Exercices corrigés d'enseignement scientifique : une longue histoire de la matière

a) La somme vaut $46{,}6 + 27{,}7 + 8{,}1 + 5{,}0 + 3{,}6 + 9{,}0 = 100{,}0$ pour cent, ce qui confirme la lecture. Les deux éléments dominants sont l'oxygène et le silicium, qui représentent à eux deux $46{,}6 + 27{,}7 = 74{,}3$ pour cent de la masse : près des trois quarts de la croûte terrestre sont faits de ces deux éléments seulement, ce qui s'explique par l'abondance des silicates.

b) Le contraste est spectaculaire. Dans l'Univers, hydrogène et hélium font $74 + 24 = 98$ pour cent de la masse ; dans la croûte terrestre, ils sont presque absents. Deux explications. D'abord, la TEMPÉRATURE et la gravité : lors de la formation du système solaire, les éléments légers et volatils ont été chassés de la zone interne par le rayonnement du jeune Soleil, et la Terre, trop peu massive, n'a pas pu retenir l'hydrogène et l'hélium, dont les molécules vont trop vite pour rester liées. Ensuite, la DIFFÉRENCIATION : la Terre s'est stratifiée, les éléments les plus denses, fer et nickel, migrant vers le noyau, si bien que la croûte n'est pas représentative de la planète entière, et encore moins de l'Univers.

c) Les noyaux d'HYDROGÈNE et la plus grande partie de l'HÉLIUM se sont formés dans les toutes premières minutes de l'Univers, lors de la nucléosynthèse primordiale, quand la température a suffisamment baissé pour que les protons et les neutrons s'assemblent sans être aussitôt détruits. Les noyaux plus lourds JUSQU'AU FER se forment par fusion nucléaire au coeur des ÉTOILES, chaque étape produisant de l'énergie, du carbone à l'oxygène puis au silicium et enfin au fer. AU-DELÀ DU FER, la fusion consommerait de l'énergie au lieu d'en libérer : ces noyaux ne se forment donc que dans des événements extrêmes, explosions de supernovae et fusions d'étoiles à neutrons, où l'énergie disponible est colossale et la durée très brève.

d) Le carbone a pour numéro atomique 6 : tous ses noyaux comptent 6 protons. Le carbone 14 a un nombre de masse de 14, donc $14 - 6 = 8$ neutrons. Le carbone 12 a un nombre de masse de 12, donc $12 - 6 = 6$ neutrons. Ces deux noyaux ont le même nombre de protons et un nombre de neutrons différent : ce sont des ISOTOPES du même élément. Ils ont exactement les mêmes propriétés chimiques, puisque celles-ci ne dépendent que du cortège électronique, et des propriétés nucléaires très différentes, puisque l'un est stable et l'autre radioactif.

e) Parce que la nucléosynthèse primordiale n'a produit que de l'hydrogène, de l'hélium et une trace de lithium : aucun carbone, aucun azote, aucun oxygène, aucun phosphore, aucun calcium, aucun fer. Or votre corps est essentiellement fait de ces éléments-là. Ils ne peuvent donc venir que de la fusion au coeur d'étoiles, puis avoir été dispersés dans l'espace par la mort de ces étoiles, avant d'être incorporés au nuage qui a donné le système solaire. Chaque atome de calcium de vos os et chaque atome de fer de votre sang a séjourné dans une étoile qui a explosé avant que le Soleil n'existe. Seul l'hydrogène de votre eau est plus ancien que toutes les étoiles.

a) La courbe atteint la valeur $0{,}50$ pour $t = 5\ 730$ ans : c'est la demi-vie du carbone 14. Définition précise : la demi-vie est la durée au bout de laquelle la MOITIÉ des noyaux radioactifs initialement présents se sont désintégrés. Elle ne dépend ni de la quantité initiale, ni de la température, ni de la pression, ni de la forme chimique : c'est une propriété du noyau lui-même, ce qui est exactement ce qui rend la datation possible.

b) Après 2 demi-vies, il reste $0{,}5^{2} = 0{,}25$, soit 25 pour cent. Après 3, $0{,}5^{3} = 0{,}125$, soit $12{,}5$ pour cent. Après 5, $0{,}5^{5} = 0{,}03125$, soit environ $3{,}1$ pour cent. La formule générale est $N/N_{0} = 0{,}5^{n} = (1/2)^{n}$ après $n$ demi-vies, ce qui s'écrit aussi $N = N_{0} \times 2^{-n}$. L'erreur classique est de croire qu'après deux demi-vies il ne reste rien : la moitié de la moitié n'est pas zéro, c'est un quart.

c) Parce qu'un échantillon contient un nombre ÉNORME de noyaux. Le sort d'un noyau isolé est parfaitement imprévisible, mais dès que l'on en observe des milliards, la loi des grands nombres s'applique : la proportion de désintégrations sur une durée donnée devient extrêmement stable, et les fluctuations relatives deviennent négligeables. C'est le même phénomène qu'au jeu de pile ou face : un lancer est imprévisible, mais sur dix milliards de lancers la proportion de piles est indiscernable de un demi. La régularité macroscopique n'annule pas le hasard microscopique, elle en découle.

d) La durée $17\ 190$ ans vaut exactement $17\ 190 / 5\ 730 = 3$ demi-vies. Première façon : il reste $6{,}0 \times 10^{10} \times 0{,}5^{3} = 6{,}0 \times 10^{10} / 8 = 7{,}5 \times 10^{9}$ noyaux. Seconde façon, en divisant par deux trois fois de suite : $6{,}0 \times 10^{10}$ donne $3{,}0 \times 10^{10}$, puis $1{,}5 \times 10^{10}$, puis $7{,}5 \times 10^{9}$. Les deux coïncident, ce qui valide le calcul. C'est un contrôle qui ne coûte rien et qui attrape les erreurs de puissance de dix.

e) Parce qu'il ne reste plus assez de noyaux pour que la mesure soit fiable. La durée $50\ 000$ ans représente $50\ 000 / 5\ 730 \approx 8{,}73$ demi-vies, donc il reste $0{,}5^{8{,}73} \approx 2{,}4 \times 10^{-3}$, soit environ $0{,}24$ pour cent des noyaux initiaux. À ce niveau, le signal mesuré devient du même ordre que le bruit de fond de l'appareil et que la moindre contamination par du carbone récent : un millième de carbone moderne introduit par manipulation suffit à fausser complètement la date. On change alors de chronomètre, en utilisant des couples à demi-vie beaucoup plus longue, comme l'uranium et le plomb, dont la demi-vie se compte en milliards d'années et qui datent les roches, non les restes organiques.

a) Un CRISTAL est un solide dont les entités, atomes, ions ou molécules, sont rangées de façon périodique et ordonnée dans les trois directions de l'espace. La MAILLE est le plus petit volume qui, répété par translation, reconstitue tout le cristal : c'est le motif de pavage. Le MOTIF est le contenu de cette maille, c'est-à-dire l'entité ou le groupe d'entités qui s'y trouve. Un solide AMORPHE, comme le verre, a la même composition chimique qu'un cristal correspondant mais aucun ordre à longue distance : ses entités sont figées dans un désordre proche de celui d'un liquide, ce qui explique qu'il n'ait pas de température de fusion nette mais un ramollissement progressif.

b) Un sommet de cube est le point commun de HUIT mailles voisines, deux dans chaque direction de l'espace. Chaque atome de sommet n'appartient donc qu'à un huitième à la maille considérée. Avec 8 sommets, la maille contient $8 \times \frac{1}{8} = 1$ atome en propre. Ce comptage est le passage obligé de tout exercice sur les cristaux : on ne compte jamais les atomes visibles, on compte les FRACTIONS d'atomes.

c) Si les atomes voisins se touchent le long d'une arête, deux sphères tangentes de rayon $R$ occupent cette arête, ce qui donne $a = 2R$. Attention, cette relation est propre à la structure cubique SIMPLE : dans d'autres structures, le contact se fait le long d'une diagonale de face ou d'une diagonale du cube, et la relation change complètement.

d) Le volume de la maille vaut $a^{3} = (2R)^{3} = 8R^{3}$. Le volume occupé est celui du seul atome en propre, soit $\frac{4}{3}\pi R^{3}$. La compacité vaut donc $C = \frac{4\pi R^{3}/3}{8R^{3}} = \frac{\pi}{6}$. Numériquement, $\pi / 6 \approx 0{,}5236$, soit environ $52{,}4$ pour cent. On note que le rayon $R$ disparaît du résultat, ce qui est normal : la compacité est une propriété de la GÉOMÉTRIE de l'empilement, pas de la taille des atomes.

e) Le volume restant, près de 48 pour cent, représente le VIDE entre les sphères. Une compacité de 100 pour cent est impossible avec des sphères identiques : quel que soit l'empilement, il subsiste toujours des interstices, car des sphères ne pavent pas l'espace. On démontre que la compacité maximale atteignable avec des sphères identiques vaut $\pi / (3\sqrt{2}) \approx 0{,}7405$, soit environ $74{,}0$ pour cent, réalisée par les empilements compacts, dont la structure cubique à faces centrées. La structure cubique simple, avec ses 52 pour cent, est donc très peu compacte, ce qui explique qu'elle soit rare dans la nature : le polonium en est à peu près le seul exemple.

a) La différence vient de la VITESSE DE REFROIDISSEMENT du magma. Le granite s'est formé en profondeur, où le magma se refroidit sur des milliers, voire des millions d'années : les atomes ont eu tout le temps de migrer et de se ranger, si bien que les cristaux ont pu grandir jusqu'à devenir visibles, souvent millimétriques. Le basalte s'est formé en surface, lors d'une coulée de lave qui refroidit en quelques heures ou quelques jours : les atomes n'ont eu le temps de former qu'une multitude de cristaux minuscules. Même composition, même minéraux, taille de grain radicalement différente : la texture d'une roche est une horloge.

b) L'obsidienne s'est refroidie encore plus vite, en quelques minutes, par exemple au contact de l'eau ou de l'air froid. Les atomes n'ont eu le temps de former aucun cristal : ils sont restés figés dans le désordre qu'ils avaient à l'état liquide. L'obsidienne est donc un solide AMORPHE, un verre, et non une roche cristalline. Elle en diffère par l'absence d'ordre à longue distance, par sa cassure conchoïdale caractéristique, et par le fait qu'elle est thermodynamiquement instable : sur des durées géologiques, elle finit par cristalliser lentement.

c) Non, cela ne change PAS sa maille : la maille est la même pour un cristal microscopique et pour un cristal de plusieurs centimètres, seul le nombre de répétitions diffère. Cela ne change pas non plus les propriétés qui découlent directement de la structure, comme la masse volumique, la dureté ou les indices optiques. En revanche, la taille des grains change les propriétés qui dépendent des SURFACES et des joints entre grains : la résistance mécanique, la vitesse de dissolution, l'aspect. C'est pourquoi un métal à grains fins est plus résistant qu'un métal à gros grains de composition identique.

d) Oui, même composition : les deux sont faits uniquement de carbone. Non, pas la même structure : dans le graphite, les atomes forment des feuillets d'hexagones plans faiblement liés entre eux ; dans le diamant, chaque atome est lié à quatre voisins dans un réseau tridimensionnel rigide. Cette situation s'appelle l'ALLOTROPIE, ou polymorphisme pour les minéraux. Les propriétés qui en découlent sont opposées : le graphite est tendre, opaque, conducteur électrique et sert de lubrifiant, parce que ses feuillets glissent les uns sur les autres ; le diamant est le plus dur des minéraux, transparent et isolant, parce que toutes ses liaisons sont fortes et orientées dans les trois dimensions. La structure, à elle seule, fait toute la différence.

e) Dans l'OS, le minéral est un phosphate de calcium, l'hydroxyapatite, sous forme de très petits cristaux déposés dans une trame de collagène. Dans la COQUILLE d'un mollusque, c'est le carbonate de calcium, sous ses formes calcite ou aragonite. La biominéralisation diffère d'une cristallisation ordinaire sur trois points. Elle est CONTRÔLÉE : l'organisme fixe le lieu, le moment, la forme et l'orientation des cristaux, au lieu de laisser la physique décider. Elle est COMPOSITE : le minéral est associé à une matrice organique, ce qui donne un matériau bien plus résistant à la rupture que le minéral seul, la matrice arrêtant la propagation des fissures. Et elle se produit à TEMPÉRATURE et pression ordinaires, là où une cristallisation minérale équivalente demanderait des conditions extrêmes.

a) Une molécule amphiphile possède deux parties de solubilité opposée. Un phospholipide comporte une TÊTE hydrophile, polaire, portant un groupement phosphate chargé, qui établit volontiers des liaisons avec les molécules d'eau ; et deux QUEUES hydrophobes, formées de longues chaînes carbonées apolaires, qui n'ont aucune affinité pour l'eau et se rassemblent entre elles. La molécule est donc à la fois attirée et repoussée par l'eau, mais pas par la même extrémité.

b) Dans l'eau, chaque molécule tend à placer sa tête au contact de l'eau et à soustraire ses queues à ce contact. La seule façon de satisfaire ces deux exigences simultanément, pour un grand nombre de molécules, est de former une DOUBLE COUCHE : les queues se rassemblent au centre, à l'abri de l'eau, et les têtes forment les deux faces, toutes deux au contact de l'eau. L'ordre ne vient d'aucune information génétique : il vient de la MINIMISATION spontanée de l'énergie du système, exactement comme une goutte d'eau prend une forme sphérique sans que personne ne le lui dise. C'est un exemple d'auto-organisation, et c'est un point important du chapitre : tout ordre biologique ne vient pas d'un programme.

c) La membrane délimite la cellule et sépare son intérieur du milieu extérieur. Trois choses qu'elle permet. D'abord MAINTENIR une composition intérieure différente de l'extérieur, condition sans laquelle aucune réaction contrôlée n'est possible, puisque tout se diluerait. Ensuite CONCENTRER les réactifs et les enzymes dans un volume restreint, ce qui accélère considérablement les réactions. Enfin ÉCHANGER de façon sélective, en laissant passer certaines substances et pas d'autres, grâce à des protéines insérées dans la bicouche : la membrane n'est pas un mur, c'est un filtre commandé.

d) Une molécule de savon a également une tête hydrophile et une longue queue hydrophobe. Au contact d'une tache de graisse, les queues, qui fuient l'eau, s'enfoncent dans la graisse, tandis que les têtes restent tournées vers l'eau. Les molécules de savon entourent ainsi la gouttelette de graisse en formant une sphère dont l'extérieur est hydrophile : la gouttelette, désormais habillée, devient soluble dans l'eau et part au rinçage. C'est rigoureusement le même raisonnement qu'à la question b, la seule différence étant la GÉOMÉTRIE de l'assemblage, une sphère pleine appelée micelle au lieu d'une double couche plane.

e) On en tire l'UNIVERSALITÉ du vivant, et la conclusion que tous les êtres vivants actuels descendent d'un ancêtre commun. Le raisonnement repose sur le fait que ces caractères, la bicouche de phospholipides, la molécule d'ADN, le code génétique presque identique, ne sont nullement les seuls possibles chimiquement : rien n'imposait que ce soit ceux-là. Leur partage universel s'explique donc bien mieux par un HÉRITAGE commun que par autant d'apparitions indépendantes qui auraient toutes abouti aux mêmes choix arbitraires. C'est un raisonnement par inférence à la meilleure explication, le même que celui qui fait conclure à une source commune quand deux textes partagent les mêmes fautes de copie.

a) De son vivant, l'organisme ÉCHANGE en permanence du carbone avec son milieu : la plante par la photosynthèse, l'animal par son alimentation. Comme le carbone 14 est produit continûment dans la haute atmosphère par l'action du rayonnement cosmique sur l'azote, la proportion de carbone 14 dans le carbone atmosphérique est à peu près constante, et l'organisme s'aligne dessus. À sa MORT, les échanges cessent : le carbone 14 déjà présent continue de se désintégrer, sans plus être renouvelé, et sa proportion décroît selon la loi radioactive. La date obtenue est donc celle de la MORT de l'organisme, ce qui n'est pas forcément celle de l'usage de l'objet : une poutre taillée dans un arbre déjà ancien donne une date trop vieille.

b) On procède par encadrements successifs. $0{,}5^{1} = 0{,}50$ et $0{,}5^{2} = 0{,}25$ : $n$ est compris entre 1 et 2. $0{,}5^{1{,}3} \approx 0{,}406$ et $0{,}5^{1{,}4} \approx 0{,}379$ : $n$ est compris entre $1{,}3$ et $1{,}4$. En resserrant, $0{,}5^{1{,}32} \approx 0{,}4005$ et $0{,}5^{1{,}33} \approx 0{,}3978$ : on retient $n \approx 1{,}32$ demi-vie. Un tableur fait le même travail d'un coup, en calculant $0{,}5^{n}$ pour $n$ allant de 0 à 2 par pas de $0{,}01$ ; avec un pas plus fin, il donne $n \approx 1{,}3219$.

c) L'âge vaut le nombre de demi-vies écoulées multiplié par la durée d'une demi-vie : $t = 1{,}3219 \times 5\ 730 \approx 7\ 575$ ans. Avec l'arrondi $n = 1{,}32$, on trouverait $7\ 564$ ans : un centième de demi-vie vaut déjà 57 ans, d'où l'intérêt de garder assez de décimales sur $n$ avant de multiplier.

d) Après une demi-vie, il reste 50 pour cent ; après deux demi-vies, 25 pour cent. Or 40 pour cent est compris entre 25 et 50 : l'âge est donc compris entre une et deux demi-vies, c'est-à-dire entre $5\ 730$ et $11\ 460$ ans. Comme 40 est plus proche de 50 que de 25, on attend une valeur plus proche de la borne basse, ce que confirment les $7\ 575$ ans trouvés. Cet encadrement prend dix secondes et il attrape immédiatement une erreur de calculatrice qui donnerait 757 ans ou 75 750 ans.

e) Avec 2 pour cent de carbone moderne ajouté, la teneur mesurée n'est plus celle de l'échantillon seul. Si l'échantillon réel contient une fraction $f$ et que 2 pour cent de la matière est moderne, à 100 pour cent de teneur, on mesure $0{,}98 f + 0{,}02 \times 1 = 0{,}40$, d'où $f = (0{,}40 - 0{,}02) / 0{,}98 \approx 0{,}38776$. Par la même méthode qu'à la question b, $0{,}5^{n} = 0{,}38776$ donne $n \approx 1{,}3668$, donc l'âge vrai vaut $t = 1{,}3668 \times 5\ 730 \approx 7\ 832$ ans. L'erreur commise est de $7\ 832 - 7\ 575 = 257$ ans, soit environ $3{,}4$ pour cent. La contamination par du carbone moderne fait paraître l'échantillon plus JEUNE qu'il n'est, puisqu'elle ajoute du carbone 14 qui n'aurait pas dû s'y trouver. C'est pourquoi le prélèvement se fait avec des précautions extrêmes, et pourquoi l'effet est catastrophique sur les échantillons très anciens : à 50 000 ans il ne reste que $0{,}24$ pour cent de carbone 14, si bien que 2 pour cent de contamination domineraient totalement le signal.

a) Les 8 atomes de SOMMET sont partagés entre 8 mailles chacun, ce qui donne $8 \times \frac{1}{8} = 1$ atome. Les 6 atomes de FACE sont partagés entre 2 mailles chacun, puisqu'une face est commune à exactement deux cubes, ce qui donne $6 \times \frac{1}{2} = 3$ atomes. La maille contient donc $1 + 3 = 4$ atomes en propre. Ce nombre 4 est à retenir : il intervient dans tous les calculs de la structure cubique à faces centrées.

b) Le long d'une diagonale de face, on rencontre un atome de sommet, l'atome de centre de face, puis l'autre atome de sommet : la diagonale mesure donc $4R$. Or la diagonale d'un carré de côté $a$ vaut $a\sqrt{2}$. On a donc $a\sqrt{2} = 4R$, d'où $a = \frac{4R}{\sqrt{2}} = 2R\sqrt{2}$. Numériquement, $a = 2 \times 143 \times \sqrt{2} \approx 404{,}5$ pm. Le piège est d'écrire $a = 2R$ par automatisme : le contact ne se fait PAS le long de l'arête ici, et le vérifier prend une seconde en regardant si deux sommets voisins pourraient se toucher alors qu'un atome de face s'interpose.

c) Le volume occupé vaut $4 \times \frac{4}{3}\pi R^{3} = \frac{16}{3}\pi R^{3}$. Le volume de la maille vaut $a^{3} = (2R\sqrt{2})^{3} = 8 \times 2\sqrt{2} R^{3} = 16\sqrt{2} R^{3}$. La compacité vaut donc $C = \frac{16\pi R^{3}/3}{16\sqrt{2}R^{3}} = \frac{\pi}{3\sqrt{2}} \approx 0{,}7405$, soit $74{,}0$ pour cent. C'est la compacité maximale possible avec des sphères identiques, à comparer aux $52{,}4$ pour cent de la structure cubique simple : l'empilement à faces centrées occupe donc environ $0{,}7405 / 0{,}5236 \approx 1{,}41$ fois plus de volume utile, ce qui explique que la plupart des métaux l'adoptent.

d) La masse des 4 atomes de la maille vaut $m = 4 \times \frac{26{,}98}{6{,}022 \times 10^{23}} \approx 1{,}7921 \times 10^{-22}$ g. Le volume de la maille vaut $a^{3}$ avec $a = 404{,}5$ pm $= 4{,}045 \times 10^{-8}$ cm, donc $V \approx 6{,}618 \times 10^{-23}$ cm$^{3}$. La masse volumique vaut $\rho = m / V = 1{,}7921 \times 10^{-22} / 6{,}618 \times 10^{-23} \approx 2{,}71$ g/cm$^{3}$. Le seul point délicat est la conversion du picomètre au centimètre : $1$ pm $= 10^{-10}$ cm, et l'oublier fait manquer le résultat d'un facteur $10^{30}$.

e) L'accord est excellent : $2{,}71$ calculé contre $2{,}70$ tabulé, soit un écart relatif inférieur à un demi pour cent, entièrement imputable aux arrondis et à l'incertitude sur le rayon atomique. Cet accord n'est pas anodin : il valide simultanément le modèle de l'empilement compact, la valeur du rayon atomique et la constante d'Avogadro, trois grandeurs mesurées indépendamment. Dans l'AUTRE SENS, le calcul permet de remonter d'une mesure macroscopique, la masse volumique, à une grandeur microscopique inaccessible directement : connaissant $\rho$, $M$ et la structure, on tire $a$, donc $R$, donc la taille d'un atome. C'est ainsi que les premières mesures de dimensions atomiques ont été obtenues, avant toute imagerie.

1) FAUX. Après une demi-vie il reste la moitié, après deux demi-vies la moitié de la moitié, soit un quart, et jamais zéro : la décroissance est exponentielle, donc elle ne s'annule pas en un temps fini. Énoncé correct : après $n$ demi-vies il reste la fraction $(1/2)^{n}$ des noyaux initiaux, soit 25 pour cent après deux demi-vies et encore $0{,}1$ pour cent après dix.

2) FAUX. La nucléosynthèse primordiale n'a produit que l'hydrogène, l'essentiel de l'hélium et une trace de lithium. Le carbone, l'oxygène et tous les éléments jusqu'au fer sont produits par fusion au coeur des étoiles ; ceux au-delà du fer exigent des événements violents, supernovae et fusions d'étoiles à neutrons. Énoncé correct : le Big Bang n'a produit que les éléments les plus légers ; tous les autres viennent des étoiles, et sont donc bien plus jeunes que l'Univers.

3) FAUX. Les 8 atomes visibles aux sommets sont chacun partagés entre 8 mailles voisines : la maille n'en contient qu'un huitième chacun, soit $8 \times \frac{1}{8} = 1$ atome en propre. Énoncé correct : une maille cubique simple contient UN atome en propre ; on ne compte jamais les atomes visibles, on compte les fractions.

4) FAUX. Un corps composé contient plusieurs éléments ; or le graphite et le diamant sont tous deux faits de carbone et de rien d'autre : ce sont des corps SIMPLES. Ce qui les distingue est leur structure cristalline. Énoncé correct : le graphite et le diamant sont deux variétés allotropiques du même corps simple, le carbone ; leurs propriétés opposées viennent uniquement de l'arrangement des atomes.

5) FAUX. La disposition en double couche s'établit SPONTANÉMENT dès qu'on place des molécules amphiphiles dans l'eau, sans aucune information génétique : c'est la minimisation de l'énergie qui l'impose, et on l'observe aussi bien avec du savon. Énoncé correct : l'ADN code la synthèse des phospholipides et des protéines membranaires, mais l'organisation en bicouche est un phénomène d'auto-assemblage physique, indépendant de toute information codée.

a) L'ADN est un acide nucléique, une longue molécule formée de l'enchaînement d'unités appelées nucléotides, chacune faite d'un sucre, le désoxyribose, d'un groupement phosphate et d'une base azotée parmi quatre : adénine, thymine, guanine et cytosine. La molécule comporte DEUX brins enroulés l'un autour de l'autre en une double hélice. Les deux brins sont reliés par des liaisons hydrogène entre les bases, selon un appariement strict : l'adénine toujours face à la thymine, la guanine toujours face à la cytosine. Cette complémentarité est la propriété centrale de la molécule.

b) Chaque position de la séquence peut être occupée par l'une des 4 bases. Pour 10 paires : $4^{10} = 1\ 048\ 576$ séquences différentes, soit plus d'un million. Pour 30 paires : $4^{30} \approx 1{,}153 \times 10^{18}$, soit plus d'un milliard de milliards. La croissance est exponentielle, et c'est ce qui permet à une molécule de quelques millimètres, une fois déroulée, de porter une information immense : le nombre de messages possibles explose bien plus vite que la longueur.

c) Avec 2 bits par base, il faut $3{,}2 \times 10^{9} \times 2 = 6{,}4 \times 10^{9}$ bits, soit $6{,}4 \times 10^{9} / 8 = 8{,}0 \times 10^{8}$ octets. En mébioctets : $8{,}0 \times 10^{8} / 1\ 048\ 576 \approx 763$ Mio. C'est l'équivalent d'environ $763 / 34{,}3 \approx 22$ photographies non compressées de 12 mégapixels, ou d'un seul disque compact de données. Le résultat est instructif dans les deux sens : c'est peu au regard de la complexité d'un être humain, et c'est beaucoup pour une molécule qui tient dans un noyau de quelques micromètres.

d) La CONSERVATION vient de ce que chaque brin porte l'information complète : si l'un est endommagé, l'autre permet de le reconstituer, base par base, grâce à la règle d'appariement. Des mécanismes de réparation exploitent exactement cette redondance. La TRANSMISSION vient du même mécanisme : lors de la division, les deux brins se séparent, et chacun sert de modèle pour reconstruire son complémentaire. On obtient ainsi deux molécules identiques à la molécule de départ, chacune formée d'un brin ancien et d'un brin neuf. Une même propriété structurale, la complémentarité, rend donc compte à la fois de la stabilité et de la copie, ce qui est remarquable et fut immédiatement souligné par les auteurs du modèle.

e) Le code génétique est la table de correspondance entre les triplets de bases et les acides aminés qu'ils désignent. Dire qu'il est UNIVERSEL signifie qu'un même triplet désigne le même acide aminé chez une bactérie, un chêne et un être humain, à de très rares exceptions près. Cela se comprend comme un héritage d'un ancêtre commun, la table étant arbitraire et n'ayant aucune raison physique d'être identique partout. Concrètement, on en fait beaucoup : on peut introduire un gène humain dans une bactérie et obtenir la protéine humaine correspondante, ce qui est exactement le procédé de production de l'insuline depuis les années 1980. Sans universalité du code, cette industrie entière n'existerait pas.

a) On cherche le nombre $n$ de demi-vies tel que $0{,}5^{n} = 0{,}12$. À la calculatrice, $0{,}5^{3} = 0{,}125$ et $0{,}5^{3{,}1} \approx 0{,}117$, puis en resserrant $n \approx 3{,}0589$. L'âge vaut donc $t = 3{,}0589 \times 5\ 730 \approx 17\ 527$ ans. Contrôle par encadrement : 12 pour cent est compris entre $0{,}5^{3} = 12{,}5$ pour cent et $0{,}5^{4} = 6{,}25$ pour cent, donc l'âge est compris entre 3 et 4 demi-vies, soit entre $17\ 190$ et $22\ 920$ ans, et très près de la borne basse. Le résultat est cohérent.

b) Même méthode avec $0{,}5^{n} = 0{,}88$ : $0{,}5^{0{,}2} \approx 0{,}871$ et $0{,}5^{0{,}18} \approx 0{,}883$, puis en resserrant $n \approx 0{,}1844$. Donc $t = 0{,}1844 \times 4{,}47 \times 10^{9} \approx 8{,}24 \times 10^{8}$ ans, soit environ 824 millions d'années. Cette date représente le moment où la roche a CRISTALLISÉ, c'est-à-dire où le magma s'est refroidi au point que les minéraux ont piégé leur uranium et cessé d'échanger avec l'extérieur. Elle ne dit rien de la date à laquelle un être humain a ramassé le bloc.

c) On n'aurait pas pu dater le granite au carbone 14 pour deux raisons : le granite ne contient pas de carbone d'origine biologique, et surtout son âge dépasse de plusieurs ordres de grandeur la plage utile de la méthode, si bien qu'il ne resterait plus un seul noyau de carbone 14. Inversement, on n'aurait pas pu dater le charbon à l'uranium-plomb parce qu'en quelques milliers d'années, la fraction d'uranium désintégrée est de l'ordre de $10^{-6}$ : elle est indétectable, noyée dans les incertitudes de mesure. La règle générale : on choisit un chronomètre dont la demi-vie est du même ORDRE DE GRANDEUR que la durée à mesurer. Une horloge trop rapide est déjà arrêtée, une horloge trop lente n'a pas bougé.

d) Pour le carbone 14 : de $0{,}1 \times 5\ 730 = 573$ ans à $10 \times 5\ 730 = 57\ 300$ ans. Pour l'uranium-plomb : de $0{,}1 \times 4{,}47 \times 10^{9} = 4{,}47 \times 10^{8}$ ans à $10 \times 4{,}47 \times 10^{9} = 4{,}47 \times 10^{10}$ ans. On note que la borne haute de l'uranium-plomb dépasse l'âge de l'Univers, ce qui n'est pas gênant : cela signifie simplement que la méthode couvre toute l'histoire de la Terre. On note surtout que les deux plages ne se recouvrent PAS du tout, ce qui confirme la réponse à la question c et explique qu'on dispose de toute une gamme de couples radioactifs intermédiaires.

e) Non, il n'y a aucune contradiction, parce que les deux horloges ne mesurent pas la même chose. La date de l'uranium-plomb est celle de la CRISTALLISATION du granite, il y a des centaines de millions d'années, bien avant toute présence humaine ; le bloc était déjà une pierre ancienne quand quelqu'un l'a ramassé pour en faire une meule. La date du carbone 14 est celle de la MORT de l'arbre dont provient le charbon, donc à quelques années près celle de la combustion, donc de l'occupation du site. Seule la seconde date l'activité humaine. La leçon générale est qu'une méthode de datation date toujours un ÉVÉNEMENT PRÉCIS, la fermeture du système radioactif considéré, et que l'interprétation archéologique consiste justement à savoir quel événement on vient de dater.

a) Les 8 ions de sommet comptent chacun pour $\frac{1}{8}$ et les 6 ions de face pour $\frac{1}{2}$ : $8 \times \frac{1}{8} + 6 \times \frac{1}{2} = 1 + 3 = 4$ ions chlorure. C'est le décompte de la structure cubique à faces centrées.

b) Une arête est commune à QUATRE cubes, qui se rejoignent autour d'elle. Les 12 ions sodium d'arête comptent donc chacun pour $\frac{1}{4}$, et l'ion du centre appartient entièrement à la maille : $12 \times \frac{1}{4} + 1 = 3 + 1 = 4$ ions sodium. La maille contient 4 ions $\mathrm{Na^{+}}$ pour 4 ions $\mathrm{Cl^{-}}$, soit un rapport de 1 pour 1 : c'est exactement ce qu'exprime la formule NaCl, et c'est aussi ce qu'impose la neutralité électrique du cristal. Le piège est de compter une arête pour $\frac{1}{2}$, comme une face : on trouverait 7 ions sodium pour 4 ions chlorure, un cristal chargé.

c) Le long d'une arête, on rencontre un ion chlorure de sommet, l'ion sodium du milieu, puis l'autre ion chlorure : l'arête vaut deux rayons de chaque ion, $a = 2 \left( r(\mathrm{Na^{+}}) + r(\mathrm{Cl^{-}}) \right) = 2 \times (102 + 181) = 566$ pm.

d) La masse molaire de NaCl vaut $22{,}99 + 35{,}45 = 58{,}44$ g/mol. La maille contient 4 unités NaCl, de masse $m = \frac{4 \times 58{,}44}{6{,}022 \times 10^{23}} \approx 3{,}882 \times 10^{-22}$ g. Avec $a = 566$ pm $= 5{,}66 \times 10^{-8}$ cm, le volume vaut $a^{3} \approx 1{,}813 \times 10^{-22}$ cm$^{3}$. Donc $\rho = \frac{3{,}882 \times 10^{-22}}{1{,}813 \times 10^{-22}} \approx 2{,}14$ g/cm$^{3}$. L'écart avec $2{,}16$ est inférieur à 1 pour cent : le modèle d'ions sphériques en contact le long de l'arête est très bon.

e) Volume des ions : $4 \times \frac{4}{3}\pi \times 102^{3} + 4 \times \frac{4}{3}\pi \times 181^{3} \approx 1{,}171 \times 10^{8}$ pm$^{3}$. Volume de la maille : $566^{3} \approx 1{,}813 \times 10^{8}$ pm$^{3}$. La compacité vaut $C \approx 0{,}646$, soit environ $64{,}6$ pour cent. Deux ions chlorure voisins sont distants d'une demi-diagonale de face, $\frac{a\sqrt{2}}{2} \approx 400$ pm, alors que la somme de leurs rayons vaut $2 \times 181 = 362$ pm : ils ne se touchent PAS. Heureusement, car deux ions de même charge se repoussent ; le cristal tient parce que chaque ion est entouré d'ions de charge opposée, six plus proches voisins de chaque côté.

a) Les 8 atomes de sommet comptent chacun pour $\frac{1}{8}$, et l'atome central appartient entièrement à la maille : $8 \times \frac{1}{8} + 1 = 2$ atomes.

b) La diagonale d'une face mesure $a\sqrt{2}$ par le théorème de Pythagore. La diagonale du cube est l'hypoténuse d'un triangle rectangle dont les côtés sont une arête et une diagonale de face : elle vaut $\sqrt{a^{2} + 2a^{2}} = a\sqrt{3}$. Le long de cette diagonale, on rencontre un atome de sommet, l'atome central puis l'atome du sommet opposé, soit $4R$. Donc $a\sqrt{3} = 4R$ et $a = \frac{4R}{\sqrt{3}} = \frac{4 \times 124}{\sqrt{3}} \approx 286{,}4$ pm. Vérification : deux atomes de sommet voisins sont distants de $286{,}4$ pm, plus que $2R = 248$ pm, donc ils ne se touchent pas le long de l'arête, ce qui confirme le choix de la diagonale.

c) Volume occupé : $2 \times \frac{4}{3}\pi R^{3} = \frac{8}{3}\pi R^{3}$. Volume de la maille : $a^{3} = \frac{64 R^{3}}{3\sqrt{3}}$. Donc $C = \frac{8\pi R^{3}/3}{64R^{3}/(3\sqrt{3})} = \frac{\pi\sqrt{3}}{8} \approx 0{,}6802$. Classement : cubique simple $0{,}5236$, cubique centrée $0{,}6802$, cubique à faces centrées $0{,}7405$.

d) Masse de la maille : $m = \frac{2 \times 55{,}85}{6{,}022 \times 10^{23}} \approx 1{,}855 \times 10^{-22}$ g. Avec $a = 2{,}864 \times 10^{-8}$ cm, $V = a^{3} \approx 2{,}348 \times 10^{-23}$ cm$^{3}$. Donc $\rho \approx 7{,}90$ g/cm$^{3}$, à $0{,}4$ pour cent de la valeur tabulée.

e) À rayon fixé, la masse volumique est proportionnelle à la compacité, puisque la masse d'un atome ne change pas. Le volume d'une même masse de fer est donc multiplié par $\frac{0{,}6802}{0{,}7405} \approx 0{,}9186$ : il diminuerait de $8{,}1$ pour cent. La variation réelle est huit fois plus faible. Conclusion : les atomes ne sont pas des billes de rayon fixé. La distance entre voisins dépend du nombre de voisins, 8 dans la structure cubique centrée et 12 dans la structure à faces centrées, et le rayon « apparent » d'un atome de fer est plus grand dans la seconde. Le modèle des sphères dures est excellent pour une structure donnée, et grossier pour comparer deux structures.

a) Un dé montre un 6 avec la probabilité $\frac{1}{6}$ ; il reste en jeu avec la probabilité $\frac{5}{6}$. Après un lancer, on attend $600 \times \frac{5}{6} = 500$ dés. Après deux lancers, $500 \times \frac{5}{6} \approx 417$ dés : on ne retire pas 100 dés à chaque fois, mais un sixième de ceux qui RESTENT.

b) Chaque lancer multiplie le nombre de dés par $\frac{5}{6}$, donc après $n$ lancers il en reste en moyenne $600 \times \left(\frac{5}{6}\right)^{n}$. Pour $n = 5$ : $600 \times 0{,}4019 \approx 241$ dés. Pour $n = 10$ : environ 97 dés. C'est une suite géométrique, la même loi que celle des noyaux radioactifs.

c) $\left(\frac{5}{6}\right)^{3} \approx 0{,}579$ et $\left(\frac{5}{6}\right)^{4} \approx 0{,}482$ : la moitié des dés est retirée entre le 3e et le 4e lancer. En resserrant à la calculatrice, $\left(\frac{5}{6}\right)^{3{,}8} \approx 0{,}500$ : la demi-vie vaut environ $3{,}80$ lancers. Après deux demi-vies, soit $7{,}6$ lancers, il reste un quart des dés, comme pour des noyaux.

d) Non. Le modèle prévoit 500 dés EN MOYENNE, pas pour chaque groupe : le sort de chaque dé est aléatoire, et un écart d'une dizaine de dés sur 600 est une fluctuation ordinaire. Avec 6 000 dés, les écarts relatifs sont bien plus faibles, parce que les fluctuations des groupes se compensent : c'est la loi des grands nombres. Un échantillon radioactif compte des milliards de milliards de noyaux, ce qui explique que sa décroissance paraisse parfaitement régulière.

e) Un dé reste en jeu avec la probabilité $\frac{19}{20} = 0{,}95$. On cherche $n$ tel que $0{,}95^{n} = 0{,}5$ : $0{,}95^{13} \approx 0{,}513$ et $0{,}95^{14} \approx 0{,}488$, puis au centième $n \approx 13{,}51$ lancers. La probabilité de retrait à chaque lancer joue le rôle de la propriété du noyau : plus elle est faible, plus la demi-vie est longue. Elle ne dépend ni du nombre de dés, ni du nombre de lancers déjà faits, exactement comme la probabilité de désintégration d'un noyau ne dépend ni de la taille de l'échantillon, ni de l'âge du noyau.

a) Un pouce vaut $2{,}54$ cm $= 25\ 400$ µm. Une cellule mesure donc environ $\frac{25\ 400}{1\ 100} \approx 23$ µm, soit à peu près deux centièmes de millimètre.

b) Taille apparente d'une cellule de liège : $23 \times 300 \approx 6\ 900$ µm, soit près de 7 mm, facile à voir. Taille apparente d'une bactérie : $2 \times 300 = 600$ µm, soit $0{,}6$ mm. On la voit comme un point, mais on ne peut rien décrire de sa forme ni de sa structure, d'autant que les lentilles de l'époque déformaient l'image. Le microscope ne fait pas que grossir : ce qu'il permet de VOIR dépend aussi de la netteté de l'image.

c) $\frac{S}{V} = \frac{4\pi r^{2}}{\frac{4}{3}\pi r^{3}} = \frac{3}{r}$. Pour $r = 1$ µm : 3 µm$^{-1}$. Pour $r = 10$ µm : $0{,}3$ µm$^{-1}$. Pour $r = 100$ µm : $0{,}03$ µm$^{-1}$. Le rapport est inversement proportionnel au rayon : chaque unité de volume dispose de dix fois moins de membrane quand le rayon est multiplié par dix.

d) La surface varie comme $r^{2}$, donc elle est multipliée par $10^{2} = 100$. Le volume varie comme $r^{3}$, donc il est multiplié par $10^{3} = 1\ 000$. Les besoins augmentent mille fois quand les apports n'augmentent que cent fois : au-delà d'une certaine taille, la membrane ne peut plus nourrir le volume qu'elle entoure. La cellule se divise alors, ce qui rétablit un grand rapport $\frac{S}{V}$. C'est un argument géométrique, pas biologique, et c'est lui qui explique que les êtres vivants de grande taille soient faits de milliards de petites cellules plutôt que d'une seule très grande.

e) Volume d'une cellule de rayon $10$ µm $= 10^{-5}$ m : $V = \frac{4}{3}\pi \times (10^{-5})^{3} \approx 4{,}19 \times 10^{-15}$ m$^{3}$. Le corps occupe $70$ L $= 7{,}0 \times 10^{-2}$ m$^{3}$. Nombre de cellules : $\frac{7{,}0 \times 10^{-2}}{4{,}19 \times 10^{-15}} \approx 1{,}7 \times 10^{13}$. L'ordre de grandeur, $10^{13}$, est le bon. L'écart d'un facteur 2 environ vient des hypothèses : les globules rouges, les plus nombreux, sont bien plus petits que 20 µm, et une partie du corps est faite de liquides et de matière extracellulaire.

a) Sommets : $8 \times \frac{1}{8} = 1$. Faces : $6 \times \frac{1}{2} = 3$. Intérieur : 4 atomes entiers. Total : $1 + 3 + 4 = 8$ atomes par maille, deux fois plus que dans une structure cubique à faces centrées.

b) La diagonale du cube mesure $a\sqrt{3}$, donc la distance entre atomes liés vaut $d = \frac{a\sqrt{3}}{4} = \frac{356{,}7 \times \sqrt{3}}{4} \approx 154{,}5$ pm. Deux sphères en contact ont leurs centres distants de deux rayons, donc $R = \frac{d}{2} \approx 77{,}2$ pm.

c) Masse de la maille : $m = \frac{8 \times 12{,}01}{6{,}022 \times 10^{23}} \approx 1{,}595 \times 10^{-22}$ g. Volume : $(3{,}567 \times 10^{-8})^{3} \approx 4{,}538 \times 10^{-23}$ cm$^{3}$. Donc $\rho \approx 3{,}52$ g/cm$^{3}$, conforme à la valeur tabulée de $3{,}51$. Rapport au graphite : $\frac{3{,}52}{2{,}26} \approx 1{,}56$, le diamant est environ 56 pour cent plus dense. Même élément, masse volumique très différente : c'est encore l'allotropie.

d) Avec $R = \frac{a\sqrt{3}}{8}$, le volume des 8 sphères vaut $8 \times \frac{4}{3}\pi \times \frac{3\sqrt{3}\, a^{3}}{512} = \frac{\pi\sqrt{3}}{16} a^{3}$. En divisant par $a^{3}$, $C = \frac{\pi\sqrt{3}}{16} \approx 0{,}3401$, soit 34 pour cent. C'est moins de la moitié de la compacité maximale, $0{,}7405$ : les deux tiers du volume du diamant sont vides.

e) Dans un métal, les liaisons ne sont pas orientées : chaque atome s'entoure d'autant de voisins que la géométrie le permet, et l'empilement est compact. Dans le diamant, chaque atome forme quatre liaisons covalentes dirigées vers les sommets d'un tétraèdre, et aucun autre atome ne peut se glisser entre elles : l'orientation des liaisons impose un réseau aéré. Mais la dureté ne dépend pas du remplissage, elle dépend de la force et de la disposition des liaisons. Dans le diamant, toutes les liaisons sont fortes et le réseau est rigide dans les trois directions : rayer le cristal oblige à en rompre beaucoup. La compacité mesure l'espace occupé, pas la solidité.