Maths Première, programme français • Exercices corrigés à Montréal

Fiche de révision : analyse de l'information chiffrée (Première, tronc commun)

Cette fiche de révision accompagne la partie « Analyse de l'information chiffrée » du programme de mathématiques du tronc commun de Première : tableau croisé, diagrammes, nuage de points, point moyen, ajustement affine, interpolation et extrapolation. Tout s'y fait sans calculatrice, comme à l'épreuve anticipée.

Elle ne redit pas le cours. Elle dit ce qui coûte des points, ce que le correcteur attend exactement, et les contrôles à faire avant de rendre la copie.

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Le fil du chapitre

Un chiffre ne répond qu'à la question pour laquelle il a été calculé : une fréquence dans SA population, une droite d'ajustement dans la PLAGE de ses données, une corrélation jamais comme une cause. Presque toutes les pertes de points du chapitre viennent d'un chiffre sorti de son cadre.

Ce chapitre fait partie de Maths du tronc commun en Première, sans spécialité

Pour s'entraîner Les exercices corrigés de ce chapitre, 10 exercices

Avant ce chapitre

Cette fiche suppose ces notions acquises. Si une méthode ci-dessous reste opaque, c'est presque toujours l'une d'elles qui manque, pas la fiche.

Tableaux croisés et fréquences conditionnellesSeconde, Mathématiques Exercices

Remonter plus loin : la chaîne complète (7 chapitres) ↓

Le chemin de remédiation, du plus ancien au plus proche. Un élève qui reprend ce chapitre de zéro le reprend dans cet ordre.

1Proportionnalité et pourcentagesCinquième, Mathématiques
2Proportionnalité, pourcentages et vitessesQuatrième, Mathématiques
3Statistiques et probabilitésQuatrième, Mathématiques
4Moyenne, médiane, quartiles et étendueTroisième, Mathématiques
5Pourcentages et évolutionsSeconde, Mathématiques
6Les statistiques descriptivesSeconde, Mathématiques
7Tableaux croisés et fréquences conditionnellesSeconde, Mathématiques

Notions couvertes

Tableau croisé d'effectifs
Fréquence marginale
Fréquence conditionnelle
Diagramme circulaire
Diagramme en barres
Nuage de points
Point moyen
Ajustement affine
Droite de Mayer
Méthode des moindres carrés
Interpolation et extrapolation
Corrélation et causalité

L'essentiel

Deux caractères qualitatifs : une case, trois fréquences

• FRÉQUENCE MARGINALE : un total de ligne ou de colonne divisé par le total général. Elle décrit un seul caractère : $\frac{360}{600}=0{,}6$ des ménages trient.
• FRÉQUENCE CONDITIONNELLE : une case divisée par le total de SA sous-population. Parmi les maisons : $\frac{180}{240}=0{,}75$ ; parmi les appartements : $\frac{180}{360}=0{,}5$ .
• La même case $180$ donne aussi $\frac{180}{360}=0{,}5$ PARMI LES TRIEURS : un ménage trieur sur deux vit en maison. On nomme la population AVANT de diviser.
• LIEN : les caractères sont liés quand les fréquences conditionnelles s'écartent de la fréquence marginale ( $0{,}75$ et $0{,}5$ contre $0{,}6$ ). Un lien n'est pas une cause.
• La fréquence d'ensemble est la moyenne des fréquences PONDÉRÉE par les effectifs : $\frac{240\times 0{,}75+360\times 0{,}5}{600}=0{,}6$ , pas $\frac{0{,}75+0{,}5}{2}$ .

Parmi les maisons, on reste dans la colonne ombrée :

\frac{180}{240}=0{,}75

. Le reste du tableau n'intervient pas.

Écrire « parmi les ... » avant chaque division est la ligne que le correcteur cherche : elle montre que vous savez quel total va au dénominateur.

Deux caractères quantitatifs : nuage, point moyen, droite

• On décrit le nuage avant tout calcul : le SENS du lien (croissant, décroissant) et sa FORME (à peu près rectiligne ou non). Seule une forme rectiligne justifie un ajustement affine.
• POINT MOYEN : $G(\bar{x}\,;\bar{y})$ , moyennes de TOUTES les abscisses et de TOUTES les ordonnées. Pour les points $(1\,;3)$ , $(2\,;5)$ , $(3\,;6)$ , $(4\,;8)$ , $(5\,;8)$ : $G(3\,;6)$ .
• Trois ajustements, aucune théorie attendue : AU JUGÉ (une droite qui suit le nuage et passe par $G$ ), MAYER (deux groupes, deux points moyens), MOINDRES CARRÉS (donnée par le tableur).
• La droite des moindres carrés rend minimale la somme des carrés des écarts verticaux et passe par $G$ : ici $y=1{,}3x+2{,}1$ , et $1{,}3\times 3+2{,}1=6$ .
• INTERPOLATION : estimer à l'intérieur de la plage des $x$ observés. EXTRAPOLATION : en dehors, d'autant moins fiable qu'on s'en éloigne.

La droite du tableur passe par

G(3\,;6)

, point qui n'est pas du nuage. Trait plein : la plage

[1\,;5]

des données ; pointillé : l'extrapolation.

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Comparer des effectifs quand les groupes n'ont pas la même taille

toute la question

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Autant de ménages trient en maison qu'en appartement, $180$ de chaque côté : le type de logement ne change rien. »

Ce qu'il faut écrire

« Parmi les maisons, $\frac{180}{240}=75\ \%$ trient ; parmi les appartements, $\frac{180}{360}=50\ \%$ : on trie plus souvent en maison. »

Pourquoi : Deux effectifs égaux tirés de groupes de tailles différentes ne disent rien : c'est le quotient par le total de chaque groupe qui permet de comparer.

2. Lire une fréquence conditionnelle à l'envers

1 à 2 points

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $75\ \%$ des ménages trieurs vivent en maison. »

Ce qu'il faut écrire

« $75\ \%$ des ménages en maison trient ; parmi les trieurs, $\frac{180}{360}=50\ \%$ vivent en maison. »

Pourquoi : Même case $180$ , deux dénominateurs : $240$ maisons ou $360$ trieurs. Échanger le sujet et le complément de la phrase échange la population.

3. Comparer deux diagrammes circulaires de totaux différents

toute la question

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Le secteur trie est plus grand chez les maisons, $270°$ contre $180°$ : il y a plus de trieurs en maison. »

Ce qu'il faut écrire

« La part des trieurs est plus grande en maison, $75\ \%$ contre $50\ \%$ , mais il y a autant de trieurs : $180$ de chaque côté. »

Le secteur trie des maisons (

270°

) est bien plus grand, et pourtant il compte

180

ménages, exactement comme celui des appartements (

180°

360

Pourquoi : Chaque disque représente SON groupe, et deux disques de même taille effacent la différence de total, $240$ contre $360$ . Un diagramme circulaire montre une répartition, jamais un effectif.

4. Faire la moyenne simple de deux fréquences

1 point

Ce qu'il ne faut pas écrire

« En tout, la part des trieurs est $\frac{0{,}75+0{,}5}{2}=0{,}625$ . »

Ce qu'il faut écrire

« En tout, $\frac{360}{600}=0{,}6$ : c'est la moyenne pondérée par les effectifs $240$ et $360$ . »

Pourquoi : Les appartements sont plus nombreux, ils pèsent plus. La moyenne simple n'est juste que si les groupes ont le même effectif.

5. Prendre le milieu des extrêmes pour le point moyen

1 point, plus tout ce qui passe par G

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Le point moyen de $(1\,;3)$ , $(2\,;5)$ , $(3\,;6)$ , $(4\,;8)$ , $(5\,;8)$ est le milieu de $(1\,;3)$ et $(5\,;8)$ , soit $(3\,;5{,}5)$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $\bar{y}=\frac{3+5+6+8+8}{5}=6$ , donc $G(3\,;6)$ : on utilise toutes les valeurs. »

Pourquoi : Le point moyen résume tout le nuage ; les extrêmes n'en sont que deux points. Une erreur sur $G$ fausse la droite au jugé, la vérification des moindres carrés et la droite de Mayer.

6. Partager un nuage de Mayer sans l'avoir rangé

toute la question

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Je prends les trois premières colonnes du tableau comme premier groupe », sur un tableau présenté dans le désordre.

Ce qu'il faut écrire

« Je range les points par abscisses croissantes, puis je coupe en deux groupes de même effectif. »

Pourquoi : Les deux points moyens doivent résumer la partie gauche et la partie droite du nuage. Des groupes mélangés donnent deux points proches l'un de l'autre et une pente sans signification.

7. Extrapoler loin de la plage des données

1 point de conclusion, souvent 2

Ce qu'il ne faut pas écrire

« La droite $y=2x+1$ , ajustée pour $x$ de $0$ à $10$ , donne $y=39$ en $x=19$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $x=19$ est hors de $[0\,;10]$ : c'est une extrapolation, un simple scénario si la tendance se poursuit. »

Ajustée sur

[0\,;10]

, la droite prolongée annonce

39

x=19

; les mesures ultérieures, points creux, plafonnent autour de

26

Pourquoi : Rien ne garantit qu'un phénomène reste affine hors des données : une croissance ralentit, une concentration accélère, une taille s'arrête. L'équation seule ne le dit pas.

8. Conclure à une cause à partir d'une corrélation

1 à 2 points de rédaction

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Le nuage montre que plus on vend de glaces, plus il y a de coups de soleil : les glaces provoquent les coups de soleil. »

Ce qu'il faut écrire

« Les deux caractères sont corrélés, sans doute parce que tous deux augmentent avec l'ensoleillement : le nuage ne montre pas de cause. »

Pourquoi : Un troisième caractère peut faire varier les deux autres ensemble. Pour parler de cause, il faut comparer des situations qui ne diffèrent que par le caractère étudié.

9. Donner le coefficient directeur sans ses unités

0,5 à 1 point

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Le coefficient directeur $1{,}3$ signifie que ça augmente de $1{,}3$ . »

Ce qu'il faut écrire

« Quand $x$ augmente de $1$ unité, $y$ augmente en moyenne de $1{,}3$ unité de $y$ », par exemple $1{,}3$ kg par mois.

Pourquoi : Le coefficient directeur est un taux : unité de $y$ par unité de $x$ . Sans unités, l'interprétation demandée n'est pas donnée.

Quelle méthode choisir

Quel outil, selon ce que donne et demande l'énoncé

Une question sur deux caractères observés dans une même population

Si Deux caractères qualitatifs, et la question contient « parmi », « des », « sachant » → Fréquence conditionnelle : la case divisée par le total du groupe qui suit le mot

Exemple : « parmi les maisons » : $\frac{180}{240}=0{,}75$
Si « Les deux caractères sont-ils liés ? » → Comparer les fréquences conditionnelles entre elles et à la fréquence marginale

Exemple : $0{,}75$ et $0{,}5$ contre $0{,}6$ : liés
Si Deux diagrammes circulaires ou deux groupes de tailles différentes → Comparer les fréquences ; pour les effectifs, revenir aux totaux

Exemple : $\frac{270}{360}\times 240=180$ et $\frac{180}{360}\times 360=180$
Si Deux caractères quantitatifs, « ajustement au jugé » → Calculer $G$ , puis tracer une droite qui suit le nuage et passe par $G$

Exemple : $G(3\,;6)$ et coefficient choisi $1{,}3$ : $y=1{,}3x+2{,}1$
Si « Méthode de Mayer » → Ranger selon $x$ , deux groupes de même effectif, droite $(G_{1}G_{2})$ , contrôle par $G$

Exemple : $G_{1}(4\,;58)$ , $G_{2}(16\,;46)$ : $y=-x+62$
Si « Le tableur donne la droite des moindres carrés » → Vérifier qu'elle passe par $G$ , puis l'utiliser telle quelle

Exemple : $1{,}3\times 3+2{,}1=6=\bar{y}$
Si « Estimer la valeur pour $x=\ldots$ » → Remplacer dans l'équation, puis dire si $x$ est dans la plage (interpolation) ou non (extrapolation)

Exemple : $x=2{,}5$ dans $[1\,;5]$ : interpolation ; $x=12$ : extrapolation

si l'on connaît y et cherche x, on résout l'équation, la même règle de plage s'applique à x

Aucune formule des moindres carrés n'est au programme : si l'énoncé ne donne pas la droite, c'est qu'il attend un ajustement au jugé ou la méthode de Mayer.

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Ajuster un nuage, puis estimer

Quand l'utiliser : L'énoncé donne un tableau de deux caractères quantitatifs et demande une estimation

1 Décrire le nuage : sens du lien et forme à peu près rectiligne, ce qui justifie un ajustement affine.
2 Calculer le point moyen G, en écrivant les deux moyennes.
3 Donner l'équation de la droite demandée (au jugé par G, Mayer, ou celle du tableur) et vérifier que G est dessus.
4 Interpréter le coefficient directeur avec ses unités.
5 Remplacer x par la valeur voulue et calculer.
6 Dire si c'est une interpolation ou une extrapolation, et conclure par une phrase prudente.

Phrase de conclusion

« Le point moyen est $G(3\,;6)$ et $1{,}3\times 3+2{,}1=6$ , donc $G$ est sur la droite. Pour $x=2{,}5$ , qui est dans la plage $[1\,;5]$ des données, on obtient $y=1{,}3\times 2{,}5+2{,}1=5{,}35$ : c'est une interpolation, l'estimation est raisonnable. »

Le piège : Oublier la dernière étape : une valeur calculée sans dire si elle est interpolée ou extrapolée perd le point de conclusion.

Barème : 1 point pour G, 1 point pour la droite contrôlée, 1 point pour le calcul, 1 point pour la conclusion qui situe x par rapport à la plage.

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

Les totaux du tableau

Chaque ligne et chaque colonne retombe sur son total, et le coin en bas à droite sur la population entière.

$180+60=240$ , $180+180=360$ , $360+240=600$ : le tableau est cohérent.
Les angles font 360

Dans un diagramme circulaire, la somme des angles vaut 360 degrés, et chaque angle divisé par 360 redonne la fréquence.

$270+90=360$ ; $\frac{270}{360}=0{,}75$ . Une somme de $350$ signale un angle mal lu.
G est sur la droite

La droite au jugé, la droite de Mayer et la droite du tableur passent toutes par le point moyen. Remplacer x par la moyenne des x doit redonner la moyenne des y.

$1{,}3\times 3+2{,}1=6$ : juste. Un résultat $6{,}4$ dirait qu'un coefficient a été mal recopié.
L'estimation tombe entre ses voisines

Une interpolation doit donner une valeur comprise entre celles des deux points les plus proches, quand le nuage est monotone.

En $x=2{,}5$ , $5{,}35$ est bien entre $5$ et $6$ . Une valeur de $8$ signalerait une erreur de calcul.

L'exercice type décortiqué

Les jours de gel d'une station, par la méthode de Mayer

Une station météorologique compte les jours de gel de chaque hiver. On note $x$ le nombre d'années écoulées depuis 2000 et $y$ le nombre de jours de gel. $x$ : $0$ ; $4$ ; $8$ ; $12$ ; $16$ ; $20$ . $y$ : $63$ ; $58$ ; $53$ ; $50$ ; $45$ ; $43$ .

Déterminez la droite de Mayer, estimez le nombre de jours de gel en 2010, puis discutez une estimation pour 2080.

Étape 1

Les points sont déjà rangés par $x$ croissant. Premier groupe : $x$ de $0$ à $8$ ; second groupe : $x$ de $12$ à $20$ , trois points chacun.

Pourquoi

Mayer exige deux groupes de même effectif pris dans l'ordre des abscisses : c'est ce qui fait de G1 et G2 un résumé de la gauche et de la droite du nuage.

Étape 2

$G_{1}\left(\frac{0+4+8}{3}\,;\frac{63+58+53}{3}\right)=(4\,;58)$ et $G_{2}\left(\frac{12+16+20}{3}\,;\frac{50+45+43}{3}\right)=(16\,;46)$ .

Pourquoi

Écrire les deux quotients rapporte le point même si une addition dérape : le correcteur voit la méthode.

Étape 3

Coefficient directeur $\frac{46-58}{16-4}=\frac{-12}{12}=-1$ ; par $G_{1}$ : $58=-4+b$ , donc $b=62$ . Droite : $y=-x+62$ .

Pourquoi

Le coefficient $-1$ se lit en jours de gel par an : un jour de gel en moins chaque année, en moyenne. C'est l'interprétation qui est notée, pas seulement le nombre.

Étape 4

Contrôle : $G\left(10\,;\frac{312}{6}\right)=(10\,;52)$ et $-10+62=52$ : $G$ est sur la droite.

Pourquoi

Avec deux groupes de même effectif, G est le milieu de G1G2, donc sur la droite. Ce contrôle attrape une erreur de moyenne en dix secondes.

Étape 5

2010 : $x=10$ , $y=-10+62=52$ jours, dans la plage $[0\,;20]$ : interpolation. 2080 : $x=80$ , $y=-80+62=-18$ jours.

Pourquoi

Un nombre de jours négatif est impossible : l'extrapolation à soixante ans au-delà des données casse le modèle, ce qu'il faut écrire en toutes lettres.

Conclusion rédigée

La droite de Mayer est $y=-x+62$ ; elle estime $52$ jours de gel en 2010, une interpolation raisonnable. Pour 2080, elle donne $-18$ jours, résultat absurde : on ne prolonge pas une tendance soixante ans au-delà des données.

L'erreur classique sur cet exercice : Recopier $-18$ comme « estimation pour 2080 », ou le remplacer par $0$ sans commentaire : dans les deux cas, on fait dire à la droite ce qu'elle ne sait pas.

À savoir par cœur

• Fréquence conditionnelle : la case divisée par le total de SA population, nommée par « parmi ».
• Caractères liés : fréquences conditionnelles éloignées de la fréquence marginale.
• Fréquence d'ensemble : moyenne PONDÉRÉE par les effectifs, jamais moyenne simple de groupes inégaux.
• Angle d'un secteur $=$ fréquence $\times 360$ ; un disque montre une répartition, pas un effectif.
• Point moyen $G(\bar{x}\,;\bar{y})$ , avec TOUTES les valeurs.
• Mayer : ranger selon $x$ , deux groupes égaux, droite $(G_{1}G_{2})$ , qui passe par $G$ .
• La droite du tableur minimise la somme des carrés des écarts et passe par $G$ .
• Interpolation dans la plage des données, extrapolation hors de la plage : prudence.
• Corrélation n'est pas causalité.

Questions fréquentes

Comment calculer le point moyen d'un nuage de points ?

On fait la moyenne de toutes les abscisses, puis la moyenne de toutes les ordonnées : ce sont les deux coordonnées du point moyen, noté G. Ce n'est pas le milieu du premier et du dernier point, et ce n'est en général aucun point du nuage. Une bonne droite d'ajustement passe par G, ce qui sert aussi de vérification.

Comment tracer la droite de Mayer ?

On range les points dans l'ordre des abscisses croissantes, on les partage en deux groupes de même effectif, et l'on calcule le point moyen de chaque groupe. La droite de Mayer est la droite qui passe par ces deux points moyens. Elle passe aussi par le point moyen de tout le nuage, ce qu'on vérifie avant de s'en servir.

Quelle est la différence entre interpolation et extrapolation ?

On interpole quand la valeur cherchée est à l'intérieur de la plage des données observées : la droite y suit les mesures et l'estimation est raisonnable. On extrapole quand on sort de cette plage : rien ne garantit que le phénomène reste affine, et l'estimation devient d'autant plus fragile qu'on s'éloigne. Il faut toujours dire lequel des deux on fait.

Faut-il connaître la formule des moindres carrés en Première ?

Non. Dans le tronc commun de Première, aucune connaissance théorique n'est attendue sur cette méthode : l'énoncé donne la droite, obtenue au tableur. Il faut savoir ce qu'elle minimise, la somme des carrés des écarts verticaux entre les points et la droite, vérifier qu'elle passe par le point moyen, puis l'utiliser pour estimer.

Pourquoi une corrélation ne prouve-t-elle pas une cause ?

Parce qu'un troisième caractère peut faire varier les deux autres en même temps. Les ventes de glaces et les coups de soleil montent ensemble parce que tous deux dépendent du soleil, pas parce que l'un entraîne l'autre. Pour parler de cause, il faut comparer des situations qui ne diffèrent que par le caractère étudié.

Passer à la pratique

Exercices corrigés : Analyse de l'information chiffrée

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

10 exercices corrigés
100 points
150 minutes

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© Ahmed Squalli Houssaini. Fiche publiée sur www.letuteurscientifique.ca/fiches/1mtc-information-chiffree. Libre pour l'usage personnel et en classe ; sa republication ailleurs demande une autorisation écrite (mentions légales).

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