires, Terminale • Exercices corrigés à Montréal

Fiche de révision : intégrales et calculs d'aires (maths complémentaires)

En maths complémentaires, une intégrale n'est presque jamais demandée pour elle-même : elle calcule une énergie consommée, une quantité produite, une distance parcourue. La question porte donc autant sur l'interprétation et l'unité que sur le calcul de la primitive.

Cette fiche liste les huit erreurs qui reviennent, avec la phrase exacte qui les remet, l'arbre des primitives usuelles, la méthode complète de l'aire entre deux courbes, et un calcul de consommation électrique décortiqué de la puissance instantanée jusqu'au coût.

Le fil du chapitre

Une intégrale cumule : elle transforme un débit en quantité, une puissance en énergie, une vitesse en distance. Toutes les questions du chapitre reviennent à cette lecture, et les erreurs viennent d'avoir confondu la grandeur instantanée et la grandeur cumulée.

Ce chapitre fait partie de Maths complémentaires en Terminale

Avant ce chapitre

Cette fiche suppose ces notions acquises. Si une méthode ci-dessous reste opaque, c'est presque toujours l'une d'elles qui manque, pas la fiche.

Remonter plus loin : la chaîne complète (8 chapitres) ↓

Le chemin de remédiation, du plus ancien au plus proche. Un élève qui reprend ce chapitre de zéro le reprend dans cet ordre.

  1. 1Généralités sur les fonctionsSeconde, Mathématiques
  2. 2Fonctions affines et systèmesSeconde, Mathématiques
  3. 3Algorithmique et PythonSeconde, Mathématiques
  4. 4Les suites numériquesPremière, Mathématiques
  5. 5La dérivationPremière, Mathématiques
  6. 6La fonction exponentiellePremière, Mathématiques
  7. 7Fonctions et modèles d'évolution
  8. 8La fonction logarithme, approche historique

L'essentiel

L'intégrale cumule : elle change la grandeur et son unité

  • • Si FF est une primitive de ff sur [a ;b][a\,;b], alors ∫abf(x) dx=F(b)−F(a)\int_{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a).
  • • Pour une fonction POSITIVE, cette intégrale est l'aire sous la courbe, en unités d'aire.
  • • Physiquement, elle cumule : une puissance en kilowatts intégrée sur des heures donne une ÉNERGIE en kilowattheures.
  • • L'unité du résultat est donc le PRODUIT des unités des deux axes, jamais celle de l'axe vertical seul.
1234567890.511.522.533.54energie = aire sous la courbe
La courbe donne la puissance à chaque instant, en kilowatts; la surface colorée donne l'énergie consommée sur les huit heures, en kilowattheures. Ce sont deux grandeurs différentes, lues sur le même dessin.

Le contrôle d'unité est le plus rentable du chapitre : une intégrale de kilowatts par des heures ne peut pas donner des kilowatts. Si l'unité de la réponse est celle de l'axe vertical, le raisonnement est faux.

La valeur moyenne, et ce qu'elle n'est pas

  • • Valeur moyenne de ff sur [a ;b][a\,;b] : μ=1b−a∫abf(x) dx\mu=\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}f(x)\,dx.
  • • C'est la hauteur du RECTANGLE de même base et de même aire que le domaine sous la courbe.
  • • Elle vaut f(a)+f(b)2\frac{f(a)+f(b)}{2} pour une fonction AFFINE, et pour aucune autre en général.
  • • Elle est toujours comprise entre le minimum et le maximum de ff sur l'intervalle : c'est un contrôle immédiat.
0.511.522.533.5246810moyenne : 3moyenne des bornes : 4,5
Les deux lignes horizontales diffèrent d'une unité et demie : celle du bas équilibre réellement les aires, celle du haut ne fait que moyenner deux points. L'écart vient de la courbure.

Les propriétés qui existent, et celle qui n'existe pas

  • • CHASLES : ∫acf=∫abf+∫bcf\int_{a}^{c}f=\int_{a}^{b}f+\int_{b}^{c}f, ce qui permet de découper un intervalle.
  • • LINÉARITÉ : l'intégrale d'une somme est la somme des intégrales, et une constante multiplicative sort de l'intégrale.
  • • En revanche, l'intégrale d'un PRODUIT n'est PAS le produit des intégrales, et celle d'un quotient n'est pas le quotient.
  • • Échanger les bornes change le signe : ∫baf=−∫abf\int_{b}^{a}f=-\int_{a}^{b}f.

Le contre-exemple qui règle la question : ∫01x⋅x dx=13\int_{0}^{1}x\cdot x\,dx=\frac{1}{3}, alors que (∫01x dx)2=14\left(\int_{0}^{1}x\,dx\right)^{2}=\frac{1}{4}. Les deux nombres diffèrent, donc la propriété n'existe pas.

Encadrer une intégrale par des rectangles

  • • Sur [a ;b][a\,;b] découpé en nn morceaux de largeur h=b−anh=\frac{b-a}{n}, les sommes de rectangles à gauche et à droite ENCADRENT l'intégrale, à condition que ff soit MONOTONE.
  • • L'écart entre les deux sommes vaut exactement h∣f(b)−f(a)∣h\left|f(b)-f(a)\right| : il est proportionnel à 1n\frac{1}{n}.
  • • Sans monotonie, les deux sommes restent des approximations mais n'encadrent plus rien.
  • • La méthode des TRAPÈZES est la moyenne des deux sommes de rectangles, et elle est nettement plus précise que chacune d'elles.

Les règles de calcul en tableau

Chaque ligne se lit de gauche à droite : les hypothèses, puis le résultat. Une case rouge n'est pas une réponse, c'est le constat que la forme ne décide rien et l'ordre de transformer l'écriture. Chaque cas est suivi d'un exemple chiffré.

Ce que l'intégrale cumule, et dans quelle unité

C'est la lecture qui rapporte le plus de points en maths complémentaires : l'unité du résultat est le PRODUIT des unités des deux axes, jamais celle de l'axe vertical seul.

Fonction intégréeUnités des deux axesCe que vaut l'intégrale
une PUISSANCE kilowatts et heures une ÉNERGIE, en kilowattheures

Exemple : Une puissance P(t)=2tP(t)=2t kW consommée de t=0t=0 à t=3t=3 h donne ∫032t dt=9\int_{0}^{3}2t\,dt=9 kWh, soit environ 1,301{,}30 dollar au tarif résidentiel de 0,1450{,}145 dollar le kilowattheure.

un DÉBIT mètres cubes par heure et heures un VOLUME, en mètres cubes

Exemple : Un débit D(t)=100+20tD(t)=100+20t pendant 22 heures remplit ∫02(100+20t) dt=240\int_{0}^{2}(100+20t)\,dt=240 mètres cubes.

une VITESSE kilomètres par heure et heures une DISTANCE, en kilomètres

Exemple : À vitesse constante 6060 km/h pendant 1,51{,}5 h, l'intégrale vaut 9090 km, ce que l'aire du rectangle donne directement.

un TAUX de croissance individus par an et années un NOMBRE d'individus

Exemple : Un taux r(t)=50e0,1tr(t)=50\mathrm{e}^{0{,}1t} sur 1010 ans donne ∫01050e0,1tdt=500(e−1)≈859\int_{0}^{10}50\mathrm{e}^{0{,}1t}dt=500(\mathrm{e}-1)\approx 859 individus.

une fonction NÉGATIVE peu importe une quantité NÉGATIVE, et non une aire

Exemple : ∫02(x−3) dx=−4\int_{0}^{2}(x-3)\,dx=-4 : la fonction est sous l'axe sur tout l'intervalle, donc l'intégrale est négative alors que l'aire du domaine vaut 44 unités d'aire.

Une question qui demande « l'énergie consommée » attend un nombre AVEC son unité, et le barème la compte. Une intégrale rendue sans unité perd ce point même quand le calcul est juste.

Les primitives dont le programme a besoin

Cinq lignes suffisent au programme de maths complémentaires. Pour tout le reste, l'énoncé fournit la primitive et demande de la vérifier en la dérivant.

f(x)f(x)Une primitive FFExemple calculé
kk, constante kxkx ∫042,5 dx=10\int_{0}^{4}2{,}5\,dx=10

Exemple : Un débit constant de 2,52{,}5 litres par minute pendant 44 minutes remplit 1010 litres, ce que l'aire du rectangle donne sans calcul.

xnx^{n}, n≠−1n\neq-1 xn+1n+1\frac{x^{n+1}}{n+1} ∫03x2 dx=9\int_{0}^{3}x^{2}\,dx=9

Exemple : [x33]03=273=9\left[\frac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{3}=\frac{27}{3}=9.

1x\frac{1}{x} ln⁡x\ln x sur ]0 ;+∞[]0\,;+\infty[ ∫15dxx=ln⁡5≈1,609\int_{1}^{5}\frac{dx}{x}=\ln 5\approx 1{,}609

Exemple : [ln⁡x]15=ln⁡5−ln⁡1≈1,609\left[\ln x\right]_{1}^{5}=\ln 5-\ln 1\approx 1{,}609. La valeur absolue ne s'écrit que si l'intervalle contient des valeurs négatives, ce qui n'arrive presque jamais dans un contexte de débit ou de puissance.

eax\mathrm{e}^{ax} 1aeax\frac{1}{a}\mathrm{e}^{ax} ∫02e0,5xdx=2(e−1)≈3,44\int_{0}^{2}\mathrm{e}^{0{,}5x}dx=2(\mathrm{e}-1)\approx 3{,}44

Exemple : Le facteur 1a=2\frac{1}{a}=2 compense le 0,50{,}5 que la dérivation ferait sortir. L'oublier divise le résultat par deux.

u′u\frac{u'}{u} ln⁡∣u∣\ln|u| ∫012xx2+1dx=ln⁡2≈0,693\int_{0}^{1}\frac{2x}{x^{2}+1}dx=\ln 2\approx 0{,}693

Exemple : [ln⁡(x2+1)]01=ln⁡2≈0,693\left[\ln\left(x^{2}+1\right)\right]_{0}^{1}=\ln 2\approx 0{,}693 : le numérateur est exactement la dérivée du dénominateur. C'est la seule forme composée exigible cette année.

La valeur moyenne se déduit de la même intégrale : μ=1b−a∫abf\mu=\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}f. Un contrôle immédiat, gratuit et rarement fait : elle tombe toujours entre le minimum et le maximum de ff sur l'intervalle.

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Prendre l'intégrale d'un produit pour le produit des intégrales

toute la question, et le résultat est faux d'un tiers

Ce qu'il ne faut pas écrire

« ∫01x2 dx=(∫01x dx)2=14\int_{0}^{1}x^{2}\,dx=\left(\int_{0}^{1}x\,dx\right)^{2}=\frac{1}{4}. »

Ce qu'il faut écrire

« Il n'existe aucune propriété de ce type. ∫01x2 dx=[x33]01=13\int_{0}^{1}x^{2}\,dx=\left[\frac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{1}=\frac{1}{3}, tandis que le carré de ∫01x dx=12\int_{0}^{1}x\,dx=\frac{1}{2} vaut 14\frac{1}{4}. »

Pourquoi : La linéarité ne concerne que les sommes et les multiples constants. Un produit de deux fonctions n'a pas de primitive simple en général, et c'est justement ce qui rend l'intégration difficile.

2. Confondre la valeur moyenne et la moyenne des valeurs aux bornes

toute la question, avec une erreur de $43\ \%$

Ce qu'il ne faut pas écrire

« La puissance moyenne vaut P(0)+P(8)2=1,4+1,42=1,4 kW\frac{P(0)+P(8)}{2}=\frac{1{,}4+1{,}4}{2}=1{,}4\ \mathrm{kW}. »

Ce qu'il faut écrire

« La valeur moyenne est 18∫08P(t) dt=19,738≈2,47 kW\frac{1}{8}\int_{0}^{8}P(t)\,dt=\frac{19{,}73}{8}\approx 2{,}47\ \mathrm{kW}. La moyenne des bornes ignore tout ce qui se passe entre elles. »

Pourquoi : La moyenne des extrémités ne vaut que pour une fonction affine, dont la courbe est confondue avec sa corde. Ici la puissance passe par un maximum au milieu de l'intervalle, que les deux bornes ne voient pas du tout.

3. Calculer une aire entre deux courbes sans étudier la position relative

1 point, et une aire négative rendue comme résultat

Ce qu'il ne faut pas écrire

« L'aire vaut ∫−21(g(x)−f(x))dx=−4,5\int_{-2}^{1}\left(g(x)-f(x)\right)dx=-4{,}5 unités d'aire. »

Ce qu'il faut écrire

« Sur [−2 ;1][-2\,;1], f(x)−g(x)=2−x−x2=(1−x)(2+x)≥0f(x)-g(x)=2-x-x^{2}=(1-x)(2+x)\ge 0 : c'est ff qui est AU-DESSUS. L'aire vaut donc ∫−21(f(x)−g(x))dx=4,5\int_{-2}^{1}\left(f(x)-g(x)\right)dx=4{,}5 unités d'aire. »

-3-2-1123-6-5-4-3-2-112345haut : 4 - x^2bas : x + 2
Entre les deux points d'intersection, c'est la parabole qui est au-dessus de la droite. Ailleurs c'est l'inverse : la position relative n'est pas une donnée globale, elle change aux croisements.

Pourquoi : L'aire est toujours « celle du haut moins celle du bas ». Le signe de la différence doit être ÉTUDIÉ avant l'intégration, pas deviné sur le dessin, car deux courbes peuvent se croiser dans l'intervalle.

4. Confondre la puissance et l'énergie

toute la question, et l'unité annoncée est fausse

Ce qu'il ne faut pas écrire

« L'appareil consomme 3 kW3\ \mathrm{kW} pendant 8 h8\ \mathrm{h}, donc 3 kWh3\ \mathrm{kWh}. »

Ce qu'il faut écrire

« La puissance est instantanée, l'énergie est cumulée : elle s'obtient en INTÉGRANT la puissance sur la durée. Ici ∫08P(t) dt≈19,7 kWh\int_{0}^{8}P(t)\,dt\approx 19{,}7\ \mathrm{kWh}. »

Pourquoi : Le kilowattheure est un produit d'une puissance par une durée : c'est exactement ce que réalise l'intégrale. Confondre les deux revient à confondre une vitesse et une distance.

5. Oublier le facteur dans la primitive d'une exponentielle

toute la question, avec un résultat trois fois trop grand

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Une primitive de e3x\mathrm{e}^{3x} est e3x\mathrm{e}^{3x}. »

Ce qu'il faut écrire

« Une primitive de eax\mathrm{e}^{ax} est 1aeax\frac{1}{a}\mathrm{e}^{ax} : ici 13e3x\frac{1}{3}\mathrm{e}^{3x}. On le vérifie en dérivant, ce qui redonne bien e3x\mathrm{e}^{3x}. »

Pourquoi : Dériver e3x\mathrm{e}^{3x} fait sortir un facteur 33 : il faut donc le compenser par un 13\frac{1}{3} dans la primitive. Le contrôle par dérivation prend dix secondes et attrape systématiquement l'oubli.

6. Écrire une primitive de 1x\frac{1}{x} sans se soucier du domaine

toute la question, avec des logarithmes de nombres négatifs

Ce qu'il ne faut pas écrire

« ∫−2−11x dx=[ln⁡x]−2−1=ln⁡(−1)−ln⁡(−2)\int_{-2}^{-1}\frac{1}{x}\,dx=\left[\ln x\right]_{-2}^{-1}=\ln(-1)-\ln(-2). »

Ce qu'il faut écrire

« Sur un intervalle où x<0x<0, la primitive est ln⁡∣x∣=ln⁡(−x)\ln|x|=\ln(-x) : ∫−2−11x dx=[ln⁡(−x)]−2−1=ln⁡1−ln⁡2=−ln⁡2\int_{-2}^{-1}\frac{1}{x}\,dx=\left[\ln(-x)\right]_{-2}^{-1}=\ln 1-\ln 2=-\ln 2. »

Pourquoi : ln⁡\ln n'est défini que sur les réels strictement positifs. La valeur absolue n'est pas une décoration : sans elle, l'expression n'a aucun sens sur l'intervalle considéré.

7. Annoncer un encadrement par rectangles sans vérifier la monotonie

1 point, celui de la justification

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Les sommes de rectangles à gauche et à droite encadrent toujours l'intégrale. »

Ce qu'il faut écrire

« Elles ne l'encadrent que si ff est MONOTONE sur l'intervalle. Sur une fonction qui monte puis descend, les deux sommes peuvent tomber du même côté de l'intégrale. »

Pourquoi : L'encadrement vient de ce que, sur chaque sous-intervalle, la valeur à gauche et celle à droite bornent la fonction. Si la fonction change de sens à l'intérieur du sous-intervalle, ce n'est plus le cas.

8. Confondre primitive et intégrale

1 point, et le résultat n'a pas la bonne nature

Ce qu'il ne faut pas écrire

« ∫02x dx=x22\int_{0}^{2}x\,dx=\frac{x^{2}}{2}. »

Ce qu'il faut écrire

« Une primitive est une FONCTION, une intégrale définie est un NOMBRE : ∫02x dx=[x22]02=2−0=2\int_{0}^{2}x\,dx=\left[\frac{x^{2}}{2}\right]_{0}^{2}=2-0=2. »

Pourquoi : Le calcul de la primitive n'est que la première moitié du travail : il reste à évaluer aux deux bornes et à soustraire. Un résultat qui contient encore la variable d'intégration est nécessairement faux.

Quelle méthode choisir

Quelle primitive selon la forme

On identifie la forme de l'expression, puis on écrit la primitive correspondante et on la VÉRIFIE en dérivant.

  • Si l'expression est xnx^{n} avec n≠−1n\neq -1 → primitive xn+1n+1\frac{x^{n+1}}{n+1}, en pensant que la constante kk a pour primitive kxkx

  • Si l'expression est 1x\frac{1}{x} → primitive ln⁡x\ln x sur ]0 ;+∞[]0\,;+\infty[, et ln⁡∣x∣\ln|x| si l'intervalle contient des valeurs négatives

  • Si l'expression est eax\mathrm{e}^{ax} → primitive 1aeax\frac{1}{a}\mathrm{e}^{ax} : le facteur 1a\frac{1}{a} compense celui que la dérivation ferait sortir

    Exemple : e−0,5x\mathrm{e}^{-0{,}5x} a pour primitive −2e−0,5x-2\mathrm{e}^{-0{,}5x}

  • Si le numérateur est la dérivée du dénominateur → forme u′u\frac{u'}{u}, primitive ln⁡∣u∣\ln|u|

    Exemple : 2xx2+1\frac{2x}{x^{2}+1} a pour primitive ln⁡(x2+1)\ln(x^{2}+1)

  • Si l'expression est une SOMME → primitiver terme à terme : c'est la linéarité, et c'est la seule opération compatible

  • Si l'expression est un PRODUIT de deux fonctions non constantes → aucune règle simple : en maths complémentaires, l'énoncé fournit alors la primitive à vérifier

Toute primitive se vérifie en la dérivant, et ce contrôle attrape tous les facteurs manquants. C'est le geste le plus rentable du chapitre, et il prend une dizaine de secondes.

Quelle question, quel calcul

Les énoncés de maths complémentaires sont contextualisés : on repère d'abord ce que la fonction représente.

  • Si la fonction est un DÉBIT, une puissance ou une vitesse → l'intégrale donne la quantité cumulée, l'énergie ou la distance, avec l'unité PRODUIT des deux axes

  • Si l'énoncé demande une aire entre la courbe et l'axe → vérifier le signe de ff, et découper aux points d'annulation si elle change de signe

  • Si l'énoncé demande une aire entre DEUX courbes → trouver les intersections, étudier la position relative, puis intégrer « haut moins bas »

  • Si l'énoncé demande une valeur moyenne → 1b−a∫abf\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}f, et vérifier qu'elle tombe entre le minimum et le maximum

  • Si l'énoncé demande un ENCADREMENT → méthode des rectangles, après avoir justifié la monotonie de ff sur l'intervalle

  • Si l'énoncé demande une valeur approchée plus précise → méthode des trapèzes, moyenne des deux sommes de rectangles

La question finale demande presque toujours une interprétation dans le contexte : coût, durée, volume. Un nombre rendu sans unité ni phrase perd systématiquement un demi-point.

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Calculer une grandeur cumulée à partir d'un débit

Quand l'utiliser : L'exercice type : une puissance, un débit ou une vitesse donnée en fonction du temps.

  1. 1 Identifier ce que représente la fonction et ce que représentera son intégrale, avec les DEUX unités.
  2. 2 Écrire l'intégrale à calculer, avec ses bornes et la variable, avant tout calcul.
  3. 3 Chercher une primitive terme à terme, et la VÉRIFIER en la dérivant.
  4. 4 Évaluer aux deux bornes et soustraire, en écrivant le crochet.
  5. 5 Donner le résultat avec l'unité correcte, produit des unités des deux axes.
  6. 6 Interpréter dans le contexte : convertir en coût, en volume ou en distance selon l'énoncé.

Phrase de conclusion

L'énergie consommée vaut ∫08(3−0,1(t−4)2)dt=[3t−(t−4)330]08≈19,7 kWh\int_{0}^{8}\left(3-0{,}1(t-4)^{2}\right)dt=\left[3t-\frac{(t-4)^{3}}{30}\right]_{0}^{8}\approx 19{,}7\ \mathrm{kWh}, soit un coût d'environ 3,953{,}95 dollars à 0,200{,}20 dollar le kilowattheure.

Le piège : Rendre le résultat en kilowatts. L'intégrale d'une puissance sur un temps est une ÉNERGIE : l'unité est le produit des deux, et c'est ce changement d'unité qui prouve qu'on a compris la question.

Barème : 0,5 point pour l'identification des grandeurs, 1 point pour l'intégrale posée, 1 point pour la primitive, 1 point pour le calcul avec l'unité, 0,5 point pour l'interprétation.

Calculer une aire entre deux courbes

Quand l'utiliser : L'énoncé donne deux fonctions et demande l'aire du domaine qu'elles délimitent.

  1. 1 Résoudre f(x)=g(x)f(x)=g(x) pour obtenir les abscisses d'intersection, qui seront les bornes.
  2. 2 Étudier le SIGNE de la différence sur l'intervalle, en la factorisant.
  3. 3 Dire explicitement laquelle des deux courbes est au-dessus.
  4. 4 Poser l'intégrale « haut moins bas », puis primitiver la DIFFÉRENCE en une seule fois.
  5. 5 Calculer, vérifier que le résultat est POSITIF, et conclure en unités d'aire.
  6. 6 Si l'énoncé fournit une échelle, multiplier par l'aire d'un carreau.

Phrase de conclusion

Les courbes se coupent en x=−2x=-2 et x=1x=1; sur cet intervalle f(x)−g(x)=(1−x)(2+x)≥0f(x)-g(x)=(1-x)(2+x)\ge 0, donc l'aire vaut ∫−21(f(x)−g(x))dx=92\int_{-2}^{1}\left(f(x)-g(x)\right)dx=\frac{9}{2} unités d'aire.

Le piège : Intégrer sans avoir étudié le signe. Si l'ordre est inversé, le résultat est l'opposé de l'aire cherchée, et une aire négative n'a aucun sens.

Barème : 1 point pour les intersections, 1 point pour l'étude du signe, 1 point pour la primitive, 1 point pour le calcul et la conclusion en unités d'aire.

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

L'exercice type décortiqué

Une consommation électrique, comme à l'examen

La puissance appelée par un appareil, en kilowatts, est modélisée par P(t)=3−0,1(t−4)2P(t)=3-0{,}1(t-4)^{2} pour tt compris entre 00 et 88 heures.

1. Déterminer la puissance maximale et la puissance minimale sur l'intervalle. 2. Calculer l'énergie consommée sur les huit heures. 3. En déduire la puissance moyenne. 4. Comparer à la moyenne des puissances aux deux bornes. 5. Calculer le coût, l'électricité étant facturée 0,200{,}20 dollar le kilowattheure.

Étape 1

PP est un trinôme de coefficient dominant −0,1-0{,}1, donc sa courbe est tournée vers le bas et son maximum est atteint au sommet, en t=4t=4 : P(4)=3 kWP(4)=3\ \mathrm{kW}. Aux bornes, P(0)=P(8)=3−0,1×16=1,4 kWP(0)=P(8)=3-0{,}1\times 16=1{,}4\ \mathrm{kW}.

Pourquoi

La forme canonique est déjà donnée par l'énoncé : le sommet se lit directement en t=4t=4. Les deux bornes donnent la même valeur, par symétrie autour du sommet.

Étape 2

Énergie : E=∫08(3−0,1(t−4)2)dtE=\int_{0}^{8}\left(3-0{,}1(t-4)^{2}\right)dt. Une primitive est F(t)=3t−(t−4)330F(t)=3t-\frac{(t-4)^{3}}{30}, ce qu'on vérifie en dérivant.

Pourquoi

La primitive de (t−4)2(t-4)^{2} est (t−4)33\frac{(t-4)^{3}}{3}, et le facteur 0,10{,}1 donne le 3030 au dénominateur. La vérification par dérivation est écrite, car c'est là que se perd le coefficient.

Étape 3

E=F(8)−F(0)=(24−6430)−(0+6430)=24−12830≈19,7 kWhE=F(8)-F(0)=\left(24-\frac{64}{30}\right)-\left(0+\frac{64}{30}\right)=24-\frac{128}{30}\approx 19{,}7\ \mathrm{kWh}.

Pourquoi

Les deux cubes valent 6464 et −64-64, donc ils s'ajoutent au lieu de se compenser : c'est le piège de signe de la question. L'unité est le kilowattheure, produit des kilowatts par les heures.

Étape 4

Contrôle d'ordre de grandeur : la puissance varie entre 1,41{,}4 et 3 kW3\ \mathrm{kW}; sur huit heures, l'énergie doit être comprise entre 11,211{,}2 et 24 kWh24\ \mathrm{kWh}. La valeur 19,719{,}7 est bien dans cet encadrement.

Pourquoi

Deux multiplications de tête qui valident le calcul entier. Un résultat hors de cet encadrement serait nécessairement faux, quelle que soit la primitive employée.

Étape 5

Puissance moyenne : μ=18−0∫08P(t) dt=19,738≈2,47 kW\mu=\frac{1}{8-0}\int_{0}^{8}P(t)\,dt=\frac{19{,}73}{8}\approx 2{,}47\ \mathrm{kW}.

Pourquoi

On divise l'énergie par la durée, ce qui redonne une puissance : les unités reviennent au point de départ. La valeur est bien comprise entre 1,41{,}4 et 33.

Étape 6

Moyenne des bornes : P(0)+P(8)2=1,4+1,42=1,4 kW\frac{P(0)+P(8)}{2}=\frac{1{,}4+1{,}4}{2}=1{,}4\ \mathrm{kW}, très inférieure à la valeur moyenne réelle de 2,47 kW2{,}47\ \mathrm{kW}.

Pourquoi

L'écart de plus de 40 %40\ \% vient de ce que les deux bornes sont les points les plus bas de la courbe. La moyenne des extrémités ne serait exacte que si PP était affine, ce qui n'est pas le cas.

Étape 7

Coût : 19,73×0,20≈3,9519{,}73\times 0{,}20\approx 3{,}95 dollars pour les huit heures de fonctionnement.

Pourquoi

On multiplie l'ÉNERGIE par le prix du kilowattheure, jamais la puissance. Utiliser la puissance moyenne donnerait 0,490{,}49 dollar, cinq fois moins.

Étape 8

Interprétation : l'appareil consomme en moyenne 2,47 kW2{,}47\ \mathrm{kW}, avec un pic à 3 kW3\ \mathrm{kW} en milieu de cycle, pour un total de 19,7 kWh19{,}7\ \mathrm{kWh} et un coût de 3,953{,}95 dollars par cycle de huit heures.

Pourquoi

La phrase de conclusion rassemble les trois grandeurs avec leurs unités. C'est ce que le barème appelle l'interprétation, et elle vaut souvent un demi-point à elle seule.

Conclusion rédigée

L'appareil appelle entre 1,41{,}4 et 3 kW3\ \mathrm{kW}, consomme 19,7 kWh19{,}7\ \mathrm{kWh} sur huit heures pour une puissance moyenne de 2,47 kW2{,}47\ \mathrm{kW}, bien supérieure aux 1,4 kW1{,}4\ \mathrm{kW} que donnerait la moyenne des deux bornes, et le cycle coûte environ 3,953{,}95 dollars.

L'erreur classique sur cet exercice : Multiplier la puissance moyenne par le prix du kilowattheure sans passer par l'énergie. On obtient 0,490{,}49 dollar au lieu de 3,953{,}95 : il manque le facteur 88, c'est-à-dire la durée, qui est justement ce que l'intégrale apporte.

À savoir par cœur

  • • ∫abf=F(b)−F(a)\int_{a}^{b}f=F(b)-F(a) : une intégrale définie est un NOMBRE, une primitive est une fonction.
  • • L'unité d'une intégrale est le PRODUIT des unités des deux axes : des kW sur des heures donnent des kWh.
  • • Linéarité et Chasles existent; l'intégrale d'un PRODUIT n'est pas le produit des intégrales.
  • • Aire entre deux courbes : intersections, puis SIGNE de la différence, puis « haut moins bas ».
  • • Valeur moyenne 1b−a∫abf\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}f, comprise entre le minimum et le maximum; la moyenne des bornes ne vaut que pour une fonction affine.
  • • Primitive de eax\mathrm{e}^{ax} : 1aeax\frac{1}{a}\mathrm{e}^{ax}. Primitive de 1x\frac{1}{x} : ln⁡∣x∣\ln|x|.
  • • Les rectangles n'encadrent que si ff est MONOTONE, et l'écart vaut h∣f(b)−f(a)∣h\left|f(b)-f(a)\right|.
  • • La méthode des trapèzes est la moyenne des deux sommes de rectangles, et elle est plus précise.
  • • Toute primitive se vérifie en la dérivant.

Questions fréquentes

Quelle est l'unité du résultat d'une intégrale ?

Le produit des unités des deux axes. Une puissance en kilowatts intégrée sur des heures donne une énergie en kilowattheures; une vitesse en mètres par seconde intégrée sur des secondes donne une distance en mètres. Un résultat exprimé dans l'unité de l'axe vertical seul signale une confusion entre grandeur instantanée et grandeur cumulée.

La valeur moyenne est-elle la moyenne des valeurs aux bornes ?

Seulement pour une fonction affine, dont la courbe se confond avec sa corde. Dans le cas général, la valeur moyenne est l'intégrale divisée par la longueur de l'intervalle : elle tient compte de toute la courbe. L'écart peut dépasser quarante pour cent quand la fonction passe par un extremum au milieu.

Comment calculer l'aire entre deux courbes ?

On cherche d'abord les abscisses où elles se croisent : ce sont les bornes. On étudie ensuite le signe de la différence des deux fonctions pour savoir laquelle est au-dessus. On intègre enfin celle du haut moins celle du bas, et le résultat, nécessairement positif, s'exprime en unités d'aire.

L'intégrale d'un produit est-elle le produit des intégrales ?

Non, jamais. La linéarité ne concerne que les sommes et les multiples constants. Le contre-exemple le plus court : l'intégrale de x au carré entre zéro et un vaut un tiers, alors que le carré de l'intégrale de x vaut un quart. Les deux nombres diffèrent, donc la propriété n'existe pas.

Quand les rectangles encadrent-ils vraiment une intégrale ?

Uniquement lorsque la fonction est monotone sur l'intervalle. Les sommes à gauche et à droite bornent alors la fonction sur chaque sous-intervalle. Si la fonction monte puis descend, les deux sommes peuvent tomber du même côté de l'intégrale et n'encadrent plus rien du tout.

Comment vérifier qu'une primitive est correcte ?

En la dérivant : on doit retrouver exactement la fonction de départ. C'est le contrôle le plus rentable du chapitre et il prend une dizaine de secondes. Il attrape en particulier les facteurs oubliés dans la primitive d'une exponentielle ou d'une composée.

Passer à la pratique

Exercices corrigés : Intégrales et calculs d'aires

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

  • 15 exercices corrigés
  • 150 points
  • 225 minutes
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