Exercices corrigés : pourcentages, proportions et évolutions (Seconde)

a) Le diagramme donne $300$ élèves en Seconde, $260$ en Première et $240$ en Terminale. Le total vaut $300+260+240=800$ ✓. Cette vérification n'est pas une formalité : dans tout ce chapitre, la première question à se poser est SUR QUEL TOTAL on divise, et il faut donc l'avoir identifié avant de calculer quoi que ce soit.

b) La proportion d'élèves de Seconde est le quotient de la partie par le total : $\frac{300}{800}=0{,}375$. En pourcentage, on multiplie par $100$ : les élèves de Seconde représentent $37{,}5\ \%$ du lycée. Retenez que le nombre $0{,}375$ et l'écriture $37{,}5\ \%$ désignent exactement la même chose ; c'est la forme décimale qui sert dans les calculs.

c) Les $60\ \%$ sont calculés SUR LES ÉLÈVES DE SECONDE, pas sur le lycée entier. On multiplie donc $300$ par $0{,}60$ : $0{,}60\times 300=180$ élèves. L'erreur classique consiste à appliquer le taux au total du lycée et à écrire $0{,}60\times 800=480$, ce qui donnerait plus d'hispanisants en Seconde qu'il n'y a d'élèves dans le niveau.

d) Ces $180$ élèves rapportés au lycée entier donnent $\frac{180}{800}=0{,}225$, soit $22{,}5\ \%$. On retrouve ce nombre sans repasser par les effectifs, en multipliant les deux proportions : $0{,}375\times 0{,}60=0{,}225$. C'est la règle du pourcentage d'un pourcentage : les proportions se MULTIPLIENT. Elles ne s'additionnent pas ($37{,}5+60=97{,}5$, ce qui donnerait presque tout le lycée) et on n'en fait pas la moyenne.

e) Le lycée compte $0{,}45\times 800=360$ filles. La Terminale en compte $0{,}55\times 240=132$ et la Première $0{,}40\times 260=104$. Comme les trois niveaux forment tout le lycée, la Seconde compte $360-132-104=124$ filles. Le raisonnement fonctionne parce que les trois groupes sont disjoints et recouvrent l'ensemble : c'est la seule situation où l'on a le droit d'additionner puis de soustraire des effectifs.

f) Rapporté au niveau, cela donne $\frac{124}{300}\approx 0{,}4133$, soit environ $41{,}3\ \%$ des élèves de Seconde. Ce nombre est inférieur aux $45\ \%$ du lycée entier, ce qui est cohérent : la Seconde est le niveau le plus nombreux et le moins féminisé, et c'est elle qui tire la moyenne générale vers le bas.

Le fil de l'exercice, et de toute la série, tient dans la question d). Un pourcentage n'a aucun sens tant qu'on n'a pas dit de quoi il est le pourcentage. Les $60\ \%$ portent sur la Seconde, les $22{,}5\ \%$ sur le lycée : ce sont deux nombres différents qui décrivent le MÊME groupe de $180$ élèves. Chaque fois qu'un énoncé enchaîne deux pourcentages, la seule question utile est de savoir si le second est calculé sur le groupe désigné par le premier. Si oui, on multiplie ; sinon, on ne peut rien conclure, et c'est exactement le piège de l'affirmation 5 de l'exercice 8.

a) Prendre $15\ \%$, c'est multiplier par $0{,}15$ : $0{,}15\times 240=36$.

b) Augmenter de $12\ \%$, c'est multiplier par $1+0{,}12=1{,}12$ : le nouveau prix vaut $180\times 1{,}12=201{,}60$ dollars. L'erreur la plus fréquente est de calculer $180\times 0{,}12=21{,}60$ et de s'arrêter là : ce nombre est le MONTANT de la hausse, pas le prix. Il faut alors encore l'ajouter, $180+21{,}60=201{,}60$ ; le coefficient $1{,}12$ fait les deux opérations d'un coup, et c'est pour cela qu'on l'utilise partout ensuite.

c) Le taux d'évolution se calcule toujours sur la valeur de DÉPART : $t=\frac{38{,}25-45}{45}=\frac{-6{,}75}{45}=-0{,}15$, soit une baisse de $15\ \%$. On peut vérifier par le coefficient : $\frac{38{,}25}{45}=0{,}85=1-0{,}15$ ✓.

d) Ici on connaît la partie et la proportion, et on cherche le tout : on DIVISE. L'effectif du collège vaut $\frac{68}{0{,}17}=400$ élèves. Vérification immédiate : $0{,}17\times 400=68$ ✓. Diviser par la proportion est le geste inverse de celui de la question a), et c'est celui qu'on oublie le plus souvent, en multipliant $68$ par $0{,}17$ alors que le résultat, $11{,}56$, est plus petit que la partie elle-même, ce qui est absurde.

e) Le prix affiché est le prix initial multiplié par $0{,}80$. On remonte donc en divisant : $\frac{396}{0{,}80}=495$ dollars. Le piège consiste à réaugmenter de $20\ \%$ en écrivant $396\times 1{,}20=475{,}20$ : ce nombre est faux, parce que les $20\ \%$ de la remise portaient sur $495$ alors que les $20\ \%$ de la hausse porteraient sur $396$. C'est le premier exemple de la question centrale de la série, celle de l'évolution réciproque, traitée à l'exercice 5.

f) $t=\frac{62-50}{50}=\frac{12}{50}=0{,}24$, soit une hausse de $24\ \%$. Coefficient associé : $\frac{62}{50}=1{,}24$ ✓.

Trois gestes, et trois seulement, suffisent pour tout l'exercice. Appliquer un taux, c'est multiplier par le coefficient ; retrouver la valeur de départ, c'est diviser par ce même coefficient ; trouver le taux, c'est diviser la variation par la valeur initiale, ou, ce qui revient au même, calculer le quotient $\frac{V_{f}}{V_{i}}$ et lui retrancher $1$. Prenez l'habitude de passer par le coefficient dès la question b) : c'est lui, et non le taux, qui se manipule dans les exercices suivants.

a) Le coefficient se lit directement comme un quotient : $c=\frac{287{,}5}{250}=1{,}15$. Le taux est $c-1=0{,}15$, soit une hausse de $15\ \%$. Passer par le quotient évite complètement la formule du taux, et c'est la méthode la plus sûre quand les nombres ne sont pas ronds.

b) $c=\frac{68}{80}=0{,}85$, donc $t=0{,}85-1=-0{,}15$ : une baisse de $15\ \%$. Notez que les deux premières lignes ont des taux opposés, $+15\ \%$ et $-15\ \%$, mais que leurs coefficients, $1{,}15$ et $0{,}85$, ne sont pas opposés : ils sont symétriques par rapport à $1$, ce que la droite graduée montre bien mieux qu'une phrase.

c) Troisième ligne : une hausse de $8\ \%$ correspond à $c=1+0{,}08=1{,}08$. Quatrième ligne : $c=0{,}72$ donne $t=0{,}72-1=-0{,}28$, soit une baisse de $28\ \%$. Cinquième ligne : $c=2{,}5$ donne $t=1{,}5$, soit une hausse de $150\ \%$, c'est-à-dire un prix multiplié par $2{,}5$. Un taux supérieur à $100\ \%$ n'a rien d'impossible pour une hausse : il signifie simplement que l'augmentation dépasse la valeur de départ.

d) Le point A est placé à $0{,}75$, ce qui correspond à $t=-0{,}25$, une baisse de $25\ \%$. Le point B est placé à $1{,}20$, soit $t=0{,}20$, une hausse de $20\ \%$. Une lecture attentive de la graduation est nécessaire : l'axe est gradué de $0{,}05$ en $0{,}05$, et A tombe sur la troisième petite graduation après $0{,}6$.

e) Multiplier par un nombre négatif rendrait négative une quantité qui ne peut pas l'être, comme un prix ou un effectif ; et multiplier par $0$ la ferait disparaître entièrement, ce qui correspond à la seule baisse de $100\ \%$. Comme un taux de baisse ne peut pas dépasser $100\ \%$, on a toujours $c>0$. Un coefficient égal à $1$ signifie que la quantité est inchangée : c'est le taux $0\ \%$, et c'est le point autour duquel toute la droite s'organise. L'erreur qui consiste à écrire $-0{,}15$ pour une baisse de $15\ \%$ vient de la confusion entre le TAUX, qui peut être négatif, et le COEFFICIENT, qui ne le peut pas.

f) Dans l'ordre croissant : $0{,}5$ (baisse de $50\ \%$), $0{,}95$ (baisse de $5\ \%$), $1$ (aucune évolution), $1{,}05$ (hausse de $5\ \%$), $1{,}5$ (hausse de $50\ \%$). Ranger les coefficients revient exactement à ranger les taux, ce qui n'a rien d'évident si l'on manipule les taux seuls, où le signe vient brouiller la comparaison.

Ce que la droite graduée apporte et qu'aucune formule ne donne : les coefficients vivent AUTOUR DE 1, et non autour de 0. C'est la raison profonde pour laquelle deux évolutions se composent en se multipliant, comme l'exercice 4 va le montrer, et pour laquelle l'évolution qui annule une autre s'obtient en prenant l'INVERSE de son coefficient, et non son opposé.

a) Après la hausse : $200\times 1{,}20=240$ dollars. Après la baisse, les $20\ \%$ portent sur $240$ et non sur $200$ : $240\times 0{,}80=192$ dollars.

b) Le prix final, $192$ dollars, est INFÉRIEUR au prix initial. Le coefficient global est le produit des coefficients : $1{,}20\times 0{,}80=0{,}96$, ce qui donne $t=-0{,}04$, soit une baisse globale de $4\ \%$. La raison tient en une phrase : la hausse a porté sur $200$ et la baisse sur $240$, donc la baisse a retiré plus que la hausse n'avait ajouté, $48$ dollars contre $40$.

c) $350\times 1{,}20=420$, puis $420\times 0{,}80=336$. Le coefficient global vaut $\frac{336}{350}=0{,}96$ : c'est exactement le même qu'en b). Le taux global ne dépend donc pas du prix de départ, ce qui est logique puisqu'il ne dépend que du produit $1{,}20\times 0{,}80$. C'est la propriété qui permet de raisonner sur les coefficients seuls, sans jamais avoir besoin d'un prix.

d) Le coefficient global vaut $1{,}10\times 1{,}05\times 0{,}92=1{,}0626$. Le taux global est donc $+6{,}26\ \%$. La somme des trois taux donnerait $10+5-8=7\ \%$, ce qui est faux, et l'écart entre $6{,}26$ et $7$ n'est pas une histoire d'arrondi : c'est le produit qui est la bonne opération.

e) Quatre hausses de $3\ \%$ donnent un coefficient global $1{,}03^{4}\approx 1{,}12551$, soit une hausse d'environ $12{,}55\ \%$. Ce n'est pas $4\times 3=12\ \%$ : la différence, un demi-point, vient de ce que chaque hausse porte sur un loyer déjà augmenté. Ce demi-point paraît négligeable sur quatre ans, il ne l'est plus du tout sur vingt.

f) On cherche le plus petit entier $n$ tel que $1{,}03^{n}>1{,}20$. À la calculatrice : $1{,}03^{6}\approx 1{,}1941$, encore insuffisant, et $1{,}03^{7}\approx 1{,}2299$, qui convient. Il faut donc SEPT années. Le calcul additif aurait annoncé sept ans également ($7\times 3=21>20$), mais par un hasard des nombres : dès que les taux grandissent, les deux méthodes divergent nettement.

Le diagramme du corrigé résume la série entière : la troisième barre passe sous le trait pointillé du prix initial, alors que les deux taux annoncés étaient de même valeur absolue. Retenez la règle sous sa forme opératoire : on ne compose jamais des taux, on multiplie des coefficients, puis on revient au taux à la toute fin en retranchant $1$. Cette règle vaut aussi quand les évolutions sont de sens contraire, et c'est précisément ce qui rend l'exercice 5 nécessaire.

a) La hausse a multiplié par $1{,}25$. Pour revenir au point de départ, il faut multiplier par l'INVERSE : $\frac{1}{1{,}25}=0{,}80$, ce qui correspond à une baisse de $20\ \%$. Une hausse de $25\ \%$ s'annule donc par une baisse de $20\ \%$, et non de $25\ \%$.

b) La baisse a multiplié par $0{,}60$. L'évolution réciproque a pour coefficient $\frac{1}{0{,}60}\approx 1{,}6667$, soit une hausse d'environ $66{,}7\ \%$. Ce résultat surprend toujours : il faut une hausse de deux tiers pour compenser une baisse de deux cinquièmes. Vérification : $0{,}60\times 1{,}6667\approx 1{,}0000$ ✓.

c) Le prix soldé est le prix initial multiplié par $0{,}70$, donc le prix initial vaut $\frac{63}{0{,}70}=90$ dollars. Vérification : $90\times 0{,}70=63$ ✓. Ajouter $30\ \%$ à $63$ aurait donné $81{,}90$, un prix trop bas, et l'écart de plus de huit dollars montre que l'erreur n'est pas anodine.

d) Le coefficient global vaut $0{,}70\times 1{,}30=0{,}91$. Le prix final représente donc $91\ \%$ du prix initial : le client perd $9\ \%$ par rapport au départ, ou plutôt, ici, le vendeur vend $9\ \%$ moins cher qu'avant. L'affirmation du vendeur est fausse, et l'ordre des deux évolutions n'y change rien puisque $1{,}30\times 0{,}70$ donne le même produit.

e) On développe avec l'identité remarquable : $(1-t)(1+t)=1-t^{2}$. Comme $0<t<1$, on a $t^{2}>0$, donc $1-t^{2}<1$. Le produit d'une baisse de $t\times 100\ \%$ et d'une hausse du même taux est donc TOUJOURS strictement inférieur à $1$, quelle que soit la valeur du taux : on ne revient jamais au point de départ, et l'on perd exactement $t^{2}$, c'est-à-dire le carré du taux. Pour $t=0{,}30$, cela donne $0{,}30^{2}=0{,}09$, les $9\ \%$ de la question d) ✓.

f) On cherche $t$ tel que $t^{2}=0{,}01$, donc $t=0{,}10$ puisque $t$ est positif : une baisse de $10\ \%$ suivie d'une hausse de $10\ \%$ fait perdre exactement $1\ \%$. On vérifie : $0{,}90\times 1{,}10=0{,}99$ ✓.

La question e) est le cœur de la série, parce qu'elle transforme une observation numérique en démonstration. Elle explique aussi pourquoi la perte reste petite pour de petits taux, $1\ \%$ pour $t=10\ \%$, mais devient énorme pour de grands taux, $25\ \%$ pour $t=50\ \%$ : la perte est le CARRÉ du taux, donc elle grandit beaucoup plus vite que lui. Retenez la règle générale sous sa forme utile : l'évolution réciproque a pour coefficient $\frac{1}{c}$, jamais $2-c$ ni le taux opposé.

a) Le diagramme donne $40\ \%$ en 2023 et $46\ \%$ en 2024. L'écart vaut $46-40=6$, et cet écart s'exprime en POINTS de pourcentage : la part a gagné $6$ points. Un point de pourcentage est une différence entre deux pourcentages, rien de plus.

b) Le taux d'évolution se calcule comme partout ailleurs, en divisant la variation par la valeur de départ : $\frac{46-40}{40}=\frac{6}{40}=0{,}15$, soit une hausse de $15\ \%$. Ici la valeur de départ n'est pas un effectif mais un pourcentage, ce qui ne change rien à la méthode.

c) Aucun des deux ne se trompe : ils ne mesurent pas la même chose. $+6$ points est la DIFFÉRENCE des deux taux ; $+15\ \%$ est l'évolution RELATIVE de ce taux, c'est-à-dire ce que représentent ces $6$ points par rapport aux $40$ de départ. Le second titre est plus spectaculaire sans être plus faux, et c'est précisément pour cela que les deux formulations coexistent dans la presse.

d) Une baisse de $10\ \%$ multiplie le taux par $0{,}90$ : $46\times 0{,}90=41{,}4$. La nouvelle part est donc de $41{,}4\ \%$. L'erreur consiste à retrancher $10$ points et à écrire $36\ \%$ : c'est confondre une baisse de $10\ \%$ avec une baisse de $10$ points, deux énoncés qui donnent ici des résultats séparés de plus de cinq points.

e) En points : $6-8=-2$, le taux a baissé de $2$ points. En pourcentage : $\frac{6-8}{8}=-0{,}25$, soit une baisse de $25\ \%$. Un quart des chômeurs a retrouvé un emploi, ce que la formulation en points ne laisse pas voir : deux points sur un taux de $8\ \%$ ne pèsent pas comme deux points sur un taux de $40\ \%$.

f) Parce que $8-25=-17$ : un taux de $-17\ \%$ n'existe pas. Un pourcentage de population se situe nécessairement entre $0\ \%$ et $100\ \%$, alors qu'une baisse relative de $25\ \%$ s'applique à n'importe quelle valeur de départ. Ce contrôle de plausibilité est le plus rapide qui soit : dès qu'un calcul sur un taux sort de l'intervalle $[0\ ;\ 100]$, la lecture de l'énoncé était fausse.

La règle pratique à retenir : quand la grandeur qui évolue est ELLE-MÊME un pourcentage, il faut annoncer laquelle des deux lectures on emploie. On dit « points » pour une différence, « pour cent » pour un quotient. Dans un énoncé d'examen, la formulation « a augmenté de 6 points » impose une addition, tandis que « a augmenté de 15 % » impose une multiplication par $1{,}15$, et c'est cette lecture, avant tout calcul, qui départage les copies.

a) L'indice d'une année vaut $100\times\frac{\text{loyer de l'année}}{\text{loyer de 2019}}$. On obtient $100\times\frac{700}{700}=100$ pour 2019, puis $100\times\frac{735}{700}=105$, $100\times\frac{763}{700}=109$, $100\times\frac{812}{700}=116$ et $100\times\frac{875}{700}=125$. Les cinq indices tombent juste : $100$, $105$, $109$, $116$, $125$. L'intérêt de l'indice est de rendre l'évolution lisible d'un coup d'oeil, sans avoir à comparer des nombres à trois chiffres.

b) L'indice de 2023 étant $125$, le coefficient global vaut $\frac{125}{100}=1{,}25$ et le loyer a augmenté de $25\ \%$ en quatre ans. C'est la seule lecture directe qu'autorise un indice : $I-100$ donne bien le taux d'évolution EN POURCENTAGE, mais uniquement par rapport à l'ANNÉE DE BASE.

c) L'erreur consiste à soustraire deux indices et à lire le résultat comme un pourcentage. Entre 2021 et 2022, on ne SOUSTRAIT pas, on DIVISE : $\frac{116}{109}\approx 1{,}0642$, soit une hausse d'environ $6{,}4\ \%$. On le vérifie sur les loyers eux-mêmes : $\frac{812}{763}\approx 1{,}0642$ ✓. La différence $116-109=7$ existe bien, mais elle vaut $7$ POINTS D'INDICE, ce qui n'est pas un taux : c'est exactement la confusion de l'exercice 6, transportée sur des indices.

d) L'indice décrit une évolution, pas un montant : n'importe quel loyer suivant la même évolution est multiplié par $1{,}25$. Le loyer de 2023 vaut donc $950\times 1{,}25=1187{,}50$ dollars.

e) Le loyer de 2024 vaut $875\times 1{,}04=910$ dollars, donc son indice vaut $100\times\frac{910}{700}=130$. On pouvait aussi travailler directement sur les indices : $125\times 1{,}04=130$, puisque multiplier le loyer par $1{,}04$ multiplie l'indice par le même coefficient.

f) Cela signifie que le loyer de 2024 vaut $1{,}30$ fois celui de 2019, c'est-à-dire qu'il a augmenté de $30\ \%$ depuis l'année de base. Cela ne dit rien, en revanche, de l'évolution depuis 2023, qui n'était que de $4\ \%$ : un indice se lit toujours par rapport à sa base, et changer d'année de base change tous les indices sans rien changer aux loyers.

La courbe du corrigé montre ce que le tableau de nombres cache : la pente s'accentue nettement à partir de 2021, alors que les hausses annuelles successives, $5\ \%$ puis $3{,}8\ \%$ puis $6{,}4\ \%$ puis $7{,}8\ \%$, ne sont pas si différentes les unes des autres. Deux réflexes à conserver pour l'examen : on divise des indices pour obtenir un coefficient, on ne les soustrait jamais ; et un indice ne se compare qu'à un autre indice de MÊME BASE.

a) FAUX. Le coefficient global vaut $1{,}50\times 0{,}50=0{,}75$ : le prix final ne représente que $75\ \%$ du prix initial, soit une baisse de $25\ \%$. Énoncé correct : une hausse de $50\ \%$ suivie d'une baisse de $50\ \%$ fait perdre $25\ \%$. On peut le retrouver par la formule de l'exercice 5 : la perte vaut $t^{2}=0{,}5^{2}=0{,}25$.

b) FAUX. Le coefficient global vaut $1{,}10^{2}=1{,}21$, soit une hausse de $21\ \%$ et non de $20\ \%$. Énoncé correct : deux hausses successives de $10\ \%$ donnent une hausse de $21\ \%$. Le point supplémentaire correspond aux $10\ \%$ de la première hausse, c'est-à-dire à la hausse appliquée à la hausse.

c) FAUX. La part a augmenté de $10$ POINTS, mais son taux d'évolution vaut $\frac{30-20}{20}=0{,}50$, soit $+50\ \%$. Énoncé correct : le taux de réussite gagne $10$ points, ce qui représente une hausse de la moitié de sa valeur initiale.

d) FAUX. Un coefficient multiplicateur ne peut jamais être négatif, sans quoi il rendrait négatif un prix. Une baisse de $20\ \%$ correspond au coefficient $1-0{,}20=0{,}80$. Énoncé correct : le TAUX vaut $-0{,}20$, le COEFFICIENT vaut $0{,}80$. C'est la confusion entre ces deux nombres qui produit le plus d'erreurs de signe dans le chapitre.

e) FAUX, et l'erreur est plus subtile que les précédentes. Multiplier deux proportions n'est licite que si la seconde est calculée SUR le groupe défini par la première. Ici les $30\ \%$ portent sur tout le lycée, et non sur les filles : rien ne dit que les germanistes se répartissent comme la population générale, et il se pourrait très bien qu'ils soient tous des garçons. Énoncé correct : si $30\ \%$ DES FILLES étudiaient l'allemand, alors les filles germanistes représenteraient $0{,}60\times 0{,}30=0{,}18$, soit $18\ \%$ du lycée. Avec l'énoncé donné, on ne peut rien conclure.

Ces cinq affirmations couvrent les cinq erreurs qui reviennent dans toutes les copies : composer des taux par addition (a et b), confondre points et pourcentages (c), confondre taux et coefficient (d), et multiplier des proportions qui ne portent pas sur le même ensemble (e). Une seule question les désamorce toutes : de quelle quantité ce pourcentage est-il le pourcentage ?

a) Le rabais de $15\ \%$ multiplie par $0{,}85$ : $1200\times 0{,}85=1020$ dollars.

b) Les deux taxes se calculent sur le prix après rabais, soit sur $1020$ dollars. TPS : $1020\times 0{,}05=51$ dollars. TVQ : $1020\times 0{,}09975=101{,}745$, soit $101{,}75$ dollars au cent près. Total à payer : $1020+51+101{,}745=1172{,}745$, soit environ $1172{,}75$ dollars. On peut aller plus vite avec un seul coefficient : $1020\times 1{,}14975=1172{,}745$ ✓.

c) Avec les taxes d'abord : $1200\times 1{,}14975=1379{,}70$ dollars, puis le rabais : $1379{,}70\times 0{,}85=1172{,}745$ dollars. Le client paie exactement la même chose. La raison est que le total s'écrit dans les deux cas $1200\times 0{,}85\times 1{,}14975$, et que la multiplication est commutative : l'ORDRE de deux évolutions successives ne change jamais le résultat final.

d) Les deux taxes portent sur la MÊME base, le prix après rabais : on calcule $1020\times 0{,}05$ et $1020\times 0{,}09975$, puis on additionne les deux montants, ce qui revient à multiplier $1020$ par $1+0{,}05+0{,}09975=1{,}14975$. Deux rabais successifs, eux, ne portent pas sur la même base : le second s'applique à un prix DÉJÀ réduit. Leur coefficient global vaut $0{,}95\times 0{,}90025\approx 0{,}8552$, soit un rabais d'environ $14{,}48\ \%$ seulement, et non $14{,}975\ \%$. La règle générale, valable dans toute la série, tient donc en une phrase : on additionne des pourcentages qui portent sur la même quantité, on multiplie des coefficients qui s'appliquent l'un après l'autre.

e) Non. Le coefficient global vaut $0{,}75\times 0{,}90=0{,}675$, ce qui correspond à un rabais de $32{,}5\ \%$ et non de $35\ \%$. Sur un article à $400$ dollars, l'écart est de dix dollars, en faveur du magasin.

f) Le coefficient global vaut $0{,}80^{2}=0{,}64$, soit un rabais unique de $36\ \%$. Deux rabais de $20\ \%$ valent donc moins qu'un rabais de $40\ \%$, et la différence, quatre points, est exactement le carré du taux établi à l'exercice 5 : $0{,}20^{2}=0{,}04$.

Cet exercice est le seul de la série où une addition de pourcentages est correcte, et il faut savoir dire pourquoi. Le critère n'est pas la nature des pourcentages, taxes ou rabais, mais la BASE sur laquelle chacun est calculé : deux pourcentages d'une même quantité s'additionnent, deux évolutions qui se suivent se multiplient. Sur un ticket de caisse québécois, les deux taxes sont annoncées séparément précisément parce qu'elles portent sur la même somme, et c'est ce qui rend la majoration de $14{,}975\ \%$ légitime.

a) Le diagramme donne $120$ inscrits en 2022 et $175$ en 2024. Le coefficient global vaut $\frac{175}{120}\approx 1{,}4583$, donc le taux global est d'environ $+45{,}8\ \%$ sur les deux années.

b) Parce que ce raisonnement DIVISE le taux par deux, comme si les deux hausses annuelles s'additionnaient. Deux hausses de $22{,}9\ \%$ donnent en réalité un coefficient de $1{,}229^{2}\approx 1{,}5104$, soit $+51{,}0\ \%$ : c'est nettement plus que les $45{,}8\ \%$ observés. Le taux moyen cherché est donc forcément INFÉRIEUR à $22{,}9\ \%$.

c) Deux années au même taux multiplient l'effectif par $c$ puis encore par $c$, soit par $c^{2}$. L'équation est donc $c^{2}=\frac{175}{120}=\frac{35}{24}$. Comme un coefficient multiplicateur est strictement positif, la seule solution acceptable est $c=\sqrt{\frac{35}{24}}\approx 1{,}2076$, ce qui donne un taux moyen annuel d'environ $+20{,}8\ \%$. La racine carrée apparaît ici pour une raison précise : elle est l'opération qui défait un carré, et le carré vient de la RÉPÉTITION de l'évolution.

d) $120\times 1{,}2076\approx 144{,}9$, puis $144{,}9\times 1{,}2076\approx 175{,}0$ ✓. Le modèle prévoit donc environ $145$ inscrits en 2023. C'est une reconstitution, pas une mesure : le club a très bien pu compter $130$ inscrits cette année-là puis progresser plus vite ensuite, et le taux moyen ne prétend rien dire de plus que « en moyenne, comme si la croissance avait été régulière ».

e) $175\times 1{,}2076\approx 211{,}3$ : on peut prévoir environ $211$ inscrits en 2025.

f) On poursuit : $211{,}3\times 1{,}2076\approx 255{,}2$, ce qui dépasse $250$. Le local sera donc saturé en 2026. On peut le contrôler autrement, en partant de 2022 : l'effectif de 2026 vaut $120\times c^{4}=120\times\frac{35}{24}\times\frac{35}{24}\approx 255{,}2$, puisque quatre années au taux moyen équivalent à deux fois l'évolution globale des deux ans ✓.

Le diagramme du corrigé montre ce qui distingue une croissance de ce type d'une croissance régulière : les écarts entre deux barres consécutives, $25$, $30$ puis $36$ inscrits, grandissent d'année en année, alors que le coefficient, lui, reste le même. C'est cette propriété, un rapport constant et non une différence constante, qui définira les suites géométriques en Première et les fonctions exponentielles en Terminale. Ce problème est donc la première rencontre avec un objet que vous retrouverez pendant trois ans, et le taux moyen annuel en est la première question naturelle.

a) On lit le total de la colonne Bus : $210$ élèves sur $400$. Proportion : $\frac{210}{400}=0{,}525$, soit $52{,}5\ \%$.

b) Cette fois la population de référence est celle des lycéens, $150$ élèves : $\frac{90}{150}=0{,}60$, soit $60\ \%$. Même case du tableau qu'à la question c), mais pas le même dénominateur.

c) La population de référence est celle des usagers du bus, $210$ élèves : $\frac{90}{210}\approx 0{,}4286$, soit environ $42{,}9\ \%$. Le numérateur $90$ est le même qu'en b), c'est le TOTAL qui a changé.

d) $\frac{80}{400}=0{,}20$, soit $20\ \%$. Par produit : les collégiens représentent $\frac{250}{400}=0{,}625$ des élèves, et parmi eux $\frac{80}{250}=0{,}32$ viennent à pied ; $0{,}625\times 0{,}32=0{,}20$ ✓. Le produit est licite parce que la seconde proportion est calculée SUR les collégiens.

e) C'est faux : $60\ \%$ se calcule sur les lycéens, $42{,}9\ \%$ sur les usagers du bus. Les deux pourcentages décrivent les mêmes $90$ élèves rapportés à deux groupes différents. Inverser le groupe de référence est l'erreur la plus fréquente sur un tableau croisé, et elle se retrouvera au cœur des probabilités conditionnelles.

Le fil : dans un tableau croisé, une même case donne trois pourcentages différents selon qu'on divise par le total général, par le total de sa ligne ou par le total de sa colonne. On nomme la population de référence AVANT de diviser.

a) Classe A : $0{,}40\times 25=10$ élèves. Classe B : $0{,}60\times 35=21$ élèves.

b) On revient aux EFFECTIFS : $10+21=31$ élèves sur $25+35=60$. Pourcentage global : $\frac{31}{60}\approx 0{,}5167$, soit environ $51{,}67\ \%$.

c) La moyenne simple $\frac{40+60}{2}$ donne le même poids aux deux classes, alors que la classe B est plus nombreuse. Le bon calcul est une moyenne PONDÉRÉE par les effectifs : $\frac{25\times 40+35\times 60}{60}=\frac{1\,000+2\,100}{60}\approx 51{,}67$. Le résultat penche vers $60$, le taux de la classe la plus grande.

d) Avec deux classes de $25$ : $10+15=25$ élèves sur $50$, soit exactement $50\ \%$. La moyenne simple des pourcentages n'est juste que lorsque les deux groupes ont le MÊME effectif.

e) Si la classe B compte $n$ élèves, $0{,}6n$ ont la moyenne, et l'on veut $\frac{10+0{,}6n}{25+n}=0{,}55$. Donc $10+0{,}6n=13{,}75+0{,}55n$, soit $0{,}05n=3{,}75$ et $n=75$. Contrôle : $\frac{10+45}{100}=0{,}55$ ✓. Pour rapprocher le taux global de $60\ \%$, il faut que la classe B pèse beaucoup plus lourd que la classe A.

Retenir la règle : on n'additionne jamais des pourcentages, et on ne les moyenne pas non plus. On repasse par les effectifs, on additionne, puis on divise par le total.

a) TTC : $85\times 1{,}20=102$ euros. TVA : $102-85=17$ euros, soit bien $20\ \%$ de $85$.

b) Le prix TTC est le prix HT multiplié par $1{,}20$ : on remonte en DIVISANT. HT : $\frac{150}{1{,}20}=125$ euros. TVA : $150-125=25$ euros. Contrôle : $125\times 1{,}20=150$ ✓.

c) Il calcule $150\times 0{,}80=120$ euros, un prix HT trop bas de $5$ euros. Les $20\ \%$ de TVA portent sur le prix HT, pas sur le prix TTC : ils ne se retirent pas du TTC. La TVA représente $\frac{25}{150}=\frac{1}{6}\approx 16{,}67\ \%$ du prix TTC. C'est l'évolution réciproque : le coefficient inverse de $1{,}20$ est $\frac{1}{1{,}2}\approx 0{,}8333$, une baisse de $16{,}67\ \%$ et non de $20\ \%$.

d) HT : $\frac{21{,}10}{1{,}055}=20$ euros. Contrôle : $20\times 1{,}055=21{,}10$ ✓.

e) Avant : $200\times 1{,}196=239{,}20$ euros. Après : $200\times 1{,}20=240$ euros. Taux d'évolution du prix TTC : $\frac{240}{239{,}20}-1=\frac{1{,}20}{1{,}196}-1\approx 0{,}0033$, soit $+0{,}33\ \%$. Le TAUX de TVA a gagné $0{,}4$ POINT, mais le prix n'a augmenté que de $0{,}33\ \%$ : on retrouve la distinction entre points et pourcentage.

Le point à retenir : TTC et HT sont reliés par un coefficient, et l'on passe de l'un à l'autre en multipliant ou en divisant par ce coefficient, jamais en ajoutant ou en retirant le même pourcentage.