Exercices corrigés : les inéquations et les inégalités (Seconde, programme français)

a) On rassemble les $x$ d'un côté et les nombres de l'autre : $-7x-x\ge 5-3$, soit $-8x\ge 2$. On divise par $-8$, qui est NÉGATIF, donc l'inégalité se renverse : $x\le\frac{2}{-8}=-\frac{1}{4}$. L'ensemble des solutions est $\left]-\infty\ ;-\frac{1}{4}\right]$, crochet fermé sur $-\frac{1}{4}$ puisque l'inégalité est large. Vérification : $x=-1$ donne $3+7=10\ge 4$ ✓, et $x=0$ donne $3\ge 5$, faux ✓. Garder le sens à cette étape donnerait $x\ge -\frac{1}{4}$, c'est-à-dire exactement le complémentaire de la bonne réponse.

b) On développe d'abord, en faisant attention au signe moins devant la seconde parenthèse, qui change les DEUX termes : $10x-15-12x-8<2-x$, soit $-2x-23<2-x$. On regroupe : $-2x+x<2+23$, donc $-x<25$. On divise par $-1$, négatif, donc le sens se renverse : $x>-25$. L'ensemble des solutions est $]-25\ ;+\infty[$, crochet ouvert car l'inégalité est stricte. Vérification : $x=0$ donne $-23<2$ ✓, et $x=-30$ donne $-75+30=-45$, mais $2-(-30)=32$, et $-23+60=37<32$ est faux ✓.

c) On multiplie les deux membres par $6$, dénominateur commun et nombre POSITIF, donc le sens est conservé. Le membre de droite doit être multiplié lui aussi, en entier : $2(x-5)+3(x+4)\le 6(x-8)$. On développe : $2x-10+3x+12\le 6x-48$, soit $5x+2\le 6x-48$. On regroupe : $2+48\le 6x-5x$, donc $50\le x$, c'est-à-dire $x\ge 50$. L'ensemble des solutions est $[50\ ;+\infty[$. Vérification à la borne : $x=50$ donne $\frac{45}{3}+\frac{54}{2}=15+27=42$ et $50-8=42$, les deux membres sont égaux ✓, ce qui confirme au passage le crochet fermé.

d) Les dénominateurs sont $4$, $8$ et $2$ : leur plus petit commun multiple est $8$. On multiplie tout par $8$, y compris le $+1$ et le membre de droite : $2(3x-2)-(x+6)+8\le 4(x-4)$. Le signe moins devant la fraction devient un signe moins devant une parenthèse, et c'est là que se perdent les points : $6x-4-x-6+8\le 4x-16$, soit $5x-2\le 4x-16$. On regroupe : $x\le -14$, donc l'ensemble des solutions est $]-\infty\ ;-14]$. Vérification : $x=-14$ donne $\frac{-44}{4}-\frac{-8}{8}+1=-11+1+1=-9$ et $\frac{-18}{2}=-9$ ✓.

e) L'énoncé n'est pas du premier degré tel qu'il est écrit, il le DEVIENT après développement. À gauche : $(3x-2)(4-x)=12x-3x^{2}-8+2x=-3x^{2}+14x-8$, donc le membre de gauche vaut $-3x^{2}+14x-28$. À droite : $(2-3x)(x+1)=2x+2-3x^{2}-3x=-3x^{2}-x+2$. Les termes en $x^{2}$ sont identiques des deux côtés, donc ils se simplifient : $14x-28\ge -x+2$, soit $15x\ge 30$ et $x\ge 2$. L'ensemble des solutions est $[2\ ;+\infty[$. La leçon est de développer AVANT de décider du degré : ici la simplification est la clé, et vouloir résoudre une inéquation du second degré serait une perte de temps.

f) Les dénominateurs sont $6$, $4$ et $12$, dont le plus petit commun multiple est $12$. On multiplie par $12$, positif : $2(2-5x)-3(3x+4)\ge 1-x$. On développe : $4-10x-9x-12\ge 1-x$, soit $-19x-8\ge 1-x$. On regroupe les $x$ à gauche : $-19x+x\ge 1+8$, donc $-18x\ge 9$. On divise par $-18$, négatif, donc le sens se renverse une dernière fois : $x\le\frac{9}{-18}=-\frac{1}{2}$. L'ensemble des solutions est $\left]-\infty\ ;-\frac{1}{2}\right]$. Vérification : $x=-\frac{1}{2}$ donne $\frac{4{,}5}{6}-\frac{2{,}5}{4}=0{,}75-0{,}625=0{,}125$ et $\frac{1{,}5}{12}=0{,}125$ ✓.

a) Le piège est le signe moins devant la première parenthèse : il multiplie les DEUX termes, donc $-4(x-3)=-4x+12$ et non $-4x-12$. À droite, $2(1-3x)+5=2-6x+5=7-6x$. L'inéquation devient $-4x+12\ge 7-6x$, soit $-4x+6x\ge 7-12$, donc $2x\ge -5$ et $x\ge -\frac{5}{2}$. On divise ici par $2$, qui est POSITIF : le sens ne change pas. L'ensemble des solutions est $\left[-\frac{5}{2}\ ;+\infty\right[$. Vérification à la borne : $x=-2{,}5$ donne $-4\times(-5{,}5)=22$ à gauche et $2\times 8{,}5+5=22$ à droite, les deux membres sont égaux ✓.

b) On multiplie par $6$, plus petit commun multiple de $3$ et $2$, et nombre positif : $2(5-2x)>3(x+1)$. On développe : $10-4x>3x+3$, soit $10-3>3x+4x$, donc $7>7x$ et $x<1$. L'ensemble des solutions est $]-\infty\ ;1[$, crochet ouvert car l'inégalité est stricte. Vérification : $x=0$ donne $\frac{5}{3}\approx 1{,}67>\frac{1}{2}$ ✓, et $x=1$ donne $1>1$, faux, donc $1$ est bien exclu ✓. Le piège ici est de croiser les produits en oubliant que $\frac{5-2x}{3}$ a un numérateur entier qu'il faut garder groupé.

c) Le membre de gauche contient un terme SANS dénominateur : le $7$ doit être multiplié lui aussi. On multiplie tout par $6$ : $42-3x\le 2(x-4)$, soit $42-3x\le 2x-8$. On regroupe : $42+8\le 2x+3x$, donc $50\le 5x$ et $x\ge 10$. L'ensemble des solutions est $[10\ ;+\infty[$. Vérification à la borne : $x=10$ donne $7-5=2$ à gauche et $\frac{6}{3}=2$ à droite ✓. Oublier de multiplier le $7$ donne $7-3x\le 2x-8$, soit $x\ge 3$, une réponse fausse dont rien dans la forme ne trahit l'erreur.

d) Les dénominateurs sont $5$, $2$ et $10$ : on multiplie tout par $10$. À gauche, $\frac{2x+1}{5}$ devient $2(2x+1)=4x+2$ et $\frac{x-3}{2}$ devient $5(x-3)=5x-15$, précédé du signe moins, donc $-5x+15$. L'inéquation s'écrit $4x+2-5x+15\le x$, soit $-x+17\le x$, puis $17\le 2x$ et $x\ge\frac{17}{2}=8{,}5$. L'ensemble des solutions est $[8{,}5\ ;+\infty[$. Vérification : $x=8{,}5$ donne $\frac{18}{5}-\frac{5{,}5}{2}=3{,}6-2{,}75=0{,}85$ à gauche et $\frac{8{,}5}{10}=0{,}85$ à droite ✓. Le piège est le même qu'en a), mais déguisé en fraction : le moins porte sur le numérateur entier.

e) On multiplie les deux membres par $2$, positif, donc le sens est conservé : $1-x\ge 6$. On retranche $1$ : $-x\ge 5$. On multiplie enfin par $-1$, NÉGATIF, donc le sens se renverse : $x\le -5$. L'ensemble des solutions est $]-\infty\ ;-5]$. Vérification : $x=-5$ donne $\frac{6}{2}=3\ge 3$ ✓, et $x=0$ donne $\frac{1}{2}\ge 3$, faux ✓. L'erreur classique est de conclure $x\ge -5$ en oubliant le renversement de la dernière étape, et l'on obtient alors exactement le complémentaire de la bonne réponse.

f) Les deux membres sont des carrés, mais l'inéquation n'est pas du second degré : en développant, $(2x+1)^{2}=4x^{2}+4x+1$ et $(2x-3)^{2}=4x^{2}-12x+9$. Les termes $4x^{2}$ sont identiques des deux côtés et se simplifient : $4x+1\le -12x+9$, soit $16x\le 8$ et $x\le\frac{1}{2}$. L'ensemble des solutions est $\left]-\infty\ ;\frac{1}{2}\right]$. Vérification à la borne : $x=0{,}5$ donne $(2)^{2}=4$ et $(-2)^{2}=4$, égalité ✓. Le piège serait de « prendre la racine » des deux membres pour écrire $2x+1\le 2x-3$ : c'est interdit, car $\sqrt{a^{2}}=|a|$ et non $a$, et cette fausse manoeuvre conduirait à $1\le -3$, donc à aucune solution.

a) Première inéquation : $3x\le 9$, donc $x\le 3$, soit $]-\infty\ ;3]$. Deuxième : $-2x<2$, et l'on divise par $-2$, négatif, donc le sens se renverse, $x>-1$, soit $]-1\ ;+\infty[$. L'intersection des deux demi-droites est l'ensemble des $x$ à la fois plus petits que $3$ et plus grands que $-1$ : $S=]-1\ ;3]$. Chaque borne garde le crochet de l'inéquation d'où elle vient, ouvert en $-1$ à cause du $<$, fermé en $3$ à cause du $\le$. Vérification : $x=0$ vérifie $-1\le 8$ ✓ et $5<7$ ✓, tandis que $x=-1$ donne $7<7$, faux ✓.

b) Première : $2x>-4$, donc $x>-2$. Deuxième : $-x\le -3$, et la multiplication par $-1$ renverse le sens, donc $x\ge 3$. L'intersection de $]-2\ ;+\infty[$ et de $[3\ ;+\infty[$ est la plus RESTRICTIVE des deux, ici $[3\ ;+\infty[$ : tout nombre supérieur ou égal à $3$ est automatiquement supérieur à $-2$. $S=[3\ ;+\infty[$. C'est le cas où l'une des deux conditions ne sert à rien, et le reconnaître évite d'écrire une réponse à deux bornes là où il n'y en a qu'une.

c) Première : $x\ge 6$. Deuxième : $3x<9$, donc $x<3$. Il faudrait un nombre à la fois supérieur ou égal à $6$ et strictement inférieur à $3$, ce qui est impossible puisque $6>3$ : les deux demi-droites ne se rencontrent pas. $S=\varnothing$. Aucune des deux inéquations n'est fausse prise isolément, chacune a une infinité de solutions ; c'est leur intersection qui est vide, et c'est une réponse parfaitement valable.

d) L'ensemble des solutions de a) est $]-1\ ;3]$. Les entiers qu'il contient sont $0$, $1$, $2$ et $3$ : il y en a QUATRE, le plus petit est $0$ et le plus grand est $3$. Attention aux deux bords : $-1$ est exclu par le crochet ouvert, donc le premier entier est $0$ et non $-1$ ; $3$ est inclus par le crochet fermé, donc il compte. Se tromper d'un cran à chaque bout est l'erreur la plus fréquente de ce genre de question, et il suffit de placer les entiers sur la droite graduée pour la voir.

e) Première : on multiplie par $2$, positif, $x+1\ge 2x-4$, donc $1+4\ge 2x-x$, soit $5\ge x$, c'est-à-dire $x\le 5$. Deuxième : $3x-3>x-7$, donc $3x-x>-7+3$, soit $2x>-4$ et $x>-2$. L'intersection est $S=]-2\ ;5]$. Vérification aux bornes : $x=5$ donne $\frac{6}{2}=3$ et $5-2=3$, égalité, donc $5$ est bien inclus ✓ ; $x=-2$ donne $3\times(-3)=-9$ et $-2-7=-9$, égalité, mais l'inégalité est stricte, donc $-2$ est exclu ✓.

f) On note $x$ le nombre cherché. « Le double augmenté de $3$ » s'écrit $2x+3$, et « vaut au plus $11$ » signifie $\le 11$. « Son triple diminué de $2$ » s'écrit $3x-2$, et « vaut au moins $4$ » signifie $\ge 4$. Le système est donc $\begin{cases} 2x+3\le 11 \\ 3x-2\ge 4 \end{cases}$. La première donne $2x\le 8$, soit $x\le 4$ ; la seconde donne $3x\ge 6$, soit $x\ge 2$. L'intersection est $S=[2\ ;4]$, un segment. Les deux pièges de vocabulaire sont « au plus », qui donne $\le$ et non $<$, et « au moins », qui donne $\ge$ : un contrôle en pose presque toujours un des deux.

a) On développe : $3x-6-5\ge 3x+1$, soit $3x-11\ge 3x+1$. Les $3x$ disparaissent des deux côtés et il reste $-11\ge 1$, qui est FAUX quelle que soit la valeur de $x$. Aucun réel ne convient : l'ensemble des solutions est l'ensemble vide, noté $\varnothing$. Ce n'est pas un calcul raté, c'est une réponse. Géométriquement, les deux membres sont deux fonctions affines de même coefficient directeur $3$, donc deux droites parallèles, et celle de gauche est partout $12$ unités en dessous de celle de droite : elle ne la rattrape jamais.

b) On développe : $2x+8-1<2x+8$, soit $2x+7<2x+8$. Les $2x$ disparaissent et il reste $7<8$, qui est VRAI, et vrai indépendamment de $x$. Tout réel convient : l'ensemble des solutions est $\mathbb{R}$, c'est-à-dire $]-\infty\ ;+\infty[$. Les questions a) et b) forment une paire à retenir ensemble : quand l'inconnue disparaît, il ne reste qu'une affirmation numérique, et c'est elle qui décide, $\varnothing$ si elle est fausse, $\mathbb{R}$ si elle est vraie. Dans les deux cas, écrire « $x$ n'existe pas » serait faux : en b) tous les $x$ existent.

c) Un encadrement se traite comme deux inéquations menées de front, à condition d'appliquer chaque opération aux TROIS membres. On retranche $5$ partout : $-8\le -2x<-1$. On divise par $-2$, nombre négatif : les deux inégalités se renversent, et les deux bornes échangent leurs places. On obtient $4\ge x>\frac{1}{2}$, qui se réécrit dans l'ordre naturel $\frac{1}{2}<x\le 4$, soit $]0{,}5\ ;4]$. Attention au crochet : le $\le$ de gauche du départ est devenu le crochet FERMÉ de droite, et le $<$ de droite le crochet ouvert de gauche. Vérification : $x=4$ donne $-3$, et $-3\le -3<4$ ✓ ; $x=0{,}5$ donne $4$, et $4<4$ est faux ✓.

d) On multiplie les trois membres par $3$, positif, donc rien ne bouge : $6\le 5-x<12$. On retranche $5$ partout : $1\le -x<7$. On multiplie par $-1$, négatif : les deux inégalités se renversent et les bornes s'échangent, $-1\ge x>-7$, soit $-7<x\le -1$. L'ensemble des solutions est $]-7\ ;-1]$. Vérification aux deux bornes : $x=-1$ donne $\frac{6}{3}=2$, et $2\le 2<4$ ✓ ; $x=-7$ donne $\frac{12}{3}=4$, et $4<4$ est faux, donc $-7$ est bien exclu ✓.

e) Avant tout calcul, on regarde les deux bornes : l'encadrement exige $2x+1\ge 3$ ET $2x+1\le 2$, c'est-à-dire un nombre à la fois supérieur à $3$ et inférieur à $2$. Comme $3>2$, c'est impossible : l'ensemble des solutions est $\varnothing$. Le calcul le confirme, $2\le 2x\le 1$ puis $1\le x\le 0{,}5$, un encadrement dont la borne de gauche dépasse celle de droite. La leçon vaut pour tout l'exercice : un encadrement écrit à l'envers n'a jamais de solution, et un coup d'oeil aux deux bornes le dit plus vite que la résolution.

f) Il suffit de fabriquer une inéquation où les termes en $x$ se simplifient. Pour $\mathbb{R}$ : partir d'une affirmation vraie comme $0<1$ et ajouter le même terme des deux côtés, par exemple $4x<4x+1$, qui se réduit à $0<1$ et est donc vérifiée par tout réel. Pour $\varnothing$ : partir d'une affirmation fausse comme $2\le 0$, ce qui donne par exemple $5x+2\le 5x$, qui se réduit à $2\le 0$ et n'a aucune solution. La recette est toujours la même, même coefficient devant $x$ dans les deux membres, et c'est le reste qui décide. Toute autre réponse correcte est acceptée, à condition de la vérifier en la réduisant.

a) Les deux encadrements sont de même sens, on les additionne membre à membre : $2+1\le x+y\le 5+3$, soit $3\le x+y\le 8$. Les deux bornes sont atteintes, la première pour $x=2$ et $y=1$, la seconde pour $x=5$ et $y=3$ : l'encadrement est donc le meilleur possible. C'est la seule des quatre questions qui se traite en une ligne, et c'est pour cela qu'on ramène tout le reste à une addition.

b) On ne soustrait pas deux encadrements. On encadre d'abord $-y$ : multiplier $1\le y\le 3$ par $-1$ renverse le sens, donc $-3\le -y\le -1$, et l'on remarque que les deux bornes ont échangé leurs rôles, $-3$ venant de $3$ et $-1$ venant de $1$. On additionne ensuite avec $2\le x\le 5$ : $2-3\le x-y\le 5-1$, soit $-1\le x-y\le 4$. Vérification aux bornes : $x=2$ et $y=3$ donnent $-1$ ✓, $x=5$ et $y=1$ donnent $4$ ✓. Retenir la logique : la plus petite différence, c'est le plus petit $x$ moins le plus GRAND $y$.

c) Toutes les bornes sont strictement positives, donc la multiplication membre à membre est licite : $2\times 1\le xy\le 5\times 3$, soit $2\le xy\le 15$. La condition de positivité n'est pas décorative : avec $-2\le x\le 5$ et $1\le y\le 3$, la multiplication membre à membre donnerait $-2\le xy\le 15$, alors que $x=-2$ et $y=3$ fournissent $xy=-6$, hors de l'encadrement annoncé. Dès qu'une borne est négative, on revient aux quatre produits des bornes et on garde le plus petit et le plus grand.

d) La fonction inverse est décroissante sur $]0\ ;+\infty[$, donc $1\le y\le 3$ donne $\frac{1}{3}\le\frac{1}{y}\le 1$ : les bornes s'échangent, exactement comme au b). On multiplie ensuite par l'encadrement de $x$, dont toutes les bornes sont positives : $2\times\frac{1}{3}\le\frac{x}{y}\le 5\times 1$, soit $\frac{2}{3}\le\frac{x}{y}\le 5$. Vérification : $x=2$ et $y=3$ donnent $\frac{2}{3}\approx 0{,}67$ ✓, $x=5$ et $y=1$ donnent $5$ ✓. Comme pour la différence, la plus petite valeur du quotient s'obtient avec le plus petit numérateur et le plus GRAND dénominateur.

e) Le couple $x=2$ et $y=3$ convient : il respecte les deux encadrements de départ, et pourtant $x-y=-1$, qui n'est pas dans $[1\ ;2]$. La conclusion de l'élève est donc fausse. L'erreur vient de ce qu'il a soustrait les bornes de gauche entre elles et les bornes de droite entre elles, ce qui reviendrait à faire varier $y$ dans le même sens que $x$, alors que $y$ agit en sens contraire dans une différence. Il n'existe aucune règle de soustraction membre à membre : la seule méthode passe par l'encadrement de $-y$.

f) On traite chaque morceau séparément avant d'additionner. De $2\le x\le 5$ on tire $4\le 2x\le 10$ (facteur positif, sens conservé). De $1\le y\le 3$ on tire $-9\le -3y\le -3$ (facteur négatif, sens renversé). En additionnant les deux encadrements, puis en ajoutant $1$ : $4-9+1\le 2x-3y+1\le 10-3+1$, soit $-4\le 2x-3y+1\le 8$. Vérification aux bornes : $x=2$ et $y=3$ donnent $4-9+1=-4$ ✓, $x=5$ et $y=1$ donnent $10-3+1=8$ ✓.

a) On met au même dénominateur : $\frac{1234}{1235}-\frac{1235}{1236}=\frac{1234\times 1236-1235^{2}}{1235\times 1236}$. Le dénominateur est positif, tout se joue au numérateur : $1234\times 1236=1\,525\,224$ et $1235^{2}=1\,525\,225$, donc le numérateur vaut $-1$. La différence est négative, donc $\frac{1234}{1235}<\frac{1235}{1236}$. Le calcul mérite d'être vu autrement : $1234\times 1236=(1235-1)(1235+1)=1235^{2}-1$, identité remarquable qui donne le résultat sans poser une seule multiplication. Une calculatrice, elle, affiche $0{,}999190\ldots$ dans les deux cas et ne tranche pas.

b) Les deux nombres sont strictement positifs, le quotient est donc licite : $\frac{3^{20}}{2^{30}}=\frac{(3^{2})^{10}}{(2^{3})^{10}}=\left(\frac{9}{8}\right)^{10}$. Comme $\frac{9}{8}>1$, sa puissance dixième est encore plus grande que $1$, donc $3^{20}>2^{30}$. La méthode de la différence aurait exigé d'écrire $3\,486\,784\,401-1\,073\,741\,824$, deux nombres de dix chiffres : sur des puissances, le quotient regroupe les exposants et la différence ne regroupe rien. Numériquement, le rapport vaut environ $3{,}25$.