Exercices corrigés : primitives et intégration (Terminale spécialité)

a) On remonte la règle $\left(x^{n}\right)'=nx^{n-1}$ à l'envers, ce qui donne $\int x^{n}=\frac{x^{n+1}}{n+1}$ : $F(x)=x^{3}-2x^{2}+5x$. Contrôle immédiat par dérivation : $F'(x)=3x^{2}-4x+5$ ✓, et ce contrôle vaut pour les cinq questions.

b) On réécrit d'abord en puissance, car la règle ne s'applique qu'à cette forme : $g(x)=x^{-2}$, dont une primitive est $\frac{x^{-2+1}}{-2+1}=\frac{x^{-1}}{-1}=-\frac{1}{x}$. Le signe moins est l'erreur la plus fréquente de tout le chapitre, et la dérivation le confirme : $\left(-\frac{1}{x}\right)'=\frac{1}{x^{2}}$ ✓.

c) $H(x)=\ln x$, puisque $x>0$ sur cet intervalle. C'est ici que la règle des puissances TOMBE EN PANNE : elle donnerait $\frac{x^{0}}{0}$, une division par zéro. L'exposant $-1$ est le seul cas exclu, et c'est précisément le trou que le logarithme vient combler. L'intervalle compte : sur $]-\infty;0[$, une primitive serait $\ln(-x)$ et non $\ln x$, qui n'y est pas défini.

d) $K(x)=\mathrm{e}^{x}$, la fonction exponentielle étant sa propre dérivée, donc sa propre primitive. C'est le seul cas, à la multiplication par une constante près.

e) On réécrit encore en puissance : $m(x)=x^{-\frac{1}{2}}$, dont une primitive est $\frac{x^{-\frac{1}{2}+1}}{-\frac{1}{2}+1}=\frac{x^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}}=2\sqrt{x}$. Le facteur $2$ surprend souvent : il vient de la division par $\frac{1}{2}$, qui revient à multiplier par $2$.

Deux remarques valables pour toute la suite. D'abord, chaque réponse admet une constante arbitraire : les primitives forment une FAMILLE de fonctions parallèles, décalées verticalement, et non une fonction unique. On la précise en écrivant $F(x)+C$. Ensuite, il existe un contrôle universel qui rend toute erreur impossible à conserver : DÉRIVER sa réponse. Contrairement au reste des mathématiques, la vérification est ici mécanique, rapide et infaillible ; s'en priver en examen est un choix coûteux.

a) Avec $u=x^{2}+1$ et $u'=2x$, l'expression est exactement de la forme $u'u^{3}$, dont une primitive est $\frac{u^{4}}{4}$ : on obtient $\frac{(x^{2}+1)^{4}}{4}$. La méthode est toujours la même, il faut la ritualiser : on repère le $u$ candidat, qui est le contenu de la parenthèse ou du dénominateur, on calcule $u'$, puis on vérifie que ce $u'$ figure bien en facteur.

b) Forme $\frac{u'}{u}$ avec $u=x^{2}+1$, dont une primitive est $\ln u$ : on obtient $\ln(x^{2}+1)$. La condition $u>0$ est ici satisfaite car $x^{2}+1\geq 1$, et elle n'est pas facultative : sans elle, la primitive serait $\ln|u|$, écriture hors programme en Terminale, et surtout la fonction ne serait pas définie partout.

c) Forme $u'\mathrm{e}^{u}$ avec $u=3x-1$ et $u'=3$ : une primitive est $\mathrm{e}^{3x-1}$. Le facteur $3$ de l'énoncé n'est pas décoratif, c'est lui qui rend la reconnaissance exacte ; sans lui, il aurait fallu compenser, comme à la question suivante.

d) Ici le facteur ne colle pas : avec $u=x^{2}$ on a $u'=2x$, alors que l'énoncé ne propose que $x$. On AJUSTE en écrivant $k(x)=\frac{1}{2}\times 2x\,\mathrm{e}^{x^{2}}$, ce qui rétablit la forme au facteur $\frac{1}{2}$ près : une primitive est $\frac{1}{2}\mathrm{e}^{x^{2}}$. Cette manipulation, qui consiste à faire apparaître la constante manquante et à compenser par son inverse, est le geste le plus rentable du chapitre. Attention, elle ne fonctionne QUE pour une constante : si le facteur manquant dépendait de $x$, aucun ajustement de ce type ne serait possible.

e) Forme $\frac{u'}{u}$ avec $u=x^{2}+x+3$, dont la dérivée est bien $2x+1$. Reste à justifier la stricte positivité, car c'est la partie que les copies oublient : le discriminant vaut $\Delta=1^{2}-4\times 1\times 3=1-12=-11<0$ et le coefficient dominant est positif, donc le trinôme ne s'annule jamais et reste strictement positif sur $\mathbb{R}$. Une primitive est donc $\ln(x^{2}+x+3)$.

Le tableau à connaître tient en trois lignes : $u'u^{n}$ donne $\frac{u^{n+1}}{n+1}$, $\frac{u'}{u}$ donne $\ln u$ pour $u>0$, et $u'\mathrm{e}^{u}$ donne $\mathrm{e}^{u}$. Toute la difficulté est de repérer le bon $u$, et l'indice le plus fiable est le degré : si le numérateur a un degré exactement inférieur d'une unité à celui du dénominateur, la piste du logarithme est la bonne.

a) Une primitive de $3x^{2}-2x$ est $x^{3}-x^{2}$, donc $\int_{0}^{2}(3x^{2}-2x)dx=\left[x^{3}-x^{2}\right]_{0}^{2}=(8-4)-(0-0)=4$. Le crochet n'est pas une décoration : il rappelle qu'il faut évaluer en la borne HAUTE moins la borne BASSE, dans cet ordre, et l'inversion des deux est l'erreur de signe la plus courante.

b) Une primitive de $\frac{1}{x}$ sur $[1;\mathrm{e}]$, intervalle où $x>0$, est $\ln x$ : l'intégrale vaut $\ln\mathrm{e}-\ln 1=1-0=1$. Ce résultat mérite d'être retenu, car il donne la définition géométrique du nombre $\mathrm{e}$ : c'est l'abscisse pour laquelle l'aire sous l'hyperbole, à partir de $1$, vaut exactement $1$.

c) Forme $u'\mathrm{e}^{u}$ à ajuster, comme à l'exercice 2 : une primitive de $\mathrm{e}^{2x}$ est $\frac{\mathrm{e}^{2x}}{2}$, donc l'intégrale vaut $\frac{\mathrm{e}^{2}}{2}-\frac{\mathrm{e}^{0}}{2}=\frac{\mathrm{e}^{2}-1}{2}\approx 3{,}195$. Contrôle de plausibilité : la fonction croît de $1$ à $\mathrm{e}^{2}\approx 7{,}39$ sur un intervalle de largeur $1$, l'aire doit donc se situer entre ces deux valeurs, et $3{,}195$ y est ✓.

d) Une primitive est $\frac{x^{4}}{4}$, donc l'intégrale vaut $\frac{1}{4}-\frac{(-1)^{4}}{4}=\frac{1}{4}-\frac{1}{4}=0$. La fonction cube est IMPAIRE : sur $[-1;0]$ elle est négative et sur $[0;1]$ positive, et les deux contributions, égales en valeur absolue, se compensent exactement. Le résultat nul ne signifie donc PAS que l'aire est nulle : l'aire géométrique vaut $\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}$, mais l'intégrale, elle, fait un BILAN SIGNÉ.

C'est le point conceptuel le plus important de tout le chapitre, et il sera repris à l'exercice 9. Une intégrale n'est pas une aire : elle coïncide avec l'aire seulement quand la fonction est positive sur tout l'intervalle. Dans le cas général elle compte positivement ce qui est au-dessus de l'axe et négativement ce qui est en dessous. Retenir la propriété générale : l'intégrale sur un intervalle symétrique d'une fonction impaire est toujours nulle, tandis que pour une fonction paire elle vaut le double de celle sur la demi-longueur.

a) Par la relation de CHASLES, qui permet de recoller deux intervalles adjacents : $\int_{0}^{5}f=\int_{0}^{3}f+\int_{3}^{5}f=7+(-2)=5$. Remarquez que la borne intermédiaire $3$ est commune aux deux morceaux, condition indispensable pour appliquer la relation.

b) Inverser les bornes change le signe : $\int_{5}^{0}f=-\int_{0}^{5}f=-5$. Cette convention n'est pas gratuite, c'est exactement elle qui rend Chasles valable même quand les bornes ne sont pas dans l'ordre croissant.

c) Par LINÉARITÉ, on sépare la somme et on sort le coefficient : $\int_{0}^{3}(2f(x)+1)dx=2\int_{0}^{3}f(x)dx+\int_{0}^{3}1\,dx=2\times 7+3=17$. L'intégrale de la fonction constante $1$ sur $[0;3]$ vaut la LARGEUR de l'intervalle, soit $3$, ce qui s'interprète comme l'aire d'un rectangle de hauteur $1$. C'est l'oubli de ce terme, ou son remplacement par $1$, qui coûte le plus de points ici.

d) Non. Une intégrale positive n'impose nullement que la fonction le soit : $f$ pourrait plonger sous l'axe sur une partie de $[0;3]$ et compenser largement ailleurs pour que le bilan reste égal à $7$. L'implication ne fonctionne que dans un sens : positive sur l'intervalle entraîne intégrale positive, jamais la réciproque.

e) Oui, et c'est la CONTRAPOSÉE de cette même implication. Si $f$ était positive ou nulle sur tout $[3;5]$, son intégrale sur cet intervalle serait positive ou nulle. Or elle vaut $-2<0$. Donc $f$ prend nécessairement des valeurs strictement négatives quelque part sur $[3;5]$.

Le contraste entre d) et e) résume la logique du chapitre, et il faut le voir clairement. Le sens « fonction positive donc intégrale positive » est TOUJOURS valable et permet de conclure sur l'intégrale à partir de la fonction. Le sens inverse est FAUX en général, mais sa contraposée reste vraie : une intégrale strictement négative garantit que la fonction descend sous l'axe au moins une fois. Une seule implication, exploitée dans les deux directions correctes.

a) Une primitive de $x^{2}$ est $\frac{x^{3}}{3}$, donc $\int_{0}^{3}x^{2}dx=\left[\frac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{3}=\frac{27}{3}-0=9$.

b) Par définition, la valeur moyenne est l'intégrale divisée par la LONGUEUR de l'intervalle : $\mu=\frac{1}{3-0}\int_{0}^{3}x^{2}dx=\frac{9}{3}=3$. Oublier ce diviseur, et donc confondre valeur moyenne et intégrale, est l'erreur classique ; la formule est exactement celle d'une moyenne ordinaire, une somme divisée par un effectif, mais avec une infinité de valeurs.

c) On résout $c^{2}=3$ avec la contrainte $c\in[0;3]$ : $c=\sqrt{3}\approx 1{,}732$. La solution $-\sqrt{3}$ est rejetée car elle sort de l'intervalle, et cette vérification fait partie de la réponse. L'existence d'un tel $c$ n'est pas un hasard : c'est le théorème de la moyenne, conséquence directe du théorème des valeurs intermédiaires, puisque $f$ est continue et que $\mu$ est comprise entre le minimum $0$ et le maximum $9$ de $f$ sur $[0;3]$.

d) Le nombre $\mu$ est la hauteur du RECTANGLE de base $[0;3]$ qui aurait exactement la même aire que la région sous la courbe : ce rectangle mesure $3$ de large et $3$ de haut, donc $9$ d'aire, ce qui correspond bien à l'intégrale calculée en a). Autrement dit, on aplatit la région en un rectangle de même aire, et la valeur moyenne en est la hauteur.

Deux contrôles de plausibilité s'imposent, et ils détectent presque toutes les erreurs. La valeur moyenne doit toujours être comprise entre le minimum et le maximum de la fonction sur l'intervalle : ici $0\leq 3\leq 9$ ✓. Elle ne doit surtout pas être confondue avec la moyenne des valeurs aux bornes, qui donnerait ici $\frac{0+9}{2}=4{,}5$, une valeur différente. L'écart s'explique : la fonction carré est convexe, elle passe l'essentiel de l'intervalle en dessous de la corde, ce qui tire la vraie moyenne vers le bas.

a) On résout $x^{2}=2x$, soit $x^{2}-2x=0$, c'est-à-dire $x(x-2)=0$. Les abscisses d'intersection sont $0$ et $2$. On factorise, on ne divise pas par $x$ : diviser ferait perdre la solution $x=0$, qui est justement l'une des deux bornes.

b) $2x-x^{2}=x(2-x)$. Sur $[0;2]$, les deux facteurs sont positifs ou nuls, donc la différence est positive : la DROITE $D$ est au-dessus de la parabole $P$. Cette étude de signe n'est pas une formalité administrative, c'est elle qui fixe l'ordre de la soustraction à la question suivante.

c) L'aire s'obtient en intégrant « celle du dessus moins celle du dessous » : $\int_{0}^{2}(2x-x^{2})dx=\left[x^{2}-\frac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{2}=\left(4-\frac{8}{3}\right)-0=\frac{12-8}{3}=\frac{4}{3}$. Le repère étant orthonormé d'unité $1$ cm, l'unité d'aire vaut $1$ cm$^{2}$ et l'aire cherchée est de $\frac{4}{3}$ cm$^{2}$, soit environ $1{,}33$ cm$^{2}$. Contrôle : la région est contenue dans le rectangle $[0;2]\times[0;4]$, d'aire $8$, et elle en occupe visiblement une petite part ✓.

d) Son calcul est JUSTE, et c'est ce qui rend la question intéressante : $\int_{0}^{2}(x^{2}-2x)dx$ vaut bien $-\frac{4}{3}$. Son erreur est d'avoir soustrait dans le mauvais ordre, en intégrant la courbe du dessous moins celle du dessus. Le signe négatif est d'ailleurs le symptôme qui aurait dû l'alerter, une aire ne pouvant pas être négative. Il lui suffit de prendre la valeur absolue, ou de refaire la différence dans le bon sens : la réponse à donner est $\frac{4}{3}$ cm$^{2}$.

La règle générale à retenir est donc : $\mathcal{A}=\int_{a}^{b}\left(f_{\text{dessus}}(x)-f_{\text{dessous}}(x)\right)dx$, valable QUEL QUE SOIT le signe des deux fonctions, y compris si les deux courbes sont entièrement sous l'axe des abscisses. Beaucoup d'élèves croient devoir traiter à part le cas des fonctions négatives ; c'est inutile, car la soustraction élimine d'elle-même la position par rapport à l'axe. La seule chose à établir avant de calculer est laquelle des deux courbes est au-dessus, et il faut découper l'intervalle si l'ordre s'inverse en cours de route.

a) On pose $u(x)=x$ et $v'(x)=\mathrm{e}^{x}$, donc $u'(x)=1$ et $v(x)=\mathrm{e}^{x}$. La formule $\int_{a}^{b}uv'=[uv]_{a}^{b}-\int_{a}^{b}u'v$ donne $\int_{0}^{1}x\mathrm{e}^{x}dx=[x\mathrm{e}^{x}]_{0}^{1}-\int_{0}^{1}\mathrm{e}^{x}dx=(\mathrm{e}-0)-[\mathrm{e}^{x}]_{0}^{1}=\mathrm{e}-(\mathrm{e}-1)=1$. Le choix se justifie : en dérivant $x$ on obtient $1$, et le facteur polynomial DISPARAÎT, ce qui est exactement le but de la manœuvre.

b) On pose $u(x)=\ln x$ et $v'(x)=1$, donc $u'(x)=\frac{1}{x}$ et $v(x)=x$. Alors $\int_{1}^{\mathrm{e}}\ln x\,dx=[x\ln x]_{1}^{\mathrm{e}}-\int_{1}^{\mathrm{e}}x\times\frac{1}{x}dx=(\mathrm{e}\times 1-1\times 0)-\int_{1}^{\mathrm{e}}1\,dx=\mathrm{e}-(\mathrm{e}-1)=1$. L'astuce consiste à voir $\ln x$ comme le produit $\ln x\times 1$, ce qui n'a rien de naturel et doit être mémorisé comme tel.

c) On pose $u(x)=x$ et $v'(x)=\mathrm{e}^{-x}$, donc $u'(x)=1$ et $v(x)=-\mathrm{e}^{-x}$, avec un signe moins à ne pas perdre. Alors $\int_{0}^{1}x\mathrm{e}^{-x}dx=[-x\mathrm{e}^{-x}]_{0}^{1}+\int_{0}^{1}\mathrm{e}^{-x}dx=-\frac{1}{\mathrm{e}}+[-\mathrm{e}^{-x}]_{0}^{1}=-\frac{1}{\mathrm{e}}+\left(1-\frac{1}{\mathrm{e}}\right)=1-\frac{2}{\mathrm{e}}\approx 0{,}2642$. Contrôle : la fonction intégrée est positive sur $[0;1]$, donc le résultat doit l'être, et il l'est ✓.

d) Parce qu'on ne sait pas primitiver $\ln$ directement, mais on sait parfaitement le DÉRIVER. En posant $u=\ln x$, c'est la dérivée $\frac{1}{x}$ qui apparaît dans l'intégrale restante, et elle se simplifie avec le $x$ venant de $v$, ce qui laisse une intégrale triviale. Le choix inverse ne mènerait nulle part : il faudrait déjà disposer d'une primitive de $\ln$, ce qui est justement la question posée. On tournerait en rond.

La règle de choix se formule simplement : on prend pour $u$ ce qui SIMPLIFIE en dérivant, et pour $v'$ ce qu'on sait primitiver. Un polynôme perd un degré à chaque dérivation et finit par disparaître, un logarithme se transforme en fraction rationnelle : ce sont donc de bons candidats pour $u$. L'exponentielle, elle, ne change pas en primitivant, ce qui en fait le $v'$ idéal. Vérification de cohérence entre les questions a) et c) : les deux intégrandes se ressemblent, mais $\mathrm{e}^{-x}$ décroît alors que $\mathrm{e}^{x}$ croît, d'où un résultat bien plus petit en c), $0{,}26$ contre $1$ ✓.

a) Le débit est la VITESSE DE VARIATION du volume, donc $V'(t)=d(t)$ : la fonction $V$ est une primitive de $d$. C'est la traduction mathématique de la phrase « le débit dit à quelle vitesse le volume augmente », et tout l'exercice en découle.

b) Les primitives de $d(t)=0{,}5t$ sont $0{,}25t^{2}+C$. La condition initiale « le réservoir est vide » se traduit par $V(0)=0$, d'où $0{,}25\times 0+C=0$ et $C=0$. Donc $V(t)=0{,}25t^{2}$. La constante $C$ n'est pas un détail théorique : c'est elle qui encode l'état de départ, et une seule condition suffit à la déterminer.

c) $V(10)=0{,}25\times 100=25$ mètres cubes. Contrôle de plausibilité : le débit varie linéairement de $0$ à $d(10)=5$ m³/min, sa moyenne vaut donc $2{,}5$ m³/min, et sur $10$ minutes cela donne $25$ m³ ✓. Le raisonnement par débit moyen est valable ici précisément parce que le débit est affine.

d) $\int_{0}^{10}0{,}5t\,dt=\left[0{,}25t^{2}\right]_{0}^{10}=25-0=25$, la même valeur. La coïncidence n'en est pas une : c'est le THÉORÈME FONDAMENTAL. L'intégrale de $0$ à $10$ du débit vaut $V(10)-V(0)$, et comme $V(0)=0$, elle donne directement $V(10)$. Intégrer un débit sur une durée fournit toujours la quantité accumulée pendant cette durée, et ce fait dépasse largement les réservoirs : intégrer une vitesse donne une distance, intégrer une puissance donne une énergie, intégrer un taux de natalité donne un nombre de naissances.

e) On résout $0{,}25t^{2}=9$, soit $t^{2}=36$, donc $t=6$ minutes, la solution $t=-6$ étant rejetée car hors de l'intervalle $[0;10]$.

Une remarque sur les unités, souvent négligée alors qu'elle rapporte des points et détecte des erreurs. Le débit s'exprime en m³/min et le temps en min ; l'intégrale multiplie donc des m³/min par des min et donne bien des m³, ce qui est cohérent avec un volume ✓. Cette analyse dimensionnelle est le contrôle le plus rapide sur tout problème d'intégration appliquée : si les unités du résultat ne sont pas celles attendues, le calcul est faux avant même d'être vérifié.

a) Faux. L'égalité entre intégrale et aire n'est valable QUE si la fonction est positive sur tout l'intervalle, hypothèse que l'affirmation escamote. Contre-exemple : $\int_{-1}^{0}x^{3}dx=\left[\frac{x^{4}}{4}\right]_{-1}^{0}=0-\frac{1}{4}=-\frac{1}{4}$, une valeur négative. Sur une portion où la courbe passe sous l'axe, l'intégrale compte l'aire NÉGATIVEMENT. La formulation correcte est : pour $f$ positive sur $[a;b]$, l'intégrale égale l'aire sous la courbe ; sinon elle égale l'aire au-dessus de l'axe moins l'aire en dessous.

b) Faux, et le résultat absurde le signale de lui-même : la fonction $\frac{1}{x^{2}}$ est strictement positive partout où elle existe, une intégrale négative est donc impossible. L'erreur de fond est que la fonction n'est pas définie en $0$, or $0$ appartient à l'intervalle $[-1;1]$. Le théorème fondamental exige la CONTINUITÉ sur tout l'intervalle d'intégration : il ne s'applique pas ici, et cette intégrale n'a aucun sens au programme de Terminale. Le réflexe à acquérir est de vérifier le domaine de définition AVANT de poser un crochet, exactement comme on vérifie les valeurs interdites avant de simplifier une fraction.

c) Faux. Si $F$ est une primitive de $f$, alors $F+C$ en est une aussi pour toute constante réelle $C$, puisque la dérivée d'une constante est nulle. Une fonction continue admet donc une INFINITÉ de primitives, qui diffèrent deux à deux d'une constante et dont les courbes se déduisent l'une de l'autre par translation verticale. Ce qui est unique, en revanche, c'est la primitive prenant une valeur imposée en un point donné : c'est tout le rôle de la condition initiale de l'exercice 8, et c'est aussi pourquoi l'intégrale, elle, ne dépend pas du choix de la primitive, la constante s'éliminant dans la soustraction $F(b)-F(a)$.

d) Faux, l'intégrale n'est pas multiplicative. Contre-exemple avec $f(x)=g(x)=x$ sur $[0;1]$ : le membre de gauche vaut $\int_{0}^{1}x^{2}dx=\frac{1}{3}\approx 0{,}333$, alors que le membre de droite vaut $\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}=\frac{1}{4}=0{,}25$. Les deux diffèrent, l'égalité est donc fausse en général.

On retiendra que l'intégrale est LINÉAIRE, ce qui autorise à séparer une somme et à sortir un coefficient constant, mais rien de plus. Elle ne se distribue ni sur un produit, ni sur un quotient, ni sur une composée. C'est d'ailleurs l'absence de règle du produit qui rend nécessaire l'intégration par parties de l'exercice 7 : celle-ci n'est rien d'autre que la formule de dérivation d'un produit lue à l'envers, et elle donne un résultat bien plus subtil qu'une simple multiplication d'intégrales.

a) Sur $[0;1]$, on a $x^{n}\geq 0$ et $\mathrm{e}^{-x}>0$, donc la fonction intégrée est positive sur tout l'intervalle. Les bornes étant dans l'ordre croissant, la POSITIVITÉ de l'intégrale donne $I_{n}\geq 0$. La mention de l'ordre des bornes n'est pas du zèle : c'est elle qui permet d'appliquer la propriété, comme l'a rappelé l'exercice 4.

b) Pour $x\in[0;1]$, on a $-x\leq 0$, donc par croissance de l'exponentielle $\mathrm{e}^{-x}\leq\mathrm{e}^{0}=1$. On multiplie ensuite les deux membres par $x^{n}$, qui est POSITIF sur $[0;1]$, ce qui conserve le sens de l'inégalité : $x^{n}\mathrm{e}^{-x}\leq x^{n}$. La justification du signe du facteur multiplicateur est le point technique que les correcteurs cherchent ici, car multiplier par un nombre négatif renverserait l'inégalité.

c) Par CROISSANCE de l'intégrale, on peut intégrer une inégalité entre deux fonctions sur un même intervalle, à condition que les bornes soient dans l'ordre croissant : $I_{n}\leq\int_{0}^{1}x^{n}dx=\left[\frac{x^{n+1}}{n+1}\right]_{0}^{1}=\frac{1}{n+1}-0=\frac{1}{n+1}$.

d) On dispose donc de l'encadrement $0\leq I_{n}\leq\frac{1}{n+1}$ valable pour tout $n$. Les deux bornes tendent vers $0$ quand $n$ tend vers $+\infty$, donc par le THÉORÈME DES GENDARMES la suite $(I_{n})$ converge vers $0$. On notera que l'objectif est atteint sans avoir jamais calculé $I_{n}$, ce qui était l'enjeu annoncé : encadrer suffit quand on ne cherche qu'une limite.

e) $I_{0}=\int_{0}^{1}\mathrm{e}^{-x}dx=\left[-\mathrm{e}^{-x}\right]_{0}^{1}=-\frac{1}{\mathrm{e}}+1=1-\frac{1}{\mathrm{e}}\approx 0{,}632$. L'encadrement prédit $0\leq I_{0}\leq\frac{1}{0+1}=1$, ce qui est bien vérifié ✓.

On peut aller plus loin et comprendre POURQUOI la limite est nulle, ce qui vaut mieux que d'appliquer le théorème mécaniquement. Sur $[0;1[$, la quantité $x^{n}$ s'écrase vers $0$ quand $n$ grandit, le facteur $\mathrm{e}^{-x}$ restant borné entre $\frac{1}{\mathrm{e}}$ et $1$ : la fonction intégrée devient nulle partout sauf au voisinage immédiat de $1$, et l'aire correspondante s'évanouit. Contrôle numérique de cohérence avec l'exercice 7 : $I_{1}=\int_{0}^{1}x\mathrm{e}^{-x}dx=1-\frac{2}{\mathrm{e}}\approx 0{,}264$, valeur bien inférieure à $I_{0}\approx 0{,}632$ et bien inférieure à sa borne $\frac{1}{2}$ ✓. La suite est d'ailleurs DÉCROISSANTE, puisque $x^{n+1}\leq x^{n}$ sur $[0;1]$, ce qui offre un second chemin vers la convergence : décroissante et minorée par $0$.

a) Une primitive de $\sin$ est $-\cos$ : $\int_{0}^{\pi}\sin x\,dx=\left[-\cos x\right]_{0}^{\pi}=-\cos\pi-(-\cos 0)=1+1=2$. Le signe moins de la primitive est l'erreur classique : avec $\cos$ au lieu de $-\cos$, on trouverait $-2$, une aire négative pour une fonction positive sur $[0\,;\pi]$, ce qui doit alerter.

b) Une primitive de $\cos(2x)$ est $\frac{1}{2}\sin(2x)$, le facteur $\frac{1}{2}$ compensant la dérivée $2$ de la fonction intérieure. $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\cos(2x)\,dx=\left[\frac{\sin(2x)}{2}\right]_{0}^{\frac{\pi}{4}}=\frac{\sin\frac{\pi}{2}}{2}-0=\frac{1}{2}$.

c) Avec $u=x^{2}+1>0$, $u'=2x$ : la fonction vaut $\frac{1}{2}\times\frac{u'}{u}$, de primitive $\frac{1}{2}\ln(x^{2}+1)$. $\int_{0}^{1}\frac{x}{x^{2}+1}\,dx=\frac{1}{2}\ln 2-\frac{1}{2}\ln 1=\frac{\ln 2}{2}\approx 0{,}347$.

d) Avec $u=2x+1$, $u'=2$ : $(2x+1)^{3}=\frac{1}{2}\times u'u^{3}$, de primitive $\frac{1}{2}\times\frac{u^{4}}{4}=\frac{(2x+1)^{4}}{8}$. $\int_{0}^{1}(2x+1)^{3}\,dx=\frac{3^{4}}{8}-\frac{1^{4}}{8}=\frac{81-1}{8}=10$. Développer le cube aurait marché aussi, en quatre fois plus de lignes.