Exercices corrigés : tableaux croisés et fréquences conditionnelles (Seconde)

a) La population est l'ensemble des $1\,600$ adultes interrogés, et chacun est décrit par deux caractères. Les deux variables sont ORDINALES : les tranches d'âge se rangent de la plus jeune à la plus âgée, et les niveaux d'activité de faible à élevé. Une variable comme la région de résidence, elle, serait nominale : ses modalités n'ont pas d'ordre. La fréquence MARGINALE d'une modalité se lit dans la marge du tableau, rapportée au total général : pour l'activité faible, $\dfrac{570}{1\,600}=0{,}356\,25$, soit $35{,}625\ \%$, environ $35{,}6\ \%$. Pour les 55 ans et plus, $\dfrac{500}{1\,600}=0{,}312\,5$, soit $31{,}25\ \%$. « Marginale » veut dire qu'on ignore complètement l'autre variable : on lit la ligne ou la colonne Total.

b) Cette fois on compte À L'INTÉRIEUR de chaque tranche d'âge, donc on divise par le total de la LIGNE. Parmi les 18 à 34 ans : $\dfrac{100}{400}=25\ \%$. Parmi les 35 à 54 ans : $\dfrac{245}{700}=35\ \%$. Parmi les 55 ans et plus : $\dfrac{225}{500}=45\ \%$. Ce sont trois fréquences CONDITIONNELLES : la fréquence de l'activité faible parmi une sous-population. On la note $f_{B}(A)=\dfrac{\text{effectif de } A \text{ et } B}{\text{effectif de } B}$, où $B$ est la sous-population dans laquelle on compte. La lecture est nette : plus on avance en âge, plus l'activité faible est fréquente, ce que la variable ordinale permet justement de dire.

c) La population de référence change : on compte parmi les $570$ adultes d'activité faible, donc on divise par le total de la COLONNE : $\dfrac{225}{570}\approx 0{,}394\,7$, soit environ $39{,}5\ \%$. La case est la même qu'en b), $225$ personnes, mais le total n'est plus le même, et la réponse passe de $45\ \%$ à $39{,}5\ \%$. Ce sont deux questions différentes : « parmi les 55 ans et plus, combien ont une activité faible ? » et « parmi les personnes d'activité faible, combien ont 55 ans ou plus ? ». Une fréquence conditionnelle n'est PAS symétrique, et l'erreur la plus fréquente du chapitre consiste à échanger les deux.

d) L'affirmation est fausse, et c'est exactement le piège du chapitre : elle compare deux EFFECTIFS, $245$ et $225$, sans regarder dans quelle population ils sont comptés. Les 35 à 54 ans sont simplement plus nombreux dans l'enquête, $700$ contre $500$. Rapportés à leur total, $245$ sur $700$ font $35\ \%$ quand $225$ sur $500$ font $45\ \%$ : l'activité faible est donc plus RÉPANDUE chez les 55 ans et plus. La phrase correcte est : « C'est parmi les 55 ans et plus que la fréquence de l'activité faible est la plus élevée, $45\ \%$ ; les 35 à 54 ans sont les plus nombreux à avoir une activité faible parce que leur tranche est la plus nombreuse. » Un effectif plus grand ne dit rien sans son total.

La méthode est la même pour chaque phrase : le groupe qui suit « des » ou « parmi » est la population dans laquelle on compte, et c'est SON total qui va au dénominateur. Le groupe qui suit « sont » est ce qu'on compte, et c'est la case qui va au numérateur.

a) « Des actifs sans diplôme » : on compte parmi les $300$ sans diplôme, total de la ligne. $\dfrac{45}{300}=0{,}15$, soit $15\ \%$. La phrase est VRAIE. On l'appelle aussi le taux de chômage des sans-diplôme : c'est une fréquence conditionnelle.

b) « Des chômeurs » : on compte cette fois parmi les $123$ chômeurs, total de la colonne. $\dfrac{45}{123}\approx 0{,}366$, soit environ $36{,}6\ \%$. La phrase est FAUSSE : elle a gardé le pourcentage de a) en échangeant les deux groupes. Les mêmes $45$ personnes pèsent $15\ \%$ d'un groupe et $36{,}6\ \%$ de l'autre, parce que les deux groupes n'ont pas la même taille. Ce retournement de phrase est la faute que les médias commettent le plus souvent.

c) « Des actifs » tout court : la population est l'ensemble, donc on divise par le total général. $\dfrac{800}{2\,000}=0{,}4$, soit $40\ \%$. VRAIE : c'est une fréquence marginale, lue dans la colonne Total.

d) La seconde moitié est exacte : les diplômés du secondaire sont $54$ chômeurs sur $123$, soit $\dfrac{54}{123}\approx 43{,}9\ \%$ des chômeurs, le plus gros groupe. Mais « les plus touchés » parle du RISQUE d'être au chômage dans chaque groupe, donc d'une fréquence parmi chaque diplôme : $\dfrac{54}{900}=6\ \%$ pour le secondaire, contre $15\ \%$ sans diplôme et $\dfrac{24}{800}=3\ \%$ pour le supérieur. Les plus touchés sont les sans-diplôme. Le secondaire fournit le plus de chômeurs simplement parce que c'est le groupe le plus nombreux, $900$ actifs sur $2\,000$. La phrase est donc FAUSSE. La figure ci-dessous montre les deux lectures d'une même ligne de cases, avec deux classements qui n'ont rien à voir.

e) Avec le total de la ligne : « Parmi les diplômés du supérieur, $3\ \%$ sont au chômage » ($\dfrac{24}{800}=0{,}03$). Avec le total de la colonne : « Parmi les chômeurs, $19{,}5\ \%$ sont diplômés du supérieur » ($\dfrac{24}{123}\approx 0{,}195$). On pourrait en écrire une troisième, avec le total général : « $1{,}2\ \%$ des actifs sont des chômeurs diplômés du supérieur » ($\dfrac{24}{2\,000}=0{,}012$). Une case, trois totaux, trois phrases : c'est tout le chapitre.

a) Une ligne ou une colonne dont une seule case manque se complète par soustraction à partir de son total. On cherche donc, à chaque étape, une ligne ou une colonne qui n'a plus qu'une inconnue. Ligne A : moyen A $=160-30-40=90$. Colonne Total : total C $=480-160-200=120$. Colonne Faible : faible B $=90-30-10=50$. Colonne Moyen, qui n'a plus qu'une inconnue depuis le premier calcul : moyen C $=240-90-100=50$. Ligne C : élevé C $=120-10-50=60$. Enfin élevé B $=150-40-60=50$. Contrôle obligatoire, par la ligne B qu'on n'a pas utilisée pour la dernière case : $50+100+50=200$, c'est bien le total annoncé. Commencer par la ligne B serait une impasse : elle a deux inconnues, et aucune égalité seule ne les sépare.

b) On compte parmi les parcelles de chaque variété, donc on divise par le total de la LIGNE. A : $\dfrac{40}{160}=25\ \%$. B : $\dfrac{50}{200}=25\ \%$. C : $\dfrac{60}{120}=50\ \%$. La variété C est nettement devant, alors qu'elle occupe le moins de parcelles.

c) L'affirmation compare deux EFFECTIFS, $50$ et $40$, sans leurs totaux. Or la variété B a été semée sur $200$ parcelles et la variété A sur $160$ : il est normal qu'elle compte plus de rendements élevés. Rapportées à leur total, les deux fréquences sont ÉGALES, $25\ \%$ : sur ce critère, B ne fait pas mieux que A. Un effectif plus grand ne dit rien sans son total, et c'est la seule conclusion honnête que le tableau autorise.

d) La population de référence est maintenant celle des $150$ parcelles à rendement élevé, total de la COLONNE : $\dfrac{60}{150}=0{,}4$, soit $40\ \%$. Dans l'ensemble, la variété C ne représente que $\dfrac{120}{480}=25\ \%$ des parcelles, fréquence marginale. Elle fournit donc $40\ \%$ des bons rendements pour $25\ \%$ des parcelles : elle est surreprésentée parmi les rendements élevés, ce qui confirme la lecture de b) par l'autre sens du tableau. Attention à ne pas confondre les deux nombres : $50\ \%$ des parcelles C ont un rendement élevé, et $40\ \%$ des rendements élevés viennent de C.

e) « Au moins moyen » regroupe les modalités moyen et élevé, ce qui n'a de sens que parce que la variable est ordonnée : on ne regrouperait pas ainsi des espèces ou des régions. A : $\dfrac{90+40}{160}=\dfrac{130}{160}=81{,}25\ \%$. B : $\dfrac{100+50}{200}=75\ \%$. C : $\dfrac{50+60}{120}=\dfrac{110}{120}\approx 91{,}7\ \%$. Ce regroupement fait apparaître ce que b) cachait : A et B ont la même fréquence de rendement élevé, mais A a moins de rendements faibles, $\dfrac{30}{160}\approx 18{,}8\ \%$ contre $\dfrac{50}{200}=25\ \%$ pour B.

a) Les trois premiers pourcentages sont des fréquences MARGINALES, rapportées aux $1\,500$ clients : agence $0{,}20\times 1\,500=300$, téléphone $0{,}50\times 1\,500=750$, messagerie $1\,500-300-750=450$, soit les $30\ \%$ restants.

b) « Parmi les clients passés par une agence » : la population de référence est la ligne agence, $300$ clients. Donc $0{,}10\times 300=30$ insatisfaits, $0{,}45\times 300=135$ très satisfaits, et $300-30-135=135$ satisfaits. De même pour le téléphone, sur $750$ clients : $0{,}24\times 750=180$ insatisfaits, $0{,}40\times 750=300$ très satisfaits, $750-180-300=270$ satisfaits. Le geste est toujours le même : une fréquence conditionnelle multipliée par l'effectif de SA population redonne une case. Multiplier $10\ \%$ par $1\,500$ donnerait $150$, un nombre qui n'a aucun sens ici.

c) Les deux derniers pourcentages portent sur l'ensemble : $0{,}17\times 1\,500=255$ insatisfaits et $0{,}40\times 1\,500=600$ très satisfaits. Les colonnes donnent alors la ligne manquante : insatisfaits de la messagerie $255-30-180=45$, très satisfaits $600-135-300=165$, et satisfaits $450-45-165=240$. Contrôle par la colonne des satisfaits : $135+270+240=645$, et $255+645+600=1\,500$.

d) Parmi les $450$ clients de la messagerie : $\dfrac{45}{450}=10\ \%$ d'insatisfaits, autant qu'en agence. Parmi les $255$ insatisfaits : $\dfrac{180}{255}\approx 0{,}706$, soit environ $70{,}6\ \%$ sont passés par le téléphone. Les deux nombres ne répondent pas à la même question : le premier mesure la qualité d'un canal, le second dit d'où viennent les mécontents, et il dépend aussi du fait que la moitié des clients passent par le téléphone.

e) La variable est ordinale, donc « au moins satisfait » regroupe satisfait et très satisfait. Agence : $\dfrac{135+135}{300}=90\ \%$. Téléphone : $\dfrac{270+300}{750}=76\ \%$. Messagerie : $\dfrac{240+165}{450}=90\ \%$. C'est le téléphone qu'il faut améliorer : sa fréquence de clients au moins satisfaits est la plus basse, et c'est bien une comparaison de fréquences parmi chaque canal, pas d'effectifs. La figure ci-dessous représente chaque ligne en barre de $100\ \%$ : c'est la représentation qui convient aux fréquences conditionnelles d'une variable ordinale, les modalités restant dans leur ordre.

a) La condition se lit : « le pays est en Afrique ET il n'a pas accès à la mer ». Le mot and exige que les deux tests soient vrais pour le même indice i. Les pays d'Afrique de la liste sont le Mali, le Sénégal, le Niger et le Maroc ; parmi eux, seuls le Mali et le Niger n'ont pas de côte. Le programme affiche donc Mali puis Niger, dans l'ordre des indices : $2$ pays. C'est exactement la case « Afrique, sans accès à la mer » d'un tableau croisé continent par accès à la mer : un filtre ET remplit une case.

b) Avec or, un pays est affiché dès qu'AU MOINS un des deux tests est vrai. Les pays d'Europe sont France, Suisse, Autriche et Portugal, soit $4$ ; les pays ayant accès à la mer sont France, Sénégal, Chili, Canada, Portugal et Maroc, soit $6$. La France et le Portugal sont dans les deux listes. Le programme, lui, examine chaque pays UNE seule fois et l'affiche une seule fois : il affiche $4+6-2=8$ pays. L'élève a additionné deux effectifs qui se chevauchent : c'est son addition qui compte deux fois l'intersection, pas le or. Le « ou » des mathématiques est inclusif, et un pays qui vérifie les deux critères vérifie a fortiori l'un des deux.

c) « Ne pas être en Amérique » s'écrit not (continent[i] == "Amerique"), ou continent[i] != "Amerique". La condition complète est not (continent[i] == "Amerique") and mer[i] == "non". Les pays sans accès à la mer sont Mali, Bolivie, Suisse, Autriche, Niger et Paraguay ; on retire la Bolivie et le Paraguay, qui sont en Amérique : il reste Mali, Suisse, Autriche et Niger, $4$ pays. Pour la négation, attention : le contraire de « A et B » n'est PAS « non A et non B », mais « non A OU non B ». La condition s'écrit not (continent[i] == "Europe" and mer[i] == "oui"), ou continent[i] != "Europe" or mer[i] != "oui". Seuls la France et le Portugal vérifient « en Europe et accès à la mer », donc la négation est vérifiée par $12-2=10$ pays. La fausse négation « ni en Europe, ni accès à la mer » ne retiendrait que Mali, Bolivie, Niger et Paraguay : $4$ pays, un tout autre ensemble.

d) On remplace l'affichage par deux compteurs initialisés à $0$ (voir le programme ci-dessous). Le premier vaut $4$, le second $2$. La fréquence de l'accès à la mer PARMI les pays d'Afrique divise par le nombre de pays d'Afrique : $\dfrac{2}{4}=50\ \%$. La fréquence des pays d'Afrique PARMI ceux qui ont accès à la mer divise par ces $6$ pays : $\dfrac{2}{6}\approx 33{,}3\ \%$. Le numérateur est le même filtre ET, seul le dénominateur change : c'est lui qu'il faut choisir en premier, et c'est lui qui décide du compteur à écrire. Ces fréquences décrivent cette liste de douze pays, pas le monde : un échantillon choisi à la main ne représente que lui-même.

n_afrique = 0
n_afrique_mer = 0
for i in range(len(pays)):
    if continent[i] == "Afrique":
        n_afrique = n_afrique + 1
        if mer[i] == "oui":
            n_afrique_mer = n_afrique_mer + 1
print(n_afrique_mer / n_afrique)

a) On parcourt les vingt couples (espece[i], etat[i]) et l'on fait un bâton dans la bonne case. Platane : bon $5$, moyen $2$, mauvais $1$, total $8$. Tilleul : bon $3$, moyen $2$, mauvais $1$, total $6$. Érable : bon $1$, moyen $2$, mauvais $3$, total $6$. Totaux des colonnes : bon $9$, moyen $6$, mauvais $5$, et $20$ en tout. Contrôle : $8+6+6=20$ et $9+6+5=20$. Chaque arbre tombe dans UNE case et une seule, c'est ce qui garantit que les totaux se recoupent.

b) Les deux boucles extérieures parcourent $3$ espèces et $3$ états : le programme affiche $3\times 3=9$ lignes, une par case du tableau. Les trois premières sont « platane bon 5 », « platane moyen 2 » et « platane mauvais 1 », puisque la boucle sur les états tourne à l'intérieur de celle sur les espèces. Pour chacune de ces $9$ cases, la boucle intérieure relit les $20$ arbres : le test est évalué $9\times 20=180$ fois. C'est la version la plus simple, pas la plus rapide : un seul passage sur le fichier suffirait avec neuf compteurs, mais celle-ci se lit comme la définition, une case égale un filtre ET.

c) Le premier pointillé est la seconde moitié du filtre : if etat[i] == s. Comme ce test est placé À L'INTÉRIEUR du test sur l'espèce, n_es compte les arbres de l'espèce e ET dans l'état s, tandis que n_e compte tous les arbres de l'espèce e. Le second pointillé est return n_es / n_e : on divise par l'effectif de la population dans laquelle on compte, ici l'espèce. Pour l'érable en mauvais état : $\dfrac{3}{6}=0{,}5$. Pour le platane : $\dfrac{1}{8}=0{,}125$. Un érable sur deux est en mauvais état, contre un platane sur huit.

d) Avec len(espece), qui vaut $20$, l'appel renvoie $\dfrac{3}{20}=0{,}15$. C'est la fréquence de la case « érable et mauvais » dans l'inventaire TOUT ENTIER, pas une fréquence conditionnelle. Le programme ne signale aucune erreur, et le nombre obtenu a l'air plausible : c'est ce qui rend la faute dangereuse. Le dénominateur se décide avant d'écrire la ligne return, en nommant la population : « parmi les érables », donc n_e.

e) « Des arbres en mauvais état » : on compte parmi les $5$ arbres en mauvais état, dont $3$ érables. $\dfrac{3}{5}=60\ \%$ : l'annonce est exacte. Mais freq_cond(e, s) compte toujours PARMI une espèce, et renvoie une fréquence de l'état ; ici les rôles sont inversés, on compte parmi un état. Il faudrait une seconde fonction qui filtre d'abord sur etat[i] == s, puis compte l'espèce. Les deux nombres sur la même case, $50\ \%$ des érables sont en mauvais état et $60\ \%$ des arbres en mauvais état sont des érables, n'ont aucune raison d'être égaux.

def freq_cond(e, s):
    n_e = 0
    n_es = 0
    for i in range(len(espece)):
        if espece[i] == e:
            n_e = n_e + 1
            if etat[i] == s:
                n_es = n_es + 1
    return n_es / n_e

a) Chaque fréquence de la figure est une fréquence conditionnelle, calculée PARMI les accidents d'un département sur un réseau : on la multiplie par l'effectif de la case correspondante. A en agglomération : $0{,}02\times 200=4$. A hors agglomération : $0{,}06\times 800=48$. B en agglomération : $0{,}03\times 1\,500=45$. B hors agglomération : $0{,}07\times 500=35$.

b) On compte maintenant parmi TOUS les accidents d'un département. A : $4+48=52$ accidents mortels sur $1\,000$, soit $5{,}2\ \%$. B : $45+35=80$ sur $2\,000$, soit $4\ \%$. La létalité globale la plus faible est celle de B. On remarque au passage que B a PLUS d'accidents mortels que A, $80$ contre $52$, et pourtant une létalité plus faible : l'effectif seul ne classait rien.

c) Hors agglomération, on roule plus vite, et un accident y est bien plus souvent mortel : $6\ \%$ ou $7\ \%$ contre $2\ \%$ ou $3\ \%$. Or ce réseau pèse très différemment : $\dfrac{800}{1\,000}=80\ \%$ des accidents de A ont lieu hors agglomération, contre $\dfrac{500}{2\,000}=25\ \%$ pour B. La létalité globale n'est pas la moyenne simple des deux létalités, c'est leur moyenne PONDÉRÉE par cette répartition : pour A, $0{,}2\times 2+0{,}8\times 6=5{,}2$, et pour B, $0{,}75\times 3+0{,}25\times 7=4$. A est pénalisé par sa structure, pas par la dangerosité de ses routes : dans chaque réseau, sa létalité est inférieure d'un point. Ce retournement porte le nom de paradoxe de Simpson. Le titre du journal confond deux questions : « où les accidents sont-ils le plus souvent mortels ? » et « où les routes sont-elles le plus dangereuses à réseau égal ? ».

d) On garde les létalités de A, $2\ \%$ et $6\ \%$, mais avec les poids de B, $75\ \%$ et $25\ \%$ : $0{,}75\times 2+0{,}25\times 6=1{,}5+1{,}5=3$, soit $3\ \%$. À structure égale, A passe DEVANT B, $3\ \%$ contre $4\ \%$. C'est la preuve chiffrée que l'écart de b) venait de la répartition des accidents, et non de la sécurité des routes.

e) Il faut comparer réseau par réseau, c'est-à-dire des fréquences conditionnelles calculées dans des populations comparables. La létalité globale reste un bon indicateur pour décrire un département, mais elle mélange deux choses, la dangerosité de chaque réseau et la part de chaque réseau, et ne permet donc pas de comparer deux départements qui n'ont pas la même structure. Avant de diviser, on écrit la population dans laquelle on compte, et avant de comparer, on vérifie que les deux populations se ressemblent.

a) Faux. Contre-exemple de l'exercice 1 : la case des $225$ adultes de 55 ans et plus d'activité faible donne $\dfrac{225}{500}=45\ \%$ parmi les 55 ans et plus, mais $\dfrac{225}{570}\approx 39{,}5\ \%$ parmi les adultes d'activité faible. La case est la même, le TOTAL ne l'est pas. Énoncé correct : $f_{B}(A)=\dfrac{\text{effectif de } A\text{ et }B}{\text{effectif de }B}$ et $f_{A}(B)=\dfrac{\text{effectif de } A\text{ et }B}{\text{effectif de }A}$ ont le même numérateur mais des dénominateurs différents ; elles ne sont égales que si $A$ et $B$ ont le même effectif.

b) Faux. Contre-exemple de l'exercice 2 : les diplômés du secondaire sont $54$ chômeurs, le plus gros groupe, mais leur taux de chômage est $\dfrac{54}{900}=6\ \%$, contre $15\ \%$ pour les sans-diplôme, qui ne sont que $45$. Énoncé correct : pour savoir où un phénomène est le plus fréquent, on compare des fréquences conditionnelles, chacune calculée parmi son groupe ; un effectif plus grand peut venir simplement d'un groupe plus nombreux.

c) Faux. Contre-exemple de l'exercice 7 : la létalité du département A vaut $2\ \%$ en agglomération et $6\ \%$ hors agglomération, dont la moyenne simple est $4\ \%$ ; or sa létalité globale est $5{,}2\ \%$. Énoncé correct : la fréquence d'ensemble est la moyenne des fréquences des sous-groupes PONDÉRÉE par la part de chaque sous-groupe, ici $0{,}2\times 2+0{,}8\times 6=5{,}2$. La moyenne simple n'est juste que si les sous-groupes ont le même effectif.

d) Faux. Contre-exemple de l'exercice 5 : avec continent[i] == "Europe" or mer[i] == "oui", la boucle examine chaque pays une seule fois et en affiche $8$, pas $10$. Ce qui compte deux fois la France et le Portugal, c'est l'addition $4+6$ des deux effectifs. Énoncé correct : un filtre OU sélectionne chaque individu au plus une fois ; l'effectif de « A ou B » vaut l'effectif de A plus celui de B MOINS celui de « A et B ».

e) Faux. La négation de « A et B » est « non A OU non B » : il suffit qu'un des deux critères manque. Contre-exemple de l'exercice 5 : seuls la France et le Portugal sont en Europe avec accès à la mer, donc la négation est vérifiée par $12-2=10$ pays, alors que la phrase proposée n'en retient que $4$, le Mali, la Bolivie, le Niger et le Paraguay. La Suisse, par exemple, n'est pas « en Europe avec accès à la mer », mais elle est en Europe : la phrase proposée l'écarte à tort.

a) Les pourcentages de la figure sont des fréquences conditionnelles PARMI les habitants de chaque zone : on les multiplie par l'effectif de la zone. Ville-centre : $0{,}22\times 120\,000=26\,400$, $0{,}58\times 120\,000=69\,600$, $0{,}20\times 120\,000=24\,000$. Périphérie : $0{,}28\times 90\,000=25\,200$, $0{,}57\times 90\,000=51\,300$, $0{,}15\times 90\,000=13\,500$. Rural : $0{,}18\times 40\,000=7\,200$, $0{,}50\times 40\,000=20\,000$, $0{,}32\times 40\,000=12\,800$. Totaux des colonnes : moins de 20 ans $58\,800$, 20 à 64 ans $140\,900$, 65 ans et plus $50\,300$, et $58\,800+140\,900+50\,300=250\,000$ : le tableau se referme.

b) $\dfrac{50\,300}{250\,000}=0{,}201\,2$, soit $20{,}12\ \%$. La moyenne simple $\dfrac{20+15+32}{3}\approx 22{,}3\ \%$ donnerait autant de poids aux $40\,000$ ruraux qu'aux $120\,000$ habitants de la ville-centre. La vraie fréquence est une moyenne pondérée par la taille des zones : $0{,}48\times 20+0{,}36\times 15+0{,}16\times 32=20{,}12$, où $0{,}48$, $0{,}36$ et $0{,}16$ sont les parts des trois zones dans la population.

c) Premier titre : « des habitants des communes rurales » : on compte parmi les $40\,000$ ruraux, et la figure donne directement $32\ \%$, un peu moins d'un sur trois. Il est EXACT. Second titre : « des seniors » : on compte parmi les $50\,300$ personnes de 65 ans et plus, dont $12\,800$ vivent en zone rurale, soit $\dfrac{12\,800}{50\,300}\approx 25{,}4\ \%$, à peine plus d'un sur quatre. Le second journal a repris le « un sur trois » du premier en échangeant la population de référence : la même case, $12\,800$ personnes, pèse $32\ \%$ d'une zone et $25{,}4\ \%$ d'une tranche d'âge.

d) C'est faux. Les communes rurales ont la plus forte FRÉQUENCE de seniors, $32\ \%$, mais c'est la ville-centre qui en compte le plus grand EFFECTIF, $24\,000$, contre $13\,500$ en périphérie et $12\,800$ en zone rurale. La ville-centre regroupe à elle seule $\dfrac{24\,000}{50\,300}\approx 47{,}7\ \%$ des seniors de l'agglomération, parce qu'elle est trois fois plus peuplée que les communes rurales. L'élu confond « où les seniors sont-ils les plus fréquents » et « où sont-ils les plus nombreux », deux questions qui ont ici deux réponses différentes.

e) Le service suit les personnes âgées, donc la bonne fréquence est celle de chaque zone PARMI les seniors, total de la colonne, et non les $20\ \%$, $15\ \%$, $32\ \%$ de la figure. Ville-centre : $100\times\dfrac{24\,000}{50\,300}\approx 47{,}7$, soit $48$ livreurs. Périphérie : $100\times\dfrac{13\,500}{50\,300}\approx 26{,}8$, soit $27$. Rural : $100\times\dfrac{12\,800}{50\,300}\approx 25{,}4$, soit $25$. Contrôle : $48+27+25=100$. Répartir avec les fréquences de la figure aurait envoyé le plus de livreurs à la campagne, là où vivent le moins de seniors.

a) La figure donne des fréquences marginales, rapportées aux $2\,000$ créations : $0{,}60\times 2\,000=1\,200$ sans salarié, $0{,}30\times 2\,000=600$ de 1 à 9 salariés, $0{,}10\times 2\,000=200$ de 10 salariés et plus. La deuxième phrase du rapport est aussi marginale : $0{,}625\times 2\,000=1\,250$ entreprises actives, donc $2\,000-1\,250=750$ fermées.

b) Première phrase, « des entreprises créées sans salarié » : on compte parmi les $1\,200$, donc $0{,}55\times 1\,200=660$ actives et $540$ fermées. Troisième phrase, « parmi les entreprises qui ont fermé » : on compte cette fois parmi les $750$ fermées, total de la COLONNE, et non parmi les entreprises de 1 à 9 salariés. Donc $0{,}24\times 750=180$ fermées de 1 à 9 salariés, et $600-180=420$ actives. Les entreprises de 10 salariés et plus se déduisent des totaux : $1\,250-660-420=170$ actives et $750-540-180=30$ fermées, avec le contrôle $170+30=200$. Lire « $24\ \%$ des entreprises de 1 à 9 salariés ont fermé » donnerait $144$ : un tableau faux qui ne se refermerait plus.

c) On compte parmi chaque taille, donc on divise par le total de la ligne : $\dfrac{660}{1\,200}=55\ \%$, $\dfrac{420}{600}=70\ \%$, $\dfrac{170}{200}=85\ \%$. La variable étant ordinale, le classement a un sens : plus l'entreprise est grande à sa création, plus elle survit souvent. Le tableau montre une association, il ne dit pas pourquoi : une entreprise qui démarre avec dix salariés a souvent plus de capital, et c'est peut-être lui qui la protège.

d) Parmi les $750$ entreprises fermées, $540$ avaient été créées sans salarié : $\dfrac{540}{750}=0{,}72$, le nombre est exact. Mais il répond à « d'où viennent les fermetures ? », et il dépend d'abord de ce que les entreprises sans salarié sont les plus nombreuses, $60\ \%$ des créations. On peut dire qu'elles sont surreprésentées parmi les fermetures, $72\ \%$ contre $60\ \%$, ce qui va dans le sens de c). En revanche « l'échec assuré » est faux : parmi les entreprises créées sans salarié, $55\ \%$ sont encore actives cinq ans après, plus d'une sur deux. Pour juger le risque d'une catégorie, c'est la fréquence PARMI cette catégorie qu'il faut lire.

e) Choisir au hasard avec la même chance pour chacune fait de la fréquence une probabilité. Sachant que l'entreprise a été créée avec 1 à 9 salariés, on se place dans cette sous-population de $600$ entreprises, dont $420$ actives : la probabilité vaut $\dfrac{420}{600}=0{,}7$. C'est exactement la fréquence conditionnelle de c), et c'est ainsi que le tableau croisé mène aux probabilités conditionnelles, traitées dans la série qui leur est consacrée.