Exercices corrigés : modélisation quadratique (Première, tronc commun)

$3(x-2)(x+5)=0$ équivaut à $x-2=0$ ou $x+5=0$, soit $x=2$ ou $x=-5$. La plus grande racine est $2$. Piège : lire $5$ comme une racine ; le facteur $x+5$ s'annule en $-5$.

$x+4=0$ donne $x=-4$, et $2x-3=0$ donne $x=\frac{3}{2}=1{,}5$. La plus grande racine est $\frac{3}{2}$. Piège : répondre $3$ ; dans le facteur $2x-3$, le coefficient $2$ de $x$ divise.

$2x^{2}-18=0$ équivaut à $x^{2}=9$, donc $x=-3$ ou $x=3$, et l'on peut écrire $h(x)=2(x-3)(x+3)$. La plus grande racine est $3$. Piège : écrire $x^{2}=16$ en retranchant $2$ au lieu de diviser par $2$, ou oublier la racine négative.

$k(x)=-\frac{1}{4}x^{2}+7$ est de la forme $ax^{2}+c$ avec $a=-\frac{1}{4}$ et $c=7$. Comme $k(-x)=k(x)$, l'axe est l'axe des ordonnées et le sommet a pour abscisse $0$ : son ordonnée est $k(0)=7$. Comme $a<0$, c'est un maximum. Piège : le terme constant est écrit en premier, mais c'est bien lui, $7$, et non $-\frac{1}{4}$.

Les racines sont $-1$ et $7$. L'axe passe au milieu : $x=\frac{-1+7}{2}=3$. Piège : prendre le milieu de $1$ et $7$, soit $4$ ; le facteur $x+1$ s'annule en $-1$.

Les racines sont $1$ et $-3$, l'axe est $x=\frac{1+(-3)}{2}=-1$, et l'ordonnée du sommet est $q(-1)=-3\times(-1-1)\times(-1+3)=-3\times(-2)\times 2=12$. Comme $a=-3<0$, c'est un maximum. Piège : les signes du produit ; deux facteurs négatifs sur trois donnent un résultat positif.

$r(x)=2$ équivaut à $x^{2}+6x=0$, soit $x(x+6)=0$ : $x=0$ ou $x=-6$. Les points d'abscisses $0$ et $-6$ sont à la même hauteur $2$, l'axe passe au milieu : $x=\frac{0+(-6)}{2}=-3$. Piège : répondre $3$ ; le facteur $x+6$ s'annule en $-6$.

$s(x)=-7$ équivaut à $-2x^{2}+12x=0$, soit $-2x(x-6)=0$ : $x=0$ ou $x=6$. L'axe est $x=3$ et l'ordonnée du sommet vaut $s(3)=-2\times 9+12\times 3-7=-18+36-7=11$. Piège : répondre $-7$ ; c'est l'ordonnée à l'origine $s(0)$, pas celle du sommet.

En développant seulement le terme de plus haut degré : $(1-x)(x+2)$ contient $(-x)\times x=-x^{2}$, donc $a=-1<0$ et la parabole est tournée vers le bas. On peut aussi écrire $t(x)=-(x-1)(x+2)$. Piège : conclure « vers le haut » parce qu'aucun signe moins n'est écrit devant le produit.

$v(8)=-\frac{1}{2}\times(8-2)\times(8-6)=-\frac{1}{2}\times 6\times 2=-6$. Le nombre $8$ est à l'extérieur des racines $2$ et $6$ : $v(x)$ y a le signe de $a=-\frac{1}{2}$, négatif. Piège : croire qu'un polynôme de degré 2 est toujours positif à l'extérieur de ses racines.

Le premier tri se fait sur le signe du coefficient de $x^2$ : $f$ et $h$ ont un coefficient positif ($2$ et $0{,}5$), leurs courbes sont tournées vers le haut ; $g$ et $k$ ont un coefficient négatif ($-1$ dans les deux cas, car $-(x-1)(x-5)$ développé commence par $-x^2$), leurs courbes sont tournées vers le bas. Parmi les courbes vers le haut, $C_2$ passe par l'origine avec son sommet en $(0\,;0)$ : c'est $f(x)=2x^2$, puisque $f(0)=0$ et que $x\mapsto ax^2$ a TOUJOURS son sommet à l'origine. $C_1$ coupe l'axe des abscisses en $-1$ et en $3$ : ce sont les nombres qui annulent un facteur de $h$. Parmi les courbes vers le bas, $C_4$ a son sommet sur l'axe des ordonnées, en $(0\,;4)$ : c'est $g$, car une fonction $x\mapsto ax^2+c$ est paire et son axe est l'axe des ordonnées. $C_3$ coupe l'axe des abscisses en $1$ et $5$ : c'est $k$. Chaque forme a donc son point de reconnaissance : l'origine pour $ax^2$, le point $(0\,;c)$ pour $ax^2+c$, les deux racines pour la forme factorisée.

Pour $g(x)=-x^2+4$, le sommet est sur l'axe des ordonnées, donc en $x=0$, et $g(0)=4$ : l'ordonnée du sommet est $4$, le nombre $c$ de l'écriture. Pour $k(x)=-(x-1)(x-5)$, un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul : $x-1=0$ ou $x-5=0$, d'où les racines $1$ et $5$. Attention au signe : le facteur $(x-5)$ s'annule en $+5$, pas en $-5$. C'est le premier point perdu sur ce chapitre.

Les deux racines de $h$ sont deux points de la courbe à la MÊME hauteur, $0$. Une parabole étant symétrique par rapport à son axe, l'axe passe au milieu : $x=\frac{-1+3}{2}=1$. Le sommet est sur l'axe, donc son ordonnée est $h(1)=0{,}5\times(1+1)\times(1-3)=0{,}5\times 2\times(-2)=-2$ : sommet $(1\,;-2)$, ce que confirme $C_1$. Pour $k$ : axe $x=\frac{1+5}{2}=3$ et $k(3)=-(3-1)(3-5)=-(2)(-2)=4$, sommet $(3\,;4)$. Aucune formule n'a servi : seulement la symétrie et un calcul d'image.

$p(2)=0{,}5\times 4=2$ alors que $f(2)=2\times 4=8$. Pour un même écart de $2$ unités à l'axe, la courbe de $f$ est déjà montée à $8$, celle de $p$ seulement à $2$ : la courbe de $f$ est bien plus resserrée. Plus $|a|$ est grand, plus la parabole est étroite ; plus il est proche de $0$, plus elle s'aplatit. Le signe de $a$ dit le sens, sa taille dit l'ouverture.

$f(x)=3\iff 2x^2-8x+3=3\iff 2x^2-8x=0$. Le terme constant a disparu, et c'est tout l'intérêt de la méthode : il reste une expression qui se factorise par $x$, sans aucune formule. $2x^2-8x=2x(x-4)$, et un produit est nul si l'un de ses facteurs l'est : $x=0$ ou $x=4$. Les points $(0\,;3)$ et $(4\,;3)$ sont sur la courbe à la même hauteur, donc l'axe passe au milieu : $x=\frac{0+4}{2}=2$. Le sommet est sur l'axe : $f(2)=2\times 4-16+3=-5$, sommet $(2\,;-5)$.

$g(x)=1\iff -x^2+5x=0\iff x(-x+5)=0\iff x=0$ ou $x=5$. Axe : $x=\frac{0+5}{2}=2{,}5$. Sommet : $g(2{,}5)=-6{,}25+12{,}5+1=7{,}25$. Sans calculatrice, $2{,}5^2=6{,}25$ se fait de tête : $2{,}5\times 2{,}5=5+1{,}25$. Une vérification rapide : $g(2)=-4+10+1=7$ et $g(3)=-9+15+1=7$, deux points à la même hauteur de part et d'autre de $2{,}5$, ce qui confirme l'axe.

$h(x)=-1\iff 3x^2+12x=0\iff 3x(x+4)=0\iff x=0$ ou $x=-4$. L'erreur classique est d'écrire $x=4$ pour le facteur $(x+4)$ : il s'annule en $-4$. Axe : $x=\frac{0+(-4)}{2}=-2$. Sommet : $h(-2)=3\times 4-24-1=-13$. Le carré d'un nombre négatif est positif : $(-2)^2=4$, pas $-4$. Sommet $(-2\,;-13)$.

La parabole est symétrique par rapport à son axe : deux points de la courbe qui ont la même ordonnée sont symétriques l'un de l'autre, donc à égale distance de l'axe, et l'axe passe au milieu de leurs abscisses. Pour $f$, le coefficient de $x^2$ vaut $2>0$ : la parabole est tournée vers le haut. $f$ est donc décroissante sur $]-\infty\,;2]$, croissante sur $[2\,;+\infty[$, et son sommet est un MINIMUM, égal à $-5$. Le tableau de variations porte une flèche descendante jusqu'à $-5$ en $x=2$, puis une flèche montante. La méthode marche pour n'importe quelle valeur de départ, mais $c$ est la seule qui fasse disparaître le terme constant et rende la factorisation immédiate.

$p(x)=0\iff x-1=0$ ou $x-7=0$, donc les racines sont $1$ et $7$ ; le facteur $-2$ ne s'annule jamais. Pour le signe, on étudie chaque facteur : $x-1$ est positif à droite de $1$, $x-7$ à droite de $7$, et $-2$ est toujours négatif. Le tableau à trois lignes donne, par la règle des signes : sur $]-\infty\,;1[$, $(-)\times(-)\times(-)$, négatif ; sur $]1\,;7[$, $(-)\times(+)\times(-)$, positif ; sur $]7\,;+\infty[$, $(-)\times(+)\times(+)$, négatif. Donc $p(x)>0$ exactement sur $]1\,;7[$. On oublie souvent la ligne du $-2$ : elle retourne tous les signes, et l'oublier inverse toute la réponse.

Les racines $1$ et $7$ sont deux points de la courbe à la hauteur $0$ : l'axe passe au milieu, $x=\frac{1+7}{2}=4$. Sommet : $p(4)=-2\times(4-1)\times(4-7)=-2\times 3\times(-3)=18$. Le coefficient de $x^2$ est $-2<0$, la parabole est tournée vers le bas : $p$ est croissante sur $]-\infty\,;4]$, décroissante sur $[4\,;+\infty[$, et $18$ est son MAXIMUM. Cohérence avec a) : la courbe monte au-dessus de l'axe des abscisses entre les racines, jusqu'au sommet $(4\,;18)$.

$q(x)=0\iff x=-6$ ou $x=2$ : le facteur $(x+6)$ s'annule en $-6$. Axe : $x=\frac{-6+2}{2}=-2$, et $q(-2)=0{,}5\times 4\times(-4)=-8$. Ici $a=0{,}5>0$ : la parabole est tournée vers le haut, $-8$ est un minimum, et la courbe est SOUS l'axe des abscisses entre les racines. Donc $q(x)\le 0$ sur $[-6\,;2]$, crochets fermés car l'inégalité est large et les racines donnent $q(x)=0$.

$p(10)=-2\times 9\times 3=-54$ : $10$ est à l'extérieur des racines et $p(10)$ est négatif, l'affirmation est fausse. La règle juste : à l'extérieur des racines, $p(x)$ a le signe du coefficient $a$ ; entre les racines, le signe contraire. Pour $q$, $a>0$, l'élève aurait eu raison par hasard. Développement : $(x-1)(x-7)=x^2-8x+7$, donc $p(x)=-2x^2+16x-14$. Contrôle : la forme développée donne $p(0)=-14$, la forme factorisée $-2\times(-1)\times(-7)=-14$. Les deux formes décrivent bien la même fonction ; la factorisée sert au signe, la développée à l'ordonnée à l'origine.

Dans le repère 1, les pieds de l'arche sont les points $(0\,;0)$ et $(40\,;0)$ : ce sont deux points de hauteur nulle, donc les racines $0$ et $40$. La forme factorisée s'impose : $A_1(x)=a(x-0)(x-40)=a\,x(x-40)$. Les racines ne fixent pas $a$ : il faut une troisième information, la hauteur. Le sommet est au milieu des racines, en $x=20$, et il est à $16$ m : $A_1(20)=a\times 20\times(-20)=-400a=16$, donc $a=-\frac{16}{400}=-0{,}04$. Le signe est cohérent : une arche est tournée vers le bas, $a<0$.

Dans le repère 2, l'axe de symétrie de l'arche est l'axe des ordonnées et le sommet est en $(0\,;16)$. Une fonction $x\mapsto a'x^2+c$ est exactement une parabole d'axe l'axe des ordonnées, de sommet $(0\,;c)$ : ici $c=16$. Les pieds sont en $x=-20$ et $x=20$. $A_2(20)=0\iff 400a'+16=0\iff a'=-0{,}04$. On pouvait aussi partir des racines : $A_2(x)=a'(x+20)(x-20)=a'(x^2-400)$, et $A_2(0)=-400a'=16$ redonne la même valeur.

Repère 1 : le point est à $x=5$, et $A_1(5)=-0{,}04\times 5\times(5-40)=-0{,}04\times(-175)=7$. Repère 2 : le pied gauche est en $x=-20$, donc le point est à $x=-15$, et $A_2(-15)=-0{,}04\times 225+16=-9+16=7$. Les deux repères donnent $7$ m, heureusement : la hauteur est une grandeur physique, elle ne dépend pas de l'endroit où l'on a posé l'origine. La seule difficulté est de TRADUIRE la position « $5$ m du pied gauche » dans chaque repère, et c'est là que se perdent les points.

Dans le repère 2, les bords de la route sont en $x=-6$ et $x=6$, et par symétrie la hauteur y est la même : $A_2(6)=-0{,}04\times 36+16=-1{,}44+16=14{,}56$ m. Le repère 2 était le bon choix ici, parce que la route est centrée sur l'axe. Enfin, $a=a'$ : passer du repère 1 au repère 2 revient à décaler la courbe de $20$ m vers la gauche, ce qui ne change ni sa forme ni son ouverture. Le coefficient de $x^2$ mesure l'ouverture, il est le même dans tous les repères obtenus par translation. Développer $A_1(x)=-0{,}04x^2+1{,}6x$ le confirme.