Maths complémentaires, Terminale • Exercices corrigés à Montréal

Fiche de révision : lois à densité et temps d'attente (maths complémentaires)

Cette fiche de révision accompagne le chapitre des lois à densité de l'option mathématiques complémentaires de Terminale, programme français : densité, fonction de répartition, espérance et variance, loi uniforme, loi exponentielle et thème des temps d'attente.

Elle ne redit pas le cours. Elle dit ce qui coûte des points dans les devoirs de l'année, ce que le correcteur attend exactement, et les contrôles à faire avant de rendre la copie.

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Le fil du chapitre

Une probabilité est une AIRE sous la densité, jamais une hauteur : $f(a)$ n'est pas $P(X=a)$ , qui vaut toujours $0$ , et une densité peut dépasser $1$ . Presque toutes les erreurs du chapitre sont une hauteur lue à la place d'une aire, ou une aire prise du mauvais côté.

Ce chapitre fait partie de Maths complémentaires en Terminale

Pour s'entraîner Les exercices corrigés de ce chapitre, 10 exercices

Avant ce chapitre

Cette fiche suppose ces notions acquises. Si une méthode ci-dessous reste opaque, c'est presque toujours l'une d'elles qui manque, pas la fiche.

Remonter plus loin : la chaîne complète (10 chapitres) ↓

Le chemin de remédiation, du plus ancien au plus proche. Un élève qui reprend ce chapitre de zéro le reprend dans cet ordre.

1Probabilités conditionnelles et arbres pondérésSeconde, Mathématiques
2Les suites numériquesPremière, Mathématiques
3La dérivationPremière, Mathématiques
4La fonction exponentiellePremière, Mathématiques
5Probabilités conditionnellesPremière, Mathématiques
6Les variables aléatoiresPremière, Mathématiques
7Fonctions et modèles d'évolution
8La fonction logarithme, approche historique
9Intégrales et calculs d'aires
10Probabilités et statistiques

Notions couvertes

Loi à densité
Densité de probabilité
Fonction de répartition
Espérance d'une loi à densité
Variance d'une loi à densité
Loi uniforme
Loi exponentielle
Absence de mémoire
Demi-vie et vie moyenne
Paradoxe de l'inspection
Simulation par la loi uniforme
Discrétisation et loi géométrique

L'essentiel

Hauteur ou aire : la distinction qui porte tout le chapitre

• Une densité $f$ sur $I$ est POSITIVE et d'aire totale $\int_{I}f(x)\,dx=1$ . Les deux conditions se vérifient, la positivité d'abord.
• Une probabilité est une aire : $P(c\le X\le d)=\int_{c}^{d}f(x)\,dx$ .
• Une valeur isolée a une aire nulle : $P(X=a)=0$ , donc $P(X<a)=P(X\le a)$ .
• $f(a)$ est une probabilité PAR UNITÉ : sur une petite largeur $h$ , $P(a\le X\le a+h)\approx f(a)\,h$ . Elle peut dépasser $1$ quand la loi est concentrée sur un intervalle court.

Loi uniforme sur

[0\,;0{,}4]

: la densité vaut

2{,}5>1

, et pourtant

P(0{,}1\le X\le 0{,}3)=0{,}2\times 2{,}5=0{,}5

, l'aire ombrée.

Écrire « $P(X=a)=0$ car une aire de largeur nulle est nulle » rapporte le point de justification.

Répartition, survie et les deux lois du programme

• $F(x)=P(X\le x)$ est l'aire accumulée depuis la borne gauche ; $P(c\le X\le d)=F(d)-F(c)$ et $P(X>x)=1-F(x)$ .
• Loi uniforme sur $[a\,;b]$ : densité $\dfrac{1}{b-a}$ , probabilité = longueur favorable sur longueur totale, $E(X)=\dfrac{a+b}{2}$ , $V(X)=\dfrac{(b-a)^{2}}{12}$ .
• Loi exponentielle de paramètre $\lambda$ : $F(x)=1-\mathrm{e}^{-\lambda x}$ , $P(X>x)=\mathrm{e}^{-\lambda x}$ , $E(X)=\dfrac{1}{\lambda}$ , médiane $\dfrac{\ln 2}{\lambda}$ .
• Espérance et variance : $E(X)=\int_{I}x\,f(x)\,dx$ et $V(X)=\int_{I}(x-E(X))^{2}f(x)\,dx$ .

$\lambda$ a l'unité inverse de celle de $X$ : « $0{,}25$ par seconde » pour une moyenne de $4$ secondes.

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Lire la hauteur de la densité comme une probabilité

toute la question

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $f(2)=0{,}4$ , donc il y a $40\ \%$ de chances que $X$ vaille $2$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $P(X=2)=\int_{2}^{2}f(x)\,dx=0$ ; $f(2)=0{,}4$ est une densité : $P(2\le X\le 2{,}1)\approx 0{,}4\times 0{,}1=0{,}04$ . »

Pourquoi : Une densité n'est une probabilité qu'une fois multipliée par une largeur. La même erreur fait refuser une densité qui dépasse $1$ , alors qu'elle est parfaitement valable.

2. Valider une densité sur la seule intégrale

2 points

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\int_{0}^{2}(1{,}2-x)\,dx=2{,}4-2=0{,}4$ ... je cherche $k$ tel que $k(1{,}2-x)$ soit une densité : $k=2{,}5$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $1{,}2-x<0$ sur $]1{,}2\,;2]$ : aucune constante positive ne rend cette fonction positive, ce n'est pas une densité sur $[0\,;2]$ . »

Pourquoi : L'intégrale compte négativement la partie sous l'axe ; une probabilité négative apparaîtrait sur $[1{,}2\,;2]$ . La positivité se vérifie AVANT de normaliser.

3. Écrire la probabilité de dépasser à l'envers

1 à 2 points par calcul

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Loi exponentielle de paramètre $0{,}5$ : $P(X>3)=1-\mathrm{e}^{-1{,}5}\approx 0{,}777$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $P(X>3)=\mathrm{e}^{-0{,}5\times 3}=\mathrm{e}^{-1{,}5}\approx 0{,}223$ ; c'est $P(X\le 3)$ qui vaut $1-\mathrm{e}^{-1{,}5}$ . »

Pourquoi : $1-\mathrm{e}^{-\lambda x}$ est la répartition, l'aire à GAUCHE. La probabilité de dépasser se lit directement dans l'exponentielle, sans complément.

4. Prendre le paramètre pour la moyenne

tout l'exercice

Ce qu'il ne faut pas écrire

« La durée de vie moyenne est $5$ ans, donc $\lambda=5$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $E(X)=\dfrac{1}{\lambda}=5$ , donc $\lambda=\dfrac{1}{5}=0{,}2$ par an. »

Pourquoi : Avec $\lambda=5$ , $P(X\le 1)=1-\mathrm{e}^{-5}\approx 0{,}993$ : presque tout tomberait en panne la première année. Un résultat absurde signale ce piège, encore faut-il le relire.

5. Confondre demi-vie (médiane) et vie moyenne (espérance)

1 point

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Loi exponentielle de paramètre $0{,}5$ : la moitié des valeurs sont sous la moyenne $2$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $P(X\le 2)=1-\mathrm{e}^{-1}\approx 0{,}632$ . La médiane est $\dfrac{\ln 2}{0{,}5}=2\ln 2\approx 1{,}39$ , sous la moyenne. »

Densité

0{,}5\,\mathrm{e}^{-0{,}5x}

: l'aire ombrée, à gauche de la médiane

2\ln 2\approx 1{,}39

, vaut

\frac{1}{2}

; la moyenne

2

est plus à droite.

Pourquoi : La loi exponentielle est dissymétrique : sa longue traîne à droite tire la moyenne vers le haut. Demi-vie $\dfrac{\ln 2}{\lambda}$ et vie moyenne $\dfrac{1}{\lambda}$ diffèrent d'un facteur $\ln 2$ .

6. Oublier l'absence de mémoire

2 points

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Le composant fonctionne depuis $4$ ans, il a donc moins de chances de durer encore $2$ ans : $P_{X>4}(X>6)<P(X>2)$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $P_{X>4}(X>6)=\dfrac{\mathrm{e}^{-6\lambda}}{\mathrm{e}^{-4\lambda}}=\mathrm{e}^{-2\lambda}=P(X>2)$ : pour une loi exponentielle, le passé ne compte pas. »

P(X>t)

pour la loi exponentielle de paramètre

0{,}5

et pour la loi uniforme sur

[0\,;4]

: la droite tombe à

0

4

et vieillit, la courbe garde la même forme où qu'on la coupe.

Pourquoi : Seule la loi exponentielle est sans mémoire parmi les lois continues. La loi uniforme, elle, « vieillit » ; si l'intuition d'usure est juste, c'est le MODÈLE exponentiel qu'il faut discuter.

7. Oublier la densité dans l'espérance ou la variance

1 point

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Loi uniforme sur $[0\,;6]$ : $E(X)=\int_{0}^{6}x\,dx=18$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $E(X)=\int_{0}^{6}x\times\dfrac{1}{6}\,dx=\dfrac{1}{6}\times 18=3$ , le milieu de l'intervalle. »

Pourquoi : L'espérance pondère chaque valeur par sa densité. Une attente moyenne de $18$ pour une variable qui ne dépasse jamais $6$ doit faire relire la ligne.

8. Appliquer la règle du milieu à une densité non constante

1 point

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $X$ a pour densité $3x^{2}$ sur $[0\,;1]$ ; $0{,}5$ est au milieu, donc $P(X\le 0{,}5)=0{,}5$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $P(X\le 0{,}5)=\int_{0}^{0{,}5}3x^{2}\,dx=0{,}5^{3}=0{,}125$ . »

Pourquoi : « Longueur favorable sur longueur totale » n'est vrai que pour la loi UNIFORME. Ici la densité croît : les grandes valeurs sont beaucoup plus probables.

Quelle méthode choisir

Quelle formule selon la forme de la question

On lit d'abord l'événement demandé, puis la loi.

Si « déterminer $k$ pour que $f$ soit une densité » → vérifier $f\ge 0$ , puis résoudre $\int_{I}f=1$

Exemple : $\int_{0}^{2}kx\,dx=2k=1$ , donc $k=0{,}5$
Si « $P(X\le x)$ » ou « avant » → $F(x)$ : aire à gauche

Exemple : exponentielle de paramètre $0{,}5$ : $P(X\le 2)=1-\mathrm{e}^{-1}\approx 0{,}632$
Si « $P(X>x)$ » ou « dépasser », loi exponentielle → $\mathrm{e}^{-\lambda x}$ directement

Exemple : $P(X>4)=\mathrm{e}^{-2}\approx 0{,}135$
Si « entre $c$ et $d$ » → $F(d)-F(c)$

Exemple : uniforme sur $[0\,;4]$ : $P(1\le X\le 3)=\dfrac{2}{4}=0{,}5$
Si « sachant que $X>s$ », loi exponentielle → absence de mémoire : on retire $s$

Exemple : $P_{X>3}(X>5)=P(X>2)=\mathrm{e}^{-1}$
Si « durée médiane », « demi-vie » → résoudre $F(m)=0{,}5$ par le logarithme

Exemple : $\mathrm{e}^{-0{,}5m}=0{,}5$ , $m=2\ln 2\approx 1{,}39$
Si « durée moyenne », « en moyenne » → $E(X)$ : $\dfrac{1}{\lambda}$ , $\dfrac{a+b}{2}$ , sinon $\int x\,f(x)\,dx$

Exemple : paramètre $0{,}5$ : moyenne $2$

La loi normale n'est pas au programme de l'option : aucune question ne la demande.

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Montrer qu'une fonction est une densité

Quand l'utiliser : « Montrer que $f$ est une densité de probabilité sur $I$ », ou « déterminer $k$ ».

1 Positivité, avec sa raison : « pour $x\in[0\,;2]$ , $x\ge 0$ et $2-x\ge 0$ , donc $f(x)\ge 0$ ».
2 Continuité : « $f$ est un polynôme (ou une exponentielle), donc continue sur $I$ ».
3 Primitive écrite, puis aire totale calculée : $\int_{I}f(x)\,dx=1$ .
4 Sur $[0\,;+\infty[$ : intégrale jusqu'à $x$ , puis limite quand $x$ tend vers $+\infty$ .

Phrase de conclusion

« $f$ est continue et positive sur $I$ , et $\int_{I}f(x)\,dx=1$ : $f$ est une densité de probabilité sur $I$ . »

Le piège : La positivité, que l'on saute parce que l'intégrale « tombe juste ».

Barème : Environ un tiers des points pour la positivité justifiée, le reste pour l'intégrale.

Démontrer l'absence de mémoire

Quand l'utiliser : « Montrer que $P_{X>s}(X>s+t)=P(X>t)$ » pour une loi exponentielle.

1 Inclusion : $\{X>s+t\}\subset\{X>s\}$ , donc $\{X>s\}\cap\{X>s+t\}=\{X>s+t\}$ .
2 Définition : $P_{X>s}(X>s+t)=\dfrac{P(X>s+t)}{P(X>s)}$ .
3 Survie : $\dfrac{\mathrm{e}^{-\lambda(s+t)}}{\mathrm{e}^{-\lambda s}}=\mathrm{e}^{-\lambda t}$ .

Phrase de conclusion

« Donc $P_{X>s}(X>s+t)=\mathrm{e}^{-\lambda t}=P(X>t)$ : la loi exponentielle est sans mémoire. »

Le piège : L'inclusion, sans laquelle le numérateur n'est pas justifié.

Calculer une espérance avec une primitive donnée

Quand l'utiliser : « On admet que $G$ est une primitive de $t\mapsto t\,f(t)$ ... en déduire $E(X)$ . »

1 Vérifier la primitive en dérivant $G$ (produit, et dérivée de $\mathrm{e}^{-\lambda t}$ égale à $-\lambda\mathrm{e}^{-\lambda t}$ ).
2 Écrire $\int_{0}^{x}t\,f(t)\,dt=G(x)-G(0)$ .
3 Passer à la limite en citant la limite admise par l'énoncé ( $x\,\mathrm{e}^{-\lambda x}\to 0$ ).

Phrase de conclusion

« Quand $x$ tend vers $+\infty$ , $\int_{0}^{x}t\,f(t)\,dt$ tend vers $\dfrac{1}{\lambda}$ , donc $E(X)=\dfrac{1}{\lambda}$ . »

Le piège : Oublier $-G(0)$ , qui vaut ici $\dfrac{1}{\lambda}$ et porte tout le résultat.

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

Chaque probabilité entre 0 et 1, et les morceaux font 1

Additionner $P(X<c)$ , $P(c\le X\le d)$ et $P(X>d)$ : la somme doit valoir $1$ .

$0{,}393+0{,}384+0{,}223=1$ ; un total de $1{,}6$ trahit un complément pris à l'envers.
La médiane sous la moyenne, pour la loi exponentielle

Comparer la médiane trouvée à $\dfrac{1}{\lambda}$ : elle doit valoir environ $0{,}69$ fois la moyenne.

Moyenne $8$ : une médiane de $5{,}55$ convient, une médiane de $8$ ou de $11$ est fausse.
La répartition part de 0 et monte vers 1

Tester $F$ aux bornes : $F(\text{borne gauche})=0$ , $F(\text{borne droite})=1$ ou limite $1$ .

$F(x)=0{,}75x^{2}-0{,}25x^{3}$ sur $[0\,;2]$ : $F(0)=0$ et $F(2)=1$ , la primitive est la bonne.
L'espérance tombe dans l'intervalle

Une moyenne hors de $I$ , ou supérieure à la plus grande valeur possible, signale une densité oubliée.

Uniforme sur $[0\,;6]$ : $E=18$ est impossible, $E=3$ convient.

L'exercice type décortiqué

Les requêtes d'un serveur informatique

Le temps $X$ , en secondes, qui sépare deux requêtes reçues par un serveur suit une loi exponentielle de moyenne $8$ secondes.

a) Donner $\lambda$ . b) Calculer $P(X\le 4)$ et $P(X>12)$ . c) Aucune requête n'est arrivée depuis $5$ secondes : probabilité d'attendre encore plus de $12$ secondes ? d) Durée médiane.

Étape 1

$E(X)=\dfrac{1}{\lambda}=8$ , donc $\lambda=\dfrac{1}{8}=0{,}125$ par seconde.

Pourquoi

Le paramètre est l'inverse de la moyenne ; tout le reste en dépend, on le fixe d'abord avec son unité.

Étape 2

$P(X\le 4)=1-\mathrm{e}^{-0{,}125\times 4}=1-\mathrm{e}^{-0{,}5}\approx 0{,}393$ ; $P(X>12)=\mathrm{e}^{-1{,}5}\approx 0{,}223$ .

Pourquoi

Aire à gauche par la répartition, aire à droite directement par l'exponentielle : deux formules, deux sens.

Étape 3

$P_{X>5}(X>17)=\dfrac{\mathrm{e}^{-0{,}125\times 17}}{\mathrm{e}^{-0{,}125\times 5}}=\mathrm{e}^{-1{,}5}\approx 0{,}223$ .

Pourquoi

Encore plus de 12 secondes après les 5 déjà écoulées, c'est dépasser 17. L'absence de mémoire redonne P(X > 12).

Étape 4

$\mathrm{e}^{-0{,}125m}=0{,}5\iff m=\dfrac{\ln 2}{0{,}125}=8\ln 2\approx 5{,}55$ s.

Pourquoi

La médiane résout F(m) = 0,5 ; le logarithme népérien fait descendre l'exposant.

Étape 5

Contrôle : $5{,}55\approx 0{,}69\times 8$ , et $0{,}393+(1-0{,}393-0{,}223)+0{,}223=1$ .

Pourquoi

La médiane sous la moyenne, dans le rapport ln 2, et les trois morceaux qui font 1 : deux vérifications en dix secondes.

Conclusion rédigée

$\lambda=0{,}125$ par seconde ; $P(X\le 4)\approx 0{,}393$ ; $P(X>12)\approx 0{,}223$ , probabilité inchangée sachant $X>5$ ; durée médiane $8\ln 2\approx 5{,}55$ s.

L'erreur classique sur cet exercice : Répondre à c) par $\mathrm{e}^{-0{,}125\times 7}$ , en retranchant les $5$ secondes de $12$ : « encore $12$ secondes » veut dire dépasser $17$ , pas $12$ .

À savoir par cœur

• Densité : POSITIVE et d'aire totale $1$ ; une probabilité est une AIRE, $P(X=a)=0$ .
• $F(x)=P(X\le x)$ ; $P(c\le X\le d)=F(d)-F(c)$ ; $P(X>x)=1-F(x)$ .
• $E(X)=\int x\,f(x)\,dx$ ; $V(X)=\int(x-E(X))^{2}f(x)\,dx=E(X^{2})-E(X)^{2}$ .
• Uniforme sur $[a\,;b]$ : densité $\dfrac{1}{b-a}$ , $E=\dfrac{a+b}{2}$ , $V=\dfrac{(b-a)^{2}}{12}$ .
• Exponentielle : $P(X>x)=\mathrm{e}^{-\lambda x}$ , $E=\dfrac{1}{\lambda}$ , médiane $\dfrac{\ln 2}{\lambda}$ .
• Absence de mémoire : $P_{X>s}(X>s+t)=P(X>t)$ ; géométrique en discret, exponentielle en continu.
• Simulation : $-\dfrac{\ln(1-U)}{\lambda}$ suit la loi exponentielle quand $U$ suit la loi uniforme sur $[0\,;1[$ .

Questions fréquentes

Pourquoi la probabilité que X soit égal à une valeur précise est-elle nulle ?

Pour une variable à densité, une probabilité est l'aire sous la courbe de la densité entre deux bornes. Quand les deux bornes sont égales, la bande a une largeur nulle, donc une aire nulle. C'est pour cela qu'on peut écrire indifféremment inférieur ou inférieur ou égal. La valeur de la densité en un point n'est pas une probabilité, c'est une probabilité par unité.

Une densité de probabilité peut-elle être supérieure à 1 ?

Oui. Ce qui doit valoir 1, c'est l'aire totale sous la courbe, pas sa hauteur. La loi uniforme sur l'intervalle de 0 à 0,4 a une densité constante égale à 2,5, et son aire vaut bien 0,4 fois 2,5, soit 1. Plus la loi est concentrée sur un intervalle court, plus sa densité est haute. Une densité doit seulement être positive.

Quelle est la différence entre demi-vie et durée de vie moyenne ?

Pour une loi exponentielle de paramètre lambda, la demi-vie est la médiane : la durée que la moitié des individus dépassent, égale à ln 2 divisé par lambda. La durée de vie moyenne est l'espérance, égale à 1 divisé par lambda. Comme ln 2 vaut environ 0,69, la demi-vie est plus courte que la vie moyenne, et près de 63 pour cent des individus disparaissent avant la moyenne.

Que veut dire absence de mémoire pour la loi exponentielle ?

Sachant qu'on a déjà attendu une durée s, la probabilité d'attendre encore plus qu'une durée t est la même que si l'on venait d'arriver. Le passé ne change rien au futur. Cela convient à la désintégration d'un noyau ou à une panne accidentelle, pas à une pièce qui s'use. La loi géométrique a la même propriété en temps discret.

La loi normale est-elle au programme de maths complémentaires ?

Non. Le programme de l'option se limite aux lois à densité à partir d'exemples, à la loi uniforme sur un intervalle et à la loi exponentielle, avec la fonction de répartition, l'espérance et la variance sous forme d'intégrales. La loi normale n'y figure pas : aucun devoir de l'option ne doit la demander.

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Exercices corrigés : Lois à densité et temps d'attente

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

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150 minutes

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© Ahmed Squalli Houssaini. Fiche publiée sur www.letuteurscientifique.ca/fiches/complementaires-lois-a-densite. Libre pour l'usage personnel et en classe ; sa republication ailleurs demande une autorisation écrite (mentions légales).

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Les lois à densité bloquent en maths complémentaires à Montréal ?

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