Exercice 0.1 : Résoudre des équations et inéquations avec exp et ln : dix calculs directs

Pour chaque ligne, résolvez dans $\mathbb{R}$ , ou dans $\mathbb{N}$ pour le seuil, et donnez la solution, exacte ou au millième, ou l'ensemble des solutions sous forme d'intervalle.

Une seule méthode pour les dix lignes : écrire d'abord le DOMAINE, c'est-à-dire les conditions qui rendent positif tout ce qui est sous un logarithme. Puis se ramener à $\mathrm{e}^{A}=\mathrm{e}^{B}$ ou $\ln A=\ln B$ , ce qui équivaut à $A=B$ , ou à $\mathrm{e}^{A}<\mathrm{e}^{B}$ ou $\ln A<\ln B$ , ce qui équivaut à $A<B$ puisque les deux fonctions sont strictement croissantes. Enfin, confronter chaque solution au domaine, et retourner l'inégalité chaque fois qu'on divise par un nombre négatif.

a) $\mathrm{e}^{3x-1}=4$ .
b) $\mathrm{e}^{1-2x}=\frac{1}{\mathrm{e}^{x+4}}$ .
c) $\ln(2x+5)=3$ .
d) $\ln\left(x^{2}-1\right)=\ln(x+5)$ : le nombre de solutions, puis la plus petite.
e) $\ln(x-1)+\ln(x+2)=\ln 10$ .
f) $\mathrm{e}^{2x}-\mathrm{e}^{x}-6=0$ , en posant $X=\mathrm{e}^{x}$ .
g) $\mathrm{e}^{2x}>\frac{1}{\mathrm{e}}$ .
h) $\ln(6-2x)\leq\ln 2+\ln 5$ .
i) $\mathrm{e}^{-0{,}2x}<0{,}5$ : la borne de l'ensemble des solutions, puis le sens.
j) Le plus petit entier naturel $n$ tel que $0{,}8^{n}<10^{-3}$ .

Tape tes réponses, la page te dit juste ou faux 0/12

a)

x

b)

x

c)

x

d)

Nombre de solutions

La plus petite

e)

x

f)

x

g)

Solutions ;

h)

Solutions ;

i)

Borne

Sens

j)

n

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Réponses

a) $x=\frac{1+\ln 4}{3}\approx 0{,}795$
b) $1-2x=-x-4$ ; $x=5$
c) $x=\frac{\mathrm{e}^{3}-5}{2}\approx 7{,}543$
d) $x^{2}-x-6=0$ ; deux solutions, $-2$ et $3$
e) $x^{2}+x-12=0$ , $-4$ rejeté ; $x=3$
f) $X=3$ ( $X=-2$ rejeté) ; $x=\ln 3\approx 1{,}099$
g) $2x>-1$ ; $\left]-\frac{1}{2}\,;+\infty\right[$
h) $-2\leq x<3$ ; $[-2\,;3[$
i) $x>5\ln 2\approx 3{,}466$
j) $n>\frac{-3\ln 10}{\ln 0{,}8}\approx 30{,}96$ ; $n=31$

Le geste qui décide de tout se fait AVANT de résoudre : écrire le domaine. Avec lui, les lignes d) et e) se départagent en une ligne ; sans lui, on garde une solution interdite ou l'on en rejette une permise. Le second geste vient à la fin : $\ln q<0$ quand $0<q<1$ , donc diviser par $\ln 0{,}8$ ou par $-0{,}2$ retourne l'inégalité.

a)

On passe au logarithme : $3x-1=\ln 4$ , donc $x=\frac{1+\ln 4}{3}\approx 0{,}795$ . Piège : écrire $3x-1=\mathrm{e}^{4}$ , qui confond les deux fonctions.

b)

$\frac{1}{\mathrm{e}^{x+4}}=\mathrm{e}^{-x-4}$ , donc l'équation devient $\mathrm{e}^{1-2x}=\mathrm{e}^{-x-4}$ , soit $1-2x=-x-4$ et $x=5$ .

c)

Domaine : $2x+5>0$ , soit $x>-\frac{5}{2}$ . $\ln(2x+5)=3$ équivaut à $2x+5=\mathrm{e}^{3}$ , donc $x=\frac{\mathrm{e}^{3}-5}{2}\approx 7{,}543$ , qui est bien dans le domaine. Piège : $2x+5=3$ , ce qui oublie de repasser à l'exponentielle.

d)

Domaine : $x^{2}-1>0$ et $x+5>0$ , soit $x\in\left]-5\,;-1\right[\cup\left]1\,;+\infty\right[$ . Puis $x^{2}-1=x+5$ , soit $x^{2}-x-6=0$ , $(x-3)(x+2)=0$ , donc $x=3$ ou $x=-2$ . Les DEUX sont dans le domaine : en $-2$ , $x^{2}-1=3>0$ et $x+5=3>0$ . Deux solutions, la plus petite est $-2$ . Piège : rejeter $-2$ parce qu'il est négatif ; ce qui doit être positif, c'est ce qui est SOUS le logarithme, pas $x$ .

e)

Domaine : $x>1$ et $x>-2$ , soit $x>1$ . $\ln\left((x-1)(x+2)\right)=\ln 10$ donne $x^{2}+x-2=10$ , soit $x^{2}+x-12=0$ et $(x-3)(x+4)=0$ . La valeur $-4$ est hors du domaine, la seule solution est $x=3$ . Piège : garder $-4$ , pour lequel $\ln(x-1)$ n'existe pas.

f)

Avec $X=\mathrm{e}^{x}>0$ : $X^{2}-X-6=0$ , de discriminant $25$ , donc $X=3$ ou $X=-2$ . Or $\mathrm{e}^{x}=-2$ n'a pas de solution, une exponentielle étant strictement positive. Reste $\mathrm{e}^{x}=3$ , soit $x=\ln 3\approx 1{,}099$ . Piège : écrire $x=\ln(-2)$ , qui n'existe pas.

g)

$\frac{1}{\mathrm{e}}=\mathrm{e}^{-1}$ , donc $\mathrm{e}^{2x}>\mathrm{e}^{-1}$ équivaut à $2x>-1$ , soit $x>-\frac{1}{2}$ . L'ensemble des solutions est $\left]-\frac{1}{2}\,;+\infty\right[$ .

h)

Domaine : $6-2x>0$ , soit $x<3$ . $\ln 2+\ln 5=\ln 10$ , donc l'inéquation équivaut à $6-2x\leq 10$ , soit $-2x\leq 4$ et $x\geq-2$ , en retournant l'inégalité. Avec le domaine : $[-2\,;3[$ . Piège : répondre $[-2\,;+\infty[$ , en oubliant que $\ln(6-2x)$ n'existe plus au-delà de $3$ .

i)

On passe au logarithme, qui est croissant : $-0{,}2x<\ln 0{,}5=-\ln 2$ . On divise par $-0{,}2<0$ , ce qui retourne l'inégalité : $x>\frac{\ln 2}{0{,}2}=5\ln 2\approx 3{,}466$ . L'ensemble des solutions est $\left]5\ln 2\,;+\infty\right[$ : $x$ est SUPÉRIEUR à la borne. Piège : garder le sens $<$ , ce qui donne exactement l'ensemble contraire.

j)

Le logarithme étant croissant, $0{,}8^{n}<10^{-3}$ équivaut à $n\ln 0{,}8<\ln\left(10^{-3}\right)$ . Comme $\ln 0{,}8<0$ , on retourne l'inégalité : $n>\frac{\ln\left(10^{-3}\right)}{\ln 0{,}8}=\frac{-3\ln 10}{\ln 0{,}8}\approx 30{,}96$ . Le plus petit entier est $n=31$ . Vérification : $0{,}8^{30}\approx 0{,}00124$ et $0{,}8^{31}\approx 0{,}00099$ . Piège : répondre $30$ en arrondissant au plus proche.

Contrôle : une solution d'équation se remplace dans l'équation DE DÉPART, pas dans l'équation transformée, ce qui démasque aussitôt une valeur hors du domaine. Pour une inéquation, on teste un nombre de l'intervalle trouvé et un nombre juste à l'extérieur : le premier doit vérifier l'inéquation, le second non.

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Exercice 1 : Propriétés de l'exponentielle

Simplifiez chaque expression et écrivez le résultat sous la forme $\mathrm{e}^{k}$ ou sous la forme la plus simple possible.

a) $\mathrm{e}^{3}\times\mathrm{e}^{-5}$
b) $\frac{(\mathrm{e}^{2})^{3}}{\mathrm{e}^{4}}$
c) $\frac{\mathrm{e}^{2x}\times\mathrm{e}^{-x}}{\mathrm{e}^{3}}$
d) $(\mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{-x})^{2}-(\mathrm{e}^{x}-\mathrm{e}^{-x})^{2}$

Voir la correction

Réponses

a) $e^{-2}$
b) $e^{2}$
c) $e^{x-3}$
d) $4$

a)

Les exponentielles de même base se multiplient en ADDITIONNANT les exposants : $\mathrm{e}^{3}\times\mathrm{e}^{-5}=\mathrm{e}^{3+(-5)}=\mathrm{e}^{-2}$ . On peut aussi l'écrire $\frac{1}{\mathrm{e}^{2}}$ , les deux formes étant acceptées. Contrôle numérique : $\mathrm{e}^{3}\approx 20{,}09$ et $\mathrm{e}^{-5}\approx 0{,}0067$ , dont le produit vaut environ $0{,}135$ , ce qui est bien $\mathrm{e}^{-2}$ ✓.

b)

Dans une puissance de puissance, les exposants se MULTIPLIENT : $\left(\mathrm{e}^{2}\right)^{3}=\mathrm{e}^{6}$ . C'est la confusion la plus fréquente du chapitre, car on additionne dans un produit et l'on multiplie dans une puissance. Le quotient soustrait ensuite : $\frac{\mathrm{e}^{6}}{\mathrm{e}^{4}}=\mathrm{e}^{6-4}=\mathrm{e}^{2}$ .

c)

On traite le numérateur d'abord : $\mathrm{e}^{2x}\times\mathrm{e}^{-x}=\mathrm{e}^{2x-x}=\mathrm{e}^{x}$ . Puis le quotient : $\frac{\mathrm{e}^{x}}{\mathrm{e}^{3}}=\mathrm{e}^{x-3}$ . Notez que la présence de la variable ne change rien aux règles : $x$ se manipule exactement comme un nombre dans l'exposant.

d)

La tentation est de développer les deux carrés, ce qui marche mais prend quatre lignes. On reconnaît plutôt l'identité $(A+B)^{2}-(A-B)^{2}=4AB$ , vue en Seconde, avec $A=\mathrm{e}^{x}$ et $B=\mathrm{e}^{-x}$ . Or le produit se simplifie remarquablement : $AB=\mathrm{e}^{x}\times\mathrm{e}^{-x}=\mathrm{e}^{x-x}=\mathrm{e}^{0}=1$ . L'expression vaut donc $4\times 1=4$ , une CONSTANTE, indépendante de $x$ .

Ce résultat mérite un instant d'attention, car il surprend : une expression bourrée de $x$ ne dépend en réalité d'aucun $x$ . C'est la conséquence directe du fait que $\mathrm{e}^{x}$ et $\mathrm{e}^{-x}$ sont INVERSES l'un de l'autre, propriété qui reviendra sans cesse. Contrôle sur deux valeurs, ce qui est le bon réflexe devant un résultat constant : pour $x=0$ , $(1+1)^{2}-(1-1)^{2}=4-0=4$ ✓ ; pour $x=1$ , $(2{,}718+0{,}368)^{2}-(2{,}718-0{,}368)^{2}\approx 9{,}52-5{,}52=4$ ✓.

Exercice 2 : Propriétés du logarithme

Simplifiez chaque expression. Le résultat doit être un nombre entier, ou un logarithme d'un seul nombre.

a) $\ln 8-\ln 2$
b) $\ln(\mathrm{e}^{3})+\ln\frac{1}{\mathrm{e}}$
c) $2\ln 3+\ln 5-\ln 9$
d) $\ln\sqrt{\mathrm{e}}$
e) $\ln(\mathrm{e}^{2x})-2\ln(\mathrm{e}^{x})$

Voir la correction

Réponses

a) $\ln 4=2\ln 2$
b) $2$
c) $\ln 5$
d) $\frac{1}{2}$
e) $0$

a)

La différence de deux logarithmes est le logarithme du QUOTIENT : $\ln 8-\ln 2=\ln\frac{8}{2}=\ln 4$ . On peut préciser davantage en écrivant $4=2^{2}$ , donc $\ln 4=2\ln 2$ , ce qui est parfois la forme attendue. Contrôle : $\ln 8\approx 2{,}079$ et $\ln 2\approx 0{,}693$ , dont la différence vaut $1{,}386$ , soit bien $2\times 0{,}693$ ✓.

b)

Deux applications de la réciprocité. D'une part $\ln\left(\mathrm{e}^{3}\right)=3$ , puisque $\ln$ défait ce que $\exp$ fait. D'autre part $\ln\frac{1}{\mathrm{e}}=\ln\left(\mathrm{e}^{-1}\right)=-1$ , en réécrivant d'abord la fraction comme une puissance, ce qui est le geste à avoir systématiquement. La somme vaut $3+(-1)=2$ .

c)

On uniformise avant de simplifier. Le coefficient $2$ devant un logarithme remonte en exposant : $2\ln 3=\ln\left(3^{2}\right)=\ln 9$ . L'expression devient $\ln 9+\ln 5-\ln 9$ , où les deux $\ln 9$ s'annulent : il reste $\ln 5$ . On aurait aussi pu tout regrouper d'un coup, $\ln\frac{9\times 5}{9}=\ln 5$ ✓, mais repérer l'annulation évite le calcul.

d)

On convertit la racine en exposant fractionnaire, réflexe indispensable dès qu'un radical apparaît sous un logarithme : $\sqrt{\mathrm{e}}=\mathrm{e}^{1/2}$ , donc $\ln\sqrt{\mathrm{e}}=\frac{1}{2}$ . Plus généralement $\ln\sqrt{a}=\frac{1}{2}\ln a$ , ce qui se déduit de la loi de la puissance avec l'exposant $\frac{1}{2}$ .

e)

$\ln\left(\mathrm{e}^{2x}\right)=2x$ par réciprocité, et $2\ln\left(\mathrm{e}^{x}\right)=2\times x=2x$ également. La différence vaut donc $0$ , pour TOUT réel $x$ . Comme au d) de l'exercice 1, une expression qui semble dépendre de $x$ n'en dépend pas : les deux écritures désignaient le même nombre depuis le début.

Récapitulatif des trois lois, à ne jamais confondre avec ce qu'elles ne disent pas : $\ln(ab)=\ln a+\ln b$ concerne le PRODUIT et non la somme ; $\ln\frac{a}{b}=\ln a-\ln b$ concerne le quotient ; $\ln\left(a^{n}\right)=n\ln a$ fait descendre l'exposant en coefficient. Il n'existe aucune formule pour $\ln(a+b)$ , et c'est l'erreur que l'exercice 9 reprendra en détail.

Exercice 3 : Équations et inéquations avec l'exponentielle

Résolvez dans $\mathbb{R}$ .

a) $\mathrm{e}^{2x}=\mathrm{e}^{x+3}$
b) $\mathrm{e}^{2x}-3\mathrm{e}^{x}+2=0$
c) $\mathrm{e}^{x}>5$
d) $\mathrm{e}^{-x}\leq 2$

Voir la correction

Réponses

a) $x=3$
b) $x=0$ ou $x=\ln 2$
c) $]\ln 5\,;+\infty[$
d) $[-\ln 2\,;+\infty[$

a)

La fonction exponentielle est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ , donc INJECTIVE : elle ne prend jamais deux fois la même valeur. L'égalité $\mathrm{e}^{2x}=\mathrm{e}^{x+3}$ équivaut donc à l'égalité des exposants, $2x=x+3$ , d'où $x=3$ . Vérification : $\mathrm{e}^{6}=\mathrm{e}^{6}$ ✓. Cette équivalence est ce qui rend les équations exponentielles simples, à condition de ramener les deux membres à la même base.

b)

L'équation contient $\mathrm{e}^{2x}$ et $\mathrm{e}^{x}$ : on pose $X=\mathrm{e}^{x}$ , en notant que $\mathrm{e}^{2x}=\left(\mathrm{e}^{x}\right)^{2}=X^{2}$ . L'équation devient $X^{2}-3X+2=0$ , de discriminant $9-8=1$ , donc $X=\frac{3\pm 1}{2}$ , soit $X=1$ ou $X=2$ . Il faut ensuite REVENIR à $x$ , et c'est l'étape qu'on oublie. Les deux valeurs sont strictement positives, donc admissibles, puisqu'une exponentielle ne peut valoir qu'un nombre positif. De $\mathrm{e}^{x}=1$ on tire $x=0$ , et de $\mathrm{e}^{x}=2$ on tire $x=\ln 2$ . Deux solutions : $0$ et $\ln 2\approx 0{,}693$ .

Le contrôle du signe de $X$ n'est pas une formalité. Si le trinôme avait donné une racine négative, elle aurait dû être REJETÉE sans autre examen, puisque $\mathrm{e}^{x}$ ne peut pas être négatif. C'est le pendant exact du rejet des solutions étrangères en logarithme.

c)

La fonction $\ln$ est strictement croissante, donc appliquer $\ln$ aux deux membres CONSERVE le sens de l'inégalité : $\mathrm{e}^{x}>5$ équivaut à $x>\ln 5$ . Ensemble solution : $\left]\ln 5\,;+\infty\right[$ , avec $\ln 5\approx 1{,}609$ .

d)

$\mathrm{e}^{-x}\leq 2$ donne $-x\leq\ln 2$ par le même argument, puis en multipliant par $-1$ on RENVERSE l'inégalité : $x\geq-\ln 2$ . Ensemble solution : $\left[-\ln 2\,;+\infty\right[$ , avec $-\ln 2\approx-0{,}693$ . Le renversement vient de la multiplication par un négatif, pas du logarithme, et il faut savoir dire lequel des deux est responsable. Contrôle : pour $x=0$ , $\mathrm{e}^{0}=1\leq 2$ ✓, et $0\geq-0{,}693$ ✓, les deux formulations concordent.

Exercice 4 : Équations et inéquations avec le logarithme

Chaque question commence par la détermination du domaine. Les solutions qui n'y appartiennent pas doivent être rejetées explicitement.

a) $\ln x+\ln(x-3)=\ln 4$
b) $\ln(2x-1)\leq 0$
c) $\ln(x^{2})=2\ln 3$
d) Comparez vos réponses aux questions a) et c). Dans un cas une solution est rejetée, dans l'autre non. Expliquez.

Voir la correction

Réponses

a) $x=4$ ; $-1$ rejeté
b) $\left]\frac{1}{2}\,;1\right]$
c) $x=-3$ ou $x=3$
d) $\ln x$ impose $x>0$ , $\ln(x^{2})$ n'exclut que $0$

a)

DOMAINE d'abord, toujours : il faut $x>0$ et $x-3>0$ , donc la condition la plus forte l'emporte et le domaine est $x>3$ . On regroupe ensuite par la loi du produit : $\ln\left(x(x-3)\right)=\ln 4$ . Deux logarithmes de même base étant égaux si et seulement si leurs arguments le sont, on obtient $x^{2}-3x=4$ , soit $x^{2}-3x-4=0$ . Discriminant : $9+16=25$ , donc $x=\frac{3\pm 5}{2}$ , c'est-à-dire $x=4$ ou $x=-1$ . Confrontation au domaine : $4>3$ est ACCEPTÉ, tandis que $-1$ ne vérifie pas $x>3$ et est REJETÉ. Solution unique : $x=4$ . Vérification : $\ln 4+\ln 1=\ln 4+0=\ln 4$ ✓.

b)

Domaine : $2x-1>0$ , donc $x>\frac{1}{2}$ . On réécrit $0=\ln 1$ , ce qui permet de comparer deux logarithmes : $\ln(2x-1)\leq\ln 1$ . La fonction $\ln$ étant strictement croissante, le sens est conservé : $2x-1\leq 1$ , donc $x\leq 1$ . En croisant avec le domaine, l'ensemble solution est $\left]\frac{1}{2}\,;1\right]$ . Les deux bornes ont des origines distinctes qu'il faut savoir nommer : celle de gauche vient du DOMAINE et est ouverte, celle de droite vient de l'INÉQUATION et est fermée.

c)

Domaine : il faut $x^{2}>0$ , donc simplement $x\neq 0$ ; tous les réels non nuls conviennent, y compris les négatifs. On écrit $2\ln 3=\ln 9$ , donc $\ln\left(x^{2}\right)=\ln 9$ et $x^{2}=9$ , d'où $x=3$ ou $x=-3$ . Les DEUX appartiennent au domaine : il y a bien deux solutions. Vérification pour $x=-3$ : $\ln\left((-3)^{2}\right)=\ln 9$ ✓, l'expression a parfaitement un sens.

d)

La différence tient entièrement à CE QUI EST PLACÉ DANS le logarithme. En a), c'est $x$ lui-même qui apparaît dans $\ln x$ , ce qui impose $x>0$ et élimine la racine négative. En c), c'est $x^{2}$ qui est dans le logarithme, et un carré est positif même quand $x$ ne l'est pas : la contrainte porte sur $x^{2}$ , pas sur $x$ , et n'exclut donc que $0$ .

La leçon de méthode est qu'on ne peut PAS deviner le domaine à partir de la forme générale de l'équation : il faut le calculer sur l'expression exacte, argument par argument. Un piège classique en découle, dont il faut se méfier : l'égalité $\ln\left(x^{2}\right)=2\ln x$ n'est vraie que pour $x>0$ , et l'appliquer en c) aurait fait perdre la solution $-3$ en rétrécissant indûment le domaine. L'exercice 9 y revient.

Exercice 5 : Dérivées

Calculez la dérivée de chaque fonction, en précisant l'ensemble de dérivabilité.

a) $f(x)=x\mathrm{e}^{x}$
b) $g(x)=\mathrm{e}^{2x+1}$
c) $h(x)=\ln(x^{2}+1)$
d) $k(x)=x\ln x-x$
e) $m(x)=\frac{\mathrm{e}^{x}}{x}$

Voir la correction

Réponses

a) $f'(x)=(1+x)e^{x}$
b) $g'(x)=2e^{2x+1}$
c) $h'(x)=\frac{2x}{x^{2}+1}$
d) $k'(x)=\ln x$
e) $m'(x)=\frac{(x-1)e^{x}}{x^{2}}$

a)

$f(x)=x\mathrm{e}^{x}$ est un PRODUIT, dérivable sur $\mathbb{R}$ comme produit de deux fonctions qui le sont. On applique $(uv)'=u'v+uv'$ avec $u=x$ et $v=\mathrm{e}^{x}$ : $f'(x)=1\times\mathrm{e}^{x}+x\times\mathrm{e}^{x}$ . On factorise SYSTÉMATIQUEMENT par l'exponentielle, car c'est ce qui permettra d'étudier le signe : $f'(x)=(1+x)\mathrm{e}^{x}$ . Comme $\mathrm{e}^{x}>0$ , le signe de $f'$ est celui de $1+x$ , information qu'une forme développée aurait cachée.

b)

$g(x)=\mathrm{e}^{2x+1}$ est une COMPOSÉE de la forme $\mathrm{e}^{u}$ , dont la dérivée est $u'\mathrm{e}^{u}$ . Avec $u=2x+1$ et $u'=2$ : $g'(x)=2\mathrm{e}^{2x+1}$ , sur $\mathbb{R}$ . L'erreur classique est d'oublier le facteur $u'$ et d'écrire $\mathrm{e}^{2x+1}$ , ce qui revient à dériver comme si l'exposant était $x$ .

c)

$h(x)=\ln\left(x^{2}+1\right)$ est une composée $\ln u$ , de dérivée $\frac{u'}{u}$ . Avec $u=x^{2}+1$ et $u'=2x$ : $h'(x)=\frac{2x}{x^{2}+1}$ . Le domaine mérite une remarque : $\ln u$ exige $u>0$ , or $x^{2}+1\geq 1$ est strictement positif pour TOUT réel, donc $h$ est définie et dérivable sur $\mathbb{R}$ entier, sans restriction. C'est le $+1$ qui achète cette liberté.

d)

$k(x)=x\ln x-x$ , sur $\left]0\,;+\infty\right[$ puisque $\ln x$ l'exige. Le premier terme est un produit : $(x\ln x)'=1\times\ln x+x\times\frac{1}{x}=\ln x+1$ . En retranchant la dérivée de $x$ , qui vaut $1$ : $k'(x)=\ln x+1-1=\ln x$ . Le résultat est remarquable et vaut d'être retenu : $k$ est une PRIMITIVE de la fonction logarithme, ce qui est la façon standard de l'obtenir, le logarithme n'ayant pas de primitive évidente.

e)

$m(x)=\frac{\mathrm{e}^{x}}{x}$ est un QUOTIENT, dérivable sur $\mathbb{R}$ privé de $0$ . On applique $\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}$ avec $u=\mathrm{e}^{x}$ et $v=x$ : $m'(x)=\frac{\mathrm{e}^{x}\times x-\mathrm{e}^{x}\times 1}{x^{2}}=\frac{\mathrm{e}^{x}(x-1)}{x^{2}}$ . Là encore on factorise par $\mathrm{e}^{x}$ : comme $\mathrm{e}^{x}>0$ et $x^{2}>0$ , le signe de $m'$ est celui de $x-1$ seul, ce qui donne immédiatement les variations.

Fil commun aux cinq questions, et c'est le réflexe à installer : une fois la dérivée obtenue, on FACTORISE par $\mathrm{e}^{x}$ dès qu'elle y apparaît. L'exponentielle étant toujours strictement positive, elle sort de l'étude de signe et ne laisse qu'un facteur polynomial à examiner. C'est ce qui rend les tableaux de variation de ce chapitre beaucoup plus simples qu'ils n'en ont l'air, et les exercices 6 et 7 le confirmeront.

Exercice 6 : Étude d'une fonction avec exponentielle

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=(x-1)\mathrm{e}^{x}$ .

a) Calculez $f'(x)$ et factorisez.
b) Étudiez le signe de $f'$ et dressez le tableau de variation de $f$ .
c) Déterminez la limite de $f$ en $-\infty$ et interprétez graphiquement.
d) Déterminez la limite de $f$ en $+\infty$ .
e) Déterminez le nombre de solutions de l'équation $f(x)=0$ .

Voir la correction

Réponses

a) $f'(x)=x\,e^{x}$
b) Décroissante sur $]-\infty;0]$ , croissante sur $[0;+\infty[$ , minimum $-1$
c) Limite $0$ : asymptote $y=0$ , courbe en dessous
d) $+\infty$
e) Une solution, $x=1$

a)

$f(x)=(x-1)\mathrm{e}^{x}$ est un produit. Avec $u=x-1$ et $v=\mathrm{e}^{x}$ : $f'(x)=1\times\mathrm{e}^{x}+(x-1)\mathrm{e}^{x}$ . On factorise par $\mathrm{e}^{x}$ : $f'(x)=\mathrm{e}^{x}\left(1+x-1\right)=x\,\mathrm{e}^{x}$ . La simplification à l'intérieur de la parenthèse est le petit geste qui rend la suite immédiate.

b)

Comme $\mathrm{e}^{x}>0$ pour tout réel, le signe de $f'$ est EXACTEMENT celui de $x$ : négatif sur $\left]-\infty\,;0\right[$ , nul en $0$ , positif sur $\left]0\,;+\infty\right[$ . La fonction $f$ décroît donc sur $\left]-\infty\,;0\right]$ puis croît sur $\left[0\,;+\infty\right[$ , avec un MINIMUM en $x=0$ valant $f(0)=(0-1)\times 1=-1$ . Le tableau de variation part de $0$ en $-\infty$ , descend jusqu'à $-1$ , puis remonte vers $+\infty$ .

c)

En $-\infty$ , on est face à une forme indéterminée du type $-\infty\times 0$ , puisque $x-1$ tend vers $-\infty$ tandis que $\mathrm{e}^{x}$ tend vers $0$ . On développe pour séparer : $f(x)=x\mathrm{e}^{x}-\mathrm{e}^{x}$ . Le second terme tend vers $0$ . Le premier est justement la croissance comparée $x\mathrm{e}^{x}$ , qui tend vers $0$ en $-\infty$ : l'exponentielle écrase la puissance. Donc $f(x)\to 0$ . Interprétation graphique : la droite d'équation $y=0$ , c'est-à-dire l'axe des abscisses, est ASYMPTOTE HORIZONTALE à la courbe en $-\infty$ .

On peut préciser la POSITION de la courbe par rapport à cette asymptote, ce que le tableau de variation permet et qui est souvent demandé : pour $x<1$ , le facteur $x-1$ est négatif et $\mathrm{e}^{x}$ positif, donc $f(x)<0$ . La courbe s'approche donc de l'axe PAR EN DESSOUS.

d)

En $+\infty$ , il n'y a aucune indétermination : $x-1$ tend vers $+\infty$ et $\mathrm{e}^{x}$ aussi, donc leur produit tend vers $+\infty$ . Un produit de deux quantités qui tendent vers $+\infty$ ne pose jamais de problème, contrairement au produit $\infty\times 0$ du c).

e)

Comme $\mathrm{e}^{x}$ ne s'annule JAMAIS, un produit valant zéro impose que l'autre facteur soit nul : $f(x)=0$ équivaut à $x-1=0$ , donc $x=1$ . L'équation admet exactement UNE solution. C'est l'exemple type de ce que la stricte positivité de l'exponentielle permet : on divise par elle sans précaution, ce qu'on ne pourrait faire avec un facteur polynomial. Le tableau de variation confirme : la fonction descend de $0$ à $-1$ en restant négative, puis remonte de $-1$ vers $+\infty$ en ne traversant l'axe qu'une seule fois ✓.

Exercice 7 : Le logarithme reste sous la première bissectrice

Soit $g$ la fonction définie sur $]0;+\infty[$ par $g(x)=x-\ln x$ .

a) Calculez $g'(x)$ et écrivez-la sous la forme d'un quotient.
b) Étudiez le signe de $g'$ et dressez le tableau de variation de $g$ .
c) Déduisez-en que $g(x)\geq 1$ pour tout $x>0$ .
d) Concluez : que peut-on dire de la position de la courbe de $\ln$ par rapport à la droite d'équation $y=x$ ?
e) Déterminez les limites de $g$ en $0$ par valeurs supérieures et en $+\infty$ .

Voir la correction

Réponses

a) $g'(x)=\frac{x-1}{x}$
b) Décroissante sur $]0;1]$ , croissante sur $[1;+\infty[$
c) Minimum $g(1)=1$
d) $\ln x<x$ : courbe strictement sous $y=x$
e) $+\infty$ en $0^{+}$ et en $+\infty$

a)

$g(x)=x-\ln x$ sur $\left]0\,;+\infty\right[$ . La dérivée est immédiate : $g'(x)=1-\frac{1}{x}$ . On la met au même dénominateur, ce qui est le geste décisif pour étudier le signe : $g'(x)=\frac{x}{x}-\frac{1}{x}=\frac{x-1}{x}$ . Une somme ne se lit pas en signe, un quotient si.

b)

Sur $\left]0\,;+\infty\right[$ , le dénominateur $x$ est strictement positif, donc le signe de $g'$ est celui du NUMÉRATEUR $x-1$ : négatif sur $\left]0\,;1\right[$ , nul en $1$ , positif sur $\left]1\,;+\infty\right[$ . La fonction $g$ décroît puis croît, avec un minimum en $x=1$ .

c)

La valeur du minimum est $g(1)=1-\ln 1=1-0=1$ . Comme il s'agit du minimum sur tout l'intervalle de définition, on conclut $g(x)\geq 1$ pour tout $x>0$ . L'égalité n'a lieu qu'en $x=1$ , ce qui précise le résultat et vaut d'être signalé.

d)

De $g(x)\geq 1$ on tire $x-\ln x\geq 1>0$ , donc $\ln x<x$ pour tout $x>0$ . La courbe du logarithme est donc STRICTEMENT en dessous de la droite d'équation $y=x$ , la première bissectrice, et ne la touche jamais. Mieux, on connaît l'écart MINIMAL entre les deux : il vaut exactement $1$ , atteint en $x=1$ , c'est-à-dire au point où la courbe du logarithme coupe l'axe des abscisses.

Cette inégalité $\ln x<x$ est l'une des plus utiles du programme, car elle sert à lever des indéterminations et à majorer. Notez qu'elle se démontre ici SANS aucune croissance comparée, par une simple étude de fonction : c'est un exemple de résultat théorique obtenu par un tableau de variation, et le bac apprécie cette démarche.

e)

En $0$ par valeurs supérieures : $\ln x$ tend vers $-\infty$ , donc $-\ln x$ tend vers $+\infty$ , et comme $x$ tend vers $0$ , la somme tend vers $+\infty$ . Il n'y a pas d'indétermination, les deux termes poussant dans le même sens. En $+\infty$ en revanche, on a la forme $\infty-\infty$ . On factorise par le terme dominant : $g(x)=x\left(1-\frac{\ln x}{x}\right)$ . Par croissance comparée, $\frac{\ln x}{x}$ tend vers $0$ , donc la parenthèse tend vers $1$ et $g(x)$ tend vers $+\infty$ . La factorisation par le terme dominant est la technique standard pour lever une indétermination $\infty-\infty$ ✓.

Exercice 8 : Croissances comparées

Déterminez chaque limite en précisant la forme indéterminée rencontrée et le théorème de croissance comparée utilisé.

a) $\lim_{x\to+\infty}\frac{\mathrm{e}^{x}}{x^{2}}$
b) $\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln x}{x}$
c) $\lim_{x\to+\infty}x\mathrm{e}^{-x}$
d) $\lim_{x\to 0^{+}}x\ln x$
e) $\lim_{x\to+\infty}\frac{\mathrm{e}^{x}-x}{\mathrm{e}^{x}+x}$

Voir la correction

Réponses

a) $+\infty$
b) $0$
c) $0$
d) $0$
e) $1$

a)

Forme indéterminée $\frac{\infty}{\infty}$ . Le théorème de croissance comparée affirme que l'exponentielle l'emporte sur TOUTE puissance de $x$ : $\lim_{x\to+\infty}\frac{\mathrm{e}^{x}}{x^{n}}=+\infty$ quel que soit $n$ . Ici $n=2$ , donc la limite vaut $+\infty$ . L'ordre de domination à mémoriser, du plus fort au plus faible, est : exponentielle, puis puissances, puis logarithme. Attention toutefois : la victoire n'est pas immédiate. Sur le graphique du corrigé, $x^{3}$ reste au-dessus de $\mathrm{e}^{x}$ jusque vers $x\approx 4{,}5$ , et l'exponentielle ne passe devant qu'ensuite, pour ne plus jamais être rattrapée.

b)

Forme $\frac{\infty}{\infty}$ également, mais cette fois c'est la PUISSANCE qui l'emporte sur le logarithme : $\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln x}{x}=0$ . Le logarithme croît si lentement qu'il est écrasé même par $x$ à la puissance un. Chiffrons-le pour rendre la lenteur concrète : pour $x=10^{6}$ , le quotient vaut $\frac{13{,}8}{10^{6}}$ , soit environ $1{,}4\times 10^{-5}$ , déjà minuscule.

c)

Forme $\infty\times 0$ . On la ramène à un quotient, ce qui est toujours la première manœuvre : $x\mathrm{e}^{-x}=\frac{x}{\mathrm{e}^{x}}$ . C'est l'inverse de la limite de a) avec $n=1$ , donc la limite vaut $0$ . Retenez le principe : une forme $\infty\times 0$ n'est jamais traitée telle quelle, on la réécrit en quotient pour appliquer une croissance comparée connue.

d)

Forme $0\times\infty$ , puisque $x$ tend vers $0$ et $\ln x$ vers $-\infty$ . C'est la croissance comparée EN ZÉRO : $\lim_{x\to 0^{+}}x\ln x=0$ . Elle est moins connue que les précédentes mais tout aussi exigible. Contrôle numérique : pour $x=0{,}001$ , on a $x\ln x\approx 0{,}001\times(-6{,}91)\approx-0{,}0069$ , effectivement proche de zéro ✓.

e)

Forme $\frac{\infty}{\infty}$ . On factorise numérateur et dénominateur par le terme DOMINANT, ici $\mathrm{e}^{x}$ : $\frac{\mathrm{e}^{x}-x}{\mathrm{e}^{x}+x}=\frac{\mathrm{e}^{x}\left(1-x\mathrm{e}^{-x}\right)}{\mathrm{e}^{x}\left(1+x\mathrm{e}^{-x}\right)}=\frac{1-x\mathrm{e}^{-x}}{1+x\mathrm{e}^{-x}}$ . D'après c), $x\mathrm{e}^{-x}$ tend vers $0$ , donc le quotient tend vers $\frac{1-0}{1+0}=1$ .

La méthode générale se dégage de ces cinq questions et c'est elle qu'il faut retenir plutôt que les résultats : devant une indétermination, on identifie le terme qui DOMINE, on le factorise au numérateur et au dénominateur, il se simplifie, et il ne reste que des quantités dont la limite est connue. Contrôle numérique du e) : pour $x=20$ , le quotient vaut $\frac{4{,}85\times 10^{8}-20}{4{,}85\times 10^{8}+20}$ , soit $0{,}99999992$ , très proche de $1$ ✓.

Exercice 9 : Cinq erreurs à corriger

Chacune des affirmations suivantes est fausse. Corrigez-la et appuyez-vous sur un contre-exemple numérique.

a) « $\ln(a+b)=\ln a+\ln b$ . »
b) « $\mathrm{e}^{ab}=\mathrm{e}^{a}\mathrm{e}^{b}$ . »
c) « $\ln(x^{2})=2\ln x$ pour tout réel $x$ non nul. »
d) « L'équation $\mathrm{e}^{x}=0$ admet une solution. »
e) « Pour résoudre $\ln x+\ln(x-3)=\ln 4$ , il suffit de résoudre $x^{2}-3x-4=0$ . »

Voir la correction

Réponses

a) $\ln(ab)=\ln a+\ln b$ ; $\ln 5\neq\ln 6$
b) $e^{a+b}=e^{a}e^{b}$
c) $\ln(x^{2})=2\ln|x|$
d) Aucune solution
e) $x=-1$ doit être rejeté : une seule solution, $x=4$

a)

FAUX. La propriété concerne le PRODUIT et non la somme : la formule correcte est $\ln(ab)=\ln a+\ln b$ . Il n'existe aucune formule simple pour $\ln(a+b)$ , et c'est normal : le logarithme transforme les produits en sommes, pas les sommes en autre chose. Contre-exemple : $\ln(2+3)=\ln 5\approx 1{,}609$ , alors que $\ln 2+\ln 3=\ln 6\approx 1{,}792$ . Les deux diffèrent nettement.

b)

FAUX. C'est la SOMME des exposants qui donne un produit d'exponentielles, pas leur produit : la propriété correcte est $\mathrm{e}^{a+b}=\mathrm{e}^{a}\mathrm{e}^{b}$ . Contre-exemple avec $a=1$ et $b=3$ : le membre de gauche vaut $\mathrm{e}^{3}\approx 20{,}1$ , tandis que le membre de droite vaut $\mathrm{e}^{1}\times\mathrm{e}^{3}=\mathrm{e}^{4}\approx 54{,}6$ . L'écart est d'un facteur presque trois.

c)

FAUX en toute généralité, et vrai seulement pour $x>0$ . Le problème est le DOMAINE : pour $x<0$ , le membre de gauche $\ln\left(x^{2}\right)$ existe parfaitement, puisque $x^{2}>0$ , alors que le membre de droite $2\ln x$ n'a aucun sens. Contre-exemple : $\ln\left((-3)^{2}\right)=\ln 9\approx 2{,}197$ est défini, mais $2\ln(-3)$ ne l'est pas. La formule correcte sur tout $\mathbb{R}^{*}$ est $\ln\left(x^{2}\right)=2\ln|x|$ , avec la valeur absolue. C'est exactement ce qui faisait la différence entre les questions a) et c) de l'exercice 4.

d)

FAUX. L'exponentielle est STRICTEMENT POSITIVE sur $\mathbb{R}$ : $\mathrm{e}^{x}>0$ pour tout réel, sans exception. L'équation $\mathrm{e}^{x}=0$ n'a donc aucune solution. Ce n'est pas une curiosité mais la propriété la plus utilisée du chapitre : c'est elle qui permet, dans un produit du type $(x-1)\mathrm{e}^{x}=0$ , de conclure immédiatement $x-1=0$ , comme à l'exercice 6. On peut ajouter que $\mathrm{e}^{x}$ tend vers $0$ en $-\infty$ sans jamais l'atteindre, ce qui est précisément la définition d'une asymptote.

e)

FAUX, ou plus exactement INCOMPLET, et c'est la nuance qui compte. La résolution algébrique de $x^{2}-3x-4=0$ donne bien $x=4$ et $x=-1$ , mais le domaine de l'équation de départ impose $x>3$ : la valeur $-1$ doit être explicitement rejetée. Omettre cette étape conduit à annoncer deux solutions au lieu d'une.

L'origine de la faute mérite d'être comprise plutôt que mémorisée. En regroupant $\ln x+\ln(x-3)$ en $\ln\left(x(x-3)\right)$ , on ÉLARGIT le domaine sans s'en apercevoir : à gauche il faut que les deux facteurs soient positifs, à droite il suffit que leur PRODUIT le soit, ce qui est aussi le cas quand les deux sont négatifs. Pour $x=-1$ , le produit vaut $(-1)\times(-4)=4>0$ , l'équation regroupée est donc satisfaite alors qu'aucun des deux logarithmes de départ n'existe. C'est pourquoi le domaine se pose AVANT toute transformation, jamais après.

Exercice 10 : Problème : datation au carbone 14

La quantité de carbone 14 présente dans un échantillon décroît selon la loi $N(t)=N_{0}\,\mathrm{e}^{-\lambda t}$ , où $t$ est le temps en années, $N_{0}$ la quantité initiale et $\lambda$ une constante strictement positive.

La demi-vie du carbone 14, c'est-à-dire le temps au bout duquel la moitié a disparu, vaut 5730 ans.

Au-delà du programme pour la question b) : $2^{-\frac{t}{T}}$ est une puissance d'exposant non entier, que le programme ne définit pas (les puissances réelles sont un approfondissement). Elle se lit ici comme une simple NOTATION pour $\mathrm{e}^{-\frac{t}{T}\ln 2}$ ; tous les calculs de c) à e) peuvent se faire sur cette dernière écriture.

a) Exprimez $\lambda$ en fonction de la demi-vie $T$ , puis calculez sa valeur.
b) Montrez que la proportion restante après $t$ années s'écrit $2^{-\frac{t}{T}}$ .
c) Quelle proportion reste-t-il après 10 000 ans ? Donnez le résultat en pourcentage, arrondi au dixième.
d) Un échantillon contient 25 % de son carbone 14 initial. Quel est son âge ?
e) Au bout de combien d'années ne reste-t-il plus que 10 % ? Arrondissez à l'année.

Voir la correction

Réponses

a) $\lambda=\frac{\ln 2}{T}\approx 1{,}21\times 10^{-4}$ an $^{-1}$
b) $e^{-\lambda t}=2^{-t/T}$
c) Environ $29{,}8\ \%$
d) $11\,460$ ans
e) Environ $19\,035$ ans

a)

La demi-vie $T$ est par définition la durée au bout de laquelle il ne reste que la moitié : $N(T)=\frac{N_{0}}{2}$ . En substituant dans le modèle : $N_{0}\mathrm{e}^{-\lambda T}=\frac{N_{0}}{2}$ , et l'on simplifie par $N_{0}$ , non nul : $\mathrm{e}^{-\lambda T}=\frac{1}{2}$ . On passe au logarithme : $-\lambda T=\ln\frac{1}{2}=-\ln 2$ , d'où $\lambda=\frac{\ln 2}{T}$ . Numériquement, avec $T=5730$ ans : $\lambda=\frac{0{,}693}{5730}\approx 1{,}21\times 10^{-4}$ an $^{-1}$ . Contrôle d'unité : $\lambda$ s'exprime en inverse d'années, ce qui est nécessaire pour que $\lambda t$ soit sans dimension dans l'exponentielle ✓.

b)

On part de la proportion restante et l'on y injecte l'expression de $\lambda$ : $\frac{N(t)}{N_{0}}=\mathrm{e}^{-\lambda t}=\mathrm{e}^{-\frac{t\ln 2}{T}}$ . On réécrit l'exposant pour faire apparaître une puissance : $\mathrm{e}^{-\frac{t}{T}\ln 2}=\left(\mathrm{e}^{\ln 2}\right)^{-\frac{t}{T}}=2^{-\frac{t}{T}}$ , puisque $\mathrm{e}^{\ln 2}=2$ . La proportion restante s'écrit donc $2^{-t/T}$ , forme bien plus parlante : elle dit qu'on divise par deux chaque fois que $t$ augmente de $T$ . La décroissance est donc MULTIPLICATIVE : chaque demi-vie divise par deux ce qui reste, elle n'en retire jamais une quantité fixe, et c'est ce qui laisse encore quelque chose à mesurer après plusieurs millénaires.

c)

Pour $t=10\,000$ ans : $2^{-\frac{10\,000}{5730}}=2^{-1{,}745}\approx 0{,}298$ , soit environ $29{,}8$ pour cent. Contrôle de plausibilité : $10\,000$ ans représentent un peu moins de deux demi-vies, or deux demi-vies laisseraient exactement $25$ pour cent ; on doit donc trouver un peu plus de $25$ pour cent, et $29{,}8$ convient ✓.

d)

On cherche $t$ tel que $2^{-t/T}=0{,}25$ . Ici aucun logarithme n'est nécessaire, car $0{,}25=\frac{1}{4}=2^{-2}$ : l'égalité des exposants donne directement $\frac{t}{T}=2$ , donc $t=2\times 5730=11\,460$ ans. C'est le réflexe à avoir avant de sortir la calculatrice : vérifier si la valeur cible est une puissance simple de $2$ , auquel cas on compte les demi-vies. Vingt-cinq pour cent, c'est deux demi-vies, point.

e)

Cette fois $0{,}1$ n'est pas une puissance entière de $2$ et le logarithme devient indispensable. On résout $2^{-t/T}=0{,}1$ en passant au logarithme : $-\frac{t}{T}\ln 2=\ln 0{,}1=-\ln 10$ , donc $\frac{t}{T}=\frac{\ln 10}{\ln 2}\approx 3{,}322$ , et $t\approx 5730\times 3{,}322\approx 19\,035$ ans.

Deux remarques pour finir. Le nombre $\frac{\ln 10}{\ln 2}\approx 3{,}32$ est celui qu'on rencontre chaque fois qu'on convertit entre puissances de deux et puissances de dix : il dit qu'il faut environ trois demi-vies et un tiers pour perdre un facteur dix. Et le résultat éclaire la LIMITE de la méthode de datation : au-delà d'environ dix demi-vies, soit $57\,000$ ans, il reste moins d'un millième du carbone initial, quantité trop faible pour être mesurée avec précision. C'est pourquoi le carbone 14 ne date rien de plus ancien que quelques dizaines de milliers d'années, et qu'on emploie d'autres isotopes au-delà.

Exercice 11 : La fonction ln x sur x, et qui de e puissance π ou π puissance e est le plus grand

Soit $f$ la fonction définie sur $]0\,;+\infty[$ par $f(x)=\frac{\ln x}{x}$ .

Au-delà du programme pour la question d) : $\pi^{\mathrm{e}}$ est une puissance d'exposant non entier, définie par $\pi^{\mathrm{e}}=\mathrm{e}^{\mathrm{e}\ln\pi}$ , ce qui donne directement $\ln\left(\pi^{\mathrm{e}}\right)=\mathrm{e}\ln\pi$ . Les puissances réelles sont un approfondissement du programme ; au baccalauréat, la comparaison se pose sur $\mathrm{e}^{\pi}$ et $\mathrm{e}^{\mathrm{e}\ln\pi}$ .

a) Calculez $f'(x)$ et dressez le tableau de variation de $f$ .
b) Déterminez les limites de $f$ en $0$ et en $+\infty$ .
c) Donnez le maximum de $f$ et la valeur où il est atteint.
d) Sans calculatrice, comparez $e^{\pi}$ et $\pi^{e}$ .
e) Combien l'équation $\ln x=0{,}3\,x$ admet-elle de solutions sur $]0\,;+\infty[$ ?

Voir la correction

Réponses

a) $f'(x)=\frac{1-\ln x}{x^{2}}$ : croissante sur $]0;e]$ , décroissante sur $[e;+\infty[$
b) $-\infty$ en $0^{+}$ , $0$ en $+\infty$
c) Maximum $\frac{1}{e}\approx 0{,}368$ en $x=e$
d) $\pi^{e}<e^{\pi}$
e) $2$ solutions

a)

Quotient $\frac{u}{v}$ avec $u=\ln x$ , $u'=\frac{1}{x}$ , $v=x$ , $v'=1$ : $f'(x)=\frac{\frac{1}{x}\times x-\ln x\times 1}{x^{2}}=\frac{1-\ln x}{x^{2}}$ . Comme $x^{2}>0$ , le signe est celui de $1-\ln x$ , positif si $\ln x<1$ , c'est-à-dire $x<e$ . Donc $f$ est croissante sur $]0\,;e]$ et décroissante sur $[e\,;+\infty[$ .

b)

En $0^{+}$ : $\ln x\to-\infty$ et $\frac{1}{x}\to+\infty$ , le produit $\ln x\times\frac{1}{x}$ tend vers $-\infty$ ; ce n'est PAS une forme indéterminée. En $+\infty$ : forme $\frac{\infty}{\infty}$ , levée par croissance comparée, $\frac{\ln x}{x}\to 0$ . L'axe des abscisses est asymptote horizontale en $+\infty$ et l'axe des ordonnées asymptote verticale.

c)

Le maximum est atteint en $x=e$ et vaut $f(e)=\frac{\ln e}{e}=\frac{1}{e}\approx 0{,}368$ .

d)

Les deux nombres sont positifs et $\ln$ est croissante : les comparer revient à comparer $\ln\left(e^{\pi}\right)=\pi$ et $\ln\left(\pi^{e}\right)=e\ln\pi$ , ou encore, en divisant par $e\pi>0$ , $\frac{1}{e}=f(e)$ et $\frac{\ln\pi}{\pi}=f(\pi)$ . Or $f$ admet en $e$ son maximum STRICT, et $\pi\neq e$ , donc $f(\pi)<f(e)$ . Ainsi $e\ln\pi<\pi$ , puis $\pi^{e}<e^{\pi}$ . Contrôle : $e^{\pi}\approx 23{,}14$ et $\pi^{e}\approx 22{,}46$ ✓. Deux nombres si proches ne se départagent pas « à l'œil » : c'est l'étude de fonction qui tranche.

e)

Pour $x>0$ , $\ln x=0{,}3x\iff\frac{\ln x}{x}=0{,}3\iff f(x)=0{,}3$ . Sur $]0\,;e]$ , $f$ est continue et strictement croissante de $-\infty$ à $\frac{1}{e}\approx 0{,}368$ : comme $0{,}3<0{,}368$ , une solution. Sur $[e\,;+\infty[$ , $f$ décroît strictement de $0{,}368$ vers $0$ sans l'atteindre : $0{,}3$ est entre les deux, une solution de plus. Au total, $2$ solutions. Pour $k>\frac{1}{e}$ , l'équation $\ln x=kx$ n'en aurait aucune.

La fonction $\frac{\ln x}{x}$ est l'outil caché derrière toutes les comparaisons du type $a^{b}$ contre $b^{a}$ : $a^{b}<b^{a}\iff\frac{\ln a}{a}<\frac{\ln b}{b}$ . Elle explique aussi l'égalité surprenante $2^{4}=4^{2}=16$ : $f(2)=f(4)$ , deux antécédents d'une même valeur de part et d'autre du maximum en $e$ .

Exercice 12 : Puissances réelles, seuils et domaines

Résolvez chaque question à l'aide du logarithme népérien. Les seuils demandés sont des entiers ; les autres résultats sont exacts puis arrondis au millième.

Approfondissement pour la question c) : le programme ne définit $a^{n}$ que pour un exposant ENTIER, comme dans les seuils de a) et b). L'équation $3^{x}=7$ , d'inconnue réelle $x$ , suppose la définition $3^{x}=\mathrm{e}^{x\ln 3}$ , qui relève des approfondissements ; au baccalauréat, l'énoncé écrirait directement $\mathrm{e}^{x\ln 3}=7$ , et la résolution est la même.

a) Déterminez le plus petit entier $n$ tel que $2^{n}>10^{6}$ .
b) Déterminez le plus petit entier $n$ tel que $0{,}95^{n}<0{,}01$ .
c) Résolvez $3^{x}=7$ .
d) Résolvez $\ln(x+1)-\ln x\leq\ln 2$ .
e) Résolvez $\ln(2x)<\ln\left(x^{2}\right)$ .

Voir la correction

Réponses

a) $n=20$
b) $n=90$
c) $x=\frac{\ln 7}{\ln 3}\approx 1{,}771$
d) $[1\,;+\infty[$
e) $]2\,;+\infty[$

a)

$2^{n}>10^{6}\iff n\ln 2>6\ln 10$ . Comme $\ln 2>0$ , le sens est conservé : $n>\frac{6\ln 10}{\ln 2}\approx 19{,}93$ . Le plus petit entier est $n=20$ . Contrôle : $2^{19}=524\,288<10^{6}$ et $2^{20}=1\,048\,576>10^{6}$ ✓.

b)

$0{,}95^{n}<0{,}01\iff n\ln 0{,}95<\ln 0{,}01$ . Cette fois $\ln 0{,}95<0$ : diviser par ce nombre RENVERSE l'inégalité, $n>\frac{\ln 0{,}01}{\ln 0{,}95}\approx 89{,}78$ . Le plus petit entier est $n=90$ . Sans le renversement, on écrirait $n<89{,}78$ , ce qui voudrait dire que $0{,}95^{0}=1$ est inférieur à $0{,}01$ : un contrôle en $n=0$ détecte l'erreur instantanément.

c)

$3^{x}=7\iff x\ln 3=\ln 7\iff x=\frac{\ln 7}{\ln 3}\approx 1{,}771$ . Contrôle : $3^{1{,}771}\approx 7{,}00$ ✓, et le résultat est bien entre $1$ et $2$ puisque $3<7<9$ .

d)

DOMAINE : $x+1>0$ et $x>0$ , donc $x>0$ . Sur ce domaine, $\ln(x+1)-\ln x=\ln\frac{x+1}{x}$ , et l'inéquation devient $\ln\frac{x+1}{x}\leq\ln 2$ , soit, par croissance de $\ln$ , $\frac{x+1}{x}\leq 2$ . Comme $x>0$ , on peut multiplier par $x$ sans changer le sens : $x+1\leq 2x$ , donc $x\geq 1$ . Solution : $[1\,;+\infty[$ .

e)

DOMAINE : $2x>0$ et $x^{2}>0$ , donc $x>0$ . Sur ce domaine, $\ln(2x)<\ln\left(x^{2}\right)\iff 2x<x^{2}\iff x(x-2)>0\iff x>2$ puisque $x>0$ . Solution : $]2\,;+\infty[$ . Sans le domaine, on garderait aussi $x<0$ , où $x(x-2)>0$ est vrai mais où $\ln(2x)$ n'existe pas.

Deux automatismes suffisent pour toutes ces questions. Pour un seuil, on passe au logarithme et l'on se demande AVANT de diviser si le logarithme est négatif, c'est-à-dire si la base est inférieure à $1$ . Pour une équation ou une inéquation avec des $\ln$ , on écrit le domaine EN PREMIER, puis on le recroise avec la solution à la fin.

Exercice 13 : Domaine et variations d'une composée avec ln

Soit $f$ la fonction définie par $f(x)=\ln\left(\frac{x-1}{x+2}\right)$ .

a) Déterminez l'ensemble de définition $D$ de $f$ .
b) Montrez que, pour tout $x\in D$ , $f'(x)=\frac{3}{(x-1)(x+2)}$ ; calculez $f'(2)$ et donnez le sens de variation de $f$ sur chaque intervalle de $D$ .
c) Déterminez les limites de $f$ en $+\infty$ , en $-\infty$ , en $1$ par valeurs supérieures et en $-2$ par valeurs inférieures.
d) Résolvez $f(x)=-\ln 4$ .
e) Résolvez $f(x)>0$ .

Voir la correction

Réponses

a) $D=\ ]-\infty;-2[\ \cup\ ]1;+\infty[$
b) $f'(2)=0{,}75$ ; croissante sur chaque intervalle de $D$
c) $0$ en $\pm\infty$ ; $-\infty$ en $1^{+}$ ; $+\infty$ en $-2^{-}$
d) $x=2$
e) $]-\infty\,;-2[$

a)

Il faut $\frac{x-1}{x+2}>0$ (et $x\neq-2$ ). Tableau de signe du quotient : il est positif quand numérateur et dénominateur ont le même signe, soit $x<-2$ ou $x>1$ . Donc $D=\ ]-\infty\,;-2[\ \cup\ ]1\,;+\infty[$ . Le piège est d'écrire $f(x)=\ln(x-1)-\ln(x+2)$ , qui n'est défini que pour $x>1$ et ferait perdre toute la branche $x<-2$ .

b)

Avec $u(x)=\frac{x-1}{x+2}$ , $u'(x)=\frac{(x+2)-(x-1)}{(x+2)^{2}}=\frac{3}{(x+2)^{2}}$ , et $f'=\frac{u'}{u}$ : $f'(x)=\frac{3}{(x+2)^{2}}\times\frac{x+2}{x-1}=\frac{3}{(x-1)(x+2)}$ . $f'(2)=\frac{3}{1\times 4}=0{,}75$ . Sur $D$ , $x-1$ et $x+2$ ont le même signe, donc leur produit est positif et $f'(x)>0$ : $f$ est strictement croissante sur $]-\infty\,;-2[$ ET sur $]1\,;+\infty[$ . On ne dit pas « croissante sur $D$ » : la comparaison $f(-3)=\ln 4>f(2)=\ln\frac{1}{4}$ montre qu'elle ne l'est pas globalement.

c)

En $\pm\infty$ , $\frac{x-1}{x+2}\to 1$ (degrés égaux), et $\ln X\to\ln 1=0$ : les deux limites valent $0$ , asymptote $y=0$ . En $1^{+}$ , $\frac{x-1}{x+2}\to 0^{+}$ et $\ln X\to-\infty$ : limite $-\infty$ . En $-2^{-}$ , le numérateur tend vers $-3$ et le dénominateur vers $0^{-}$ , donc le quotient tend vers $+\infty$ et $f\to+\infty$ . Asymptotes verticales $x=1$ et $x=-2$ .

d)

$-\ln 4=\ln\frac{1}{4}$ . Sur $D$ , $f(x)=\ln\frac{1}{4}\iff\frac{x-1}{x+2}=\frac{1}{4}\iff 4x-4=x+2\iff x=2$ . Et $2\in D$ ✓. Solution : $x=2$ .

e)

$f(x)>0\iff\frac{x-1}{x+2}>1\iff\frac{x-1-(x+2)}{x+2}>0\iff\frac{-3}{x+2}>0\iff x+2<0$ . Donc $x<-2$ , et ces valeurs sont bien dans $D$ . Solution : $]-\infty\,;-2[$ . Sur la branche $x>1$ , le quotient reste inférieur à $1$ et $f$ est négative. Multiplier directement par $x+2$ sans connaître son signe aurait donné la réponse inverse.

Le domaine d'une composée $\ln u$ se calcule sur $u$ entier, jamais en éclatant le logarithme avant d'avoir étudié le signe. Et une fonction croissante sur deux intervalles disjoints n'est pas croissante sur leur réunion : c'est ce que dit la réponse à b), et c'est ce qui rend e) intéressant.

Exercice 14 : Le taux d'alcoolémie

Après l'absorption d'une boisson alcoolisée, le taux d'alcool dans le sang d'une personne, en grammes par litre, est modélisé au bout de $t$ heures par $f(t)=2t\,e^{-t}$ , pour $t\geq 0$ .

Les durées sont arrondies au centième d'heure.

a) Montrez que $f'(t)=2(1-t)e^{-t}$ et dressez le tableau de variation de $f$ .
b) À quel instant le taux est-il maximal ? Donnez ce maximum au millième.
c) Déterminez la limite de $f$ en $+\infty$ et interprétez.
d) Justifiez que l'équation $f(t)=0{,}5$ admet deux solutions $t_{1}<t_{2}$ et donnez-en des valeurs approchées. Pendant combien de temps le taux dépasse-t-il $0{,}5$ g/L ?
e) Au bout de combien de temps le taux redescend-il sous $0{,}2$ g/L ?

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Réponses

a) $f'(t)=2(1-t)e^{-t}$ : croissante sur $[0;1]$ , décroissante ensuite
b) En $t=1$ h, $\frac{2}{e}\approx 0{,}736$ g/L
c) Limite $0$ : l'alcool est éliminé
d) $t_{1}\approx 0{,}36$ h, $t_{2}\approx 2{,}15$ h : environ $1{,}80$ h
e) Environ $3{,}58$ h

a)

Produit $uv$ avec $u=2t$ , $u'=2$ , $v=e^{-t}$ , $v'=-e^{-t}$ : $f'(t)=2e^{-t}-2te^{-t}=2(1-t)e^{-t}$ . Comme $e^{-t}>0$ , le signe est celui de $1-t$ : $f$ est croissante sur $[0\,;1]$ et décroissante sur $[1\,;+\infty[$ .

b)

Le maximum est atteint en $t=1$ heure et vaut $f(1)=2e^{-1}=\frac{2}{e}\approx 0{,}736$ g/L.

c)

$f(t)=\frac{2t}{e^{t}}$ : forme $\frac{\infty}{\infty}$ , levée par croissance comparée, $\frac{t}{e^{t}}\to 0$ . Donc $f(t)\to 0$ : l'alcool est éliminé à long terme, l'axe des abscisses est asymptote horizontale.

d)

Sur $[0\,;1]$ , $f$ est continue, strictement croissante, de $f(0)=0$ à $0{,}736$ : comme $0<0{,}5<0{,}736$ , une unique solution $t_{1}$ . Sur $[1\,;+\infty[$ , $f$ est continue, strictement décroissante, de $0{,}736$ vers la limite $0$ : une unique solution $t_{2}$ . Balayage : $f(0{,}35)\approx 0{,}493<0{,}5<f(0{,}36)\approx 0{,}502$ , donc $t_{1}\approx 0{,}36$ ; $f(2{,}15)\approx 0{,}501>0{,}5>f(2{,}16)\approx 0{,}498$ , donc $t_{2}\approx 2{,}15$ . Le taux dépasse $0{,}5$ g/L pendant $t_{2}-t_{1}\approx 1{,}80$ heure, soit environ $1$ h $48$ min.

e)

Sur $[1\,;+\infty[$ , $f$ décroît strictement de $0{,}736$ vers $0$ , donc $f(t)=0{,}2$ y a une unique solution $t_{3}$ , et $f(t)<0{,}2$ pour $t>t_{3}$ . Balayage : $f(3{,}57)\approx 0{,}201$ et $f(3{,}58)\approx 0{,}200$ (plus précisément $0{,}1996$ ), donc $t_{3}\approx 3{,}58$ heures, environ $3$ h $35$ min. Il ne faut pas oublier la solution de $[0\,;1]$ ( $t\approx 0{,}11$ ), où le taux MONTE au-dessus de $0{,}2$ : elle ne répond pas à la question « redescend ».

Le modèle $t\,e^{-t}$ est celui de toutes les absorptions suivies d'une élimination : médicament, alcool, polluant. Sa lecture tient en trois nombres, l'instant du pic, la hauteur du pic et la durée au-dessus d'un seuil, et chacun correspond à un outil : signe de la dérivée, valeur du maximum, théorème des valeurs intermédiaires appliqué SÉPARÉMENT sur chaque branche monotone.

Exercice 15 : L'écart minimal entre exponentielle et logarithme

On note $\mathcal{C}$ la courbe de $x\mapsto e^{x}$ et $\Gamma$ celle de $x\mapsto\ln x$ . On étudie, pour $x>0$ , l'écart vertical $h(x)=e^{x}-\ln x$ .

a) Calculez $h'(x)$ et $h''(x)$ . Déduisez-en que $h'$ est strictement croissante sur $]0\,;+\infty[$ .
b) Montrez que $h'(x)=0$ équivaut à $x\,e^{x}=1$ , puis que cette équation a une unique solution $\alpha$ dans $]0\,;1[$ . Donnez un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $0{,}01$ .
c) Dressez le tableau de variation de $h$ et montrez que son minimum vaut $h(\alpha)=\alpha+\frac{1}{\alpha}$ .
d) Donnez une valeur approchée de ce minimum au millième et concluez : l'écart vertical entre $\mathcal{C}$ et $\Gamma$ peut-il être inférieur à $2$ ?

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Réponses

a) $h'(x)=e^{x}-\frac{1}{x}$ , $h''(x)=e^{x}+\frac{1}{x^{2}}>0$
b) $0{,}56<\alpha<0{,}57$
c) Décroissante puis croissante, minimum $h(\alpha)=\alpha+\frac{1}{\alpha}$
d) $\approx 2{,}330$ : l'écart reste toujours supérieur à $2$

a)

$h'(x)=e^{x}-\frac{1}{x}$ et $h''(x)=e^{x}+\frac{1}{x^{2}}$ . Une exponentielle et un carré inverse sont strictement positifs : $h''(x)>0$ , donc $h'$ est strictement croissante sur $]0\,;+\infty[$ .

b)

$h'(x)=0\iff e^{x}=\frac{1}{x}\iff x\,e^{x}=1$ , en multipliant par $x>0$ . La fonction $h'$ est continue et strictement croissante ; $h'(0{,}5)=e^{0{,}5}-2\approx-0{,}35<0$ et $h'(1)=e-1>0$ . Par le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, $h'$ s'annule une unique fois, en $\alpha\in\ ]0{,}5\,;1[$ ; et $h'$ étant strictement croissante, elle ne s'annule nulle part ailleurs sur $]0\,;+\infty[$ . Balayage sur $x\,e^{x}$ : $0{,}56\,e^{0{,}56}\approx 0{,}980<1$ et $0{,}57\,e^{0{,}57}\approx 1{,}008>1$ , donc $0{,}56<\alpha<0{,}57$ .

c)

$h'$ est croissante et s'annule en $\alpha$ : $h'<0$ sur $]0\,;\alpha[$ et $h'>0$ sur $]\alpha\,;+\infty[$ . Donc $h$ décroît puis croît, avec un minimum en $\alpha$ . On ne connaît pas $\alpha$ exactement, mais on connaît une RELATION qu'il vérifie : $e^{\alpha}=\frac{1}{\alpha}$ , et en passant au logarithme, $\alpha=-\ln\alpha$ , soit $\ln\alpha=-\alpha$ . D'où $h(\alpha)=e^{\alpha}-\ln\alpha=\frac{1}{\alpha}+\alpha$ .

d)

$\alpha\approx 0{,}5671$ donne $h(\alpha)\approx 0{,}5671+1{,}7633\approx 2{,}330$ . Pour tout $x>0$ , $e^{x}-\ln x\geq h(\alpha)>2$ : l'écart vertical ne descend JAMAIS sous $2$ . On peut même le prouver sans valeur approchée : pour $\alpha>0$ et $\alpha\neq 1$ , $\alpha+\frac{1}{\alpha}>2$ , car $\alpha+\frac{1}{\alpha}-2=\frac{(\alpha-1)^{2}}{\alpha}>0$ .

La technique de c) est l'une des plus rentables du bac : quand le point critique $\alpha$ n'a pas de valeur exacte, on n'essaie pas de le calculer, on utilise l'équation qu'il vérifie pour simplifier $h(\alpha)$ . Ici elle transforme une expression avec exponentielle et logarithme en une simple somme $\alpha+\frac{1}{\alpha}$ , qu'on sait minorer.

Exercices corrigés : exponentielle et logarithme (Terminale spécialité)

Rappel de cours

Calculs : les équations et inéquations à résoudre

Exercice 0.1 : Résoudre des équations et inéquations avec exp et ln : dix calculs directs

Partie A : Les bases (/50)

Exercice 1 : Propriétés de l'exponentielle

Exercice 2 : Propriétés du logarithme

Exercice 3 : Équations et inéquations avec l'exponentielle

Exercice 4 : Équations et inéquations avec le logarithme

Exercice 5 : Dérivées

Partie B : Niveau baccalauréat (/50)

Exercice 6 : Étude d'une fonction avec exponentielle

Exercice 7 : Le logarithme reste sous la première bissectrice

Exercice 8 : Croissances comparées

Exercice 9 : Cinq erreurs à corriger

Exercice 10 : Problème : datation au carbone 14

Partie C : les classiques (/50)

Exercice 11 : La fonction ln x sur x, et qui de e puissance π ou π puissance e est le plus grand

Exercice 12 : Puissances réelles, seuils et domaines

Exercice 13 : Domaine et variations d'une composée avec ln

Exercice 14 : Le taux d'alcoolémie

Exercice 15 : L'écart minimal entre exponentielle et logarithme

Ce chapitre au bac 2025 et 2026

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