Exercices corrigés : primitives et intégration (Terminale spécialité)

$F(x)=\frac{x^{4}}{4}-x^{3}+2x$. $F(2)=4-8+4=0$ et $F(-1)=\frac{1}{4}-(-1)+(-2)=-\frac{3}{4}$, donc l'intégrale vaut $0-\left(-\frac{3}{4}\right)=\frac{3}{4}$. Piège : $(-1)^{3}=-1$, donc $-(-1)^{3}=+1$ ; sans parenthèses on écrit $F(-1)=\frac{1}{4}-1-2$ et l'on trouve $\frac{11}{4}$.

$\frac{3}{x^{2}}=3x^{-2}$ a pour primitive $-\frac{3}{x}$ sur $]0\,;+\infty[$. $\left[-\frac{3}{x}\right]_{1}^{4}=-\frac{3}{4}-(-3)=\frac{9}{4}$. Piège : écrire $\frac{3}{x}$ ou $3\ln x$, le signe moins vient de $\left(\frac{1}{x}\right)'=-\frac{1}{x^{2}}$.

$\left(\sqrt{x}\right)'=\frac{1}{2\sqrt{x}}$, donc $\frac{2}{\sqrt{x}}=4\times\frac{1}{2\sqrt{x}}$ a pour primitive $4\sqrt{x}$. $\left[4\sqrt{x}\right]_{1}^{9}=12-4=8$. Piège : la primitive $2\sqrt{x}$, qui oublie le $2$ du dénominateur de la dérivée.

$\left[3\ln x\right]_{1}^{\mathrm{e}^{2}}=3\ln\left(\mathrm{e}^{2}\right)-3\ln 1=3\times 2-0=6$. La borne $\mathrm{e}^{2}$ est choisie pour que $\ln$ se calcule sans machine.

$\left(\mathrm{e}^{ax+b}\right)'=a\,\mathrm{e}^{ax+b}$ avec $a=-\frac{1}{2}$, donc une primitive est $\frac{1}{a}\mathrm{e}^{1-\frac{x}{2}}=-2\,\mathrm{e}^{1-\frac{x}{2}}$. $\left[-2\,\mathrm{e}^{1-\frac{x}{2}}\right]_{0}^{2}=-2\,\mathrm{e}^{0}-\left(-2\,\mathrm{e}^{1}\right)=2\mathrm{e}-2\approx 3{,}437$. Piège : multiplier par $-\frac{1}{2}$ au lieu de diviser, ce qui donne $\frac{\mathrm{e}-1}{2}$.

Une primitive de $\sin(3x)$ est $-\frac{1}{3}\cos(3x)$. $\left[-\frac{1}{3}\cos(3x)\right]_{0}^{\frac{\pi}{6}}=-\frac{1}{3}\cos\frac{\pi}{2}+\frac{1}{3}\cos 0=0+\frac{1}{3}=\frac{1}{3}$. Piège : la primitive $+\frac{1}{3}\cos(3x)$, qui donne $-\frac{1}{3}$ ; la primitive de $\sin$ est $-\cos$.

Une primitive de $\cos\left(2x-\frac{\pi}{3}\right)$ est $\frac{1}{2}\sin\left(2x-\frac{\pi}{3}\right)$. En $\frac{\pi}{2}$, l'argument vaut $\frac{2\pi}{3}$ ; en $0$, il vaut $-\frac{\pi}{3}$. L'intégrale vaut $\frac{1}{2}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}-\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}\approx 0{,}866$. Piège : $\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}$, le sinus est impair.

Avec $u=x^{3}+1$, $u'=3x^{2}$, donc $x^{2}(x^{3}+1)^{3}=\frac{1}{3}u'u^{3}$, de primitive $\frac{1}{3}\times\frac{u^{4}}{4}=\frac{(x^{3}+1)^{4}}{12}$. $\left[\frac{(x^{3}+1)^{4}}{12}\right]_{0}^{1}=\frac{16-1}{12}=\frac{5}{4}$. Piège : oublier le $\frac{1}{3}$, ce qui donne $\frac{15}{4}$ ; développer $(x^{3}+1)^{3}$ marche aussi mais coûte quatre termes.

Avec $u=x^{2}+2x$, $u'=2x+2=2(x+1)$, donc $\frac{x+1}{x^{2}+2x}=\frac{1}{2}\cdot\frac{u'}{u}$, de primitive $\frac{1}{2}\ln\left(x^{2}+2x\right)$ sur $[1\,;3]$, où $u>0$. L'intégrale vaut $\frac{1}{2}(\ln 15-\ln 3)=\frac{1}{2}\ln 5\approx 0{,}805$. Piège : oublier le $\frac{1}{2}$, ce qui donne $\ln 5\approx 1{,}609$.

Avec $u=\sqrt{x}$, $u'=\frac{1}{2\sqrt{x}}$, donc $\frac{\mathrm{e}^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}=2u'\mathrm{e}^{u}$, de primitive $2\,\mathrm{e}^{\sqrt{x}}$. $\left[2\,\mathrm{e}^{\sqrt{x}}\right]_{1}^{4}=2\mathrm{e}^{2}-2\mathrm{e}\approx 9{,}342$. Piège : la primitive $\mathrm{e}^{\sqrt{x}}$ seule, qui vaut la moitié.

Linéarité : une primitive est $\mathrm{e}^{x}-\mathrm{e}^{-x}$, le moins venant de $\left(\mathrm{e}^{-x}\right)'=-\mathrm{e}^{-x}$. En $\ln 2$ : $2-\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$ ; en $0$ : $1-1=0$. L'intégrale vaut $\frac{3}{2}$. Piège : la primitive $\mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{-x}$, qui donne $\frac{1}{2}$.

$\mu=\frac{1}{3-0}\int_{0}^{3}\frac{dx}{(x+1)^{2}}$. Une primitive de $(x+1)^{-2}$ est $-\frac{1}{x+1}$, donc l'intégrale vaut $-\frac{1}{4}+1=\frac{3}{4}$ et $\mu=\frac{1}{3}\times\frac{3}{4}=\frac{1}{4}$. Piège : donner l'intégrale $\frac{3}{4}$ sans la diviser par la longueur de l'intervalle.

On remonte la règle $\left(x^{n}\right)'=nx^{n-1}$ à l'envers, ce qui donne $\int x^{n}=\frac{x^{n+1}}{n+1}$ : $F(x)=x^{3}-2x^{2}+5x$. Contrôle immédiat par dérivation : $F'(x)=3x^{2}-4x+5$ ✓, et ce contrôle vaut pour les cinq questions.

On réécrit d'abord en puissance, car la règle ne s'applique qu'à cette forme : $g(x)=x^{-2}$, dont une primitive est $\frac{x^{-2+1}}{-2+1}=\frac{x^{-1}}{-1}=-\frac{1}{x}$. Le signe moins est l'erreur la plus fréquente de tout le chapitre, et la dérivation le confirme : $\left(-\frac{1}{x}\right)'=\frac{1}{x^{2}}$ ✓.

$H(x)=\ln x$, puisque $x>0$ sur cet intervalle. C'est ici que la règle des puissances TOMBE EN PANNE : elle donnerait $\frac{x^{0}}{0}$, une division par zéro. L'exposant $-1$ est le seul cas exclu, et c'est précisément le trou que le logarithme vient combler. L'intervalle compte : sur $]-\infty;0[$, une primitive serait $\ln(-x)$ et non $\ln x$, qui n'y est pas défini.

$K(x)=\mathrm{e}^{x}$, la fonction exponentielle étant sa propre dérivée, donc sa propre primitive. C'est le seul cas, à la multiplication par une constante près.

On réécrit encore en puissance : $m(x)=x^{-\frac{1}{2}}$, dont une primitive est $\frac{x^{-\frac{1}{2}+1}}{-\frac{1}{2}+1}=\frac{x^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}}=2\sqrt{x}$. Le facteur $2$ surprend souvent : il vient de la division par $\frac{1}{2}$, qui revient à multiplier par $2$.

Avec $u=x^{2}+1$ et $u'=2x$, l'expression est exactement de la forme $u'u^{3}$, dont une primitive est $\frac{u^{4}}{4}$ : on obtient $\frac{(x^{2}+1)^{4}}{4}$. La méthode est toujours la même, il faut la ritualiser : on repère le $u$ candidat, qui est le contenu de la parenthèse ou du dénominateur, on calcule $u'$, puis on vérifie que ce $u'$ figure bien en facteur.

Forme $\frac{u'}{u}$ avec $u=x^{2}+1$, dont une primitive est $\ln u$ : on obtient $\ln(x^{2}+1)$. La condition $u>0$ est ici satisfaite car $x^{2}+1\geq 1$, et elle n'est pas facultative : sans elle, la primitive serait $\ln|u|$, écriture hors programme en Terminale, et surtout la fonction ne serait pas définie partout.

Forme $u'\mathrm{e}^{u}$ avec $u=3x-1$ et $u'=3$ : une primitive est $\mathrm{e}^{3x-1}$. Le facteur $3$ de l'énoncé n'est pas décoratif, c'est lui qui rend la reconnaissance exacte ; sans lui, il aurait fallu compenser, comme à la question suivante.

Ici le facteur ne colle pas : avec $u=x^{2}$ on a $u'=2x$, alors que l'énoncé ne propose que $x$. On AJUSTE en écrivant $k(x)=\frac{1}{2}\times 2x\,\mathrm{e}^{x^{2}}$, ce qui rétablit la forme au facteur $\frac{1}{2}$ près : une primitive est $\frac{1}{2}\mathrm{e}^{x^{2}}$. Cette manipulation, qui consiste à faire apparaître la constante manquante et à compenser par son inverse, est le geste le plus rentable du chapitre. Attention, elle ne fonctionne QUE pour une constante : si le facteur manquant dépendait de $x$, aucun ajustement de ce type ne serait possible.

Forme $\frac{u'}{u}$ avec $u=x^{2}+x+3$, dont la dérivée est bien $2x+1$. Reste à justifier la stricte positivité, car c'est la partie que les copies oublient : le discriminant vaut $\Delta=1^{2}-4\times 1\times 3=1-12=-11<0$ et le coefficient dominant est positif, donc le trinôme ne s'annule jamais et reste strictement positif sur $\mathbb{R}$. Une primitive est donc $\ln(x^{2}+x+3)$.

Une primitive de $3x^{2}-2x$ est $x^{3}-x^{2}$, donc $\int_{0}^{2}(3x^{2}-2x)dx=\left[x^{3}-x^{2}\right]_{0}^{2}=(8-4)-(0-0)=4$. Le crochet n'est pas une décoration : il rappelle qu'il faut évaluer en la borne HAUTE moins la borne BASSE, dans cet ordre, et l'inversion des deux est l'erreur de signe la plus courante.

Une primitive de $\frac{1}{x}$ sur $[1;\mathrm{e}]$, intervalle où $x>0$, est $\ln x$ : l'intégrale vaut $\ln\mathrm{e}-\ln 1=1-0=1$. Ce résultat mérite d'être retenu, car il donne la définition géométrique du nombre $\mathrm{e}$ : c'est l'abscisse pour laquelle l'aire sous l'hyperbole, à partir de $1$, vaut exactement $1$.

Forme $u'\mathrm{e}^{u}$ à ajuster, comme à l'exercice 2 : une primitive de $\mathrm{e}^{2x}$ est $\frac{\mathrm{e}^{2x}}{2}$, donc l'intégrale vaut $\frac{\mathrm{e}^{2}}{2}-\frac{\mathrm{e}^{0}}{2}=\frac{\mathrm{e}^{2}-1}{2}\approx 3{,}195$. Contrôle de plausibilité : la fonction croît de $1$ à $\mathrm{e}^{2}\approx 7{,}39$ sur un intervalle de largeur $1$, l'aire doit donc se situer entre ces deux valeurs, et $3{,}195$ y est ✓.

Une primitive est $\frac{x^{4}}{4}$, donc l'intégrale vaut $\frac{1}{4}-\frac{(-1)^{4}}{4}=\frac{1}{4}-\frac{1}{4}=0$. La fonction cube est IMPAIRE : sur $[-1;0]$ elle est négative et sur $[0;1]$ positive, et les deux contributions, égales en valeur absolue, se compensent exactement. Le résultat nul ne signifie donc PAS que l'aire est nulle : l'aire géométrique vaut $\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}$, mais l'intégrale, elle, fait un BILAN SIGNÉ.

Par la relation de CHASLES, qui permet de recoller deux intervalles adjacents : $\int_{0}^{5}f=\int_{0}^{3}f+\int_{3}^{5}f=7+(-2)=5$. Remarquez que la borne intermédiaire $3$ est commune aux deux morceaux, condition indispensable pour appliquer la relation.

Inverser les bornes change le signe : $\int_{5}^{0}f=-\int_{0}^{5}f=-5$. Cette convention n'est pas gratuite, c'est exactement elle qui rend Chasles valable même quand les bornes ne sont pas dans l'ordre croissant.

Par LINÉARITÉ, on sépare la somme et on sort le coefficient : $\int_{0}^{3}(2f(x)+1)dx=2\int_{0}^{3}f(x)dx+\int_{0}^{3}1\,dx=2\times 7+3=17$. L'intégrale de la fonction constante $1$ sur $[0;3]$ vaut la LARGEUR de l'intervalle, soit $3$, ce qui s'interprète comme l'aire d'un rectangle de hauteur $1$. C'est l'oubli de ce terme, ou son remplacement par $1$, qui coûte le plus de points ici.

Non. Une intégrale positive n'impose nullement que la fonction le soit : $f$ pourrait plonger sous l'axe sur une partie de $[0;3]$ et compenser largement ailleurs pour que le bilan reste égal à $7$. L'implication ne fonctionne que dans un sens : positive sur l'intervalle entraîne intégrale positive, jamais la réciproque.

Oui, et c'est la CONTRAPOSÉE de cette même implication. Si $f$ était positive ou nulle sur tout $[3;5]$, son intégrale sur cet intervalle serait positive ou nulle. Or elle vaut $-2<0$. Donc $f$ prend nécessairement des valeurs strictement négatives quelque part sur $[3;5]$.

Une primitive de $x^{2}$ est $\frac{x^{3}}{3}$, donc $\int_{0}^{3}x^{2}dx=\left[\frac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{3}=\frac{27}{3}-0=9$.

Par définition, la valeur moyenne est l'intégrale divisée par la LONGUEUR de l'intervalle : $\mu=\frac{1}{3-0}\int_{0}^{3}x^{2}dx=\frac{9}{3}=3$. Oublier ce diviseur, et donc confondre valeur moyenne et intégrale, est l'erreur classique ; la formule est exactement celle d'une moyenne ordinaire, une somme divisée par un effectif, mais avec une infinité de valeurs.

On résout $c^{2}=3$ avec la contrainte $c\in[0;3]$ : $c=\sqrt{3}\approx 1{,}732$. La solution $-\sqrt{3}$ est rejetée car elle sort de l'intervalle, et cette vérification fait partie de la réponse. L'existence d'un tel $c$ n'est pas un hasard : c'est le théorème de la moyenne, conséquence directe du théorème des valeurs intermédiaires, puisque $f$ est continue et que $\mu$ est comprise entre le minimum $0$ et le maximum $9$ de $f$ sur $[0;3]$.

Le nombre $\mu$ est la hauteur du RECTANGLE de base $[0;3]$ qui aurait exactement la même aire que la région sous la courbe : ce rectangle mesure $3$ de large et $3$ de haut, donc $9$ d'aire, ce qui correspond bien à l'intégrale calculée en a). Autrement dit, on aplatit la région en un rectangle de même aire, et la valeur moyenne en est la hauteur.

On résout $x^{2}=2x$, soit $x^{2}-2x=0$, c'est-à-dire $x(x-2)=0$. Les abscisses d'intersection sont $0$ et $2$. On factorise, on ne divise pas par $x$ : diviser ferait perdre la solution $x=0$, qui est justement l'une des deux bornes.

$2x-x^{2}=x(2-x)$. Sur $[0;2]$, les deux facteurs sont positifs ou nuls, donc la différence est positive : la DROITE $D$ est au-dessus de la parabole $P$. Cette étude de signe n'est pas une formalité administrative, c'est elle qui fixe l'ordre de la soustraction à la question suivante.

L'aire s'obtient en intégrant « celle du dessus moins celle du dessous » : $\int_{0}^{2}(2x-x^{2})dx=\left[x^{2}-\frac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{2}=\left(4-\frac{8}{3}\right)-0=\frac{12-8}{3}=\frac{4}{3}$. Le repère étant orthonormé d'unité $1$ cm, l'unité d'aire vaut $1$ cm$^{2}$ et l'aire cherchée est de $\frac{4}{3}$ cm$^{2}$, soit environ $1{,}33$ cm$^{2}$. Contrôle : la région est contenue dans le rectangle $[0;2]\times[0;4]$, d'aire $8$, et elle en occupe visiblement une petite part ✓.