Maths tronc commun, Première • Exercices corrigés à Montréal

Fiche de révision : phénomènes aléatoires (Première, maths du tronc commun)

Cette fiche de révision accompagne la partie « Phénomènes aléatoires » des mathématiques du tronc commun de Première, programme de 2026 : probabilité conditionnelle sur un tableau croisé ou un arbre pondéré, indépendance, répétition de quatre épreuves de Bernoulli au plus, tests, jeux et loi des grands nombres.

Elle ne redit pas le cours. Elle dit ce qui coûte des points à l'épreuve anticipée, passée sans calculatrice, ce que le correcteur attend exactement, et les contrôles à faire avant de rendre la copie.

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Le fil du chapitre

Une information change-t-elle les chances ? Si oui, on recompte dans la nouvelle population, c'est $P_{A}(B)$ ; si non, les évènements sont indépendants, et l'arbre se répète à l'identique d'un étage à l'autre. Presque toutes les erreurs du chapitre répondent mal à cette question.

Ce chapitre fait partie de Maths du tronc commun en Première, sans spécialité

Pour s'entraîner Les exercices corrigés de ce chapitre, 10 exercices

Avant ce chapitre

Cette fiche suppose ces notions acquises. Si une méthode ci-dessous reste opaque, c'est presque toujours l'une d'elles qui manque, pas la fiche.

Probabilités conditionnelles et arbres pondérésSeconde, Mathématiques Exercices

Remonter plus loin : la chaîne complète (9 chapitres) ↓

Le chemin de remédiation, du plus ancien au plus proche. Un élève qui reprend ce chapitre de zéro le reprend dans cet ordre.

1Proportionnalité, pourcentages et vitessesQuatrième, Mathématiques
2Statistiques et probabilitésQuatrième, Mathématiques
3Moyenne, médiane, quartiles et étendueTroisième, Mathématiques
4Probabilités et arbres à deux épreuvesTroisième, Mathématiques
5Pourcentages et évolutionsSeconde, Mathématiques
6Probabilités, modèle et loi des grands nombresSeconde, Mathématiques
7Les statistiques descriptivesSeconde, Mathématiques
8Tableaux croisés et fréquences conditionnellesSeconde, Mathématiques
9Probabilités conditionnelles et arbres pondérésSeconde, Mathématiques

Notions couvertes

Probabilité conditionnelle
Tableau croisé d'effectifs
Arbre pondéré
Indépendance de deux évènements
Évènements incompatibles
Épreuve de Bernoulli
Répétition d'épreuves indépendantes
Faux positifs et faux négatifs
Prévalence
Modèle probabiliste
Loi des grands nombres
Problème des partis

L'essentiel

Conditionner, c'est changer de population

• Pour $P(A)\neq 0$ : $P_{A}(B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(A)}$ . Sur un tableau d'effectifs : $P_{A}(B)=\dfrac{\text{Card}(A\cap B)}{\text{Card}(A)}$ . L'indice est la POPULATION.
• $P(A\cap B)$ , $P_{A}(B)$ et $P_{B}(A)$ ont le même numérateur, la case $A\cap B$ , et trois dénominateurs : le total général, le total de $A$ , le total de $B$ .
• « Parmi », « sachant que », « lorsque », « si » annoncent la population : ce qui suit passe en indice.
• Pour une question dans le sens inverse de l'arbre, on remplit un tableau d'effectifs sur une population fictive ( $1\,000$ ou $10\,000$ ), puis on divise par le bon total.

Sur

400

personnes,

\frac{90}{300}=\frac{30}{100}=\frac{120}{400}=0{,}3

: habiter en ville ne change rien à la part de cyclistes.

Écrire « on compte parmi les ... » avant chaque division : c'est la ligne que le correcteur cherche.

L'indépendance : l'information ne change rien

• DÉFINITION : $A$ et $B$ , avec $P(B)\neq 0$ , sont indépendants si $P_{B}(A)=P(A)$ .
• Conséquence, et test pratique : $P(A\cap B)=P(A)\times P(B)$ . Sans indépendance, on écrit $P(A\cap B)=P(A)\times P_{A}(B)$ .
• L'indépendance est SYMÉTRIQUE : si $B$ ne change pas les chances de $A$ , $A$ ne change pas celles de $B$ .
• Sur un arbre, deux étages indépendants se voient : les branches du second étage portent les MÊMES nombres sous chaque nœud.
• Indépendants n'est pas incompatibles : incompatibles veut dire $P(A\cap B)=0$ .

Le second étage porte

0{,}3

0{,}7

sous les DEUX nœuds : c'est ainsi qu'on reconnaît l'indépendance de

H

(ville) et

V

(vélo) sur un arbre.

Répéter une épreuve de Bernoulli

• Épreuve de Bernoulli : deux issues, succès $S$ de probabilité $p$ , échec $E$ de probabilité $1-p$ .
• Pour $n\le 4$ épreuves IDENTIQUES et INDÉPENDANTES, on trace l'arbre : le même étage répété $n$ fois.
• Un chemin : on multiplie. Exactement $k$ succès : on COMPTE les chemins à $k$ succès, puis on multiplie ce nombre par la probabilité d'un chemin.
• Au moins un succès : $1-(1-p)^{n}$ , par le contraire « aucun succès », qui est un seul chemin.

Le programme ne demande ni loi nommée ni coefficient binomial : les chemins se comptent sur l'arbre.

Modèle et réalité

• Une loi de probabilité est une HYPOTHÈSE du modèle : équiprobabilité, indépendance. Elle ne se démontre pas, elle se choisit, et les données peuvent la démentir.
• Loi des grands nombres, version vulgarisée : quand le nombre d'expériences indépendantes augmente, la fréquence observée se rapproche de la probabilité.
• Sur peu d'expériences, la fréquence FLUCTUE : $7$ succès sur $10$ ne réfutent pas $p=0{,}5$ .
• Le hasard n'a pas de mémoire : des lancers indépendants ne « rattrapent » pas une série.

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Prendre $P(A\cap B)$ pour $P_{A}(B)$

toute la question

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Parmi les habitants de la ville, la part de cyclistes est $\frac{90}{400}=0{,}225$ . »

Ce qu'il faut écrire

« Parmi les habitants de la ville : $P_{H}(V)=\frac{90}{300}=0{,}3$ . Le nombre $0{,}225$ est $P(H\cap V)$ . »

Pourquoi : « Parmi » désigne le dénominateur. Diviser par le total général, c'est répondre à « habite en ville ET a un vélo », une autre question.

2. Confondre la sensibilité $P_{M}(T)$ et $P_{T}(M)$

toute la question, et souvent la suivante

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Le test détecte $90\ \%$ des malades, donc une personne positive est malade avec la probabilité $0{,}9$ . »

Ce qu'il faut écrire

« Sur $1\,000$ personnes : $90$ vrais positifs, $45$ faux positifs. Parmi les $135$ positifs, $P_{T}(M)=\frac{90}{135}=\frac{2}{3}$ . »

Pourquoi : Même case $90$ , deux dénominateurs : $100$ malades d'un côté, $135$ positifs de l'autre. Et $P_{T}(M)$ dépend de la prévalence : avec le même test, elle baisse quand la maladie est rare.

3. Multiplier des probabilités simples sans indépendance

2 points, et tout ce qui en dépend

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $P(A)=0{,}5$ et $P(B)=0{,}4$ , donc $P(A\cap B)=0{,}5\times 0{,}4=0{,}2$ . » (alors que $P_{A}(B)=0{,}7$ )

Ce qu'il faut écrire

« Règle du chemin : $P(A\cap B)=P(A)\times P_{A}(B)=0{,}5\times 0{,}7=0{,}35$ . »

Pourquoi : $P(A)\times P(B)$ ne vaut $P(A\cap B)$ que si $A$ et $B$ sont indépendants, et il faut l'avoir justifié ou lu dans l'énoncé. Sinon, on multiplie par la probabilité CONDITIONNELLE.

4. Confondre indépendants et incompatibles

1 à 2 points

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Avec un dé, “pair” et “au plus $2$ ” sont indépendants, donc ils ne peuvent pas arriver ensemble. »

Ce qu'il faut écrire

« $P(\text{pair}\cap\text{au plus }2)=P(\{2\})=\frac{1}{6}=\frac{1}{2}\times\frac{1}{3}$ : indépendants, et compatibles. »

Pourquoi : Incompatibles veut dire $P(A\cap B)=0$ . Deux évènements incompatibles de probabilités non nulles ne sont jamais indépendants : « pair » et « obtenir $1$ » sont incompatibles, et savoir que le dé est pair fait tomber les chances d'avoir $1$ à zéro.

5. Oublier de compter les chemins

toute la question

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Trois épreuves avec $p=0{,}2$ : exactement deux succès, $0{,}2\times 0{,}2\times 0{,}8=0{,}032$ . »

Ce qu'il faut écrire

« Trois chemins, $SSE$ , $SES$ et $ESS$ , chacun de probabilité $0{,}032$ : $3\times 0{,}032=0{,}096$ . »

Trois feuilles portent exactement deux succès :

SSE

SES

ESS

. On compte les chemins avant de multiplier.

Pourquoi : L'échec peut arriver en première, deuxième ou troisième position. Un chemin n'est qu'UNE façon d'obtenir deux succès.

6. Calculer « au moins un » par une somme de probabilités

toute la question

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Au moins un succès en trois épreuves : $3\times 0{,}2=0{,}6$ . »

Ce qu'il faut écrire

« Contraire : aucun succès, $0{,}8^{3}=0{,}512$ . Donc $P(\text{au moins un})=1-0{,}512=0{,}488$ . »

Pourquoi : Additionner les $p$ compte deux fois les chemins à plusieurs succès : avec six épreuves, on trouverait $1{,}2$ , une probabilité impossible. Le contraire est un seul chemin.

7. Croire que le hasard rattrape une série

la question entière, et la note de rédaction

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Pile est sorti quatre fois de suite, face est maintenant plus probable. »

Ce qu'il faut écrire

« Les lancers sont indépendants : face garde la probabilité $\frac{1}{2}$ au lancer suivant. »

Pourquoi : La loi des grands nombres ne compense rien : sur un très grand nombre de lancers, un petit écart devient seulement négligeable devant le total.

8. Déclarer équiprobables des issues qui ne le sont pas

tout l'exercice

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Deux pièces : deux piles, deux faces, un de chaque, donc $\frac{1}{3}$ chacun. »

Ce qu'il faut écrire

« Issues équiprobables : $PP$ , $PF$ , $FP$ , $FF$ . Donc $\frac{1}{4}$ , $\frac{1}{4}$ et $\frac{1}{2}$ pour “un de chaque”. »

Pourquoi : L'équiprobabilité est une hypothèse de modèle : elle vaut pour les couples ordonnés, pas pour les résultats regroupés. C'est l'erreur de d'Alembert au jeu de croix ou pile.

Quelle méthode choisir

Quel outil, selon la forme de la question

Une question de probabilité dans une situation à deux critères ou à plusieurs épreuves

Si La question contient « parmi », « sachant que », « lorsque » → Probabilité conditionnelle : ce qui suit le mot devient le dénominateur

Exemple : Parmi les citadins : $P_{H}(V)=\frac{90}{300}=0{,}3$
Si La question contient « et », « à la fois » → Intersection : une case sur le total général, ou le produit des branches d'un chemin

Exemple : $P(H\cap V)=\frac{90}{400}=0{,}75\times 0{,}3=0{,}225$
Si On demande « sont-ils indépendants ? » → Comparer $P_{B}(A)$ et $P(A)$ , avec leurs deux valeurs, puis conclure

Exemple : $P_{H}(V)=0{,}3=P(V)$ : indépendants
Si La condition est au SECOND étage de l'arbre → Tableau d'effectifs sur une population fictive, puis le bon total

Exemple : $1\,000$ personnes : $135$ positifs, $P_{T}(M)=\frac{90}{135}$
Si Plusieurs épreuves identiques et indépendantes, « exactement $k$ » → Compter les chemins à $k$ succès, multiplier par la probabilité d'un chemin

Exemple : $3\times 0{,}2^{2}\times 0{,}8=0{,}096$
Si « Au moins un » → Passer par le contraire « aucun », qui est un seul chemin

Exemple : $1-0{,}8^{3}=0{,}488$

Aucune formule nouvelle n'est attendue au-delà de la définition et de la règle du chemin : un arbre ou un tableau bien rempli donne tout, et il se contrôle par ses sommes.

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Justifier que deux évènements sont (ou ne sont pas) indépendants

Quand l'utiliser : « Les évènements A et B sont-ils indépendants ? Justifier. »

1 Calculer la probabilité simple P(A), en disant parmi qui l'on compte (toute la population).
2 Calculer la probabilité conditionnelle P_B(A), en disant parmi qui l'on compte (les B).
3 Comparer les deux valeurs, écrites côte à côte.
4 Conclure par une phrase qui nomme la définition.

Phrase de conclusion

« $P_{H}(V)=\frac{90}{300}=0{,}3$ et $P(V)=\frac{120}{400}=0{,}3$ . Savoir que la personne habite en ville ne change pas la probabilité qu'elle ait un vélo : $P_{H}(V)=P(V)$ , donc $H$ et $V$ sont indépendants. »

Le piège : Conclure à l'indépendance sur une impression (« ça n'a rien à voir ») sans aucun calcul : la justification attendue est la comparaison chiffrée.

Barème : 1 point par probabilité correctement calculée, 1 point pour la conclusion rédigée.

Modéliser une répétition d'épreuves de Bernoulli

Quand l'utiliser : Une même expérience à deux issues est répétée deux, trois ou quatre fois

1 Nommer le succès et donner sa probabilité p.
2 Justifier que les épreuves sont identiques (mêmes conditions) et indépendantes (le résultat de l'une ne change pas les chances des autres), ou dire que c'est une hypothèse de l'énoncé.
3 Tracer l'arbre, le même étage répété n fois.
4 Pour l'évènement demandé, compter les chemins favorables et calculer la probabilité d'un chemin.
5 Multiplier, ou passer par le contraire pour « au moins un ».

Phrase de conclusion

« Les trois épreuves sont identiques et indépendantes, de succès $p=0{,}2$ . Exactement deux succès correspondent à trois chemins de probabilité $0{,}2^{2}\times 0{,}8=0{,}032$ chacun : la probabilité cherchée vaut $3\times 0{,}032=0{,}096$ . »

Le piège : Sauter la justification de l'indépendance : c'est elle qui autorise à répéter le même étage.

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

Chaque nœud fait 1

On additionne les branches qui partent de chaque nœud. Une somme différente de 1 signale une pondération fausse ou deux branches de nœuds différents.

Sous $H$ : $0{,}3+0{,}7=1$ . Une somme $0{,}9+0{,}1$ prise sous deux nœuds différents ne prouve rien.
Les feuilles font 1

La somme des probabilités de TOUS les chemins vaut 1. Sur un arbre de Bernoulli, on peut regrouper par nombre de succès.

$0{,}729+0{,}243+0{,}027+0{,}001=1$ pour trois épreuves à $p=0{,}9$ .
L'intersection est la plus petite

$P(A\cap B)$ est toujours inférieure ou égale à $P_{A}(B)$ et à $P(A)$ . Une intersection plus grande qu'une conditionnelle signale un dénominateur inversé.

$P(H\cap V)=0{,}225\le P_{H}(V)=0{,}3$ : cohérent.
Une probabilité reste entre 0 et 1

Un « au moins un » calculé par addition dépasse vite 1 : c'est le signal de l'erreur.

$6\times 0{,}2=1{,}2$ : impossible, il fallait $1-0{,}8^{6}$ .

L'exercice type décortiqué

Un serveur qui répond à trois requêtes

Un serveur informatique répond correctement à une requête avec la probabilité $0{,}9$ , indépendamment d'une requête à l'autre. Il reçoit trois requêtes.

Calculer la probabilité que les trois réponses soient correctes, puis qu'exactement deux le soient, puis qu'au moins une réponse soit incorrecte.

Étape 1

Succès $R$ : « la réponse est correcte », $p=0{,}9$ . Les trois requêtes sont des épreuves identiques et indépendantes (hypothèse de l'énoncé).

Pourquoi

Nommer le succès et justifier la répétition, c'est ce qui autorise à tracer trois fois le même étage. Cette phrase rapporte à elle seule un point de modélisation.

Étape 2

On trace l'arbre à trois étages ; chaque branche $R$ porte $0{,}9$ , chaque branche non $R$ porte $0{,}1$ .

Pourquoi

L'arbre rend visibles les huit chemins : c'est lui qu'on va compter, sans aucune formule.

Étape 3

Trois réponses correctes : un seul chemin, $0{,}9^{3}=0{,}729$ .

Pourquoi

Un chemin se multiplie. Sans calculatrice : 0,9 × 0,9 = 0,81, puis 0,81 × 0,9 = 0,729.

Étape 4

Exactement deux correctes : trois chemins, chacun $0{,}9\times 0{,}9\times 0{,}1=0{,}081$ , soit $3\times 0{,}081=0{,}243$ .

Pourquoi

On compte les chemins AVANT de multiplier : la réponse fausse peut être la première, la deuxième ou la troisième.

Étape 5

Au moins une incorrecte : c'est le contraire de « trois correctes », donc $1-0{,}729=0{,}271$ .

Pourquoi

Le contraire évite d'additionner sept chemins. Contrôle final : 0,729 + 0,243 + 0,027 + 0,001 = 1, en regroupant les chemins par nombre de succès.

Conclusion rédigée

Les trois réponses sont correctes avec la probabilité $0{,}729$ , exactement deux avec la probabilité $0{,}243$ , et au moins une réponse est incorrecte avec la probabilité $0{,}271$ .

L'erreur classique sur cet exercice : Répondre $0{,}081$ pour « exactement deux », c'est-à-dire la probabilité d'un seul chemin, ou $3\times 0{,}1=0{,}3$ pour « au moins une incorrecte ».

À savoir par cœur

• $P_{A}(B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(A)}$ ; l'indice est la POPULATION.
• Règle du chemin : $P(A\cap B)=P(A)\times P_{A}(B)$ .
• Indépendants : $P_{B}(A)=P(A)$ , et alors $P(A\cap B)=P(A)\times P(B)$ .
• Indépendants n'est pas incompatibles ( $P(A\cap B)=0$ ).
• Arbre de Bernoulli : même étage répété ; exactement $k$ succès = nombre de chemins × probabilité d'un chemin.
• Au moins un succès : $1-(1-p)^{n}$ .
• $P_{T}(M)$ dépend du test ET de la prévalence.
• Une loi de probabilité est une hypothèse ; la fréquence s'en approche quand le nombre d'expériences grandit.

Questions fréquentes

Comment justifier que deux évènements sont indépendants en Première ?

On calcule la probabilité de A dans toute la population, puis la probabilité de A sachant B, c'est-à-dire parmi les seuls individus de B. Si les deux valeurs sont égales, savoir que B est réalisé ne change pas les chances de A : les évènements sont indépendants. On écrit les deux valeurs côte à côte et on conclut par une phrase, jamais sur une simple impression.

Quelle différence entre évènements indépendants et incompatibles ?

Incompatibles veut dire qu'ils ne peuvent pas se produire en même temps. Indépendants veut dire que l'un ne change pas les chances de l'autre. Ce sont deux idées différentes, et même opposées : si deux évènements de probabilité non nulle sont incompatibles, savoir que l'un est réalisé rend l'autre impossible, donc ils ne sont pas indépendants.

Comment calculer la probabilité d'avoir exactement deux succès en trois épreuves ?

On trace l'arbre des trois épreuves, identiques et indépendantes. On repère les chemins qui contiennent exactement deux succès : il y en a trois, car l'échec peut être en première, deuxième ou troisième position. Chaque chemin a pour probabilité p fois p fois un moins p. On multiplie cette probabilité par trois, le nombre de chemins.

Pourquoi un test fiable à 90 % peut-il se tromper une fois sur deux quand il est positif ?

Parce que 90 % décrit ce que fait le test sur les malades, alors que la personne positive veut savoir la part de malades parmi les positifs. Quand la maladie est peu fréquente, les non-malades sont très nombreux, et même une petite part d'erreurs chez eux donne autant de faux positifs que de vrais. Cette probabilité dépend donc de la prévalence, pas seulement du test.

Après plusieurs piles de suite, face a-t-il plus de chances de sortir ?

Non. Les lancers d'une pièce sont indépendants : la pièce n'a pas de mémoire, et face garde une chance sur deux à chaque lancer. La loi des grands nombres dit seulement que, sur un très grand nombre de lancers, la fréquence de face se rapproche de un demi, parce qu'un petit écart devient négligeable devant le total, pas parce qu'il serait compensé.

Passer à la pratique

Exercices corrigés : Phénomènes aléatoires

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

10 exercices corrigés
100 points
120 minutes

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Fiche précédente Analyse de l'information chiffrée Fiche suivante Variation linéaire : suites arithmétiques et fonctions affines

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De la machine de Turing à l'intelligence artificielleTerminale, Enseignement scientifique

© Ahmed Squalli Houssaini. Fiche publiée sur www.letuteurscientifique.ca/fiches/1mtc-phenomenes-aleatoires. Libre pour l'usage personnel et en classe ; sa republication ailleurs demande une autorisation écrite (mentions légales).

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L'essentiel

Conditionner, c'est changer de population

L'indépendance : l'information ne change rien

Répéter une épreuve de Bernoulli

Modèle et réalité

Les pièges qui coûtent des points

1. Prendre P(A∩B)P(A\cap B)P(A∩B) pour PA(B)P_{A}(B)PA​(B)

2. Confondre la sensibilité PM(T)P_{M}(T)PM​(T) et PT(M)P_{T}(M)PT​(M)

3. Multiplier des probabilités simples sans indépendance

4. Confondre indépendants et incompatibles

5. Oublier de compter les chemins

6. Calculer « au moins un » par une somme de probabilités

7. Croire que le hasard rattrape une série

8. Déclarer équiprobables des issues qui ne le sont pas

Quelle méthode choisir

Quel outil, selon la forme de la question

La rédaction attendue

Justifier que deux évènements sont (ou ne sont pas) indépendants

Modéliser une répétition d'épreuves de Bernoulli

Vérifier avant de rendre

L'exercice type décortiqué

Un serveur qui répond à trois requêtes

À savoir par cœur

Questions fréquentes

Comment justifier que deux évènements sont indépendants en Première ?

Quelle différence entre évènements indépendants et incompatibles ?

Comment calculer la probabilité d'avoir exactement deux succès en trois épreuves ?

Pourquoi un test fiable à 90 % peut-il se tromper une fois sur deux quand il est positif ?

Après plusieurs piles de suite, face a-t-il plus de chances de sortir ?

Exercices corrigés : Phénomènes aléatoires

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1. Prendre $P(A\cap B)$ pour $P_{A}(B)$

2. Confondre la sensibilité $P_{M}(T)$ et $P_{T}(M)$