Maths Première, tronc commun, programme français • Exercices corrigés à Montréal

Fiche de révision : variation exponentielle (Première, tronc commun)

Cette fiche de révision accompagne le chapitre de variation exponentielle des mathématiques du tronc commun de Première, programme français de 2026 : suites géométriques, fonction x ↦ aˣ, exposant 1/n, taux d'évolution moyen et problèmes de seuil.

Elle ne redit pas le cours. Elle dit ce qui coûte des points à l'épreuve anticipée, passée sans calculatrice, ce que le correcteur attend exactement, et les contrôles à faire avant de rendre la copie.

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Le fil du chapitre

Le temps s'additionne, le coefficient se multiplie : $n$ périodes, c'est $C^{n}$ ; une fraction $\frac{1}{n}$ de période, c'est $C^{\frac{1}{n}}$ , jamais le taux divisé par $n$ . Presque toutes les erreurs du chapitre sont un taux qu'on a partagé ou additionné.

Ce chapitre fait partie de Maths du tronc commun en Première, sans spécialité

Pour s'entraîner Les exercices corrigés de ce chapitre, 10 exercices

Avant ce chapitre

Cette fiche suppose ces notions acquises. Si une méthode ci-dessous reste opaque, c'est presque toujours l'une d'elles qui manque, pas la fiche.

Remonter plus loin : la chaîne complète (10 chapitres) ↓

Le chemin de remédiation, du plus ancien au plus proche. Un élève qui reprend ce chapitre de zéro le reprend dans cet ordre.

1Fractions et proportionnalitéSixième, Mathématiques
2Proportionnalité et pourcentagesCinquième, Mathématiques
3Proportionnalité, pourcentages et vitessesQuatrième, Mathématiques
4Les fonctions linéairesTroisième, Mathématiques
5Les fonctions affinesTroisième, Mathématiques
6Développer et factoriserTroisième, Mathématiques
7Équations, équations produit et inéquationsTroisième, Mathématiques
8Pourcentages et évolutionsSeconde, Mathématiques
9Fonctions affines et systèmesSeconde, Mathématiques
10Variation linéaire : suites arithmétiques et fonctions affines

Notions couvertes

Suite géométrique
Raison d'une suite géométrique
Terme de rang n
Coefficient multiplicateur
Fonction exponentielle de base a
Racine n-ième
Exposant fractionnaire
Taux d'évolution moyen
Croissance exponentielle
Décroissance exponentielle
Demi-vie
Problème de seuil

L'essentiel

Arithmétique ou géométrique : écarts ou quotients

• Suite ARITHMÉTIQUE : on ajoute toujours la même raison $r$ . $u(n)=u(0)+nr$ . Écarts constants, nuage de points ALIGNÉ : croissance linéaire.
• Suite GÉOMÉTRIQUE : on multiplie toujours par la même raison $q>0$ . $u(n)=u(0)\times q^{n}$ . Quotients constants, nuage de points COURBÉ : croissance ou décroissance exponentielle.
• Une évolution de $t\ \%$ par période est une suite géométrique de raison $q=1+\frac{t}{100}$ : $+44\ \%$ donne $1{,}44$ , $-20\ \%$ donne $0{,}8$ .
• Termes strictement positifs : $q>1$ croissante, $q=1$ constante, $0<q<1$ décroissante, sans jamais atteindre $0$ .

Les points vides montent de

15

à chaque pas et sont alignés ; les points pleins doublent à chaque pas et dessinent une courbe qui se redresse.

Pour reconnaître un modèle dans un tableau, calculez d'abord les écarts, puis les quotients : c'est la justification que le correcteur attend, pas une impression sur l'allure des nombres.

L'exposant 1/n et la fonction x ↦ aˣ

• $a^{\frac{1}{n}}$ est le nombre POSITIF dont la puissance $n$ -ième vaut $a$ : $\left(a^{\frac{1}{n}}\right)^{n}=a$ . $8^{\frac{1}{3}}=2$ , $81^{\frac{1}{4}}=3$ , $1{,}44^{\frac{1}{2}}=1{,}2$ .
• Propriétés admises : $a^{x}\times a^{y}=a^{x+y}$ , $\left(a^{x}\right)^{y}=a^{xy}$ , $a^{x}\times b^{x}=(ab)^{x}$ . Donc $a^{\frac{p}{n}}=\left(a^{\frac{1}{n}}\right)^{p}$ .
• La fonction $x\mapsto a^{x}$ ( $a>0$ , $x\geq 0$ ) PROLONGE la suite $a^{n}$ entre les entiers : sa courbe passe par tous les points du nuage.
• Entre deux relevés, la valeur exponentielle du milieu est la moyenne GÉOMÉTRIQUE des deux relevés, $\sqrt{u\times v}$ , pas leur moyenne arithmétique.

Le temps s'additionne, le coefficient se multiplie

• $n$ périodes de coefficient $C$ : coefficient $C^{n}$ . Deux ans à $+20\ \%$ : $1{,}2^{2}=1{,}44$ .
• Une fraction $\frac{1}{n}$ de période : coefficient $C^{\frac{1}{n}}$ . Six mois à $+44\ \%$ par an : $1{,}44^{\frac{1}{2}}=1{,}2$ , soit $+20\ \%$ .
• Taux moyen de $n$ évolutions de coefficient global $C$ : $t_{m}=C^{\frac{1}{n}}-1$ .
• Demi-vie : au bout de $k$ demi-vies, entier ou non, il reste la fraction $0{,}5^{k}$ .

Écrire le coefficient avant le taux, à chaque ligne, évite presque toutes les erreurs de ce chapitre.

Les règles de calcul en tableau

Chaque ligne se lit de gauche à droite : les hypothèses, puis le résultat. Une case rouge n'est pas une réponse, c'est le constat que la forme ne décide rien et l'ordre de transformer l'écriture. Chaque cas est suivi d'un exemple chiffré.

Couper une période : le coefficient d'une fraction de période

On connaît le coefficient d'une période entière et l'on cherche celui d'une fraction de période. La dernière colonne se vérifie toujours en l'élevant à la puissance n.

Coefficient d'une période	Fraction	Coefficient cherché
$1{,}44$	$\frac{1}{2}$	$1{,}2$
Exemple : $1{,}2^{2}=1{,}44$ : six mois à $+20\ \%$ pour $+44\ \%$ par an.
$0{,}5$	$\frac{1}{2}$	$\approx 0{,}707$
Exemple : Une demi demi-vie : $0{,}707^{2}\approx 0{,}5$ , il reste environ $70{,}7\ \%$ .
$1{,}331$	$\frac{1}{3}$	$1{,}1$
Exemple : $1{,}1^{3}=1{,}331$ : trois fois $+10\ \%$ font $+33{,}1\ \%$ .
$0{,}656\,1$	$\frac{1}{4}$	$0{,}9$
Exemple : $0{,}9^{2}=0{,}81$ et $0{,}81^{2}=0{,}656\,1$ : un quart de période à $-10\ \%$ .
$1{,}44$	$\frac{1}{2}$	$1{,}22$ règle inexistante
Exemple : $1{,}22^{2}=1{,}488\,4$ , et non $1{,}44$ : diviser le taux $44\ \%$ par deux donne trop. Ce qu'il faut faire : On prend la racine du COEFFICIENT, $1{,}44^{\frac{1}{2}}=1{,}2$ , puis on lit le taux.

Le taux d'une fraction de période est toujours un peu plus petit que le taux divisé, pour une hausse : les intérêts des premiers mois rapportent déjà.

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Diviser le taux par la fraction de temps

toute la question, et chaque valeur qui en dépend

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $+44\ \%$ par an, donc $+22\ \%$ en six mois. »

Ce qu'il faut écrire

« En six mois le coefficient est $1{,}44^{\frac{1}{2}}=1{,}2$ : hausse de $20\ \%$ . »

Pourquoi : Deux semestres doivent se composer en $1{,}44$ : $1{,}22^{2}=1{,}488\,4$ donne trop. Couper le temps en deux, c'est prendre une racine carrée du coefficient.

2. Prendre la moyenne des taux pour le taux moyen

2 points

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $+60\ \%$ puis $-10\ \%$ : en moyenne $\frac{60-10}{2}=25\ \%$ par an. »

Ce qu'il faut écrire

« Coefficient global $1{,}6\times 0{,}9=1{,}44$ ; taux moyen $1{,}44^{\frac{1}{2}}-1=0{,}2$ , soit $20\ \%$ . »

Pourquoi : Deux hausses de $25\ \%$ donneraient $1{,}25^{2}=1{,}562\,5$ , pas $1{,}44$ . Le taux moyen doit reproduire l'évolution GLOBALE ; seule la racine du coefficient global le fait.

3. Lire la corde au lieu de la courbe

toute la question

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Demi-vie de $8$ jours : au bout de $4$ jours, il reste $75\ \%$ de la substance. »

Ce qu'il faut écrire

« Quatre jours, c'est une demi demi-vie : il reste $0{,}5^{\frac{1}{2}}\approx 0{,}707$ , soit $70{,}7\ \%$ . »

Au jour

4

, la courbe passe par

0{,}707

, sous la corde tirée de

(0\,;1)

(8\,;0{,}5)

qui donnerait

0{,}75

Pourquoi : $75\ \%$ est le milieu de la corde, qui suppose une perte linéaire. Si l'on gardait $75\ \%$ par moitié de demi-vie, une demi-vie laisserait $0{,}75^{2}=56{,}25\ \%$ , et non $50\ \%$ .

4. Lire l'exposant 1/n comme une division

1 point par calcul, et tout ce qui suit

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $27^{\frac{1}{3}}=\frac{27}{3}=9$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $27^{\frac{1}{3}}=3$ , car $3^{3}=27$ . »

Pourquoi : $a^{\frac{1}{n}}$ est le nombre qui, pris $n$ fois en FACTEUR, redonne $a$ . Contrôle immédiat : $9^{3}=729$ , bien loin de $27$ .

5. Additionner les taux d'évolutions successives

1 à 2 points

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $+20\ \%$ puis $+20\ \%$ , soit $+40\ \%$ en deux ans. »

Ce qu'il faut écrire

« $1{,}2\times 1{,}2=1{,}44$ : hausse globale de $44\ \%$ . »

Pourquoi : La deuxième hausse s'applique à une valeur déjà augmentée : on multiplie les coefficients, on n'additionne jamais les taux.

6. Se tromper de rang de départ

toute la suite de l'exercice

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $u(1)=5$ et $q=2$ , donc $u(4)=5\times 2^{4}=80$ . »

Ce qu'il faut écrire

« Le premier terme est $u(1)$ : $u(4)=u(1)\times 2^{4-1}=5\times 8=40$ . »

Pourquoi : L'exposant compte les multiplications entre le terme connu et le terme cherché : de $u(1)$ à $u(4)$ , il y en a trois, pas quatre.

7. Arrêter un seuil un rang trop tôt

1 point

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $3\times 2^{n}>100$ : $3\times 2^{5}=96$ , c'est presque $100$ , donc $n=5$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $3\times 2^{5}=96<100$ et $3\times 2^{6}=192>100$ : le seuil est franchi pour $n=6$ . »

Pourquoi : Un seuil se FRANCHIT : on donne le premier rang qui dépasse, et l'on écrit les deux calculs qui l'encadrent, le rang d'avant et le rang trouvé.

8. Faire s'annuler une décroissance exponentielle

toute la question

Ce qu'il ne faut pas écrire

« On perd $20\ \%$ de $50$ , soit $10$ par an : dans cinq ans il ne reste rien. »

Ce qu'il faut écrire

« On garde $80\ \%$ de ce qui reste : au bout de cinq ans il reste $50\times 0{,}8^{5}\approx 16{,}4$ . »

Pourquoi : La perte de la première année ne se répète pas : chaque année on perd $20\ \%$ d'une quantité plus petite. Une décroissance exponentielle ne devient jamais nulle.

Quelle méthode choisir

Quel calcul, selon la durée demandée

On connaît le coefficient C d'une période et l'énoncé demande une durée ou un taux

Si Un nombre ENTIER $n$ de périodes → Coefficient $C^{n}$ , calculé de proche en proche

Exemple : Trois ans à $+10\ \%$ : $1{,}1^{3}=1{,}331$
Si Une fraction $\frac{1}{n}$ de période : six mois sur un an, un tiers de demi-vie → Coefficient $C^{\frac{1}{n}}$ , la racine $n$ -ième

Exemple : Six mois à $+44\ \%$ par an : $1{,}44^{\frac{1}{2}}=1{,}2$
Si Une durée mixte : un an et demi, deux demi-vies et demie → On découpe l'exposant et l'on multiplie : $C^{1{,}5}=C\times C^{\frac{1}{2}}$

Exemple : $1{,}44^{1{,}5}=1{,}44\times 1{,}2=1{,}728$
Si Un taux MOYEN sur $n$ évolutions → On multiplie les coefficients, puis on prend la racine $n$ -ième du produit

Exemple : $+60\ \%$ puis $-10\ \%$ : $1{,}44^{\frac{1}{2}}-1=20\ \%$
Si Un SEUIL : à partir de quand → On calcule les termes un à un, on lit la courbe, ou l'on recopie une formule de tableur, jusqu'au premier qui franchit

Exemple : $3\times 2^{6}=192$ est le premier au-dessus de $100$

Aucun logarithme n'est au programme de ce chapitre : un seuil se trouve par essais successifs, par lecture graphique ou avec un tableur, jamais en résolvant une équation.

Croissance ou décroissance, selon la base

Une suite géométrique à termes positifs ou une fonction x ↦ aˣ

Toutes les courbes partent de

(0\,;1)

; celle de base

1{,}5

monte, celle de base

0{,}6

descend vers

0

sans l'atteindre, la base

1

reste plate.

Si Base ou raison supérieure à $1$ → Croissance exponentielle

Exemple : $1{,}5^{2}=2{,}25>1{,}5$
Si Base ou raison égale à $1$ → Grandeur constante

Exemple : $1^{x}=1$ pour tout $x$
Si Base ou raison entre $0$ et $1$ → Décroissance exponentielle, vers $0$ sans jamais l'atteindre

Exemple : $0{,}6^{2}=0{,}36<0{,}6$

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Calculer une valeur au bout d'une fraction de période

Quand l'utiliser : L'énoncé donne une évolution par an, par demi-vie ou par génération, et demande une valeur au bout d'une durée qui n'est pas un nombre entier de périodes

1 Écrire le coefficient multiplicateur d'une période entière.
2 Exprimer la durée demandée en nombre de périodes, entier ou fractionnaire.
3 Justifier le coefficient de la fraction : appliqué n fois, il doit redonner celui de la période.
4 Calculer ce coefficient comme une racine, de tête ou avec la valeur donnée par l'énoncé.
5 Multiplier la valeur de départ par ce coefficient, puis traduire en taux si on le demande.
6 Vérifier en élevant le coefficient trouvé à la puissance n.

Phrase de conclusion

« En un an la valeur est multipliée par $1{,}44$ . Six mois sont une demi-période : le coefficient semestriel $c$ vérifie $c^{2}=1{,}44$ , donc $c=1{,}44^{\frac{1}{2}}=1{,}2$ . Au bout de six mois, la valeur est multipliée par $1{,}2$ , soit une hausse de $20\ \%$ . »

Le piège : Écrire directement 22 % sans passer par le coefficient : même si la question ne demande qu'un taux, le correcteur attend le coefficient et sa justification.

Barème : 1 point pour le coefficient de la période, 1 point pour la justification c puissance n égale C, 1 point pour la valeur, 1 point pour la phrase de conclusion.

Résoudre un problème de seuil sans calculatrice

Quand l'utiliser : « À partir de quel rang », « au bout de combien de périodes » la grandeur dépasse ou passe sous une valeur

1 Écrire l'inéquation avec le terme général, par exemple 3 × 2 puissance n > 100.
2 Calculer les termes successifs, en réutilisant chaque fois le précédent.
3 S'arrêter au premier terme qui franchit le seuil, et écrire aussi le terme d'avant.
4 Justifier que le seuil reste franchi ensuite, par le sens de variation.
5 Conclure par une phrase avec l'unité de temps du problème.

Phrase de conclusion

« $3\times 2^{5}=96<100$ et $3\times 2^{6}=192>100$ . La suite étant croissante, le seuil de $100$ est dépassé à partir du rang $6$ , et le reste ensuite. »

Le piège : Donner le dernier rang sous le seuil au lieu du premier au-dessus, ou oublier de convertir le rang en durée réelle quand une période dure plusieurs jours ou plusieurs années.

Barème : 1 point pour l'encadrement par deux termes consécutifs, 1 point pour l'argument de monotonie, 1 point pour la conclusion.

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

Recomposer le coefficient

Un coefficient de fraction de période, élevé à la puissance n, doit redonner le coefficient de la période entière.

$1{,}2^{2}=1{,}44$ confirme le semestre ; $1{,}22^{2}=1{,}488\,4$ dit que $22\ \%$ est faux.
Sous la corde

Pour une croissance comme pour une décroissance exponentielle, la valeur intermédiaire est sous le milieu des deux relevés, jamais au-dessus.

Entre $1$ et $0{,}5$ , le milieu vaut $0{,}75$ : une réponse de $0{,}8$ au bout d'une demi demi-vie est forcément fausse.
Le taux moyen est entre les taux

Le taux moyen se situe entre le plus petit et le plus grand des taux appliqués, et un peu en dessous de leur moyenne.

Entre $-10\ \%$ et $+60\ \%$ , le taux moyen $20\ \%$ est bien placé, sous la moyenne $25\ \%$ .
Le sens du coefficient

Un coefficient supérieur à 1 annonce une hausse, inférieur à 1 une baisse. Un résultat qui contredit le sens de l'énoncé signale un coefficient mal écrit.

Une substance éliminée qui passe de $100$ à $120$ mg : le coefficient $1{,}2$ a été écrit à la place de $0{,}8$ .

L'exercice type décortiqué

Une culture de levures

Une culture compte $500$ levures. Toutes les deux heures, leur nombre est multiplié par $1{,}69$ . On admet que le nombre de levures au bout de $t$ heures vaut $N(t)=500\times 1{,}69^{\frac{t}{2}}$ .

Calculez le nombre de levures au bout d'une heure et de trois heures, le taux d'évolution horaire, puis l'heure entière à partir de laquelle la culture dépasse $2\,000$ levures. Données : $1{,}3^{5}=3{,}712\,93$ et $1{,}3^{6}=4{,}826\,809$ .

Étape 1

Coefficient horaire $c$ : $c^{2}=1{,}69$ , donc $c=1{,}69^{\frac{1}{2}}=1{,}3$ , car $1{,}3^{2}=1{,}69$ .

Pourquoi

Une heure est une demi-période. Poser $c^{2}=1{,}69$ est la justification attendue ; la moyenne de $1$ et $1{,}69$ n'a aucun sens ici.

Étape 2

$N(1)=500\times 1{,}3=650$ levures ; $N(3)=500\times 1{,}69\times 1{,}3=1\,098{,}5$ , soit environ $1\,099$ levures.

Pourquoi

Trois heures, c'est une période plus une demi-période : on découpe l'exposant, $1{,}69^{1{,}5}=1{,}69\times 1{,}3$ .

Étape 3

Taux horaire : $1{,}3-1=0{,}3$ , soit $+30\ \%$ par heure, et non $\frac{69}{2}=34{,}5\ \%$ .

Pourquoi

Le taux se lit sur le coefficient, après la racine. Diviser $69\ \%$ par deux est l'erreur que la question cherche à provoquer.

Étape 4

$N(t)=500\times 1{,}3^{t}$ . $N(5)=500\times 3{,}712\,93\approx 1\,856$ et $N(6)=500\times 4{,}826\,809\approx 2\,413$ .

Pourquoi

Le seuil $2\,000$ correspond à $1{,}3^{t}>4$ : $1{,}3^{5}<4<1{,}3^{6}$ . On écrit les DEUX valeurs qui encadrent le seuil.

Étape 5

Vérification : $1{,}3^{2}=1{,}69$ et $N(2)=500\times 1{,}69=845$ , la valeur donnée par la période entière.

Pourquoi

Le coefficient horaire recomposé redonne le coefficient de deux heures : le calcul est cohérent.

Conclusion rédigée

Au bout d'une heure la culture compte $650$ levures, au bout de trois heures environ $1\,099$ ; elle croît de $30\ \%$ par heure et dépasse $2\,000$ levures à partir de la sixième heure.

L'erreur classique sur cet exercice : Prendre $+34{,}5\ \%$ par heure, moitié de $69\ \%$ : on trouve alors $N(1)=672{,}5$ , et le seuil est franchi une heure trop tôt dans les calculs suivants.

À savoir par cœur

• Suite géométrique : $u(n+1)=q\times u(n)$ et $u(n)=u(0)\times q^{n}$ .
• Écarts constants : arithmétique. Quotients constants : géométrique.
• $a^{\frac{1}{n}}$ : le nombre positif dont la puissance $n$ -ième vaut $a$ . $8^{\frac{1}{3}}=2$ .
• $a^{x}\times a^{y}=a^{x+y}$ et $\left(a^{x}\right)^{y}=a^{xy}$ .
• Fraction $\frac{1}{n}$ de période : coefficient $C^{\frac{1}{n}}$ , JAMAIS le taux divisé par $n$ .
• Taux moyen de $n$ évolutions : $C_{\text{global}}^{\frac{1}{n}}-1$ .
• Base $>1$ croissance, base entre $0$ et $1$ décroissance, sans jamais atteindre $0$ .
• Seuil : le PREMIER rang qui franchit, encadré par le rang d'avant.

Questions fréquentes

Comment calculer une valeur au bout de six mois quand on connaît le taux annuel ?

On ne divise pas le taux par deux. On écrit le coefficient annuel, par exemple 1,44 pour une hausse de 44 pour cent, puis on cherche le nombre qui, multiplié deux fois par lui-même, redonne ce coefficient : c'est sa racine carrée, ici 1,2. En six mois la valeur est donc multipliée par 1,2, soit une hausse de 20 pour cent et non de 22.

Comment calculer un taux d'évolution moyen sur plusieurs années ?

On multiplie d'abord les coefficients de chaque année pour obtenir le coefficient global. Le coefficient moyen est la racine n-ième de ce coefficient global, n étant le nombre d'années, et le taux moyen est ce coefficient moins un. Par exemple une hausse de 60 pour cent puis une baisse de 10 pour cent donnent 1,44 au total, donc un taux moyen de 20 pour cent par an.

Que veut dire 8 puissance un tiers ?

C'est la racine cubique de 8, le nombre positif qui, multiplié trois fois par lui-même, donne 8. Comme deux fois deux fois deux font huit, 8 puissance un tiers vaut 2. L'exposant un sur n ne divise jamais par n : il demande quel nombre, élevé à la puissance n, redonne le nombre de départ.

Comment savoir si une évolution est linéaire ou exponentielle ?

On calcule les écarts entre valeurs consécutives, puis les quotients. Si les écarts sont constants, l'évolution est linéaire et son nuage de points est aligné. Si ce sont les quotients qui sont constants, l'évolution est exponentielle : on multiplie toujours par le même nombre, et le nuage de points dessine une courbe.

Combien reste-t-il de noyaux radioactifs au bout d'une demi demi-vie ?

Il en reste environ 70,7 pour cent, et non 75 pour cent. Deux demi demi-vies successives doivent laisser la moitié des noyaux, donc le coefficient d'une demi demi-vie est la racine carrée de 0,5, soit environ 0,707. La valeur de 75 pour cent supposerait une décroissance linéaire, qui laisserait plus de la moitié des noyaux au bout d'une demi-vie entière.

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Exercices corrigés : Variation exponentielle

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

10 exercices corrigés
100 points
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Une histoire du vivantTerminale, Enseignement scientifique

© Ahmed Squalli Houssaini. Fiche publiée sur www.letuteurscientifique.ca/fiches/1mtc-variation-exponentielle. Libre pour l'usage personnel et en classe ; sa republication ailleurs demande une autorisation écrite (mentions légales).

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