Exercice 0.1 : Résoudre y' = ay + b avec une condition initiale : dix calculs directs

Pour chaque équation différentielle, d'inconnue une fonction $y$ dérivable sur $\mathbb{R}$ , déterminez la solution qui vérifie la condition donnée, puis calculez la valeur demandée.

Une seule méthode pour les dix lignes : mettre l'équation sous la forme $y'=ay+b$ en isolant $y'$ ; écrire la solution constante $-\frac{b}{a}$ , puis toutes les solutions, $y=C\mathrm{e}^{ax}-\frac{b}{a}$ ; fixer $C$ par la condition initiale, en remplaçant $x$ par la valeur donnée, qui n'est pas toujours $0$ . Pour $y'=f(x)$ , on cherche une primitive de $f$ , et la constante se fixe de la même façon.

a) $y'=1{,}5y$ avec $y(0)=4$ , puis $y(2)$ .
b) $y'=-3y$ avec $y(0)=2$ , puis $y(0{,}5)$ .
c) $y'+4y=0$ avec $y(0)=-1$ , puis $y(0{,}25)$ .
d) $y'=4x^{3}-6x+1$ avec $y(1)=3$ , puis $y(2)$ .
e) $y'=-4y+10$ : la valeur de la solution constante.
f) $y'=3y-12$ avec $y(0)=5$ , puis $y(1)$ .
g) $y'=-5y+20$ avec $y(0)=1$ , puis $y(0{,}2)$ .
h) $3y'+2y=6$ avec $y(0)=0$ , puis $y(3)$ .
i) $y'=2y+4$ avec $y(1)=0$ , puis $y(0)$ .
j) $y'=0{,}5y-3$ avec $y(0)=6$ , puis $y(10)$ .

Tape tes réponses, la page te dit juste ou faux 0/10

a)

y(2)

b)

y(0{,}5)

c)

y(0{,}25)

d)

y(2)

e)

Solution constante

f)

y(1)

g)

y(0{,}2)

h)

y(3)

i)

y(0)

j)

y(10)

Voir la correction

Réponses

a) $y(x)=4\mathrm{e}^{1{,}5x}$ ; $y(2)=4\mathrm{e}^{3}\approx 80{,}342$
b) $y(x)=2\mathrm{e}^{-3x}$ ; $y(0{,}5)=2\mathrm{e}^{-1{,}5}\approx 0{,}446$
c) $y(x)=-\mathrm{e}^{-4x}$ ; $y(0{,}25)=-\mathrm{e}^{-1}\approx-0{,}368$
d) $y(x)=x^{4}-3x^{2}+x+4$ ; $y(2)=10$
e) $y=\frac{5}{2}$
f) $y(x)=\mathrm{e}^{3x}+4$ ; $y(1)=\mathrm{e}^{3}+4\approx 24{,}086$
g) $y(x)=4-3\mathrm{e}^{-5x}$ ; $y(0{,}2)=4-3\mathrm{e}^{-1}\approx 2{,}896$
h) $y(x)=3-3\mathrm{e}^{-\frac{2}{3}x}$ ; $y(3)=3-3\mathrm{e}^{-2}\approx 2{,}594$
i) $y(x)=2\mathrm{e}^{2x-2}-2$ ; $y(0)=2\mathrm{e}^{-2}-2\approx-1{,}729$
j) $y(x)=6$ ; $y(10)=6$

Le geste qui décide de tout : lire $a$ et $b$ sur l'équation écrite SOUS LA FORME $y'=ay+b$ , et seulement sous cette forme. Une équation $y'+4y=0$ a pour coefficient $a=-4$ , une équation $3y'+2y=6$ a pour coefficients $a=-\frac{2}{3}$ et $b=2$ : lire avant d'isoler $y'$ fausse tout le reste.

a)

Les solutions de $y'=1{,}5y$ sont $y=C\mathrm{e}^{1{,}5x}$ , et $y(0)=C=4$ . Donc $y(x)=4\mathrm{e}^{1{,}5x}$ et $y(2)=4\mathrm{e}^{3}\approx 80{,}342$ .

b)

$y=C\mathrm{e}^{-3x}$ et $y(0)=C=2$ . Donc $y(x)=2\mathrm{e}^{-3x}$ et $y(0{,}5)=2\mathrm{e}^{-1{,}5}\approx 0{,}446$ .

c)

$y'+4y=0$ s'écrit $y'=-4y$ : $y=C\mathrm{e}^{-4x}$ , et $y(0)=C=-1$ . Donc $y(x)=-\mathrm{e}^{-4x}$ et $y(0{,}25)=-\mathrm{e}^{-1}\approx-0{,}368$ . Piège : lire $a=4$ sur $y'+4y=0$ ; le terme passe de l'autre côté avec son signe.

d)

Ici l'inconnue n'apparaît que par $y'$ : on cherche une primitive, $y(x)=x^{4}-3x^{2}+x+C$ . Puis $y(1)=1-3+1+C=-1+C=3$ , donc $C=4$ . Ainsi $y(x)=x^{4}-3x^{2}+x+4$ et $y(2)=16-12+2+4=10$ . Piège : oublier la constante, ou la fixer comme si la condition était donnée en $0$ .

e)

Une fonction constante $c$ a une dérivée nulle : $0=-4c+10$ , donc $c=\frac{10}{4}=\frac{5}{2}=2{,}5$ . C'est bien $-\frac{b}{a}=-\frac{10}{-4}$ . Piège : écrire $-\frac{b}{a}$ sans garder le signe de $a$ , et trouver $-2{,}5$ .

f)

Solution constante : $3c-12=0$ , $c=4$ . Donc $y=C\mathrm{e}^{3x}+4$ , et $y(0)=C+4=5$ donne $C=1$ . Ainsi $y(x)=\mathrm{e}^{3x}+4$ et $y(1)=\mathrm{e}^{3}+4\approx 24{,}086$ . Piège : écrire $y=C\mathrm{e}^{3x}-12$ , en recopiant $b$ à la place de $-\frac{b}{a}$ .

g)

Solution constante : $-5c+20=0$ , $c=4$ . Donc $y=C\mathrm{e}^{-5x}+4$ , et $y(0)=C+4=1$ donne $C=-3$ . Ainsi $y(x)=4-3\mathrm{e}^{-5x}$ et $y(0{,}2)=4-3\mathrm{e}^{-1}\approx 2{,}896$ . La constante $C$ est négative : la solution part SOUS l'équilibre et y monte.

h)

On isole $y'$ : $3y'=-2y+6$ , soit $y'=-\frac{2}{3}y+2$ . Solution constante : $c=3$ . Donc $y=C\mathrm{e}^{-\frac{2}{3}x}+3$ , et $y(0)=C+3=0$ donne $C=-3$ . Ainsi $y(x)=3-3\mathrm{e}^{-\frac{2}{3}x}$ et $y(3)=3-3\mathrm{e}^{-2}\approx 2{,}594$ . Piège : prendre $a=-2$ et $b=6$ sans diviser par $3$ .

i)

Solution constante : $2c+4=0$ , $c=-2$ . Donc $y=C\mathrm{e}^{2x}-2$ , et la condition est donnée en $1$ : $y(1)=C\mathrm{e}^{2}-2=0$ , d'où $C=2\mathrm{e}^{-2}$ . Ainsi $y(x)=2\mathrm{e}^{2x-2}-2$ et $y(0)=2\mathrm{e}^{-2}-2\approx-1{,}729$ . Piège : écrire $C-2=0$ comme si $x$ valait $0$ , ce qui donne $C=2$ et $y(0)=0$ .

j)

Solution constante : $0{,}5c-3=0$ , $c=6$ . La condition initiale vaut justement $6$ : $y(0)=C+6=6$ donne $C=0$ , et la solution est la fonction constante $y=6$ . Donc $y(10)=6$ . Piège : chercher une croissance exponentielle, alors que la solution est posée sur l'équilibre et y reste.

Contrôle : la fonction trouvée doit vérifier la condition initiale ET l'équation. On dérive, et l'on compare $y'(x)$ à $ay(x)+b$ : en h), $y'(x)=2\mathrm{e}^{-\frac{2}{3}x}$ et $-\frac{2}{3}\left(3-3\mathrm{e}^{-\frac{2}{3}x}\right)+2=2\mathrm{e}^{-\frac{2}{3}x}$ . Les deux membres coïncident.

Coche ici les exercices faits ou à revoir : un compte gratuit, sans mot de passe, retient tes coches et tes réponses justes d'une visite à l'autre, te dit quel chapitre attaquer ensuite et te permet de demander l'exercice qui te manque. Crée ton espace, un courriel suffit.

Exercice 1 : Vérifier qu'une fonction est solution

Dans chaque cas, dites si la fonction proposée est solution de l'équation différentielle donnée sur $\mathbb{R}$ , en détaillant le calcul.

a) $f(x)=3\mathrm{e}^{2x}$ et l'équation $y'=2y$ .
b) $g(x)=5\mathrm{e}^{-0{,}4x}+7$ et l'équation $y'=-0{,}4y+2{,}8$ .
c) $h(x)=x\mathrm{e}^{x}$ et l'équation $y'=y+\mathrm{e}^{x}$ .
d) $k(x)=x^{2}$ et l'équation $y'=2y$ .

Voir la correction

Réponses

a) Oui
b) Oui
c) Oui
d) Non : l'égalité ne vaut qu'en $0$ et $1$

a)

$f'(x)=3\times 2\mathrm{e}^{2x}=6\mathrm{e}^{2x}$ et $2f(x)=2\times 3\mathrm{e}^{2x}=6\mathrm{e}^{2x}$ . Les deux expressions coïncident pour TOUT réel $x$ : $f$ est solution. La méthode est toujours la même et ne demande aucune astuce : on calcule les deux membres séparément et l'on compare, sans jamais chercher à résoudre.

b)

$g'(x)=5\times(-0{,}4)\mathrm{e}^{-0{,}4x}=-2\mathrm{e}^{-0{,}4x}$ , la constante $7$ disparaissant à la dérivation. D'autre part $-0{,}4g(x)+2{,}8=-0{,}4\left(5\mathrm{e}^{-0{,}4x}+7\right)+2{,}8=-2\mathrm{e}^{-0{,}4x}-2{,}8+2{,}8=-2\mathrm{e}^{-0{,}4x}$ . Égalité pour tout $x$ : $g$ est solution. Le nombre $7$ n'est pas quelconque, on vérifie que $7=-\frac{2{,}8}{-0{,}4}=-\frac{b}{a}$ : c'est la solution particulière CONSTANTE, autour de laquelle tout le chapitre s'organise.

c)

$h'(x)=1\times\mathrm{e}^{x}+x\mathrm{e}^{x}=(1+x)\mathrm{e}^{x}$ par la formule du produit, et $h(x)+\mathrm{e}^{x}=x\mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{x}=(1+x)\mathrm{e}^{x}$ . Égalité pour tout $x$ : $h$ est solution. Notez que cette équation n'est PAS du type $y'=ay+b$ , son second membre dépendant de $x$ ; on ne saurait donc pas la résoudre au programme de Terminale, mais on sait parfaitement vérifier qu'une fonction donnée en est solution. Vérifier et résoudre sont deux compétences distinctes, et la première est toujours accessible.

d)

$k'(x)=2x$ et $2k(x)=2x^{2}$ . L'égalité $2x=2x^{2}$ équivaut à $2x(1-x)=0$ , donc elle n'a lieu qu'en $x=0$ et en $x=1$ . Or une fonction n'est solution que si l'égalité vaut sur TOUT l'intervalle : $k$ n'est donc pas solution. Vérifier en un seul point ne prouve rien, et c'est exactement le piège de la question : un élève qui teste $x=1$ et trouve $2=2$ conclura à tort.

Deux réflexes à installer dès cet exercice, car ils resserviront constamment. D'abord, une équation différentielle est une relation entre une fonction et sa dérivée qui doit être satisfaite PARTOUT sur l'intervalle considéré ; un contre-exemple en un seul point suffit à démolir, une vérification en un seul point ne prouve rien. Ensuite, dans une équation $y'=ay+b$ , la constante $-\frac{b}{a}$ est toujours solution, ce que la question b) illustre et que l'exercice 4 démontrera : c'est la valeur d'ÉQUILIBRE, celle pour laquelle la dérivée s'annule et où rien ne bouge plus.

Exercice 2 : Résoudre en cherchant une primitive

Résolvez chaque équation différentielle sur l'intervalle indiqué, puis déterminez l'unique solution vérifiant la condition donnée.

a) $y'=3x^{2}-4x+1$ sur $\mathbb{R}$ , avec $y(0)=2$ .
b) $y'=\frac{1}{x}$ sur $]0\ ;\ +\infty[$ , avec $y(1)=0$ .
c) $y'=\mathrm{e}^{-2x}$ sur $\mathbb{R}$ , avec $y(0)=1$ .
d) $y'=\frac{2x}{x^{2}+1}$ sur $\mathbb{R}$ , avec $y(0)=5$ .

Voir la correction

Réponses

a) $y(x)=x^{3}-2x^{2}+x+2$
b) $y(x)=\ln x$
c) $y(x)=\frac{3}{2}-\frac{1}{2}e^{-2x}$
d) $y(x)=\ln(x^{2}+1)+5$

a)

Quand l'équation s'écrit $y'=\varphi(x)$ , sans $y$ au second membre, résoudre revient simplement à PRIMITIVER : $y(x)=x^{3}-2x^{2}+x+C$ . La condition $y(0)=0-0+0+C=2$ donne $C=2$ , d'où l'unique solution $y(x)=x^{3}-2x^{2}+x+2$ .

b)

$y(x)=\ln x+C$ sur $]0\,;\,+\infty[$ , intervalle sur lequel $\frac{1}{x}$ admet bien $\ln$ pour primitive. Avec $y(1)=\ln 1+C=0+C=0$ , on obtient $C=0$ et $y(x)=\ln x$ . La restriction à $]0\,;\,+\infty[$ n'est pas décorative : sur $]-\infty\,;\,0[$ la primitive serait $\ln(-x)$ , et les deux intervalles doivent être traités séparément puisqu'ils ne se rejoignent pas.

c)

Une primitive de $\mathrm{e}^{-2x}$ est $-\frac{1}{2}\mathrm{e}^{-2x}$ , donc $y(x)=-\frac{1}{2}\mathrm{e}^{-2x}+C$ . La condition $y(0)=-\frac{1}{2}+C=1$ donne $C=\frac{3}{2}$ , d'où $y(x)=\frac{3}{2}-\frac{1}{2}\mathrm{e}^{-2x}$ . Le facteur $-\frac{1}{2}$ vient de ce que la dérivée de $-2x$ vaut $-2$ , qu'il faut compenser ; l'oublier est l'erreur la plus fréquente du chapitre, et elle se détecte en une ligne par dérivation.

d)

On reconnaît la forme $\frac{u'}{u}$ avec $u=x^{2}+1$ , dont la dérivée est bien $2x$ et qui est strictement positif sur $\mathbb{R}$ : $y(x)=\ln(x^{2}+1)+C$ . Avec $y(0)=\ln 1+C=C=5$ , on obtient $y(x)=\ln(x^{2}+1)+5$ .

Ce premier type d'équation ne demande donc rien d'autre que le chapitre des primitives, mais il installe la structure que l'on retrouvera partout. L'ensemble des solutions forme une FAMILLE à un paramètre, dont les courbes se déduisent les unes des autres par translation verticale, et la condition initiale sélectionne exactement une courbe de la famille. Une seule condition suffit, et il n'en faut pas deux, comme l'exercice 9 le rappellera : une équation du premier ordre n'introduit qu'une seule constante d'intégration.

Exercice 3 : L'équation homogène

On rappelle que les solutions de $y'=ay$ sur $\mathbb{R}$ sont les fonctions $x\mapsto C\mathrm{e}^{ax}$ .

a) Résolvez $y'=3y$ , puis donnez la solution vérifiant $y(0)=-2$ .
b) Résolvez $y'+5y=0$ avec $y(0)=2$ .
c) Une population vérifie $P'=0{,}25P$ avec $P(0)=100$ , le temps étant en années. Au bout de combien d'années la population a-t-elle doublé ?
d) Une masse de matière radioactive vérifie $m'=-0{,}1m$ , le temps étant en jours. Calculez sa demi-vie, puis vérifiez qu'elle ne dépend pas de la masse initiale.

Voir la correction

Réponses

a) $y(x)=Ce^{3x}$ ; $y(x)=-2e^{3x}$
b) $y(x)=2e^{-5x}$
c) $t=\frac{\ln 2}{0{,}25}\approx 2{,}77$ ans
d) $T=\frac{\ln 2}{0{,}1}\approx 6{,}93$ jours, indépendante de $m_{0}$

a)

Les solutions sont $y(x)=C\mathrm{e}^{3x}$ , le coefficient $3$ allant dans l'EXPOSANT et non devant. La condition $y(0)=C\mathrm{e}^{0}=C=-2$ donne $y(x)=-2\mathrm{e}^{3x}$ . On remarquera que $C$ est toujours la valeur en $0$ , ce qui rend l'identification immédiate quand la condition est donnée en ce point.

b)

L'équation $y'+5y=0$ doit d'abord être RÉÉCRITE sous la forme canonique $y'=-5y$ , le terme $+5y$ changeant de signe en passant de l'autre côté. Les solutions sont donc $y(x)=C\mathrm{e}^{-5x}$ , et $y(0)=C=2$ donne $y(x)=2\mathrm{e}^{-5x}$ . Ce changement de signe est l'erreur classique, et un contrôle la détecte : la solution doit DÉCROÎTRE, puisque plus $y$ est grand, plus $y'$ est négatif.

c)

La solution s'écrit $P(t)=100\mathrm{e}^{0{,}25t}$ , et l'on cherche $t$ tel que $P(t)=200$ , c'est-à-dire $\mathrm{e}^{0{,}25t}=2$ . On applique le logarithme, opération licite car l'exponentielle est strictement positive : $0{,}25t=\ln 2$ , donc $t=\frac{\ln 2}{0{,}25}\approx 2{,}77$ années, soit environ $2$ ans et $9$ mois.

d)

$m(t)=m_{0}\mathrm{e}^{-0{,}1t}$ . La demi-vie $T$ vérifie $m_{0}\mathrm{e}^{-0{,}1T}=\frac{m_{0}}{2}$ , et $m_{0}>0$ SE SIMPLIFIE des deux côtés : $\mathrm{e}^{-0{,}1T}=\frac{1}{2}$ , donc $-0{,}1T=\ln\frac{1}{2}=-\ln 2$ et $T=\frac{\ln 2}{0{,}1}\approx 6{,}93$ jours. La masse initiale disparaît du calcul, ce qui explique que la demi-vie caractérise le NOYAU et non l'échantillon : un gramme et une tonne du même isotope se désintègrent au même rythme relatif.

Les questions c) et d) reposent sur la même formule, qu'il vaut mieux comprendre une fois que mémoriser deux fois. Le temps de doublement d'une croissance de taux $a>0$ vaut $\frac{\ln 2}{a}$ , et la demi-vie d'une décroissance de taux $-a$ vaut également $\frac{\ln 2}{a}$ : c'est le même nombre, parce que $\ln 2$ mesure indifféremment un doublement ou une division par deux, au signe près. On en tire une règle mentale utile, dite règle de $70$ : puisque $\ln 2\approx 0{,}693\approx 0{,}70$ , un taux de $5\ \%$ par an double en environ $\frac{70}{5}=14$ ans, un taux de $7\ \%$ en $10$ ans. Le calcul exact donnerait $13{,}86$ ans pour $5\ \%$ ✓.

Exercice 4 : L'équation avec second membre constant

Pour chaque équation, déterminez d'abord la solution particulière constante, puis l'ensemble des solutions, puis celle qui vérifie la condition initiale.

a) $y'=2y+6$ .
b) $y'=-0{,}5y+4$ avec $y(0)=2$ . Donnez la limite de la solution en $+\infty$ .
c) Reprenez l'équation de b) avec $y(0)=12$ , et comparez les deux comportements.
d) Démontrez que si $y_{0}=-\frac{b}{a}$ , alors la solution est constante.

Voir la correction

Réponses

a) $y(x)=Ce^{2x}-3$
b) $y(x)=8-6e^{-0{,}5x}$ , limite $8$
c) $y(x)=8+4e^{-0{,}5x}$ , décroît vers $8$
d) La constante $-\frac{b}{a}$ est solution ; par unicité, c'est la seule

a)

On cherche d'abord la solution CONSTANTE $y=k$ , dont la dérivée est nulle : $0=2k+6$ , soit $k=-3$ . Les solutions sont alors $y(x)=C\mathrm{e}^{2x}-3$ , c'est-à-dire la solution générale de l'équation homogène $y'=2y$ à laquelle on AJOUTE la constante trouvée.

b)

La constante vérifie $0=-0{,}5k+4$ , soit $k=8$ . Les solutions sont $y(x)=C\mathrm{e}^{-0{,}5x}+8$ , et la condition $y(0)=C+8=2$ donne $C=-6$ , d'où $y(x)=-6\mathrm{e}^{-0{,}5x}+8$ . Comme $-0{,}5<0$ , on a $\mathrm{e}^{-0{,}5x}\to 0$ en $+\infty$ et donc $\lim_{x\to+\infty}y(x)=8$ , la solution montant depuis $2$ vers cette valeur sans jamais l'atteindre.

c)

La constante $8$ est la même, seule change la valeur de $C$ : ici $C=12-8=4$ et $y(x)=4\mathrm{e}^{-0{,}5x}+8$ . La limite est encore $8$ , mais la solution DÉCROÎT depuis $12$ . Les deux courbes de b) et c) encadrent donc la droite d'équation $y=8$ et s'en approchent par des côtés opposés : cette droite est un ÉQUILIBRE STABLE, vers lequel toute solution converge quelle que soit sa valeur de départ.

d)

Si $y$ est la fonction constante égale à $-\frac{b}{a}$ , alors $y'=0$ d'une part, et $ay+b=a\times\left(-\frac{b}{a}\right)+b=-b+b=0$ d'autre part. L'équation est donc vérifiée, cette constante est bien solution, et elle vaut $y_{0}$ en $0$ par hypothèse. Par UNICITÉ de la solution vérifiant une condition initiale donnée, c'est la seule qui convienne : la solution est constante.

Le schéma général vaut d'être formulé une fois pour toutes, car il gouverne les exercices 6 à 10. La solution s'écrit $y(x)=\underbrace{-\frac{b}{a}}_{\text{équilibre}}+\underbrace{C\mathrm{e}^{ax}}_{\text{écart à l'équilibre}}$ , et l'écart à l'équilibre suit exactement l'équation homogène. Le SIGNE de $a$ décide alors de tout. Si $a<0$ , l'écart s'efface et l'équilibre est stable, attirant toutes les solutions : c'est le cas du café qui refroidit, du parachutiste et de la cuve de saumure. Si $a>0$ , l'écart s'amplifie et l'équilibre est instable, repoussant toutes les solutions : c'est le cas du lac de l'exercice 10, où une population légèrement inférieure au seuil s'effondre. Ce seul critère de signe permet de prévoir le comportement AVANT tout calcul.

Exercice 5 : Condition initiale décalée et structure des solutions

La condition initiale n'est pas toujours donnée en $0$ , et l'ensemble des solutions a une structure qu'il faut savoir démontrer.

a) Déterminez la solution de $y'=3y$ vérifiant $y(2)=1$ .
b) Déterminez la solution de $y'=-2y+6$ vérifiant $y(1)=4$ .
c) Soient $f$ et $g$ deux solutions de $y'=ay+b$ sur $\mathbb{R}$ . Démontrez que $f-g$ est solution de $y'=ay$ .
d) Déduisez-en que toute solution de $y'=ay+b$ s'écrit $C\mathrm{e}^{ax}-\frac{b}{a}$ , en prenant pour $g$ la solution constante.

Voir la correction

Réponses

a) $y(x)=e^{3(x-2)}$
b) $y(x)=e^{-2(x-1)}+3$
c) $(f-g)'=a(f-g)$
d) $f(x)=Ce^{ax}-\frac{b}{a}$ , et réciproquement

a)

Les solutions sont $y(x)=C\mathrm{e}^{3x}$ . La condition $y(2)=C\mathrm{e}^{6}=1$ donne $C=\mathrm{e}^{-6}$ , d'où $y(x)=\mathrm{e}^{-6}\mathrm{e}^{3x}=\mathrm{e}^{3x-6}=\mathrm{e}^{3(x-2)}$ . La dernière écriture est de loin la plus lisible, et elle se contrôle d'un coup d'œil : en $x=2$ l'exposant s'annule et l'on obtient $\mathrm{e}^{0}=1$ ✓. Prendre l'habitude de factoriser l'exposant fait gagner du temps et évite les erreurs de recopie.

b)

La constante vérifie $0=-2k+6$ , soit $k=3$ , donc les solutions sont $y(x)=C\mathrm{e}^{-2x}+3$ . La condition $y(1)=C\mathrm{e}^{-2}+3=4$ donne $C\mathrm{e}^{-2}=1$ , soit $C=\mathrm{e}^{2}$ , d'où $y(x)=\mathrm{e}^{2}\mathrm{e}^{-2x}+3=\mathrm{e}^{2-2x}+3=\mathrm{e}^{-2(x-1)}+3$ . Contrôle en $x=1$ : $\mathrm{e}^{0}+3=4$ ✓.

c)

Posons $u=f-g$ . Alors $u'=f'-g'=(af+b)-(ag+b)=af-ag=a(f-g)=au$ . Donc $u$ est solution de l'équation HOMOGÈNE $y'=ay$ . Le second membre constant $b$ s'élimine par différence, et c'est tout le mécanisme : deux solutions de la même équation avec second membre diffèrent par une solution de l'équation sans second membre.

d)

Prenons pour $g$ la fonction constante égale à $-\frac{b}{a}$ , qui est bien solution d'après l'exercice 4. Si $f$ est une solution quelconque, alors $f-g$ est solution de $y'=ay$ d'après c), donc il existe un réel $C$ tel que $f(x)-\left(-\frac{b}{a}\right)=C\mathrm{e}^{ax}$ , c'est-à-dire $f(x)=C\mathrm{e}^{ax}-\frac{b}{a}$ . Réciproquement, toute fonction de cette forme est solution, par le calcul direct de l'exercice 1. On a donc bien décrit TOUTES les solutions, et rien qu'elles. Chaque valeur de $C$ donne une courbe, et c'est la condition initiale qui en choisit une.

La double inclusion de la question d) n'est pas une coquetterie de rédaction : sans le sens réciproque, on aurait montré que les solutions sont NÉCESSAIREMENT de cette forme, sans garantir que toute fonction de cette forme convienne. Sur le fond, ce raisonnement est le même que pour les primitives, où deux primitives d'une même fonction diffèrent d'une constante, ou pour les systèmes linéaires, où l'on ajoute une solution particulière à la solution générale du système homogène. Le principe commun, appelé structure affine de l'ensemble des solutions, se résume en une phrase à retenir : solution générale égale solution particulière plus solution générale de l'homogène.

Exercice 6 : La loi de refroidissement de Newton

Un café servi à 85 °C refroidit dans une pièce maintenue à 20 °C. On note $\theta(t)$ sa température en degrés Celsius après $t$ minutes.

La loi de Newton affirme que la vitesse de refroidissement est proportionnelle à l'écart avec la température ambiante : $\theta'(t)=-k\bigl(\theta(t)-20\bigr)$ , où $k>0$ .

Une mesure donne $\theta(10)=65$ .

a) On pose $z(t)=\theta(t)-20$ . Montrez que $z$ vérifie $z'=-kz$ , et exprimez $\theta(t)$ en fonction de $k$ .
b) Déterminez $k$ à partir de la mesure à 10 minutes. Donnez une valeur arrondie à $10^{-4}$ .
c) Au bout de combien de temps le café atteint-il 40 °C ?
d) Quelle est la limite de $\theta$ en $+\infty$ ? Le café atteint-il un jour la température de la pièce ?
e) Calculez $\theta'(t)$ et étudiez son signe. Dressez le tableau de variation de $\theta$ sur $[0\,;+\infty[$ , en y faisant figurer la limite trouvée en d).
f) Calculez $\theta'(0)$ et $\theta'(30)$ , arrondis au centième, et interprétez-les. Montrez que $\theta$ est convexe sur $[0\,;+\infty[$ , puis interprétez ce résultat pour le café.
g) Montrez que, pour tout $t\geq 0$ , $\theta(t+10)-20=\frac{9}{13}\bigl(\theta(t)-20\bigr)$ . On relève la température toutes les dix minutes et l'on pose $u_{n}=\theta(10n)-20$ pour tout entier naturel $n$ . Montrez que la suite $(u_{n})$ est géométrique, précisez sa raison et son premier terme, puis calculez la température au bout de 30 minutes, au dixième.
h) Déterminez par le calcul le plus petit entier $n$ tel que $u_{n}<5$ , et interprétez-le pour les relevés. Contrôlez ce résultat en résolvant l'équation $\theta(t)=25$ .

Tape tes réponses, la page te dit juste ou faux 0/14

a)

Constante

C

b)

k

c)

Durée min

d)

Limite °C

Le café atteint-il

20

°C ?

e)

Sens de variation de

\theta

sur

[0\,;+\infty[

f)

\theta'(0)

°C/min

\theta'(30)

°C/min

\theta

sur

[0\,;+\infty[

g)

Raison de

(u_{n})

u_{0}

\theta(30)

°C

h)

Plus petit entier

n

tel que

u_{n}<5

Solution de

\theta(t)=25

min

Voir la correction

Réponses

a) $\theta(t)=20+65e^{-kt}$
b) $k=\frac{1}{10}\ln\frac{13}{9}\approx 0{,}0368$
c) Environ $32{,}1$ min
d) Limite $20$ °C, jamais atteinte
e) $\theta'(t)=-65k\,\mathrm{e}^{-kt}<0$ : $\theta$ décroît strictement de $85$ vers $20$
f) $\theta'(0)\approx -2{,}39$ et $\theta'(30)\approx -0{,}79$ °C/min ; $\theta''>0$ , convexe : refroidissement de moins en moins rapide
g) $(u_{n})$ géométrique de raison $\frac{9}{13}$ , $u_{0}=65$ ; $\theta(30)\approx 41{,}6$ °C
h) $n=7$ : premier relevé sous $25$ °C à 70 minutes ; $\theta(t)=25$ pour $t\approx 69{,}8$ min

a)

La constante $20$ ayant une dérivée nulle, on a $z'=\theta'$ , donc $z'=-k(\theta-20)=-kz$ . Le changement de variable a fait DISPARAÎTRE le second membre, ce qui est tout son intérêt. Les solutions sont $z(t)=C\mathrm{e}^{-kt}$ , d'où $\theta(t)=20+C\mathrm{e}^{-kt}$ . La condition $\theta(0)=20+C=85$ donne $C=65$ , qui est exactement l'ÉCART initial à la température de la pièce, et non la température initiale. Donc $\theta(t)=20+65\mathrm{e}^{-kt}$ .

b)

On exploite la mesure : $\theta(10)=20+65\mathrm{e}^{-10k}=65$ , donc $65\mathrm{e}^{-10k}=45$ et $\mathrm{e}^{-10k}=\frac{45}{65}=\frac{9}{13}$ . En passant au logarithme, $-10k=\ln\frac{9}{13}$ , donc $k=\frac{1}{10}\ln\frac{13}{9}\approx 0{,}0368$ par minute. L'inversion de la fraction, qui fait passer de $\frac{9}{13}$ à $\frac{13}{9}$ , absorbe le signe moins : $-\ln\frac{9}{13}=\ln\frac{13}{9}$ .

c)

On résout $20+65\mathrm{e}^{-kt}=40$ , soit $\mathrm{e}^{-kt}=\frac{20}{65}=\frac{4}{13}$ , donc $t=\frac{1}{k}\ln\frac{13}{4}\approx\frac{1{,}1787}{0{,}03677}\approx 32{,}1$ minutes. Le café passe donc environ $32$ minutes au-dessus de $40\ ^{\circ}$ C, ce qui est un ordre de grandeur crédible et valide le modèle.

d)

Comme $-k<0$ , on a $\mathrm{e}^{-kt}\to 0$ et donc $\lim_{t\to+\infty}\theta(t)=20$ . Mais le terme $65\mathrm{e}^{-kt}$ est STRICTEMENT POSITIF pour tout $t$ , l'exponentielle ne s'annulant jamais : la température du café reste strictement supérieure à $20\ ^{\circ}$ C à chaque instant. Le modèle décrit donc une limite, pas une valeur atteinte. Au bout de $3$ heures, l'écart résiduel vaut encore environ $0{,}09\ ^{\circ}$ C, indétectable en pratique mais non nul dans le modèle. La vitesse étant proportionnelle à l'écart restant, le refroidissement ralentit sans cesse.

e)

D'après a) et b), $\theta(t)=20+65\mathrm{e}^{-kt}$ avec $k=\frac{1}{10}\ln\frac{13}{9}>0$ , puisque $\frac{13}{9}>1$ .

La dérivée de $t\mapsto\mathrm{e}^{-kt}$ est $t\mapsto -k\,\mathrm{e}^{-kt}$ , donc $\theta'(t)=-65k\,\mathrm{e}^{-kt}$ .

Comme $k>0$ et $\mathrm{e}^{-kt}>0$ , on a $\theta'(t)<0$ pour tout $t\geq 0$ : $\theta$ est strictement décroissante sur $[0\,;+\infty[$ .

Tableau : $\theta$ décroît de $\theta(0)=85$ vers la limite $20$ trouvée en d), sans jamais l'atteindre.

La loi de Newton donnait ce signe sans calcul : $\theta'(t)=-k\bigl(\theta(t)-20\bigr)$ avec $\theta(t)-20=65\mathrm{e}^{-kt}>0$ .

Piège : dériver $\mathrm{e}^{-kt}$ en $\mathrm{e}^{-kt}$ . La dérivée de $\mathrm{e}^{u}$ est $u'\mathrm{e}^{u}$ , ici avec $u'=-k$ .

f)

$\theta'(0)=-65k\approx -2{,}39$ : au moment où il est servi, le café perd environ $2{,}39$ °C par minute.

D'après b), $\mathrm{e}^{-30k}=\left(\mathrm{e}^{-10k}\right)^{3}=\left(\frac{9}{13}\right)^{3}$ , donc $\theta'(30)=-65k\left(\frac{9}{13}\right)^{3}\approx -0{,}79$ : au bout d'une demi-heure, il ne perd plus qu'environ $0{,}79$ °C par minute.

$\theta''(t)=-65k\times(-k)\,\mathrm{e}^{-kt}=65k^{2}\mathrm{e}^{-kt}>0$ : $\theta$ est convexe sur $[0\,;+\infty[$ .

Interprétation : $\theta'$ est croissante, négative, et tend vers $0$ . La vitesse de refroidissement $|\theta'(t)|$ diminue : le café refroidit de moins en moins vite, ce que la remarque de d) annonçait.

Piège : lire « $\theta'$ croissante » comme « le café se réchauffe ». $\theta'$ reste négative : la température baisse toujours, mais de moins en moins vite.

g)

Pour tout $t\geq 0$ , $\theta(t+10)-20=65\mathrm{e}^{-k(t+10)}=65\mathrm{e}^{-kt}\times\mathrm{e}^{-10k}$ .

D'après b), $\mathrm{e}^{-10k}=\frac{9}{13}$ , et $65\mathrm{e}^{-kt}=\theta(t)-20$ : donc $\theta(t+10)-20=\frac{9}{13}\bigl(\theta(t)-20\bigr)$ .

Avec $t=10n$ : $u_{n+1}=\theta(10n+10)-20=\frac{9}{13}u_{n}$ pour tout entier naturel $n$ . La suite $(u_{n})$ est géométrique de raison $q=\frac{9}{13}\approx 0{,}6923$ et de premier terme $u_{0}=\theta(0)-20=65$ .

Donc $u_{n}=65\left(\frac{9}{13}\right)^{n}$ et $\theta(10n)=20+65\left(\frac{9}{13}\right)^{n}$ .

Au bout de 30 minutes, $n=3$ : $\theta(30)=20+65\times\frac{729}{2197}=20+\frac{3645}{169}\approx 41{,}6$ °C.

Contrôle : $u_{1}=65\times\frac{9}{13}=45$ , soit $\theta(10)=65$ , la mesure de l'énoncé ; et $\theta(30)>40$ concorde avec c), où le café n'atteint $40$ °C qu'après $32{,}1$ minutes.

Piège : prendre $u_{0}=85$ . La suite géométrique est celle des ÉCARTS à la température de la pièce, pas celle des températures.

h)

$u_{n}<5\iff 65\left(\frac{9}{13}\right)^{n}<5\iff\left(\frac{9}{13}\right)^{n}<\frac{1}{13}$ .

La fonction $\ln$ est strictement croissante sur $]0\,;+\infty[$ : $n\ln\frac{9}{13}<\ln\frac{1}{13}=-\ln 13$ .

Comme $\ln\frac{9}{13}<0$ , diviser CHANGE le sens de l'inégalité : $n>\frac{-\ln 13}{\ln\frac{9}{13}}=\frac{\ln 13}{\ln\frac{13}{9}}\approx 6{,}98$ .

Le plus petit entier est $n=7$ . Contrôle : $u_{6}\approx 7{,}16\geq 5$ et $u_{7}\approx 4{,}95<5$ .

Interprétation : parmi les relevés faits toutes les dix minutes, le premier qui affiche moins de $25$ °C est celui pris au bout de 70 minutes.

Contrôle par la fonction : $\theta(t)=25\iff\mathrm{e}^{-kt}=\frac{1}{13}\iff t=\frac{\ln 13}{k}\approx 69{,}8$ minutes. Le café passe sous $25$ °C entre le relevé de la 60e minute et celui de la 70e, ce qui confirme $n=7$ .

Piège : garder le sens de l'inégalité en divisant par $\ln\frac{9}{13}$ , qui est négatif. On obtiendrait $n<6{,}98$ , absurde pour une suite qui décroît vers $0$ .

Le coefficient $k$ a une interprétation qu'il faut connaître, car elle donne une intuition immédiate de la vitesse du phénomène. Son inverse $\tau=\frac{1}{k}\approx 27$ minutes est le TEMPS CARACTÉRISTIQUE : c'est la durée au bout de laquelle l'écart initial a été divisé par $\mathrm{e}$ , soit réduit d'environ $63\ \%$ . La demi-vie de l'écart, elle, vaut $\tau\ln 2\approx 18{,}8$ minutes, et l'on vérifie que $\theta(18{,}8)-20\approx 32{,}5$ , exactement la moitié des $65$ degrés d'écart initiaux ✓. Une règle pratique en découle, valable pour tout phénomène de ce type : après $3\tau$ le phénomène est achevé à $95\ \%$ , après $5\tau$ à plus de $99\ \%$ .

Exercice 7 : Chute avec frottement fluide

Un parachutiste tombe sans vitesse initiale. Sa vitesse $v(t)$ , en mètres par seconde après $t$ secondes, vérifie

$v'(t)=9{,}8-0{,}2\,v(t)$ , avec $v(0)=0$ .

Le terme $-0{,}2v$ modélise le frottement de l'air, proportionnel à la vitesse.

a) Déterminez la vitesse limite du parachutiste, c'est-à-dire la solution constante de l'équation.
b) Résolvez l'équation avec la condition initiale, et vérifiez que la vitesse limite est bien la limite de $v$ en $+\infty$ .
c) Calculez la vitesse au bout de 5 secondes, arrondie au dixième.
d) Au bout de combien de temps le parachutiste atteint-il 90 % de sa vitesse limite ?

Voir la correction

Réponses

a) $49$ m/s
b) $v(t)=49\left(1-e^{-0{,}2t}\right)$
c) $v(5)\approx 31{,}0$ m/s
d) $t=\frac{\ln 10}{0{,}2}\approx 11{,}5$ s

a)

La solution constante $v=\ell$ a une dérivée nulle et vérifie donc $0=9{,}8-0{,}2\ell$ , soit $\ell=\frac{9{,}8}{0{,}2}=49$ m/s, soit environ $176$ km/h. L'interprétation physique est directe : à cette vitesse, la force de frottement compense exactement le poids, l'accélération s'annule et le mouvement devient uniforme.

b)

On réécrit sous forme canonique, $v'=-0{,}2v+9{,}8$ , d'où $v(t)=C\mathrm{e}^{-0{,}2t}+49$ . La condition $v(0)=C+49=0$ donne $C=-49$ , et l'on obtient $v(t)=49-49\mathrm{e}^{-0{,}2t}=49\left(1-\mathrm{e}^{-0{,}2t}\right)$ . Comme $-0{,}2<0$ , le terme exponentiel tend vers $0$ et $\lim_{t\to+\infty}v(t)=49$ m/s ✓, ce qui confirme la question a) : la solution constante est bien la valeur limite.

c)

$v(5)=49\left(1-\mathrm{e}^{-1}\right)\approx 49\times 0{,}6321\approx 31{,}0$ m/s. Après seulement $5$ secondes, le parachutiste est déjà à $63\ \%$ de sa vitesse limite : le régime s'installe beaucoup plus vite qu'on ne l'imagine.

d)

On résout $49\left(1-\mathrm{e}^{-0{,}2t}\right)=0{,}9\times 49$ . Le facteur $49$ SE SIMPLIFIE, ce qui est déjà instructif : $1-\mathrm{e}^{-0{,}2t}=0{,}9$ , soit $\mathrm{e}^{-0{,}2t}=0{,}1$ , donc $-0{,}2t=\ln 0{,}1=-\ln 10$ et $t=\frac{\ln 10}{0{,}2}\approx 11{,}5$ secondes.

Ce dernier calcul mérite un commentaire, car il porte toute la physique de l'exercice. Le temps obtenu ne dépend PAS de $9{,}8$ , qui s'est simplifié : seul le coefficient de frottement $0{,}2$ fixe la rapidité avec laquelle le régime s'installe, tandis que la gravité ne fixe que la valeur limite atteinte. On retrouve le temps caractéristique de l'exercice précédent, ici $\tau=\frac{1}{0{,}2}=5$ secondes, et la question c) n'est autre que l'évaluation en $t=\tau$ , d'où le $63\ \%$ qui n'est pas une coïncidence mais la valeur universelle $1-\frac{1}{\mathrm{e}}$ ✓. Sur la Lune, avec une gravité six fois moindre mais le même parachute, la vitesse limite serait six fois plus faible et le régime s'installerait exactement aussi vite.

Exercice 8 : La cuve de saumure

Une cuve contient 1 000 litres de solution salée renfermant 20 kg de sel. On y déverse en continu une saumure titrant 0,03 kg de sel par litre, au débit de 10 litres par minute, et on soutire le mélange, supposé homogène à chaque instant, au même débit de 10 litres par minute.

Le volume reste donc constant. On note $q(t)$ la masse de sel présente dans la cuve, en kilogrammes, après $t$ minutes.

a) Justifiez que $q'(t)=0{,}3-0{,}01\,q(t)$ .
b) Résolvez cette équation avec la condition initiale.
c) Déterminez la limite de $q$ et interprétez-la en termes de concentration.
d) Au bout de combien de temps la cuve contient-elle 25 kg de sel ?

Voir la correction

Réponses

a) Entrée $0{,}3$ kg/min, sortie $0{,}01\,q$ kg/min
b) $q(t)=30-10e^{-0{,}01t}$
c) Limite $30$ kg : concentration $0{,}03$ kg/L, celle de l'alimentation
d) $t=\frac{\ln 2}{0{,}01}\approx 69{,}3$ min

a)

Le sel ENTRANT apporte $0{,}03\times 10=0{,}3$ kg par minute, produit de la concentration entrante par le débit. Le sel SORTANT part à la concentration de la cuve, qui vaut $\frac{q(t)}{1\,000}$ kg par litre puisque le mélange est homogène, au débit de $10$ L/min, soit $\frac{10\,q(t)}{1\,000}=0{,}01\,q(t)$ kg par minute. La variation de la masse de sel est la différence entre ce qui entre et ce qui sort : $q'(t)=0{,}3-0{,}01\,q(t)$ . C'est un BILAN, et c'est la seule vraie difficulté de l'exercice ; l'égalité des deux débits est ce qui garantit un volume constant et donc un dénominateur fixe.

b)

La solution constante vérifie $0=0{,}3-0{,}01k$ , soit $k=30$ . Les solutions sont $q(t)=C\mathrm{e}^{-0{,}01t}+30$ , et $q(0)=C+30=20$ donne $C=-10$ , d'où $q(t)=30-10\mathrm{e}^{-0{,}01t}$ . La masse de sel croît donc de $20$ vers $30$ kg.

c)

$\lim_{t\to+\infty}q(t)=30$ kg, le terme exponentiel s'effaçant. La concentration limite dans la cuve vaut alors $\frac{30}{1\,000}=0{,}03$ kg par litre : c'est EXACTEMENT la concentration de la saumure entrante. À long terme, la cuve finit donc par titrer comme son alimentation, et ce quelle que soit sa charge initiale en sel, celle-ci ne fixant que la valeur de $C$ et non la limite. L'entrée apporte du sel et la sortie en retire : l'équilibre est atteint quand les deux débits se compensent exactement.

d)

On résout $30-10\mathrm{e}^{-0{,}01t}=25$ , soit $10\mathrm{e}^{-0{,}01t}=5$ et $\mathrm{e}^{-0{,}01t}=0{,}5$ , donc $t=\frac{\ln 2}{0{,}01}\approx 69{,}3$ minutes. Autrement dit, l'écart à la valeur limite est divisé par deux toutes les $69$ minutes environ, ce qui n'est autre que la demi-vie de l'équation homogène associée, exactement la formule de l'exercice 3.

Le résultat de la question c) est plus profond qu'il n'y paraît et vaut d'être retenu comme un principe. Un système ouvert traversé par un flux finit toujours par adopter les caractéristiques de son ALIMENTATION, sa mémoire de l'état initial s'effaçant exponentiellement. Le temps caractéristique vaut ici $\tau=\frac{1}{0{,}01}=100$ minutes, ce qui correspond très exactement au temps de renouvellement du volume, soit $\frac{1\,000\text{ L}}{10\text{ L/min}}=100$ min ✓. Cette coïncidence n'en est pas une : le coefficient $0{,}01$ de l'équation EST le débit divisé par le volume. On en tire une règle utilisable sans calcul : plus le renouvellement est rapide, plus vite la cuve oublie son passé.

Exercice 9 : Quatre erreurs à corriger

Chacune des affirmations suivantes est fausse. Corrigez-la et justifiez.

a) « Les solutions de $y'=2y$ sont les fonctions $x\mapsto 2\mathrm{e}^{x}$ . »
b) « Les solutions de $y'=-3y+12$ sont les fonctions $x\mapsto C\mathrm{e}^{-3x}+12$ . »
c) « Puisqu'une condition initiale détermine la solution, deux conditions la déterminent encore mieux : cherchons la solution de $y'=2y$ telle que $y(0)=1$ et $y(1)=3$ . »
d) « Une solution de $y'=ay+b$ avec $a<0$ finit par valoir exactement $-\frac{b}{a}$ . »

Voir la correction

Réponses

a) Faux : $Ce^{2x}$
b) Faux : $Ce^{-3x}+4$
c) Faux : problème surdéterminé, sans solution ( $y(1)=e^{2}$ )
d) Faux : c'est une limite, atteinte seulement si $C=0$

a)

Faux : le coefficient $a$ va dans l'EXPOSANT, pas devant. Les solutions sont $x\mapsto C\mathrm{e}^{2x}$ , avec $C$ réel quelconque. La fonction proposée, $f(x)=2\mathrm{e}^{x}$ , vérifie $f'(x)=2\mathrm{e}^{x}=f(x)$ et non $2f(x)=4\mathrm{e}^{x}$ : elle est en réalité solution de $y'=y$ . La confusion vient de ce que $2$ apparaît dans les deux écritures, mais son rôle diffère du tout au tout : devant, c'est une amplitude choisie par la condition initiale ; dans l'exposant, c'est le taux de croissance imposé par l'équation.

b)

Faux : la solution particulière constante n'est pas $b$ mais $-\frac{b}{a}=-\frac{12}{-3}=4$ . Les solutions sont donc $x\mapsto C\mathrm{e}^{-3x}+4$ . Vérification en une ligne : si $y=C\mathrm{e}^{-3x}+4$ , alors $y'=-3C\mathrm{e}^{-3x}=-3(y-4)=-3y+12$ ✓. La fonction annoncée, avec $+12$ , serait solution de $y'=-3y+36$ , ce qui n'est pas l'équation posée. Le réflexe protecteur est de toujours vérifier que la constante ANNULE le second membre, ici $-3\times 4+12=0$ ✓.

c)

Faux : le problème est SURDÉTERMINÉ et n'admet en général aucune solution. La condition $y(0)=1$ impose déjà $C=1$ , donc $y(x)=\mathrm{e}^{2x}$ et par conséquent $y(1)=\mathrm{e}^{2}\approx 7{,}39$ , ce qui contredit l'exigence $y(1)=3$ . Une équation différentielle du premier ordre n'introduit qu'UNE seule constante d'intégration : une condition, et une seule, la fixe. En ajouter une seconde ne rend pas la solution plus précise, cela rend le problème impossible, sauf coïncidence.

d)

Faux : c'est une LIMITE, pas une valeur atteinte. La solution s'écrit $y(x)=C\mathrm{e}^{ax}-\frac{b}{a}$ , et le terme $C\mathrm{e}^{ax}$ ne s'annule jamais tant que $C\neq 0$ , l'exponentielle étant strictement positive. Par exemple $y(x)=-6\mathrm{e}^{-0{,}5x}+8$ vérifie $y(x)<8$ pour tout $x$ , tout en tendant vers $8$ . Le seul cas où la valeur d'équilibre est effectivement atteinte est $C=0$ , c'est-à-dire $y_{0}=-\frac{b}{a}$ , et la solution est alors constante depuis le début.

Les quatre erreurs se répartissent en deux familles. Les deux premières sont des erreurs de FORME, où l'on place un coefficient au mauvais endroit ; le remède est unique et infaillible, il consiste à dériver la solution annoncée et à vérifier qu'elle satisfait l'équation, opération qui prend deux lignes et ne rate jamais. Les deux dernières sont des erreurs de STATUT, où l'on confond ce qu'un théorème garantit avec ce qu'on aimerait qu'il garantisse : l'unicité vaut pour une condition, pas pour deux, et une limite décrit une tendance, pas un aboutissement.

Exercice 10 : Problème de synthèse : un lac et son quota de pêche

Une population de poissons dans un lac est modélisée par la fonction $P$ , où $P(t)$ est le nombre d'individus après $t$ années. En l'absence de pêche, la population croît au taux annuel de 5 %. Un quota autorise le prélèvement de 400 poissons par an, réparti régulièrement.

Le modèle retenu est donc $P'(t)=0{,}05\,P(t)-400$ .

a) Déterminez la population d'équilibre $P^{*}$ , c'est-à-dire la solution constante.
b) On pose $z(t)=P(t)-P^{*}$ . Montrez que $z'=0{,}05z$ , puis exprimez $P(t)$ en fonction de $P(0)$ .
c) Le lac compte initialement 9 000 poissons. Décrivez l'évolution et calculez la population après 20 ans.
d) Le lac compte initialement 7 500 poissons. Montrez que la population s'éteint et calculez l'année de l'extinction. Quel quota annuel maximal aurait été soutenable dans ce cas ?

Voir la correction

Réponses

a) $P^{*}=8\,000$
b) $P(t)=8\,000+(P(0)-8\,000)e^{0{,}05t}$
c) Croissance vers $+\infty$ ; $P(20)\approx 10\,718$
d) Extinction pour $t\approx 55{,}5$ , au cours de la $56^{\text{e}}$ année ; quota soutenable $375$

a)

La solution constante vérifie $0=0{,}05P^{*}-400$ , soit $P^{*}=\frac{400}{0{,}05}=8\,000$ poissons. L'interprétation est limpide : à cet effectif, la croissance naturelle produit exactement $0{,}05\times 8\,000=400$ poissons par an, soit précisément ce que la pêche prélève, et la population reste stationnaire.

b)

$z'=P'$ puisque $P^{*}$ est constante, donc $z'=0{,}05P-400=0{,}05\left(P-8\,000\right)=0{,}05z$ . Ainsi $z(t)=z(0)\mathrm{e}^{0{,}05t}$ , et en revenant à $P$ : $P(t)=8\,000+\bigl(P(0)-8\,000\bigr)\mathrm{e}^{0{,}05t}$ . Tout est déjà contenu dans cette formule, l'ÉCART initial à l'équilibre étant multiplié par un facteur qui grandit sans limite.

c)

Avec $P(0)=9\,000$ , l'écart initial vaut $+1\,000$ et $P(t)=8\,000+1\,000\mathrm{e}^{0{,}05t}$ , fonction croissante qui tend vers $+\infty$ . Après $20$ ans, $P(20)=8\,000+1\,000\mathrm{e}\approx 8\,000+2\,718\approx 10\,718$ poissons. La population prospère malgré la pêche.

d)

Avec $P(0)=7\,500$ , l'écart initial vaut $-500$ et $P(t)=8\,000-500\mathrm{e}^{0{,}05t}$ , fonction décroissante. Elle s'annule quand $500\mathrm{e}^{0{,}05t}=8\,000$ , soit $\mathrm{e}^{0{,}05t}=16$ , donc $t=\frac{\ln 16}{0{,}05}\approx 55{,}5$ : la population s'éteint au cours de la $56^{\text{e}}$ année. Quant au quota soutenable, il doit placer l'équilibre $\frac{Q}{0{,}05}$ au plus au niveau de la population de départ, soit $\frac{Q}{0{,}05}\leq 7\,500$ , c'est-à-dire $Q\leq 375$ poissons par an.

Ce problème est l'exact contraire des exercices 6 à 8, et c'est ce qui en fait un bon exercice de synthèse. Ici $a=0{,}05>0$ , donc l'équilibre est INSTABLE : au lieu d'attirer les solutions, il les repousse de part et d'autre. Une population à $8\,001$ poissons croît indéfiniment, une population à $7\,999$ s'éteint, et les deux trajectoires divergent à partir de situations initiales presque identiques. La conclusion pratique est sévère et vaut d'être énoncée : vingt-cinq poissons de trop dans le quota, soit un écart de $6\ \%$ sur le seuil de $375$ , suffisent à condamner le lac, non pas immédiatement mais avec une certitude mathématique. C'est le mécanisme général des seuils d'effondrement en écologie, et il explique pourquoi les quotas de pêche sont fixés avec une marge de sécurité plutôt qu'au plus juste.

Exercice 11 : Ramener à la forme y' = ay + b, et retrouver l'équation

Les équations ne sont pas toujours écrites sous la forme $y'=ay+b$ . On commence donc par les y ramener, en isolant $y'$ .

a) Résolvez $2y'+y=3$ avec $y(0)=1$ , puis calculez $y(2)$ au millième.
b) Résolvez $y'-4y=-8$ avec $y(0)=2$ . Que remarquez-vous ?
c) Résolvez $3y'-6y=0$ avec $y(1)=e^{2}$ et donnez $y(0)$ .
d) On sait que $f(x)=5-2e^{-3x}$ est solution d'une équation $y'=ay+b$ . Déterminez $a$ et $b$ .

Voir la correction

Réponses

a) $y(x)=3-2e^{-0{,}5x}$ , $y(2)\approx 2{,}264$
b) $y=2$ : solution constante
c) $y(x)=e^{2x}$ , $y(0)=1$
d) $a=-3$ , $b=15$

a)

On divise par $2$ : $y'=-0{,}5y+1{,}5$ . Solution constante : $0=-0{,}5k+1{,}5$ , soit $k=3$ . Solutions : $y(x)=Ce^{-0{,}5x}+3$ ; $y(0)=C+3=1$ donne $C=-2$ . Donc $y(x)=3-2e^{-0{,}5x}$ et $y(2)=3-2e^{-1}\approx 2{,}264$ . Oublier de diviser par $2$ et lire $a=-1$ serait l'erreur : le coefficient de $y'$ doit valoir $1$ AVANT d'identifier $a$ et $b$ .

b)

$y'=4y-8$ , solution constante $0=4k-8$ , soit $k=2$ . Solutions : $y(x)=Ce^{4x}+2$ ; $y(0)=C+2=2$ donne $C=0$ . La solution est la fonction CONSTANTE $y=2$ : la condition initiale tombe exactement sur l'équilibre, et la solution y reste pour toujours, bien que cet équilibre soit instable ( $a=4>0$ ).

c)

$y'=2y$ , solutions $y(x)=Ce^{2x}$ . $y(1)=Ce^{2}=e^{2}$ donne $C=1$ , donc $y(x)=e^{2x}$ et $y(0)=1$ .

d)

$f'(x)=-2\times(-3)e^{-3x}=6e^{-3x}$ . Et $af(x)+b=5a-2ae^{-3x}+b$ . L'égalité $6e^{-3x}=-2ae^{-3x}+(5a+b)$ doit valoir pour TOUT $x$ : on identifie les coefficients de $e^{-3x}$ et les constantes, $-2a=6$ et $5a+b=0$ . Donc $a=-3$ et $b=15$ . Contrôle : la solution constante $-\frac{b}{a}=5$ est bien la limite de $f$ en $+\infty$ ✓, et le taux $-3$ est bien dans l'exposant ✓.

Deux lectures d'une même formule $y(x)=Ce^{ax}-\frac{b}{a}$ : dans le sens direct, on part de l'équation pour trouver les solutions ; dans le sens inverse, l'exposant donne $a$ et la constante donne $-\frac{b}{a}$ . Au bac, la question d) apparaît souvent sous la forme « montrer que $f$ est solution de... » ou « déterminer l'équation dont $f$ est solution ».

Exercice 12 : Lire une solution sans la calculer

Soit $f$ la solution sur $\mathbb{R}$ de l'équation $y'=-2y+4$ vérifiant $f(0)=0$ .

Les questions a) à c) se traitent SANS calculer $f(x)$ : l'équation donne directement la pente de la courbe en chacun de ses points.

a) Donnez le coefficient directeur de la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $0$ .
b) Quelle est la pente de la tangente en un point de la courbe d'ordonnée $1{,}5$ ?
c) En dérivant l'équation, exprimez $f''$ en fonction de $f'$ . Sachant que $f'>0$ , déduisez-en la convexité de $f$ .
d) Déterminez $f(x)$ , puis l'abscisse du point de la courbe d'ordonnée $1{,}5$ , et vérifiez la réponse de b).

Voir la correction

Réponses

a) $4$
b) $1$
c) $f''=-2f'<0$ : concave
d) $f(x)=2-2e^{-2x}$ ; $x=\ln 2$

a)

$f'(0)=-2f(0)+4=-2\times 0+4=4$ .

b)

En un point d'ordonnée $f(x)=1{,}5$ , l'équation donne $f'(x)=-2\times 1{,}5+4=1$ . La pente ne dépend que de la HAUTEUR du point, pas de son abscisse : c'est la propriété qui rend les équations $y'=ay+b$ lisibles sur un graphique.

c)

En dérivant $f'=-2f+4$ : $f''=-2f'$ . Si $f'>0$ , alors $f''<0$ , donc $f$ est CONCAVE. On le comprend sur la courbe : à mesure qu'elle monte vers l'équilibre $2$ , sa pente $-2f+4$ diminue, elle s'aplatit.

d)

Solution constante $k=2$ ; $f(x)=Ce^{-2x}+2$ et $f(0)=C+2=0$ donne $C=-2$ : $f(x)=2-2e^{-2x}$ . On vérifie $f'(x)=4e^{-2x}>0$ ✓. Ensuite $f(x)=1{,}5\iff e^{-2x}=0{,}25\iff -2x=-\ln 4\iff x=\frac{\ln 4}{2}=\ln 2\approx 0{,}693$ . En ce point, $f'(\ln 2)=4e^{-2\ln 2}=4\times\frac{1}{4}=1$ ✓, ce qui confirme b).

Une équation différentielle est une RÈGLE DE PENTE : en chaque point du plan, elle impose la direction de la tangente. On peut donc répondre à beaucoup de questions (pente, sens de variation, convexité, valeur d'équilibre) avant même de résoudre, et c'est ce que les QCM du bac testent volontiers.

Exercice 13 : Second membre variable : chercher une solution particulière

Pour résoudre $y'=ay+\varphi(x)$ , on cherche UNE solution particulière $g$ de la forme suggérée, puis toutes les solutions s'écrivent $y=Ce^{ax}+g$ .

a) On considère $(E) : y'=2y-4x$ . Déterminez les réels $m$ et $p$ tels que $g(x)=mx+p$ soit solution de $(E)$ .
b) Démontrez que $y$ est solution de $(E)$ si et seulement si $y-g$ est solution de $y'=2y$ . Déduisez-en les solutions de $(E)$ .
c) Déterminez la solution de $(E)$ telle que $y(0)=3$ et calculez $y(1)$ au millième.
d) On considère $(F) : y'+y=2e^{x}$ . Déterminez $k$ pour que $x\mapsto ke^{x}$ soit solution, puis la solution de $(F)$ telle que $y(0)=3$ , et calculez $y(1)$ au millième.

Voir la correction

Réponses

a) $g(x)=2x+1$
b) $y(x)=Ce^{2x}+2x+1$
c) $y(x)=2e^{2x}+2x+1$ , $y(1)\approx 17{,}778$
d) $k=1$ ; $y(x)=2e^{-x}+e^{x}$ , $y(1)\approx 3{,}454$

a)

$g'(x)=m$ et $2g(x)-4x=2mx+2p-4x=(2m-4)x+2p$ . L'égalité $m=(2m-4)x+2p$ pour tout $x$ impose, par identification, $2m-4=0$ et $2p=m$ . Donc $m=2$ et $p=1$ : $g(x)=2x+1$ . Contrôle : $g'=2$ et $2(2x+1)-4x=2$ ✓.

b)

Comme $g'=2g-4x$ , on a $y'-g'=(y'-2y+4x)+2(y-g)$ . Donc $y'=2y-4x\iff y'-g'=2(y-g)$ , c'est-à-dire $y-g$ solution de $y'=2y$ . Les solutions de $y'=2y$ étant $Ce^{2x}$ , celles de $(E)$ sont $y(x)=Ce^{2x}+2x+1$ .

c)

$y(0)=C+1=3$ donne $C=2$ : $y(x)=2e^{2x}+2x+1$ , et $y(1)=2e^{2}+3\approx 17{,}778$ . Le piège est d'écrire $y(0)=C=3$ en oubliant la valeur $g(0)=1$ de la solution particulière.

d)

$(F)$ s'écrit $y'=-y+2e^{x}$ . Avec $y=ke^{x}$ : $ke^{x}=-ke^{x}+2e^{x}$ , soit $2k=2$ et $k=1$ . Les solutions sont $y(x)=Ce^{-x}+e^{x}$ ; $y(0)=C+1=3$ donne $C=2$ , donc $y(x)=2e^{-x}+e^{x}$ et $y(1)=\frac{2}{e}+e\approx 3{,}454$ .

La méthode est la même que pour un second membre constant, qui n'était qu'un cas particulier (la solution particulière était la constante $-\frac{b}{a}$ ) : solution générale égale solution particulière plus solution de l'équation homogène. L'énoncé indique toujours la FORME à chercher ; le travail est une identification de coefficients, qu'on contrôle en réinjectant.

Exercice 14 : La propagation d'une information

Dans une ville de $100\,000$ habitants, on note $f(t)$ le nombre de personnes, en milliers, ayant entendu parler d'une nouvelle $t$ jours après sa diffusion. On suppose $f(0)=1$ et, pour tout $t\geq 0$ , $f(t)>0$ et $f'(t)=0{,}4\,f(t)\left(1-\frac{f(t)}{100}\right)$ .

Cette équation n'est pas du type $y'=ay+b$ à cause du terme en $f^{2}$ . On pose $z=\frac{1}{f}$ .

Approfondissement, au-delà du programme : l'équation logistique n'est pas une équation du programme de Terminale, qui s'arrête à $y'=ay$ , $y'=ay+b$ et $y'=ay+f$ ; elle figure parmi ses approfondissements possibles, et aucune connaissance n'est exigible sur elle. Au baccalauréat, elle n'apparaît que guidée, le changement de variable $z=\frac{1}{f}$ étant donné, et tout se ramène alors à une équation $y'=ay+b$ du cours.

a) Montrez que $z'=-0{,}4z+0{,}004$ .
b) Résolvez cette équation avec la condition initiale, puis montrez que $f(t)=\frac{100}{1+99e^{-0{,}4t}}$ .
c) Calculez $f(5)$ au millième et la limite de $f$ en $+\infty$ . Interprétez.
d) Au bout de combien de jours la moitié de la ville est-elle informée ? Donnez le résultat au centième.
e) Au bout de combien de jours $90\ \%$ de la ville est-elle informée ?

Voir la correction

Réponses

a) $z'=-0{,}4z+0{,}004$
b) $z(t)=0{,}99e^{-0{,}4t}+0{,}01$ , d'où $f(t)=\frac{100}{1+99e^{-0{,}4t}}$
c) $f(5)\approx 6{,}945$ milliers ; limite $100$ milliers
d) $t=\frac{\ln 99}{0{,}4}\approx 11{,}49$ jours
e) $t=\frac{\ln 891}{0{,}4}\approx 16{,}98$ jours

a)

$z'=-\frac{f'}{f^{2}}=-\frac{0{,}4f\left(1-\frac{f}{100}\right)}{f^{2}}=-0{,}4\left(\frac{1}{f}-\frac{1}{100}\right)=-0{,}4z+0{,}004$ . Le changement de variable transforme une équation NON linéaire en une équation du type $y'=ay+b$ : c'est tout son intérêt.

b)

Solution constante : $0=-0{,}4k+0{,}004$ , $k=0{,}01$ . Donc $z(t)=Ce^{-0{,}4t}+0{,}01$ , et $z(0)=\frac{1}{f(0)}=1$ donne $C=0{,}99$ . Ainsi $f(t)=\frac{1}{0{,}01+0{,}99e^{-0{,}4t}}=\frac{100}{1+99e^{-0{,}4t}}$ , en multipliant haut et bas par $100$ . Contrôle : $f(0)=\frac{100}{100}=1$ ✓.

c)

$f(5)=\frac{100}{1+99e^{-2}}\approx 6{,}945$ : environ $6\,945$ personnes au bout de cinq jours. Quand $t\to+\infty$ , $e^{-0{,}4t}\to 0$ et $f(t)\to 100$ : toute la ville finit par être informée, sans que ce seuil soit jamais atteint exactement dans le modèle.

d)

$f(t)=50\iff 1+99e^{-0{,}4t}=2\iff e^{-0{,}4t}=\frac{1}{99}\iff t=\frac{\ln 99}{0{,}4}\approx 11{,}49$ jours.

e)

$f(t)=90\iff 1+99e^{-0{,}4t}=\frac{10}{9}\iff e^{-0{,}4t}=\frac{1}{891}\iff t=\frac{\ln 891}{0{,}4}\approx 16{,}98$ jours. Il faut onze jours et demi pour informer la moitié, puis cinq jours et demi seulement pour passer de $50$ à $90\ \%$ : la diffusion est la plus rapide au milieu, quand il y a à la fois beaucoup d'informés et beaucoup de gens à informer.

Ce modèle, dit logistique, décrit toutes les croissances qui s'épuisent : épidémie, rumeur, adoption d'une technologie. La courbe en S qu'il produit n'est pas exponentielle, même si elle y ressemble au début ; le facteur $\left(1-\frac{f}{100}\right)$ freine la croissance à l'approche de la saturation. Au bac, le changement de variable $z=\frac{1}{f}$ est toujours donné : il reste à dériver correctement un inverse.

Exercice 15 : La vidange d'un réservoir

Un réservoir cylindrique se vide par un orifice situé au fond. D'après la loi de Torricelli, la hauteur d'eau $h(t)$ , en mètres, après $t$ minutes, vérifie $h'(t)=-0{,}2\sqrt{h(t)}$ tant que $h(t)>0$ , avec $h(0)=4$ .

On pose $u(t)=\sqrt{h(t)}$ .

Approfondissement, au-delà du programme : l'équation de Torricelli $h'=-0{,}2\sqrt{h}$ n'est pas du type $y'=ay+b$ , et aucune connaissance n'est exigible sur une telle équation. Guidée par le changement de variable $u=\sqrt{h}$ , elle se ramène à $u'=-0{,}1$ , c'est-à-dire à la recherche d'une primitive, qui est au programme.

a) Montrez que $u'(t)=-0{,}1$ tant que $h(t)>0$ .
b) Déduisez-en $u(t)$ puis $h(t)$ .
c) Au bout de combien de minutes le réservoir est-il vide ?
d) Quelle est la hauteur d'eau à la moitié de ce temps ?
e) Au bout de combien de minutes la hauteur est-elle réduite de moitié ? Donnez le résultat au centième.

Voir la correction

Réponses

a) $u'=\frac{h'}{2\sqrt{h}}=-0{,}1$
b) $u(t)=2-0{,}1t$ , $h(t)=(2-0{,}1t)^{2}$
c) $20$ min
d) $1$ m
e) $t=10(2-\sqrt{2})\approx 5{,}86$ min

a)

$u=\sqrt{h}$ donc, par dérivation d'une composée, $u'=\frac{h'}{2\sqrt{h}}=\frac{-0{,}2\sqrt{h}}{2\sqrt{h}}=-0{,}1$ , la simplification étant licite car $h>0$ .

b)

$u'=-0{,}1$ : $u$ est une primitive de la constante $-0{,}1$ , donc $u(t)=-0{,}1t+C$ . Avec $u(0)=\sqrt{4}=2$ , on obtient $u(t)=2-0{,}1t$ , et $h(t)=u(t)^{2}=(2-0{,}1t)^{2}$ , valable tant que $2-0{,}1t>0$ .

c)

$h(t)=0\iff 2-0{,}1t=0\iff t=20$ minutes. Contrairement aux modèles exponentiels des exercices précédents, qui tendent vers leur limite sans l'atteindre, le réservoir se vide en un temps FINI.

d)

$h(10)=(2-1)^{2}=1$ m. À mi-temps, il ne reste que le QUART de la hauteur initiale : le réservoir se vide vite au début, quand la pression au fond est forte, puis de plus en plus lentement.

e)

$h(t)=2\iff 2-0{,}1t=\sqrt{2}$ (on garde la racine positive, puisque $u>0$ ) $\iff t=10(2-\sqrt{2})\approx 5{,}86$ minutes. La moitié de l'eau part en moins de six minutes, l'autre moitié met plus de quatorze minutes.

Le changement de variable $u=\sqrt{h}$ est, comme $z=\frac{1}{f}$ , une manière de ramener une équation inconnue à une équation connue, ici la plus simple de toutes, $u'=$ constante. Le réflexe de rédaction est le même : dériver $u$ en fonction de $h$ et $h'$ , remplacer $h'$ par ce que dit l'équation, simplifier, puis revenir à $h$ en n'oubliant pas le domaine de validité.

Exercice 16 : L'allure des courbes solutions de y' = ay

On étudie les solutions de l'équation $y'=ay$ , où $a$ est un réel non nul. Le cours donne leur forme, $x\mapsto C\mathrm{e}^{ax}$ avec $C$ réel ; on veut ici en lire l'ALLURE, selon le signe de $a$ et selon la condition initiale, sans refaire l'étude de chaque fonction.

La figure représente quatre solutions de $y'=0{,}5y$ : celles qui valent $2$ , $1$ , $0$ et $-1$ en $0$ .

a) Justifiez que la solution de $y'=0{,}5y$ qui vaut $y_{0}$ en $0$ est $x\mapsto y_{0}\mathrm{e}^{0{,}5x}$ . Déterminez la solution dont la courbe passe par le point $(2\,;-\mathrm{e})$ .
b) Pour $a=0{,}5$ , donnez le sens de variation et la limite en $+\infty$ d'une solution, selon le signe de $y(0)$ . Reprenez l'étude pour $a=-0{,}5$ .
c) Démontrez que deux courbes solutions distinctes d'une même équation $y'=ay$ ne se coupent jamais, et qu'une courbe solution autre que celle de la fonction nulle ne coupe jamais l'axe des abscisses.
d) Démontrez que la courbe de $x\mapsto 2\mathrm{e}^{0{,}5x}$ se déduit de celle de $x\mapsto\mathrm{e}^{0{,}5x}$ par une translation horizontale, dont vous donnerez le sens et la longueur exacte, puis une valeur approchée au centième.
e) La courbe d'une solution d'une équation $y'=ay$ passe par les points $A(0\,;3)$ et $B(2\,;0{,}75)$ . Déterminez $a$ et cette solution, calculez sa valeur en $4$ , puis décrivez son allure.

Tape tes réponses, la page te dit juste ou faux 0/8

a)

C

pour la courbe passant par

(2\,;-\mathrm{e})

b)

a=0{,}5

et

y(0)<0

: la solution

a=-0{,}5

et

y(0)>0

: la solution

c)

Deux courbes solutions distinctes

d)

Sens de la translation

Longueur

e)

a

Valeur en

4

Voir la correction

Réponses

a) $C=y(0)=y_{0}$ ; par $(2\,;-\mathrm{e})$ : $x\mapsto-\mathrm{e}^{0{,}5x}$
b) $a=0{,}5$ : croissante vers $+\infty$ si $y(0)>0$ , décroissante vers $-\infty$ si $y(0)<0$ ; $a=-0{,}5$ : tend vers $0$ , décroissante si $y(0)>0$ , croissante si $y(0)<0$
c) $C_{1}\mathrm{e}^{ax_{0}}=C_{2}\mathrm{e}^{ax_{0}}$ impose $C_{1}=C_{2}$ ; une solution non nulle garde le signe de $C$
d) $2\mathrm{e}^{0{,}5x}=\mathrm{e}^{0{,}5(x+2\ln 2)}$ : translation vers la gauche de $2\ln 2\approx 1{,}39$
e) $a=-\ln 2\approx -0{,}693$ , $y=3\mathrm{e}^{-x\ln 2}$ , $y(4)=\frac{3}{16}$ ; positive, décroissante, tend vers $0$

a)

Les solutions sont les fonctions $x\mapsto C\mathrm{e}^{0{,}5x}$ . En $0$ , $C\mathrm{e}^{0}=C$ : la constante est l'ordonnée à l'origine, $C=y_{0}$ . C'est pour cela que les quatre courbes de la figure sont repérées par leur point sur l'axe des ordonnées. La courbe passe par $(2\,;-\mathrm{e})$ si $C\mathrm{e}^{0{,}5\times 2}=-\mathrm{e}$ , soit $C\mathrm{e}=-\mathrm{e}$ et $C=-1$ : c'est $x\mapsto-\mathrm{e}^{0{,}5x}$ , la courbe du bas de la figure.

b)

La dérivée de $x\mapsto C\mathrm{e}^{ax}$ est $x\mapsto aC\mathrm{e}^{ax}$ , du signe de $a\times C$ puisque $\mathrm{e}^{ax}>0$ . On le lit aussi sur l'équation elle-même : $y'=ay$ , et $y$ garde le signe de $C$ . Pour $a=0{,}5$ : si $y(0)>0$ , la solution est croissante et tend vers $+\infty$ en $+\infty$ ; si $y(0)<0$ , elle est décroissante et tend vers $-\infty$ ; si $y(0)=0$ , c'est la fonction nulle. En $-\infty$ , toutes tendent vers $0$ : l'axe des abscisses est asymptote à gauche. Pour $a=-0{,}5$ , tout s'inverse : si $y(0)>0$ , la solution DÉCROÎT et tend vers $0$ en $+\infty$ ; si $y(0)<0$ , elle CROÎT vers $0$ . Toutes les courbes se rapprochent alors de l'axe des abscisses à droite. La règle tient en une ligne : le sens de variation est donné par le signe de $aC$ , la limite en $+\infty$ vaut $0$ si $a<0$ , et $\pm\infty$ , du signe de $C$ , si $a>0$ .

c)

Supposons que les courbes de $x\mapsto C_{1}\mathrm{e}^{ax}$ et de $x\mapsto C_{2}\mathrm{e}^{ax}$ aient un point commun d'abscisse $x_{0}$ : $C_{1}\mathrm{e}^{ax_{0}}=C_{2}\mathrm{e}^{ax_{0}}$ . Comme $\mathrm{e}^{ax_{0}}\neq 0$ , on peut diviser : $C_{1}=C_{2}$ , et c'est la même solution. Deux courbes DISTINCTES n'ont donc aucun point commun : elles s'empilent, et l'ordre qu'elles ont en $0$ ( $2>1>0>-1$ sur la figure) est conservé partout. De même, $C\mathrm{e}^{ax}=0$ imposerait $C=0$ : une solution non nulle ne s'annule jamais et garde, sur tout $\mathbb{R}$ , le signe de $C$ . C'est la traduction graphique de l'unicité : par chaque point du plan passe UNE courbe solution, et une seule.

d)

On écrit $2=\mathrm{e}^{\ln 2}$ : $2\mathrm{e}^{0{,}5x}=\mathrm{e}^{0{,}5x+\ln 2}=\mathrm{e}^{0{,}5(x+2\ln 2)}$ . En notant $g(x)=\mathrm{e}^{0{,}5x}$ , on a donc $2\mathrm{e}^{0{,}5x}=g(x+2\ln 2)$ : la courbe de $x\mapsto 2\mathrm{e}^{0{,}5x}$ est celle de $g$ décalée VERS LA GAUCHE de $2\ln 2\approx 1{,}39$ . Contrôle : en $x=-2\ln 2$ , $2\mathrm{e}^{-\ln 2}=2\times\frac{1}{2}=1=g(0)$ ✓. Toutes les solutions de même signe ont donc la MÊME forme : multiplier par une constante positive, pour une exponentielle, revient à glisser la courbe horizontalement. C'est ce qu'on voit sur la figure, où les courbes $y(0)=2$ et $y(0)=1$ ont le même profil décalé.

e)

La solution s'écrit $x\mapsto C\mathrm{e}^{ax}$ . Le point $A$ donne $C=3$ . Le point $B$ donne $3\mathrm{e}^{2a}=0{,}75$ , soit $\mathrm{e}^{2a}=0{,}25$ , donc $2a=\ln 0{,}25=-2\ln 2$ et $a=-\ln 2\approx -0{,}693$ . La solution est $x\mapsto 3\mathrm{e}^{-x\ln 2}$ , solution de $y'=-(\ln 2)\,y$ . En $4$ : $3\mathrm{e}^{-4\ln 2}=\frac{3}{2^{4}}=\frac{3}{16}=0{,}1875$ . Allure : $a<0$ et $C>0$ , donc la fonction est positive, décroissante, et tend vers $0$ en $+\infty$ ; l'axe des abscisses est asymptote. Chaque fois que $x$ augmente de $1$ , la valeur est divisée par $\mathrm{e}^{\ln 2}=2$ : $3$ , puis $1{,}5$ , puis $0{,}75$ ✓, puis $0{,}375$ , puis $0{,}1875$ .

Ce qu'il faut retenir : avant tout calcul, le signe de $a$ dit si les courbes s'écartent de l'axe ou s'en rapprochent en $+\infty$ , et le signe de $C$ dit de quel côté de l'axe on se trouve, pour toujours.

Exercices corrigés : les équations différentielles (Terminale spécialité)

Rappel de cours

Calculs : les équations différentielles à résoudre

Exercice 0.1 : Résoudre y' = ay + b avec une condition initiale : dix calculs directs

Partie A : Les bases (/50)

Exercice 1 : Vérifier qu'une fonction est solution

Exercice 2 : Résoudre en cherchant une primitive

Exercice 3 : L'équation homogène

Exercice 4 : L'équation avec second membre constant

Exercice 5 : Condition initiale décalée et structure des solutions

Partie B : Niveau baccalauréat (/50)

Exercice 6 : La loi de refroidissement de Newton

Exercice 7 : Chute avec frottement fluide

Exercice 8 : La cuve de saumure

Exercice 9 : Quatre erreurs à corriger

Exercice 10 : Problème de synthèse : un lac et son quota de pêche

Partie C : les classiques (/50)

Exercice 11 : Ramener à la forme y' = ay + b, et retrouver l'équation

Exercice 12 : Lire une solution sans la calculer

Exercice 13 : Second membre variable : chercher une solution particulière

Exercice 14 : La propagation d'une information

Exercice 15 : La vidange d'un réservoir

Partie D : programme officiel, allure des courbes (/10)

Exercice 16 : L'allure des courbes solutions de y' = ay

Ce chapitre au bac 2025 et 2026

Ce chapitre resservira dans

Voir aussi

Vous cherchez un tuteur de spécialité maths en Terminale à Montréal ?