Spécialité maths, Terminale • Exercices corrigés à Montréal

Fiche de révision : primitives et intégration (Terminale spécialité)

Q: Quelle différence entre une intégrale et une aire ?

Une intégrale compte positivement ce qui est au-dessus de l'axe et négativement ce qui est en dessous. Une aire est toujours positive. Les deux coïncident seulement quand la fonction garde un signe positif sur tout l'intervalle. Sinon, il faut découper aux points où la fonction s'annule et prendre la valeur absolue de chaque morceau négatif.

Q: Pourquoi ajouter une constante quand on cherche une primitive ?

Parce qu'il y en a une infinité : deux primitives d'une même fonction diffèrent d'une constante, donc leurs courbes sont translatées verticalement les unes des autres. La condition initiale donnée par l'énoncé sert précisément à choisir laquelle. Sans constante dans l'écriture, cette condition ne peut plus être exploitée.

Q: Comment calculer l'aire entre deux courbes ?

On cherche d'abord les abscisses où les deux courbes se coupent : ce sont les bornes. On étudie ensuite le signe de la différence des deux fonctions pour savoir laquelle est au-dessus. On intègre enfin celle du haut moins celle du bas entre les deux bornes, et on conclut en unités d'aire, avec un résultat nécessairement positif.

Q: Quand faut-il utiliser une intégration par parties ?

Quand l'expression est un produit de deux familles différentes, typiquement un polynôme multiplié par une exponentielle, un logarithme ou une fonction trigonométrique. On choisit comme premier facteur celui qui se simplifie en dérivant, c'est-à-dire le polynôme, ou le logarithme s'il y en a un, et l'autre facteur doit se primitiver facilement.

Q: Comment trouver une primitive d'une fonction composée ?

On cherche si un facteur de l'expression est exactement la dérivée de la fonction intérieure. Si oui, on reconnaît une des trois formes du cours et on écrit la primitive directement. S'il manque seulement un nombre, on multiplie et on divise par ce nombre. S'il manque un facteur qui dépend de x, la méthode ne s'applique pas.

Q: Comment vérifier qu'une primitive est juste ?

En la dérivant. C'est le seul contrôle infaillible du chapitre et il prend une trentaine de secondes. Si la dérivée redonne exactement la fonction de départ, la primitive est correcte, à la constante près. Si un facteur supplémentaire apparaît, c'est qu'un facteur intérieur a été oublié ou mal compensé.

L'intégration est la marche arrière de la dérivation, et elle en hérite tous les pièges, à commencer par le facteur intérieur. Mais elle en ajoute un qui lui est propre et qui coûte cher au baccalauréat : le mot « aire » de l'énoncé ne désigne pas toujours la valeur de l'intégrale, parce qu'une intégrale compte négativement tout ce qui passe sous l'axe.

Cette fiche liste les huit endroits où les points partent, avec la phrase exacte qui les remet, l'arbre qui dit quelle primitive employer selon la FORME de l'expression, et un calcul d'aire entre deux courbes décortiqué ligne par ligne, avec la raison de chaque étape.

Le fil du chapitre

Une intégrale n'est pas une aire, c'est une aire SIGNÉE : tout ce qui passe sous l'axe compte négativement. Le reste du chapitre est une histoire de facteur $u'$ , exactement comme la dérivation dont il est la marche arrière.

Ce chapitre fait partie de Spécialité mathématiques en Terminale

Avant ce chapitre

Cette fiche suppose ces notions acquises. Si une méthode ci-dessous reste opaque, c'est presque toujours l'une d'elles qui manque, pas la fiche.

Exponentielle et logarithme Fiche

Remonter plus loin : la chaîne complète (10 chapitres) ↓

Le chemin de remédiation, du plus ancien au plus proche. Un élève qui reprend ce chapitre de zéro le reprend dans cet ordre.

Notions couvertes

Primitive d'une fonction
Constante d'intégration
Primitives de fonctions composées
Intégrale définie
Relation de Chasles
Positivité de l'intégrale
Valeur moyenne d'une fonction
Aire entre deux courbes
Intégration par parties
Aire signée
Unité d'aire

L'essentiel

L'intégrale compte les aires avec un signe

• Si $f\ge 0$ sur $[a\,;b]$ avec $a\le b$ , alors $\int_{a}^{b}f(x)\,dx$ est exactement l'aire sous la courbe, en unités d'aire.
• Si $f$ change de signe, l'intégrale ADDITIONNE les portions au-dessus de l'axe et SOUSTRAIT celles en dessous.
• L'aire géométrique d'un domaine où $f$ change de signe se calcule donc morceau par morceau, avec $\int|f|$ , ou en découpant aux points d'annulation.
• Conséquence : une intégrale nulle ne veut pas dire que la fonction est nulle, seulement que les deux camps se compensent.

Les deux bosses ont la même aire géométrique,

2

chacune. L'intégrale de

0

2\pi

vaut pourtant

0

, tandis que l'aire du domaine vaut

4

: ce sont deux questions différentes.

Un énoncé qui dit « calculer l'intégrale » veut le nombre signé; un énoncé qui dit « calculer l'aire du domaine » veut un nombre POSITIF. Confondre les deux est la première perte de points du chapitre.

Primitives : la table, et surtout les composées

• $F$ est une primitive de $f$ sur $I$ lorsque $F'=f$ sur $I$ . Deux primitives d'une même fonction diffèrent d'une CONSTANTE.
• Les trois formes composées qui reviennent partout : $u'u^{n}$ a pour primitive $\frac{u^{n+1}}{n+1}$ , $\frac{u'}{u}$ a pour primitive $\ln|u|$ , et $u'\mathrm{e}^{u}$ a pour primitive $\mathrm{e}^{u}$ .
• Le facteur $u'$ doit être PRÉSENT dans l'expression, ou fabriqué en multipliant et divisant par une constante. On ne fabrique jamais un facteur variable.
• Théorème fondamental : si $F$ est une primitive de $f$ sur $[a\,;b]$ , alors $\int_{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a)$ , noté $\bigl[F(x)\bigr]_{a}^{b}$ .

Toute primitive se vérifie en la dérivant. Trente secondes, et cela attrape l'intégralité des erreurs de facteur : c'est le contrôle le plus rentable du chapitre.

Les propriétés qui servent vraiment

• Chasles : $\int_{a}^{b}f+\int_{b}^{c}f=\int_{a}^{c}f$ , et $\int_{b}^{a}f=-\int_{a}^{b}f$ . C'est elle qui autorise le découpage aux points d'annulation.
• Linéarité : $\int_{a}^{b}\bigl(\lambda f+\mu g\bigr)=\lambda\int_{a}^{b}f+\mu\int_{a}^{b}g$ . Il n'y a AUCUNE propriété pour le produit ni pour le quotient.
• Positivité et comparaison : si $f\ge 0$ sur $[a\,;b]$ avec $a\le b$ , alors $\int_{a}^{b}f\ge 0$ ; et si $f\le g$ , alors $\int_{a}^{b}f\le\int_{a}^{b}g$ .
• Valeur moyenne de $f$ sur $[a\,;b]$ : $\mu=\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}f(x)\,dx$ . C'est la hauteur du rectangle de même base et de même aire.

L'intégration par parties, et quand elle s'impose

• $\int_{a}^{b}u(x)v'(x)\,dx=\bigl[u(x)v(x)\bigr]_{a}^{b}-\int_{a}^{b}u'(x)v(x)\,dx$ .
• Elle sert quand l'expression est un PRODUIT de deux familles différentes : polynôme fois exponentielle, polynôme fois logarithme, polynôme fois fonction trigonométrique.
• Règle de choix : $u$ est le facteur qui SE SIMPLIFIE en dérivant, donc le polynôme, ou le logarithme quand il y en a un. $v'$ est celui qui se primitive sans peine.
• Le crochet se calcule en premier et se garde tel quel : ne pas oublier le signe moins devant l'intégrale restante.

Un $\ln x$ seul se primitive aussi par parties, en posant $u=\ln x$ et $v'=1$ : on obtient $x\ln x-x$ . C'est un classique de question intermédiaire au baccalauréat.

Les règles de calcul en tableau

Chaque ligne se lit de gauche à droite : les hypothèses, puis le résultat. Une case rouge n'est pas une réponse, c'est le constat que la forme ne décide rien et l'ordre de transformer l'écriture. Chaque cas est suivi d'un exemple chiffré.

Les primitives au programme, et la valeur de l'intégrale qu'elles donnent

Huit lignes, et le baccalauréat n'en emploie pas d'autre. Chacune est suivie d'une intégrale calculée, parce que c'est le nombre final qui est noté, pas la primitive.

$f(x)$	Une primitive $F$	Exemple d'intégrale et sa valeur
$k$ , constante	$kx$	$\int_{1}^{4}3\,dx=9$
Exemple : L'aire d'un rectangle de base $3$ et de hauteur $3$ . C'est la ligne qu'on oublie quand un terme constant traîne dans un polynôme.
$x^{n}$ , $n\neq-1$	$\frac{x^{n+1}}{n+1}$	$\int_{0}^{2}x^{3}\,dx=4$
Exemple : $\left[\frac{x^{4}}{4}\right]_{0}^{2}=\frac{16}{4}-0=4$ . On ajoute $1$ à l'exposant, on divise par le nouvel exposant.
$\frac{1}{x}$	$\ln\|x\|$	$\int_{1}^{\mathrm{e}}\frac{dx}{x}=1$
Exemple : $\left[\ln x\right]_{1}^{\mathrm{e}}=1-0=1$ . La valeur absolue devient inutile dès que l'intervalle est dans $]0\,;+\infty[$ , mais elle s'écrit tant que le signe n'est pas fixé.
$\mathrm{e}^{ax+b}$	$\frac{1}{a}\mathrm{e}^{ax+b}$	$\int_{0}^{1}\mathrm{e}^{2x}dx=\frac{\mathrm{e}^{2}-1}{2}$
Exemple : Soit environ $3{,}195$ . Le facteur $\frac{1}{a}$ compense le $a$ que la dérivation ferait sortir : c'est la même règle que $u'\mathrm{e}^{u}$ , écrite à l'envers.
$\cos(ax+b)$	$\frac{1}{a}\sin(ax+b)$	$\int_{0}^{\pi/6}\cos(3x)\,dx=\frac{1}{3}$
Exemple : $\left[\frac{\sin 3x}{3}\right]_{0}^{\pi/6}=\frac{1}{3}$ puisque $\sin\frac{\pi}{2}=1$ . Oublier le $\frac{1}{3}$ multiplie la réponse par trois.
$u'u^{n}$	$\frac{u^{n+1}}{n+1}$	$\int_{0}^{1}2x\left(x^{2}+1\right)^{3}dx=3{,}75$
Exemple : $\left[\frac{\left(x^{2}+1\right)^{4}}{4}\right]_{0}^{1}=\frac{16-1}{4}=3{,}75$ . Le $2x$ est le $u'$ , et il doit être écrit avant de reconnaître la forme.
$\frac{u'}{u}$	$\ln\|u\|$	$\int_{0}^{1}\frac{2x}{x^{2}+1}dx=\ln 2$
Exemple : Soit environ $0{,}693$ . Le numérateur est exactement la dérivée du dénominateur : c'est la seule condition.
$u'\mathrm{e}^{u}$	$\mathrm{e}^{u}$	$\int_{0}^{1}2x\,\mathrm{e}^{x^{2}}dx=\mathrm{e}-1$
Exemple : Soit environ $1{,}718$ . S'il manquait le $2$ , on multiplierait et diviserait par $2$ ; s'il manquait le $x$ , aucune de ces lignes ne s'appliquerait.

Le contrôle est gratuit et il vaut le demi-point de rigueur : dériver la primitive trouvée doit redonner l'intégrande, facteur $u'$ compris.

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Oublier la constante en cherchant une primitive

1 point, et toute la question de condition initiale

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Une primitive de $f(x)=x$ est $F(x)=\frac{x^{2}}{2}$ , donc la solution du problème est $\frac{x^{2}}{2}$ . »

Ce qu'il faut écrire

« Les primitives de $f$ sont les fonctions $F(x)=\frac{x^{2}}{2}+C$ , avec $C$ réel. La condition $F(0)=3$ donne $C=3$ , donc $F(x)=\frac{x^{2}}{2}+3$ . »

Trois courbes translatées verticalement, une seule et même dérivée en chaque abscisse : les tangentes y sont parallèles. Seule une condition initiale désigne laquelle des trois est LA primitive cherchée.

Pourquoi : Il y a une INFINITÉ de primitives, toutes translatées verticalement les unes des autres. C'est précisément la condition initiale de l'énoncé qui en choisit une, et sans constante il n'y a rien à choisir.

2. Prendre l'intégrale pour l'aire quand la fonction change de signe

toute la question, environ 3 points

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\int_{0}^{3}(x^{2}-2x)\,dx=0$ , donc l'aire du domaine compris entre la courbe et l'axe est nulle. »

Ce qu'il faut écrire

« $x^{2}-2x$ est négative sur $[0\,;2]$ et positive sur $[2\,;3]$ . L'aire vaut $\left|\int_{0}^{2}(x^{2}-2x)\,dx\right|+\int_{2}^{3}(x^{2}-2x)\,dx=\frac{4}{3}+\frac{4}{3}=\frac{8}{3}$ unités d'aire. »

Pourquoi : Une aire est positive par définition; une intégrale ne l'est que si la fonction l'est. Quand l'énoncé dit « aire », il faut découper aux points d'annulation avec la relation de Chasles.

3. Calculer une aire entre deux courbes dans le mauvais sens

1 point, et un résultat négatif rendu comme une aire

Ce qu'il ne faut pas écrire

« L'aire entre $\mathcal{C}_{f}$ et $\mathcal{C}_{g}$ vaut $\int_{0}^{3}\bigl(f(x)-g(x)\bigr)\,dx=-4{,}5$ unités d'aire. »

Ce qu'il faut écrire

« Sur $[0\,;3]$ , $g(x)-f(x)=3x-x^{2}=x(3-x)\ge 0$ , donc $\mathcal{C}_{g}$ est AU-DESSUS. L'aire vaut $\int_{0}^{3}\bigl(g(x)-f(x)\bigr)\,dx=4{,}5$ unités d'aire. »

Pourquoi : C'est toujours « celle du haut moins celle du bas ». Le signe de la différence doit être ÉTUDIÉ avant l'intégration, pas deviné : c'est cette étude qui dit laquelle des deux est en haut.

4. Échanger les bornes sans changer le signe

1 point, et le résultat est l'opposé de la bonne réponse

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\int_{3}^{1}f(x)\,dx=\int_{1}^{3}f(x)\,dx$ puisque c'est le même domaine. »

Ce qu'il faut écrire

« $\int_{3}^{1}f(x)\,dx=-\int_{1}^{3}f(x)\,dx$ : échanger les bornes change le signe. »

Pourquoi : L'intégrale est définie par $F(b)-F(a)$ , une différence dans un ordre précis. Inverser $a$ et $b$ inverse cette différence, et c'est aussi pour cela que la relation de Chasles fonctionne quel que soit l'ordre des points.

5. Primitiver une composée sans le facteur intérieur

toute la question, et beaucoup de temps perdu à chercher

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Une primitive de $f(x)=\mathrm{e}^{x^{2}}$ est $F(x)=\frac{\mathrm{e}^{x^{2}}}{2x}$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $\mathrm{e}^{x^{2}}$ n'a pas de primitive exprimable avec les fonctions du programme. En revanche $2x\,\mathrm{e}^{x^{2}}$ a pour primitive $\mathrm{e}^{x^{2}}$ , et $x\,\mathrm{e}^{x^{2}}$ a pour primitive $\frac{1}{2}\mathrm{e}^{x^{2}}$ . »

Pourquoi : On ne divise pas par une expression variable pour compenser un facteur manquant, alors qu'on peut le faire pour une CONSTANTE. Le test est de dériver la primitive proposée : la règle du quotient fait apparaître des termes qui n'étaient pas là.

6. Écrire $\ln u$ au lieu de $\ln|u|$ dans une primitive

0,5 à 1 point, et un logarithme d'un nombre négatif apparaît dans le calcul

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Une primitive de $\frac{1}{x-3}$ sur $]-\infty\,;3[$ est $\ln(x-3)$ . »

Ce qu'il faut écrire

« Sur $]-\infty\,;3[$ , on a $x-3<0$ , donc une primitive de $\frac{1}{x-3}$ est $\ln|x-3|=\ln(3-x)$ . »

Pourquoi : $\ln$ n'existe que sur les nombres strictement positifs. La valeur absolue n'est pas une précaution de style : sans elle, l'expression n'a aucun sens sur l'intervalle considéré.

7. Confondre la valeur moyenne et la moyenne des valeurs aux bornes

1 point, et une valeur qui ne veut rien dire

Ce qu'il ne faut pas écrire

« La valeur moyenne de $f(x)=x^{2}$ sur $[0\,;3]$ vaut $\frac{f(0)+f(3)}{2}=\frac{0+9}{2}=4{,}5$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $\mu=\frac{1}{3-0}\int_{0}^{3}x^{2}\,dx=\frac{1}{3}\times\left[\frac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{3}=\frac{1}{3}\times 9=3$ . »

Le rectangle de hauteur

3

sur

[0\,;3]

a la même aire que le domaine sous la parabole : ce qui manque à gauche est rendu à droite. La moyenne des bornes vaudrait

4{,}5

Pourquoi : La valeur moyenne est la hauteur du RECTANGLE de même base et de même aire que le domaine sous la courbe. Elle tient compte de toute la fonction, pas de deux points; la moyenne des extrémités n'est correcte que pour une fonction affine.

8. Choisir le mauvais facteur comme $u$ dans une intégration par parties

aucun point directement, mais l'exercice devient insoluble en temps limité

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\int_{0}^{1}x\mathrm{e}^{x}\,dx$ avec $u=\mathrm{e}^{x}$ et $v'=x$ , donc $u'=\mathrm{e}^{x}$ et $v=\frac{x^{2}}{2}$ . »

Ce qu'il faut écrire

« On pose $u=x$ et $v'=\mathrm{e}^{x}$ , donc $u'=1$ et $v=\mathrm{e}^{x}$ : l'intégrale restante $\int_{0}^{1}\mathrm{e}^{x}\,dx$ est plus simple que celle de départ. »

Pourquoi : Le but de l'intégration par parties est de SIMPLIFIER l'intégrale restante. Le bon $u$ est celui qui se simplifie en dérivant : un polynôme perd un degré, un logarithme devient une fraction rationnelle.

Quelle méthode choisir

Quelle primitive selon la forme de l'expression

On cherche d'abord si un facteur ressemble à la dérivée d'un autre morceau. C'est ce repérage, et non le thème de l'exercice, qui désigne la formule.

Si polynôme, terme par terme → $x^{n}$ a pour primitive $\frac{x^{n+1}}{n+1}$ , sans oublier que la constante $k$ a pour primitive $kx$

Exemple : $3x^{2}-2x+5$ a pour primitive $x^{3}-x^{2}+5x+C$
Si un facteur est exactement la dérivée de ce qui est élevé à une puissance → forme $u'u^{n}$ , primitive $\frac{u^{n+1}}{n+1}$

Exemple : $2x(x^{2}+1)^{3}$ a pour primitive $\frac{(x^{2}+1)^{4}}{4}$
Si le numérateur est la dérivée du dénominateur → forme $\frac{u'}{u}$ , primitive $\ln|u|$ , avec la valeur absolue tant que le signe de $u$ n'est pas connu

Exemple : $\frac{2x}{x^{2}+1}$ a pour primitive $\ln(x^{2}+1)$
Si un facteur est la dérivée de l'exposant d'une exponentielle → forme $u'\mathrm{e}^{u}$ , primitive $\mathrm{e}^{u}$

Exemple : $x\mathrm{e}^{x^{2}}$ a pour primitive $\frac{1}{2}\mathrm{e}^{x^{2}}$ , après avoir fabriqué le facteur $2$
Si l'expression est un PRODUIT de deux familles différentes, polynôme et exponentielle, ou polynôme et logarithme → intégration par parties, avec $u$ le facteur qui se simplifie en dérivant

Exemple : $\int_{0}^{1}x\mathrm{e}^{x}\,dx=\bigl[x\mathrm{e}^{x}\bigr]_{0}^{1}-\int_{0}^{1}\mathrm{e}^{x}\,dx=1$
Si il manque un facteur CONSTANT pour reconnaître une forme → multiplier et diviser par cette constante, ce qui est toujours licite

Exemple : $\mathrm{e}^{3x}=\frac{1}{3}\times 3\mathrm{e}^{3x}$ , donc la primitive est $\frac{1}{3}\mathrm{e}^{3x}$

Ce qui est interdit, c'est de fabriquer un facteur VARIABLE : on ne divise jamais par $x$ pour compenser un $x$ manquant.

Aucune branche ne s'applique ? Le programme de Terminale n'exige alors aucune primitive : la question porte sûrement sur un encadrement, une valeur approchée ou une propriété, pas sur un calcul exact.

Quelle méthode selon la question posée

Le mot employé par l'énoncé décide, et il n'y en a que cinq sur ce chapitre.

Si « calculer $\int_{a}^{b}f(x)\,dx$ » → primitive puis $F(b)-F(a)$ , sans se soucier du signe du résultat
Si « calculer l'AIRE du domaine compris entre la courbe et l'axe » → étudier le signe de $f$ , découper aux points d'annulation, et prendre la valeur absolue de chaque morceau négatif

Exemple : $\int_{0}^{3}(x^{2}-2x)\,dx=0$ mais l'aire vaut $\frac{8}{3}$
Si « calculer l'aire entre DEUX courbes » → trouver les abscisses d'intersection, étudier le signe de la différence, puis intégrer « haut moins bas »

Exemple : $\int_{0}^{3}\bigl(x-(x^{2}-2x)\bigr)\,dx=4{,}5$
Si « déterminer la valeur moyenne » → $\mu=\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}f$ , et ne jamais moyenner les valeurs aux bornes
Si « encadrer » ou « montrer que la suite $I_{n}$ converge » → encadrer la FONCTION sur l'intervalle, puis intégrer l'encadrement grâce à la propriété de comparaison

Exemple : $0\le\frac{x^{n}}{1+x}\le x^{n}$ sur $[0\,;1]$ donne $0\le I_{n}\le\frac{1}{n+1}$

Le mot « unités d'aire » n'est pas décoratif : il doit figurer dans la conclusion. Quand l'énoncé donne une échelle, il faut de plus multiplier par l'aire d'un carreau.

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Calculer l'aire entre deux courbes, de l'intersection à l'unité d'aire

Quand l'utiliser : L'énoncé donne deux fonctions et demande l'aire du domaine qu'elles délimitent.

1 Chercher les abscisses d'intersection en résolvant $f(x)=g(x)$ , ce qui donne les bornes de l'intégrale.
2 Étudier le SIGNE de $g(x)-f(x)$ sur l'intervalle, en le factorisant : « $g(x)-f(x)=x(3-x)\ge 0$ sur $[0\,;3]$ ».
3 En déduire laquelle des deux courbes est au-dessus, et l'écrire en toutes lettres.
4 Poser l'intégrale « haut moins bas » avec les bonnes bornes, puis chercher une primitive de la DIFFÉRENCE et non de chaque fonction.
5 Calculer $F(b)-F(a)$ , vérifier que le résultat est positif, et conclure en unités d'aire.

Phrase de conclusion

Sur $[0\,;3]$ , $\mathcal{C}_{g}$ est au-dessus de $\mathcal{C}_{f}$ , donc l'aire du domaine vaut $\int_{0}^{3}\bigl(g(x)-f(x)\bigr)\,dx=\frac{9}{2}$ unités d'aire.

Le piège : Intégrer $f$ et $g$ séparément puis soustraire les résultats. C'est licite par linéarité, mais bien plus long et cela masque le signe de la différence, donc le point de justification.

Barème : 1 point pour les intersections, 1 point pour le signe de la différence, 1 point pour la primitive, 1 point pour la conclusion en unités d'aire.

Une intégration par parties rédigée pour le correcteur

Quand l'utiliser : L'expression à intégrer est un produit de deux familles différentes, et l'énoncé ne fournit pas de primitive.

1 Annoncer le choix en écrivant les quatre lignes séparément : « Posons $u(x)=x$ , $v'(x)=\mathrm{e}^{x}$ , d'où $u'(x)=1$ et $v(x)=\mathrm{e}^{x}$ . »
2 Justifier que $u$ et $v$ sont dérivables à dérivées continues sur l'intervalle : c'est l'hypothèse du théorème.
3 Écrire la formule complète avec le crochet ET le signe moins devant l'intégrale restante.
4 Calculer le crochet en premier, séparément, en écrivant $u(b)v(b)-u(a)v(a)$ .
5 Calculer l'intégrale restante, qui doit être plus simple, puis rassembler.
6 Conclure par la valeur exacte, et seulement ensuite une valeur approchée si l'énoncé la demande.

Phrase de conclusion

$\int_{0}^{1}x\mathrm{e}^{x}\,dx=\bigl[x\mathrm{e}^{x}\bigr]_{0}^{1}-\int_{0}^{1}\mathrm{e}^{x}\,dx=\mathrm{e}-\bigl(\mathrm{e}-1\bigr)=1$ .

Le piège : Oublier le signe moins devant l'intégrale restante, ou l'appliquer au crochet. Le moins ne porte que sur $\int u'v$ , et le crochet reste tel quel.

Barème : 1 point pour le choix de $u$ et $v'$ avec les dérivées, 1 point pour la formule écrite en entier, 1 point pour le crochet, 1 point pour le calcul final.

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

Dériver la primitive trouvée

Le seul contrôle infaillible du chapitre : si $F'\neq f$ , la primitive est fausse. Il prend trente secondes et attrape tous les facteurs manquants.

Dériver $\frac{\mathrm{e}^{x^{2}}}{2x}$ fait apparaître un terme en $\frac{1}{x^{2}}$ qui n'existe pas dans $\mathrm{e}^{x^{2}}$ : la primitive proposée est fausse.
Contrôler le signe attendu du résultat

Une aire est positive. Une intégrale d'une fonction positive sur un intervalle orienté dans le bon sens est positive. Un résultat négatif là où on attendait une aire signale un ordre inversé.

Un $-4{,}5$ rendu comme aire : la différence a été prise « bas moins haut ».
Estimer l'intégrale par l'ordre de grandeur

Encadrer grossièrement la fonction sur l'intervalle, puis multiplier par la longueur : le résultat doit tomber dans l'encadrement. C'est la vérification la plus rapide et la plus négligée.

Sur $[0\,;3]$ , $0\le x^{2}\le 9$ donne $0\le\int_{0}^{3}x^{2}\,dx\le 27$ ; la valeur $9$ est plausible, une valeur de $40$ ne l'est pas.
Faire calculer l'intégrale par la calculatrice

Sur TI, la commande fnInt, sur Casio, le menu RUN et l'opération d'intégration, donnent une valeur approchée. On la compare à la valeur exacte trouvée.

Une valeur exacte de $\frac{9}{2}$ contre un $4{,}5$ affiché : le calcul est validé. Un $2{,}25$ affiché dirait qu'un facteur $2$ a été perdu.
Vérifier la valeur moyenne par son encadrement

La valeur moyenne est toujours comprise entre le minimum et le maximum de la fonction sur l'intervalle. Une moyenne hors de cet encadrement est fausse sans discussion.

Sur $[0\,;3]$ , $x^{2}$ varie de $0$ à $9$ : une moyenne de $3$ est plausible, une moyenne de $12$ est impossible.

L'exercice type décortiqué

Aire entre deux courbes, avec le piège du signe

Soit $f$ et $g$ définies sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^{2}-2x$ et $g(x)=x$ , de courbes $\mathcal{C}_{f}$ et $\mathcal{C}_{g}$ .

1. Déterminer les abscisses des points d'intersection. 2. Étudier la position relative des deux courbes sur l'intervalle obtenu. 3. Calculer l'aire du domaine délimité par les deux courbes. 4. Calculer $\int_{0}^{3}f(x)\,dx$ et commenter.

Le domaine cherché est pris entre la droite, qui est au-dessus, et la parabole, qui est en dessous. La parabole passe sous l'axe entre

0

2

: c'est ce qui rendra sa propre intégrale trompeuse à la question 4.

Étape 1

$f(x)=g(x)$ équivaut à $x^{2}-2x=x$ , soit $x^{2}-3x=0$ , soit $x(x-3)=0$ . Les abscisses d'intersection sont donc $0$ et $3$ .

Pourquoi

Ce sont les BORNES de l'intégrale, et elles ne sont pas données par l'énoncé : les oublier, c'est intégrer sur un intervalle arbitraire. La factorisation évite le discriminant, plus long ici.

Étape 2

$g(x)-f(x)=x-(x^{2}-2x)=3x-x^{2}=x(3-x)$ . Sur $[0\,;3]$ , $x\ge 0$ et $3-x\ge 0$ , donc $g(x)-f(x)\ge 0$ : $\mathcal{C}_{g}$ est au-dessus de $\mathcal{C}_{f}$ .

Pourquoi

L'étude du signe se fait sur la DIFFÉRENCE factorisée, jamais sur le dessin. C'est elle qui décide de l'ordre de la soustraction, donc du signe du résultat final.

Étape 3

L'aire vaut $\mathcal{A}=\int_{0}^{3}\bigl(g(x)-f(x)\bigr)\,dx=\int_{0}^{3}\bigl(3x-x^{2}\bigr)\,dx$ . Une primitive de $3x-x^{2}$ est $\frac{3x^{2}}{2}-\frac{x^{3}}{3}$ .

Pourquoi

On primitive la différence en une seule fois. Primitiver $f$ et $g$ séparément est licite mais double le risque d'erreur et fait perdre le fil du signe.

Étape 4

$\mathcal{A}=\left[\frac{3x^{2}}{2}-\frac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{3}=\left(\frac{27}{2}-9\right)-0=\frac{9}{2}$ . L'aire vaut donc $\frac{9}{2}=4{,}5$ unités d'aire.

Pourquoi

Le résultat est positif, ce qui confirme l'ordre de la soustraction. Les mots « unités d'aire » font partie de la réponse attendue et valent souvent un demi-point.

Étape 5

$\int_{0}^{3}f(x)\,dx=\left[\frac{x^{3}}{3}-x^{2}\right]_{0}^{3}=(9-9)-0=0$ .

Pourquoi

Le calcul est court, mais le résultat est le cœur du chapitre : une intégrale nulle sur un intervalle où la fonction n'est nulle qu'en deux points.

Étape 6

Commentaire : $f$ est négative sur $[0\,;2]$ et positive sur $[2\,;3]$ . Les deux portions ont la même aire, $\frac{4}{3}$ , et se compensent dans l'intégrale. L'aire GÉOMÉTRIQUE du domaine entre $\mathcal{C}_{f}$ et l'axe vaut donc $\frac{4}{3}+\frac{4}{3}=\frac{8}{3}$ .

Pourquoi

C'est la phrase que le correcteur attend : une intégrale nulle ne dit pas que la fonction est nulle, elle dit que les deux camps s'équilibrent. Le découpage par la relation de Chasles est ce qui rend l'aire calculable.

Étape 7

Vérification : la calculatrice donne $\int_{0}^{3}(3x-x^{2})\,dx\approx 4{,}5$ et $\int_{0}^{3}(x^{2}-2x)\,dx\approx 0$ , conformes aux valeurs exactes.

Pourquoi

Deux évaluations numériques qui valident les primitives et l'ordre de la soustraction. Un $-4{,}5$ à l'écran dirait immédiatement que la différence a été prise à l'envers.

Conclusion rédigée

Les deux courbes se coupent en $x=0$ et $x=3$ , la droite est au-dessus de la parabole sur tout l'intervalle, et l'aire du domaine délimité vaut $\frac{9}{2}$ unités d'aire; l'intégrale de $f$ sur le même intervalle est nulle parce que les portions situées de part et d'autre de l'axe se compensent exactement.

L'erreur classique sur cet exercice : Répondre que l'aire entre $\mathcal{C}_{f}$ et l'axe est nulle à la question 4, parce que l'intégrale l'est. Le mot « aire » impose de découper aux points d'annulation, ce qui donne $\frac{8}{3}$ et non $0$ .

À savoir par cœur

• Une intégrale est une aire SIGNÉE. Le mot « aire » de l'énoncé impose de découper aux points d'annulation.
• Deux primitives d'une même fonction diffèrent d'une constante : sans $+C$ , il n'y a rien à ajuster avec la condition initiale.
• $u'u^{n}\to\frac{u^{n+1}}{n+1}$ , $\frac{u'}{u}\to\ln|u|$ , $u'\mathrm{e}^{u}\to\mathrm{e}^{u}$ . Le facteur $u'$ doit être là.
• On fabrique un facteur CONSTANT manquant, jamais un facteur variable.
• Aire entre deux courbes : « haut moins bas », après avoir étudié le signe de la différence.
• $\int_{b}^{a}f=-\int_{a}^{b}f$ : échanger les bornes change le signe.
• Valeur moyenne : $\mu=\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}f$ , toujours comprise entre le minimum et le maximum de $f$ .
• Intégration par parties : $u$ est le facteur qui se SIMPLIFIE en dérivant, et le signe moins ne porte que sur l'intégrale restante.
• Toute primitive se vérifie en la dérivant.

Questions fréquentes

Quelle différence entre une intégrale et une aire ?

Une intégrale compte positivement ce qui est au-dessus de l'axe et négativement ce qui est en dessous. Une aire est toujours positive. Les deux coïncident seulement quand la fonction garde un signe positif sur tout l'intervalle. Sinon, il faut découper aux points où la fonction s'annule et prendre la valeur absolue de chaque morceau négatif.

Pourquoi ajouter une constante quand on cherche une primitive ?

Parce qu'il y en a une infinité : deux primitives d'une même fonction diffèrent d'une constante, donc leurs courbes sont translatées verticalement les unes des autres. La condition initiale donnée par l'énoncé sert précisément à choisir laquelle. Sans constante dans l'écriture, cette condition ne peut plus être exploitée.

Comment calculer l'aire entre deux courbes ?

On cherche d'abord les abscisses où les deux courbes se coupent : ce sont les bornes. On étudie ensuite le signe de la différence des deux fonctions pour savoir laquelle est au-dessus. On intègre enfin celle du haut moins celle du bas entre les deux bornes, et on conclut en unités d'aire, avec un résultat nécessairement positif.

Quand faut-il utiliser une intégration par parties ?

Quand l'expression est un produit de deux familles différentes, typiquement un polynôme multiplié par une exponentielle, un logarithme ou une fonction trigonométrique. On choisit comme premier facteur celui qui se simplifie en dérivant, c'est-à-dire le polynôme, ou le logarithme s'il y en a un, et l'autre facteur doit se primitiver facilement.

Comment trouver une primitive d'une fonction composée ?

On cherche si un facteur de l'expression est exactement la dérivée de la fonction intérieure. Si oui, on reconnaît une des trois formes du cours et on écrit la primitive directement. S'il manque seulement un nombre, on multiplie et on divise par ce nombre. S'il manque un facteur qui dépend de x, la méthode ne s'applique pas.

Comment vérifier qu'une primitive est juste ?

En la dérivant. C'est le seul contrôle infaillible du chapitre et il prend une trentaine de secondes. Si la dérivée redonne exactement la fonction de départ, la primitive est correcte, à la constante près. Si un facteur supplémentaire apparaît, c'est qu'un facteur intérieur a été oublié ou mal compensé.

Passer à la pratique

Exercices corrigés : Primitives et intégration

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

15 exercices corrigés
150 points
225 minutes

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Les équations différentielles

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Fiche de révision : primitives et intégration (Terminale spécialité)

L'essentiel

L'intégrale compte les aires avec un signe

Primitives : la table, et surtout les composées

Les propriétés qui servent vraiment

L'intégration par parties, et quand elle s'impose

Les règles de calcul en tableau

Les primitives au programme, et la valeur de l'intégrale qu'elles donnent

Les pièges qui coûtent des points

1. Oublier la constante en cherchant une primitive

2. Prendre l'intégrale pour l'aire quand la fonction change de signe

3. Calculer une aire entre deux courbes dans le mauvais sens

4. Échanger les bornes sans changer le signe

5. Primitiver une composée sans le facteur intérieur

6. Écrire ln⁡u\ln ulnu au lieu de ln⁡∣u∣\ln|u|ln∣u∣ dans une primitive

7. Confondre la valeur moyenne et la moyenne des valeurs aux bornes

8. Choisir le mauvais facteur comme uuu dans une intégration par parties

Quelle méthode choisir

Quelle primitive selon la forme de l'expression

Quelle méthode selon la question posée

La rédaction attendue

Calculer l'aire entre deux courbes, de l'intersection à l'unité d'aire

Une intégration par parties rédigée pour le correcteur

Vérifier avant de rendre

L'exercice type décortiqué

Aire entre deux courbes, avec le piège du signe

À savoir par cœur

Questions fréquentes

Quelle différence entre une intégrale et une aire ?

Pourquoi ajouter une constante quand on cherche une primitive ?

Comment calculer l'aire entre deux courbes ?

Quand faut-il utiliser une intégration par parties ?

Comment trouver une primitive d'une fonction composée ?

Comment vérifier qu'une primitive est juste ?

Exercices corrigés : Primitives et intégration

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6. Écrire $\ln u$ au lieu de $\ln|u|$ dans une primitive

8. Choisir le mauvais facteur comme $u$ dans une intégration par parties