Spécialité maths, Terminale • Exercices corrigés à Montréal

Fiche de révision : exponentielle et logarithme (Terminale spécialité)

Exponentielle et logarithme sont deux faces du même objet, et c'est précisément pour cela qu'ils se confondent. Les propriétés algébriques se ressemblent, les dérivées se ressemblent, et une copie qui se trompe de sens obtient un résultat d'allure correcte. Au baccalauréat, ces deux fonctions apparaissent dans presque tous les sujets, dans l'analyse comme dans les probabilités.

Cette fiche liste les huit endroits où les points se perdent, avec la phrase exacte qui les remet, l'arbre qui dit quelle méthode employer selon la forme de l'équation, et une étude complète de fonction avec exponentielle décortiquée ligne par ligne, avec la raison de chaque étape.

Le fil du chapitre

L'exponentielle transforme les sommes en produits et le logarithme fait l'inverse. Toutes les erreurs du chapitre viennent d'avoir appliqué une de ces deux règles dans le mauvais sens, ou d'avoir manipulé un logarithme sans avoir écrit son domaine.

Ce chapitre fait partie de Spécialité mathématiques en Terminale

Avant ce chapitre

Cette fiche suppose ces notions acquises. Si une méthode ci-dessous reste opaque, c'est presque toujours l'une d'elles qui manque, pas la fiche.

Remonter plus loin : la chaîne complète (15 chapitres) ↓

Le chemin de remédiation, du plus ancien au plus proche. Un élève qui reprend ce chapitre de zéro le reprend dans cet ordre.

1Configurations et trigonométrieSeconde
2Généralités sur les fonctionsSeconde
3Fonctions affines et systèmesSeconde
4Algorithmique et PythonSeconde
5Les suites numériquesPremière
6La dérivationPremière
7La fonction exponentiellePremière
8La trigonométriePremière
9Dérivation et trigonométrie
10La notion de fonctionTroisième
11Les fonctions affinesTroisième
12Trigonométrie : sinus et cosinusTroisième
13Thalès, réciproque et agrandissementsTroisième
14Équations, équations produit et inéquationsTroisième
15Algorithmique et ScratchTroisième

Notions couvertes

Fonction exponentielle
Logarithme népérien
Relation fonctionnelle de l'exponentielle
Propriétés algébriques du logarithme
Fonctions réciproques
Domaine de définition
Équations et inéquations exponentielles
Croissances comparées
Dérivée d'une exponentielle composée
Décroissance radioactive
Demi-vie

L'essentiel

Deux fonctions réciproques, deux domaines très différents

• $\mathrm{e}^{x}$ est définie sur $\mathbb{R}$ et STRICTEMENT POSITIVE : elle ne s'annule jamais, ce qui autorise à diviser par elle sans condition.
• $\ln x$ n'est définie que pour $x>0$ . Toute équation ou inéquation avec un logarithme commence par la recherche du domaine, écrite avant tout calcul.
• $\ln(\mathrm{e}^{x})=x$ pour tout réel $x$ , et $\mathrm{e}^{\ln x}=x$ pour tout $x>0$ : chacune défait l'autre.
• Les deux sont strictement croissantes, donc $\mathrm{e}^{a}=\mathrm{e}^{b}\iff a=b$ et $\ln a=\ln b\iff a=b$ pour $a$ et $b$ strictement positifs, avec conservation du sens dans les inéquations.

Chaque courbe est l'image de l'autre par la symétrie d'axe

y=x

. L'exponentielle reste au-dessus de l'axe des abscisses, le logarithme reste à droite de l'axe des ordonnées : voilà les deux domaines.

Les courbes sont symétriques par rapport à la droite $y=x$ . Cette symétrie n'est pas une décoration : elle explique que $\ln$ ait une asymptote verticale là où $\mathrm{e}^{x}$ a une asymptote horizontale.

Les propriétés algébriques, et leur seul sens de lecture

• $\mathrm{e}^{a+b}=\mathrm{e}^{a}\mathrm{e}^{b}$ , $\mathrm{e}^{-a}=\frac{1}{\mathrm{e}^{a}}$ , $\bigl(\mathrm{e}^{a}\bigr)^{n}=\mathrm{e}^{an}$ : la SOMME dans l'exposant devient un PRODUIT.
• $\ln(ab)=\ln a+\ln b$ , $\ln\frac{a}{b}=\ln a-\ln b$ , $\ln(a^{n})=n\ln a$ , pour $a$ et $b$ strictement positifs : le PRODUIT devient une SOMME.
• Ce qui n'existe pas : $\ln(a+b)$ ne se décompose pas, $\mathrm{e}^{a+b}$ n'est pas $\mathrm{e}^{a}+\mathrm{e}^{b}$ , $\frac{\ln a}{\ln b}$ n'est pas $\ln\frac{a}{b}$ .
• Valeurs à connaître : $\mathrm{e}^{0}=1$ , $\ln 1=0$ , $\ln\mathrm{e}=1$ , et $\ln 2\approx 0{,}693$ .

Le test qui tranche en cinq secondes : essayer avec des nombres. $\ln(1+1)=\ln 2\approx 0{,}69$ alors que $\ln 1+\ln 1=0$ . Une propriété fausse se voit toujours sur un exemple numérique.

Les quatre croissances comparées, et ce qu'elles disent

• $\lim_{x\to+\infty}\frac{\mathrm{e}^{x}}{x^{n}}=+\infty$ pour tout entier $n$ : l'exponentielle l'emporte sur TOUTE puissance.
• $\lim_{x\to-\infty}x\mathrm{e}^{x}=0$ : l'exponentielle écrase toute puissance en $-\infty$ .
• $\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln x}{x}=0$ : toute puissance l'emporte sur le logarithme.
• $\lim_{x\to 0^{+}}x\ln x=0$ : le facteur $x$ l'emporte sur le logarithme qui plonge vers $-\infty$ .

Ces quatre limites lèvent des indéterminations $\frac{\infty}{\infty}$ ou $0\times\infty$ : elles se CITENT par leur nom, « par croissances comparées », ce qui vaut le point de justification.

Dériver et primitiver ces deux fonctions

• $\bigl(\mathrm{e}^{u}\bigr)'=u'\mathrm{e}^{u}$ : l'exponentielle reste intacte, le facteur $u'$ sort devant.
• $\bigl(\ln u\bigr)'=\frac{u'}{u}$ , définie là où $u>0$ : le logarithme disparaît complètement.
• Primitives immédiates : $\frac{u'}{u}$ a pour primitive $\ln|u|$ , et $u'\mathrm{e}^{u}$ a pour primitive $\mathrm{e}^{u}$ .
• Le signe de $\mathrm{e}^{u}$ est toujours positif : dans un tableau de signes, un facteur exponentiel se met de côté immédiatement.

Les règles de calcul en tableau

Chaque ligne se lit de gauche à droite : les hypothèses, puis le résultat. Une case rouge n'est pas une réponse, c'est le constat que la forme ne décide rien et l'ordre de transformer l'écriture. Chaque cas est suivi d'un exemple chiffré.

Les propriétés, vérifiées sur des nombres

Chaque règle est suivie de sa vérification à la calculatrice. C'est le seul moyen de ne pas confondre les deux sens de lecture, et c'est un contrôle qui prend cinq secondes en épreuve.

L'écriture de départ	Condition	Ce qu'elle devient
$\mathrm{e}^{a+b}$	aucune	$\mathrm{e}^{a}\mathrm{e}^{b}$
Exemple : $\mathrm{e}^{2+3}=\mathrm{e}^{5}\approx 148{,}41$ , et $\mathrm{e}^{2}\mathrm{e}^{3}\approx 7{,}389\times 20{,}086\approx 148{,}41$ . La SOMME des exposants devient un PRODUIT.
$\mathrm{e}^{a-b}$	aucune	$\frac{\mathrm{e}^{a}}{\mathrm{e}^{b}}$
Exemple : $\mathrm{e}^{5-3}=\mathrm{e}^{2}\approx 7{,}389$ , et $\frac{148{,}41}{20{,}086}\approx 7{,}389$ .
$\mathrm{e}^{-a}$	aucune	$\frac{1}{\mathrm{e}^{a}}$
Exemple : $\mathrm{e}^{-2}\approx 0{,}135$ , l'INVERSE de $7{,}389$ et non son opposé : c'est un nombre strictement positif, comme toute exponentielle.
$\left(\mathrm{e}^{a}\right)^{n}$	$n$ entier	$\mathrm{e}^{an}$
Exemple : $\left(\mathrm{e}^{2}\right)^{3}=\mathrm{e}^{6}\approx 403{,}43$ . À ne pas confondre avec $\mathrm{e}^{2^{3}}=\mathrm{e}^{8}\approx 2981$ , qui est une autre fonction.
$\ln(ab)$	$a>0$ et $b>0$	$\ln a+\ln b$
Exemple : $\ln 6\approx 1{,}792$ , et $\ln 2+\ln 3\approx 0{,}693+1{,}099=1{,}792$ . Le PRODUIT devient une SOMME.
$\ln\frac{a}{b}$	$a>0$ et $b>0$	$\ln a-\ln b$
Exemple : $\ln\frac{3}{2}\approx 0{,}405$ , et $1{,}099-0{,}693=0{,}405$ .
$\ln\left(a^{n}\right)$	$a>0$	$n\ln a$
Exemple : $\ln 8\approx 2{,}079$ , et $3\ln 2\approx 3\times 0{,}693=2{,}079$ . C'est cette ligne qui fait descendre l'inconnue d'un exposant.
$\ln\sqrt{a}$	$a>0$	$\frac{1}{2}\ln a$
Exemple : $\ln\sqrt{2}\approx 0{,}347$ , soit la moitié de $0{,}693$ . Une racine est une puissance $\frac{1}{2}$ , la ligne précédente suffit.

Valeurs à connaître sans calculatrice : $\mathrm{e}^{0}=1$ , $\ln 1=0$ , $\ln\mathrm{e}=1$ , $\ln 2\approx 0{,}693$ et $\ln 10\approx 2{,}303$ . Elles suffisent à contrôler l'ordre de grandeur de presque toute réponse du chapitre.

Les trois règles qui n'existent pas, réfutées par un nombre

Ces trois écritures sont les erreurs les plus fréquentes de l'épreuve. Aucune ne demande de démonstration pour être écartée : deux valeurs numériques suffisent, et elles tiennent dans la calculatrice de l'examen.

L'écriture	Ce qu'on croit pouvoir écrire	La vérité
$\ln(a+b)$	$\ln a+\ln b$	ne se décompose pas règle inexistante
Exemple : $\ln(2+3)=\ln 5\approx 1{,}609$ , alors que $\ln 2+\ln 3\approx 1{,}792$ . Les deux nombres diffèrent, la règle est donc fausse. Ce qu'il faut faire : On calcule d'abord la somme, PUIS le logarithme. Si l'énoncé veut une décomposition, il faut d'abord FACTORISER l'intérieur : $\ln(2x+2x)=\ln(4x)=\ln 4+\ln x$ .
$\mathrm{e}^{a+b}$	$\mathrm{e}^{a}+\mathrm{e}^{b}$	c'est un PRODUIT, pas une somme règle inexistante
Exemple : $\mathrm{e}^{2+3}\approx 148{,}41$ , alors que $\mathrm{e}^{2}+\mathrm{e}^{3}\approx 27{,}47$ . L'écart est d'un facteur cinq, il ne s'agit pas d'un arrondi. Ce qu'il faut faire : La bonne ligne est $\mathrm{e}^{a+b}=\mathrm{e}^{a}\mathrm{e}^{b}$ : dans l'exposant, une somme se lit toujours comme un produit.
$\frac{\ln a}{\ln b}$	$\ln\frac{a}{b}$	deux nombres différents règle inexistante
Exemple : $\frac{\ln 8}{\ln 2}=3$ exactement, alors que $\ln\frac{8}{2}=\ln 4\approx 1{,}386$ . Le premier quotient est d'ailleurs $\log_{2}8$ , ce qui est encore autre chose. Ce qu'il faut faire : Le quotient de deux logarithmes ne se simplifie pas. C'est la DIFFÉRENCE $\ln a-\ln b$ qui vaut $\ln\frac{a}{b}$ .

Une règle inventée coûte plus cher qu'un calcul non fait : elle donne un nombre, donc une conclusion, donc toute la fin de l'exercice. Le réflexe qui protège tient en une phrase : dans un logarithme, seul un PRODUIT se casse; dans un exposant, seule une SOMME se casse.

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Éclater le logarithme d'une somme

toute la question, souvent 3 points

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\ln(x+3)=\ln x+\ln 3$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $\ln(x+3)$ ne se décompose pas. En revanche $\ln(3x)=\ln 3+\ln x$ , et $\ln\frac{x}{3}=\ln x-\ln 3$ . »

\ln(x+3)

\ln 3+\ln x=\ln(3x)

sont deux courbes distinctes, qui ne coïncident qu'en un point. La règle du produit n'a jamais rien dit sur une somme.

Pourquoi : Le logarithme transforme les PRODUITS en sommes, jamais les sommes en sommes. Le contrôle numérique est immédiat : $\ln 4\approx 1{,}39$ alors que $\ln 1+\ln 3\approx 1{,}10$ .

2. Résoudre une équation avec logarithme sans écrire le domaine

1 à 2 points, et une solution fausse est proposée

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\ln(x-1)+\ln(x-3)=\ln 3$ donne $(x-1)(x-3)=3$ , soit $x^{2}-4x=0$ , donc $x=0$ ou $x=4$ . »

Ce qu'il faut écrire

« Domaine : $x-1>0$ ET $x-3>0$ , donc $x>3$ . L'équation devient $(x-1)(x-3)=3$ , soit $x^{2}-4x=0$ , d'où $x=0$ ou $x=4$ . Seul $4$ appartient au domaine : $\mathcal{S}=\{4\}$ . »

Pourquoi : Passer à l'exponentielle est une opération valide seulement là où les deux logarithmes existent. La solution $x=0$ vérifie l'équation transformée et rend les deux logarithmes de départ impossibles : c'est une solution parasite fabriquée par la transformation.

3. Conserver le sens d'une inéquation après division par un logarithme négatif

1 point, et la réponse numérique est de l'autre côté du seuil

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $0{,}8^{n}\le 0{,}01$ donne $n\ln 0{,}8\le\ln 0{,}01$ , donc $n\le\frac{\ln 0{,}01}{\ln 0{,}8}\approx 20{,}6$ , donc $n=20$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $0{,}8^{n}\le 0{,}01$ donne $n\ln 0{,}8\le\ln 0{,}01$ ; comme $\ln 0{,}8<0$ , la division RETOURNE l'inégalité : $n\ge\frac{\ln 0{,}01}{\ln 0{,}8}\approx 20{,}6$ , donc $n=21$ . »

Pourquoi : Le logarithme d'un nombre strictement compris entre $0$ et $1$ est NÉGATIF. Diviser une inéquation par un nombre négatif en retourne le sens, exactement comme au collège, et c'est ici que la règle est oubliée.

4. Chercher les valeurs qui annulent une exponentielle

0,5 point à chaque fois, et beaucoup de temps perdu

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $x\mathrm{e}^{x}=0$ donc $x=0$ ou $\mathrm{e}^{x}=0$ , soit $x=0$ ou $x=-\infty$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $x\mathrm{e}^{x}=0$ : comme $\mathrm{e}^{x}>0$ pour tout réel $x$ , l'équation équivaut à $x=0$ . »

Pourquoi : L'exponentielle est strictement positive sur $\mathbb{R}$ : elle ne s'annule jamais et n'a donc pas de racine. Dans un produit ou dans un tableau de signes, un facteur exponentiel se raye tout de suite, ce qui simplifie souvent l'exercice entier.

5. Déclarer indéterminée une croissance comparée

toute la question, alors que la réponse tient en une ligne

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\lim_{x\to+\infty}\frac{\mathrm{e}^{x}}{x^{3}}$ est une forme $\frac{\infty}{\infty}$ , donc on ne peut pas conclure. »

Ce qu'il faut écrire

« $\lim_{x\to+\infty}\frac{\mathrm{e}^{x}}{x^{3}}=+\infty$ par croissances comparées : l'exponentielle l'emporte sur toute puissance de $x$ . »

Jusqu'à

x\approx 4{,}5

le cube est au-dessus, et pourtant l'exponentielle finit par passer devant et ne repasse jamais dessous. La croissance comparée décrit ce qui se passe APRÈS le croisement.

Pourquoi : La forme $\frac{\infty}{\infty}$ dit seulement que la substitution ne décide pas. Les croissances comparées sont précisément le théorème qui décide, et il suffit de le citer par son nom.

6. Dériver une exponentielle composée en dérivant l'exposant seul

1 point, et le tableau de signes qui suit devient faux

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $f(x)=\mathrm{e}^{3x^{2}}$ donc $f'(x)=\mathrm{e}^{6x}$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $f(x)=\mathrm{e}^{u}$ avec $u=3x^{2}$ et $u'=6x$ , donc $f'(x)=6x\,\mathrm{e}^{3x^{2}}$ . »

Pourquoi : L'exponentielle reste INTACTE dans sa dérivée, avec le même exposant : c'est sa propriété fondatrice. Seul un facteur $u'$ vient se placer devant.

7. Écrire $\ln(x^{2})=2\ln x$ sans condition sur $x$

1 point, et la moitié des solutions disparaît

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\ln(x^{2})=2\ln x$ pour tout réel $x$ non nul. »

Ce qu'il faut écrire

« $\ln(x^{2})=2\ln|x|$ pour tout $x\neq 0$ , et $\ln(x^{2})=2\ln x$ seulement pour $x>0$ . »

Pourquoi : $x^{2}$ est positif même quand $x$ est négatif, donc $\ln(x^{2})$ existe pour tout $x$ non nul, alors que $\ln x$ n'existe que pour $x>0$ . Les deux membres n'ont pas le même domaine, l'égalité ne peut donc pas être valable partout.

8. Confondre la puissance d'une exponentielle et l'exponentielle d'une somme

toute la question quand elle porte sur une équation à substitution

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\bigl(\mathrm{e}^{x}\bigr)^{3}=\mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{x}=3\mathrm{e}^{x}$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $\bigl(\mathrm{e}^{x}\bigr)^{3}=\mathrm{e}^{3x}$ , tandis que $\mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{x}=3\mathrm{e}^{x}$ : ce sont deux quantités différentes. »

Pourquoi : Une puissance est un produit répété, pas une somme répétée. La confusion bloque ensuite le changement de variable $X=\mathrm{e}^{x}$ , qui est la méthode standard des équations du type $\mathrm{e}^{2x}-3\mathrm{e}^{x}+2=0$ .

Quelle méthode choisir

Quelle méthode pour une équation ou une inéquation

On regarde ce qui est isolé de chaque côté du signe, et surtout si l'inconnue apparaît une seule fois ou plusieurs.

Si une seule exponentielle de chaque côté, du type $\mathrm{e}^{A}=\mathrm{e}^{B}$ → supprimer les exponentielles et résoudre $A=B$ , sans condition puisque l'exponentielle est définie partout

Exemple : $\mathrm{e}^{2x-1}=\mathrm{e}^{x+3}$ donne $2x-1=x+3$ , soit $x=4$
Si un seul logarithme de chaque côté → ÉCRIRE LE DOMAINE, puis supprimer les logarithmes et résoudre, puis éliminer ce qui sort du domaine

Exemple : $\ln(x-1)=\ln(3-x)$ avec $1<x<3$ donne $x=2$
Si plusieurs logarithmes additionnés ou soustraits → domaine d'abord, puis regrouper en UN seul logarithme avec les propriétés du produit et du quotient

Exemple : $\ln(x-1)+\ln(x-3)=\ln 3$ sur $]3\,;+\infty[$
Si l'exponentielle apparaît au carré et au premier degré, du type $\mathrm{e}^{2x}+b\mathrm{e}^{x}+c=0$ → poser $X=\mathrm{e}^{x}$ avec $X>0$ , résoudre le trinôme, puis revenir en gardant les racines POSITIVES

Exemple : $\mathrm{e}^{2x}-3\mathrm{e}^{x}+2=0$ donne $X=1$ ou $X=2$ , donc $x=0$ ou $x=\ln 2$
Si l'inconnue est en exposant d'un nombre, du type $q^{n}\le a$ → prendre le logarithme des deux membres, puis diviser par $\ln q$ en surveillant son SIGNE

Exemple : $0{,}8^{n}\le 0{,}01$ donne $n\ge\frac{\ln 0{,}01}{\ln 0{,}8}$ , donc $n\ge 21$
Si un produit est nul et contient un facteur exponentiel → rayer immédiatement le facteur exponentiel, qui ne s'annule jamais, et résoudre le reste

Exemple : $(x-2)\mathrm{e}^{x}=0$ équivaut à $x=2$

Toute résolution avec logarithme se termine par une phrase de conclusion qui confronte les solutions trouvées au domaine. Sans elle, une solution parasite reste sur la copie et coûte le point de rigueur.

Quelle croissance comparée selon la forme de l'indétermination

On identifie la fonction qui domine, puis on met en facteur le terme dominant pour retomber sur une limite du cours.

Si $\frac{\mathrm{e}^{x}}{x^{n}}$ ou $\frac{x^{n}}{\mathrm{e}^{x}}$ en $+\infty$ → l'exponentielle gagne : la première tend vers $+\infty$ , la seconde vers $0$

Exemple : $\frac{x^{5}}{\mathrm{e}^{x}}\to 0$ en $+\infty$
Si $x^{n}\mathrm{e}^{x}$ en $-\infty$ → l'exponentielle écrase la puissance, la limite vaut $0$

Exemple : $x^{2}\mathrm{e}^{x}\to 0$ en $-\infty$
Si $\frac{\ln x}{x^{n}}$ en $+\infty$ → la puissance gagne, la limite vaut $0$

Exemple : $\frac{\ln x}{\sqrt{x}}\to 0$ en $+\infty$
Si $x^{n}\ln x$ en $0^{+}$ → la puissance gagne, la limite vaut $0$

Exemple : $x\ln x\to 0$ en $0^{+}$
Si une somme mélange exponentielle et polynôme, du type $\mathrm{e}^{x}-x^{3}$ → mettre en facteur le terme dominant, ici $\mathrm{e}^{x}$ , puis appliquer la croissance comparée à ce qui reste

Exemple : $\mathrm{e}^{x}-x^{3}=\mathrm{e}^{x}\left(1-\frac{x^{3}}{\mathrm{e}^{x}}\right)\to+\infty$

La phrase « par croissances comparées » doit apparaître sur la copie : c'est le nom du théorème, et le correcteur le cherche. Un résultat juste sans cette mention perd la moitié des points de la question.

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Résoudre une équation avec logarithmes, du domaine à la conclusion

Quand l'utiliser : Dès qu'un $\ln$ contient une expression en $x$ , même dans une simple équation du premier degré.

1 Écrire le domaine AVANT tout : « L'équation n'a de sens que si $x-1>0$ et $x-3>0$ , c'est-à-dire si $x>3$ . »
2 Regrouper les logarithmes en un seul avec les propriétés du produit ou du quotient : « $\ln\bigl((x-1)(x-3)\bigr)=\ln 3$ . »
3 Supprimer les logarithmes en invoquant la stricte croissance : « la fonction $\ln$ étant strictement croissante, cela équivaut à $(x-1)(x-3)=3$ . »
4 Résoudre l'équation obtenue, ici un trinôme, et donner TOUTES ses racines.
5 Confronter chaque racine au domaine et éliminer explicitement celles qui n'y sont pas.
6 Conclure par l'ensemble des solutions.

Phrase de conclusion

Sur $]3\,;+\infty[$ , l'équation équivaut à $x^{2}-4x=0$ , dont les racines sont $0$ et $4$ ; seule $4$ appartient au domaine, donc $\mathcal{S}=\{4\}$ .

Le piège : Écrire le domaine à la fin, après avoir trouvé les racines. Le correcteur cherche la ligne du domaine AVANT la résolution : c'est elle qui prouve que la transformation était légitime.

Barème : 1 point pour le domaine, 1 point pour le regroupement, 1 point pour la résolution, 1 point pour l'élimination et la conclusion.

Étude d'une fonction avec exponentielle : limites, dérivée, asymptote

Quand l'utiliser : L'exercice d'analyse du sujet, presque toujours une fonction du type $P(x)\mathrm{e}^{ax}$ ou $\frac{P(x)}{\mathrm{e}^{ax}}$ .

1 Donner le domaine, qui est $\mathbb{R}$ tout entier dès qu'il n'y a pas de logarithme ni de quotient.
2 Calculer les deux limites aux bornes en CITANT la croissance comparée employée pour chacune.
3 En déduire l'asymptote éventuelle, avec la phrase qui la nomme et son côté.
4 Dériver en appliquant la formule du produit puis en FACTORISANT par l'exponentielle, qui est toujours en facteur commun.
5 Rayer le facteur exponentiel du tableau de signes en justifiant : « $\mathrm{e}^{-x}>0$ pour tout réel $x$ , donc $f'(x)$ est du signe de $-x$ . »
6 Dresser le tableau de variations avec les limites aux extrémités et la valeur exacte de l'extremum.

Phrase de conclusion

$\lim_{x\to+\infty}(x+1)\mathrm{e}^{-x}=0$ par croissances comparées, donc la droite d'équation $y=0$ est asymptote horizontale à $\mathcal{C}$ en $+\infty$ .

Le piège : Oublier de factoriser la dérivée par l'exponentielle. Une dérivée laissée sous la forme $\mathrm{e}^{-x}-(x+1)\mathrm{e}^{-x}$ n'a pas de signe lisible, alors que $-x\mathrm{e}^{-x}$ se signe en une ligne.

Barème : 1 point par limite, 1 point pour l'asymptote nommée, 1 point pour la dérivée factorisée, 1 point pour le tableau.

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

Tester une propriété douteuse sur des nombres

Toute identité algébrique sur $\ln$ ou $\mathrm{e}$ se vérifie en remplaçant par $1$ , $2$ et $3$ . Si les deux membres diffèrent une seule fois, la propriété est fausse.

$\ln(2+3)=\ln 5\approx 1{,}61$ contre $\ln 2+\ln 3\approx 1{,}79$ : la règle de la somme n'existe pas.
Réinjecter chaque solution dans l'équation de départ

Une solution trouvée après passage à l'exponentielle doit rendre tous les logarithmes de l'énoncé définis ET vérifier l'égalité. C'est le contrôle qui élimine les solutions parasites.

$x=0$ donnerait $\ln(-1)$ , qui n'existe pas : la solution est rejetée avant même de vérifier l'égalité.
Vérifier un seuil par ses deux voisins

Après une inéquation résolue au logarithme, calculer la quantité au rang trouvé ET au rang précédent. L'un doit vérifier la condition, l'autre non.

$0{,}8^{21}\approx 0{,}0092\le 0{,}01$ et $0{,}8^{20}\approx 0{,}0115>0{,}01$ : le rang $21$ est bien le premier.
Contrôler le signe d'un logarithme avant de diviser

$\ln a$ est négatif dès que $0<a<1$ , nul en $1$ , positif au-delà. Un coup d'œil à cette règle décide s'il faut retourner l'inégalité.

$\ln 0{,}8\approx-0{,}22$ : toute division par ce nombre retourne le sens, et c'est là que se joue le point.
Comparer le tableau de variations aux limites annoncées

Une fonction décroissante vers $+\infty$ ne peut pas avoir pour limite $+\infty$ . Confronter le sens de variation et la limite attrape les erreurs de croissance comparée.

Une décroissance sur $[0\,;+\infty[$ depuis $f(0)=1$ avec une limite annoncée à $+\infty$ : l'incohérence est visible sans refaire un calcul.

L'exercice type décortiqué

Étude d'une fonction avec exponentielle, comme au baccalauréat

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=(x+1)\mathrm{e}^{-x}$ , et $\mathcal{C}$ sa courbe représentative.

1. Déterminer les limites de $f$ en $-\infty$ et en $+\infty$ , et en déduire l'existence d'une asymptote. 2. Calculer $f'(x)$ et étudier son signe. 3. Dresser le tableau de variations et donner la valeur exacte du maximum. 4. Déterminer l'équation de la tangente au point d'abscisse $0$ .

Étape 1

En $+\infty$ : $f(x)=\frac{x+1}{\mathrm{e}^{x}}=\frac{x}{\mathrm{e}^{x}}+\frac{1}{\mathrm{e}^{x}}$ . Or $\lim_{x\to+\infty}\frac{x}{\mathrm{e}^{x}}=0$ par croissances comparées et $\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{\mathrm{e}^{x}}=0$ , donc $\lim_{x\to+\infty}f(x)=0$ .

Pourquoi

On réécrit le produit en quotient pour retomber exactement sur une limite du cours. Sans cette réécriture, la forme est $\infty\times 0$ et la croissance comparée ne s'applique pas telle quelle.

Étape 2

En $-\infty$ : $x+1\to-\infty$ et $\mathrm{e}^{-x}\to+\infty$ , donc par produit $\lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty$ . Il n'y a AUCUNE indétermination ici.

Pourquoi

Il faut le dire : les deux facteurs partent dans le même sens, la forme est $-\infty\times(+\infty)$ , qui est déterminée. Chercher une croissance comparée là où il n'y en a pas fait perdre du temps et de la clarté.

Étape 3

De la limite nulle en $+\infty$ on déduit : la droite d'équation $y=0$ , c'est-à-dire l'axe des abscisses, est asymptote horizontale à $\mathcal{C}$ en $+\infty$ . Il n'y a pas d'asymptote en $-\infty$ .

Pourquoi

La phrase nomme la droite, sa nature et le côté. Une asymptote annoncée sans préciser en quel infini elle a lieu ne rapporte que la moitié du point.

Étape 4

$f=uv$ avec $u=x+1$ , $u'=1$ , $v=\mathrm{e}^{-x}$ , $v'=-\mathrm{e}^{-x}$ . Donc $f'(x)=\mathrm{e}^{-x}-(x+1)\mathrm{e}^{-x}=\mathrm{e}^{-x}\bigl(1-(x+1)\bigr)=-x\,\mathrm{e}^{-x}$ .

Pourquoi

Le $-1$ de la dérivée de $\mathrm{e}^{-x}$ est le facteur intérieur, et la factorisation par $\mathrm{e}^{-x}$ est ce qui rend le signe lisible. Ces deux gestes sont l'essentiel de la question.

Étape 5

Comme $\mathrm{e}^{-x}>0$ pour tout réel $x$ , $f'(x)$ est du signe de $-x$ : positif sur $]-\infty\,;0[$ , nul en $0$ , négatif sur $]0\,;+\infty[$ .

Pourquoi

On raye le facteur exponentiel en justifiant qu'il est strictement positif. Cette phrase courte vaut un point entier et évite un tableau de signes à deux lignes.

Étape 6

$f$ croît de $-\infty$ à $f(0)=1$ sur $]-\infty\,;0]$ , puis décroît de $1$ à $0$ sur $[0\,;+\infty[$ . Le maximum de $f$ vaut donc exactement $1$ , atteint en $x=0$ .

Pourquoi

Le tableau reprend les deux limites calculées et la valeur exacte $f(0)=(0+1)\mathrm{e}^{0}=1$ . Aucune décimale : le baccalauréat attend la valeur exacte.

Étape 7

Tangente en $0$ : $f'(0)=-0\times\mathrm{e}^{0}=0$ et $f(0)=1$ , donc $T$ a pour équation $y=0\times(x-0)+1$ , soit $y=1$ . La tangente au maximum est horizontale.

Pourquoi

Le résultat était prévisible : au maximum, la dérivée s'annule, donc la tangente est horizontale. Le calcul confirme le tableau, et le tableau confirme le calcul.

Conclusion rédigée

$f$ croît de $-\infty$ jusqu'à son maximum $1$ atteint en $0$ , puis décroît vers $0$ sans jamais l'atteindre; l'axe des abscisses est asymptote horizontale en $+\infty$ et la tangente au point $(0\,;1)$ est la droite horizontale d'équation $y=1$ .

L'erreur classique sur cet exercice : Annoncer $\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty$ parce que $x+1$ tend vers $+\infty$ . Le facteur $\mathrm{e}^{-x}$ tend vers $0$ et l'emporte : c'est exactement ce que dit la croissance comparée, et c'est la question qui sépare les copies.

À savoir par cœur

• $\mathrm{e}^{x}>0$ toujours : l'exponentielle ne s'annule jamais et se raye d'un produit nul ou d'un tableau de signes.
• $\ln x$ n'existe que pour $x>0$ : le DOMAINE s'écrit avant la première ligne de calcul.
• L'exponentielle transforme les sommes en produits, le logarithme les produits en sommes. $\ln(a+b)$ ne se décompose pas.
• $\bigl(\mathrm{e}^{u}\bigr)'=u'\mathrm{e}^{u}$ et $\bigl(\ln u\bigr)'=\frac{u'}{u}$ : l'exponentielle survit, le logarithme disparaît.
• Croissances comparées : l'exponentielle bat toute puissance, toute puissance bat le logarithme. On cite le théorème par son nom.
• $\ln q<0$ quand $0<q<1$ : diviser une inéquation par ce nombre RETOURNE le sens.
• Équation en $\mathrm{e}^{2x}$ et $\mathrm{e}^{x}$ : poser $X=\mathrm{e}^{x}$ avec $X>0$ , et ne garder que les racines positives.
• Primitive de $\frac{u'}{u}$ : $\ln|u|$ , avec la valeur absolue tant que le signe de $u$ n'est pas connu.

Questions fréquentes

Peut-on écrire le logarithme d'une somme comme une somme de logarithmes ?

Non, jamais. Le logarithme transforme les produits en sommes, pas les sommes en sommes. Le test numérique le montre en cinq secondes : le logarithme de cinq vaut environ un virgule six, alors que la somme des logarithmes de deux et trois vaut environ un virgule sept neuf. Seules les écritures avec produit, quotient ou puissance se décomposent.

Pourquoi faut-il écrire le domaine avant de résoudre une équation avec logarithme ?

Parce que passer à l'exponentielle élargit l'ensemble des solutions possibles. La nouvelle équation peut avoir des racines pour lesquelles les logarithmes de départ n'existent pas. Le domaine, écrit en première ligne, sert ensuite à éliminer ces solutions parasites, et cette élimination fait partie du barème.

Que veulent dire les croissances comparées ?

Elles disent qui l'emporte quand deux fonctions tendent toutes les deux vers l'infini. L'exponentielle l'emporte sur n'importe quelle puissance de x, et n'importe quelle puissance de x l'emporte sur le logarithme. Elles servent à lever les indéterminations du type infini sur infini, et il faut les citer par leur nom sur la copie.

Comment résoudre une inéquation où l'inconnue est en exposant ?

On prend le logarithme népérien des deux membres, ce qui fait descendre l'exposant devant. On divise ensuite par le logarithme de la base, en surveillant son signe : si la base est comprise entre zéro et un, ce logarithme est négatif et la division retourne le sens de l'inégalité. On conclut enfin sur le plus petit entier qui convient.

L'exponentielle peut-elle valoir zéro ?

Non. Elle est strictement positive pour tout réel, et sa limite en moins l'infini vaut zéro sans jamais l'atteindre. C'est une propriété très utile : dans un produit nul, le facteur exponentiel se raye immédiatement, et dans un tableau de signes il ne contribue pas. Toute équation du type exponentielle égale zéro n'a donc aucune solution.

Comment résoudre une équation avec une exponentielle au carré ?

On pose une inconnue auxiliaire égale à l'exponentielle de x, en notant qu'elle est strictement positive. L'équation devient un trinôme du second degré ordinaire, qu'on résout normalement. On revient ensuite à x en prenant le logarithme de chaque racine, en rejetant les racines négatives ou nulles, qui ne peuvent pas être une exponentielle.

Passer à la pratique

Exercices corrigés : Exponentielle et logarithme

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

15 exercices corrigés
150 points
225 minutes

Faire les exercices

Fiche précédente Dérivation et trigonométrie Fiche suivante Primitives et intégration

Ce chapitre resservira dans

Les chapitres qui le réclament en amont, plus tard dans l'année ou dans les années suivantes.

Primitives et intégration

Voir aussi

Toutes les fiches Tous les exercices Mathématiques Tutorat cégep

Vous cherchez un tuteur à Montréal pour ce chapitre ?

Contactez-moi pour une première séance. On reprend les points de méthode qui font perdre des points en évaluation, puis on les met à l'épreuve sur des exercices du niveau réel de l'examen.

Me contacter WhatsApp

Site par Studio Squalli

Fiche de révision : exponentielle et logarithme (Terminale spécialité)

L'essentiel

Deux fonctions réciproques, deux domaines très différents

Les propriétés algébriques, et leur seul sens de lecture

Les quatre croissances comparées, et ce qu'elles disent

Dériver et primitiver ces deux fonctions

Les règles de calcul en tableau

Les propriétés, vérifiées sur des nombres

Les trois règles qui n'existent pas, réfutées par un nombre

Les pièges qui coûtent des points

1. Éclater le logarithme d'une somme

2. Résoudre une équation avec logarithme sans écrire le domaine

3. Conserver le sens d'une inéquation après division par un logarithme négatif

4. Chercher les valeurs qui annulent une exponentielle

5. Déclarer indéterminée une croissance comparée

6. Dériver une exponentielle composée en dérivant l'exposant seul

7. Écrire ln⁡(x2)=2ln⁡x\ln(x^{2})=2\ln xln(x2)=2lnx sans condition sur xxx

8. Confondre la puissance d'une exponentielle et l'exponentielle d'une somme

Quelle méthode choisir

Quelle méthode pour une équation ou une inéquation

Quelle croissance comparée selon la forme de l'indétermination

La rédaction attendue

Résoudre une équation avec logarithmes, du domaine à la conclusion

Étude d'une fonction avec exponentielle : limites, dérivée, asymptote

Vérifier avant de rendre

L'exercice type décortiqué

Étude d'une fonction avec exponentielle, comme au baccalauréat

À savoir par cœur

Questions fréquentes

Peut-on écrire le logarithme d'une somme comme une somme de logarithmes ?

Pourquoi faut-il écrire le domaine avant de résoudre une équation avec logarithme ?

Que veulent dire les croissances comparées ?

Comment résoudre une inéquation où l'inconnue est en exposant ?

L'exponentielle peut-elle valoir zéro ?

Comment résoudre une équation avec une exponentielle au carré ?

Exercices corrigés : Exponentielle et logarithme

Ce chapitre resservira dans

Voir aussi

Vous cherchez un tuteur à Montréal pour ce chapitre ?

7. Écrire $\ln(x^{2})=2\ln x$ sans condition sur $x$