Exercice 0.1 : Résoudre une inéquation : dix calculs directs

Résolvez chaque inéquation dans $\mathbb{R}$ et donnez l'ensemble des solutions sous forme d'intervalle.

Un seul geste à surveiller : ajouter ou retrancher ne change jamais le sens ; multiplier ou diviser par un nombre positif le conserve ; multiplier ou diviser par un nombre négatif le renverse.

a) $4x-7<9$
b) $-3x\ge 12$
c) $5-2x<11$
d) $-5x+2>0$
e) $3-x\ge -2x+8$
f) $2(x-1)<5x+4$
g) $3(2-x)\ge x-10$
h) $\frac{x}{2}-1>\frac{x}{3}$
i) $\frac{x+1}{4}\le\frac{2-x}{2}$
j) $-1<2x+3\le 7$

Tape tes réponses, la page te dit juste ou faux 0/10

a)

Ensemble des solutions ;

b)

Ensemble des solutions ;

c)

Ensemble des solutions ;

d)

Ensemble des solutions ;

e)

Ensemble des solutions ;

f)

Ensemble des solutions ;

g)

Ensemble des solutions ;

h)

Ensemble des solutions ;

i)

Ensemble des solutions ;

j)

Ensemble des solutions ;

Voir la correction

Réponses

a) $]-\infty\,;4[$
b) $]-\infty\,;-4]$
c) $]-3\,;+\infty[$
d) $\left]-\infty\,;\frac{2}{5}\right[$
e) $[5\,;+\infty[$
f) $]-2\,;+\infty[$
g) $]-\infty\,;4]$
h) $]6\,;+\infty[$
i) $]-\infty\,;1]$
j) $]-2\,;2]$

Le geste qui décide de tout : à chaque ligne, dire ce que l'opération fait au sens. Le signe qui compte est celui du nombre par lequel on divise, jamais celui du résultat.

a)

$4x<16$ , puis on divise par $4$ , positif : $x<4$ .

\displaystyle ]-\infty\,;4[

b)

On divise par $-3$ , négatif, donc le sens se renverse : $x\le -4$ .

\displaystyle ]-\infty\,;-4]

Piège : écrire $x\ge -4$ en gardant le sens.

c)

$-2x<6$ , puis on divise par $-2$ , négatif : $x>-3$ .

\displaystyle ]-3\,;+\infty[

d)

$-5x>-2$ , puis on divise par $-5$ , négatif : $x<\frac{2}{5}$ .

\displaystyle \left]-\infty\,;\frac{2}{5}\right[

Piège : garder le sens parce que $\frac{-2}{-5}$ est positif. C'est le signe du diviseur $-5$ qui renverse.

e)

On regroupe les $x$ à gauche : $-x+2x\ge 8-3$ , soit $x\ge 5$ . Aucune division par un nombre négatif ici.

\displaystyle [5\,;+\infty[

f)

$2x-2<5x+4$ , donc $-3x<6$ , puis on divise par $-3$ : $x>-2$ .

\displaystyle ]-2\,;+\infty[

g)

$6-3x\ge x-10$ , donc $-4x\ge -16$ , puis on divise par $-4$ : $x\le 4$ .

\displaystyle ]-\infty\,;4]

h)

On multiplie les trois termes par $6$ , positif : $3x-6>2x$ , donc $x>6$ .

\displaystyle ]6\,;+\infty[

Piège : oublier de multiplier le $-1$ ; on trouverait $x>1$ .

i)

On multiplie par $4$ , positif : $x+1\le 2(2-x)$ , soit $x+1\le 4-2x$ , donc $3x\le 3$ et $x\le 1$ .

\displaystyle ]-\infty\,;1]

j)

On retranche $3$ aux TROIS membres : $-4<2x\le 4$ , puis on divise les trois par $2$ : $-2<x\le 2$ .

\displaystyle ]-2\,;2]

Contrôle : une valeur dedans, une valeur dehors, dans l'inéquation de départ. En d), $x=0$ donne $2>0$ ✓ et $x=1$ donne $-3>0$ , faux ✓.

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Exercice 1 : Inéquations du premier degré

Résolvez dans $\mathbb{R}$ et donnez chaque ensemble de solutions sous forme d'intervalle. Une seule règle fait toute la difficulté de cet exercice : ajouter conserve le sens, multiplier ou diviser par un nombre POSITIF aussi, mais multiplier ou diviser par un nombre NÉGATIF le renverse.

La figure montre ce que la multiplication par $-2$ fait à deux nombres : les deux flèches se croisent, et c'est exactement ce que veut dire « renverser ».

a) $3-7x\ge 5+x$
b) $5(2x-3)-4(3x+2)<2-x$
c) $\frac{x-5}{3}+\frac{x+4}{2}\le x-8$
d) $\frac{3x-2}{4}-\frac{x+6}{8}+1\le\frac{x-4}{2}$
e) $(3x-2)(4-x)-20\ge (2-3x)(x+1)$
f) $\frac{2-5x}{6}-\frac{3x+4}{4}\ge\frac{1-x}{12}$

Voir la correction

Réponses

a) $\left]-\infty\,;-\frac{1}{4}\right]$
b) $]-25\,;+\infty[$
c) $[50\,;+\infty[$
d) $]-\infty\,;-14]$
e) $15x\ge 30$ , donc $[2\,;+\infty[$
f) $\left]-\infty\,;-\frac{1}{2}\right]$

a)

On rassemble les $x$ d'un côté et les nombres de l'autre : $-7x-x\ge 5-3$ , soit $-8x\ge 2$ . On divise par $-8$ , qui est NÉGATIF, donc l'inégalité se renverse : $x\le\frac{2}{-8}=-\frac{1}{4}$ . L'ensemble des solutions est $\left]-\infty\ ;-\frac{1}{4}\right]$ , crochet fermé sur $-\frac{1}{4}$ puisque l'inégalité est large. Vérification : $x=-1$ donne $3+7=10\ge 4$ ✓, et $x=0$ donne $3\ge 5$ , faux ✓. Garder le sens à cette étape donnerait $x\ge -\frac{1}{4}$ , la demi-droite de l'autre côté de la borne : seule la borne resterait juste.

b)

On développe d'abord, en faisant attention au signe moins devant la seconde parenthèse, qui change les DEUX termes : $10x-15-12x-8<2-x$ , soit $-2x-23<2-x$ . On regroupe : $-2x+x<2+23$ , donc $-x<25$ . On divise par $-1$ , négatif, donc le sens se renverse : $x>-25$ . L'ensemble des solutions est $]-25\ ;+\infty[$ , crochet ouvert car l'inégalité est stricte. Vérification : $x=0$ donne $-23<2$ ✓, et $x=-30$ donne $-2\times(-30)-23=37$ à gauche et $2-(-30)=32$ à droite, et $37<32$ est faux ✓.

c)

On multiplie les deux membres par $6$ , dénominateur commun et nombre POSITIF, donc le sens est conservé. Le membre de droite doit être multiplié lui aussi, en entier : $2(x-5)+3(x+4)\le 6(x-8)$ . On développe : $2x-10+3x+12\le 6x-48$ , soit $5x+2\le 6x-48$ . On regroupe : $2+48\le 6x-5x$ , donc $50\le x$ , c'est-à-dire $x\ge 50$ . L'ensemble des solutions est $[50\ ;+\infty[$ . Vérification à la borne : $x=50$ donne $\frac{45}{3}+\frac{54}{2}=15+27=42$ et $50-8=42$ , les deux membres sont égaux ✓, ce qui confirme au passage le crochet fermé.

d)

Les dénominateurs sont $4$ , $8$ et $2$ : leur plus petit commun multiple est $8$ . On multiplie tout par $8$ , y compris le $+1$ et le membre de droite : $2(3x-2)-(x+6)+8\le 4(x-4)$ . Le signe moins devant la fraction devient un signe moins devant une parenthèse, et c'est là que se perdent les points : $6x-4-x-6+8\le 4x-16$ , soit $5x-2\le 4x-16$ . On regroupe : $x\le -14$ , donc l'ensemble des solutions est $]-\infty\ ;-14]$ . Vérification : $x=-14$ donne $\frac{-44}{4}-\frac{-8}{8}+1=-11+1+1=-9$ et $\frac{-18}{2}=-9$ ✓.

e)

L'énoncé n'est pas du premier degré tel qu'il est écrit, il le DEVIENT après développement. À gauche : $(3x-2)(4-x)=12x-3x^{2}-8+2x=-3x^{2}+14x-8$ , donc le membre de gauche vaut $-3x^{2}+14x-28$ . À droite : $(2-3x)(x+1)=2x+2-3x^{2}-3x=-3x^{2}-x+2$ . Les termes en $x^{2}$ sont identiques des deux côtés, donc ils se simplifient : $14x-28\ge -x+2$ , soit $15x\ge 30$ et $x\ge 2$ . L'ensemble des solutions est $[2\ ;+\infty[$ . La leçon est de développer AVANT de décider du degré : ici la simplification est la clé, et vouloir résoudre une inéquation du second degré serait une perte de temps.

f)

Les dénominateurs sont $6$ , $4$ et $12$ , dont le plus petit commun multiple est $12$ . On multiplie par $12$ , positif : $2(2-5x)-3(3x+4)\ge 1-x$ . On développe : $4-10x-9x-12\ge 1-x$ , soit $-19x-8\ge 1-x$ . On regroupe les $x$ à gauche : $-19x+x\ge 1+8$ , donc $-18x\ge 9$ . On divise par $-18$ , négatif, donc le sens se renverse une dernière fois : $x\le\frac{9}{-18}=-\frac{1}{2}$ . L'ensemble des solutions est $\left]-\infty\ ;-\frac{1}{2}\right]$ . Vérification : $x=-\frac{1}{2}$ donne $\frac{4{,}5}{6}-\frac{2{,}5}{4}=0{,}75-0{,}625=0{,}125$ et $\frac{1{,}5}{12}=0{,}125$ ✓.

Exercice 2 : Inéquations du premier degré : les pièges du signe

Même consigne qu'à l'exercice 1, mais chaque inéquation cache cette fois un piège précis : un signe moins devant une parenthèse, un dénominateur à ne pas oublier de faire disparaître partout, une division par un nombre négatif, ou des carrés qui se simplifient d'eux-mêmes.

Donnez chaque ensemble de solutions sous forme d'intervalle.

a) $-4(x-3)\ge 2(1-3x)+5$
b) $\frac{5-2x}{3}>\frac{x+1}{2}$
c) $7-\frac{x}{2}\le\frac{x-4}{3}$
d) $\frac{2x+1}{5}-\frac{x-3}{2}\le\frac{x}{10}$
e) $\frac{1-x}{2}\ge 3$
f) $(2x+1)^{2}\le (2x-3)^{2}$

Voir la correction

Réponses

a) $\left[-\frac{5}{2}\,;+\infty\right[$
b) $]-\infty\,;1[$
c) $[10\,;+\infty[$
d) $[8{,}5\,;+\infty[$
e) $]-\infty\,;-5]$
f) $16x\le 8$ , donc $\left]-\infty\,;\frac{1}{2}\right]$

a)

Le piège est le signe moins devant la première parenthèse : il multiplie les DEUX termes, donc $-4(x-3)=-4x+12$ et non $-4x-12$ . À droite, $2(1-3x)+5=2-6x+5=7-6x$ . L'inéquation devient $-4x+12\ge 7-6x$ , soit $-4x+6x\ge 7-12$ , donc $2x\ge -5$ et $x\ge -\frac{5}{2}$ . On divise ici par $2$ , qui est POSITIF : le sens ne change pas. L'ensemble des solutions est $\left[-\frac{5}{2}\ ;+\infty\right[$ . Vérification à la borne : $x=-2{,}5$ donne $-4\times(-5{,}5)=22$ à gauche et $2\times 8{,}5+5=22$ à droite, les deux membres sont égaux ✓.

b)

On multiplie par $6$ , plus petit commun multiple de $3$ et $2$ , et nombre positif : $2(5-2x)>3(x+1)$ . On développe : $10-4x>3x+3$ , soit $10-3>3x+4x$ , donc $7>7x$ et $x<1$ . L'ensemble des solutions est $]-\infty\ ;1[$ , crochet ouvert car l'inégalité est stricte. Vérification : $x=0$ donne $\frac{5}{3}\approx 1{,}67>\frac{1}{2}$ ✓, et $x=1$ donne $1>1$ , faux, donc $1$ est bien exclu ✓. Le piège ici est de croiser les produits en oubliant que $\frac{5-2x}{3}$ a un numérateur entier qu'il faut garder groupé.

c)

Le membre de gauche contient un terme SANS dénominateur : le $7$ doit être multiplié lui aussi. On multiplie tout par $6$ : $42-3x\le 2(x-4)$ , soit $42-3x\le 2x-8$ . On regroupe : $42+8\le 2x+3x$ , donc $50\le 5x$ et $x\ge 10$ . L'ensemble des solutions est $[10\ ;+\infty[$ . Vérification à la borne : $x=10$ donne $7-5=2$ à gauche et $\frac{6}{3}=2$ à droite ✓. Oublier de multiplier le $7$ donne $7-3x\le 2x-8$ , soit $x\ge 3$ , une réponse fausse dont rien dans la forme ne trahit l'erreur.

d)

Les dénominateurs sont $5$ , $2$ et $10$ : on multiplie tout par $10$ . À gauche, $\frac{2x+1}{5}$ devient $2(2x+1)=4x+2$ et $\frac{x-3}{2}$ devient $5(x-3)=5x-15$ , précédé du signe moins, donc $-5x+15$ . L'inéquation s'écrit $4x+2-5x+15\le x$ , soit $-x+17\le x$ , puis $17\le 2x$ et $x\ge\frac{17}{2}=8{,}5$ . L'ensemble des solutions est $[8{,}5\ ;+\infty[$ . Vérification : $x=8{,}5$ donne $\frac{18}{5}-\frac{5{,}5}{2}=3{,}6-2{,}75=0{,}85$ à gauche et $\frac{8{,}5}{10}=0{,}85$ à droite ✓. Le piège est le même qu'en a), mais déguisé en fraction : le moins porte sur le numérateur entier.

e)

On multiplie les deux membres par $2$ , positif, donc le sens est conservé : $1-x\ge 6$ . On retranche $1$ : $-x\ge 5$ . On multiplie enfin par $-1$ , NÉGATIF, donc le sens se renverse : $x\le -5$ . L'ensemble des solutions est $]-\infty\ ;-5]$ . Vérification : $x=-5$ donne $\frac{6}{2}=3\ge 3$ ✓, et $x=0$ donne $\frac{1}{2}\ge 3$ , faux ✓. L'erreur classique est de conclure $x\ge -5$ en oubliant le renversement de la dernière étape, et l'on obtient alors la demi-droite de l'autre côté de la borne : seul $-5$ resterait juste.

f)

Les deux membres sont des carrés, mais l'inéquation n'est pas du second degré : en développant, $(2x+1)^{2}=4x^{2}+4x+1$ et $(2x-3)^{2}=4x^{2}-12x+9$ . Les termes $4x^{2}$ sont identiques des deux côtés et se simplifient : $4x+1\le -12x+9$ , soit $16x\le 8$ et $x\le\frac{1}{2}$ . L'ensemble des solutions est $\left]-\infty\ ;\frac{1}{2}\right]$ . Vérification à la borne : $x=0{,}5$ donne $(2)^{2}=4$ et $(-2)^{2}=4$ , égalité ✓. Le piège serait de « prendre la racine » des deux membres pour écrire $2x+1\le 2x-3$ : c'est interdit, car $\sqrt{a^{2}}=|a|$ et non $a$ , et cette fausse manœuvre conduirait à $1\le -3$ , donc à aucune solution.

Exercice 3 : Systèmes de deux inéquations

Résoudre un système d'inéquations, c'est chercher les réels qui vérifient les deux conditions EN MÊME TEMPS. On résout donc chaque inéquation séparément, puis on prend l'INTERSECTION des deux ensembles, et non leur réunion.

Donnez chaque réponse sous forme d'intervalle, et aidez-vous d'une droite graduée chaque fois que l'intersection n'est pas évidente.

a) $\begin{cases} 3x-1\le 8 \\ 5-2x<7 \end{cases}$
b) $\begin{cases} 2x+5>1 \\ 4-x\le 1 \end{cases}$
c) $\begin{cases} x-4\ge 2 \\ 3x+1<10 \end{cases}$
d) Combien d'entiers vérifient le système de la question a) ? Donnez le plus petit et le plus grand.
e) $\begin{cases} \frac{x+1}{2}\ge x-2 \\ 3(x-1)>x-7 \end{cases}$
f) Traduisez par un système, puis résolvez : le double d'un nombre augmenté de $3$ vaut au plus $11$ , et son triple diminué de $2$ vaut au moins $4$ .

Tape tes réponses, la page te dit juste ou faux 0/8

a)

Ensemble des solutions ;

b)

Ensemble des solutions ;

c)

Ensemble des solutions

d)

Nombre d'entiers

Le plus petit

Le plus grand

e)

Ensemble des solutions ;

f)

Ensemble des solutions ;

Voir la correction

Réponses

a) $]-1\,;3]$
b) $[3\,;+\infty[$
c) $\varnothing$ : il faudrait $x\ge 6$ et $x<3$
d) Quatre entiers : $0$ , $1$ , $2$ et $3$
e) $]-2\,;5]$
f) $\begin{cases} 2x+3\le 11 \\ 3x-2\ge 4 \end{cases}$ , donc $[2\,;4]$

a)

Première inéquation : $3x\le 9$ , donc $x\le 3$ , soit $]-\infty\ ;3]$ . Deuxième : $-2x<2$ , et l'on divise par $-2$ , négatif, donc le sens se renverse, $x>-1$ , soit $]-1\ ;+\infty[$ . L'intersection des deux demi-droites est l'ensemble des $x$ à la fois plus petits que $3$ et plus grands que $-1$ : $S=]-1\ ;3]$ . Chaque borne garde le crochet de l'inéquation d'où elle vient, ouvert en $-1$ à cause du $<$ , fermé en $3$ à cause du $\le$ . Vérification : $x=0$ vérifie $-1\le 8$ ✓ et $5<7$ ✓, tandis que $x=-1$ donne $7<7$ , faux ✓.

b)

Première : $2x>-4$ , donc $x>-2$ . Deuxième : $-x\le -3$ , et la multiplication par $-1$ renverse le sens, donc $x\ge 3$ . L'intersection de $]-2\ ;+\infty[$ et de $[3\ ;+\infty[$ est la plus RESTRICTIVE des deux, ici $[3\ ;+\infty[$ : tout nombre supérieur ou égal à $3$ est automatiquement supérieur à $-2$ . $S=[3\ ;+\infty[$ . C'est le cas où l'une des deux conditions ne sert à rien, et le reconnaître évite d'écrire une réponse à deux bornes là où il n'y en a qu'une.

c)

Première : $x\ge 6$ . Deuxième : $3x<9$ , donc $x<3$ . Il faudrait un nombre à la fois supérieur ou égal à $6$ et strictement inférieur à $3$ , ce qui est impossible puisque $6>3$ : les deux demi-droites ne se rencontrent pas. $S=\varnothing$ . Aucune des deux inéquations n'est fausse prise isolément, chacune a une infinité de solutions ; c'est leur intersection qui est vide, et c'est une réponse parfaitement valable.

d)

L'ensemble des solutions de a) est $]-1\ ;3]$ . Les entiers qu'il contient sont $0$ , $1$ , $2$ et $3$ : il y en a QUATRE, le plus petit est $0$ et le plus grand est $3$ . Attention aux deux bords : $-1$ est exclu par le crochet ouvert, donc le premier entier est $0$ et non $-1$ ; $3$ est inclus par le crochet fermé, donc il compte. Se tromper d'un cran à chaque bout est l'erreur la plus fréquente de ce genre de question, et il suffit de placer les entiers sur la droite graduée pour la voir.

e)

Première : on multiplie par $2$ , positif, $x+1\ge 2x-4$ , donc $1+4\ge 2x-x$ , soit $5\ge x$ , c'est-à-dire $x\le 5$ . Deuxième : $3x-3>x-7$ , donc $3x-x>-7+3$ , soit $2x>-4$ et $x>-2$ . L'intersection est $S=]-2\ ;5]$ . Vérification aux bornes : $x=5$ donne $\frac{6}{2}=3$ et $5-2=3$ , égalité, donc $5$ est bien inclus ✓ ; $x=-2$ donne $3\times(-3)=-9$ et $-2-7=-9$ , égalité, mais l'inégalité est stricte, donc $-2$ est exclu ✓.

f)

On note $x$ le nombre cherché. « Le double augmenté de $3$ » s'écrit $2x+3$ , et « vaut au plus $11$ » signifie $\le 11$ . « Son triple diminué de $2$ » s'écrit $3x-2$ , et « vaut au moins $4$ » signifie $\ge 4$ . Le système est donc $\begin{cases} 2x+3\le 11 \\ 3x-2\ge 4 \end{cases}$ . La première donne $2x\le 8$ , soit $x\le 4$ ; la seconde donne $3x\ge 6$ , soit $x\ge 2$ . L'intersection est $S=[2\ ;4]$ , un segment. Les deux pièges de vocabulaire sont « au plus », qui donne $\le$ et non $<$ , et « au moins », qui donne $\ge$ : un contrôle en pose presque toujours un des deux.

Exercice 4 : Quand la réponse n'est pas un intervalle ordinaire

Résolvez dans $\mathbb{R}$ . Trois des cinq inéquations de cet exercice n'ont pas un intervalle ordinaire pour ensemble de solutions, et ce n'est pas une erreur d'énoncé : l'ensemble vide et $\mathbb{R}$ tout entier sont des réponses, au même titre qu'un intervalle.

a) $3(x-2)-5\ge 3x+1$
b) $2(x+4)-1<2x+8$
c) $-3\le 5-2x<4$
d) $2\le\frac{5-x}{3}<4$
e) $3\le 2x+1\le 2$
f) Écrivez vous-même une inéquation dont les deux membres sont affines et dont l'ensemble des solutions est $\mathbb{R}$ , puis une autre dont l'ensemble des solutions est vide.

Tape tes réponses, la page te dit juste ou faux 0/5

a)

Ensemble des solutions

b)

Ensemble des solutions

c)

Ensemble des solutions ;

d)

Ensemble des solutions ;

e)

Ensemble des solutions

Voir la correction

Réponses

a) $\varnothing$ : il reste $-11\ge 1$ , faux
b) $\mathbb{R}$ : il reste $7<8$ , vrai
c) $]0{,}5\,;4]$
d) $]-7\,;-1]$
e) $\varnothing$ : l'encadrement est écrit à l'envers, $3>2$
f) Par exemple $4x<4x+1$ pour $\mathbb{R}$ , et $5x+2\le 5x$ pour $\varnothing$

a)

On développe : $3x-6-5\ge 3x+1$ , soit $3x-11\ge 3x+1$ . Les $3x$ disparaissent des deux côtés et il reste $-11\ge 1$ , qui est FAUX quelle que soit la valeur de $x$ . Aucun réel ne convient : l'ensemble des solutions est l'ensemble vide, noté $\varnothing$ . Ce n'est pas un calcul raté, c'est une réponse. Géométriquement, les deux membres sont deux fonctions affines de même coefficient directeur $3$ , donc deux droites parallèles, et celle de gauche est partout $12$ unités en dessous de celle de droite : elle ne la rattrape jamais.

b)

On développe : $2x+8-1<2x+8$ , soit $2x+7<2x+8$ . Les $2x$ disparaissent et il reste $7<8$ , qui est VRAI, et vrai indépendamment de $x$ . Tout réel convient : l'ensemble des solutions est $\mathbb{R}$ , c'est-à-dire $]-\infty\ ;+\infty[$ . Les questions a) et b) forment une paire à retenir ensemble : quand l'inconnue disparaît, il ne reste qu'une affirmation numérique, et c'est elle qui décide, $\varnothing$ si elle est fausse, $\mathbb{R}$ si elle est vraie. Dans les deux cas, écrire « $x$ n'existe pas » serait faux : en b) tous les $x$ existent.

c)

Un encadrement se traite comme deux inéquations menées de front, à condition d'appliquer chaque opération aux TROIS membres. On retranche $5$ partout : $-8\le -2x<-1$ . On divise par $-2$ , nombre négatif : les deux inégalités se renversent, et les deux bornes échangent leurs places. On obtient $4\ge x>\frac{1}{2}$ , qui se réécrit dans l'ordre naturel $\frac{1}{2}<x\le 4$ , soit $]0{,}5\ ;4]$ . Attention au crochet : le $\le$ de gauche du départ est devenu le crochet FERMÉ de droite, et le $<$ de droite le crochet ouvert de gauche. Vérification : $x=4$ donne $-3$ , et $-3\le -3<4$ ✓ ; $x=0{,}5$ donne $4$ , et $4<4$ est faux ✓.

d)

On multiplie les trois membres par $3$ , positif, donc rien ne bouge : $6\le 5-x<12$ . On retranche $5$ partout : $1\le -x<7$ . On multiplie par $-1$ , négatif : les deux inégalités se renversent et les bornes s'échangent, $-1\ge x>-7$ , soit $-7<x\le -1$ . L'ensemble des solutions est $]-7\ ;-1]$ . Vérification aux deux bornes : $x=-1$ donne $\frac{6}{3}=2$ , et $2\le 2<4$ ✓ ; $x=-7$ donne $\frac{12}{3}=4$ , et $4<4$ est faux, donc $-7$ est bien exclu ✓.

e)

Avant tout calcul, on regarde les deux bornes : l'encadrement exige $2x+1\ge 3$ ET $2x+1\le 2$ , c'est-à-dire un nombre à la fois supérieur ou égal à $3$ et inférieur ou égal à $2$ . Comme $3>2$ , c'est impossible : l'ensemble des solutions est $\varnothing$ . Le calcul le confirme, $2\le 2x\le 1$ puis $1\le x\le 0{,}5$ , un encadrement dont la borne de gauche dépasse celle de droite. La leçon vaut pour tout l'exercice : un encadrement écrit à l'envers n'a jamais de solution, et un coup d'œil aux deux bornes le dit plus vite que la résolution.

f)

Il suffit de fabriquer une inéquation où les termes en $x$ se simplifient. Pour $\mathbb{R}$ : partir d'une affirmation vraie comme $0<1$ et ajouter le même terme des deux côtés, par exemple $4x<4x+1$ , qui se réduit à $0<1$ et est donc vérifiée par tout réel. Pour $\varnothing$ : partir d'une affirmation fausse comme $2\le 0$ , ce qui donne par exemple $5x+2\le 5x$ , qui se réduit à $2\le 0$ et n'a aucune solution. La recette est toujours la même, même coefficient devant $x$ dans les deux membres, et c'est le reste qui décide. Toute autre réponse correcte est acceptée, à condition de la vérifier en la réduisant.

Exercice 5 : Encadrer une somme, une différence, un produit, un quotient

On sait seulement que $2\le x\le 5$ et que $1\le y\le 3$ . On demande à chaque fois le MEILLEUR encadrement possible, c'est-à-dire celui dont les deux bornes sont effectivement atteintes.

Une seule opération est autorisée sur deux encadrements : l'addition membre à membre. Tout le reste s'y ramène.

a) Encadrez $x+y$ .
b) Encadrez $-y$ , puis $x-y$ .
c) Encadrez $xy$ .
d) Encadrez $\frac{1}{y}$ , puis $\frac{x}{y}$ .
e) Un élève écrit : « de $2\le x\le 5$ et $1\le y\le 3$ je déduis $2-1\le x-y\le 5-3$ , soit $1\le x-y\le 2$ ». Parmi les couples $(x\,;y)$ égaux à $(2\,;3)$ , $(3\,;1)$ et $(6\,;2)$ , lequel respecte les deux encadrements de départ et contredit sa conclusion ?
f) Encadrez $2x-3y+1$ .

Tape tes réponses, la page te dit juste ou faux 0/10

a)

Borne inférieure

Borne supérieure

b)

-y

: encadrement ;

x-y

: encadrement ;

c)

xy

: encadrement ;

d)

\frac{1}{y}

: borne inférieure

\frac{x}{y}

: borne supérieure

e)

Le couple qui contredit

x-y

pour ce couple

f)

Encadrement ;

Voir la correction

Réponses

a) $3\le x+y\le 8$
b) $-3\le -y\le -1$ , donc $-1\le x-y\le 4$
c) $2\le xy\le 15$
d) $\frac{1}{3}\le\frac{1}{y}\le 1$ , donc $\frac{2}{3}\le\frac{x}{y}\le 5$
e) $(2\,;3)$ : $x-y=-1$ , hors de $[1\,;2]$
f) $-4\le 2x-3y+1\le 8$

a)

Les deux encadrements sont de même sens, on les additionne membre à membre : $2+1\le x+y\le 5+3$ , soit $3\le x+y\le 8$ . Les deux bornes sont atteintes, la première pour $x=2$ et $y=1$ , la seconde pour $x=5$ et $y=3$ : l'encadrement est donc le meilleur possible. C'est la seule des quatre questions qui se traite en une ligne, et c'est pour cela qu'on ramène tout le reste à une addition.

b)

On ne soustrait pas deux encadrements. On encadre d'abord $-y$ : multiplier $1\le y\le 3$ par $-1$ renverse le sens, donc $-3\le -y\le -1$ , et l'on remarque que les deux bornes ont échangé leurs rôles, $-3$ venant de $3$ et $-1$ venant de $1$ . On additionne ensuite avec $2\le x\le 5$ : $2-3\le x-y\le 5-1$ , soit $-1\le x-y\le 4$ . Vérification aux bornes : $x=2$ et $y=3$ donnent $-1$ ✓, $x=5$ et $y=1$ donnent $4$ ✓. Retenir la logique : la plus petite différence, c'est le plus petit $x$ moins le plus GRAND $y$ .

c)

Toutes les bornes sont strictement positives, donc la multiplication membre à membre est licite : $2\times 1\le xy\le 5\times 3$ , soit $2\le xy\le 15$ . La condition de positivité n'est pas décorative : avec $-2\le x\le 5$ et $1\le y\le 3$ , la multiplication membre à membre donnerait $-2\le xy\le 15$ , alors que $x=-2$ et $y=3$ fournissent $xy=-6$ , hors de l'encadrement annoncé. Dès qu'une borne est négative, on revient aux quatre produits des bornes et on garde le plus petit et le plus grand.

d)

La fonction inverse est décroissante sur $]0\ ;+\infty[$ , donc $1\le y\le 3$ donne $\frac{1}{3}\le\frac{1}{y}\le 1$ : les bornes s'échangent, exactement comme au b). On multiplie ensuite par l'encadrement de $x$ , dont toutes les bornes sont positives : $2\times\frac{1}{3}\le\frac{x}{y}\le 5\times 1$ , soit $\frac{2}{3}\le\frac{x}{y}\le 5$ . Vérification : $x=2$ et $y=3$ donnent $\frac{2}{3}\approx 0{,}67$ ✓, $x=5$ et $y=1$ donnent $5$ ✓. Comme pour la différence, la plus petite valeur du quotient s'obtient avec le plus petit numérateur et le plus GRAND dénominateur.

e)

Le couple $(2\,;3)$ convient : il respecte les deux encadrements de départ, et pourtant $x-y=-1$ , qui n'est pas dans $[1\,;2]$ . La conclusion de l'élève est donc fausse. Le couple $(3\,;1)$ donne $x-y=2$ , qui est dans $[1\,;2]$ : il ne contredit rien. Le couple $(6\,;2)$ donne $4$ , mais $x=6$ sort de $2\le x\le 5$ : il ne compte pas. D'autres couples contrediraient aussi sa conclusion, $(5\,;1)$ par exemple : un seul suffit. L'erreur vient de ce qu'il a soustrait les bornes de gauche entre elles et les bornes de droite entre elles, ce qui reviendrait à faire varier $y$ dans le même sens que $x$ , alors que $y$ agit en sens contraire dans une différence. Il n'existe aucune règle de soustraction membre à membre : la seule méthode passe par l'encadrement de $-y$ .

f)

On traite chaque morceau séparément avant d'additionner. De $2\le x\le 5$ on tire $4\le 2x\le 10$ (facteur positif, sens conservé). De $1\le y\le 3$ on tire $-9\le -3y\le -3$ (facteur négatif, sens renversé). En additionnant les deux encadrements, puis en ajoutant $1$ : $4-9+1\le 2x-3y+1\le 10-3+1$ , soit $-4\le 2x-3y+1\le 8$ . Vérification aux bornes : $x=2$ et $y=3$ donnent $4-9+1=-4$ ✓, $x=5$ et $y=1$ donnent $10-3+1=8$ ✓.

Exercice 6 : Comparer deux nombres : la différence ou le quotient

Comparer deux nombres sans calculatrice, c'est choisir entre deux méthodes. Étudier le signe de $A-B$ marche toujours. Comparer $\frac{A}{B}$ à $1$ ne marche que si $A$ et $B$ sont strictement positifs, mais cette méthode est imbattable sur les puissances.

a) Comparez $\frac{1234}{1235}$ et $\frac{1235}{1236}$ par leur différence.
b) Comparez $2^{30}$ et $3^{20}$ par leur quotient.
c) Soient $a$ et $b$ deux réels strictement positifs. Étudiez le signe de $\frac{a}{b}-\frac{a+1}{b+1}$ , et concluez selon la position de $a$ par rapport à $b$ .
d) Un joueur a réussi $7$ paniers sur $10$ tentatives. Il tente un panier de plus et le réussit. Sa réussite s'améliore-t-elle ? Une fraction plus grande que $1$ , comme $\frac{12}{10}$ , augmente-t-elle aussi quand on ajoute $1$ à son numérateur et à son dénominateur ?
e) Démontrez que pour tout réel $x>0$ , $\frac{x+1}{x+2}<\frac{x+2}{x+3}$ .
f) Laquelle des deux méthodes utiliseriez-vous pour comparer $\sqrt{3}-\sqrt{2}$ et $\sqrt{2}-1$ ? Justifiez sans faire le calcul.

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a)

Numérateur de la différence

\frac{1234}{1235}

et

\frac{1235}{1236}

b)

\frac{3^{20}}{2^{30}}

sous la forme

q^{10}

:

q

2^{30}

et

3^{20}

c)

Numérateur de la différence réduite

Si

a<b

, alors

\frac{a}{b}

et

\frac{a+1}{b+1}

d)

La réussite s'améliore

Nouvelle réussite

e)

Numérateur de la différence

f)

Méthode à choisir

Voir la correction

Réponses

a) Différence $=\frac{-1}{1235\times 1236}<0$ , donc $\frac{1234}{1235}<\frac{1235}{1236}$
b) $\frac{3^{20}}{2^{30}}=\left(\frac{9}{8}\right)^{10}>1$ , donc $2^{30}<3^{20}$
c) La différence vaut $\frac{a-b}{b(b+1)}$ : elle a le signe de $a-b$
d) Oui : $\frac{7}{10}=0{,}7<\frac{8}{11}\approx 0{,}727$ ; avec $\frac{12}{10}$ la fraction diminuerait
e) La différence vaut $\frac{-1}{(x+2)(x+3)}<0$
f) La différence, car le quotient de deux sommes de racines ne se simplifie pas

a)

On met au même dénominateur : $\frac{1234}{1235}-\frac{1235}{1236}=\frac{1234\times 1236-1235^{2}}{1235\times 1236}$ . Le dénominateur est positif, tout se joue au numérateur : $1234\times 1236=1\,525\,224$ et $1235^{2}=1\,525\,225$ , donc le numérateur vaut $-1$ . La différence est négative, donc $\frac{1234}{1235}<\frac{1235}{1236}$ . Le calcul mérite d'être vu autrement : $1234\times 1236=(1235-1)(1235+1)=1235^{2}-1$ , identité remarquable qui donne le résultat sans poser une seule multiplication. À l'œil, sur un affichage court, on ne les distingue pas : les deux quotients ne diffèrent qu'à la septième décimale.

b)

Les deux nombres sont strictement positifs, le quotient est donc licite : $\frac{3^{20}}{2^{30}}=\frac{(3^{2})^{10}}{(2^{3})^{10}}=\left(\frac{9}{8}\right)^{10}$ . Comme $\frac{9}{8}>1$ , sa puissance dixième est encore plus grande que $1$ , donc $3^{20}>2^{30}$ . La méthode de la différence aurait exigé d'écrire $3\,486\,784\,401-1\,073\,741\,824$ , deux nombres de dix chiffres : sur des puissances, le quotient regroupe les exposants et la différence ne regroupe rien. Numériquement, le rapport vaut environ $3{,}25$ .

c)

On réduit au même dénominateur : $\frac{a}{b}-\frac{a+1}{b+1}=\frac{a(b+1)-b(a+1)}{b(b+1)}=\frac{ab+a-ab-b}{b(b+1)}=\frac{a-b}{b(b+1)}$ . Comme $b>0$ , le dénominateur $b(b+1)$ est strictement positif : le signe de la différence est donc exactement celui de $a-b$ . Conclusion : si $a>b$ , alors $\frac{a}{b}>\frac{a+1}{b+1}$ ; si $a<b$ , alors $\frac{a}{b}<\frac{a+1}{b+1}$ ; et si $a=b$ , les deux fractions sont égales à $1$ . En une phrase : ajouter $1$ au numérateur ET au dénominateur rapproche la fraction de $1$ .

d)

La réussite passe de $\frac{7}{10}$ à $\frac{8}{11}$ . Ici $a=7$ et $b=10$ , donc $a<b$ et la question c) donne $\frac{7}{10}<\frac{8}{11}$ : la réussite s'améliore. Vérification : $0{,}7$ contre $0{,}7272\ldots$ ✓. Avec $a=12$ et $b=10$ , on a $a>b$ , donc $\frac{12}{10}>\frac{13}{11}$ , soit $1{,}2>1{,}1818\ldots$ : cette fraction DIMINUE. Ajouter $1$ en haut et en bas rapproche toujours une fraction de $1$ , par en dessous quand elle est plus petite que $1$ , par au-dessus quand elle est plus grande.

e)

On étudie la différence : $\frac{x+1}{x+2}-\frac{x+2}{x+3}=\frac{(x+1)(x+3)-(x+2)^{2}}{(x+2)(x+3)}$ . Le numérateur vaut $x^{2}+4x+3-(x^{2}+4x+4)=-1$ . Comme $x>0$ , on a $x+2>0$ et $x+3>0$ , donc le dénominateur est strictement positif et la différence vaut $\frac{-1}{(x+2)(x+3)}<0$ . D'où $\frac{x+1}{x+2}<\frac{x+2}{x+3}$ pour tout $x>0$ . Remarquons que la conclusion reste vraie dès que $x>-2$ ; c'est seulement entre $-3$ et $-2$ que le dénominateur change de signe et que l'inégalité se renverse. Une démonstration ne se termine jamais sans avoir vérifié le signe du dénominateur qu'on a fabriqué.

f)

La différence. Le quotient $\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{2}-1}$ ne se simplifie pas, alors que la différence $(\sqrt{3}-\sqrt{2})-(\sqrt{2}-1)=\sqrt{3}-2\sqrt{2}+1$ se compare à zéro en comparant $\sqrt{3}+1$ et $2\sqrt{2}$ , deux nombres positifs qu'on peut élever au carré : $(\sqrt{3}+1)^{2}=4+2\sqrt{3}\approx 7{,}46$ et $(2\sqrt{2})^{2}=8$ . Donc $\sqrt{3}+1<2\sqrt{2}$ et $\sqrt{3}-\sqrt{2}<\sqrt{2}-1$ . La règle de choix est simple : le quotient pour des produits et des puissances, la différence pour des sommes et des racines.

Exercice 7 : Démontrer une inégalité

Démontrer une inégalité, ce n'est pas la vérifier sur des exemples : c'est ramener la différence des deux membres à quelque chose dont le signe est évident. En Seconde, ce quelque chose est presque toujours un carré, car $a^{2}\ge 0$ pour tout réel $a$ .

a) Démontrez que pour tous réels $a$ et $b$ , $a^{2}+b^{2}\ge 2ab$ . Dans quel cas y a-t-il égalité ?
b) Déduisez-en que pour tout réel $x>0$ , $x+\frac{1}{x}\ge 2$ .
c) Démontrez que pour tous réels positifs $a$ et $b$ , $\frac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}$ .
d) Vérifiez en développant que, pour tout réel $x$ , $x^{2}+x+1=\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}+\frac{3}{4}$ , puis déduisez-en que $x^{2}+x+1>0$ .
e) Un élève affirme : « pour tout réel $a$ , $a^{2}\ge a$ ». Donnez un contre-exemple, puis l'ensemble de tous les contre-exemples, et enfin l'énoncé correct.
f) Pourquoi la vérification de l'inégalité du a) pour $a=3$ et $b=5$ ne constitue-t-elle pas une démonstration ?

Tape tes réponses, la page te dit juste ou faux 0/10

a)

a^{2}+b^{2}-2ab

s'écrit

Égalité lorsque

b)

x+\frac{1}{x}-2

s'écrit

\frac{(x-c)^{2}}{x}

:

c

Valeur minimale de

x+\frac{1}{x}

pour

x>0

c)

La différence s'écrit

\frac{(\sqrt{a}-\sqrt{b})^{2}}{k}

:

k

Avec

a=2

et

b=8

:

\frac{a+b}{2}-\sqrt{ab}

d)

Le carré s'annule pour

x=

Minimum de

x^{2}+x+1

e)

Ensemble des contre-exemples ;

a^{2}\ge a

exactement quand

Voir la correction

Réponses

a) $a^{2}+b^{2}-2ab=(a-b)^{2}\ge 0$ ; égalité si $a=b$
b) $x+\frac{1}{x}-2=\frac{(x-1)^{2}}{x}\ge 0$ ; minimum $2$ en $x=1$
c) $\frac{a+b}{2}-\sqrt{ab}=\frac{(\sqrt{a}-\sqrt{b})^{2}}{2}\ge 0$
d) $x^{2}+x+1=\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}+\frac{3}{4}\ge\frac{3}{4}>0$
e) Par exemple $a=0{,}5$ ; contre-exemples : $]0\,;1[$ ; correct : $a^{2}\ge a$ si et seulement si $a\le 0$ ou $a\ge 1$
f) Un exemple ne prouve rien d'universel ; un contre-exemple, lui, réfute

a)

On étudie la différence : $a^{2}+b^{2}-2ab=(a-b)^{2}$ , par l'identité remarquable lue de droite à gauche. Or un carré est toujours positif ou nul, donc $a^{2}+b^{2}-2ab\ge 0$ , c'est-à-dire $a^{2}+b^{2}\ge 2ab$ pour tous réels $a$ et $b$ . L'égalité a lieu exactement quand $(a-b)^{2}=0$ , donc quand $a=b$ . Vérification : $a=3$ et $b=5$ donnent $9+25=34\ge 30$ ✓, et l'écart $34-30=4$ est bien $(3-5)^{2}$ ✓. Ce résultat est la matrice de presque toutes les inégalités du chapitre : dès qu'on voit un $2ab$ , on pense à un carré.

b)

Soit $x>0$ . On applique le a) à $a=\sqrt{x}$ et $b=\frac{1}{\sqrt{x}}$ , qui existent puisque $x>0$ : $a^{2}+b^{2}\ge 2ab$ s'écrit $x+\frac{1}{x}\ge 2\times\sqrt{x}\times\frac{1}{\sqrt{x}}=2$ . L'égalité a lieu quand $a=b$ , soit $\sqrt{x}=\frac{1}{\sqrt{x}}$ , c'est-à-dire $x=1$ . La différence directe le confirme : $x+\frac{1}{x}-2=\frac{x^{2}+1-2x}{x}=\frac{(x-1)^{2}}{x}$ , un carré divisé par un nombre strictement positif, donc un quotient positif ou nul. L'hypothèse $x>0$ n'est pas décorative : pour $x=-1$ , la somme vaut $-2$ , qui n'est pas supérieure à $2$ .

c)

Soient $a\ge 0$ et $b\ge 0$ . Comme ils sont positifs, $\sqrt{a}$ et $\sqrt{b}$ existent et $a=(\sqrt{a})^{2}$ , $b=(\sqrt{b})^{2}$ . On étudie la différence : $\frac{a+b}{2}-\sqrt{ab}=\frac{a-2\sqrt{ab}+b}{2}=\frac{(\sqrt{a}-\sqrt{b})^{2}}{2}\ge 0$ . Donc $\frac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}$ , avec égalité si et seulement si $\sqrt{a}=\sqrt{b}$ , c'est-à-dire $a=b$ . Ce résultat porte un nom : la moyenne arithmétique de deux nombres positifs est toujours supérieure ou égale à leur moyenne géométrique. Vérification avec $a=2$ et $b=8$ : $\frac{10}{2}=5$ et $\sqrt{16}=4$ , et l'on a bien $5\ge 4$ ✓.

d)

On développe : $\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}+\frac{3}{4}=x^{2}+x+\frac{1}{4}+\frac{3}{4}=x^{2}+x+1$ ✓. Cette écriture s'appelle la forme canonique : la trouver soi-même est un outil de Première, au-delà du programme de Seconde, c'est pourquoi l'énoncé la donne. Le carré est positif ou nul, donc la somme est au moins égale à $\frac{3}{4}$ , qui est strictement positif : $x^{2}+x+1>0$ pour tout réel $x$ . Remarquons que l'inégalité est STRICTE alors que celle du a) était large, parce que le $\frac{3}{4}$ ajouté n'est jamais nul. Le minimum, atteint en $x=-\frac{1}{2}$ , vaut exactement $\frac{3}{4}$ .

e)

Contre-exemple : $a=0{,}5$ donne $a^{2}=0{,}25$ , qui est plus petit que $0{,}5$ . L'affirmation est donc fausse. Pour trouver tous les contre-exemples, on étudie le signe de $a^{2}-a=a(a-1)$ : ce produit est positif ou nul quand $a\le 0$ ou quand $a\ge 1$ , et strictement négatif quand $0<a<1$ . Les contre-exemples sont donc exactement les réels de $]0\,;1[$ , et n'importe lequel convenait au premier geste. Énoncé correct : $a^{2}\ge a$ si et seulement si $a\le 0$ ou $a\ge 1$ . Entre $0$ et $1$ , élever au carré RAPETISSE, ce qui est contre-intuitif la première fois qu'on le rencontre et parfaitement logique dès qu'on l'a écrit.

f)

Parce qu'une inégalité annoncée « pour tous réels $a$ et $b$ » porte sur une infinité de couples, et qu'un exemple n'en traite qu'un seul. Vérifier pour $a=3$ et $b=5$ prouve exactement une chose : que l'énoncé n'est pas faux POUR CE COUPLE-LÀ. La dissymétrie est totale entre les deux sens : un seul contre-exemple suffit à démolir une affirmation universelle, comme au e), alors qu'aucune quantité d'exemples ne suffit à la démontrer. C'est pour cela qu'on passe par la différence et par un carré : le carré, lui, est positif pour tout le monde d'un seul coup.

Exercice 8 : Cinq affirmations à corriger

Chacune des cinq affirmations suivantes est FAUSSE. Dites pourquoi, donnez un contre-exemple chiffré, et écrivez l'énoncé correct.

a) « Si $x^{2}\ge 4$ , alors $x\ge 2$ . »
b) « Pour encadrer $x-y$ , on soustrait les deux encadrements membre à membre. »
c) « De $-2x\le 8$ on déduit $x\le -4$ . »
d) « Une inéquation dont les deux membres sont affines a toujours au moins une solution. »
e) « Si $a<b$ , alors $\frac{1}{a}>\frac{1}{b}$ . »

Tape tes réponses, la page te dit juste ou faux 0/8

a)

Le contre-exemple parmi ces nombres

Solutions de

x^{2}\ge 4

: partie gauche ;

b)

-y

: encadrement ;

x-y

: encadrement ;

c)

Ensemble des solutions ;

d)

Nombre de formes possibles de la réponse

e)

Le contre-exemple parmi ces couples

(a\,;b)

La règle vaut lorsque

a

et

b

sont

Voir la correction

Réponses

a) Contre-exemple $x=-3$ ; correct : $x\le -2$ ou $x\ge 2$
b) Règle inexistante ; correct : $-4\le x-y\le 2$
c) Correct : $x\ge -4$ , soit $[-4\,;+\infty[$
d) Faux : l'ensemble vide et $\mathbb{R}$ sont deux réponses possibles
e) Contre-exemple $a=-1$ , $b=2$ ; correct si $a$ et $b$ sont de même signe

a)

FAUX. Le nombre $x=-3$ vérifie $x^{2}=9\ge 4$ , et pourtant $-3$ n'est pas supérieur à $2$ (tout $x\le -2$ ferait aussi l'affaire). L'affirmation oublie toute la partie négative. En factorisant, $x^{2}-4=(x-2)(x+2)$ , dont le tableau de signes montre que le produit est positif à l'extérieur de $-2$ et $2$ , les valeurs qui annulent le produit. Énoncé correct : $x^{2}\ge 4$ équivaut à $x\le -2$ ou $x\ge 2$ , c'est-à-dire $x\in]-\infty\ ;-2]\cup[2\ ;+\infty[$ . Retenir la forme de la réponse : une inéquation en $x^{2}$ donne deux morceaux quand le sens va vers l'extérieur, un seul segment quand il va vers l'intérieur.

b)

FAUX. Cette règle n'existe pas. Avec $1\le x\le 4$ et $2\le y\le 5$ , la soustraction membre à membre donnerait $1-2\le x-y\le 4-5$ , soit $-1\le x-y\le -1$ , donc $x-y=-1$ toujours : absurde, puisque $x=4$ et $y=2$ donnent $x-y=2$ . Énoncé correct : on encadre d'abord $-y$ , ce qui renverse l'encadrement de $y$ en $-5\le -y\le -2$ , puis on ADDITIONNE membre à membre, ce qui donne $1-5\le x-y\le 4-2$ , soit $-4\le x-y\le 2$ . Seule l'addition de deux encadrements de même sens est licite.

c)

FAUX. On divise par $-2$ , qui est négatif, donc l'inégalité se renverse : $x\ge -4$ . Contre-exemple : $x=0$ vérifie $-2\times 0=0\le 8$ , et pourtant $0$ n'est pas inférieur à $-4$ . L'affirmation a conservé le sens en divisant par un négatif, et l'ensemble de solutions obtenu, $]-\infty\ ;-4]$ , est de l'autre côté de la borne par rapport au bon, $[-4\ ;+\infty[$ ; les deux ne partagent que le point $-4$ , ce qui explique qu'un élève qui vérifie sa réponse sur la seule borne ne voie jamais son erreur. Énoncé correct : de $-2x\le 8$ on déduit $x\ge -4$ .

d)

FAUX. L'inéquation $3(x-2)-5\ge 3x+1$ de l'exercice 4 a deux membres affines et se réduit à $-11\ge 1$ , qui est faux pour tout $x$ : son ensemble de solutions est vide. Énoncé correct : une telle inéquation a pour ensemble de solutions une demi-droite, ou l'ensemble vide, ou $\mathbb{R}$ tout entier. Ces deux derniers cas surviennent exactement quand les termes en $x$ se simplifient, c'est-à-dire quand les deux membres sont des fonctions affines de même coefficient directeur, donc deux droites parallèles ou confondues. L'inéquation n'est alors plus, à proprement parler, du premier degré : au sens strict, $ax+b>0$ avec $a\neq 0$ a toujours une demi-droite pour ensemble de solutions.

e)

FAUX. La règle n'est valable que si $a$ et $b$ sont de même signe. Contre-exemple (tout couple $a<0<b$ convient) : $a=-1$ et $b=2$ donnent $\frac{1}{a}=-1$ et $\frac{1}{b}=0{,}5$ , donc $\frac{1}{a}<\frac{1}{b}$ . La raison est que la fonction inverse est décroissante sur $]-\infty\ ;0[$ et décroissante sur $]0\ ;+\infty[$ , mais pas sur la réunion des deux : entre les deux il y a le saut par-dessus zéro, qui envoie les négatifs très bas et les positifs très haut. Énoncé correct : si $0<a<b$ ou si $a<b<0$ , alors $\frac{1}{a}>\frac{1}{b}$ .

Ces cinq affirmations couvrent les cinq fautes qui coûtent le plus de points en contrôle : oublier la moitié négative d'une inéquation en $x^{2}$ , inventer une soustraction d'encadrements, garder le sens en divisant par un nombre négatif, croire qu'une réponse vide est une erreur, et appliquer une règle hors de son domaine de validité. Une seule habitude les désamorce toutes : tester une valeur numérique choisie pour contredire, un nombre négatif de préférence.

Exercice 9 : Problème : la moyenne et le dernier devoir

Léa a obtenu $12$ , $9$ et $14$ à ses trois premiers devoirs de mathématiques, tous notés sur $20$ et de même coefficient. Il reste un quatrième devoir, et elle veut savoir ce qu'il lui faut.

Dans tout le problème, $x$ désigne la note du quatrième devoir, donc $0\le x\le 20$ .

a) Calculez la moyenne actuelle des trois premiers devoirs, arrondie au centième.
b) Le quatrième devoir a le même coefficient que les autres. Quelle note minimale Léa doit-elle obtenir pour atteindre une moyenne de $12$ ?
c) Le professeur annonce finalement que ce devoir comptera DOUBLE. Quelle note minimale faut-il alors ?
d) Léa vise $15$ de moyenne. Est-ce possible avec un coefficient $1$ ?
e) Avec le coefficient $2$ , quelle est la meilleure moyenne qu'elle puisse obtenir ?
f) Léa estime qu'elle obtiendra une note comprise entre $10$ et $16$ . Encadrez sa moyenne finale, dans l'hypothèse du coefficient $2$ .

Voir la correction

Réponses

a) $\frac{35}{3}\approx 11{,}67$
b) $x\ge 13$
c) $x\ge 12{,}5$
d) Non : il faudrait $x\ge 25$ , or $x\le 20$
e) $15$ , atteinte avec $x=20$
f) $11\le M\le 13{,}4$

a)

La somme des trois notes vaut $12+9+14=35$ , donc la moyenne vaut $\frac{35}{3}=11{,}666\ldots$ , soit $11{,}67$ au centième. Elle est donc pour l'instant sous la barre des $12$ , mais de peu : il manque $\frac{1}{3}$ de point de moyenne, c'est-à-dire un seul point réparti sur trois devoirs.

b)

Avec quatre notes de même coefficient, la moyenne vaut $\frac{35+x}{4}$ . La condition s'écrit $\frac{35+x}{4}\ge 12$ . On multiplie par $4$ , nombre positif, donc le sens est conservé : $35+x\ge 48$ , d'où $x\ge 13$ . Il faut au moins $13$ sur $20$ au quatrième devoir. Vérification : avec $x=13$ , la moyenne vaut $\frac{48}{4}=12$ exactement ✓, et avec $x=12{,}5$ elle vaut $11{,}875$ , insuffisant ✓. On note que $13$ est réalisable puisque la condition $x\le 20$ est respectée.

c)

Le devoir comptant double, il pèse $2$ parts sur un total de $3+2=5$ parts : la moyenne vaut $\frac{35+2x}{5}$ . La condition devient $\frac{35+2x}{5}\ge 12$ , soit $35+2x\ge 60$ , puis $2x\ge 25$ et $x\ge 12{,}5$ . Il suffit donc de $12{,}5$ sur $20$ , c'est-à-dire un demi-point de moins qu'à la question b). Le coefficient double joue en sa faveur ici parce que la note visée, $12$ , est supérieure à sa moyenne actuelle : donner plus de poids au devoir à venir aide quand on veut monter, et l'erreur serait de croire que doubler le coefficient durcit toujours l'exigence.

d)

La condition s'écrit $\frac{35+x}{4}\ge 15$ , soit $35+x\ge 60$ , donc $x\ge 25$ . Or une note est au plus égale à $20$ : l'ensemble des solutions de l'inéquation, $[25\ ;+\infty[$ , ne rencontre pas l'ensemble des notes possibles, $[0\ ;20]$ . C'est donc impossible. Ce cas est le plus instructif du problème : l'inéquation, elle, a des solutions, et c'est la CONTRAINTE de l'énoncé qui les élimine toutes. Résoudre ne suffit pas, il faut encore confronter l'ensemble trouvé au domaine dans lequel l'inconnue a un sens.

e)

La meilleure moyenne s'obtient avec la meilleure note, $x=20$ , puisque la moyenne $\frac{35+2x}{5}$ est une fonction croissante de $x$ , son coefficient directeur $\frac{2}{5}$ étant positif. Elle vaut alors $\frac{35+40}{5}=\frac{75}{5}=15$ . Léa peut donc atteindre $15$ de moyenne, mais seulement avec un $20$ , et seulement grâce au coefficient double : la question d) montrait que c'était hors d'atteinte sans lui.

f)

On part de $10\le x\le 16$ . On multiplie par $2$ , positif : $20\le 2x\le 32$ . On ajoute $35$ : $55\le 35+2x\le 67$ . On divise par $5$ , positif : $11\le\frac{35+2x}{5}\le 13{,}4$ . Sa moyenne finale sera donc comprise entre $11$ et $13{,}4$ . Chaque opération a conservé le sens parce que chaque facteur était positif, et l'encadrement obtenu est le meilleur possible puisque les deux bornes sont atteintes, pour $x=10$ et pour $x=16$ . On retrouve au passage la question c) : $12$ appartient à cet intervalle, l'objectif reste atteignable avec le coefficient $2$ , pour une note d'au moins $12{,}5$ .

Exercice 10 : Problème de synthèse : la citerne et la pompe

Une citerne agricole a une capacité $V$ , en litres, que le fabricant garantit seulement encadrée : $4750\le V\le 4850$ . La pompe qui la remplit a un débit $D$ , en litres par minute, lui aussi connu de façon approchée : $95\le D\le 100$ .

On note $t=\frac{V}{D}$ la durée du remplissage complet, en minutes. Aucune des deux grandeurs n'est connue exactement, et c'est justement le sujet du problème : jusqu'où peut-on conclure avec des encadrements ?

a) La pompe tourne pendant $20$ minutes. Encadrez le volume pompé.
b) Encadrez la durée $t$ du remplissage complet. Donnez les bornes au centième de minute.
c) Peut-on garantir que le remplissage dure moins de $50$ minutes ?
d) L'exploitant doit quitter les lieux $55$ minutes après avoir lancé la pompe. Est-il certain que la citerne sera pleine ?
e) Calculez, en pourcentage du centre de chaque encadrement, l'amplitude relative de $V$ , celle de $D$ et celle de $t$ . Que remarquez-vous ?
f) On remplace la pompe par un modèle dont le débit est garanti entre $99$ et $100$ litres par minute. Le nouvel encadrement de $t$ a-t-il une amplitude inférieure à $2$ minutes ?

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Réponses

a) $1900\le 20D\le 2000$ litres
b) $47{,}5\le t\le 51{,}06$ minutes, borne haute arrondie par excès
c) Non : la borne haute $51{,}06$ dépasse $50$
d) Oui : $51{,}06<55$
e) $2{,}08$ %, $5{,}13$ % et $7{,}21$ % : les imprécisions relatives s'additionnent, à peu près
f) $47{,}5\le t\le 48{,}99$ , amplitude $1{,}49$ minute : oui

a)

Le volume pompé vaut $20D$ . On multiplie l'encadrement de $D$ par $20$ , nombre positif, donc le sens est conservé : $20\times 95\le 20D\le 20\times 100$ , soit $1900\le 20D\le 2000$ . En vingt minutes, la pompe débite donc entre $1900$ et $2000$ litres. C'est la seule question du problème qui ne demande aucune précaution : multiplier un encadrement par une constante positive connue est sans danger.

b)

On ne divise pas deux encadrements l'un par l'autre. On encadre d'abord $\frac{1}{D}$ : la fonction inverse étant décroissante sur $]0\ ;+\infty[$ , l'encadrement $95\le D\le 100$ donne $\frac{1}{100}\le\frac{1}{D}\le\frac{1}{95}$ , les bornes ayant échangé leurs places. Toutes les bornes étant positives, on multiplie alors par l'encadrement de $V$ : $\frac{4750}{100}\le\frac{V}{D}\le\frac{4850}{95}$ , et $\frac{4850}{95}=51{,}0526\ldots$ Pour que l'encadrement reste vrai, on arrondit la borne haute PAR EXCÈS : $47{,}5\le t\le 51{,}06$ au centième. La plus courte durée s'obtient avec le plus petit volume et le plus GRAND débit, la plus longue avec le plus grand volume et le plus petit débit : c'est le croisement des bornes, exactement comme pour une différence.

c)

Non. La borne supérieure de l'encadrement vaut $51{,}06$ minutes, qui dépasse $50$ : il existe des situations compatibles avec les données où le remplissage dure plus de $50$ minutes, par exemple $V=4850$ et $D=95$ , qui donnent $\frac{4850}{95}\approx 51{,}05$ minutes. Garantir une propriété, c'est la démontrer pour TOUTES les valeurs possibles, pas pour les valeurs centrales : avec $V=4800$ et $D=97{,}5$ , on trouverait $49{,}2$ minutes et on conclurait à tort.

d)

Oui. La borne supérieure $51{,}06$ est inférieure à $55$ , donc quelles que soient les valeurs exactes de $V$ et de $D$ dans leurs plages, la durée est inférieure à $55$ minutes. C'est le pendant exact de la question c) : un encadrement ne permet jamais de garantir une propriété que sa borne la plus défavorable ne vérifie pas, et il la garantit dès que cette borne la vérifie. On raisonne donc toujours sur le pire cas, ici le plus grand volume divisé par le plus petit débit.

e)

Pour $V$ : le centre vaut $4800$ et l'amplitude $100$ , donc $\frac{100}{4800}\approx 2{,}08$ pour cent. Pour $D$ : centre $97{,}5$ , amplitude $5$ , donc $\frac{5}{97{,}5}\approx 5{,}13$ pour cent. Pour $t$ , on garde la borne haute non arrondie, $\frac{4850}{95}\approx 51{,}053$ : centre $\approx 49{,}276$ , amplitude $\approx 3{,}553$ , donc $\frac{3{,}553}{49{,}276}\approx 7{,}21$ pour cent. On remarque que $2{,}08+5{,}13=7{,}21$ : dans un quotient, les imprécisions RELATIVES s'additionnent, approximativement et tant qu'elles sont petites (au millième, $7{,}210$ contre $7{,}212$ ). C'est pourquoi le résultat est toujours moins précis que chacune des mesures qui le composent, et c'est la raison pour laquelle on ne recopie jamais tous les chiffres affichés par la calculatrice.

f)

Avec $99\le D\le 100$ , on reprend la méthode du b) : $\frac{1}{100}\le\frac{1}{D}\le\frac{1}{99}$ , puis $\frac{4750}{100}\le t\le\frac{4850}{99}$ , soit $47{,}5\le t\le 48{,}99$ au centième. L'amplitude vaut $48{,}99-47{,}5=1{,}49$ minute, qui est bien inférieure à $2$ minutes : la réponse est oui. On mesure au passage l'effet du soin apporté à la pompe : diviser par cinq l'incertitude sur le débit a divisé par plus de deux celle sur la durée, et l'imprécision qui reste vient maintenant surtout du volume de la citerne, dont personne ne s'était soucié.

Exercices corrigés : les inéquations et les inégalités (Seconde, programme français)

Rappel de cours

Calculs : inéquations à résoudre

Exercice 0.1 : Résoudre une inéquation : dix calculs directs

Partie A : les bases (/50)

Exercice 1 : Inéquations du premier degré

Exercice 2 : Inéquations du premier degré : les pièges du signe

Exercice 3 : Systèmes de deux inéquations

Exercice 4 : Quand la réponse n'est pas un intervalle ordinaire

Exercice 5 : Encadrer une somme, une différence, un produit, un quotient

Partie B : problèmes et raisonnement (/50)

Exercice 6 : Comparer deux nombres : la différence ou le quotient

Exercice 7 : Démontrer une inégalité

Exercice 8 : Cinq affirmations à corriger

Exercice 9 : Problème : la moyenne et le dernier devoir

Exercice 10 : Problème de synthèse : la citerne et la pompe

Voir aussi

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