Exercices corrigés : variation exponentielle et suites géométriques (Première, tronc commun)

a) À l'étape $1$, le grand triangle est coupé en quatre et l'on retire celui du milieu, pointe en bas : il reste $T(1)=3$ triangles noirs. Le piège est d'en compter quatre, en prenant le trou pour un triangle : le triangle central est BLANC, il ne compte pas. À l'étape $2$, chacun des $3$ triangles noirs subit la même opération et donne $3$ triangles : $T(2)=3\times 3=9$. Sans dessiner, l'étape $3$ donne $T(3)=9\times 3=27$. On ne compte plus sur la figure, on applique la règle.

b) Chaque triangle noir est remplacé par trois : $T(n+1)=3\times T(n)$. On passe d'un terme au suivant en MULTIPLIANT toujours par le même nombre, donc $T$ est une suite géométrique de premier terme $T(0)=1$ et de raison $3$. Le terme de rang $n$ s'obtient en multipliant $n$ fois par $3$ : $T(n)=1\times 3^{n}=3^{n}$. Donc $T(5)=3^{5}=243$. Remarquez la différence avec une suite arithmétique, où l'on AJOUTE toujours le même nombre : ici les écarts $2$, $6$, $18$ ne sont pas constants, ce sont les quotients qui le sont.

c) Passer de l'étape $n$ à l'étape $n+1$ remplace chaque triangle noir par trois triangles d'aire quatre fois plus petite : chaque triangle garde $\frac{3}{4}$ de son aire noire, donc l'aire noire TOTALE est multipliée par $\frac{3}{4}$. D'où $A(n+1)=\frac{3}{4}A(n)$ et $A(n)=64\times\left(\frac{3}{4}\right)^{n}$. On obtient $A(1)=64\times\frac{3}{4}=48$, $A(2)=48\times\frac{3}{4}=36$ et $A(3)=36\times\frac{3}{4}=27$. Contrôle par l'autre bout : à l'étape $2$ il y a $9$ triangles, chacun d'aire $\frac{64}{16}=4$ cm², soit $9\times 4=36$ cm². Les deux calculs concordent.

d) Tous les termes sont strictement positifs, donc le sens de variation se lit sur la raison. $T$ a pour raison $3>1$ : chaque terme est plus grand que le précédent, $T$ est croissante. $A$ a pour raison $\frac{3}{4}$, comprise entre $0$ et $1$ : chaque terme est plus petit que le précédent, $A$ est décroissante. La même figure porte donc une croissance exponentielle, le nombre de triangles, et une décroissance exponentielle, l'aire noire : il n'y a aucune contradiction, les triangles se multiplient mais rapetissent plus vite.

e) On continue le calcul terme à terme, ce que ferait un tableur avec la formule « cellule du dessus fois $0{,}75$ » recopiée vers le bas : $A(3)=27$, $A(4)=27\times 0{,}75=20{,}25$, $A(5)=20{,}25\times 0{,}75=15{,}187\,5$. L'aire est encore supérieure à $20$ cm² à l'étape $4$, de peu, et passe en dessous à l'étape $5$. Comme $A$ est décroissante, elle y restera ensuite. Réponse : à partir de l'étape $5$. L'erreur fréquente est de s'arrêter à l'étape $4$ parce que $20{,}25$ « vaut presque $20$ » : un seuil se franchit, il ne s'approche pas.

a) Écarts de (A) : $55-40=15$, $70-55=15$, $85-70=15$, $100-85=15$. Ils sont tous égaux. Quotients : $\frac{55}{40}=1{,}375$ puis $\frac{70}{55}\approx 1{,}27$ : ils ne sont pas constants. On ajoute toujours $15$ bornes : (A) est une suite arithmétique de raison $15$, c'est une croissance LINÉAIRE. Le test se fait toujours dans cet ordre : écarts constants, arithmétique ; quotients constants, géométrique ; ni l'un ni l'autre, aucun des deux modèles.

b) Pour (B), les écarts $4$, $12$, $36$, $108$ ne sont pas constants, mais les quotients le sont : $\frac{6}{2}=\frac{18}{6}=\frac{54}{18}=\frac{162}{54}=3$. C'est une suite géométrique de raison $3$, ce que dit l'énoncé : chaque personne informée en informe trois. Pour (C), les écarts $-10$, $-8$, $-6{,}4$, $-5{,}12$ ne sont pas constants, et les quotients valent tous $0{,}8$ : $\frac{40}{50}=\frac{32}{40}=\frac{25{,}6}{32}=\frac{20{,}48}{25{,}6}=0{,}8$. Suite géométrique de raison $0{,}8$. Le piège de (C) : des écarts qui rétrécissent peuvent faire croire à une baisse « qui ralentit au hasard » ; c'est au contraire la signature d'une décroissance exponentielle, où l'on perd toujours la même PROPORTION, donc une quantité de plus en plus petite.

c) Multiplier par $0{,}8$, c'est multiplier par $1-0{,}2$ : la masse baisse de $20\ \%$ chaque année. Tous les termes sont positifs et la raison est comprise entre $0$ et $1$, donc la suite est décroissante. Elle ne s'annule jamais : on garde chaque année $80\ \%$ de ce qui reste, et $80\ \%$ d'un nombre positif est encore positif.

d) (A) : on ajoute deux fois $15$ à $100$, soit $130$ bornes. (B) : on multiplie deux fois par $3$, $162\times 9=1\,458$ personnes nouvellement informées. (C) : $20{,}48\times 0{,}8=16{,}384$ puis $16{,}384\times 0{,}8=13{,}107\,2$, soit environ $13{,}1$ mg/kg. Pour une suite géométrique on multiplie à chaque pas, on n'ajoute jamais le dernier écart : prolonger (C) par l'écart $-5{,}12$ donnerait $10{,}24$ au relevé $6$, une erreur de près d'un quart.

e) Le nuage 2 monte de $15$ à chaque pas : ses points sont ALIGNÉS, c'est (A). Le nuage 1 descend de moins en moins vite, ses points dessinent une courbe qui s'aplatit : c'est (C). La grandeur (B) n'est pas représentée ; avec des valeurs de $2$ à $162$, elle sortirait d'ailleurs de la fenêtre bien avant $n=6$. À retenir : le nuage d'une suite arithmétique est aligné, celui d'une suite géométrique est courbé, vers le haut si la raison dépasse $1$, vers le bas en s'aplatissant si elle est comprise entre $0$ et $1$.

a) Pour chaque nombre, on cherche le nombre positif qui, élevé à la bonne puissance, redonne $a$. $7^{2}=49$, donc $49^{\frac{1}{2}}=7$. $2^{3}=8$, donc $8^{\frac{1}{3}}=2$ et non $\frac{8}{3}$ : l'exposant $\frac{1}{3}$ ne divise pas par $3$, il demande quel nombre, pris trois fois en FACTEUR, donne $8$. $3^{4}=81$, donc $81^{\frac{1}{4}}=3$. $1{,}1^{2}=1{,}21$, donc $1{,}21^{\frac{1}{2}}=1{,}1$. $0{,}8^{2}=0{,}64$, donc $0{,}64^{\frac{1}{2}}=0{,}8$. Réflexe utile : connaître les carrés jusqu'à $15^{2}$ et les cubes jusqu'à $5^{3}$ rend presque toutes les questions de ce chapitre faisables de tête.

b) $3^{3}=3\times 3\times 3=27$, et $3$ est positif : par définition $27^{\frac{1}{3}}=3$. Pour $27^{\frac{2}{3}}$, on écrit $\frac{2}{3}=\frac{1}{3}\times 2$ et l'on utilise $\left(a^{x}\right)^{y}=a^{xy}$. Première façon : $27^{\frac{2}{3}}=\left(27^{\frac{1}{3}}\right)^{2}=3^{2}=9$. Seconde façon : $27^{\frac{2}{3}}=\left(27^{2}\right)^{\frac{1}{3}}=729^{\frac{1}{3}}$, et comme $9^{3}=729$, on retrouve $9$. Les deux chemins donnent le même nombre, mais le premier est bien plus court : on prend la racine d'abord, quand le nombre est encore petit.

c) $4^{1{,}5}=4^{1}\times 4^{0{,}5}=4\times 2=8$, grâce à $a^{x+y}=a^{x}\times a^{y}$ avec $1{,}5=1+0{,}5$. $16^{0{,}75}=16^{\frac{3}{4}}=\left(16^{\frac{1}{4}}\right)^{3}=2^{3}=8$, car $2^{4}=16$. Enfin $2^{\frac{1}{2}}\times 8^{\frac{1}{2}}=(2\times 8)^{\frac{1}{2}}=16^{\frac{1}{2}}=4$, grâce à $a^{x}\times b^{x}=(ab)^{x}$. Aucun de ces calculs ne demande de connaître $2^{\frac{1}{2}}$ ni $8^{\frac{1}{2}}$, qui ne sont pas des nombres décimaux : les propriétés permettent de contourner les valeurs qu'on ne sait pas calculer.

d) $1{,}105^{2}=1{,}105\times 1{,}105=1{,}221\,025$, qui n'est pas $1{,}21$. Donc $1{,}105$ n'est pas la racine carrée de $1{,}21$ ; la bonne valeur est $1{,}1$, puisque $1{,}1^{2}=1{,}21$. L'erreur de l'élève est celle qui revient dans tout le chapitre : il a DIVISÉ le taux $21\ \%$ par $2$, alors que deux hausses de $10{,}5\ \%$ se composent en $1{,}105\times 1{,}105$, qui dépasse $1{,}21$. Deux hausses successives de $10\ \%$ font une hausse de $21\ \%$, pas de $20\ \%$ : c'est la même remarque lue dans l'autre sens.

e) $3^{2}=9<10<16=4^{2}$, et la racine carrée conserve l'ordre des nombres positifs, donc $3<10^{\frac{1}{2}}<4$. Pour affiner, on essaie les dixièmes : $3{,}1^{2}=9{,}61<10$ et $3{,}2^{2}=10{,}24>10$, donc $3{,}1<10^{\frac{1}{2}}<3{,}2$. C'est la méthode de l'ordre de grandeur sans machine : on encadre par des carrés connus, puis on resserre. Elle servira pour tous les seuils du chapitre, où l'on encadre une puissance entre deux entiers consécutifs.

a) Toutes les deux heures on multiplie par $0{,}64$ : $u$ est géométrique de premier terme $100$ et de raison $0{,}64$, donc $u(n)=100\times 0{,}64^{n}$. On calcule $u(1)=64$, $u(2)=64\times 0{,}64=40{,}96$ et $u(3)=40{,}96\times 0{,}64=26{,}214\,4$ mg. Ces valeurs sont celles des points de la figure en $t=2$, $4$ et $6$ : le rang $n$ compte des périodes de deux heures, pas des heures. Confondre les deux décale tout l'exercice.

b) Deux heures, c'est une heure PUIS une heure : la quantité est multipliée par $c$, puis encore par $c$, soit par $c^{2}$ en deux heures. Or on sait qu'en deux heures elle est multipliée par $0{,}64$, donc $c^{2}=0{,}64$ et, $c$ étant positif, $c=0{,}64^{\frac{1}{2}}=0{,}8$. Au bout d'une heure il reste $100\times 0{,}8=80$ mg. La moyenne ARITHMÉTIQUE de $100$ et $64$, soit $82$, suppose que la quantité baisse de la même QUANTITÉ chaque heure, ce qui est le modèle linéaire. Ici elle baisse de la même PROPORTION : la bonne valeur intermédiaire est la moyenne GÉOMÉTRIQUE $\sqrt{100\times 64}=\sqrt{6\,400}=80$. C'est exactement ainsi qu'on complète le nuage de points pour obtenir la courbe : moyenne des abscisses, moyenne géométrique des ordonnées.

c) La fonction $Q$ prolonge la suite à tous les instants. $Q(3)=100\times 0{,}8^{3}=100\times 0{,}512=51{,}2$ mg et $Q(5)=100\times 0{,}8^{5}=100\times 0{,}327\,68=32{,}768$ mg. Enfin $Q(4)=100\times 0{,}8^{4}=100\times\left(0{,}8^{2}\right)^{2}=100\times 0{,}64^{2}=40{,}96$, qui est bien $u(2)$ : la fonction passe exactement par les points mesurés, et $Q(2n)=u(n)$ pour tout entier $n$. La courbe de la correction relie les mesures, points pleins, et les instants intermédiaires, points vides.

d) Multiplier par $0{,}8$, c'est retirer $20\ \%$ : en une heure, $20\ \%$ du produit présent est éliminé. Multiplier par $0{,}64$, c'est retirer $36\ \%$ en deux heures. Le piège classique est de diviser par deux les $36\ \%$ pour annoncer $18\ \%$ par heure : on vérifie que $0{,}82^{2}=0{,}672\,4$, qui n'est pas $0{,}64$. Les pourcentages d'élimination ne se partagent pas entre les heures, ce sont les coefficients qui se composent.

e) La base $0{,}8$ est comprise entre $0$ et $1$, donc $Q$ est décroissante sur $[0\,;+\infty[$ : la quantité ne fait que diminuer, sans jamais devenir nulle. On a $Q(3)=51{,}2>50$ et $Q(4)=40{,}96<50$ : la quantité passe sous $50$ mg entre la troisième et la quatrième heure, et l'heure entière demandée est $4$. Sur la courbe, on lit que le passage sous la droite d'équation $y=50$ se fait un peu après $t=3$ ; le calcul et le graphique se contrôlent mutuellement.

a) Chaque évolution se traduit par un coefficient : $+60\ \%$ donne $1{,}6$, $+20\ \%$ donne $1{,}2$, $-10\ \%$ donne $0{,}9$. Des évolutions successives se composent en MULTIPLIANT les coefficients : $1{,}6\times 1{,}2=1{,}92$, puis $1{,}92\times 0{,}9=1{,}728$. Le coefficient global est $1{,}728$, soit une hausse globale de $72{,}8\ \%$. Additionner les taux, $60+20-10=70\ \%$, sous-estime l'évolution : chaque taux s'applique à une valeur déjà modifiée par les précédents.

b) $1{,}2^{2}=1{,}44$ et $1{,}44\times 1{,}2=1{,}728$. Trois hausses de $20\ \%$ donnent exactement le coefficient global des trois évolutions réelles : le taux moyen est donc $20\ \%$. Le rédacteur, lui, a pris la moyenne des trois taux ; appliquée trois fois, sa hausse de $23{,}3\ \%$ donnerait un coefficient d'environ $1{,}876$, soit une hausse globale de près de $88\ \%$ au lieu de $72{,}8\ \%$. La moyenne des taux n'a aucune raison de reproduire l'évolution globale, parce que les taux ne s'additionnent pas.

c) Le taux moyen $t$ vérifie $(1+t)^{3}=1{,}728$ : trois fois le même coefficient doit donner le coefficient global. Le nombre positif dont le cube vaut $1{,}728$ est la racine cubique de $1{,}728$, qu'on écrit avec l'exposant $\frac{1}{3}$ : $1+t=1{,}728^{\frac{1}{3}}=1{,}2$, puisque $1{,}2^{3}=1{,}728$. Donc $t=0{,}2$, un taux moyen de $+20\ \%$ par an. La méthode générale : pour $n$ évolutions de coefficient global $C$, le coefficient moyen est $C^{\frac{1}{n}}$, et le taux moyen est $C^{\frac{1}{n}}-1$.

d) Coefficient $0{,}656\,1$, donc taux global $0{,}656\,1-1=-0{,}343\,9$ : une baisse de $34{,}39\ \%$ en quatre ans. Le coefficient annuel moyen est $0{,}656\,1^{\frac{1}{4}}$. Sans calculatrice, on remarque que $0{,}9^{2}=0{,}81$ et $0{,}81^{2}=0{,}656\,1$, donc $0{,}9^{4}=0{,}656\,1$ et $0{,}656\,1^{\frac{1}{4}}=0{,}9$. Le taux annuel moyen est $0{,}9-1=-0{,}1$, soit $-10\ \%$ par an. Diviser $34{,}39$ par $4$ aurait donné $-8{,}6\ \%$, faux : quatre baisses de $8{,}6\ \%$ ne font perdre qu'environ $30\ \%$.

e) Non. Le coefficient global est le produit $0{,}9\times 1{,}6\times 1{,}2$, et un produit ne dépend pas de l'ordre de ses facteurs : on retrouve $1{,}728$, donc le même taux moyen de $20\ \%$. Le chemin suivi par la fréquentation n'est pas le même, elle commence par baisser, mais le point d'arrivée est identique. Le taux moyen décrit seulement le départ et l'arrivée, jamais le trajet.

a) $D(1)=2\,000\times 1{,}21=2\,420$ dollars et $D(2)=2\,000\times 1{,}464\,1=2\,928{,}20$ dollars. La deuxième année, les intérêts portent sur $2\,420$ dollars et non sur $2\,000$ : ils valent $508{,}20$ dollars au lieu de $420$. C'est ce que veut dire « intérêts composés », et c'est ce qui rend la suite des dettes annuelles géométrique de raison $1{,}21$.

b) $1{,}1^{2}=1{,}21$ et $1{,}1>0$, donc $1{,}21^{\frac{1}{2}}=1{,}1$. Au bout de six mois : $D(0{,}5)=2\,000\times 1{,}1=2\,200$ dollars, une hausse de $10\ \%$. L'amie de Sam a tort : avec $10{,}5\ \%$ par semestre, la dette serait multipliée en un an par $1{,}105^{2}=1{,}221\,025$, soit une hausse annuelle de $22{,}1\ \%$ et non $21\ \%$. Couper l'année en deux, c'est chercher le coefficient qui, appliqué DEUX fois, donne $1{,}21$ : c'est une racine carrée, pas une division par deux. Le temps s'additionne, six mois plus six mois ; le coefficient se multiplie, $1{,}1$ fois $1{,}1$.

c) Par la propriété admise $a^{x+y}=a^{x}\times a^{y}$ : $1{,}21^{1{,}5}=1{,}21^{1}\times 1{,}21^{0{,}5}=1{,}21\times 1{,}1=1{,}331$. Donc $D(1{,}5)=2\,000\times 1{,}331=2\,662$ dollars. On peut le lire aussi comme trois semestres à $10\ \%$ : $1{,}1^{3}=1{,}331$. Les deux lectures coïncident, ce qui confirme que le coefficient semestriel est bien $1{,}1$.

d) $1{,}21^{\frac{1}{4}}=1{,}21^{\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}}=\left(1{,}21^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{2}}=1{,}1^{\frac{1}{2}}$, par la propriété $\left(a^{x}\right)^{y}=a^{xy}$. Avec la donnée $1{,}1^{\frac{1}{2}}\approx 1{,}048\,8$ : $D(0{,}25)\approx 2\,000\times 1{,}048\,8=2\,097{,}60$ dollars. Le taux trimestriel est d'environ $4{,}88\ \%$, et non $\frac{21}{4}=5{,}25\ \%$. Vérification : quatre trimestres donnent $1{,}048\,8^{4}\approx 1{,}21$, alors que $1{,}052\,5^{4}$ dépasserait $1{,}22$.

e) La dette double quand $1{,}21^{x}$ atteint $2$. Aux années entières : $1{,}21^{3}\approx 1{,}77<2$ et $1{,}21^{4}\approx 2{,}14>2$. La dette n'a donc pas doublé au bout de trois ans, et elle a doublé au bout de quatre ans : $D(4)\approx 4\,287$ dollars. Au bout de trois ans et demi : $1{,}21^{3{,}5}=1{,}21^{3}\times 1{,}21^{0{,}5}=1{,}771\,561\times 1{,}1=1{,}948\,717\,1$, donc $D(3{,}5)\approx 3\,897{,}43$ dollars, encore sous $4\,000$. La dette double entre trois ans et demi et quatre ans. Ordre de grandeur à retenir : à $21\ \%$ par an, une dette oubliée double en moins de quatre ans.