Fiche de révision : les équations différentielles (Terminale spécialité)

Trois formes au programme, trois solutions écrites d'avance

• • $y'=f(x)$ : les solutions sont $y=F(x)+C$, où $F$ est une primitive de $f$ sur l'intervalle considéré. La variable est $x$ des deux côtés, il n'y a pas d'exponentielle.
• • $y'=ay$ : les solutions sur $\mathbb{R}$ sont les fonctions $x\mapsto C\mathrm{e}^{ax}$, avec $C$ réel quelconque.
• • $y'=ay+b$ avec $a\neq 0$ : les solutions sont $x\mapsto C\mathrm{e}^{ax}-\frac{b}{a}$. Le terme constant porte un signe MOINS.
• • Structure générale : solution de l'équation complète $=$ une solution particulière $+$ toutes les solutions de l'équation homogène $y'=ay$.

Le repère qui évite l'erreur de signe : la constante $-\frac{b}{a}$ est la solution CONSTANTE de l'équation, celle pour laquelle $y'=0$. On la retrouve toujours en résolvant $0=a\ell+b$.

La constante $-\frac{b}{a}$ est l'équilibre du modèle

• • $\ell=-\frac{b}{a}$ est la seule solution constante : elle vérifie $a\ell+b=0$, donc $y'=0$ pour tout $x$.
• • Si $a<0$, alors $\mathrm{e}^{ax}\to 0$ en $+\infty$ : toute solution tend vers $\ell$. L'équilibre est STABLE, approché mais jamais atteint sauf si $y_{0}=\ell$.
• • Si $a>0$, alors $\mathrm{e}^{ax}\to+\infty$ : toute solution autre que la constante s'éloigne de $\ell$. L'équilibre est INSTABLE.
• • La droite $y=\ell$ est donc asymptote horizontale aux courbes solutions quand $a<0$, et le signe de $C$ dit de quel côté la courbe s'en approche.

La condition initiale choisit une solution, et une seule

• • Pour toute condition $y(x_{0})=y_{0}$, il existe une UNIQUE solution qui la vérifie : la condition détermine $C$ entièrement.
• • On écrit d'abord la solution générale COMPLÈTE, avec sa constante, puis on y remplace $x$ par $x_{0}$ et $y$ par $y_{0}$.
• • Quand $x_{0}=0$, l'exponentielle vaut $1$ et le calcul est immédiat; quand $x_{0}\neq 0$, il reste un facteur $\mathrm{e}^{ax_{0}}$ à isoler.
• • Géométriquement : par chaque point du plan passe exactement une courbe solution, et deux courbes solutions ne se coupent jamais.

Ordre imposé : forme générale, PUIS condition initiale. Une copie qui applique la condition à l'équation homogène trouve une constante fausse, même si tout le reste est juste.

Traduire un énoncé en équation différentielle

• • « La vitesse de variation est proportionnelle à la quantité présente » se traduit par $y'=ky$, avec $k>0$ pour une croissance et $k<0$ pour une décroissance.
• • « La vitesse de refroidissement est proportionnelle à l'écart avec la température ambiante » donne $\theta'=-k\bigl(\theta-\theta_{\text{ext}}\bigr)$, soit $\theta'=-k\theta+k\theta_{\text{ext}}$.
• • Un apport ou un prélèvement à débit CONSTANT ajoute simplement le terme $b$ : entrée positive, sortie négative.
• • Une vitesse en physique se note $v'(t)$, une population $N'(t)$, une charge $q'(t)$ : la lettre change, la méthode ne change pas.

Astuce de lecture : le nombre qui multiplie la fonction inconnue est $a$, celui qui est tout seul est $b$. L'équilibre $-\frac{b}{a}$ est alors presque toujours une grandeur physique de l'énoncé, comme la température ambiante ou la vitesse limite.