Enseignement scientifique, Première • Programme français, lycées de Montréal

Fiche de révision : une longue histoire de la matière

Le thème de la matière est celui où toutes les questions se calculent et où presque toutes les fautes viennent d'une proportion mal lue : on croit qu'après deux demi-vies il ne reste rien, on compte huit atomes dans une maille qui n'en possède qu'un, on date un fossile de soixante millions d'années au carbone 14.

Cette fiche liste les neuf erreurs qui reviennent dans les copies, avec la phrase exacte à écrire à la place et ce que chacune coûte au barème.

Le fil du chapitre

Tout ce chapitre est une histoire de PROPORTIONS : la fraction de noyaux restants, la fraction de l'atome qui appartient à la maille, la fraction du volume qu'occupe la matière. Les valeurs absolues n'y servent presque jamais.

Ce chapitre fait partie de Enseignement scientifique en Première

Avant ce chapitre

Cette fiche suppose ces notions acquises. Si une méthode ci-dessous reste opaque, c'est presque toujours l'une d'elles qui manque, pas la fiche.

L'atome et la classification périodiqueSeconde, Physique-chimie Fiche

Remonter plus loin : la chaîne complète (4 chapitres) ↓

Le chemin de remédiation, du plus ancien au plus proche. Un élève qui reprend ce chapitre de zéro le reprend dans cet ordre.

1Constitution de la matièreSeconde, Physique-chimie
2L'atome et la classification périodiqueSeconde, Physique-chimie
3Mélanges, solutions et dissolutionCinquième, Physique-chimie
4Atomes, molécules et transformations chimiquesQuatrième, Physique-chimie

L'essentiel

D'où viennent les éléments

• Nucléosynthèse primordiale, dans les trois premières minutes : hydrogène, hélium, et une trace de lithium. Rien d'autre.
• Dans les étoiles, par fusion : jusqu'au FER, au-delà duquel la fusion ne libère plus d'énergie.
• Au-delà du fer : supernovae et fusions d'étoiles à neutrons, événements rares et violents.
• Isotopes : même nombre de protons, nombre de neutrons différent. Mêmes propriétés CHIMIQUES, propriétés NUCLÉAIRES différentes.

La question « pourquoi l'or est-il rare » attend une phrase sur les événements qui le produisent, pas sur la géologie terrestre.

La décroissance radioactive

• $N = N_{0}\,e^{-\lambda t}$ , avec $\lambda = \ln 2 / T$ où $T$ est la demi-vie.
• Après $n$ demi-vies, il reste la fraction $(1/2)^{n}$ : un quart après deux demi-vies, un huitième après trois.
• La décroissance est ALÉATOIRE à l'échelle d'un noyau et parfaitement régulière à l'échelle d'un échantillon : c'est une loi statistique.
• Datation : $t = T \times \ln(f)/\ln(0{,}5)$ , où $f$ est la fraction restante.

La courbe ne touche jamais l'axe : après deux demi-vies il reste un quart des noyaux, après trois un huitième, jamais zéro.

La demi-vie ne dépend d'aucune condition extérieure : ni température, ni pression, ni liaison chimique. C'est ce qui en fait un chronomètre.

La maille et la compacité

• Un atome placé sur un SOMMET est partagé entre huit mailles : il compte pour un huitième. Sur une FACE, il est partagé entre deux : il compte pour un demi.
• Cubique simple : $8 \times 1/8 = 1$ atome en propre, $a = 2R$ , compacité $\pi/6 \approx 0{,}52$ .
• Cubique à faces centrées : $8 \times 1/8 + 6 \times 1/2 = 4$ atomes en propre, $a\sqrt{2} = 4R$ , compacité $\pi/(3\sqrt{2}) \approx 0{,}74$ .
• La compacité est un RAPPORT de volumes : elle ne dépend ni du rayon de l'atome ni de la taille de la maille, seulement de la géométrie de l'empilement.

Du cristal à la roche, et à la cellule

• Granite et basalte ont la MÊME composition chimique : c'est la vitesse de refroidissement qui les sépare, lente en profondeur pour le granite, rapide en surface pour le basalte.
• Refroidissement lent, gros cristaux visibles. Refroidissement rapide, petits cristaux. Refroidissement brutal, aucun cristal.
• L'obsidienne est un solide AMORPHE : aucun ordre à longue distance, donc pas un cristal, malgré son aspect.
• Une molécule amphiphile possède une tête hydrophile et une queue hydrophobe : dans l'eau, elle s'organise SEULE en bicouche. C'est de la physique, aucune information n'est codée.

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Croire qu'il ne reste plus rien après deux demi-vies

2 points, et toutes les datations de l'exercice deviennent fausses

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Après une demi-vie il reste la moitié, après deux il ne reste plus rien. »

Ce qu'il faut écrire

« Après $n$ demi-vies il reste $(1/2)^{n}$ : un quart après deux demi-vies, soit 25 pour cent, et jamais zéro. »

Pourquoi : La décroissance est multiplicative, pas additive : chaque demi-vie divise par deux ce qui RESTE, et non la quantité de départ. C'est le contresens le plus fréquent du thème.

2. Dater un fossile ancien au carbone 14

2 points, et c'est une question de choix de méthode très souvent posée

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Le fossile a 66 millions d'années, on le date au carbone 14. »

Ce qu'il faut écrire

« Un chronomètre s'emploie entre un dixième et dix demi-vies : le carbone 14 couvre de 573 à 57 300 ans. Pour 66 millions d'années, il faut un couple à longue demi-vie, comme l'uranium-plomb. »

La plage utile du carbone 14 tient entre 573 et 57 300 ans : un fossile de 66 millions d'années et l'âge de la Terre en sont à trois et cinq ordres de grandeur.

Pourquoi : Au-delà de dix demi-vies, il reste moins d'un millième du radioélément : la mesure devient impossible. En deçà d'un dixième, la quantité disparue est trop petite pour être mesurée.

3. Croire que les isotopes ont des propriétés chimiques différentes

1 point, et le principe même de la datation devient incompréhensible

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Le carbone 14 est radioactif, donc il ne réagit pas comme le carbone 12. »

Ce qu'il faut écrire

« Deux isotopes ont le même nombre de protons, donc le même cortège d'électrons et les mêmes propriétés CHIMIQUES. Seules leurs propriétés NUCLÉAIRES diffèrent. »

Pourquoi : C'est précisément parce que le carbone 14 se comporte chimiquement comme le carbone 12 qu'il entre dans les mêmes molécules, et donc dans les êtres vivants. Sans cela, aucune datation ne serait possible.

4. Compter les atomes touchés au lieu des atomes en propre

2 points, et la masse volumique calculée ensuite est fausse d'un facteur 3,5

Ce qu'il ne faut pas écrire

« La maille cubique à faces centrées touche 14 atomes, elle en contient donc 14. »

Ce qu'il faut écrire

« Chaque sommet compte pour un huitième et chaque face pour un demi : $8 \times 1/8 + 6 \times 1/2 = 4$ atomes en propre. »

Sur la même face de cube, les sphères se touchent le long de l'arête à gauche et le long de la diagonale à droite : c'est ce contact qui donne la relation entre a et R, et le nombre d'atomes en propre.

Pourquoi : La maille est un pavé qui se répète : un atome posé sur un sommet appartient aux huit mailles qui s'y rejoignent. Compter les atomes visibles reviendrait à les compter huit fois dans le cristal.

5. Croire que la compacité dépend de la taille de l'atome

1 point, et la question suivante sur l'empilement le plus dense devient incohérente

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Les atomes de cuivre sont plus gros que ceux de l'aluminium, donc la compacité du cuivre est plus grande. »

Ce qu'il faut écrire

« La compacité est un RAPPORT de volumes : tout métal en cubique à faces centrées a la compacité $\pi/(3\sqrt{2}) \approx 0{,}74$ , quel que soit le rayon de ses atomes. »

Pourquoi : En changeant de rayon, on change à la fois le volume des sphères et celui de la maille, dans le même rapport. Seule la géométrie de l'empilement compte, ce qui explique que $0{,}74$ soit un maximum universel.

6. Séparer granite et basalte par leur composition

2 points sur la question d'exploitation de documents

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Le granite et le basalte n'ont pas les mêmes minéraux parce qu'ils ne viennent pas du même magma. »

Ce qu'il faut écrire

« Ils ont la même composition chimique globale : c'est la VITESSE de refroidissement qui change la taille des cristaux, lente en profondeur pour le granite, rapide en surface pour le basalte. »

Pourquoi : Le thème veut faire comprendre qu'une même matière donne des solides différents selon son histoire thermique. Répondre par la composition revient à ne pas avoir lu la question.

7. Prendre l'obsidienne pour un cristal

1 point, et la définition du cristal est ce qui est évalué

Ce qu'il ne faut pas écrire

« L'obsidienne est brillante et régulière, c'est donc un cristal. »

Ce qu'il faut écrire

« L'obsidienne est un solide AMORPHE : le refroidissement a été trop brutal pour que les atomes s'ordonnent, il n'y a aucun ordre à longue distance. »

Pourquoi : Un cristal se définit par la PÉRIODICITÉ de son empilement, pas par son apparence. Le verre, lui aussi lisse et brillant, est également amorphe.

8. Croire que la bicouche est construite par une information génétique

2 points, et c'est l'idée centrale du chapitre

Ce qu'il ne faut pas écrire

« La cellule fabrique sa membrane en suivant les instructions de l'ADN qui indiquent comment ranger les phospholipides. »

Ce qu'il faut écrire

« L'ADN code la synthèse des molécules, mais leur ARRANGEMENT en bicouche est spontané : les têtes hydrophiles vont vers l'eau et les queues hydrophobes s'évitent. C'est un auto-assemblage physique. »

Pourquoi : Le thème veut montrer qu'une structure biologique peut naître de propriétés physiques simples. Attribuer l'organisation à un programme, c'est manquer exactement ce que le chapitre démontre.

9. Mélanger les unités dans un calcul de masse volumique

2 points, et le résultat est faux de plusieurs puissances de dix

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Le paramètre de maille vaut 362 picomètres et la masse molaire 63,5 grammes par mole, donc je divise directement. »

Ce qu'il faut écrire

« Je convertis tout dans un même système : $a = 3{,}62 \times 10^{-8}$ cm, la masse d'un atome vaut $63{,}5/(6{,}02 \times 10^{23})$ gramme, et la masse volumique sort en grammes par centimètre cube. »

Pourquoi : Toutes les erreurs de ce calcul sont des erreurs d'unité : le picomètre vaut $10^{-10}$ centimètre, et l'oublier fait perdre un facteur mille milliards sur le volume.

Quelle méthode choisir

Quel chronomètre pour quelle durée

L'ordre de grandeur de l'âge cherché, comparé à la demi-vie du couple envisagé.

Si de quelques centaines à quelques dizaines de milliers d'années → carbone 14, demi-vie 5 730 ans

Exemple : un charbon de foyer préhistorique

plage utile de 573 à 57 300 ans
Si des centaines de milliers d'années → potassium-argon, demi-vie de l'ordre du milliard d'années

Exemple : une coulée volcanique
Si des millions à des milliards d'années → uranium-plomb

Exemple : une météorite, pour l'âge du système solaire
Si le matériau n'a jamais contenu le radioélément → aucune datation directe, il faut dater l'encaissant

Exemple : un fossile daté par la couche qui le contient

La règle est toujours la même : la mesure n'est fiable qu'entre un dixième et dix demi-vies. Citer cette règle vaut le point de justification.

Ce que la question demande vraiment

Le mot de l'énoncé : « il reste », « depuis combien de temps », « combien d'atomes », « quelle proportion ».

Si « quelle proportion reste-t-il après $n$ demi-vies » → $(1/2)^{n}$ , sans calculatrice

Exemple : trois demi-vies donnent un huitième
Si « depuis combien de temps », avec une fraction donnée → $t = T \times \ln(f)/\ln(0{,}5)$

Exemple : $f = 0{,}25$ donne exactement $2T$
Si « combien d'atomes dans la maille » → compter en huitièmes de sommet et en demis de face

Exemple : faces centrées : $1 + 3 = 4$
Si « quelle est la compacité » → volume des atomes en propre divisé par volume de la maille

Exemple : $4 \times \frac{4}{3}\pi R^{3}$ sur $a^{3}$
Si « quelle est la masse volumique » → masse des atomes en propre divisée par le volume de la maille

Exemple : $8{,}9$ g/cm $^{3}$ pour le cuivre

convertir les longueurs AVANT d'élever au cube

Si aucune branche ne s'applique, revenir à la définition : une fraction restante, un compte d'atomes en propre, ou un rapport de volumes.

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Rédiger une datation

Quand l'utiliser : L'énoncé donne une fraction restante, ou une activité mesurée et une activité initiale.

1 Écrire la fraction restante $f$ , et dire d'où elle vient : rapport d'activités, ou rapport de quantités.
2 Vérifier que la durée cherchée tombera dans la plage d'emploi du chronomètre, et le dire.
3 Écrire la relation $t = T \times \ln(f)/\ln(0{,}5)$ , ou reconnaître un nombre entier de demi-vies quand $f$ est une puissance de un demi.
4 Appliquer numériquement, en gardant les unités de $T$ pour le résultat.
5 Conclure par une phrase datée, avec un nombre de chiffres significatifs cohérent avec les données.

Phrase de conclusion

« La fraction restante vaut $f = 0{,}25$ , soit exactement deux demi-vies : l'échantillon a donc $2 \times 5\,730 = 11\,460$ ans, une durée qui reste bien dans la plage d'emploi du carbone 14. »

Le piège : Oublier de vérifier la plage d'emploi : le calcul peut donner un nombre parfaitement raisonnable pour une mesure impossible.

Barème : 1 point pour la fraction, 1 point pour la relation, 1 point pour l'application numérique, 1 point pour la plage d'emploi.

Rédiger un calcul de masse volumique à partir d'une maille

Quand l'utiliser : L'énoncé donne un type de maille, un rayon atomique et une masse molaire.

1 Compter les atomes EN PROPRE, en détaillant les huitièmes de sommet et les demis de face.
2 Écrire la relation géométrique entre $a$ et $R$ , en disant le long de quelle direction les sphères se touchent.
3 Convertir toutes les longueurs dans la même unité AVANT d'élever au cube.
4 Calculer la masse des atomes en propre, à partir de la masse molaire et du nombre d'Avogadro.
5 Diviser, donner l'unité, et comparer à la valeur tabulée du métal.

Phrase de conclusion

« La maille cubique à faces centrées contient $8 \times 1/8 + 6 \times 1/2 = 4$ atomes en propre. Les sphères se touchent le long de la diagonale d'une face, donc $a\sqrt{2} = 4R$ , soit $a = 3{,}62 \times 10^{-8}$ cm. La masse volumique vaut $8{,}9$ g/cm $^{3}$ , très proche des $8{,}96$ tabulés pour le cuivre. »

Le piège : Écrire $a = 2R$ pour une maille à faces centrées : c'est la relation de la maille cubique simple, et le résultat sort faux de plus de 40 pour cent.

Barème : 1 point pour le compte des atomes, 1 point pour la relation géométrique, 1 point pour l'application numérique, 1 point pour la comparaison.

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

Vérifier une fraction restante à la main

Une fraction restante doit toujours être comprise entre 0 et 1, et valoir une puissance de un demi quand la durée est un multiple entier de la demi-vie.

Une fraction annoncée à $0{,}30$ pour trois demi-vies est fausse : la valeur exacte est $0{,}125$ .
Contrôler la plage d'emploi du chronomètre

Comparer l'âge trouvé à la demi-vie : il doit tenir entre un dixième et dix fois celle-ci, sinon la mesure n'aurait pas été possible.

Un âge de 200 000 ans obtenu au carbone 14 signale une erreur, la limite étant de 57 300 ans.
Recompter les atomes en propre

Le compte doit être un entier : huitièmes de sommet, quarts d'arête, demis de face, plus l'éventuel atome central. Un résultat non entier signale une erreur de partage.

Un compte de $3{,}5$ atomes est impossible, quel que soit le type de maille.
Comparer la masse volumique à la valeur tabulée

Un métal courant a une masse volumique entre 2 et 20 grammes par centimètre cube. Un résultat hors de cette fourchette est une erreur d'unité, presque toujours sur la conversion des longueurs.

Une masse volumique de $8\,900$ g/cm $^{3}$ est le signe d'un facteur mille oublié entre le mètre et le centimètre.
Vérifier qu'une compacité est inférieure à 0,74

Aucun empilement de sphères identiques ne dépasse $0{,}74$ . Une compacité supérieure, ou supérieure à 1, est nécessairement fausse.

Une compacité de $0{,}9$ signale un volume de maille sous-estimé, souvent parce que $a = 2R$ a été utilisé à tort.

L'exercice type décortiqué

Du rayon de l'atome à la masse volumique du cuivre

Le cuivre cristallise dans une maille cubique à faces centrées. Le rayon d'un atome vaut $R = 128$ pm, sa masse molaire $M = 63{,}5$ g/mol, et le nombre d'Avogadro $6{,}02 \times 10^{23}$ mol $^{-1}$ .

Calculer le nombre d'atomes en propre, le paramètre de maille, la compacité et la masse volumique, puis comparer aux $8{,}96$ g/cm $^{3}$ tabulés.

Étape 1

Atomes en propre : $8 \times 1/8$ pour les sommets et $6 \times 1/2$ pour les faces, soit $1 + 3 = 4$ .

Pourquoi

Le détail du compte est noté, pas seulement le résultat : c'est lui qui prouve que le partage entre mailles voisines est compris, et il conditionne tout le reste du calcul.

Étape 2

Les sphères se touchent le long de la DIAGONALE d'une face : $a\sqrt{2} = 4R$ , donc $a = 2R\sqrt{2} = 362$ pm.

Pourquoi

Nommer la direction de contact est ce qui distingue la maille à faces centrées de la maille simple. Écrire $a = 2R$ ici donnerait 256 pm et fausserait le volume de 40 pour cent.

Étape 3

Conversion : $a = 3{,}62 \times 10^{-8}$ cm, donc $V = a^{3} = 4{,}75 \times 10^{-23}$ cm $^{3}$ .

Pourquoi

La conversion se fait AVANT l'élévation au cube. Faite après, elle demande de se souvenir qu'un facteur $10^{-10}$ devient $10^{-30}$ , ce que presque personne ne réussit sous le stress.

Étape 4

Compacité : $4 \times \frac{4}{3}\pi R^{3}$ divisé par $a^{3}$ , soit $\pi/(3\sqrt{2}) \approx 0{,}74$ .

Pourquoi

Le rayon se simplifie entièrement : c'est la preuve, en une ligne, que la compacité ne dépend pas de la taille de l'atome. Le montrer vaut mieux que d'apprendre la valeur.

Étape 5

Masse des 4 atomes : $4 \times 63{,}5 / (6{,}02 \times 10^{23}) = 4{,}22 \times 10^{-22}$ g.

Pourquoi

On passe par la masse d'UN atome, jamais par la masse molaire seule : c'est le nombre d'Avogadro qui fait le lien entre l'échelle de la maille et celle de la mole.

Étape 6

Masse volumique : $4{,}22 \times 10^{-22} / 4{,}75 \times 10^{-23} = 8{,}9$ g/cm $^{3}$ , à comparer aux $8{,}96$ tabulés.

Pourquoi

La comparaison finale est le contrôle : un écart inférieur à un pour cent valide toute la chaîne, alors qu'un facteur mille aurait signalé une conversion manquée.

Conclusion rédigée

« La maille cubique à faces centrées du cuivre contient 4 atomes en propre, son paramètre vaut $a = 2R\sqrt{2} = 362$ pm, sa compacité $\pi/(3\sqrt{2}) \approx 0{,}74$ , et sa masse volumique $8{,}9$ g/cm $^{3}$ , en accord à moins d'un pour cent avec la valeur tabulée de $8{,}96$ g/cm $^{3}$ . »

L'erreur classique sur cet exercice : Utiliser $a = 2R$ , relation de la maille cubique simple : le paramètre tombe à 256 pm, le volume est divisé par 2,8 et la masse volumique annoncée dépasse 25 g/cm $^{3}$ , valeur qu'aucun métal courant n'atteint.

À savoir par cœur

• Primordiale : hydrogène et hélium. Étoiles : jusqu'au FER. Au-delà : supernovae et fusions d'étoiles à neutrons.
• Isotopes : mêmes propriétés CHIMIQUES, propriétés NUCLÉAIRES différentes.
• Après $n$ demi-vies il reste $(1/2)^{n}$ . Jamais zéro.
• Plage d'emploi d'un chronomètre : entre un dixième et dix demi-vies. Carbone 14 : 573 à 57 300 ans.
• Sommet : un huitième. Face : un demi. Cubique simple 1 atome, faces centrées 4 atomes.
• $a = 2R$ en cubique simple, $a\sqrt{2} = 4R$ en faces centrées.
• Compacités : $0{,}52$ et $0{,}74$ . Elles ne dépendent PAS du rayon.
• Granite et basalte : même composition, vitesse de refroidissement différente. Obsidienne : solide amorphe.
• La bicouche s'assemble SEULE : physique des molécules amphiphiles, aucune information codée.

Questions fréquentes

Que reste-t-il d'un échantillon radioactif après deux demi-vies ?

Il en reste le quart, soit 25 pour cent. Chaque demi-vie divise par deux ce qui reste et non la quantité de départ : après une demi-vie il reste la moitié, après deux le quart, après trois le huitième. La quantité restante n'atteint jamais zéro, elle décroît indéfiniment en se divisant par deux.

Jusqu'à quel âge peut-on utiliser la datation au carbone 14 ?

Jusqu'à environ 57 300 ans, soit dix demi-vies de 5 730 ans, et à partir d'environ 573 ans, soit un dixième de demi-vie. Au-delà, il reste moins d'un millième du carbone 14 initial et la mesure devient impossible ; en deçà, la quantité disparue est trop faible pour être détectée. Pour des millions d'années, on utilise l'uranium-plomb.

Comment compter les atomes d'une maille cubique à faces centrées ?

Un atome placé sur un sommet est partagé entre huit mailles, il compte donc pour un huitième ; un atome placé sur une face est partagé entre deux mailles et compte pour un demi. La maille à faces centrées a huit sommets et six faces, soit huit huitièmes plus six demis, c'est-à-dire quatre atomes en propre.

La compacité dépend-elle de la taille des atomes ?

Non. La compacité est le rapport entre le volume occupé par la matière et le volume de la maille, et le rayon se simplifie entièrement dans ce rapport. Toute structure cubique à faces centrées a donc une compacité d'environ 0,74, quel que soit le métal, et cette valeur est le maximum possible pour un empilement de sphères identiques.

Quelle différence entre le granite et le basalte ?

Leur composition chimique globale est la même : c'est la vitesse de refroidissement du magma qui les sépare. Le granite refroidit lentement en profondeur, ce qui laisse le temps aux cristaux de grossir jusqu'à être visibles à l'oeil nu. Le basalte refroidit vite en surface, d'où de très petits cristaux. Un refroidissement brutal donne un solide amorphe, l'obsidienne.

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Exercices corrigés : Une longue histoire de la matière

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

15 exercices corrigés
150 points
225 minutes

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