Spécialité maths, Terminale • Fiche de révision à Montréal
Les équations différentielles sont le chapitre le plus rentable du programme : trois formes, trois solutions générales à connaître, et une condition initiale qui fixe la constante. Presque aucun raisonnement, donc presque aucune excuse. C'est exactement pour cela qu'une erreur de signe y coûte la totalité de la question.
Cette fiche liste les huit endroits où les points se perdent, avec la phrase exacte qui les remet, l'arbre qui dit quelle solution générale employer selon la forme de l'équation et comment traduire un énoncé de physique ou de biologie, et un problème de refroidissement décortiqué ligne par ligne.
Le fil du chapitre
Une équation différentielle de Terminale ne se résout pas, elle se RECONNAÎT : il n'y a que trois formes au programme et chacune a sa solution écrite d'avance. Tout le travail consiste à identifier et , puis à laisser la condition initiale choisir la constante.
Le repère qui évite l'erreur de signe : la constante est la solution CONSTANTE de l'équation, celle pour laquelle . On la retrouve toujours en résolvant .
Ordre imposé : forme générale, PUIS condition initiale. Une copie qui applique la condition à l'équation homogène trouve une constante fausse, même si tout le reste est juste.
Astuce de lecture : le nombre qui multiplie la fonction inconnue est , celui qui est tout seul est . L'équilibre est alors presque toujours une grandeur physique de l'énoncé, comme la température ambiante ou la vitesse limite.
Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« Les solutions de sont . »
Ce qu'il faut écrire
« Les solutions sont , car . »
Pourquoi : La constante cherchée est celle qui annule , donc la solution de , c'est-à-dire . Une erreur de signe ici place l'équilibre à au lieu de , et aucune interprétation physique ne tient plus.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« avec : les solutions sont , donc et . »
Ce qu'il faut écrire
« Les solutions sont . La condition donne , donc et . »
Pourquoi : L'équation homogène est un OUTIL pour construire les solutions, jamais la réponse. Les deux fonctions partent du même point et se séparent immédiatement : l'une tend vers , l'autre vers l'équilibre .
Ce qu'il ne faut pas écrire
« : l'équilibre vaut , donc la solution tend vers en . »
Ce qu'il faut écrire
« a pour solutions . Comme , : la solution s'ÉLOIGNE de , vers si et vers si . L'équilibre est instable. »
Pourquoi : Le comportement en est entièrement décidé par le SIGNE de , pas par l'existence d'un équilibre. Un équilibre instable existe tout autant, mais rien ne s'en approche.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« et : on a , donc , puis on ajoute : . »
Ce qu'il faut écrire
« . La condition donne , donc et . »
Pourquoi : La constante s'ajuste sur la forme COMPLÈTE, terme constant compris. La vérification est immédiate : la fonction fausse vaut en et non .
Ce qu'il ne faut pas écrire
« avec , donc . »
Ce qu'il faut écrire
« , donc , et . »
Pourquoi : L'exponentielle ne vaut qu'en . Dès que la condition porte sur un autre point, il reste un facteur à isoler, et l'écriture est souvent la plus lisible.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« donc , et : les deux ne sont pas égaux, la fonction n'est pas solution. »
Ce qu'il faut écrire
« , et : les deux coïncident, la fonction est bien solution. »
Pourquoi : La dérivée de vaut : le coefficient de l'exposant sort devant. C'est la même erreur que dans le chapitre de dérivation, et elle fait rejeter une fonction pourtant correcte.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« donc . »
Ce qu'il faut écrire
« donc , avec réel; la condition initiale fixera ensuite . »
Pourquoi : est une recherche de primitive, donc il y en a une infinité. C'est exactement le même oubli que dans le chapitre d'intégration, et il se répare de la même façon.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« Une population diminue de par an, donc et . »
Ce qu'il faut écrire
« donne , et : la baisse annuelle effective est de , pas de . »
Pourquoi : Un modèle continu et un modèle discret ne donnent pas le même facteur annuel. Le coefficient de l'équation différentielle est un taux INSTANTANÉ; le taux annuel se lit sur .
On regarde ce qui se trouve à droite du signe égal, après avoir isolé à gauche.
Si à droite, une expression en seulement, sans → chercher une primitive :
Exemple : donne
Si à droite, un multiple de seulement → solution , où est le coefficient de
Exemple : donne
Si à droite, un multiple de plus une constante → solution , le terme constant portant un signe MOINS
Exemple : donne
Si l'équation est écrite ou → ramener d'abord à la forme en divisant et en changeant les signes, AVANT de lire et
Exemple : s'écrit , donc , et l'équilibre vaut
C'est ici que les signes se perdent le plus souvent : le devient en passant à droite.
Si l'énoncé fournit un changement de fonction, du type → dériver , remplacer par l'équation, et montrer que , ce qui ramène à la forme homogène
Exemple : avec :
Aucune de ces formes ? Le programme de Terminale n'en contient pas d'autre. Relire l'énoncé : soit un changement de fonction est fourni, soit l'équation n'a pas encore été mise sous la forme .
On repère la phrase qui décrit une VITESSE de variation, puis on écrit ce à quoi elle est proportionnelle.
Si « la vitesse de croissance est proportionnelle à l'effectif » → , avec ; la solution est une exponentielle pure
Exemple : une bactérie qui double toutes les heures :
Si « la vitesse de refroidissement est proportionnelle à l'écart avec l'ambiance » → , à développer en
Exemple : un café à degrés dans une pièce à degrés
Si « la force de frottement est proportionnelle à la vitesse » → la deuxième loi de Newton donne , soit
Exemple : la vitesse limite vaut alors , qui est l'équilibre du modèle
Si l'énoncé ajoute un apport ou un prélèvement à débit constant → ajouter le terme constant : positif pour une entrée, négatif pour une sortie
Exemple : un lac repeuplé de poissons par an et pêché à :
Si l'énoncé demande la valeur limite ou l'état stationnaire → résoudre , ce qui donne directement , sans résoudre l'équation
Exemple : donne un effectif d'équilibre de
La question « que devient la grandeur au bout d'un temps très long » se répond en une ligne, par l'équilibre, à condition que . Il est inutile d'attendre la résolution complète pour y répondre.
Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.
Quand l'utiliser : Le cas standard du baccalauréat, seul ou à l'intérieur d'un problème de modélisation.
Phrase de conclusion
Les solutions de sont les fonctions ; la condition donne , donc l'unique solution cherchée est .
Le piège : Écrire la solution générale sans le terme constant, puis l'ajouter après avoir trouvé . La constante dépend du terme constant : l'ordre des deux étapes n'est pas interchangeable.
Barème : 1 point pour l'identification de et , 1 point pour la solution générale, 1 point pour la constante, 1 point pour la conclusion et la vérification.
Quand l'utiliser : Le problème de synthèse : refroidissement, chute avec frottement, population avec quota, dilution d'une cuve.
Phrase de conclusion
La température tend vers degrés Celsius quand tend vers , sans jamais atteindre cette valeur : le café se met à la température de la pièce mais ne descend jamais en dessous.
Le piège : Oublier l'unité de temps. Un coefficient par minute et un par heure ne donnent pas les mêmes durées, et l'énoncé ne le rappelle jamais deux fois.
Barème : 1 point pour la mise en équation, 2 points pour la résolution avec condition initiale, 1 point pour la valeur numérique avec son unité, 1 point pour l'interprétation.
Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.
Réinjecter la solution dans l'équation
Dériver la fonction trouvée et comparer à calculé avec cette même fonction. Les deux expressions doivent être identiques, terme à terme.
donne , et : c'est bien la même chose.
Vérifier la condition initiale sur la solution finale
Remplacer par dans la fonction obtenue : on doit retrouver exactement . Cinq secondes, et cela attrape toutes les erreurs de constante.
, conforme à l'énoncé; un résultat de dirait que le terme constant a été oublié.
Contrôler l'équilibre par le bon sens physique
L'équilibre doit avoir un sens dans le contexte : une température ambiante, une vitesse limite, un effectif stable. Une valeur négative pour une population signale une erreur de signe.
Un modèle de refroidissement dont l'équilibre vaudrait degrés Celsius dans une pièce chauffée : le signe de a été inversé.
Lire le sens de variation sur le signe de
Si , la solution est monotone et converge vers l'équilibre; si , elle diverge. Comparer ce comportement à la limite annoncée dans la conclusion.
Une limite finie annoncée alors que : l'une des deux affirmations est fausse, et c'est presque toujours la limite.
Vérifier une date obtenue par logarithme
Remplacer la date trouvée dans la fonction solution : on doit retomber sur la valeur cible de l'énoncé, à l'arrondi près.
, ce qui valide la durée trouvée pour atteindre degrés Celsius.
Un café servi à degrés Celsius refroidit dans une pièce maintenue à degrés Celsius. On note sa température, en degrés Celsius, minutes après le service. La loi de Newton donne .
1. Mettre l'équation sous la forme . 2. Résoudre et déterminer la solution vérifiant . 3. Déterminer la limite de en et l'interpréter. 4. Au bout de combien de temps le café est-il à degrés Celsius ?
Étape 1
. Donc par minute et degrés Celsius par minute.
Pourquoi
Le développement est la seule difficulté de la question : le multiplie AUSSI le , ce qui donne un et non un . C'est là que se perd le premier point.
Étape 2
Solution constante : . Les solutions sont donc les fonctions , avec réel.
Pourquoi
On calcule sur sa propre ligne, et on constate qu'on retrouve la température de la pièce. Ce contrôle de bon sens vaut mieux qu'une relecture du calcul de signe.
Étape 3
, donc et .
Pourquoi
La constante s'ajuste sur la forme complète, terme constant compris. Le est l'ÉCART initial avec la pièce, ce qui est cohérent avec le modèle : c'est cet écart qui décroît exponentiellement.
Étape 4
Comme , , donc .
Pourquoi
On cite le signe du coefficient, qui est l'hypothèse. La limite ne se devine pas : elle se lit sur l'exponentielle, exactement comme pour une suite géométrique.
Étape 5
Interprétation : la température du café tend vers celle de la pièce, degrés Celsius, sans jamais l'atteindre exactement. La droite est asymptote horizontale à la courbe.
Pourquoi
La question dit « interpréter » : elle attend une phrase en français sur le contexte, pas seulement le nombre. C'est un point entier, et il se perd par omission plus que par erreur.
Étape 6
équivaut à , soit , soit , donc minutes.
Pourquoi
On isole l'exponentielle AVANT de prendre le logarithme. Prendre le logarithme de l'équation complète, avec le encore présent, mène droit à un d'une somme, qui ne se décompose pas.
Étape 7
Vérification : . Et degrés Celsius par minute, ce qui est cohérent avec un café qui refroidit vite au début.
Pourquoi
Deux contrôles complémentaires : l'un valide la date, l'autre valide le modèle par un ordre de grandeur physique. Une vitesse initiale positive aurait signalé une erreur de signe dans .
Conclusion rédigée
La température du café suit , décroît vers la température de la pièce sans jamais l'atteindre, et passe sous les degrés Celsius au bout d'environ minutes, soit un peu moins de sept minutes.
L'erreur classique sur cet exercice : Écrire en oubliant que le facteur porte aussi sur le . L'équilibre devient alors degrés Celsius, et le café est censé geler dans une pièce chauffée : l'absurdité du résultat est le signal.
Ce sont les fonctions égales à une constante multipliée par l'exponentielle de a fois x, moins b sur a. Le terme constant porte un signe moins, et il correspond à la solution constante, celle pour laquelle la dérivée est nulle. On la retrouve toujours en résolvant l'équation a fois la limite plus b égale zéro.
Elle choisit une solution parmi l'infinité que donne la solution générale. Concrètement, on écrit d'abord la solution générale complète avec sa constante, puis on remplace la variable et la valeur par celles de la condition, ce qui donne une équation d'inconnue la constante. Il existe toujours une solution et une seule qui vérifie une condition initiale donnée.
Tout dépend du signe du coefficient devant la fonction inconnue. S'il est négatif, l'exponentielle tend vers zéro et toutes les solutions convergent vers l'équilibre : il est stable. S'il est positif, l'exponentielle explose et toutes les solutions s'en éloignent : il est instable. L'équilibre existe dans les deux cas.
La loi de Newton dit que la vitesse de refroidissement est proportionnelle à l'écart entre la température du corps et celle de la pièce. On écrit donc la dérivée de la température égale à moins un coefficient positif multiplié par cet écart, puis on développe. La température de la pièce apparaît alors comme l'équilibre du modèle.
On calcule sa dérivée d'un côté, et le membre de droite de l'équation avec cette même fonction de l'autre. Les deux expressions doivent être identiques après simplification. L'erreur classique est d'oublier le coefficient de l'exposant en dérivant l'exponentielle, ce qui fait rejeter à tort une fonction pourtant correcte.
On cherche la solution constante, c'est-à-dire celle dont la dérivée est nulle. Il suffit donc de remplacer la dérivée par zéro dans l'équation et de résoudre l'équation obtenue, qui est du premier degré. La valeur trouvée est la limite, à condition que le coefficient devant la fonction inconnue soit négatif.
© Ahmed Squalli Houssaini. Fiche publiée sur www.letuteurscientifique.ca/fiches/tspe-equations-differentielles. Libre pour l'usage personnel et en classe ; sa republication ailleurs demande une autorisation écrite (mentions légales).
