Maths Première tronc commun, programme français • Exercices corrigés à Montréal

Fiche de révision : variation linéaire, suites arithmétiques et fonctions affines (Première, tronc commun)

Q: Comment savoir si une suite est arithmétique ?

On calcule les écarts entre deux termes consécutifs : le deuxième moins le premier, le troisième moins le deuxième, et ainsi de suite. S'ils sont tous égaux, la suite est arithmétique et cet écart commun est la raison. Si un seul écart diffère, elle ne l'est pas, même si elle augmente à chaque étape. Dans un problème, on le justifie aussi par la situation : la même quantité est ajoutée à chaque étape.

Q: Comment calculer le terme de rang n d'une suite arithmétique ?

On part du terme connu, on compte le nombre de pas jusqu'au rang cherché, et l'on ajoute ce nombre de pas multiplié par la raison. Si la suite commence au rang zéro, il y a n pas ; si elle commence au rang un, il n'y en a que n moins un. Pour vérifier, on remplace n par le rang de départ : la formule doit redonner le premier terme.

Q: Comment trouver la raison avec deux termes qui ne se suivent pas ?

On divise la différence des deux valeurs par la différence des deux rangs. Par exemple, si le terme de rang 4 vaut 26 et celui de rang 9 vaut 51, il y a cinq pas pour une hausse de 25, donc la raison vaut 5. C'est exactement le calcul du coefficient directeur d'une droite passant par deux points.

Q: Comment résoudre un problème de seuil sans calculatrice ?

On écrit l'inéquation qui traduit le verbe de l'énoncé, on la résout, puis on encadre la division par deux multiples entiers au lieu de chercher des décimales. On retient le premier entier qui vérifie l'inéquation, et l'on calcule les deux termes voisins du seuil : l'un vérifie la condition, l'autre non. Cette vérification est la preuve attendue.

Q: Quelle est la différence entre taux marginal et taux moyen d'imposition ?

Le taux marginal est le taux de la tranche où tombe le dernier dollar gagné : il dit combien coûte en impôt un dollar de plus. Le taux moyen est l'impôt total divisé par le revenu total. Comme les premières tranches sont moins imposées, le taux moyen est plus faible que le taux marginal, et passer dans une tranche supérieure ne fait jamais baisser le revenu après impôt.

Cette fiche de révision accompagne le chapitre de variation linéaire des mathématiques du tronc commun de Première, programme français de 2026 : suites arithmétiques, fonctions affines, problèmes de seuil et barème par tranches.

Elle ne redit pas le cours. Elle dit ce qui coûte des points à l'épreuve anticipée, qui se passe sans calculatrice, ce que le correcteur attend exactement, et les contrôles à faire avant de rendre la copie.

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Le fil du chapitre

Linéaire, c'est un ÉCART constant : on le reconnaît aux écarts, jamais à l'impression que « ça augmente », puis on compte les PAS et non les termes, car la valeur vaut départ plus nombre de pas fois écart.

Ce chapitre fait partie de Maths du tronc commun en Première, sans spécialité

Pour s'entraîner Les exercices corrigés de ce chapitre, 10 exercices

Avant ce chapitre

Cette fiche suppose ces notions acquises. Si une méthode ci-dessous reste opaque, c'est presque toujours l'une d'elles qui manque, pas la fiche.

Fonctions affines et systèmesSeconde, Mathématiques Exercices

Remonter plus loin : la chaîne complète (8 chapitres) ↓

Le chemin de remédiation, du plus ancien au plus proche. Un élève qui reprend ce chapitre de zéro le reprend dans cet ordre.

1Calcul littéral et équationsQuatrième, Mathématiques
2Proportionnalité, pourcentages et vitessesQuatrième, Mathématiques
3La notion de fonctionTroisième, Mathématiques
4Les fonctions linéairesTroisième, Mathématiques
5Les fonctions affinesTroisième, Mathématiques
6Développer et factoriserTroisième, Mathématiques
7Équations, équations produit et inéquationsTroisième, Mathématiques
8Fonctions affines et systèmesSeconde, Mathématiques

Notions couvertes

Suite arithmétique
Raison d'une suite arithmétique
Relation de récurrence
Terme de rang n
Sens de variation d'une suite
Représentation graphique d'une suite
Fonction affine
Taux d'accroissement
Coefficient directeur
Problème de seuil
Fonction affine par morceaux
Taux marginal et taux moyen

L'essentiel

Reconnaître : on regarde les écarts

• Une suite est ARITHMÉTIQUE quand on ajoute toujours le même nombre $r$ , la raison : $u(n+1)=u(n)+r$ . La notation $u(n)$ se lit comme une fonction du rang ; $u_{n}$ désigne le même nombre.
• Pour la reconnaître, on calcule les écarts $u(1)-u(0)$ , $u(2)-u(1)$ , ... Ils sont tous égaux : arithmétique. Un seul différent : elle ne l'est pas.
• « Augmente de $40$ chaque année » annonce un écart constant, donc une croissance linéaire. « Augmente de $3\ \%$ par an » annonce un pourcentage constant : ce n'est PAS linéaire.
• Sur un graphique, les points $(n\,;u(n))$ d'une suite arithmétique sont ALIGNÉS, mais isolés : on ne les relie pas.
• Sens de variation : croissante si $r>0$ , décroissante si $r<0$ , comme une fonction affine selon le signe de son coefficient directeur.

a(n)=4+3n

(points pleins) et

b(n)

, qui double (points creux), partent presque ensemble et arrivent toutes deux à

16

; seuls les points de

a

sont alignés, ses écarts valent tous

3

Écrire les écarts noir sur blanc avant de conclure « arithmétique » est la justification que le correcteur attend ; « elle augmente régulièrement » ne rapporte rien.

Calculer : départ, nombre de pas, écart

• TERME DE RANG $n$ : $u(n)=u(0)+n\times r$ . Si la suite commence au rang $1$ : $u(n)=u(1)+(n-1)\times r$ .
• Entre le rang $p$ et le rang $n$ , il y a $n-p$ PAS : $u(n)=u(p)+(n-p)\times r$ .
• Deux termes connus suffisent : $r=\dfrac{u(q)-u(p)}{q-p}$ , la variation divisée par le nombre de pas.
• FONCTION AFFINE $f(x)=ax+b$ : le taux d'accroissement $\dfrac{f(x_{2})-f(x_{1})}{x_{2}-x_{1}}$ vaut toujours $a$ . Un écart $h$ sur $x$ produit un écart $a\times h$ sur $f(x)$ ; $b$ n'y joue aucun rôle.
• Suite arithmétique et fonction affine sont le même modèle : discret pour la suite (on avance de rang en rang), continu pour la fonction.

Les règles de calcul en tableau

Chaque ligne se lit de gauche à droite : les hypothèses, puis le résultat. Une case rouge n'est pas une réponse, c'est le constat que la forme ne décide rien et l'ordre de transformer l'écriture. Chaque cas est suivi d'un exemple chiffré.

Le verbe du seuil décide du rang

Pour $u(n)=20+6n$ et un seuil de $50$ , atteint exactement au rang $5$ . Le calcul est le même sur chaque ligne ; seul le verbe de l'énoncé change le signe de l'inéquation, et donc le rang à répondre.

Verbe de l'énoncé	Inéquation	Rang retenu
« dépasse »	$u(n)>50$	$n=6$
Exemple : $20+6n>50$ donne $n>5$ : $u(5)=50$ ne dépasse pas, $u(6)=56$ dépasse.
« atteint »	$u(n)\ge 50$	$n=5$
Exemple : $20+6n\ge 50$ donne $n\ge 5$ : $u(5)=50$ atteint le seuil.
« ne dépasse pas »	$u(n)\le 50$	$n=5$ au plus
Exemple : $20+6n\le 50$ donne $n\le 5$ : le plus grand rang est $5$ , $u(6)=56$ est trop grand.
« reste sous »	$u(n)<50$	$n=4$ au plus
Exemple : $20+6n<50$ donne $n<5$ : le plus grand rang est $4$ , avec $u(4)=44$ .

Quand la division ne tombe pas juste, par exemple n > 16,6, on ne l'arrondit pas au plus proche : on prend l'entier qui VÉRIFIE l'inéquation, et l'on calcule les deux termes voisins pour le prouver.

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Déclarer une suite arithmétique parce qu'elle augmente

toute la question, et la suite du problème qui s'appuie sur la formule

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Les valeurs $3$ , $5$ , $9$ , $17$ augmentent à chaque étape, donc la suite est arithmétique. »

Ce qu'il faut écrire

« Les écarts valent $2$ , $4$ , $8$ : ils ne sont pas constants, la suite n'est pas arithmétique. »

Pourquoi : Une suite peut augmenter de mille façons ; une seule ajoute toujours la même quantité. Le critère est l'égalité des écarts, et un seul écart différent suffit à réfuter.

2. Compter un pas de trop dans le terme de rang n

1 à 2 points, et chaque question suivante hérite de l'erreur

Ce qu'il ne faut pas écrire

« La suite commence à $u(1)=7$ avec $r=5$ , donc $u(12)=7+12\times 5=67$ . »

Ce qu'il faut écrire

« Du rang $1$ au rang $12$ il y a $11$ pas : $u(12)=7+11\times 5=62$ . »

u(3)

u(10)

: huit termes, mais seulement

10-3=7

pas. C'est le nombre de pas qui multiplie la raison.

Pourquoi : On compte les écarts entre les termes, pas les termes : entre le rang $3$ et le rang $10$ , il y a $8$ termes mais seulement $7$ pas. Le contrôle : la formule doit redonner le premier terme.

3. Diviser par le mauvais nombre à partir de deux termes connus

toute la question

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $u(4)=26$ et $u(9)=51$ , donc $r=\frac{51-26}{9}\approx 2{,}8$ . »

Ce qu'il faut écrire

« Entre le rang $4$ et le rang $9$ il y a $5$ pas : $r=\frac{51-26}{9-4}=\frac{25}{5}=5$ . »

Pourquoi : La raison est une variation PAR PAS : on divise l'écart des valeurs par l'écart des rangs, exactement comme un coefficient directeur se calcule avec deux points.

4. Arrondir un seuil au plus proche

1 point, souvent toute la conclusion du problème

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $30+7n>150$ donne $n>17{,}1$ , donc $n=17$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $n>17{,}1\ldots$ , le premier entier est $18$ : $u(17)=149$ ne dépasse pas, $u(18)=156$ dépasse. »

Pourquoi : L'entier retenu doit VÉRIFIER l'inéquation : on ne l'arrondit pas, on le choisit. Le calcul des deux termes voisins du seuil est la preuve que le correcteur attend.

5. Résoudre une égalité quand l'énoncé dit « dépasse »

1 point

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $20+6n=50$ donne $n=5$ : la suite dépasse $50$ au rang $5$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $u(5)=50$ atteint $50$ sans le dépasser ; elle le dépasse à partir du rang $6$ . »

Pourquoi : Quand le seuil tombe exactement sur un terme, le verbe de l'énoncé tranche entre deux rangs voisins. Relire le verbe avant d'écrire la réponse, voir le tableau plus haut.

6. Convertir un écart avec la formule d'une valeur

toute la question

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Avec $f(x)=3x+40$ , si $x$ augmente de $5$ , $f(x)$ augmente de $3\times 5+40=55$ . »

Ce qu'il faut écrire

« Un écart de $5$ sur $x$ donne un écart de $3\times 5=15$ sur $f(x)$ : l'ordonnée à l'origine s'annule dans la différence. »

Pourquoi : $f(x+5)-f(x)=3(x+5)+40-3x-40=15$ : seul le coefficient directeur agit sur les écarts. C'est le piège des conversions d'unités de température.

7. Prendre le taux marginal pour le taux moyen

toute la question, souvent le double de l'impôt réel

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Mon revenu tombe dans la tranche à $20\ \%$ , donc je paie $20\ \%$ de mon revenu. »

Ce qu'il faut écrire

« $20\ \%$ est le taux marginal, appliqué à la seule part du revenu dans cette tranche ; le taux moyen $\frac{I(R)}{R}$ est plus faible. »

Pourquoi : Dans une fonction affine par morceaux, chaque morceau a sa propre pente. Le taux marginal est la pente du dernier morceau ; le taux moyen mélange toutes les tranches, les moins imposées comprises.

8. Croire qu'une croissance linéaire double à intervalle régulier

toute la question

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $u(n)=10+2n$ vaut $20$ au rang $5$ , donc elle vaut $40$ au rang $10$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $u(10)=10+20=30$ : une suite arithmétique AJOUTE $2$ par pas, elle ne multiplie pas. »

Pourquoi : « Doubler tous les $k$ rangs » est la signature d'une croissance exponentielle. En linéaire, chaque période ajoute la même QUANTITÉ, donc la part relative de la hausse diminue.

Quelle méthode choisir

Quelle formule, selon ce que donne l'énoncé

Une grandeur qui évolue par étapes ou en continu

Si L'énoncé annonce une quantité ajoutée ou retirée à chaque étape (« de plus », « de moins » chaque année) → Croissance linéaire : suite arithmétique de raison cette quantité, avec son signe

Exemple : « $35$ litres consommés par jour » : $r=-35$
Si L'énoncé annonce un POURCENTAGE constant → Ce n'est pas linéaire : c'est le chapitre de la variation exponentielle

Exemple : « $+4\ \%$ par an » multiplie par $1{,}04$ ; on n'ajoute pas $4$
Si On connaît le premier terme et la raison → Départ plus nombre de pas fois raison, en repérant le rang du départ

Exemple : $u(0)=9$ , $r=4$ : $u(n)=9+4n$ ; $u(1)=9$ , $r=4$ : $u(n)=9+4(n-1)$
Si On connaît deux termes $u(p)$ et $u(q)$ → Raison = écart des valeurs divisé par écart des rangs, puis on remonte au départ

Exemple : $u(4)=26$ , $u(9)=51$ : $r=5$ et $u(0)=26-20=6$
Si On connaît deux points d'une fonction affine → Coefficient directeur = taux d'accroissement entre ces deux points

Exemple : $f(2)=11$ , $f(6)=3$ : $a=\frac{3-11}{6-2}=-2$ et $f(x)=-2x+15$

Aucune calculatrice à l'épreuve anticipée : si une division ne tombe pas juste, encadrer par deux multiples (48 × 39 = 1 872 et 48 × 40 = 1 920) plutôt que chercher des décimales.

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Résoudre un problème de seuil dans le cas linéaire

Quand l'utiliser : « À partir de quand... », « au bout de combien... », « le plus grand nombre de... »

1 Justifier que la suite est arithmétique, par la situation (même quantité ajoutée à chaque étape) ou par les écarts.
2 Écrire le terme de rang n : départ plus nombre de pas fois raison, en vérifiant qu'il redonne le premier terme.
3 Traduire le verbe de l'énoncé en inéquation : stricte pour « dépasse » ou « moins de », large pour « atteint » ou « au plus ».
4 Résoudre, en changeant le sens de l'inégalité si l'on divise par un nombre négatif.
5 Choisir l'entier qui vérifie l'inéquation, sans arrondir au plus proche.
6 Calculer les deux termes voisins du seuil, puis conclure par une phrase avec l'unité.

Phrase de conclusion

« Le volume vaut $u(n)=500-35n$ . On résout $500-35n<100$ , soit $35n>400$ et $n>11{,}4\ldots$ Or $u(11)=115$ et $u(12)=80$ : il reste moins de $100$ litres pour la première fois au bout de $12$ jours. »

Le piège : Diviser par un nombre négatif sans retourner l'inégalité : −35n < −400 devient n > 11,4, et non n < 11,4.

Barème : 1 point pour le modèle justifié, 1 point pour l'inéquation, 1 point pour la résolution, 1 point pour les deux termes voisins et la phrase de conclusion.

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

La formule redonne le départ

On remplace n par le rang du premier terme dans la formule trouvée. Si l'on ne retrouve pas la valeur de l'énoncé, un pas a été compté en trop ou en moins.

$u(n)=7+5n$ pour une suite qui commence à $u(1)=7$ donne $u(1)=12$ : la formule est fausse, il fallait $7+5(n-1)$ .
Les deux termes connus

Quand l'énoncé donne deux valeurs, la formule doit redonner les deux, pas seulement celle qui a servi de départ.

$u(n)=6+5n$ redonne $u(4)=26$ et $u(9)=51$ : la raison et le départ sont justes.
Les voisins du seuil

On calcule le terme au rang trouvé et au rang précédent : l'un doit vérifier la condition, l'autre non.

$u(11)=115$ et $u(12)=80$ encadrent le seuil de $100$ : le rang $12$ est le bon. Si les deux sont du même côté, l'inéquation est fausse.
Le signe de la raison et le sens de l'énoncé

Une quantité qui diminue a une raison négative ; une suite décroissante qui « dépasse » un seuil vers le haut doit alerter.

Une citerne qui se vide avec $r=+35$ : le signe a été perdu dans la traduction de l'énoncé.

L'exercice type décortiqué

La citerne connue par deux relevés

Une citerne de récupération d'eau ne reçoit plus de pluie ; on y puise chaque jour la même quantité. On note $u(n)$ le volume, en litres, au matin du jour $n$ . Deux relevés donnent $u(2)=430$ et $u(6)=290$ .

Au bout de combien de jours restera-t-il moins de $100$ litres ?

Étape 1

On puise chaque jour la même quantité : l'écart entre deux jours est constant, $(u(n))$ est arithmétique.

Pourquoi

La justification vient de la SITUATION, pas des deux nombres : deux relevés ne suffisent jamais à prouver qu'une évolution est linéaire, ils suffisent à la chiffrer une fois qu'on le sait.

Étape 2

Du jour $2$ au jour $6$ il y a $4$ pas : $r=\dfrac{290-430}{6-2}=\dfrac{-140}{4}=-35$ .

Pourquoi

On divise par l'écart des RANGS, $4$ , et l'on garde le signe : la citerne se vide, la raison est négative.

Étape 3

Du jour $0$ au jour $2$ : deux pas de $-35$ , donc $u(0)=430+70=500$ et $u(n)=500-35n$ . Contrôle : $u(6)=500-210=290$ .

Pourquoi

On remonte au rang $0$ pour avoir la formule la plus simple, puis on la vérifie sur le relevé qui n'a pas servi au départ.

Étape 4

$500-35n<100$ donne $-35n<-400$ , puis $n>\dfrac{400}{35}=11{,}4\ldots$

Pourquoi

« Moins de $100$ » est une inégalité stricte. En divisant par $-35$ , négatif, on RETOURNE le sens de l'inégalité.

Étape 5

Le premier entier est $n=12$ . Vérification : $u(11)=500-385=115$ , encore au-dessus, et $u(12)=500-420=80$ , en dessous.

Pourquoi

Sans calculatrice, on encadre : $35\times 11=385$ et $35\times 12=420$ . Les deux voisins du seuil prouvent la réponse mieux que n'importe quelle décimale.

Conclusion rédigée

Il restera moins de $100$ litres pour la première fois au matin du jour $12$ , avec $80$ litres.

L'erreur classique sur cet exercice : Écrire $r=\frac{290-430}{6}$ en divisant par le numéro du jour, ou garder le départ $u(2)=430$ avec $u(n)=430-35n$ : les deux donnent un seuil faux d'un ou deux jours.

À savoir par cœur

• Arithmétique : $u(n+1)=u(n)+r$ ; on la reconnaît aux ÉCARTS égaux, pas au fait qu'elle augmente.
• $u(n)=u(0)+nr$ ; si l'on part du rang $1$ : $u(n)=u(1)+(n-1)r$ .
• Entre le rang $p$ et le rang $n$ : $n-p$ PAS, et $n-p+1$ termes.
• Deux termes connus : $r=\dfrac{u(q)-u(p)}{q-p}$ .
• Croissante si $r>0$ , décroissante si $r<0$ ; points ALIGNÉS mais non reliés.
• Fonction affine : taux d'accroissement = coefficient directeur $a$ ; un écart $h$ donne un écart $ah$ .
• Seuil : « dépasse » strict, « atteint » large ; on choisit l'entier, on ne l'arrondit pas, on vérifie les deux voisins.
• Barème par tranches : taux marginal = pente du dernier morceau ; taux moyen = impôt divisé par revenu.

Questions fréquentes

Comment savoir si une suite est arithmétique ?

On calcule les écarts entre deux termes consécutifs : le deuxième moins le premier, le troisième moins le deuxième, et ainsi de suite. S'ils sont tous égaux, la suite est arithmétique et cet écart commun est la raison. Si un seul écart diffère, elle ne l'est pas, même si elle augmente à chaque étape. Dans un problème, on le justifie aussi par la situation : la même quantité est ajoutée à chaque étape.

Comment calculer le terme de rang n d'une suite arithmétique ?

On part du terme connu, on compte le nombre de pas jusqu'au rang cherché, et l'on ajoute ce nombre de pas multiplié par la raison. Si la suite commence au rang zéro, il y a n pas ; si elle commence au rang un, il n'y en a que n moins un. Pour vérifier, on remplace n par le rang de départ : la formule doit redonner le premier terme.

Comment trouver la raison avec deux termes qui ne se suivent pas ?

On divise la différence des deux valeurs par la différence des deux rangs. Par exemple, si le terme de rang 4 vaut 26 et celui de rang 9 vaut 51, il y a cinq pas pour une hausse de 25, donc la raison vaut 5. C'est exactement le calcul du coefficient directeur d'une droite passant par deux points.

Comment résoudre un problème de seuil sans calculatrice ?

On écrit l'inéquation qui traduit le verbe de l'énoncé, on la résout, puis on encadre la division par deux multiples entiers au lieu de chercher des décimales. On retient le premier entier qui vérifie l'inéquation, et l'on calcule les deux termes voisins du seuil : l'un vérifie la condition, l'autre non. Cette vérification est la preuve attendue.

Quelle est la différence entre taux marginal et taux moyen d'imposition ?

Le taux marginal est le taux de la tranche où tombe le dernier dollar gagné : il dit combien coûte en impôt un dollar de plus. Le taux moyen est l'impôt total divisé par le revenu total. Comme les premières tranches sont moins imposées, le taux moyen est plus faible que le taux marginal, et passer dans une tranche supérieure ne fait jamais baisser le revenu après impôt.

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Exercices corrigés : Variation linéaire : suites arithmétiques et fonctions affines

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

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Variation exponentielle

© Ahmed Squalli Houssaini. Fiche publiée sur www.letuteurscientifique.ca/fiches/1mtc-variation-lineaire. Libre pour l'usage personnel et en classe ; sa republication ailleurs demande une autorisation écrite (mentions légales).

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