Exercices corrigés : exponentielle et logarithme (Terminale spécialité)

a) Les exponentielles de même base se multiplient en ADDITIONNANT les exposants : $\mathrm{e}^{3}\times\mathrm{e}^{-5}=\mathrm{e}^{3+(-5)}=\mathrm{e}^{-2}$. On peut aussi l'écrire $\frac{1}{\mathrm{e}^{2}}$, les deux formes étant acceptées. Contrôle numérique : $\mathrm{e}^{3}\approx 20{,}09$ et $\mathrm{e}^{-5}\approx 0{,}0067$, dont le produit vaut environ $0{,}135$, ce qui est bien $\mathrm{e}^{-2}$ ✓.

b) Dans une puissance de puissance, les exposants se MULTIPLIENT : $\left(\mathrm{e}^{2}\right)^{3}=\mathrm{e}^{6}$. C'est la confusion la plus fréquente du chapitre, car on additionne dans un produit et l'on multiplie dans une puissance. Le quotient soustrait ensuite : $\frac{\mathrm{e}^{6}}{\mathrm{e}^{4}}=\mathrm{e}^{6-4}=\mathrm{e}^{2}$.

c) On traite le numérateur d'abord : $\mathrm{e}^{2x}\times\mathrm{e}^{-x}=\mathrm{e}^{2x-x}=\mathrm{e}^{x}$. Puis le quotient : $\frac{\mathrm{e}^{x}}{\mathrm{e}^{3}}=\mathrm{e}^{x-3}$. Notez que la présence de la variable ne change rien aux règles : $x$ se manipule exactement comme un nombre dans l'exposant.

d) La tentation est de développer les deux carrés, ce qui marche mais prend quatre lignes. On reconnaît plutôt l'identité $(A+B)^{2}-(A-B)^{2}=4AB$, vue en Seconde, avec $A=\mathrm{e}^{x}$ et $B=\mathrm{e}^{-x}$. Or le produit se simplifie remarquablement : $AB=\mathrm{e}^{x}\times\mathrm{e}^{-x}=\mathrm{e}^{x-x}=\mathrm{e}^{0}=1$. L'expression vaut donc $4\times 1=4$, une CONSTANTE, indépendante de $x$.

Ce résultat mérite un instant d'attention, car il surprend : une expression bourrée de $x$ ne dépend en réalité d'aucun $x$. C'est la conséquence directe du fait que $\mathrm{e}^{x}$ et $\mathrm{e}^{-x}$ sont INVERSES l'un de l'autre, propriété qui reviendra sans cesse. Contrôle sur deux valeurs, ce qui est le bon réflexe devant un résultat constant : pour $x=0$, $(1+1)^{2}-(1-1)^{2}=4-0=4$ ✓ ; pour $x=1$, $(2{,}718+0{,}368)^{2}-(2{,}718-0{,}368)^{2}\approx 9{,}52-5{,}52=4$ ✓.

a) La différence de deux logarithmes est le logarithme du QUOTIENT : $\ln 8-\ln 2=\ln\frac{8}{2}=\ln 4$. On peut préciser davantage en écrivant $4=2^{2}$, donc $\ln 4=2\ln 2$, ce qui est parfois la forme attendue. Contrôle : $\ln 8\approx 2{,}079$ et $\ln 2\approx 0{,}693$, dont la différence vaut $1{,}386$, soit bien $2\times 0{,}693$ ✓.

b) Deux applications de la réciprocité. D'une part $\ln\left(\mathrm{e}^{3}\right)=3$, puisque $\ln$ défait ce que $\exp$ fait. D'autre part $\ln\frac{1}{\mathrm{e}}=\ln\left(\mathrm{e}^{-1}\right)=-1$, en réécrivant d'abord la fraction comme une puissance, ce qui est le geste à avoir systématiquement. La somme vaut $3+(-1)=2$.

c) On uniformise avant de simplifier. Le coefficient $2$ devant un logarithme remonte en exposant : $2\ln 3=\ln\left(3^{2}\right)=\ln 9$. L'expression devient $\ln 9+\ln 5-\ln 9$, où les deux $\ln 9$ s'annulent : il reste $\ln 5$. On aurait aussi pu tout regrouper d'un coup, $\ln\frac{9\times 5}{9}=\ln 5$ ✓, mais repérer l'annulation évite le calcul.

d) On convertit la racine en exposant fractionnaire, réflexe indispensable dès qu'un radical apparaît sous un logarithme : $\sqrt{\mathrm{e}}=\mathrm{e}^{1/2}$, donc $\ln\sqrt{\mathrm{e}}=\frac{1}{2}$. Plus généralement $\ln\sqrt{a}=\frac{1}{2}\ln a$, ce qui se déduit de la loi de la puissance avec l'exposant $\frac{1}{2}$.

e) $\ln\left(\mathrm{e}^{2x}\right)=2x$ par réciprocité, et $2\ln\left(\mathrm{e}^{x}\right)=2\times x=2x$ également. La différence vaut donc $0$, pour TOUT réel $x$. Comme au d) de l'exercice 1, une expression qui semble dépendre de $x$ n'en dépend pas : les deux écritures désignaient le même nombre depuis le début.

Récapitulatif des trois lois, à ne jamais confondre avec ce qu'elles ne disent pas : $\ln(ab)=\ln a+\ln b$ concerne le PRODUIT et non la somme ; $\ln\frac{a}{b}=\ln a-\ln b$ concerne le quotient ; $\ln\left(a^{n}\right)=n\ln a$ fait descendre l'exposant en coefficient. Il n'existe aucune formule pour $\ln(a+b)$, et c'est l'erreur que l'exercice 9 reprendra en détail.

a) La fonction exponentielle est strictement croissante sur $\mathbb{R}$, donc INJECTIVE : elle ne prend jamais deux fois la même valeur. L'égalité $\mathrm{e}^{2x}=\mathrm{e}^{x+3}$ équivaut donc à l'égalité des exposants, $2x=x+3$, d'où $x=3$. Vérification : $\mathrm{e}^{6}=\mathrm{e}^{6}$ ✓. Cette équivalence est ce qui rend les équations exponentielles simples, à condition de ramener les deux membres à la même base.

b) L'équation contient $\mathrm{e}^{2x}$ et $\mathrm{e}^{x}$ : on pose $X=\mathrm{e}^{x}$, en notant que $\mathrm{e}^{2x}=\left(\mathrm{e}^{x}\right)^{2}=X^{2}$. L'équation devient $X^{2}-3X+2=0$, de discriminant $9-8=1$, donc $X=\frac{3\pm 1}{2}$, soit $X=1$ ou $X=2$. Il faut ensuite REVENIR à $x$, et c'est l'étape qu'on oublie. Les deux valeurs sont strictement positives, donc admissibles, puisqu'une exponentielle ne peut valoir qu'un nombre positif. De $\mathrm{e}^{x}=1$ on tire $x=0$, et de $\mathrm{e}^{x}=2$ on tire $x=\ln 2$. Deux solutions : $0$ et $\ln 2\approx 0{,}693$.

Le contrôle du signe de $X$ n'est pas une formalité. Si le trinôme avait donné une racine négative, elle aurait dû être REJETÉE sans autre examen, puisque $\mathrm{e}^{x}$ ne peut pas être négatif. C'est le pendant exact du rejet des solutions étrangères en logarithme.

c) La fonction $\ln$ est strictement croissante, donc appliquer $\ln$ aux deux membres CONSERVE le sens de l'inégalité : $\mathrm{e}^{x}>5$ équivaut à $x>\ln 5$. Ensemble solution : $\left]\ln 5\,;+\infty\right[$, avec $\ln 5\approx 1{,}609$.

d) $\mathrm{e}^{-x}\leq 2$ donne $-x\leq\ln 2$ par le même argument, puis en multipliant par $-1$ on RENVERSE l'inégalité : $x\geq-\ln 2$. Ensemble solution : $\left[-\ln 2\,;+\infty\right[$, avec $-\ln 2\approx-0{,}693$. Le renversement vient de la multiplication par un négatif, pas du logarithme, et il faut savoir dire lequel des deux est responsable. Contrôle : pour $x=0$, $\mathrm{e}^{0}=1\leq 2$ ✓, et $0\geq-0{,}693$ ✓, les deux formulations concordent.

a) DOMAINE d'abord, toujours : il faut $x>0$ et $x-3>0$, donc la condition la plus forte l'emporte et le domaine est $x>3$. On regroupe ensuite par la loi du produit : $\ln\left(x(x-3)\right)=\ln 4$. Deux logarithmes de même base étant égaux si et seulement si leurs arguments le sont, on obtient $x^{2}-3x=4$, soit $x^{2}-3x-4=0$. Discriminant : $9+16=25$, donc $x=\frac{3\pm 5}{2}$, c'est-à-dire $x=4$ ou $x=-1$. Confrontation au domaine : $4>3$ est ACCEPTÉ, tandis que $-1$ ne vérifie pas $x>3$ et est REJETÉ. Solution unique : $x=4$. Vérification : $\ln 4+\ln 1=\ln 4+0=\ln 4$ ✓.

b) Domaine : $2x-1>0$, donc $x>\frac{1}{2}$. On réécrit $0=\ln 1$, ce qui permet de comparer deux logarithmes : $\ln(2x-1)\leq\ln 1$. La fonction $\ln$ étant strictement croissante, le sens est conservé : $2x-1\leq 1$, donc $x\leq 1$. En croisant avec le domaine, l'ensemble solution est $\left]\frac{1}{2}\,;1\right]$. Les deux bornes ont des origines distinctes qu'il faut savoir nommer : celle de gauche vient du DOMAINE et est ouverte, celle de droite vient de l'INÉQUATION et est fermée.

c) Domaine : il faut $x^{2}>0$, donc simplement $x\neq 0$ ; tous les réels non nuls conviennent, y compris les négatifs. On écrit $2\ln 3=\ln 9$, donc $\ln\left(x^{2}\right)=\ln 9$ et $x^{2}=9$, d'où $x=3$ ou $x=-3$. Les DEUX appartiennent au domaine : il y a bien deux solutions. Vérification pour $x=-3$ : $\ln\left((-3)^{2}\right)=\ln 9$ ✓, l'expression a parfaitement un sens.

d) La différence tient entièrement à CE QUI EST PLACÉ DANS le logarithme. En a), c'est $x$ lui-même qui apparaît dans $\ln x$, ce qui impose $x>0$ et élimine la racine négative. En c), c'est $x^{2}$ qui est dans le logarithme, et un carré est positif même quand $x$ ne l'est pas : la contrainte porte sur $x^{2}$, pas sur $x$, et n'exclut donc que $0$.

La leçon de méthode est qu'on ne peut PAS deviner le domaine à partir de la forme générale de l'équation : il faut le calculer sur l'expression exacte, argument par argument. Un piège classique en découle, dont il faut se méfier : l'égalité $\ln\left(x^{2}\right)=2\ln x$ n'est vraie que pour $x>0$, et l'appliquer en c) aurait fait perdre la solution $-3$ en rétrécissant indûment le domaine. L'exercice 9 y revient.

a) $f(x)=x\mathrm{e}^{x}$ est un PRODUIT, dérivable sur $\mathbb{R}$ comme produit de deux fonctions qui le sont. On applique $(uv)'=u'v+uv'$ avec $u=x$ et $v=\mathrm{e}^{x}$ : $f'(x)=1\times\mathrm{e}^{x}+x\times\mathrm{e}^{x}$. On factorise SYSTÉMATIQUEMENT par l'exponentielle, car c'est ce qui permettra d'étudier le signe : $f'(x)=(1+x)\mathrm{e}^{x}$. Comme $\mathrm{e}^{x}>0$, le signe de $f'$ est celui de $1+x$, information qu'une forme développée aurait cachée.

b) $g(x)=\mathrm{e}^{2x+1}$ est une COMPOSÉE de la forme $\mathrm{e}^{u}$, dont la dérivée est $u'\mathrm{e}^{u}$. Avec $u=2x+1$ et $u'=2$ : $g'(x)=2\mathrm{e}^{2x+1}$, sur $\mathbb{R}$. L'erreur classique est d'oublier le facteur $u'$ et d'écrire $\mathrm{e}^{2x+1}$, ce qui revient à dériver comme si l'exposant était $x$.

c) $h(x)=\ln\left(x^{2}+1\right)$ est une composée $\ln u$, de dérivée $\frac{u'}{u}$. Avec $u=x^{2}+1$ et $u'=2x$ : $h'(x)=\frac{2x}{x^{2}+1}$. Le domaine mérite une remarque : $\ln u$ exige $u>0$, or $x^{2}+1\geq 1$ est strictement positif pour TOUT réel, donc $h$ est définie et dérivable sur $\mathbb{R}$ entier, sans restriction. C'est le $+1$ qui achète cette liberté.

d) $k(x)=x\ln x-x$, sur $\left]0\,;+\infty\right[$ puisque $\ln x$ l'exige. Le premier terme est un produit : $(x\ln x)'=1\times\ln x+x\times\frac{1}{x}=\ln x+1$. En retranchant la dérivée de $x$, qui vaut $1$ : $k'(x)=\ln x+1-1=\ln x$. Le résultat est remarquable et vaut d'être retenu : $k$ est une PRIMITIVE de la fonction logarithme, ce qui est la façon standard de l'obtenir, le logarithme n'ayant pas de primitive évidente.

e) $m(x)=\frac{\mathrm{e}^{x}}{x}$ est un QUOTIENT, dérivable sur $\mathbb{R}$ privé de $0$. On applique $\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}$ avec $u=\mathrm{e}^{x}$ et $v=x$ : $m'(x)=\frac{\mathrm{e}^{x}\times x-\mathrm{e}^{x}\times 1}{x^{2}}=\frac{\mathrm{e}^{x}(x-1)}{x^{2}}$. Là encore on factorise par $\mathrm{e}^{x}$ : comme $\mathrm{e}^{x}>0$ et $x^{2}>0$, le signe de $m'$ est celui de $x-1$ seul, ce qui donne immédiatement les variations.

Fil commun aux cinq questions, et c'est le réflexe à installer : une fois la dérivée obtenue, on FACTORISE par $\mathrm{e}^{x}$ dès qu'elle y apparaît. L'exponentielle étant toujours strictement positive, elle sort de l'étude de signe et ne laisse qu'un facteur polynomial à examiner. C'est ce qui rend les tableaux de variation de ce chapitre beaucoup plus simples qu'ils n'en ont l'air, et les exercices 6 et 7 le confirmeront.

a) $f(x)=(x-1)\mathrm{e}^{x}$ est un produit. Avec $u=x-1$ et $v=\mathrm{e}^{x}$ : $f'(x)=1\times\mathrm{e}^{x}+(x-1)\mathrm{e}^{x}$. On factorise par $\mathrm{e}^{x}$ : $f'(x)=\mathrm{e}^{x}\left(1+x-1\right)=x\,\mathrm{e}^{x}$. La simplification à l'intérieur de la parenthèse est le petit geste qui rend la suite immédiate.

b) Comme $\mathrm{e}^{x}>0$ pour tout réel, le signe de $f'$ est EXACTEMENT celui de $x$ : négatif sur $\left]-\infty\,;0\right[$, nul en $0$, positif sur $\left]0\,;+\infty\right[$. La fonction $f$ décroît donc sur $\left]-\infty\,;0\right]$ puis croît sur $\left[0\,;+\infty\right[$, avec un MINIMUM en $x=0$ valant $f(0)=(0-1)\times 1=-1$. Le tableau de variation part de $0$ en $-\infty$, descend jusqu'à $-1$, puis remonte vers $+\infty$.

c) En $-\infty$, on est face à une forme indéterminée du type $-\infty\times 0$, puisque $x-1$ tend vers $-\infty$ tandis que $\mathrm{e}^{x}$ tend vers $0$. On développe pour séparer : $f(x)=x\mathrm{e}^{x}-\mathrm{e}^{x}$. Le second terme tend vers $0$. Le premier est justement la croissance comparée $x\mathrm{e}^{x}$, qui tend vers $0$ en $-\infty$ : l'exponentielle écrase la puissance. Donc $f(x)\to 0$. Interprétation graphique : la droite d'équation $y=0$, c'est-à-dire l'axe des abscisses, est ASYMPTOTE HORIZONTALE à la courbe en $-\infty$.

On peut préciser la POSITION de la courbe par rapport à cette asymptote, ce que le tableau de variation permet et qui est souvent demandé : pour $x<1$, le facteur $x-1$ est négatif et $\mathrm{e}^{x}$ positif, donc $f(x)<0$. La courbe s'approche donc de l'axe PAR EN DESSOUS.

d) En $+\infty$, il n'y a aucune indétermination : $x-1$ tend vers $+\infty$ et $\mathrm{e}^{x}$ aussi, donc leur produit tend vers $+\infty$. Un produit de deux quantités qui tendent vers $+\infty$ ne pose jamais de problème, contrairement au produit $\infty\times 0$ du c).

e) Comme $\mathrm{e}^{x}$ ne s'annule JAMAIS, un produit valant zéro impose que l'autre facteur soit nul : $f(x)=0$ équivaut à $x-1=0$, donc $x=1$. L'équation admet exactement UNE solution. C'est l'exemple type de ce que la stricte positivité de l'exponentielle permet : on divise par elle sans précaution, ce qu'on ne pourrait faire avec un facteur polynomial. Le tableau de variation confirme : la fonction descend de $0$ à $-1$ en restant négative, puis remonte de $-1$ vers $+\infty$ en ne traversant l'axe qu'une seule fois ✓.

a) $g(x)=x-\ln x$ sur $\left]0\,;+\infty\right[$. La dérivée est immédiate : $g'(x)=1-\frac{1}{x}$. On la met au même dénominateur, ce qui est le geste décisif pour étudier le signe : $g'(x)=\frac{x}{x}-\frac{1}{x}=\frac{x-1}{x}$. Une somme ne se lit pas en signe, un quotient si.

b) Sur $\left]0\,;+\infty\right[$, le dénominateur $x$ est strictement positif, donc le signe de $g'$ est celui du NUMÉRATEUR $x-1$ : négatif sur $\left]0\,;1\right[$, nul en $1$, positif sur $\left]1\,;+\infty\right[$. La fonction $g$ décroît puis croît, avec un minimum en $x=1$.

c) La valeur du minimum est $g(1)=1-\ln 1=1-0=1$. Comme il s'agit du minimum sur tout l'intervalle de définition, on conclut $g(x)\geq 1$ pour tout $x>0$. L'égalité n'a lieu qu'en $x=1$, ce qui précise le résultat et vaut d'être signalé.

d) De $g(x)\geq 1$ on tire $x-\ln x\geq 1>0$, donc $\ln x<x$ pour tout $x>0$. La courbe du logarithme est donc STRICTEMENT en dessous de la droite d'équation $y=x$, la première bissectrice, et ne la touche jamais. Mieux, on connaît l'écart MINIMAL entre les deux : il vaut exactement $1$, atteint en $x=1$, c'est-à-dire au point où la courbe du logarithme coupe l'axe des abscisses.

Cette inégalité $\ln x<x$ est l'une des plus utiles du programme, car elle sert à lever des indéterminations et à majorer. Notez qu'elle se démontre ici SANS aucune croissance comparée, par une simple étude de fonction : c'est un exemple de résultat théorique obtenu par un tableau de variation, et le bac apprécie cette démarche.

e) En $0$ par valeurs supérieures : $\ln x$ tend vers $-\infty$, donc $-\ln x$ tend vers $+\infty$, et comme $x$ tend vers $0$, la somme tend vers $+\infty$. Il n'y a pas d'indétermination, les deux termes poussant dans le même sens. En $+\infty$ en revanche, on a la forme $\infty-\infty$. On factorise par le terme dominant : $g(x)=x\left(1-\frac{\ln x}{x}\right)$. Par croissance comparée, $\frac{\ln x}{x}$ tend vers $0$, donc la parenthèse tend vers $1$ et $g(x)$ tend vers $+\infty$. La factorisation par le terme dominant est la technique standard pour lever une indétermination $\infty-\infty$ ✓.

a) Forme indéterminée $\frac{\infty}{\infty}$. Le théorème de croissance comparée affirme que l'exponentielle l'emporte sur TOUTE puissance de $x$ : $\lim_{x\to+\infty}\frac{\mathrm{e}^{x}}{x^{n}}=+\infty$ quel que soit $n$. Ici $n=2$, donc la limite vaut $+\infty$. L'ordre de domination à mémoriser, du plus fort au plus faible, est : exponentielle, puis puissances, puis logarithme.

b) Forme $\frac{\infty}{\infty}$ également, mais cette fois c'est la PUISSANCE qui l'emporte sur le logarithme : $\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln x}{x}=0$. Le logarithme croît si lentement qu'il est écrasé même par $x$ à la puissance un. Chiffrons-le pour rendre la lenteur concrète : pour $x=10^{6}$, le quotient vaut $\frac{13{,}8}{10^{6}}$, soit environ $1{,}4\times 10^{-5}$, déjà minuscule.

c) Forme $\infty\times 0$. On la ramène à un quotient, ce qui est toujours la première manœuvre : $x\mathrm{e}^{-x}=\frac{x}{\mathrm{e}^{x}}$. C'est l'inverse de la limite de a) avec $n=1$, donc la limite vaut $0$. Retenez le principe : une forme $\infty\times 0$ n'est jamais traitée telle quelle, on la réécrit en quotient pour appliquer une croissance comparée connue.

d) Forme $0\times\infty$, puisque $x$ tend vers $0$ et $\ln x$ vers $-\infty$. C'est la croissance comparée EN ZÉRO : $\lim_{x\to 0^{+}}x\ln x=0$. Elle est moins connue que les précédentes mais tout aussi exigible. Contrôle numérique : pour $x=0{,}001$, on a $x\ln x\approx 0{,}001\times(-6{,}91)\approx-0{,}0069$, effectivement proche de zéro ✓.

e) Forme $\frac{\infty}{\infty}$. On factorise numérateur et dénominateur par le terme DOMINANT, ici $\mathrm{e}^{x}$ : $\frac{\mathrm{e}^{x}-x}{\mathrm{e}^{x}+x}=\frac{\mathrm{e}^{x}\left(1-x\mathrm{e}^{-x}\right)}{\mathrm{e}^{x}\left(1+x\mathrm{e}^{-x}\right)}=\frac{1-x\mathrm{e}^{-x}}{1+x\mathrm{e}^{-x}}$. D'après c), $x\mathrm{e}^{-x}$ tend vers $0$, donc le quotient tend vers $\frac{1-0}{1+0}=1$.

La méthode générale se dégage de ces cinq questions et c'est elle qu'il faut retenir plutôt que les résultats : devant une indétermination, on identifie le terme qui DOMINE, on le factorise au numérateur et au dénominateur, il se simplifie, et il ne reste que des quantités dont la limite est connue. Contrôle numérique du e) : pour $x=20$, le quotient vaut $\frac{4{,}85\times 10^{8}-20}{4{,}85\times 10^{8}+20}$, soit $0{,}99999992$, très proche de $1$ ✓.

a) FAUX. La propriété concerne le PRODUIT et non la somme : la formule correcte est $\ln(ab)=\ln a+\ln b$. Il n'existe aucune formule simple pour $\ln(a+b)$, et c'est normal : le logarithme transforme les produits en sommes, pas les sommes en autre chose. Contre-exemple : $\ln(2+3)=\ln 5\approx 1{,}609$, alors que $\ln 2+\ln 3=\ln 6\approx 1{,}792$. Les deux diffèrent nettement.

b) FAUX. C'est la SOMME des exposants qui donne un produit d'exponentielles, pas leur produit : la propriété correcte est $\mathrm{e}^{a+b}=\mathrm{e}^{a}\mathrm{e}^{b}$. Contre-exemple avec $a=1$ et $b=3$ : le membre de gauche vaut $\mathrm{e}^{3}\approx 20{,}1$, tandis que le membre de droite vaut $\mathrm{e}^{1}\times\mathrm{e}^{3}=\mathrm{e}^{4}\approx 54{,}6$. L'écart est d'un facteur presque trois.

c) FAUX en toute généralité, et vrai seulement pour $x>0$. Le problème est le DOMAINE : pour $x<0$, le membre de gauche $\ln\left(x^{2}\right)$ existe parfaitement, puisque $x^{2}>0$, alors que le membre de droite $2\ln x$ n'a aucun sens. Contre-exemple : $\ln\left((-3)^{2}\right)=\ln 9\approx 2{,}197$ est défini, mais $2\ln(-3)$ ne l'est pas. La formule correcte sur tout $\mathbb{R}^{*}$ est $\ln\left(x^{2}\right)=2\ln|x|$, avec la valeur absolue. C'est exactement ce qui faisait la différence entre les questions a) et c) de l'exercice 4.

d) FAUX. L'exponentielle est STRICTEMENT POSITIVE sur $\mathbb{R}$ : $\mathrm{e}^{x}>0$ pour tout réel, sans exception. L'équation $\mathrm{e}^{x}=0$ n'a donc aucune solution. Ce n'est pas une curiosité mais la propriété la plus utilisée du chapitre : c'est elle qui permet, dans un produit du type $(x-1)\mathrm{e}^{x}=0$, de conclure immédiatement $x-1=0$, comme à l'exercice 6. On peut ajouter que $\mathrm{e}^{x}$ tend vers $0$ en $-\infty$ sans jamais l'atteindre, ce qui est précisément la définition d'une asymptote.

e) FAUX, ou plus exactement INCOMPLET, et c'est la nuance qui compte. La résolution algébrique de $x^{2}-3x-4=0$ donne bien $x=4$ et $x=-1$, mais le domaine de l'équation de départ impose $x>3$ : la valeur $-1$ doit être explicitement rejetée. Omettre cette étape conduit à annoncer deux solutions au lieu d'une.

L'origine de la faute mérite d'être comprise plutôt que mémorisée. En regroupant $\ln x+\ln(x-3)$ en $\ln\left(x(x-3)\right)$, on ÉLARGIT le domaine sans s'en apercevoir : à gauche il faut que les deux facteurs soient positifs, à droite il suffit que leur PRODUIT le soit, ce qui est aussi le cas quand les deux sont négatifs. Pour $x=-1$, le produit vaut $(-1)\times(-4)=4>0$, l'équation regroupée est donc satisfaite alors qu'aucun des deux logarithmes de départ n'existe. C'est pourquoi le domaine se pose AVANT toute transformation, jamais après.