Spécialité maths, Terminale • Exercices corrigés à Montréal

Fiche de révision : la géométrie dans l'espace (Terminale spécialité)

La géométrie dans l'espace est le chapitre le plus mécanique du programme : coordonnées, produit scalaire, équation de plan. Tout se calcule. Et pourtant c'est un exercice qui se perd, parce que les réflexes de la géométrie plane y sont faux : dans l'espace, deux droites non parallèles peuvent parfaitement ne jamais se rencontrer.

Cette fiche liste les huit endroits où ces réflexes coûtent des points, avec la phrase exacte qui les remet, l'arbre qui dit quelle méthode employer selon ce que l'énoncé demande de montrer, et l'exercice du cube décortiqué ligne par ligne, du repère à la distance au plan.

Le fil du chapitre

Dans l'espace, deux droites qui ne sont pas parallèles n'ont aucune raison de se couper, et un vecteur normal n'est pas un vecteur directeur. Presque tous les points perdus viennent d'un réflexe de géométrie plane appliqué à trois dimensions.

Ce chapitre fait partie de Spécialité mathématiques en Terminale

Avant ce chapitre

Cette fiche suppose ces notions acquises. Si une méthode ci-dessous reste opaque, c'est presque toujours l'une d'elles qui manque, pas la fiche.

Remonter plus loin : la chaîne complète (14 chapitres) ↓

Le chemin de remédiation, du plus ancien au plus proche. Un élève qui reprend ce chapitre de zéro le reprend dans cet ordre.

1Nombres et calcul littéralSeconde
2Le second degréSeconde
3Vecteurs et géométrie repéréeSeconde
4Configurations et trigonométrieSeconde
5Le second degréPremière
6La trigonométriePremière
7Le produit scalairePremière
8La géométrie repéréePremière
9Géométrie de CinquièmeCinquième
10Translations, symétries et rotationsQuatrième
11Les fonctions linéairesTroisième
12Les fonctions affinesTroisième
13Trigonométrie : sinus et cosinusTroisième
14Thalès, réciproque et agrandissementsTroisième

Notions couvertes

Vecteurs de l'espace
Colinéarité et coplanarité
Base de l'espace
Repère orthonormé de l'espace
Représentation paramétrique d'une droite
Produit scalaire dans l'espace
Vecteur normal à un plan
Équation cartésienne d'un plan
Projeté orthogonal
Distance à un plan
Droites non coplanaires

L'essentiel

Le repère du cube, celui de tous les exercices

• Dans presque tout sujet, l'énoncé impose le repère orthonormé $\left(A\,;\vec{AB},\vec{AD},\vec{AE}\right)$ d'un cube d'arête $1$ . Les huit sommets ont alors des coordonnées faites de $0$ et de $1$ .
• $A(0\,;0\,;0)$ , $B(1\,;0\,;0)$ , $C(1\,;1\,;0)$ , $D(0\,;1\,;0)$ , $E(0\,;0\,;1)$ , $F(1\,;0\,;1)$ , $G(1\,;1\,;1)$ , $H(0\,;1\,;1)$ .
• $\vec{AB}$ a pour coordonnées $\bigl(x_{B}-x_{A}\,;y_{B}-y_{A}\,;z_{B}-z_{A}\bigr)$ : c'est arrivée moins départ, comme dans le plan.
• Le milieu de $[MN]$ a pour coordonnées la moyenne de celles de $M$ et de $N$ , coordonnée par coordonnée.

Le cube et son repère :

\vec{AB}

vers la droite,

\vec{AD}

vers l'arrière,

\vec{AE}

vers le haut. Le sommet

D

est celui qu'on ne voit pas, et c'est celui qu'on oublie le plus souvent dans les coordonnées.

Écrire les huit sommets en début d'exercice coûte trente secondes et sert à toutes les questions. Les copies qui les recalculent à chaque fois perdent du temps et se trompent de sommet.

Colinéaires, coplanaires, et ce qui ne l'est pas

• $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont COLINÉAIRES lorsque leurs coordonnées sont proportionnelles, c'est-à-dire lorsqu'il existe $k$ tel que $\vec{v}=k\vec{u}$ .
• Trois vecteurs sont COPLANAIRES lorsque l'un s'écrit comme combinaison linéaire des deux autres : $\vec{w}=a\vec{u}+b\vec{v}$ . Sinon ils forment une BASE de l'espace.
• Montrer que quatre points sont coplanaires revient à montrer que trois vecteurs construits sur eux le sont, en résolvant un système de trois équations à deux inconnues.
• Deux droites de l'espace peuvent être parallèles, sécantes, confondues, ou NON COPLANAIRES : ce quatrième cas n'existe pas dans le plan et c'est celui qu'on oublie.

Le système de coplanarité a trois équations et deux inconnues : il est surdéterminé. On résout avec deux équations, puis on VÉRIFIE dans la troisième, et c'est cette vérification qui décide.

Droite et plan : les deux écritures à ne pas mélanger

• Une DROITE se décrit par une représentation paramétrique : $x=x_{A}+at$ , $y=y_{A}+bt$ , $z=z_{A}+ct$ , où $\vec{u}(a\,;b\,;c)$ est un vecteur DIRECTEUR.
• Un PLAN se décrit par une équation cartésienne $ax+by+cz+d=0$ , où $\vec{n}(a\,;b\,;c)$ est un vecteur NORMAL.
• Les coefficients d'une équation de plan SONT les coordonnées du vecteur normal : c'est la lecture la plus rentable du chapitre.
• Un vecteur $\vec{n}$ est normal à un plan lorsqu'il est orthogonal à DEUX vecteurs directeurs non colinéaires de ce plan. Deux produits scalaires nuls, pas un.

Une droite n'a pas d'équation cartésienne unique dans l'espace : elle s'obtiendrait comme intersection de deux plans, ce qui n'est pas au programme. Si une copie écrit $ax+by+cz+d=0$ pour une droite, c'est une faute de nature.

Produit scalaire, orthogonalité et distance

• En repère orthonormé : $\vec{u}\cdot\vec{v}=xx'+yy'+zz'$ , et $\|\vec{u}\|=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}$ .
• $\vec{u}\cdot\vec{v}=0$ signifie que les vecteurs sont ORTHOGONAUX. Deux droites orthogonales de l'espace peuvent très bien ne pas se couper; on ne dit « perpendiculaires » que si elles sont en plus sécantes.
• La distance d'un point $M$ au plan d'équation $ax+by+cz+d=0$ vaut $\frac{\left|ax_{M}+by_{M}+cz_{M}+d\right|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}$ .
• Cette distance est celle du PROJETÉ ORTHOGONAL : c'est la plus courte de toutes les distances de $M$ aux points du plan.

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Confondre vecteur normal et vecteur directeur d'un plan

toute la question, et souvent la suivante

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Le plan a pour équation $2x-y+3z-4=0$ , donc $\vec{u}(2\,;-1\,;3)$ est un vecteur directeur de ce plan. »

Ce qu'il faut écrire

« Le plan a pour équation $2x-y+3z-4=0$ , donc $\vec{n}(2\,;-1\,;3)$ est un vecteur NORMAL à ce plan : il lui est orthogonal, il n'est pas dedans. »

Le vecteur normal sort du plan, le vecteur directeur reste dedans. Les coefficients de l'équation cartésienne donnent celui qui sort, et c'est l'inverse du réflexe de la droite dans le plan.

Pourquoi : Les coefficients d'une équation cartésienne donnent le vecteur normal, jamais un vecteur directeur. Un vecteur directeur du plan vérifierait $2x-y+3z=0$ , ce qui n'est justement pas le cas de $(2\,;-1\,;3)$ , dont le produit scalaire avec lui-même vaut $14$ .

2. Conclure que deux droites non parallèles sont sécantes

toute la question, environ 2 points

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Les vecteurs directeurs de $(d)$ et de $(d')$ ne sont pas colinéaires, donc les deux droites sont sécantes. »

Ce qu'il faut écrire

« Les vecteurs directeurs ne sont pas colinéaires, donc les droites ne sont pas parallèles. Pour savoir si elles sont sécantes, il faut RÉSOUDRE le système donné par les deux représentations paramétriques : s'il n'a pas de solution, les droites sont non coplanaires. »

Pourquoi : Dans l'espace, non parallèle n'implique pas sécant : deux arêtes opposées d'un cube ne se rencontrent jamais. Ce quatrième cas de position relative n'existe pas en géométrie plane, et c'est pour cela qu'on l'oublie.

3. Mesurer la distance à un plan vers un point quelconque

toute la question, avec une valeur trop grande

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $A$ appartient au plan $\mathcal{P}$ et $AM=5$ , donc la distance de $M$ au plan $\mathcal{P}$ vaut $5$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $AM=5$ est une distance de $M$ à UN point du plan, pas la distance de $M$ au plan. Celle-ci est $MH$ où $H$ est le projeté orthogonal de $M$ , et se calcule par la formule $\frac{\left|ax_{M}+by_{M}+cz_{M}+d\right|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}$ . »

H

est le projeté orthogonal de

M

P

est un autre point du plan. La distance au plan est

MH

, la plus courte de toutes :

MP

vaut

5

et ne répond pas à la question.

Pourquoi : La distance d'un point à un plan est la PLUS COURTE des distances à ses points, et elle est atteinte au projeté orthogonal, un seul point. Toute autre distance est strictement plus grande, par le théorème de Pythagore.

4. Oublier la valeur absolue ou le dénominateur dans la formule de distance

1 point, et une longueur qui peut sortir négative

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Distance de $G(1\,;1\,;1)$ au plan $x+y+z-1=0$ : $1+1+1-1=2$ . »

Ce qu'il faut écrire

« Distance $=\frac{\left|1+1+1-1\right|}{\sqrt{1^{2}+1^{2}+1^{2}}}=\frac{2}{\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}\approx 1{,}15$ . »

Pourquoi : Le numérateur seul dépend de l'échelle de l'équation : multiplier toute l'équation par $2$ le doublerait sans changer le plan. C'est la division par la norme du vecteur normal qui rend le résultat géométrique.

5. Croire que deux représentations paramétriques différentes décrivent deux droites différentes

1 point, et une position relative fausse

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $(d)$ a pour vecteur directeur $(1\,;2\,;-1)$ et $(d')$ a pour vecteur directeur $(-2\,;-4\,;2)$ , donc elles ne sont pas parallèles. »

Ce qu'il faut écrire

« $(-2\,;-4\,;2)=-2\times(1\,;2\,;-1)$ : les deux vecteurs sont colinéaires, donc les droites sont parallèles. Elles sont même confondues si un point de $(d)$ appartient à $(d')$ . »

Pourquoi : Une même droite admet une infinité de représentations paramétriques : on peut changer de point de base et multiplier le vecteur directeur par n'importe quel réel non nul. Seule la COLINÉARITÉ des directeurs se teste, jamais l'égalité.

6. Dire « perpendiculaires » pour deux droites orthogonales qui ne se coupent pas

0,5 point de vocabulaire, systématiquement compté

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\vec{u}\cdot\vec{v}=0$ , donc les droites $(AB)$ et $(CG)$ sont perpendiculaires. »

Ce qu'il faut écrire

« $\vec{u}\cdot\vec{v}=0$ , donc les droites $(AB)$ et $(CG)$ sont ORTHOGONALES. Elles ne sont pas perpendiculaires, car elles ne sont pas sécantes : elles sont non coplanaires. »

Pourquoi : Dans l'espace, orthogonal porte sur les DIRECTIONS et perpendiculaire ajoute l'intersection. Le produit scalaire ne voit que les directions : il ne peut donc jamais prouver la perpendicularité à lui seul.

7. Trouver un vecteur normal avec un seul produit scalaire

1 point, celui de la seconde vérification

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\vec{n}\cdot\vec{AB}=0$ , donc $\vec{n}$ est normal au plan $(ABC)$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $\vec{n}\cdot\vec{AB}=0$ ET $\vec{n}\cdot\vec{AC}=0$ , avec $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ non colinéaires, donc $\vec{n}$ est normal au plan $(ABC)$ . »

Pourquoi : Un vecteur orthogonal à une seule direction du plan reste libre de tourner autour d'elle : il existe tout un plan de tels vecteurs. Il faut deux directions non colinéaires pour le fixer, et le mot « non colinéaires » fait partie de la rédaction attendue.

8. Confondre le paramètre et les coordonnées lors d'une intersection

1 point, et les coordonnées rendues sont fausses

Ce qu'il ne faut pas écrire

« La résolution donne $t=2$ , donc le point d'intersection est $(2\,;2\,;2)$ . »

Ce qu'il faut écrire

« La résolution donne $t=2$ ; en remplaçant dans la représentation paramétrique $x=1+t$ , $y=-t$ , $z=3$ , on obtient le point $K(3\,;-2\,;3)$ . »

Pourquoi : Le paramètre $t$ n'est pas une coordonnée : c'est l'abscisse du point sur la droite, comptée en vecteurs directeurs depuis le point de base. Il faut toujours le RÉINJECTER dans les trois équations.

Quelle méthode choisir

Ce que l'énoncé demande de montrer, et comment le montrer

Le verbe de la question désigne l'outil, et il n'y en a que six sur tout le chapitre.

Si « montrer que trois points sont alignés » → montrer que deux vecteurs construits sur eux sont colinéaires, coordonnées proportionnelles

Exemple : $\vec{AB}(2\,;-4\,;6)$ et $\vec{AC}(1\,;-2\,;3)$ donnent $\vec{AB}=2\vec{AC}$
Si « montrer que quatre points sont coplanaires » → chercher $a$ et $b$ tels que $\vec{AD}=a\vec{AB}+b\vec{AC}$ , résoudre avec deux équations et VÉRIFIER dans la troisième
Si « montrer que $\vec{n}$ est normal au plan » → deux produits scalaires nuls, avec deux vecteurs directeurs NON COLINÉAIRES du plan

Exemple : $\vec{n}\cdot\vec{BD}=0$ et $\vec{n}\cdot\vec{BE}=0$
Si « déterminer une équation cartésienne du plan » → trouver $\vec{n}(a\,;b\,;c)$ , écrire $ax+by+cz+d=0$ , puis calculer $d$ avec UN point du plan

Exemple : $\vec{n}(1\,;1\,;1)$ et $B(1\,;0\,;0)$ donnent $x+y+z-1=0$
Si « déterminer l'intersection d'une droite et d'un plan » → remplacer $x$ , $y$ , $z$ de la paramétrique dans l'équation du plan, résoudre en $t$ , puis réinjecter

Exemple : $t+t+t-1=0$ donne $t=\frac{1}{3}$ , puis $K\left(\frac{1}{3}\,;\frac{1}{3}\,;\frac{1}{3}\right)$
Si « déterminer la position relative de deux droites » → directeurs colinéaires ? si oui, parallèles ou confondues; sinon, résoudre le système : solution unique donne sécantes, pas de solution donne NON COPLANAIRES

Le mot « perpendiculaire » entre une droite et un plan signifie que le vecteur directeur de la droite est COLINÉAIRE au vecteur normal du plan. C'est la seule question où colinéarité et orthogonalité se rencontrent.

Quelle donnée, quelle écriture

On regarde ce que l'énoncé fournit, puis on choisit l'écriture qui utilise directement cette donnée.

Si un point et un vecteur directeur → représentation paramétrique de la droite, immédiate

Exemple : $A(1\,;0\,;2)$ et $\vec{u}(3\,;-1\,;0)$ donnent $x=1+3t$ , $y=-t$ , $z=2$
Si deux points → calculer $\vec{AB}$ , qui est un vecteur directeur, puis écrire la paramétrique

N'importe lequel des deux points sert de point de base : les deux écritures décrivent la même droite.
Si un point et un vecteur normal → équation cartésienne du plan, en écrivant $a(x-x_{A})+b(y-y_{A})+c(z-z_{A})=0$ puis en développant
Si trois points non alignés → deux vecteurs du plan, puis un vecteur normal par un système de deux produits scalaires nuls, puis l'équation

Le système a trois inconnues et deux équations : on fixe librement une coordonnée du normal, souvent à $1$ .
Si deux plans, et l'énoncé demande s'ils sont parallèles → comparer leurs vecteurs normaux : colinéaires donne parallèles ou confondus, non colinéaires donne sécants selon une droite

Toute équation de plan trouvée se VÉRIFIE en y substituant les points qui doivent lui appartenir. Trois substitutions de dix secondes valident une question entière.

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Déterminer une équation cartésienne d'un plan à partir de trois points

Quand l'utiliser : L'énoncé donne trois points non alignés et demande l'équation du plan qu'ils définissent.

1 Calculer deux vecteurs du plan et dire qu'ils ne sont pas colinéaires : « $\vec{BD}(-1\,;1\,;0)$ et $\vec{BE}(-1\,;0\,;1)$ ne sont pas colinéaires, donc $B$ , $D$ et $E$ définissent un plan. »
2 Chercher $\vec{n}(a\,;b\,;c)$ orthogonal aux deux, en écrivant le système des deux produits scalaires nuls.
3 Résoudre en fixant une coordonnée, par exemple $a=1$ , et donner un vecteur normal explicite.
4 Écrire l'équation sous la forme $ax+by+cz+d=0$ avec les coordonnées trouvées, sans encore connaître $d$ .
5 Calculer $d$ en substituant UN des trois points, celui dont les coordonnées sont les plus simples.
6 VÉRIFIER avec les deux autres points, ce qui valide tout le calcul.

Phrase de conclusion

$\vec{n}(1\,;1\,;1)$ est orthogonal à $\vec{BD}$ et à $\vec{BE}$ , qui ne sont pas colinéaires : il est donc normal au plan $(BDE)$ , dont une équation cartésienne est $x+y+z-1=0$ .

Le piège : Oublier de préciser « non colinéaires ». Deux vecteurs colinéaires ne définissent pas un plan, et le correcteur cherche cette mention autant que les deux produits scalaires.

Barème : 1 point pour les deux vecteurs, 1 point pour le système et le vecteur normal, 1 point pour l'équation avec $d$ , 1 point pour la vérification.

Déterminer l'intersection d'une droite et d'un plan

Quand l'utiliser : L'énoncé donne une droite par sa paramétrique, un plan par son équation, et demande leur point commun.

1 Vérifier d'abord si la droite est parallèle au plan : produit scalaire du vecteur directeur et du vecteur normal. S'il est nul, il n'y a pas de point d'intersection unique.
2 Sinon, remplacer $x$ , $y$ et $z$ de la représentation paramétrique dans l'équation du plan.
3 Obtenir une équation du premier degré en $t$ et la résoudre : il y a exactement une solution.
4 RÉINJECTER la valeur de $t$ dans les trois équations paramétriques pour obtenir les trois coordonnées.
5 Vérifier que le point trouvé satisfait l'équation du plan, ce qui valide le calcul en dix secondes.

Phrase de conclusion

En remplaçant dans l'équation du plan, on obtient $3t-1=0$ , soit $t=\frac{1}{3}$ ; le point d'intersection est donc $K\left(\frac{1}{3}\,;\frac{1}{3}\,;\frac{1}{3}\right)$ .

Le piège : Rendre la valeur de $t$ comme réponse, ou la recopier trois fois comme coordonnées. Le paramètre n'est une coordonnée que par hasard, quand le point de base est l'origine et le directeur est $(1\,;1\,;1)$ .

Barème : 1 point pour la substitution, 1 point pour la résolution en $t$ , 1 point pour les coordonnées du point.

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

Substituer les points dans l'équation de plan trouvée

Chacun des points qui doivent appartenir au plan doit annuler l'équation. Trois substitutions de dix secondes valident une question entière.

$x+y+z-1=0$ testé en $B(1\,;0\,;0)$ donne $0$ , en $D(0\,;1\,;0)$ donne $0$ , en $E(0\,;0\,;1)$ donne $0$ : l'équation est juste.
Recalculer les deux produits scalaires du vecteur normal

Le vecteur normal trouvé doit annuler le produit scalaire avec les DEUX vecteurs directeurs. Un seul nul ne prouve rien.

$\vec{n}(1\,;1\,;1)$ avec $\vec{BD}(-1\,;1\,;0)$ donne $-1+1+0=0$ , et avec $\vec{BE}(-1\,;0\,;1)$ donne $-1+0+1=0$ .
Contrôler l'ordre de grandeur d'une distance dans le cube

Dans un cube d'arête $1$ , aucune distance ne dépasse la grande diagonale $\sqrt{3}\approx 1{,}73$ . Une distance annoncée à $2$ ou plus est fausse sans discussion.

Une distance de $G$ au plan $(BDE)$ trouvée à $2$ : c'est plus que la diagonale du cube, donc impossible; la bonne valeur est $\frac{2\sqrt{3}}{3}\approx 1{,}15$ .
Vérifier qu'un point d'intersection appartient aux deux objets

Le point trouvé doit vérifier l'équation du plan ET correspondre à une valeur de $t$ dans la paramétrique. Les deux contrôles se font en substituant.

$K\left(\frac{1}{3}\,;\frac{1}{3}\,;\frac{1}{3}\right)$ donne $\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-1=0$ : il est bien dans le plan.
Relire le vocabulaire avant de conclure

Orthogonal ou perpendiculaire, sécantes ou non coplanaires, normal ou directeur : trois couples de mots, trois demi-points. Une relecture de la conclusion suffit.

« Les droites sont perpendiculaires » alors que rien ne prouve qu'elles se coupent : la bonne conclusion est « orthogonales ».

L'exercice type décortiqué

L'exercice du cube, comme au baccalauréat

$ABCDEFGH$ est un cube d'arête $1$ . On se place dans le repère orthonormé $\left(A\,;\vec{AB},\vec{AD},\vec{AE}\right)$ .

1. Donner les coordonnées de $B$ , $D$ , $E$ et $G$ . 2. Montrer que $\vec{n}(1\,;1\,;1)$ est normal au plan $(BDE)$ . 3. En déduire une équation cartésienne de $(BDE)$ . 4. Montrer que la droite $(AG)$ est perpendiculaire au plan $(BDE)$ et déterminer leur point d'intersection $K$ . 5. Calculer la distance de $G$ au plan $(BDE)$ .

Le triangle

BDE

coupe le cube en trois sommets voisins de

A

, et la grande diagonale

(AG)

le traverse perpendiculairement en

K

. Les arêtes sont laissées en pointillés pour que la construction reste lisible.

Étape 1

Dans ce repère : $B(1\,;0\,;0)$ , $D(0\,;1\,;0)$ , $E(0\,;0\,;1)$ et $G(1\,;1\,;1)$ .

Pourquoi

Les trois voisins de $A$ portent chacun un seul $1$ , et $G$ , le sommet opposé, en porte trois. Ce repérage évite de recompter les sommets à chaque question.

Étape 2

$\vec{BD}(-1\,;1\,;0)$ et $\vec{BE}(-1\,;0\,;1)$ ne sont pas colinéaires. Or $\vec{n}\cdot\vec{BD}=-1+1+0=0$ et $\vec{n}\cdot\vec{BE}=-1+0+1=0$ , donc $\vec{n}$ est normal au plan $(BDE)$ .

Pourquoi

Deux produits scalaires, et la mention « non colinéaires » : ce sont trois éléments distincts du barème. La copie qui n'en donne qu'un obtient un tiers du point.

Étape 3

$\vec{n}(1\,;1\,;1)$ étant normal, le plan a une équation de la forme $x+y+z+d=0$ . En substituant $B(1\,;0\,;0)$ : $1+0+0+d=0$ , donc $d=-1$ et $(BDE)$ a pour équation $x+y+z-1=0$ .

Pourquoi

Les coefficients de l'équation SONT les coordonnées du vecteur normal : il n'y a rien à calculer pour eux. Seul $d$ demande un point, et le plus simple des trois suffit.

Étape 4

Vérification : $D(0\,;1\,;0)$ donne $0+1+0-1=0$ et $E(0\,;0\,;1)$ donne $0+0+1-1=0$ . Les trois points appartiennent bien au plan.

Pourquoi

Vingt secondes qui valident la question précédente et celles qui suivent. Une équation de plan fausse contamine toutes les questions suivantes du sujet.

Étape 5

$\vec{AG}(1\,;1\,;1)=\vec{n}$ : le vecteur directeur de $(AG)$ est COLINÉAIRE au vecteur normal de $(BDE)$ , donc la droite $(AG)$ est perpendiculaire au plan $(BDE)$ .

Pourquoi

C'est la seule question du chapitre où l'on cherche une colinéarité entre un directeur et un normal. Ailleurs, on cherche des produits scalaires nuls : ici, c'est l'inverse.

Étape 6

Représentation paramétrique de $(AG)$ : $x=t$ , $y=t$ , $z=t$ . En substituant dans $x+y+z-1=0$ : $3t-1=0$ , donc $t=\frac{1}{3}$ et $K\left(\frac{1}{3}\,;\frac{1}{3}\,;\frac{1}{3}\right)$ .

Pourquoi

Le paramètre $t=\frac{1}{3}$ se réinjecte dans les trois équations. Ici les trois coordonnées coïncident avec $t$ parce que le directeur est $(1\,;1\,;1)$ , ce qui est une coïncidence de l'exercice, pas une règle.

Étape 7

Distance de $G$ au plan : $\frac{\left|1+1+1-1\right|}{\sqrt{1^{2}+1^{2}+1^{2}}}=\frac{2}{\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}\approx 1{,}15$ .

Pourquoi

La valeur absolue au numérateur et la norme au dénominateur sont toutes les deux indispensables. On rationalise le résultat, car le baccalauréat attend une valeur exacte sans racine au dénominateur.

Étape 8

Contrôle : $GK=\sqrt{\left(1-\frac{1}{3}\right)^{2}\times 3}=\frac{2}{\sqrt{3}}$ , la même valeur. Et $1{,}15$ est bien inférieur à la grande diagonale $\sqrt{3}\approx 1{,}73$ .

Pourquoi

Deux contrôles indépendants : la longueur $GK$ calculée directement, puisque $K$ est le projeté orthogonal de $G$ , et un ordre de grandeur borné par la diagonale du cube.

Conclusion rédigée

Le vecteur $\vec{n}(1\,;1\,;1)$ est normal au plan $(BDE)$ , dont une équation cartésienne est $x+y+z-1=0$ ; la grande diagonale $(AG)$ lui est perpendiculaire et le coupe en $K\left(\frac{1}{3}\,;\frac{1}{3}\,;\frac{1}{3}\right)$ , et la distance de $G$ à ce plan vaut $\frac{2\sqrt{3}}{3}$ .

L'erreur classique sur cet exercice : Écrire que la distance de $G$ au plan vaut $GB=1$ , parce que $B$ appartient au plan. $B$ n'est pas le projeté orthogonal de $G$ : le projeté est $K$ , et la distance cherchée est $GK\approx 1{,}15$ , donc supérieure à $GB$ .

À savoir par cœur

• Cube d'arête $1$ dans $\left(A\,;\vec{AB},\vec{AD},\vec{AE}\right)$ : les voisins de $A$ portent un seul $1$ , le sommet opposé $G$ en porte trois.
• Les coefficients d'une équation de plan $ax+by+cz+d=0$ SONT les coordonnées d'un vecteur NORMAL, jamais d'un directeur.
• Un vecteur normal se prouve par DEUX produits scalaires nuls, avec deux directeurs non colinéaires.
• Une droite se décrit par une paramétrique, un plan par une équation cartésienne. L'inverse n'existe pas au programme.
• Non parallèles n'implique pas sécantes : dans l'espace, deux droites peuvent être NON COPLANAIRES.
• Orthogonales porte sur les directions; perpendiculaires ajoute qu'elles se coupent.
• Distance de $M$ au plan : $\frac{\left|ax_{M}+by_{M}+cz_{M}+d\right|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}$ , valeur absolue en haut, norme en bas.
• Après avoir trouvé $t$ , le RÉINJECTER dans les trois équations paramétriques : $t$ n'est pas une coordonnée.
• Droite perpendiculaire à un plan : directeur COLINÉAIRE au normal. C'est la seule question où l'on cherche une colinéarité.

Questions fréquentes

Quelle différence entre un vecteur normal et un vecteur directeur ?

Un vecteur directeur est porté par la droite ou contenu dans le plan, un vecteur normal en sort perpendiculairement. Dans l'espace, les coefficients de l'équation cartésienne d'un plan donnent un vecteur normal, jamais un directeur. C'est l'inverse du réflexe de la géométrie plane, où les coefficients d'une droite donnent aussi un normal.

Deux droites qui ne sont pas parallèles se coupent-elles toujours ?

Non, pas dans l'espace. Deux droites peuvent être non parallèles et ne jamais se rencontrer : on les dit non coplanaires, et deux arêtes opposées d'un cube en sont l'exemple type. Pour trancher, il faut résoudre le système donné par les deux représentations paramétriques : sans solution, les droites sont non coplanaires.

Comment trouver une équation cartésienne d'un plan à partir de trois points ?

On calcule deux vecteurs du plan avec ces points, on vérifie qu'ils ne sont pas colinéaires, puis on cherche un vecteur orthogonal aux deux en résolvant un système de deux produits scalaires nuls. Ses coordonnées deviennent les coefficients de l'équation, et le terme constant se trouve en substituant un des trois points.

Comment calculer la distance d'un point à un plan ?

On applique la formule : la valeur absolue de l'expression du plan évaluée aux coordonnées du point, divisée par la norme du vecteur normal. Cette distance est celle du projeté orthogonal, donc la plus courte de toutes les distances du point aux points du plan. Toute autre distance est strictement plus grande.

Comment montrer qu'une droite est perpendiculaire à un plan ?

On montre que son vecteur directeur est colinéaire au vecteur normal du plan, c'est-à-dire que leurs coordonnées sont proportionnelles. C'est la seule question du chapitre où l'on cherche une colinéarité entre ces deux objets : partout ailleurs, on cherche au contraire des produits scalaires nuls.

Quelle différence entre orthogonales et perpendiculaires dans l'espace ?

Orthogonales décrit seulement les directions : le produit scalaire des vecteurs directeurs est nul. Perpendiculaires ajoute que les droites se coupent effectivement. Deux droites peuvent donc être orthogonales sans être perpendiculaires, et le produit scalaire ne permet jamais à lui seul de conclure à la perpendicularité.

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Exercices corrigés : Géométrie dans l'espace

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

15 exercices corrigés
150 points
225 minutes

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