Exercices corrigés : exponentielle et logarithme (Terminale spécialité)

a) $\mathrm{e}^{3}\times\mathrm{e}^{-5}=\mathrm{e}^{3-5}=\mathrm{e}^{-2}$.

b) $(\mathrm{e}^{2})^{3}=\mathrm{e}^{6}$, donc le quotient vaut $\mathrm{e}^{6-4}=\mathrm{e}^{2}$.

c) Le numérateur vaut $\mathrm{e}^{2x-x}=\mathrm{e}^{x}$, donc l'expression vaut $\mathrm{e}^{x-3}$.

d) On reconnaît $(A+B)^2-(A-B)^2=4AB$ avec $A=\mathrm{e}^{x}$ et $B=\mathrm{e}^{-x}$. Or $AB=\mathrm{e}^{x}\mathrm{e}^{-x}=\mathrm{e}^{0}=1$. L'expression vaut donc $4$, quelle que soit la valeur de $x$.

a) $\ln 8-\ln 2=\ln\frac{8}{2}=\ln 4$, que l'on peut aussi écrire $2\ln 2$.

b) $\ln(\mathrm{e}^{3})=3$ et $\ln\frac{1}{\mathrm{e}}=\ln(\mathrm{e}^{-1})=-1$. La somme vaut $2$.

c) $2\ln 3=\ln 9$, donc l'expression vaut $\ln 9+\ln 5-\ln 9=\ln 5$.

d) $\sqrt{\mathrm{e}}=\mathrm{e}^{\frac{1}{2}}$, donc $\ln\sqrt{\mathrm{e}}=\frac{1}{2}$.

e) $\ln(\mathrm{e}^{2x})=2x$ et $2\ln(\mathrm{e}^{x})=2x$ : la différence vaut $0$ pour tout réel $x$.

a) L'exponentielle étant strictement croissante, l'égalité équivaut à $2x=x+3$, donc $x=3$.

b) On pose $X=\mathrm{e}^{x}$, avec $X>0$. L'équation devient $X^{2}-3X+2=0$, de discriminant $9-8=1$, donc $X=1$ ou $X=2$. Les deux sont strictement positifs. Ainsi $\mathrm{e}^{x}=1$ donne $x=0$, et $\mathrm{e}^{x}=2$ donne $x=\ln 2$.

c) La fonction $\ln$ est strictement croissante, donc $\mathrm{e}^{x}>5$ équivaut à $x>\ln 5$. L'ensemble solution est $]\ln 5;+\infty[$.

d) $\mathrm{e}^{-x}\leq 2$ équivaut à $-x\leq\ln 2$, soit $x\geq-\ln 2$. L'ensemble solution est $[-\ln 2;+\infty[$.

a) Domaine : il faut $x>0$ et $x-3>0$, donc $x>3$. L'équation devient $\ln(x(x-3))=\ln 4$, soit $x^{2}-3x=4$, c'est-à-dire $x^{2}-3x-4=0$. Le discriminant vaut $9+16=25$, donc $x=\frac{3\pm 5}{2}$ : $x=4$ ou $x=-1$. Seul $4$ appartient au domaine. L'unique solution est $x=4$.

b) Domaine : $2x-1>0$, donc $x>\frac{1}{2}$. L'inéquation s'écrit $\ln(2x-1)\leq\ln 1$, et par stricte croissance du logarithme, $2x-1\leq 1$, soit $x\leq 1$. En croisant avec le domaine, l'ensemble solution est $\left]\frac{1}{2};1\right]$.

c) Domaine : $x^{2}>0$, donc $x\neq 0$ : tous les réels non nuls conviennent. L'équation s'écrit $\ln(x^{2})=\ln 9$, donc $x^{2}=9$, soit $x=3$ ou $x=-3$. Les deux appartiennent au domaine : il y a deux solutions.

d) La différence vient du domaine. En a), l'expression $\ln x$ impose $x>0$, ce qui élimine $-1$. En c), c'est $x^{2}$ qui est dans le logarithme, et un carré est positif même pour $x$ négatif : $-3$ reste donc valable. C'est aussi pour cela que l'écriture $\ln(x^{2})=2\ln x$ est fausse en général : elle n'est correcte que pour $x>0$.

a) Produit, sur $\mathbb{R}$ : $f'(x)=1\times\mathrm{e}^{x}+x\mathrm{e}^{x}=(1+x)\mathrm{e}^{x}$.

b) Composée $\mathrm{e}^{u}$ avec $u=2x+1$, sur $\mathbb{R}$ : $g'(x)=2\mathrm{e}^{2x+1}$.

c) Composée $\ln u$ avec $u=x^{2}+1$, strictement positif sur $\mathbb{R}$ : $h'(x)=\frac{2x}{x^{2}+1}$.

d) Sur $]0;+\infty[$ : $k'(x)=\ln x+x\times\frac{1}{x}-1=\ln x+1-1=\ln x$. La fonction $k$ est donc une primitive de $\ln$.

e) Quotient, sur $\mathbb{R}$ privé de $0$ : $m'(x)=\frac{\mathrm{e}^{x}\times x-\mathrm{e}^{x}\times 1}{x^{2}}=\frac{\mathrm{e}^{x}(x-1)}{x^{2}}$.

a) $f'(x)=1\times\mathrm{e}^{x}+(x-1)\mathrm{e}^{x}=\mathrm{e}^{x}(1+x-1)=x\mathrm{e}^{x}$.

b) Comme $\mathrm{e}^{x}>0$ pour tout réel, le signe de $f'$ est celui de $x$ : négatif sur $]-\infty;0[$, positif sur $]0;+\infty[$. La fonction $f$ décroît sur $]-\infty;0]$ puis croît sur $[0;+\infty[$, avec un minimum $f(0)=-1$.

c) Par croissances comparées, $x\mathrm{e}^{x}$ tend vers $0$ en $-\infty$, et $\mathrm{e}^{x}$ aussi. Donc $f(x)=x\mathrm{e}^{x}-\mathrm{e}^{x}$ tend vers $0$. La droite d'équation $y=0$, c'est-à-dire l'axe des abscisses, est asymptote horizontale en $-\infty$.

d) En $+\infty$, $x-1$ tend vers $+\infty$ et $\mathrm{e}^{x}$ aussi : $f(x)$ tend vers $+\infty$.

e) Comme $\mathrm{e}^{x}$ ne s'annule jamais, $f(x)=0$ équivaut à $x-1=0$, soit $x=1$. L'équation admet exactement une solution. On le retrouve par le tableau : $f$ est négative jusqu'à son minimum $-1$, puis croît de $-1$ vers $+\infty$ en traversant $0$ une seule fois.

a) $g'(x)=1-\frac{1}{x}=\frac{x-1}{x}$.

b) Sur $]0;+\infty[$ le dénominateur est positif, donc le signe de $g'$ est celui de $x-1$ : négatif sur $]0;1[$, positif sur $]1;+\infty[$. La fonction $g$ décroît puis croît, avec un minimum en $x=1$.

c) Le minimum vaut $g(1)=1-\ln 1=1-0=1$. Comme c'est le minimum sur tout l'intervalle, $g(x)\geq 1$ pour tout $x>0$.

d) De $g(x)\geq 1>0$ on tire $x-\ln x>0$, soit $\ln x<x$ pour tout $x>0$. La courbe du logarithme est donc strictement en dessous de la droite $y=x$, sans jamais la toucher. L'écart minimal entre les deux vaut $1$, atteint en $x=1$.

e) En $0$ par valeurs supérieures, $\ln x$ tend vers $-\infty$ donc $-\ln x$ tend vers $+\infty$ et $g(x)$ aussi. En $+\infty$, on écrit $g(x)=x\left(1-\frac{\ln x}{x}\right)$ ; par croissances comparées $\frac{\ln x}{x}$ tend vers $0$, donc le facteur tend vers $1$ et $g(x)$ tend vers $+\infty$.

a) Forme $\frac{\infty}{\infty}$. L'exponentielle l'emporte sur toute puissance : la limite vaut $+\infty$.

b) Forme $\frac{\infty}{\infty}$. Cette fois la puissance l'emporte sur le logarithme : la limite vaut $0$.

c) Forme $\infty\times 0$. On écrit $x\mathrm{e}^{-x}=\frac{x}{\mathrm{e}^{x}}$, inverse de la limite de a) avec $n=1$ : la limite vaut $0$.

d) Forme $0\times\infty$. C'est la croissance comparée en $0$ : la limite vaut $0$.

e) Forme $\frac{\infty}{\infty}$. On factorise par $\mathrm{e}^{x}$ : $\frac{\mathrm{e}^{x}(1-x\mathrm{e}^{-x})}{\mathrm{e}^{x}(1+x\mathrm{e}^{-x})}=\frac{1-x\mathrm{e}^{-x}}{1+x\mathrm{e}^{-x}}$. D'après c), $x\mathrm{e}^{-x}$ tend vers $0$, donc la limite vaut $\frac{1}{1}=1$.

a) Par définition $N(T)=\frac{N_{0}}{2}$, donc $\mathrm{e}^{-\lambda T}=\frac{1}{2}$. En passant au logarithme : $-\lambda T=\ln\frac{1}{2}=-\ln 2$, d'où $\lambda=\frac{\ln 2}{T}$. Numériquement, $\lambda=\frac{\ln 2}{5730}\approx 1{,}2097\times 10^{-4}$ par an.

b) $\frac{N(t)}{N_{0}}=\mathrm{e}^{-\lambda t}=\mathrm{e}^{-\frac{t\ln 2}{T}}=\left(\mathrm{e}^{\ln 2}\right)^{-\frac{t}{T}}=2^{-\frac{t}{T}}$.

c) Pour $t=10\ 000$ : $2^{-\frac{10000}{5730}}=2^{-1{,}7452\ldots}\approx 0{,}2983$, soit environ $29{,}8\ \%$.

d) On cherche $t$ tel que $2^{-\frac{t}{T}}=0{,}25=2^{-2}$, donc $\frac{t}{T}=2$, soit $t=2\times 5730=11\ 460$ ans.

e) On résout $2^{-\frac{t}{T}}=0{,}1$, soit $-\frac{t}{T}\ln 2=\ln 0{,}1=-\ln 10$, donc $t=T\times\frac{\ln 10}{\ln 2}\approx 5730\times 3{,}3219\approx 19\ 035$ ans.

a) Faux. La propriété concerne le produit, pas la somme : $\ln(ab)=\ln a+\ln b$. Contre-exemple : $\ln(2+3)=\ln 5\approx 1{,}609$ alors que $\ln 2+\ln 3=\ln 6\approx 1{,}792$.

b) Faux : c'est la somme des exposants qui donne un produit, pas leur produit. La propriété correcte est $\mathrm{e}^{a+b}=\mathrm{e}^{a}\mathrm{e}^{b}$. Contre-exemple avec $a=1$ et $b=3$ : le membre de gauche vaut $\mathrm{e}^{3}\approx 20{,}09$, tandis que $\mathrm{e}^{1}\mathrm{e}^{3}=\mathrm{e}^{4}\approx 54{,}60$.

c) Faux. Pour $x<0$, le membre de droite n'existe pas alors que le membre de gauche est défini. Contre-exemple : $\ln((-3)^{2})=\ln 9\approx 2{,}197$, alors que $2\ln(-3)$ n'a aucun sens. L'égalité correcte est $\ln(x^{2})=2\ln|x|$, ou $\ln(x^{2})=2\ln x$ uniquement pour $x>0$.

d) Faux. L'exponentielle est strictement positive sur $\mathbb{R}$ : $\mathrm{e}^{x}>0$ pour tout réel. L'équation n'a donc aucune solution. C'est précisément cette propriété qui permet de simplifier par $\mathrm{e}^{x}$ sans discuter, comme à l'exercice 6.

e) Faux, ou plutôt incomplet. La résolution algébrique donne $x=4$ et $x=-1$, mais le domaine impose $x>3$ : la valeur $-1$ doit être rejetée. Omettre le domaine conduit à annoncer deux solutions au lieu d'une.