Exercices corrigés : primitives et intégration (Terminale spécialité)

a) $F(x)=x^{3}-2x^{2}+5x$.

b) On écrit $g(x)=x^{-2}$, dont une primitive est $\frac{x^{-1}}{-1}=-\frac{1}{x}$.

c) $H(x)=\ln x$, puisque $x>0$ sur cet intervalle.

d) $K(x)=\mathrm{e}^{x}$.

e) $m(x)=x^{-\frac{1}{2}}$, dont une primitive est $\frac{x^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}}=2\sqrt{x}$.

Dans chaque cas, on peut ajouter une constante arbitraire : les primitives forment une famille, pas une fonction unique.

a) Avec $u=x^{2}+1$ et $u'=2x$, on a la forme $u'u^{3}$ : une primitive est $\frac{(x^{2}+1)^{4}}{4}$.

b) Forme $\frac{u'}{u}$ avec $u=x^{2}+1>0$ : une primitive est $\ln(x^{2}+1)$.

c) Forme $u'\mathrm{e}^{u}$ avec $u=3x-1$ et $u'=3$ : une primitive est $\mathrm{e}^{3x-1}$.

d) On écrit $k(x)=\frac{1}{2}\times 2x\,\mathrm{e}^{x^{2}}$, forme $u'\mathrm{e}^{u}$ à un facteur $\frac{1}{2}$ près : une primitive est $\frac{1}{2}\mathrm{e}^{x^{2}}$.

e) Forme $\frac{u'}{u}$ avec $u=x^{2}+x+3$. Ce trinôme a pour discriminant $1-12=-11<0$ et un coefficient dominant positif : il est strictement positif sur $\mathbb{R}$. Une primitive est donc $\ln(x^{2}+x+3)$.

a) Une primitive est $x^{3}-x^{2}$, donc l'intégrale vaut $(8-4)-(0-0)=4$.

b) Une primitive est $\ln x$, donc l'intégrale vaut $\ln\mathrm{e}-\ln 1=1-0=1$.

c) Une primitive est $\frac{\mathrm{e}^{2x}}{2}$, donc l'intégrale vaut $\frac{\mathrm{e}^{2}}{2}-\frac{1}{2}=\frac{\mathrm{e}^{2}-1}{2}$.

d) Une primitive est $\frac{x^{4}}{4}$, donc l'intégrale vaut $\frac{1}{4}-\frac{1}{4}=0$. La fonction cube est impaire : sur $[-1;0]$ elle est négative et sur $[0;1]$ positive, et les deux contributions se compensent exactement. Le résultat nul ne signifie pas que l'aire est nulle, mais que les deux portions s'annulent.

a) Par la relation de Chasles : $\int_{0}^{5}f=\int_{0}^{3}f+\int_{3}^{5}f=7+(-2)=5$.

b) Inverser les bornes change le signe : $\int_{5}^{0}f=-\int_{0}^{5}f=-5$.

c) Par linéarité : $\int_{0}^{3}(2f(x)+1)dx=2\int_{0}^{3}f(x)\,dx+\int_{0}^{3}1\,dx=2\times 7+3=17$.

d) Non. Une intégrale positive n'impose pas que la fonction le soit : $f$ pourrait être négative sur une partie de $[0;3]$ et suffisamment positive ailleurs pour que le bilan reste égal à 7. L'implication ne fonctionne que dans un sens.

e) Oui. Si $f$ était positive ou nulle sur tout $[3;5]$, alors son intégrale sur cet intervalle serait positive ou nulle. Or elle vaut $-2$. Par contraposée, $f$ prend nécessairement des valeurs strictement négatives sur $[3;5]$.

a) Une primitive est $\frac{x^{3}}{3}$, donc $\int_{0}^{3}x^{2}\,dx=\frac{27}{3}-0=9$.

b) $\mu=\frac{1}{3-0}\int_{0}^{3}x^{2}\,dx=\frac{9}{3}=3$.

c) On résout $c^{2}=3$ avec $c\in[0;3]$ : $c=\sqrt{3}\approx 1{,}732$. La valeur $-\sqrt{3}$ est rejetée car hors de l'intervalle.

d) $\mu$ est la hauteur du rectangle de base $[0;3]$ qui a exactement la même aire que la région sous la courbe : ce rectangle mesure 3 de large et 3 de haut, donc 9 d'aire, ce qui correspond bien à l'intégrale calculée.

a) On résout $x^{2}=2x$, soit $x^{2}-2x=0$, c'est-à-dire $x(x-2)=0$. Les abscisses sont $0$ et $2$.

b) $2x-x^{2}=x(2-x)$. Sur $[0;2]$, les deux facteurs sont positifs ou nuls, donc la différence est positive : la droite $D$ est au-dessus de la parabole $P$.

c) L'aire vaut $\int_{0}^{2}(2x-x^{2})\,dx=\left[x^{2}-\frac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{2}=4-\frac{8}{3}=\frac{12-8}{3}=\frac{4}{3}$. L'aire est donc de $\frac{4}{3}$ centimètre carré, soit environ $1{,}33$ cm$^{2}$.

d) Son calcul est juste, mais il a soustrait dans le mauvais ordre : il a intégré la courbe du dessous moins celle du dessus. Une aire étant toujours positive, il lui suffit de prendre la valeur absolue, ou de recommencer avec la bonne différence. La réponse à donner reste $\frac{4}{3}$.

a) On pose $u(x)=x$ et $v'(x)=\mathrm{e}^{x}$, donc $u'(x)=1$ et $v(x)=\mathrm{e}^{x}$. Alors $\int_{0}^{1}x\mathrm{e}^{x}dx=[x\mathrm{e}^{x}]_{0}^{1}-\int_{0}^{1}\mathrm{e}^{x}dx=\mathrm{e}-[\mathrm{e}^{x}]_{0}^{1}=\mathrm{e}-(\mathrm{e}-1)=1$.

b) On pose $u(x)=\ln x$ et $v'(x)=1$, donc $u'(x)=\frac{1}{x}$ et $v(x)=x$. Alors $\int_{1}^{\mathrm{e}}\ln x\,dx=[x\ln x]_{1}^{\mathrm{e}}-\int_{1}^{\mathrm{e}}x\times\frac{1}{x}dx=\mathrm{e}-0-\int_{1}^{\mathrm{e}}1\,dx=\mathrm{e}-(\mathrm{e}-1)=1$.

c) On pose $u(x)=x$ et $v'(x)=\mathrm{e}^{-x}$, donc $u'(x)=1$ et $v(x)=-\mathrm{e}^{-x}$. Alors $\int_{0}^{1}x\mathrm{e}^{-x}dx=[-x\mathrm{e}^{-x}]_{0}^{1}+\int_{0}^{1}\mathrm{e}^{-x}dx=-\frac{1}{\mathrm{e}}+[-\mathrm{e}^{-x}]_{0}^{1}=-\frac{1}{\mathrm{e}}+\left(1-\frac{1}{\mathrm{e}}\right)=1-\frac{2}{\mathrm{e}}\approx 0{,}2642$.

d) Parce qu'on ne sait pas primitiver $\ln$ directement, mais on sait le dériver. En posant $u=\ln x$, c'est la dérivée $\frac{1}{x}$ qui apparaît dans l'intégrale restante, et elle se simplifie avec le $x$ venant de $v$. Le choix inverse ne mènerait nulle part, puisqu'il faudrait déjà connaître une primitive de $\ln$, ce qui est justement la question posée.

a) Le débit est la vitesse de variation du volume : $V'(t)=d(t)$. La fonction $V$ est donc une primitive de $d$.

b) Les primitives de $d(t)=0{,}5t$ sont $0{,}25t^{2}+C$. La condition $V(0)=0$ donne $C=0$, donc $V(t)=0{,}25t^{2}$.

c) $V(10)=0{,}25\times 100=25$ mètres cubes.

d) $\int_{0}^{10}0{,}5t\,dt=[0{,}25t^{2}]_{0}^{10}=25-0=25$. Les deux méthodes coïncident parce que l'intégrale de $t=0$ à $t=10$ du débit est exactement $V(10)-V(0)$, et que $V(0)=0$. Intégrer un débit sur une durée donne la quantité accumulée pendant cette durée.

e) On résout $0{,}25t^{2}=9$, soit $t^{2}=36$, donc $t=6$ minutes (la solution $-6$ est hors de l'intervalle).

a) Sur $[0;1]$, on a $x^{n}\geq 0$ et $\mathrm{e}^{-x}>0$, donc la fonction intégrée est positive. Les bornes étant dans l'ordre croissant, l'intégrale est positive : $I_{n}\geq 0$.

b) Pour $x\in[0;1]$, on a $-x\leq 0$ donc $\mathrm{e}^{-x}\leq\mathrm{e}^{0}=1$. En multipliant par $x^{n}\geq 0$, qui ne change pas le sens de l'inégalité : $x^{n}\mathrm{e}^{-x}\leq x^{n}$.

c) Par croissance de l'intégrale : $I_{n}\leq\int_{0}^{1}x^{n}dx=\left[\frac{x^{n+1}}{n+1}\right]_{0}^{1}=\frac{1}{n+1}$.

d) On a donc $0\leq I_{n}\leq\frac{1}{n+1}$ pour tout $n$. Les deux bornes tendent vers $0$ quand $n$ tend vers $+\infty$, donc par le théorème des gendarmes la suite $(I_{n})$ converge vers $0$.

e) $I_{0}=\int_{0}^{1}\mathrm{e}^{-x}dx=[-\mathrm{e}^{-x}]_{0}^{1}=1-\frac{1}{\mathrm{e}}\approx 0{,}632$. L'encadrement donne $0\leq I_{0}\leq 1$, ce qui est bien vérifié.

a) Faux. L'égalité entre intégrale et aire n'est valable que si la fonction est positive sur l'intervalle. Contre-exemple : $\int_{-1}^{0}x^{3}dx=-\frac{1}{4}$, une valeur négative. Sur une portion où la courbe est sous l'axe, l'intégrale compte l'aire négativement.

b) Faux, et le résultat absurde le signale : la fonction $\frac{1}{x^{2}}$ est strictement positive, une intégrale négative est donc impossible. L'erreur est que la fonction n'est pas définie en $0$, qui appartient à l'intervalle $[-1;1]$. Le théorème fondamental exige la continuité sur tout l'intervalle : il ne s'applique pas ici, et cette intégrale n'a pas de sens au programme de Terminale.

c) Faux. Si $F$ est une primitive de $f$, alors $F+C$ en est une aussi pour toute constante $C$, puisque la dérivée d'une constante est nulle. Une fonction continue admet donc une infinité de primitives, qui diffèrent deux à deux d'une constante. En revanche, il existe une unique primitive prenant une valeur imposée en un point donné, ce qui est le rôle de la condition initiale.

d) Faux. L'intégrale n'est pas multiplicative. Contre-exemple avec $f(x)=g(x)=x$ sur $[0;1]$ : le membre de gauche vaut $\int_{0}^{1}x^{2}dx=\frac{1}{3}$, alors que le membre de droite vaut $\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}=\frac{1}{4}$. L'intégrale est linéaire, pas multiplicative : c'est justement pour traiter certains produits qu'existe l'intégration par parties.