Exercices corrigés : analyse de l'information chiffrée, tableau croisé et nuage de points (Première)

a) Une fréquence marginale se lit sur un TOTAL du tableau, divisé par le total général : on ignore l'autre caractère. Logements énergivores : $\dfrac{320}{800}=0{,}4$, soit $40\ \%$ des logements étudiés. Logements construits avant 1975 : $\dfrac{300}{800}=0{,}375$, soit $37{,}5\ \%$. Ces deux nombres décrivent chacun UN seul caractère : ils ne disent encore rien du lien entre la période et la classe énergétique. Pour le chercher, il faut croiser, c'est-à-dire compter à l'intérieur d'une sous-population.

b) On se place parmi les $300$ logements construits avant 1975 : c'est le total de leur colonne, et c'est lui qui va au dénominateur. Parmi eux, $200$ sont énergivores : $\dfrac{200}{300}=\dfrac{2}{3}\approx 0{,}667$. Parmi les $200$ logements construits après 2000, $20$ sont énergivores : $\dfrac{20}{200}=0{,}1$. Deux logements anciens sur trois sont énergivores, contre un logement récent sur dix. On ne compare pas les effectifs $200$ et $20$ entre eux : les deux colonnes n'ont pas le même total, et seul le quotient par ce total permet une comparaison honnête.

c) Cette fois la population est celle des $320$ logements énergivores, total de leur LIGNE. Parmi eux, $200$ datent d'avant 1975 : $\dfrac{200}{320}=0{,}625$. Le numérateur est la même case que dans la première fréquence de b), les $200$ logements anciens ET énergivores ; seul le dénominateur change, $320$ au lieu de $300$. Les deux phrases ne disent pas la même chose : « deux logements anciens sur trois sont énergivores » renseigne sur l'état du parc ancien, « $62{,}5\ \%$ des logements énergivores sont anciens » renseigne sur l'origine des logements à rénover. Un service de rénovation qui cible les énergivores a besoin de la seconde, le propriétaire d'un logement ancien de la première.

d) Parmi les $300$ logements de 1975 à 2000 : $\dfrac{100}{300}=\dfrac{1}{3}\approx 0{,}333$. Si la classe énergétique ne dépendait pas de la période, on trouverait à peu près la fréquence marginale, $40\ \%$ d'énergivores, dans chaque colonne. Or les trois fréquences conditionnelles, $0{,}667$, $0{,}333$ et $0{,}1$, s'en écartent nettement et décroissent avec la période : les deux caractères sont liés, plus le logement est récent, moins il est souvent énergivore. Une explication est plausible, la première réglementation thermique des bâtiments date de 1974, mais le tableau seul ne la démontre pas : il constate un lien, il n'en donne pas la cause. La méthode à retenir pour deux caractères qualitatifs est celle-ci : comparer les fréquences conditionnelles entre elles et à la fréquence marginale.

a) Un diagramme circulaire répartit les $360$ degrés du disque proportionnellement aux effectifs : la fréquence d'une modalité est l'angle de son secteur divisé par $360$. Commune A, voiture : $\dfrac{90}{360}=0{,}25$. Le nombre d'automobilistes s'obtient en appliquant cette fréquence au total de SA commune : $0{,}25\times 3\,600=900$. Contrôle : les trois angles de A, $90+144+126$, font bien $360$, et les fréquences $0{,}25$, $0{,}4$ et $0{,}35$ font $1$.

b) Commune B : $\dfrac{252}{360}=0{,}7$, et $0{,}7\times 1\,200=840$ automobilistes. Les autres modes : transports en commun $\dfrac{36}{360}=0{,}1$, soit $120$ actifs, vélo ou marche $\dfrac{72}{360}=0{,}2$, soit $240$ actifs. Total $840+120+240=1\,200$ : le compte est juste. Calculer les trois effectifs et vérifier leur somme prend dix secondes et évite de recopier un angle de travers.

c) Le secteur voiture de B est bien $\dfrac{252}{90}=2{,}8$ fois plus ouvert que celui de A. Mais il y a MOINS d'automobilistes dans B, $840$ contre $900$. Il n'y a aucune contradiction : chaque disque représente SA commune, et deux disques de même taille pour $1\,200$ et pour $3\,600$ actifs effacent la différence d'effectif. Deux diagrammes circulaires comparent des PROFILS, c'est-à-dire des répartitions en fréquences : on peut dire que la voiture est proportionnellement beaucoup plus utilisée dans B, $70\ \%$ des actifs contre $25\ \%$, mais pas qu'elle y a plus d'utilisateurs. Pour comparer des effectifs, il faut revenir aux nombres, ou dessiner des disques d'aires proportionnelles aux totaux.

d) Les deux communes réunies comptent $3\,600+1\,200=4\,800$ actifs, dont $900+840=1\,740$ automobilistes. Fréquence : $\dfrac{1\,740}{4\,800}=0{,}3625$, et l'angle vaut $0{,}3625\times 360=130{,}5$ degrés. La moyenne des deux angles, $\dfrac{90+252}{2}=171$, reviendrait à donner le même poids aux deux communes, comme si B était aussi peuplée que A. L'angle d'ensemble est la moyenne des angles PONDÉRÉE par les effectifs, $\dfrac{3\,600\times 90+1\,200\times 252}{4\,800}=130{,}5$ : il est plus proche de l'angle de A, la commune la plus peuplée. C'est l'erreur de la moyenne des moyennes, sous sa forme graphique.

a) Les six points descendent de gauche à droite et se répartissent le long d'une bande étroite, presque rectiligne : le lien est décroissant, plus la station est haute, plus elle est froide, et un ajustement par une droite est raisonnable. Décrire un nuage, c'est dire ces deux choses, le SENS du lien et sa FORME, avant tout calcul : c'est la forme qui autorise, ou non, un ajustement affine. Un nuage courbé ou sans direction nette n'en justifierait pas.

b) Le point moyen $G$ a pour abscisse la moyenne des $x$ et pour ordonnée la moyenne des $y$ : $\bar{x}=\dfrac{300+500+900+1\,300+1\,600+2\,000}{6}=\dfrac{6\,600}{6}=1\,100$ et $\bar{y}=\dfrac{12+10{,}5+8+6+3{,}5+2}{6}=\dfrac{42}{6}=7$. Donc $G(1\,100\,;7)$. Ce point n'est AUCUN des six points du nuage : aucune station n'est à $1\,100$ m. C'est un point de résumé, le centre de gravité du nuage, et c'est pour cela qu'une bonne droite d'ajustement passe par lui. Ce n'est pas non plus le milieu du premier et du dernier point, qui serait $(1\,150\,;7)$ : la moyenne utilise TOUTES les valeurs, pas seulement les extrêmes.

c) Une droite de coefficient directeur $-0{,}006$ a une équation $y=-0{,}006x+b$. Elle passe par $G$, donc $7=-0{,}006\times 1\,100+b$, soit $7=-6{,}6+b$ et $b=13{,}6$. Équation : $y=-0{,}006x+13{,}6$. Le coefficient directeur se lit en degrés par mètre : quand l'altitude augmente de $1$ m, la température baisse de $0{,}006$ °C, donc de $100\times 0{,}006=0{,}6$ °C par centaine de mètres. C'est l'ordre de grandeur que retiennent les météorologues pour l'air de montagne. Un ajustement « au jugé » n'est donc pas n'importe quoi : on choisit une droite qui suit la direction du nuage et qui passe par son point moyen.

d) À $1\,500$ m : $y=-0{,}006\times 1\,500+13{,}6=-9+13{,}6=4{,}6$ °C. À $3\,000$ m : $y=-18+13{,}6=-4{,}4$ °C. La première estimation est une INTERPOLATION : $1\,500$ m est à l'intérieur de la plage des altitudes observées, de $300$ à $2\,000$ m, entre deux stations réelles, et la droite y suit de près les données. La seconde est une EXTRAPOLATION : $3\,000$ m est bien au-dessus de la station la plus haute, et rien ne garantit que la décroissance reste la même là-haut, où la neige, le vent et l'exposition changent tout. Elle donne un ordre de grandeur, pas une valeur fiable. Plus on s'éloigne de la plage des données, moins une droite d'ajustement a de titre à répondre.

a) Le nuage compte $8$ points, déjà rangés par abscisses croissantes puisque les années se suivent. Premier groupe : $x_{1}=\dfrac{0+5+10+15}{4}=\dfrac{30}{4}=7{,}5$ et $y_{1}=\dfrac{20+23+27+30}{4}=\dfrac{100}{4}=25$, donc $G_{1}(7{,}5\,;25)$. Second groupe : $x_{2}=\dfrac{20+25+30+35}{4}=\dfrac{110}{4}=27{,}5$ et $y_{2}=\dfrac{32+36+38+42}{4}=\dfrac{148}{4}=37$, donc $G_{2}(27{,}5\,;37)$. Le partage se fait TOUJOURS après avoir rangé les points selon $x$ : couper un tableau présenté dans le désordre donnerait deux points moyens sans signification, qui mélangent le début et la fin de la période.

b) Coefficient directeur : $a=\dfrac{37-25}{27{,}5-7{,}5}=\dfrac{12}{20}=0{,}6$. La droite passe par $G_{1}$ : $25=0{,}6\times 7{,}5+b$, donc $b=25-4{,}5=20{,}5$. Équation : $y=0{,}6x+20{,}5$. Unités : $y$ est en milliers d'habitants et $x$ en années, donc $0{,}6$ millier d'habitants par an, c'est-à-dire $600$ habitants de plus chaque année, en moyenne sur la période. L'ordonnée à l'origine $20{,}5$ est la population que la droite attribue à 1990, $20\,500$ habitants, proche des $20\,000$ recensés : la droite résume le nuage, elle ne passe exactement par aucun de ses points.

c) Point moyen de tout le nuage : $\bar{x}=\dfrac{0+5+10+15+20+25+30+35}{8}=\dfrac{140}{8}=17{,}5$ et $\bar{y}=\dfrac{100+148}{8}=\dfrac{248}{8}=31$, donc $G(17{,}5\,;31)$. Sur la droite : $0{,}6\times 17{,}5+20{,}5=10{,}5+20{,}5=31$, c'est bien $\bar{y}$. Ce n'est pas un hasard : les deux groupes ont le même effectif, donc $G$ est le milieu du segment $[G_{1}G_{2}]$, $\left(\dfrac{7{,}5+27{,}5}{2}\,;\dfrac{25+37}{2}\right)=(17{,}5\,;31)$. Ce contrôle ne coûte rien et attrape la plupart des erreurs de calcul sur $G_{1}$ ou $G_{2}$.

d) 2012 correspond à $x=22$ : $y=0{,}6\times 22+20{,}5=13{,}2+20{,}5=33{,}7$, soit environ $33\,700$ habitants. C'est une interpolation : $22$ est entre $0$ et $35$, dans la plage des recensements. 2040 correspond à $x=50$ : $y=0{,}6\times 50+20{,}5=30+20{,}5=50{,}5$, soit environ $50\,500$ habitants. C'est une extrapolation, quinze ans après le dernier recensement : elle suppose que la commune continuera de gagner $600$ habitants par an, alors qu'une commune finit par manquer de terrains à bâtir, ou qu'un nouveau quartier peut au contraire accélérer les arrivées. On la présente comme un scénario « si la tendance se poursuit », jamais comme une certitude.

a) $\bar{x}=\dfrac{2+4+6+8+10}{5}=\dfrac{30}{5}=6$ et $\bar{y}=\dfrac{86+102+115+128+139}{5}=\dfrac{570}{5}=114$. Donc $G(6\,;114)$. Avec la droite du tableur : $6{,}6\times 6+74{,}4=39{,}6+74{,}4=114$. La droite passe bien par $G$. C'est une propriété de la droite des moindres carrés, qu'on utilise ici comme VÉRIFICATION : si l'on recopie mal un coefficient affiché par le tableur, $G$ n'est plus sur la droite, et l'erreur se voit tout de suite. On n'a pas à savoir comment le tableur trouve la droite, seulement ce qu'elle minimise : la somme des carrés des écarts verticaux.

b) Le coefficient directeur s'exprime en centimètres par année : entre $2$ et $10$ ans, l'enfant grandit en moyenne de $6{,}6$ cm par an. À $7$ ans : $6{,}6\times 7+74{,}4=46{,}2+74{,}4=120{,}6$ cm. C'est une interpolation, entre les mesures de $6$ ans ($115$ cm) et de $8$ ans ($128$ cm), et la valeur trouvée tombe bien entre les deux : l'estimation est crédible. Ce contrôle, « la valeur interpolée est-elle entre ses deux voisines ? », se fait de tête.

c) À la naissance : $y=74{,}4$ cm, alors qu'un nouveau-né mesure environ $50$ cm, soit une erreur de plus de $24$ cm. À $30$ ans : $6{,}6\times 30+74{,}4=198+74{,}4=272{,}4$ cm, plus de $2{,}7$ m ! Les deux extrapolations sont fausses, pour des raisons opposées : avant $2$ ans, l'enfant grandit BEAUCOUP plus vite que $6{,}6$ cm par an, environ $25$ cm pendant la première année ; après la puberté, la croissance s'arrête. La droite résume bien la croissance entre $2$ et $10$ ans parce que, sur cette période, elle est à peu près régulière. Elle ne décrit pas la croissance humaine en général, et aucun calcul exact ne rend juste un modèle utilisé hors de son domaine.

d) La droite n'a été ajustée que sur des mesures faites entre $2$ et $10$ ans : c'est sur l'intervalle $[2\,;10]$ qu'on peut s'en servir, pour interpoler. On peut à la rigueur la prolonger de quelques mois, avec prudence ; au-delà, on extrapole, et la question c) montre ce que cela coûte. Règle à retenir : une droite d'ajustement ne vaut que dans la plage de ses données. Écrire cet intervalle à côté de l'équation fait partie de la réponse, au même titre que les coefficients.

a) Les classes sont définies par les QUARTILES du niveau de vie : par construction, chacune réunit un quart des personnes interrogées, soit $\dfrac{2\,000}{4}=500$ personnes. Regrouper un caractère quantitatif par ses quartiles donne des classes de même EFFECTIF, ce qui n'est pas le cas de classes de même amplitude, par tranches de revenu, qui seraient d'effectifs très inégaux. Personnes parties : classe Q1, $36\ \%$ de $500$, soit $0{,}36\times 500=180$ ; classe Q4, $0{,}78\times 500=390$. De même, $300$ dans Q2 et $330$ dans Q3.

b) Le tableau croisé a deux lignes, parties et non parties, et quatre colonnes de $500$ personnes. Parties : $180$, $300$, $330$, $390$, total $1\,200$. Non parties : $320$, $200$, $170$, $110$, total $800$. Fréquence marginale des départs : $\dfrac{1\,200}{2\,000}=0{,}6$. Moyenne des quatre fréquences : $\dfrac{0{,}36+0{,}6+0{,}66+0{,}78}{4}=\dfrac{2{,}4}{4}=0{,}6$. L'égalité n'est PAS une règle générale : la fréquence d'ensemble est la moyenne des fréquences des classes PONDÉRÉE par leurs effectifs. Ici les quatre classes ont le même effectif, donc tous les poids sont égaux et la moyenne pondérée se confond avec la moyenne simple. Avec des classes d'effectifs différents, comme les deux communes de l'exercice 2, la moyenne simple serait fausse.

c) Première phrase : on compte parmi les $500$ personnes de la classe Q4, dont $390$ sont parties, $\dfrac{390}{500}=0{,}78$ : elle est exacte. Seconde phrase : on compte parmi les $1\,200$ personnes parties, dont $390$ sont de la classe Q4, $\dfrac{390}{1\,200}=0{,}325$ : exacte aussi. Même case, $390$, deux populations, deux nombres différents, et deux phrases vraies. Parmi les vacanciers, la classe Q1 ne pèse que $\dfrac{180}{1\,200}=0{,}15$ : un vacancier appartient plus de deux fois plus souvent au quart le plus aisé qu'au quart le plus modeste. Une phrase chiffrée sans sa population de référence ne peut être ni vérifiée ni comparée.

d) Chaque classe regroupe un quart des personnes, donc chaque secteur mesurerait $\dfrac{360}{4}=90$ degrés : quatre quarts identiques. Ce diagramme décrit la façon dont les classes ont été construites, il ne dit rien des vacances. Pour faire voir le lien, il faut représenter le caractère « départ » À L'INTÉRIEUR de chaque classe : c'est exactement le diagramme en barres de l'énoncé, qui monte de $36\ \%$ à $78\ \%$. On peut aussi tracer, pour chaque classe, une barre de hauteur $100\ \%$ partagée entre partis et non partis. Ce lien est statistique : l'âge, la taille de la famille ou le lieu de résidence jouent aussi, et le diagramme ne les sépare pas.

a) $\bar{x}=\dfrac{5+15+25+35+45+55}{6}=\dfrac{180}{6}=30$ et $\bar{y}=\dfrac{62+67+69+73+79+82}{6}=\dfrac{432}{6}=72$. Donc $G(30\,;72)$. Sur la droite : $0{,}4\times 30+60=12+60=72$ : $G$ est bien sur la droite des moindres carrés. Le nuage monte de gauche à droite de façon presque rectiligne : les deux caractères sont fortement liés, et c'est précisément pour cela qu'il faut se méfier de ce qu'on va en conclure.

b) Le coefficient $0{,}4$ s'exprime en années d'espérance de vie par voiture pour $100$ habitants : d'un pays à l'autre, $10$ voitures de plus pour $100$ habitants vont de pair, EN MOYENNE, avec $10\times 0{,}4=4$ années d'espérance de vie en plus. Pour $40$ voitures pour $100$ habitants, la droite donne $0{,}4\times 40+60=16+60=76$ ans. Le vocabulaire compte : « vont de pair » décrit une comparaison entre pays DIFFÉRENTS, pas ce qui arriverait à UN pays qui changerait son parc automobile.

c) Le raisonnement transforme un lien statistique en effet de cause. Or le nuage compare des pays qui diffèrent par beaucoup d'autres choses que leurs voitures. Le troisième caractère le plus évident est le niveau de richesse : un pays riche a les moyens d'acheter des voitures, ET il a un système de santé, une alimentation, un accès à l'eau potable et des conditions de travail qui allongent la vie. La richesse fait monter les deux caractères à la fois, ce qui crée la corrélation sans qu'une voiture ne soigne personne. L'effet direct de la voiture sur la santé est même plutôt négatif : accidents, pollution de l'air, manque d'exercice. Une corrélation, même forte, ne prouve pas une causalité : pour établir une cause, il faut comparer des situations qui ne diffèrent QUE par le caractère étudié.

d) Pour R, la droite prévoirait $0{,}4\times 60+60=84$ ans, et pour P et Q $76$ et $80$ ans : $8$ ans d'écart entre P et R. Les valeurs observées sont $82$, $82$ et $81$ ans : l'espérance de vie ne monte pas avec le nombre de voitures, elle baisse même légèrement. Parmi des pays de même richesse, le lien disparaît. C'est la signature d'un troisième caractère : quand on le fixe, la corrélation entre les deux autres s'évanouit. La droite du tableur ne mesurait donc pas l'effet des voitures, mais celui de tout ce qui sépare un pays pauvre d'un pays riche. C'est exactement la démarche à suivre devant une corrélation qui surprend : chercher ce qui pourrait faire varier les deux caractères ensemble, puis comparer à ce caractère constant.

a) Faux. Les deux disques ont la même taille mais pas le même total : $3\,600$ actifs pour A, $1\,200$ pour B. Le secteur de B représente $70\ \%$ de $1\,200$, soit $840$ automobilistes ; celui de A, $25\ \%$ de $3\,600$, soit $900$. Énoncé juste : « La voiture est proportionnellement bien plus utilisée dans B, $70\ \%$ des actifs contre $25\ \%$, mais la commune A compte plus d'automobilistes. » Un diagramme circulaire montre une répartition, jamais un effectif : pour comparer des effectifs, on revient aux nombres.

b) Faux. Le point moyen utilise les six altitudes et les six températures, pas seulement les extrêmes : $\bar{x}=\dfrac{6\,600}{6}=1\,100$, alors que le milieu des extrêmes a pour abscisse $\dfrac{300+2\,000}{2}=1\,150$. Les ordonnées coïncident ici, $7$ dans les deux cas, mais c'est une coïncidence de ces données. Énoncé juste : « $G(1\,100\,;7)$ a pour coordonnées la moyenne des $x$ et la moyenne des $y$. » Prendre le milieu des extrêmes, c'est ignorer les quatre stations intermédiaires.

c) Faux. La droite $y=0{,}6x+20{,}5$ donne $20{,}5$ en $x=0$, alors que le premier point est $(0\,;20)$, et $0{,}6\times 35+20{,}5=41{,}5$ en $x=35$, alors que le dernier point est $(35\,;42)$. Elle passe par les points moyens $G_{1}(7{,}5\,;25)$ et $G_{2}(27{,}5\,;37)$, et donc par $G(17{,}5\,;31)$, qui ne sont pas des points du nuage. Énoncé juste : « La droite de Mayer passe par les points moyens des deux groupes. » La droite qui joint les points extrêmes est un autre ajustement, au jugé, qui dépend de deux mesures seulement.

d) Faux. $272{,}4$ cm est ce que donne la droite en $x=30$, mais elle a été ajustée sur des mesures de $2$ à $10$ ans : à $30$ ans, on extrapole vingt ans au-delà des données, sur une période où la croissance s'arrête. Énoncé juste : « La droite $y=6{,}6x+74{,}4$ décrit la croissance de cet enfant entre $2$ et $10$ ans ; elle ne permet pas de prévoir sa taille adulte. » Un résultat absurde, plus de $2{,}7$ m, doit faire douter du modèle, pas seulement du calcul.

e) Faux. Le coefficient $0{,}4$ mesure un lien STATISTIQUE entre pays : ceux qui ont plus de voitures ont, en moyenne, une espérance de vie plus longue. Il ne mesure pas l'effet d'une voiture. Parmi les pays P, Q et R, de même richesse, l'espérance de vie ne monte pas avec le nombre de voitures, $82$, $82$ puis $81$ ans. Énoncé juste : « Le nombre de voitures et l'espérance de vie sont corrélés, très probablement parce que tous deux dépendent de la richesse du pays. » Corrélation n'est pas causalité.

a) $\bar{x}=\dfrac{0+10+20+30+40}{5}=20$ et $\bar{y}=\dfrac{339+354+370+390+414}{5}=\dfrac{1\,867}{5}=373{,}4$. Donc $G(20\,;373{,}4)$. Sur la droite du tableur : $1{,}86\times 20+336{,}2=37{,}2+336{,}2=373{,}4$ : $G$ est bien sur la droite. Le nuage monte régulièrement et paraît presque rectiligne à cette échelle, d'où l'idée d'un ajustement affine.

b) Le coefficient $1{,}86$ se lit en ppm par an : de 1980 à 2020, la concentration a gagné en moyenne $1{,}86$ ppm chaque année. En 2005, $x=25$ : $1{,}86\times 25+336{,}2=46{,}5+336{,}2=382{,}7$ ppm. C'est une interpolation, et pourtant l'écart avec la mesure, environ $380$ ppm, approche $3$ ppm, du même ordre que les écarts de la question c). L'interpolation est plus sûre que l'extrapolation, elle n'est pas exacte pour autant : elle hérite des défauts de la droite.

c) 1980 : $\hat{y}=336{,}2$, écart $339-336{,}2=2{,}8$. 2000 : $\hat{y}=373{,}4$, écart $370-373{,}4=-3{,}4$. 2020 : $\hat{y}=1{,}86\times 40+336{,}2=410{,}6$, écart $414-410{,}6=3{,}4$. Les points des extrémités sont AU-DESSUS de la droite, celui du milieu EN DESSOUS, et les deux autres aussi : $-0{,}8$ en 1990, $-2$ en 2010. Ce motif, positif, négatif, positif, est celui d'un nuage qui se courbe vers le haut. Les hausses par décennie le confirment : $15$, $16$, $20$ puis $24$ ppm. La concentration n'augmente pas de façon affine, elle ACCÉLÈRE, et la droite n'en est qu'un résumé moyen.

d) $x=-230$ : $1{,}86\times(-230)+336{,}2=-427{,}8+336{,}2=-91{,}6$ ppm. Une concentration négative n'a aucun sens. Les bulles d'air piégées dans les glaces de l'Antarctique montrent qu'elle était d'environ $280$ ppm avant l'ère industrielle, presque stable depuis des siècles. La droite a été ajustée sur $40$ ans de mesures et on l'a prolongée sur $230$ ans : c'est une extrapolation lointaine, qui suppose que la concentration a toujours gagné $1{,}86$ ppm par an, ce qui est faux avant le XIXe siècle.

e) Pour 2050, $x=70$ : $1{,}86\times 70+336{,}2=130{,}2+336{,}2=466{,}4$ ppm. D'après c), le nuage se courbe vers le haut et les derniers points sont au-dessus de la droite : si l'accélération se poursuit, la droite SOUS-ESTIME l'avenir, et $466{,}4$ ppm est plutôt une valeur basse. Mais c'est une extrapolation à trente ans : les émissions dépendent aussi des décisions humaines, et aucune droite ajustée sur le passé ne les connaît. Le bon usage d'une telle droite est de dire « si la tendance des quarante dernières années se poursuit », jamais « en 2050 il y aura ».

a) $\bar{x}=\dfrac{15+16+17+18+19}{5}=17$ et $\bar{y}=\dfrac{31+23+18+11+7}{5}=\dfrac{90}{5}=18$. Donc $G(17\,;18)$, et $-6\times 17+120=-102+120=18$ : $G$ est sur la droite. Le coefficient directeur se lit en jours par degré : un été plus chaud de $1$ °C va de pair avec des vendanges $6$ jours plus tôt. Ici le lien a une explication physique connue, la maturation du raisin dépend de la chaleur accumulée, ce qui autorise à parler d'effet, mais c'est la biologie qui le dit, pas la droite.

b) $\Delta$ passe par $(15\,;31)$ et $(19\,;7)$. Coefficient directeur : $\dfrac{7-31}{19-15}=\dfrac{-24}{4}=-6$. Ordonnée à l'origine : $31=-6\times 15+b$, donc $b=31+90=121$, et $\Delta : y=-6x+121$. En $x=17$, elle donne $-102+121=19$, et non $18$ : $\Delta$ ne passe pas par $G$. Elle a la même pente que la droite du tableur mais se trouve décalée d'un jour vers le haut : construite sur deux points seulement, elle reporte leurs particularités sur toute la droite.

c) Droite du tableur : valeurs $30$, $24$, $18$, $12$, $6$ ; écarts $31-30=1$, $23-24=-1$, $0$, $11-12=-1$, $7-6=1$ ; somme des carrés $1+1+0+1+1=4$. Droite $\Delta$ : valeurs $31$, $25$, $19$, $13$, $7$ ; écarts $0$, $-2$, $-1$, $-2$, $0$ ; somme des carrés $0+4+1+4+0=9$. La droite du tableur l'emporte, $4<9$. C'est exactement le sens de « moindres carrés » : parmi toutes les droites possibles, le tableur retient celle dont cette somme est la plus petite. On élève les écarts au carré pour que les positifs et les négatifs ne se compensent pas, et pour pénaliser davantage un grand écart que plusieurs petits.