Maths complémentaires, Terminale • Exercices corrigés à Montréal

Fiche de révision : suites et modèles discrets (maths complémentaires)

Q: Comment traduire un pourcentage d'évolution dans une suite ?

Par un coefficient multiplicateur : une hausse de trois pour cent devient une multiplication par un virgule zéro trois, une baisse de vingt pour cent une multiplication par zéro virgule quatre-vingts. Le coefficient représente ce qu'il reste, pas ce qui change, et c'est la source d'erreur la plus fréquente du chapitre.

Q: Peut-on additionner deux taux d'évolution successifs ?

Non, il faut multiplier les coefficients. Deux hausses de dix pour cent donnent un coefficient de un virgule vingt et un, soit vingt et un pour cent au total. Le second pourcentage porte sur une valeur déjà augmentée, donc sur une base plus grande, ce qui explique l'écart.

Q: Comment reconnaître une suite arithmético-géométrique ?

À la présence simultanée d'un coefficient multiplicateur et d'un terme additif constant dans la relation de récurrence. Ni les différences ni les quotients des premiers termes ne sont alors constants. C'est la situation typique d'un capital placé à taux fixe et alimenté par un versement régulier.

Q: À quoi sert le point fixe d'une suite ?

Il donne la suite auxiliaire à poser : on retranche ce point fixe au terme général, et la suite obtenue est géométrique. Il représente aussi l'équilibre du modèle, atteint asymptotiquement lorsque la raison est de valeur absolue inférieure à un, et fui dans le cas contraire.

Q: Comment trouver le premier rang qui dépasse un seuil ?

On isole la puissance dans l'inéquation, on prend le logarithme des deux membres, puis on divise par le logarithme de la raison en surveillant son signe. Si la raison est inférieure à un, ce logarithme est négatif et l'inégalité se retourne. On arrondit enfin à l'entier supérieur.

Q: Combien de termes y a-t-il dans une somme du terme d'indice zéro au terme d'indice n ?

Il y en a n plus un, pas n. C'est le problème des poteaux et de la barrière transposé aux indices : du terme zéro au terme un, il y a déjà deux termes. Cette erreur d'une unité fausse toutes les sommes de suites arithmétiques ou géométriques.

Les suites des maths complémentaires servent toutes à modéliser une évolution période par période : un capital, une population, un stock. Les formules sont courtes, la calculatrice fait les calculs, et pourtant les points se perdent, presque toujours au même endroit : la traduction d'un pourcentage en coefficient.

Cette fiche liste les huit erreurs qui reviennent, avec la phrase exacte qui les remet, l'arbre de reconnaissance d'une suite à partir de sa relation, la méthode complète de recherche de seuil, et un plan d'épargne décortiqué du changement de suite jusqu'au nombre d'années nécessaires.

Le fil du chapitre

Un taux d'évolution ne s'additionne jamais : il se traduit par un COEFFICIENT MULTIPLICATEUR, et les coefficients se multiplient. Tout le chapitre découle de là, du plan d'épargne au calcul de seuil.

Ce chapitre fait partie de Maths complémentaires en Terminale

Avant ce chapitre

Cette fiche suppose ces notions acquises. Si une méthode ci-dessous reste opaque, c'est presque toujours l'une d'elles qui manque, pas la fiche.

Les suites numériquesPremière, Mathématiques Fiche

Remonter plus loin : la chaîne complète (7 chapitres) ↓

Le chemin de remédiation, du plus ancien au plus proche. Un élève qui reprend ce chapitre de zéro le reprend dans cet ordre.

1Généralités sur les fonctionsSeconde, Mathématiques
2Algorithmique et PythonSeconde, Mathématiques
3Les suites numériquesPremière, Mathématiques
4Calcul littéral et équationsQuatrième, Mathématiques
5Algorithmique et ScratchQuatrième, Mathématiques
6La notion de fonctionTroisième, Mathématiques
7Algorithmique et ScratchTroisième, Mathématiques

L'essentiel

Arithmétique ou géométrique : différence ou quotient

• Suite ARITHMÉTIQUE : on AJOUTE toujours le même nombre. $u_{n+1}=u_{n}+r$ et $u_{n}=u_{0}+nr$ . Sa représentation est alignée.
• Suite GÉOMÉTRIQUE : on MULTIPLIE toujours par le même nombre. $u_{n+1}=q\,u_{n}$ et $u_{n}=u_{0}q^{n}$ .
• Pour trancher : calculer les DIFFÉRENCES successives, puis les QUOTIENTS successifs. C'est celle qui est constante qui donne la nature.
• Sommes : $u_{0}+\dots+u_{n}=(n+1)\frac{u_{0}+u_{n}}{2}$ pour une arithmétique, et $u_{0}\frac{1-q^{n+1}}{1-q}$ pour une géométrique de raison $q\neq 1$ .

L'arithmétique mène pendant quatorze périodes, puis la géométrique la dépasse et ne se laisse plus rattraper. Une croissance en pourcentage finit toujours par battre une croissance en valeur absolue.

Le nombre de termes de $u_{0}$ à $u_{n}$ est $n+1$ , jamais $n$ : c'est l'erreur de comptage la plus fréquente sur les sommes, et elle se voit en testant sur $n=1$ , où il y a bien deux termes.

Un taux se traduit par un coefficient multiplicateur

• Une hausse de $t\ \%$ correspond à une multiplication par $1+\frac{t}{100}$ ; une baisse de $t\ \%$ , à une multiplication par $1-\frac{t}{100}$ .
• Des évolutions successives se composent en MULTIPLIANT les coefficients, jamais en additionnant les taux.
• Une baisse de $20\ \%$ se traduit par $\times 0{,}80$ , jamais par $\times 0{,}20$ : le coefficient est ce qu'il RESTE.
• Le taux global sur $n$ périodes de même taux vaut $\left(1+\frac{t}{100}\right)^{n}-1$ .

Contrôle de bon sens : une baisse de $20\ \%$ suivie d'une hausse de $20\ \%$ ne ramène pas au point de départ mais à $0{,}80\times 1{,}20=0{,}96$ , soit $96\ \%$ de la valeur initiale.

La suite arithmético-géométrique : une seule méthode

• Forme $u_{n+1}=au_{n}+b$ avec $a\neq 1$ : ce n'est ni une suite arithmétique, ni une suite géométrique.
• 1. Chercher le POINT FIXE $\ell$ solution de $\ell=a\ell+b$ , c'est-à-dire $\ell=\frac{b}{1-a}$ .
• 2. Poser $v_{n}=u_{n}-\ell$ : la suite $(v_{n})$ est GÉOMÉTRIQUE de raison $a$ .
• 3. Revenir : $u_{n}=\ell+(u_{0}-\ell)a^{n}$ , et la limite se lit entièrement sur $a^{n}$ .

L'énoncé impose presque toujours le $v_{n}$ à poser. Quand il ne l'impose pas, c'est ce $v_{n}=u_{n}-\ell$ qu'il faut choisir, et le point fixe se calcule au brouillon en une ligne.

Chercher un seuil, par le logarithme ou par un algorithme

• Pour $q^{n}<s$ avec $0<q<1$ : on passe au logarithme, et l'inégalité CHANGE DE SENS car $\ln q<0$ , ce qui donne $n>\frac{\ln s}{\ln q}$ .
• Le résultat est un nombre décimal : on prend l'entier immédiatement SUPÉRIEUR, puisqu'on cherche le premier rang qui convient.
• On vérifie ensuite sur $n$ et sur $n-1$ : c'est cette double vérification qui démontre le mot « plus petit ».
• Par algorithme : une boucle non bornée, avec un compteur incrémenté APRÈS la mise à jour du terme, et on renvoie le compteur.

La courbe passe sous la ligne du seuil entre les rangs

13

14

: le logarithme donne

13{,}4

, et le premier ENTIER qui convient est donc

14

, pas

13

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Additionner des taux d'évolution successifs

1 à 2 points, et l'écart grandit avec le nombre de périodes

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Une hausse de $10\ \%$ puis une nouvelle hausse de $10\ \%$ font $20\ \%$ au total. »

Ce qu'il faut écrire

« Les coefficients multiplicateurs se MULTIPLIENT : $1{,}10\times 1{,}10=1{,}21$ , soit une hausse globale de $21\ \%$ . »

Pourquoi : Le second pourcentage porte sur une valeur déjà augmentée, donc sur une base plus grande. Sur dix périodes, la différence entre $10\times 10\ \%$ et $1{,}1^{10}$ dépasse $150$ points.

2. Traduire une baisse par le mauvais coefficient

toute la question, avec une décroissance quatre fois trop rapide

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Le stock baisse de $20\ \%$ chaque mois, donc $u_{n+1}=0{,}20\,u_{n}$ . »

Ce qu'il faut écrire

« Une baisse de $20\ \%$ laisse $80\ \%$ : le coefficient est $1-0{,}20=0{,}80$ , donc $u_{n+1}=0{,}80\,u_{n}$ . »

Pourquoi : Le coefficient multiplicateur est ce qui RESTE, pas ce qui part. Le contrôle est immédiat : avec $\times 0{,}20$ , un stock de $100$ tomberait à $20$ en un mois, ce qui n'est pas une baisse de $20\ \%$ .

3. Prendre une suite arithmético-géométrique pour une suite géométrique

toute la question, avec un capital très sous-estimé

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $u_{n+1}=1{,}03u_{n}+1200$ , donc $u_{n}=u_{0}\times 1{,}03^{n}$ . »

Ce qu'il faut écrire

« La présence du terme $+1200$ interdit d'écrire une formule géométrique. Il faut poser $v_{n}=u_{n}-\ell$ avec $\ell=\frac{1200}{1-1{,}03}=-40\,000$ , ce qui donne $u_{n}=45\,000\times 1{,}03^{n}-40\,000$ . »

Pourquoi : Une suite géométrique n'a aucun terme additif : le rapport de deux termes consécutifs n'y est pas constant. Le test le plus rapide est de calculer $\frac{u_{1}}{u_{0}}$ et $\frac{u_{2}}{u_{1}}$ : ils diffèrent.

4. Ne pas retourner l'inégalité en divisant par un logarithme négatif

1 point, et une réponse décalée d'un rang au moins

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $0{,}8^{n}<0{,}05$ donne $n\ln 0{,}8<\ln 0{,}05$ , donc $n<\frac{\ln 0{,}05}{\ln 0{,}8}\approx 13{,}4$ , donc $n=13$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $\ln 0{,}8$ est NÉGATIF, donc la division retourne l'inégalité : $n>13{,}4$ , et le premier entier qui convient est $n=14$ . »

Pourquoi : Le logarithme d'un nombre compris entre $0$ et $1$ est négatif. Diviser par un négatif retourne le sens de l'inégalité, exactement comme au collège, et c'est la seule difficulté du calcul de seuil.

5. Compter les termes d'une somme de travers

1 point, et une somme fausse d'environ $5\ \%$

Ce qu'il ne faut pas écrire

« La somme de $u_{0}$ à $u_{20}$ comporte $20$ termes. »

Ce qu'il faut écrire

« Elle en comporte $21$ : de $u_{0}$ à $u_{n}$ , il y a $n+1$ termes. Pour une suite arithmétique, la somme vaut donc $21\times\frac{u_{0}+u_{20}}{2}$ . »

Pourquoi : C'est le problème classique des poteaux et de la barrière, appliqué aux indices. Le test tient en deux secondes : de $u_{0}$ à $u_{1}$ , il y a bien deux termes et non un.

6. Prendre le point fixe pour la limite quand la raison dépasse 1

1 à 2 points, et une interprétation absurde pour un capital

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $u_{n+1}=1{,}03u_{n}+1200$ a pour point fixe $-40\,000$ , donc la suite tend vers $-40\,000$ . »

Ce qu'il faut écrire

« La suite ne converge vers le point fixe que si $|a|<1$ . Ici $a=1{,}03>1$ , donc $1{,}03^{n}$ tend vers $+\infty$ et la suite tend vers $+\infty$ , en s'ÉLOIGNANT du point fixe. »

Avec une raison

a=0{,}8

, de module inférieur à

1

, les deux suites convergent vers le point fixe

300

quel que soit leur départ. Avec

a>1

, elles s'en écarteraient au lieu de s'en approcher.

Pourquoi : Le point fixe est un équilibre, stable ou instable selon la raison. Avec $a>1$ , tout écart initial est amplifié à chaque période : c'est précisément ce qui fait croître un placement.

7. Renvoyer la valeur atteinte au lieu du rang dans un algorithme de seuil

1 point sur 2, et la réponse ne répond pas à la question

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Tant que $u<30\,000$ , faire $u\leftarrow 1{,}03u+1200$ ; renvoyer $u$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $n\leftarrow 0$ ; tant que $u<30\,000$ , faire $u\leftarrow 1{,}03u+1200$ puis $n\leftarrow n+1$ ; renvoyer $n$ . La question demande un NOMBRE D'ANNÉES, pas un capital. »

Pourquoi : Un seuil demande toujours le premier RANG à partir duquel la condition est remplie. Incrémenter le compteur après la mise à jour garantit qu'il désigne l'année du dépassement.

8. Confondre la raison et le taux d'évolution

1 point, sur une question d'interprétation

Ce qu'il ne faut pas écrire

« La suite est géométrique de raison $1{,}03$ , donc elle augmente de $103\ \%$ par an. »

Ce qu'il faut écrire

« La raison est le COEFFICIENT multiplicateur : $1{,}03$ correspond à une hausse de $3\ \%$ . Le taux est $q-1$ , converti en pourcentage. »

Pourquoi : Le coefficient contient le $1$ qui représente la valeur conservée : seul ce qui dépasse $1$ est l'évolution. Une raison de $2$ correspond ainsi à une hausse de $100\ \%$ , pas de $200\ \%$ .

9. Chercher une limite pour une suite qui n'en a pas

1 point, et une conclusion fausse sur le comportement du modèle

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $u_{n}=100\times(-1{,}2)^{n}$ tend vers $+\infty$ . »

Ce qu'il faut écrire

« Pour $q\le -1$ , la suite $(q^{n})$ n'a PAS de limite : elle change de signe à chaque rang. Ici les termes oscillent entre des valeurs positives et négatives de plus en plus grandes. »

Pourquoi : Une limite infinie a un signe. Une suite qui saute de $-172$ à $+207$ ne tend ni vers $+\infty$ ni vers $-\infty$ , ni vers un réel : elle n'a pas de limite du tout.

Quelle méthode choisir

Quelle nature de suite, selon la relation donnée

On regarde la relation entre deux termes consécutifs, ou l'on calcule différences et quotients sur les premiers termes.

Si $u_{n+1}=u_{n}+r$ avec $r$ constant, ou différences constantes → suite ARITHMÉTIQUE : $u_{n}=u_{0}+nr$ , croissance linéaire

Exemple : un versement fixe chaque mois sur un compte non rémunéré
Si $u_{n+1}=q\,u_{n}$ avec $q$ constant, ou quotients constants → suite GÉOMÉTRIQUE : $u_{n}=u_{0}q^{n}$ , croissance en pourcentage

Exemple : un capital placé à taux fixe, sans versement
Si $u_{n+1}=au_{n}+b$ avec $a\neq 1$ et $b\neq 0$ → suite ARITHMÉTICO-GÉOMÉTRIQUE : point fixe, changement de suite, puis forme explicite

Exemple : un capital placé ET alimenté par un versement annuel
Si l'énoncé donne un pourcentage d'évolution → traduire par un coefficient multiplicateur AVANT d'écrire la relation
Si l'énoncé donne un pourcentage ET une quantité fixe → c'est toujours une arithmético-géométrique, et la quantité fixe est le $b$

C'est la situation la plus fréquente des sujets : quota de pêche, versement, prélèvement.
Si ni les différences ni les quotients ne sont constants, et il n'y a pas de terme additif → aucune des trois natures : le programme se limite alors à un traitement numérique ou algorithmique

Le test différences puis quotients se fait sur les trois premiers termes et prend trente secondes. Il évite d'appliquer une formule géométrique à une suite qui ne l'est pas, ce qui est l'erreur la plus coûteuse du chapitre.

Quelle méthode selon la question

Le verbe de la question désigne l'outil, et les cas sont peu nombreux.

Si « calculer les premiers termes » → appliquer la relation de récurrence, et en profiter pour tester différences et quotients
Si « exprimer $u_{n}$ en fonction de $n$ » → formule explicite de la nature reconnue, ou changement de suite pour une arithmético-géométrique
Si « calculer une somme de termes » → formule adaptée à la nature, en comptant bien $n+1$ termes de $u_{0}$ à $u_{n}$
Si « déterminer le plus petit rang tel que » → inéquation résolue au logarithme, avec changement de sens si la raison est inférieure à $1$ , ou algorithme de seuil

Exemple : $0{,}8^{n}<0{,}05$ donne $n\ge 14$
Si « déterminer la limite » → lire sur $q^{n}$ : $0$ si $-1<q<1$ , $+\infty$ si $q>1$ , aucune limite si $q\le -1$
Si « interpréter le résultat dans le contexte » → traduire en années, en euros ou en individus, avec l'unité, et commenter le réalisme du modèle

La dernière branche vaut souvent autant que le calcul. Un résultat rendu sans unité ni interprétation perd systématiquement un demi-point en maths complémentaires.

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Traiter une suite arithmético-géométrique

Quand l'utiliser : L'exercice type du chapitre : un capital, une population ou un stock avec une évolution en pourcentage et un apport fixe.

1 Traduire l'énoncé en relation de récurrence, en écrivant d'abord le coefficient multiplicateur.
2 Calculer les deux premiers termes, ce qui sert de contrôle pour toute la suite.
3 Chercher le POINT FIXE $\ell$ en résolvant $\ell=a\ell+b$ , sur une ligne à part.
4 Poser $v_{n}=u_{n}-\ell$ et montrer que $v_{n+1}=a\,v_{n}$ , en partant de $v_{n+1}$ et en arrivant à $v_{n}$ .
5 En déduire $v_{n}=v_{0}a^{n}$ puis $u_{n}=\ell+(u_{0}-\ell)a^{n}$ , et VÉRIFIER sur les deux premiers termes.
6 Répondre à la question posée : limite, valeur à une date, ou rang de dépassement d'un seuil.

Phrase de conclusion

Le point fixe vaut $\ell=\frac{1200}{1-1{,}03}=-40\,000$ ; la suite $(v_{n})$ définie par $v_{n}=u_{n}+40\,000$ est géométrique de raison $1{,}03$ et de premier terme $45\,000$ , donc $u_{n}=45\,000\times 1{,}03^{n}-40\,000$ .

Le piège : Se troubler devant un point fixe négatif. Il n'a pas d'interprétation concrète ici, ce n'est qu'un intermédiaire de calcul : la vérification sur $u_{0}$ et $u_{1}$ suffit à valider la formule.

Barème : 0,5 point pour la relation de récurrence, 1 point pour le point fixe, 1,5 point pour la suite géométrique démontrée, 1 point pour la forme explicite vérifiée.

Déterminer un rang de dépassement

Quand l'utiliser : La dernière question de presque tout exercice de suites : au bout de combien de temps atteint-on tel montant.

1 Écrire l'inéquation demandée à partir de la forme explicite, sans arrondir.
2 ISOLER la puissance : tous les termes constants passent de l'autre côté avant le logarithme.
3 Prendre le logarithme des deux membres, puis diviser par $\ln q$ en surveillant son SIGNE.
4 Arrondir à l'entier SUPÉRIEUR, puisqu'on cherche le premier rang qui convient.
5 Vérifier sur $n$ et sur $n-1$ , en donnant les deux valeurs numériques.
6 Conclure dans le contexte, avec l'unité : « au bout de $15$ années ».

Phrase de conclusion

$45\,000\times 1{,}03^{n}-40\,000\ge 30\,000$ équivaut à $1{,}03^{n}\ge\frac{70\,000}{45\,000}$ , soit $n\ge\frac{\ln\frac{14}{9}}{\ln 1{,}03}\approx 14{,}9$ : le capital dépasse $30\,000$ euros au bout de $15$ ans.

Le piège : Prendre le logarithme sans avoir isolé la puissance. On obtiendrait le logarithme d'une différence, qui ne se décompose pas, et le calcul serait bloqué.

Barème : 1 point pour l'inéquation, 1 point pour l'isolement de la puissance, 1 point pour le logarithme et le sens de l'inégalité, 1 point pour l'entier et sa vérification.

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

Vérifier la forme explicite sur les premiers termes

Remplacer $n$ par $0$ puis par $1$ dans la formule trouvée doit redonner exactement les termes calculés au début. Dix secondes, et toute erreur de signe apparaît.

$45\,000\times 1{,}03^{0}-40\,000=5000$ et $45\,000\times 1{,}03-40\,000=6350$ : la formule est validée.
Tester différences et quotients avant de choisir une formule

Sur trois termes, calculer les deux différences puis les deux quotients. Celui qui est constant donne la nature; si aucun ne l'est, la suite n'est ni arithmétique ni géométrique.

$5000$ , $6350$ , $7740{,}5$ : quotients $1{,}27$ puis $1{,}22$ , différences $1350$ puis $1390{,}5$ : ni l'un ni l'autre, c'est une arithmético-géométrique.
Encadrer un rang de seuil par ses deux voisins

Le rang trouvé doit vérifier la condition, et le précédent ne doit pas la vérifier. Deux évaluations à la calculatrice démontrent le mot « plus petit ».

$u_{15}\approx 30\,109$ dépasse $30\,000$ , et $u_{14}\approx 28\,067$ ne le dépasse pas : le rang $15$ est bien le premier.
Contrôler qu'un coefficient de baisse est compris entre 0 et 1

Une baisse donne un coefficient entre $0$ et $1$ , une hausse un coefficient supérieur à $1$ . Un coefficient de $0{,}20$ pour une baisse de $20\ \%$ est une erreur de traduction.

Baisse de $20\ \%$ : $\times 0{,}80$ . Hausse de $20\ \%$ : $\times 1{,}20$ . Le coefficient est ce qui reste.
Vérifier le sens de l'inégalité après division par un logarithme

Si la raison est comprise entre $0$ et $1$ , son logarithme est négatif et l'inégalité se retourne. Un simple regard sur le signe suffit.

$\ln 0{,}8\approx-0{,}22$ : diviser par ce nombre transforme $<$ en $>$ , et le rang cherché est un minorant, pas un majorant.

L'exercice type décortiqué

Un plan d'épargne, comme à l'examen

Un compte épargne rapporte $3\ \%$ par an. On y place $5000$ euros au départ, et l'on verse $1200$ euros à la fin de chaque année. On note $u_{n}$ le capital, en euros, au bout de $n$ années.

1. Écrire la relation de récurrence et calculer $u_{1}$ et $u_{2}$ . 2. La suite est-elle géométrique ? 3. On pose $v_{n}=u_{n}+40\,000$ . Montrer que $(v_{n})$ est géométrique. 4. En déduire $u_{n}$ en fonction de $n$ . 5. Au bout de combien d'années le capital dépasse-t-il $30\,000$ euros ?

Étape 1

Une hausse de $3\ \%$ correspond au coefficient $1{,}03$ , et le versement s'ajoute ensuite : $u_{n+1}=1{,}03\,u_{n}+1200$ , avec $u_{0}=5000$ .

Pourquoi

Le coefficient s'écrit AVANT la relation : $1{,}03$ et non $0{,}03$ . Le versement est un terme additif constant, ce qui écarte d'emblée le modèle géométrique pur.

Étape 2

$u_{1}=1{,}03\times 5000+1200=5150+1200=6350$ euros, puis $u_{2}=1{,}03\times 6350+1200=6540{,}50+1200=7740{,}50$ euros.

Pourquoi

Ces deux valeurs serviront de contrôle à la formule explicite trouvée plus loin. Les calculer d'abord est un investissement de trente secondes qui sécurise toute la suite.

Étape 3

Quotients : $\frac{u_{1}}{u_{0}}=1{,}27$ et $\frac{u_{2}}{u_{1}}=1{,}219$ . Ils ne sont pas égaux : la suite n'est donc PAS géométrique.

Pourquoi

La justification est numérique et tient en une ligne. Répondre « non, à cause du $+1200$ » est juste mais moins convaincant qu'un contre-exemple chiffré.

Étape 4

$v_{n+1}=u_{n+1}+40\,000=1{,}03u_{n}+1200+40\,000=1{,}03u_{n}+41\,200=1{,}03\left(u_{n}+40\,000\right)=1{,}03\,v_{n}$ . La suite $(v_{n})$ est donc géométrique de raison $1{,}03$ .

Pourquoi

On part de $v_{n+1}$ et on arrive à $v_{n}$ , jamais l'inverse. La factorisation par $1{,}03$ est le seul geste de la question : $\frac{41\,200}{1{,}03}=40\,000$ , ce qui n'est pas un hasard mais le point fixe.

Étape 5

$v_{0}=5000+40\,000=45\,000$ , donc $v_{n}=45\,000\times 1{,}03^{n}$ , puis $u_{n}=v_{n}-40\,000=45\,000\times 1{,}03^{n}-40\,000$ .

Pourquoi

Le retour se fait par soustraction de $40\,000$ , puisque $v_{n}=u_{n}+40\,000$ . Inverser ce signe est l'erreur la plus fréquente de la question.

Étape 6

Contrôle : $u_{0}=45\,000-40\,000=5000$ et $u_{1}=46\,350-40\,000=6350$ , conformes aux valeurs calculées plus haut.

Pourquoi

Deux substitutions valident d'un coup le point fixe, le changement de suite et le retour. C'est le contrôle le plus rentable du chapitre.

Étape 7

$u_{n}\ge 30\,000$ équivaut à $45\,000\times 1{,}03^{n}\ge 70\,000$ , soit $1{,}03^{n}\ge\frac{14}{9}$ , donc $n\ln 1{,}03\ge\ln\frac{14}{9}$ . Comme $\ln 1{,}03>0$ , le sens ne change pas : $n\ge\frac{\ln\frac{14}{9}}{\ln 1{,}03}\approx 14{,}9$ .

Pourquoi

On isole la puissance en faisant passer le $-40\,000$ AVANT le logarithme. Le signe de $\ln 1{,}03$ est vérifié explicitement, car ici il est positif et l'inégalité ne se retourne pas.

Étape 8

Le plus petit entier convenable est $n=15$ . Vérification : $u_{15}\approx 30\,109$ euros, supérieur à $30\,000$ , tandis que $u_{14}\approx 28\,067$ euros ne l'atteint pas.

Pourquoi

Les deux valeurs encadrantes démontrent le mot « plus petit », et elles s'obtiennent en dix secondes à la calculatrice. Sans elles, rien ne prouve que $14$ ne convenait pas.

Conclusion rédigée

Le capital suit $u_{n}=45\,000\times 1{,}03^{n}-40\,000$ , passe de $5000$ à $6350$ puis $7740{,}50$ euros les deux premières années, et dépasse $30\,000$ euros au bout de $15$ années de placement.

L'erreur classique sur cet exercice : Traiter la suite comme géométrique et écrire $u_{n}=5000\times 1{,}03^{n}$ . Au bout de quinze ans, cela donnerait $7789$ euros au lieu de $30\,109$ : les versements annuels représentent l'essentiel du capital final, et les ignorer divise le résultat par quatre.

À savoir par cœur

• Arithmétique : on AJOUTE, différences constantes. Géométrique : on MULTIPLIE, quotients constants.
• Un taux de $t\ \%$ devient le coefficient $1+\frac{t}{100}$ ; une baisse de $20\ \%$ devient $\times 0{,}80$ .
• Les taux successifs se COMPOSENT en multipliant les coefficients, jamais en s'additionnant.
• De $u_{0}$ à $u_{n}$ , il y a $n+1$ termes.
• Arithmético-géométrique : point fixe $\ell=\frac{b}{1-a}$ , puis $v_{n}=u_{n}-\ell$ géométrique de raison $a$ .
• $u_{n}=\ell+(u_{0}-\ell)a^{n}$ : la limite se lit sur $a^{n}$ , et le point fixe n'est atteint que si $|a|<1$ .
• $q^{n}$ tend vers $0$ si $-1<q<1$ , vers $+\infty$ si $q>1$ , et n'a PAS de limite si $q\le -1$ .
• Diviser une inéquation par $\ln q$ avec $0<q<1$ RETOURNE le sens.
• Un rang de seuil s'arrondit à l'entier SUPÉRIEUR et se vérifie sur $n$ et $n-1$ .

Questions fréquentes

Comment traduire un pourcentage d'évolution dans une suite ?

Par un coefficient multiplicateur : une hausse de trois pour cent devient une multiplication par un virgule zéro trois, une baisse de vingt pour cent une multiplication par zéro virgule quatre-vingts. Le coefficient représente ce qu'il reste, pas ce qui change, et c'est la source d'erreur la plus fréquente du chapitre.

Peut-on additionner deux taux d'évolution successifs ?

Non, il faut multiplier les coefficients. Deux hausses de dix pour cent donnent un coefficient de un virgule vingt et un, soit vingt et un pour cent au total. Le second pourcentage porte sur une valeur déjà augmentée, donc sur une base plus grande, ce qui explique l'écart.

Comment reconnaître une suite arithmético-géométrique ?

À la présence simultanée d'un coefficient multiplicateur et d'un terme additif constant dans la relation de récurrence. Ni les différences ni les quotients des premiers termes ne sont alors constants. C'est la situation typique d'un capital placé à taux fixe et alimenté par un versement régulier.

À quoi sert le point fixe d'une suite ?

Il donne la suite auxiliaire à poser : on retranche ce point fixe au terme général, et la suite obtenue est géométrique. Il représente aussi l'équilibre du modèle, atteint asymptotiquement lorsque la raison est de valeur absolue inférieure à un, et fui dans le cas contraire.

Comment trouver le premier rang qui dépasse un seuil ?

On isole la puissance dans l'inéquation, on prend le logarithme des deux membres, puis on divise par le logarithme de la raison en surveillant son signe. Si la raison est inférieure à un, ce logarithme est négatif et l'inégalité se retourne. On arrondit enfin à l'entier supérieur.

Combien de termes y a-t-il dans une somme du terme d'indice zéro au terme d'indice n ?

Il y en a n plus un, pas n. C'est le problème des poteaux et de la barrière transposé aux indices : du terme zéro au terme un, il y a déjà deux termes. Cette erreur d'une unité fausse toutes les sommes de suites arithmétiques ou géométriques.

Passer à la pratique

Exercices corrigés : Suites et modèles discrets

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

15 exercices corrigés
150 points
225 minutes

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