Exercices corrigés : modélisation quadratique (Première, tronc commun)

a) Le premier tri se fait sur le signe du coefficient de $x^2$ : $f$ et $h$ ont un coefficient positif ($2$ et $0{,}5$), leurs courbes sont tournées vers le haut ; $g$ et $k$ ont un coefficient négatif ($-1$ dans les deux cas, car $-(x-1)(x-5)$ développé commence par $-x^2$), leurs courbes sont tournées vers le bas. Parmi les courbes vers le haut, $C_2$ passe par l'origine avec son sommet en $(0\,;0)$ : c'est $f(x)=2x^2$, puisque $f(0)=0$ et que $x\mapsto ax^2$ a TOUJOURS son sommet à l'origine. $C_1$ coupe l'axe des abscisses en $-1$ et en $3$ : ce sont les nombres qui annulent un facteur de $h$. Parmi les courbes vers le bas, $C_4$ a son sommet sur l'axe des ordonnées, en $(0\,;4)$ : c'est $g$, car une fonction $x\mapsto ax^2+c$ est paire et son axe est l'axe des ordonnées. $C_3$ coupe l'axe des abscisses en $1$ et $5$ : c'est $k$. Chaque forme a donc son point de reconnaissance : l'origine pour $ax^2$, le point $(0\,;c)$ pour $ax^2+c$, les deux racines pour la forme factorisée.

b) Pour $g(x)=-x^2+4$, le sommet est sur l'axe des ordonnées, donc en $x=0$, et $g(0)=4$ : l'ordonnée du sommet est $4$, le nombre $c$ de l'écriture. Pour $k(x)=-(x-1)(x-5)$, un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul : $x-1=0$ ou $x-5=0$, d'où les racines $1$ et $5$. Attention au signe : le facteur $(x-5)$ s'annule en $+5$, pas en $-5$. C'est le premier point perdu sur ce chapitre.

c) Les deux racines de $h$ sont deux points de la courbe à la MÊME hauteur, $0$. Une parabole étant symétrique par rapport à son axe, l'axe passe au milieu : $x=\frac{-1+3}{2}=1$. Le sommet est sur l'axe, donc son ordonnée est $h(1)=0{,}5\times(1+1)\times(1-3)=0{,}5\times 2\times(-2)=-2$ : sommet $(1\,;-2)$, ce que confirme $C_1$. Pour $k$ : axe $x=\frac{1+5}{2}=3$ et $k(3)=-(3-1)(3-5)=-(2)(-2)=4$, sommet $(3\,;4)$. Aucune formule n'a servi : seulement la symétrie et un calcul d'image.

d) $p(2)=0{,}5\times 4=2$ alors que $f(2)=2\times 4=8$. Pour un même écart de $2$ unités à l'axe, la courbe de $f$ est déjà montée à $8$, celle de $p$ seulement à $2$ : la courbe de $f$ est bien plus resserrée. Plus $|a|$ est grand, plus la parabole est étroite ; plus il est proche de $0$, plus elle s'aplatit. Le signe de $a$ dit le sens, sa taille dit l'ouverture.

a) $f(x)=3\iff 2x^2-8x+3=3\iff 2x^2-8x=0$. Le terme constant a disparu, et c'est tout l'intérêt de la méthode : il reste une expression qui se factorise par $x$, sans aucune formule. $2x^2-8x=2x(x-4)$, et un produit est nul si l'un de ses facteurs l'est : $x=0$ ou $x=4$. Les points $(0\,;3)$ et $(4\,;3)$ sont sur la courbe à la même hauteur, donc l'axe passe au milieu : $x=\frac{0+4}{2}=2$. Le sommet est sur l'axe : $f(2)=2\times 4-16+3=-5$, sommet $(2\,;-5)$.

b) $g(x)=1\iff -x^2+5x=0\iff x(-x+5)=0\iff x=0$ ou $x=5$. Axe : $x=\frac{0+5}{2}=2{,}5$. Sommet : $g(2{,}5)=-6{,}25+12{,}5+1=7{,}25$. Sans calculatrice, $2{,}5^2=6{,}25$ se fait de tête : $2{,}5\times 2{,}5=5+1{,}25$. Une vérification rapide : $g(2)=-4+10+1=7$ et $g(3)=-9+15+1=7$, deux points à la même hauteur de part et d'autre de $2{,}5$, ce qui confirme l'axe.

c) $h(x)=-1\iff 3x^2+12x=0\iff 3x(x+4)=0\iff x=0$ ou $x=-4$. L'erreur classique est d'écrire $x=4$ pour le facteur $(x+4)$ : il s'annule en $-4$. Axe : $x=\frac{0+(-4)}{2}=-2$. Sommet : $h(-2)=3\times 4-24-1=-13$. Le carré d'un nombre négatif est positif : $(-2)^2=4$, pas $-4$. Sommet $(-2\,;-13)$.

d) La parabole est symétrique par rapport à son axe : deux points de la courbe qui ont la même ordonnée sont symétriques l'un de l'autre, donc à égale distance de l'axe, et l'axe passe au milieu de leurs abscisses. Pour $f$, le coefficient de $x^2$ vaut $2>0$ : la parabole est tournée vers le haut. $f$ est donc décroissante sur $]-\infty\,;2]$, croissante sur $[2\,;+\infty[$, et son sommet est un MINIMUM, égal à $-5$. Le tableau de variations porte une flèche descendante jusqu'à $-5$ en $x=2$, puis une flèche montante. La méthode marche pour n'importe quelle valeur de départ, mais $c$ est la seule qui fasse disparaître le terme constant et rende la factorisation immédiate.

a) $p(x)=0\iff x-1=0$ ou $x-7=0$, donc les racines sont $1$ et $7$ ; le facteur $-2$ ne s'annule jamais. Pour le signe, on étudie chaque facteur : $x-1$ est positif à droite de $1$, $x-7$ à droite de $7$, et $-2$ est toujours négatif. Le tableau à trois lignes donne, par la règle des signes : sur $]-\infty\,;1[$, $(-)\times(-)\times(-)$, négatif ; sur $]1\,;7[$, $(-)\times(+)\times(-)$, positif ; sur $]7\,;+\infty[$, $(-)\times(+)\times(+)$, négatif. Donc $p(x)>0$ exactement sur $]1\,;7[$. On oublie souvent la ligne du $-2$ : elle retourne tous les signes, et l'oublier inverse toute la réponse.

b) Les racines $1$ et $7$ sont deux points de la courbe à la hauteur $0$ : l'axe passe au milieu, $x=\frac{1+7}{2}=4$. Sommet : $p(4)=-2\times(4-1)\times(4-7)=-2\times 3\times(-3)=18$. Le coefficient de $x^2$ est $-2<0$, la parabole est tournée vers le bas : $p$ est croissante sur $]-\infty\,;4]$, décroissante sur $[4\,;+\infty[$, et $18$ est son MAXIMUM. Cohérence avec a) : la courbe monte au-dessus de l'axe des abscisses entre les racines, jusqu'au sommet $(4\,;18)$.

c) $q(x)=0\iff x=-6$ ou $x=2$ : le facteur $(x+6)$ s'annule en $-6$. Axe : $x=\frac{-6+2}{2}=-2$, et $q(-2)=0{,}5\times 4\times(-4)=-8$. Ici $a=0{,}5>0$ : la parabole est tournée vers le haut, $-8$ est un minimum, et la courbe est SOUS l'axe des abscisses entre les racines. Donc $q(x)\le 0$ sur $[-6\,;2]$, crochets fermés car l'inégalité est large et les racines donnent $q(x)=0$.

d) $p(10)=-2\times 9\times 3=-54$ : $10$ est à l'extérieur des racines et $p(10)$ est négatif, l'affirmation est fausse. La règle juste : à l'extérieur des racines, $p(x)$ a le signe du coefficient $a$ ; entre les racines, le signe contraire. Pour $q$, $a>0$, l'élève aurait eu raison par hasard. Développement : $(x-1)(x-7)=x^2-8x+7$, donc $p(x)=-2x^2+16x-14$. Contrôle : la forme développée donne $p(0)=-14$, la forme factorisée $-2\times(-1)\times(-7)=-14$. Les deux formes décrivent bien la même fonction ; la factorisée sert au signe, la développée à l'ordonnée à l'origine.

a) Dans le repère 1, les pieds de l'arche sont les points $(0\,;0)$ et $(40\,;0)$ : ce sont deux points de hauteur nulle, donc les racines $0$ et $40$. La forme factorisée s'impose : $A_1(x)=a(x-0)(x-40)=a\,x(x-40)$. Les racines ne fixent pas $a$ : il faut une troisième information, la hauteur. Le sommet est au milieu des racines, en $x=20$, et il est à $16$ m : $A_1(20)=a\times 20\times(-20)=-400a=16$, donc $a=-\frac{16}{400}=-0{,}04$. Le signe est cohérent : une arche est tournée vers le bas, $a<0$.

b) Dans le repère 2, l'axe de symétrie de l'arche est l'axe des ordonnées et le sommet est en $(0\,;16)$. Une fonction $x\mapsto a'x^2+c$ est exactement une parabole d'axe l'axe des ordonnées, de sommet $(0\,;c)$ : ici $c=16$. Les pieds sont en $x=-20$ et $x=20$. $A_2(20)=0\iff 400a'+16=0\iff a'=-0{,}04$. On pouvait aussi partir des racines : $A_2(x)=a'(x+20)(x-20)=a'(x^2-400)$, et $A_2(0)=-400a'=16$ redonne la même valeur.

c) Repère 1 : le point est à $x=5$, et $A_1(5)=-0{,}04\times 5\times(5-40)=-0{,}04\times(-175)=7$. Repère 2 : le pied gauche est en $x=-20$, donc le point est à $x=-15$, et $A_2(-15)=-0{,}04\times 225+16=-9+16=7$. Les deux repères donnent $7$ m, heureusement : la hauteur est une grandeur physique, elle ne dépend pas de l'endroit où l'on a posé l'origine. La seule difficulté est de TRADUIRE la position « $5$ m du pied gauche » dans chaque repère, et c'est là que se perdent les points.

d) Dans le repère 2, les bords de la route sont en $x=-6$ et $x=6$, et par symétrie la hauteur y est la même : $A_2(6)=-0{,}04\times 36+16=-1{,}44+16=14{,}56$ m. Le repère 2 était le bon choix ici, parce que la route est centrée sur l'axe. Enfin, $a=a'$ : passer du repère 1 au repère 2 revient à décaler la courbe de $20$ m vers la gauche, ce qui ne change ni sa forme ni son ouverture. Le coefficient de $x^2$ mesure l'ouverture, il est le même dans tous les repères obtenus par translation. Développer $A_1(x)=-0{,}04x^2+1{,}6x$ le confirme.

a) $I(20)=0{,}005\times 400=2$, $I(40)=0{,}005\times 1\,600=8$, $I(80)=0{,}005\times 6\,400=32$, en milliers de dollars. Sans calculatrice, $0{,}005\times 400$ se lit « cinq millièmes de quatre cents », soit $\frac{400\times 5}{1\,000}=2$. On pose le carré D'ABORD, puis on multiplie par $0{,}005$ : écrire $(0{,}005\times 20)^2$ donnerait $0{,}01$, un impôt de dix dollars.

b) $I(2R)=0{,}005\times(2R)^2=0{,}005\times 4R^2=4\times I(R)$ : quand le revenu double, l'impôt est multiplié par $4$. Les nombres de a) le montrent : de $20$ à $40$, l'impôt passe de $2$ à $8$ ; de $40$ à $80$, de $8$ à $32$. C'est la signature de toute fonction $x\mapsto ax^2$, et ce qui la distingue d'une fonction linéaire, où doubler l'entrée double la sortie. Répondre « par $2$ » confond les deux modèles.

c) Pour $R>0$, $t(R)=\dfrac{0{,}005R^2}{R}=0{,}005R$. Donc $t(40)=0{,}2$, soit $20\ \%$, et $t(80)=0{,}4$, soit $40\ \%$. Le taux moyen n'est pas constant : il est proportionnel au revenu. Un contribuable qui gagne deux fois plus ne paie pas seulement plus d'impôt, il en paie une PART plus grande de son revenu : c'est la définition d'un impôt progressif. Un impôt proportionnel, à l'inverse, serait de la forme $I(R)=kR$, avec un taux moyen constant égal à $k$.

d) $N(R)=R-0{,}005R^2=-0{,}005R^2+R$. En factorisant par $-0{,}005R$ : $-0{,}005R(R-200)=-0{,}005R^2+R$, c'est bien $N(R)$ puisque $0{,}005\times 200=1$. Les racines sont $0$ et $200$, l'axe est au milieu, $R=100$, et $a=-0{,}005<0$ : le sommet est un maximum, $N(100)=100-0{,}005\times 10\,000=100-50=50$. Au-delà de $100$ milliers de dollars, le revenu net DÉCROÎT : gagner plus rapporte moins, et à $R=200$ l'impôt prend tout, taux moyen $100\ \%$. Aucun système fiscal réel ne fonctionne ainsi. Le modèle n'est acceptable que sur un intervalle restreint, ici $[0\,;100]$, où le taux moyen reste sous $50\ \%$ ; les barèmes réels passent par des tranches à taux marginal constant.

a) L'énoncé donne deux points au ras du sol, la buse en $x=0$ et le point de chute en $x=4$ : ce sont deux racines. La forme qui les affiche est $a(x-x_1)(x-x_2)$, avec $x_1=0$ et $x_2=4$, donc $h(x)=a\,x(x-4)$. La forme $ax^2$ exigerait un sommet à l'origine, or l'origine est la buse, au ras du sol, pas au sommet ; la forme $ax^2+c$ exigerait un axe vertical passant par la buse, or le sommet est $2$ m plus loin. Choisir la forme, c'est regarder ce que la situation donne : deux passages au sol, donc deux racines.

b) Il reste une inconnue, $a$, et une information non utilisée : la hauteur maximale. Le sommet est sur l'axe, au milieu des racines, en $x=2$, et $h(2)=2$. Or $h(2)=a\times 2\times(2-4)=-4a$, donc $-4a=2$ et $a=-0{,}5$. Ainsi $h(x)=-0{,}5x(x-4)$. Le signe négatif est attendu : le jet monte puis redescend, la parabole est tournée vers le bas.

c) $1$ et $3$ sont symétriques par rapport à l'axe $x=2$, puisque $\frac{1+3}{2}=2$ : les deux points sont à la même hauteur, donc $h(3)=h(1)=1{,}5$. Vérification : $h(3)=-0{,}5\times 3\times(-1)=1{,}5$. La symétrie économise un calcul, et surtout elle sert de contrôle : si $h(1)$ et $h(3)$ différaient, l'axe serait faux.

d) $h(x)-1{,}5=-0{,}5x^2+2x-1{,}5$, et $-0{,}5(x-1)(x-3)=-0{,}5(x^2-4x+3)=-0{,}5x^2+2x-1{,}5$ : l'égalité est vraie. On cherche $h(x)\ge 1{,}5$, soit $-0{,}5(x-1)(x-3)\ge 0$. Le produit a pour racines $1$ et $3$ et un coefficient $-0{,}5<0$ : il est positif ENTRE les racines. L'eau passe donc à $1{,}5$ m ou plus pour $x\in[1\,;3]$, sur une bande de $2$ m de large centrée sous le sommet. Les bornes sont celles de la question c) : on y avait déjà trouvé les deux points à $1{,}5$ m.

e) $h(5)=-0{,}5\times 5\times 1=-2{,}5$ : une hauteur de $-2{,}5$ m, sous le sol. Le calcul est juste, mais il ne décrit rien : l'eau s'arrête dans le bassin en $x=4$. La fonction $h$ est définie sur $\mathbb{R}$, le MODÈLE ne l'est que sur $[0\,;4]$, là où le jet existe. Toute réponse tirée du modèle doit être relue avec cette question : la valeur trouvée a-t-elle un sens dans la situation ?

a) Le point le plus bas du câble est son sommet, et il est sur l'axe des ordonnées, en $(0\,;10)$. L'axe de symétrie est donc l'axe des ordonnées, et une parabole de sommet $(0\,;c)$ s'écrit $x\mapsto ax^2+c$ : ici $c(x)=ax^2+10$. Les pylônes sont à $100$ m de part et d'autre du milieu, et le câble y est à $50$ m : $c(100)=10\,000a+10=50$, donc $a=\frac{40}{10\,000}=0{,}004$. Le repère a été choisi pour que la forme la plus simple suffise ; il n'y a rien à factoriser, le câble ne touche jamais le tablier.

b) La suspente à $20$ m relie le tablier au câble : sa longueur est $c(20)=0{,}004\times 400+10=1{,}6+10=11{,}6$ m. À $60$ m : $c(60)=0{,}004\times 3\,600+10=14{,}4+10=24{,}4$ m. Sans calculatrice, $0{,}004\times 400$ se lit « quatre millièmes de quatre cents », soit $1{,}6$. Pour contrôler, on compare au $10$ m du milieu et aux $50$ m des pylônes : les suspentes s'allongent de plus en plus vite quand on s'éloigne du centre, ce qui est la signature d'un carré.