Maths Seconde, programme français • Exercices corrigés à Montréal

Fiche de révision : probabilités conditionnelles et arbres pondérés (Seconde)

Cette fiche de révision accompagne le chapitre de probabilités conditionnelles du programme de Seconde de 2026 : notation, tableau d'effectifs, arbre pondéré, règle du chemin et vocabulaire des tests de dépistage.

Elle ne redit pas le cours. Elle dit ce qui coûte des points en évaluation, ce que le correcteur attend exactement, et les contrôles à faire avant de rendre la copie.

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Le fil du chapitre

La barre du conditionnement dit dans quelle population on compte : $P_{A}(B)$ se lit « parmi les $A$ » et se divise par l'effectif de $A$ . Presque toutes les erreurs du chapitre sont un dénominateur pris dans la mauvaise population.

Ce chapitre fait partie de Mathématiques en Seconde

Pour s'entraîner Les exercices corrigés de ce chapitre, 10 exercices

Avant ce chapitre

Cette fiche suppose ces notions acquises. Si une méthode ci-dessous reste opaque, c'est presque toujours l'une d'elles qui manque, pas la fiche.

Remonter plus loin : la chaîne complète (10 chapitres) ↓

Le chemin de remédiation, du plus ancien au plus proche. Un élève qui reprend ce chapitre de zéro le reprend dans cet ordre.

1Proportionnalité et pourcentagesCinquième
2Statistiques et probabilitésCinquième
3Proportionnalité, pourcentages et vitessesQuatrième
4Statistiques et probabilitésQuatrième
5Moyenne, médiane, quartiles et étendueTroisième
6Probabilités et arbres à deux épreuvesTroisième
7Pourcentages et évolutions
8Probabilités, modèle et loi des grands nombres
9Les statistiques descriptives
10Tableaux croisés et fréquences conditionnelles

Notions couvertes

Probabilité conditionnelle
Arbre pondéré
Tableau d'effectifs
Probabilité d'une intersection
Tirage équiprobable dans une population
Inversion du conditionnement
Sensibilité d'un test
Spécificité d'un test
Faux positifs et faux négatifs
Cardinal d'un ensemble

L'essentiel

La barre dit où l'on compte

• Pour $P(A)\neq 0$ : $P_{A}(B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(A)}$ , qui se lit « probabilité de $B$ sachant $A$ ». L'indice est la POPULATION, la parenthèse ce qu'on y cherche.
• Quand on tire un individu au hasard dans une population : $P_{A}(B)=\dfrac{\text{Card}(A\cap B)}{\text{Card}(A)}$ . Le numérateur est UNE case du tableau, le dénominateur le total de la ligne ou de la colonne de la condition.
• $P_{A}(B)$ et $P_{B}(A)$ ont le même numérateur et deux dénominateurs différents : ce ne sont pas les mêmes nombres.
• $P(A\cap B)$ compte parmi TOUT l'univers, $P_{A}(B)$ parmi les seuls $A$ : la première est toujours inférieure ou égale à la seconde.
• Réécrire chaque phrase de l'énoncé en commençant par « parmi les ... » : ce qui suit « parmi » passe en indice. « Lorsque », « si », « sachant que » annoncent aussi la population.

Pour

P_{M}(T)

on reste dans la colonne ombrée des malades :

\frac{80}{100}=0{,}8

. Le reste du tableau n'intervient pas.

Écrire « on compte parmi les ... » avant chaque division est la ligne que le correcteur cherche, et celle qui évite neuf erreurs sur dix.

Lire un arbre pondéré

• Les branches issues de la racine portent des probabilités SIMPLES : $P(M)$ et $P(\overline{M})$ .
• Toute branche du niveau suivant porte une probabilité CONDITIONNELLE, conditionnée par le nœud d'où elle part : la branche de $M$ vers $T$ porte $P_{M}(T)$ .
• Les branches issues d'un MÊME nœud ont une somme égale à $1$ . Deux branches issues de nœuds différents n'ont aucune raison de se compléter.
• RÈGLE DU CHEMIN : $P(M\cap T)=P(M)\times P_{M}(T)$ . C'est la définition réécrite, et c'est une proportion de proportion : $80\ \%$ de $10\ \%$ font $8\ \%$ .
• L'arbre se lit facilement dans son sens. Pour la question inverse, $P_{T}(M)$ , on passe à un tableau d'effectifs sur une population fictive.

0{,}8

est

P_{M}(T)

, lu sous le nœud

M

; le

0{,}08

au bout du chemin est

P(M\cap T)

. Les quatre bouts de chemin font

1

Le vocabulaire des tests

• SENSIBILITÉ : $P_{M}(T)$ , la part des malades que le test détecte. Elle se calcule parmi les malades.
• SPÉCIFICITÉ : $P_{\overline{M}}(\overline{T})$ , la part des non-malades que le test déclare négatifs. Elle se calcule parmi les non-malades.
• FAUX POSITIF : personne non malade dont le test est positif. FAUX NÉGATIF : personne malade dont le test est négatif.
• Ce que veut savoir une personne testée positive, c'est $P_{T}(M)$ : elle se calcule parmi les POSITIFS, et elle peut être bien plus faible que la sensibilité.

La formule qui calcule une probabilité à partir de toutes les branches d'un arbre n'est pas au programme de Seconde : le tableau d'effectifs fait ce travail.

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Confondre $P_{M}(T)$ et $P_{T}(M)$

toute la question, et souvent la suivante

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Le test a une sensibilité de $80\ \%$ , donc une personne positive est malade avec une probabilité de $0{,}8$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $P_{M}(T)=\frac{80}{100}=0{,}8$ se calcule parmi les malades ; $P_{T}(M)=\frac{80}{170}\approx 0{,}47$ se calcule parmi les positifs. »

Même case

80

qu'au-dessus, mais on divise par la ligne ombrée des positifs :

P_{T}(M)=\frac{80}{170}\approx 0{,}47

, et non

0{,}8

Pourquoi : Même case $80$ , deux dénominateurs. Les $90$ faux positifs, pris dans une population neuf fois plus nombreuse que celle des malades, gonflent le total des positifs : c'est l'erreur la plus répandue du chapitre, y compris hors de la classe.

2. Prendre $P(M\cap T)$ pour $P_{M}(T)$

toute la question

Ce qu'il ne faut pas écrire

« La probabilité d'un test positif sachant que la personne est malade vaut $0{,}1\times 0{,}8=0{,}08$ . »

Ce qu'il faut écrire

« Sachant $M$ , on lit la branche : $P_{M}(T)=0{,}8$ . Le produit $0{,}08$ est $P(M\cap T)$ , malade ET positif. »

Pourquoi : « Sachant » SUPPRIME le premier facteur au lieu de l'ajouter, puisque la condition est acquise. Le produit du chemin répond à « malade et positif », une question posée parmi toute la population.

3. Diviser par le total général

toute la question

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Parmi les personnes positives, la proportion de malades est $\frac{80}{1\,000}=0{,}08$ . »

Ce qu'il faut écrire

« Parmi les positifs : on divise par leur total, $\frac{80}{170}\approx 0{,}47$ . »

Pourquoi : $\frac{80}{1\,000}$ est $P(M\cap T)$ : « parmi les positifs » a été oublié en route. Le mot « parmi » désigne le dénominateur, il faut le souligner dans l'énoncé avant de diviser.

4. Compléter à 1 deux branches qui ne partent pas du même nœud

2 points, et tout le tableau qui en dépend

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $P_{M}(T)+P_{\overline{M}}(T)=1$ , donc $P_{\overline{M}}(T)=1-0{,}8=0{,}2$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $P_{\overline{M}}(T)=1-P_{\overline{M}}(\overline{T})=1-0{,}9=0{,}1$ : on complète sous le MÊME nœud $\overline{M}$ . »

Pourquoi : $P_{M}(T)$ et $P_{\overline{M}}(T)$ sont calculées dans deux populations différentes, les malades et les non-malades. Seules les branches issues d'un même nœud se partagent la même population, donc font $1$ à elles deux.

5. Lire la spécificité à l'envers

1 à 2 points

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Spécificité de $90\ \%$ : $90\ \%$ des tests négatifs concernent des non-malades, $P_{\overline{T}}(\overline{M})=0{,}9$ . »

Ce qu'il faut écrire

« Spécificité : $P_{\overline{M}}(\overline{T})=\frac{810}{900}=0{,}9$ , parmi les non-malades. Et $P_{\overline{T}}(\overline{M})=\frac{810}{830}\approx 0{,}976$ . »

Pourquoi : Sensibilité et spécificité sont des qualités du TEST, mesurées sur des personnes dont on connaît l'état : la condition est toujours l'état de santé. Ce que vit le patient, sachant son résultat, est l'autre sens.

6. Placer un pourcentage sous le mauvais nœud

tout l'exercice, car chaque calcul suivant hérite de l'erreur

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $3\ \%$ des vrais billets sont signalés », écrit sur la branche qui va de « faux » à « signalé ».

Ce qu'il faut écrire

« $3\ \%$ des vrais billets » se compte parmi les vrais : $P_{\overline{F}}(S)=0{,}03$ , sous le nœud « vrai ». »

Pourquoi : Les pourcentages de l'énoncé ne sont pas rangés dans l'ordre de l'arbre. Le complément « des vrais billets » désigne la population, donc le nœud d'où part la branche.

7. Refuser de conditionner par ce qui vient après

toute la question, laissée blanche

Ce qu'il ne faut pas écrire

« On ne peut pas calculer $P_{T}(M)$ : la maladie est là avant le test. »

Ce qu'il faut écrire

« Conditionner, c'est restreindre la population aux positifs : $P_{T}(M)=\frac{80}{170}$ . »

Pourquoi : La condition est une INFORMATION sur l'issue, pas un moment de l'expérience. C'est même le cas le plus utile : on connaît le résultat du test, et l'on s'interroge sur ce qui était là avant.

Quelle méthode choisir

Quel calcul, selon la question posée

Une question de probabilité dans une situation à deux critères

Si La question contient « parmi », « sachant que », « lorsque », « si » → Probabilité conditionnelle : ce qui suit le mot passe en indice, et devient le dénominateur

Exemple : « Parmi les positifs, quelle part de malades ? » : $P_{T}(M)=\frac{80}{170}$
Si La question contient « et », « à la fois » → Intersection : une case du tableau sur le total général, ou le produit des branches d'un chemin

Exemple : « Malade et positif » : $\frac{80}{1\,000}=0{,}1\times 0{,}8=0{,}08$
Si La condition est au PREMIER niveau de l'arbre → On lit directement la branche qui part du nœud de la condition

Exemple : $P_{M}(T)=0{,}8$ , sous le nœud $M$
Si La condition est au SECOND niveau de l'arbre → On retourne le conditionnement par un tableau d'effectifs sur une population fictive

Exemple : Sur $1\,000$ personnes : $80+90=170$ positifs, puis $P_{T}(M)=\frac{80}{170}$

choisir une population assez grande pour que tous les effectifs soient entiers
Si On demande la probabilité simple d'un événement du second niveau → On lit un TOTAL du tableau d'effectifs, puis on divise par la population

Exemple : $P(T)=\frac{170}{1\,000}=0{,}17$

Aucune formule nouvelle n'est attendue en Seconde pour la question inverse : ni formule des probabilités totales, ni formule de retournement. Un tableau d'effectifs bien rempli donne tout, et il se contrôle par ses totaux.

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Retourner un conditionnement par un tableau d'effectifs

Quand l'utiliser : L'énoncé donne des probabilités sachant A et demande une probabilité sachant B

1 Nommer les événements et traduire chaque donnée, en disant parmi qui elle se compte.
2 Choisir une population fictive, 1 000 ou 10 000 individus, qui rend tous les effectifs entiers.
3 Remplir le tableau dans l'ordre des données : d'abord les totaux de la condition connue, puis chaque case par son pourcentage.
4 Contrôler les totaux de lignes et de colonnes.
5 Écrire « on compte parmi les ... » puis diviser la case par le total de la nouvelle condition.
6 Conclure par une phrase qui commence par « parmi ».

Phrase de conclusion

« Sur une population fictive de $1\,000$ personnes, $100$ sont malades, dont $80$ testées positives, et $900$ non malades, dont $90$ testées positives : il y a $170$ positifs. On compte parmi eux : $P_{T}(M)=\frac{80}{170}\approx 0{,}47$ . Parmi les personnes testées positives, environ $47\ \%$ sont malades. »

Le piège : Appliquer le pourcentage des faux positifs à toute la population au lieu des seuls non-malades : 10 % de 1 000 au lieu de 10 % de 900.

Barème : 1 point pour la traduction des données, 2 points pour le tableau complet et contrôlé, 1 point pour la division par le bon total, 1 point pour la phrase de conclusion.

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

Chaque nœud fait 1

On additionne les branches qui partent de chaque nœud. Si l'une des sommes ne vaut pas 1, une pondération est fausse ou mal placée.

Sous $\overline{M}$ : $0{,}1+0{,}9=1$ . Une somme $0{,}8+0{,}1=0{,}9$ signale deux branches de nœuds différents.
Les totaux du tableau

Chaque ligne et chaque colonne doit retomber sur son total, et le coin en bas à droite sur la population fictive.

$80+90=170$ , $20+810=830$ et $170+830=1\,000$ : le tableau est cohérent.
Le même numérateur, deux fois

$P(A)\times P_{A}(B)$ et $P(B)\times P_{B}(A)$ valent tous deux $P(A\cap B)$ . Ce produit croisé attrape une division par le mauvais total.

$0{,}1\times 0{,}8=0{,}08$ et $0{,}17\times\frac{80}{170}=0{,}08$ : les deux conditionnelles sont compatibles.
Le bon sens du dénominateur

Une probabilité parmi un sous-groupe se divise par un nombre plus petit que la population entière. Un dénominateur égal au total général signale une intersection, pas une conditionnelle.

$\frac{80}{1\,000}$ dans une réponse « parmi les positifs » : le dénominateur devait être $170$ .

L'exercice type décortiqué

Un détecteur de faux billets

Dans une caisse, $1\ \%$ des billets reçus sont faux. Un détecteur signale $99\ \%$ des faux billets, et signale aussi, à tort, $3\ \%$ des vrais. On prend un billet au hasard ; on note $F$ « le billet est faux » et $S$ « le détecteur le signale ».

Le détecteur vient de signaler un billet. Quelle est la probabilité qu'il soit réellement faux ?

Étape 1

Traduction : $P(F)=0{,}01$ , $P_{F}(S)=0{,}99$ , $P_{\overline{F}}(S)=0{,}03$ . La question demande $P_{S}(F)$ .

Pourquoi

« $3\ \%$ des vrais » se compte parmi les vrais, d'où l'indice $\overline{F}$ . La question « sachant qu'il est signalé » met $S$ en indice : c'est le sens INVERSE de l'arbre, donc on ne lira pas la réponse sur une branche.

Étape 2

Population fictive de $10\,000$ billets : $100$ faux et $9\,900$ vrais.

Pourquoi

Avec $1\ \%$ puis $3\ \%$ , il faut au moins $10\,000$ billets pour que tous les effectifs soient entiers. Des effectifs entiers se lisent sans erreur, des décimales en cascade non.

Étape 3

Faux signalés : $99\ \%$ de $100$ , soit $99$ . Vrais signalés : $3\ \%$ de $9\,900$ , soit $297$ . Total des billets signalés : $99+297=396$ .

Pourquoi

Chaque pourcentage est appliqué à SA population : $3\ \%$ des $9\,900$ vrais, pas des $10\,000$ billets. Le total $396$ est la probabilité simple de $S$ lue en effectifs, sans aucune formule.

Étape 4

On compte parmi les $396$ billets signalés : $P_{S}(F)=\dfrac{99}{396}=0{,}25$ .

Pourquoi

Le numérateur est la case « faux et signalé », le dénominateur le total de la condition $S$ . Écrire « on compte parmi les billets signalés » avant la division rapporte le point de méthode.

Étape 5

Contrôle croisé : $P(F)\times P_{F}(S)=0{,}01\times 0{,}99=0{,}0099$ et $P(S)\times P_{S}(F)=0{,}0396\times 0{,}25=0{,}0099$ .

Pourquoi

Les deux produits valent $P(F\cap S)$ , soit $\frac{99}{10\,000}$ . S'ils différaient, l'une des deux divisions aurait été faite dans la mauvaise population.

Conclusion rédigée

Un billet signalé n'est réellement faux qu'avec une probabilité de $0{,}25$ : parmi les billets signalés, un sur quatre seulement est faux, parce que les $297$ vrais signalés sont trois fois plus nombreux que les $99$ faux.

L'erreur classique sur cet exercice : Répondre $0{,}99$ , c'est-à-dire $P_{F}(S)$ , parce que « le détecteur est fiable à $99\ \%$ ». C'est la probabilité d'être signalé sachant qu'on est faux, pas l'inverse.

À savoir par cœur

• $P_{A}(B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(A)}$ , et dans une population $P_{A}(B)=\dfrac{\text{Card}(A\cap B)}{\text{Card}(A)}$ .
• L'indice est la POPULATION : $P_{A}(B)$ se lit « parmi les $A$ ».
• $P_{A}(B)$ et $P_{B}(A)$ : même numérateur, dénominateurs DIFFÉRENTS.
• $P(A\cap B)$ compte parmi tous, $P_{A}(B)$ parmi les $A$ .
• Arbre : premier niveau simple, niveaux suivants CONDITIONNELS.
• Branches d'un MÊME nœud : somme $1$ . Nœuds différents : rien.
• Règle du chemin : $P(A\cap B)=P(A)\times P_{A}(B)$ .
• Question inverse : tableau d'effectifs sur une population fictive, puis le bon total.
• Sensibilité $P_{M}(T)$ , spécificité $P_{\overline{M}}(\overline{T})$ : conditionnées par l'état, pas par le test.

Questions fréquentes

Comment savoir si une probabilité de l'énoncé est conditionnelle ?

On cherche la population dans laquelle le pourcentage est compté. Des mots comme parmi, sachant que, lorsque, si, ou un complément du type des malades ou des pièces défectueuses, annoncent une probabilité conditionnelle : ce groupe devient l'indice de la notation. Si le pourcentage porte sur toute la population sans restriction, c'est une probabilité simple. Réécrire la phrase en commençant par parmi lève presque toujours le doute.

Quelle est la différence entre P de B sachant A et P de A inter B ?

Les deux concernent les individus qui sont à la fois dans A et dans B, mais ils ne comptent pas dans la même population. La probabilité de A inter B rapporte ces individus à toute la population ; la probabilité de B sachant A les rapporte aux seuls individus de A. Sur un arbre, la première est le produit des branches du chemin, la seconde est la branche elle-même, lue sous le nœud A.

Comment calculer une probabilité conditionnelle dans le sens inverse de l'arbre ?

En Seconde, on passe par un tableau d'effectifs. On choisit une population fictive, par exemple mille ou dix mille individus, on la répartit selon le premier critère, puis on applique chaque pourcentage conditionnel à son sous-groupe. On lit ensuite le total du groupe qui sert de condition, et l'on divise la bonne case par ce total. Aucune formule supplémentaire n'est attendue.

Un test sensible à 90 % veut-il dire qu'un test positif est juste 9 fois sur 10 ?

Non. La sensibilité se calcule parmi les malades : elle dit que le test détecte neuf malades sur dix. La probabilité qu'une personne positive soit malade se calcule parmi les personnes positives, qui comprennent aussi les faux positifs. Quand la maladie est rare, ces faux positifs sont nombreux, et la probabilité d'être malade après un test positif peut tomber bien en dessous de la sensibilité, parfois sous une chance sur trois.

Pourquoi la somme de deux branches d'un arbre ne fait-elle pas toujours 1 ?

Parce que seules les branches qui partent d'un même nœud se partagent la même population. Sous le nœud malade, être positif ou négatif épuise tous les cas, donc les deux branches font un. Mais la branche positive des malades et la branche positive des non-malades sont calculées dans deux groupes différents : il n'y a aucune raison que leur somme vaille un.

Passer à la pratique

Exercices corrigés : Probabilités conditionnelles et arbres pondérés

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

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Probabilités conditionnellesPremière Phénomènes aléatoiresPremière, Maths du tronc commun

© Ahmed Squalli Houssaini. Fiche publiée sur www.letuteurscientifique.ca/fiches/2nde-probabilites-conditionnelles. Libre pour l'usage personnel et en classe ; sa republication ailleurs demande une autorisation écrite (mentions légales).

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Les probabilités conditionnelles bloquent en Seconde à Montréal ?

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Fiche de révision : probabilités conditionnelles et arbres pondérés (Seconde)

L'essentiel

La barre dit où l'on compte

Lire un arbre pondéré

Le vocabulaire des tests

Les pièges qui coûtent des points

1. Confondre PM(T)P_{M}(T)PM​(T) et PT(M)P_{T}(M)PT​(M)

2. Prendre P(M∩T)P(M\cap T)P(M∩T) pour PM(T)P_{M}(T)PM​(T)

3. Diviser par le total général

4. Compléter à 1 deux branches qui ne partent pas du même nœud

5. Lire la spécificité à l'envers

6. Placer un pourcentage sous le mauvais nœud

7. Refuser de conditionner par ce qui vient après

Quelle méthode choisir

Quel calcul, selon la question posée

La rédaction attendue

Retourner un conditionnement par un tableau d'effectifs

Vérifier avant de rendre

L'exercice type décortiqué

Un détecteur de faux billets

À savoir par cœur

Questions fréquentes

Comment savoir si une probabilité de l'énoncé est conditionnelle ?

Quelle est la différence entre P de B sachant A et P de A inter B ?

Comment calculer une probabilité conditionnelle dans le sens inverse de l'arbre ?

Un test sensible à 90 % veut-il dire qu'un test positif est juste 9 fois sur 10 ?

Pourquoi la somme de deux branches d'un arbre ne fait-elle pas toujours 1 ?

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1. Confondre $P_{M}(T)$ et $P_{T}(M)$

2. Prendre $P(M\cap T)$ pour $P_{M}(T)$