Fiche de révision : la géométrie dans l'espace (Terminale spécialité)

Si « montrer que trois points sont alignés » → montrer que deux vecteurs construits sur eux sont colinéaires, coordonnées proportionnelles

Exemple : $\vec{AB}(2\,;-4\,;6)$ et $\vec{AC}(1\,;-2\,;3)$ donnent $\vec{AB}=2\vec{AC}$

Si « montrer que quatre points sont coplanaires » → chercher $a$ et $b$ tels que $\vec{AD}=a\vec{AB}+b\vec{AC}$, résoudre avec deux équations et VÉRIFIER dans la troisième

Si « montrer que $\vec{n}$ est normal au plan » → deux produits scalaires nuls, avec deux vecteurs directeurs NON COLINÉAIRES du plan

Exemple : $\vec{n}\cdot\vec{BD}=0$ et $\vec{n}\cdot\vec{BE}=0$

Si « déterminer une équation cartésienne du plan » → trouver $\vec{n}(a\,;b\,;c)$, écrire $ax+by+cz+d=0$, puis calculer $d$ avec UN point du plan

Exemple : $\vec{n}(1\,;1\,;1)$ et $B(1\,;0\,;0)$ donnent $x+y+z-1=0$

Si « déterminer l'intersection d'une droite et d'un plan » → remplacer $x$, $y$, $z$ de la paramétrique dans l'équation du plan, résoudre en $t$, puis réinjecter

Exemple : $t+t+t-1=0$ donne $t=\frac{1}{3}$, puis $K\left(\frac{1}{3}\,;\frac{1}{3}\,;\frac{1}{3}\right)$

Si « déterminer la position relative de deux droites » → directeurs colinéaires ? si oui, parallèles ou confondues; sinon, résoudre le système : solution unique donne sécantes, pas de solution donne NON COPLANAIRES

Si « calculer la distance d'un point à un plan » → droite passant par le point et dirigée par le vecteur NORMAL, intersection avec le plan, puis longueur jusqu'au projeté

Exemple : $18+9t=0$ donne $t=-2$, $H(1\,;1\,;0)$ et $MH=6$

Si « déterminer le projeté orthogonal sur une droite » → point $H$ de paramètre $t$ sur la droite, puis résoudre $\vec{MH}\cdot\vec{u}=0$

Exemple : $49t-98=0$ donne $t=2$ et $H(12\,;6\,;26)$

Si « exprimer un vecteur en fonction de » trois vecteurs, sans repère → relation de Chasles le long des arêtes, milieux par demi-somme, arrivée moins départ

Exemple : $\vec{AI}=\vec{u}+\frac{1}{2}\vec{v}+\vec{w}$ pour $I$ milieu de $[FG]$

Si « déterminer l'ensemble des points équidistants de $A$ et $B$ » → écrire $MA^{2}=MB^{2}$, développer, reconnaître le plan médiateur

Exemple : $2x-y+2z-7=0$ pour $A(1\,;4\,;0)$ et $B(5\,;2\,;4)$

Si un point et un vecteur directeur → représentation paramétrique de la droite, immédiate

Exemple : $A(1\,;0\,;2)$ et $\vec{u}(3\,;-1\,;0)$ donnent $x=1+3t$, $y=-t$, $z=2$

Si deux points → calculer $\vec{AB}$, qui est un vecteur directeur, puis écrire la paramétrique

N'importe lequel des deux points sert de point de base : les deux écritures décrivent la même droite.

Si un point et un vecteur normal → équation cartésienne du plan, en écrivant $a(x-x_{A})+b(y-y_{A})+c(z-z_{A})=0$ puis en développant

Si trois points non alignés → deux vecteurs du plan, puis un vecteur normal par un système de deux produits scalaires nuls, puis l'équation

Le système a trois inconnues et deux équations : on fixe librement une coordonnée du normal, souvent à $1$.

Si deux plans, et l'énoncé demande s'ils sont parallèles → comparer leurs vecteurs normaux : colinéaires donne parallèles ou confondus, non colinéaires donne sécants selon une droite