Modélisation quadratique, Première tronc commun : fiche

Le fil du chapitre

Deux points à la même hauteur, l'axe est au milieu : les racines sont deux points à la hauteur $0$ , le point $(0\,;c)$ et la seconde solution de $f(x)=c$ sont deux points à la hauteur $c$ . Puis on choisit la forme d'écriture selon ce que la situation donne.

Notions couvertes

Fonction polynôme du second degré
Parabole
Axe de symétrie d'une parabole
Sommet d'une parabole
Forme factorisée
Racines d'un polynôme
Signe d'un produit
Tableau de variations
Modélisation d'une situation
Domaine de validité d'un modèle

L'essentiel

L'axe sans formule : deux points à la même hauteur

• Une parabole est symétrique par rapport à son axe : deux points de la courbe qui ont la MÊME ordonnée sont symétriques, et l'axe passe au milieu de leurs abscisses.
• Forme factorisée $a(x-x_1)(x-x_2)$ : les racines $x_1$ et $x_2$ sont deux points à la hauteur $0$ , donc l'axe est $x=\frac{x_1+x_2}{2}$ .
• Forme développée $ax^2+bx+c$ : $f(0)=c$ . On résout $f(x)=c$ : le terme constant disparaît, on factorise par $x$ et l'on trouve $0$ et une seconde solution. L'axe passe au milieu.
• Le sommet est SUR l'axe : son ordonnée est l'image de l'abscisse de l'axe, un simple calcul.
• Exemple : $f(x)=-x^2+6x-2$ . $f(x)=-2\iff x(-x+6)=0\iff x=0$ ou $x=6$ ; axe $x=3$ ; sommet $f(3)=7$ .

(0\,;-2)

(6\,;-2)

sont à la même hauteur : l'axe

x=3

passe au milieu, et le sommet

S(3\,;7)

est dessus.

Aucune formule n'est attendue au programme du tronc commun : écrire « deux points à la même hauteur, donc l'axe est au milieu » est la justification que cherche le correcteur.

Ce que dit chaque coefficient

• Le coefficient $a$ de $x^2$ donne le SENS : $a>0$ , tournée vers le haut, sommet minimum ; $a<0$ , tournée vers le bas, sommet maximum.
• $|a|$ donne l'OUVERTURE : plus $|a|$ est grand, plus la parabole est resserrée autour de son axe.
• $c=f(0)$ donne le point sur l'axe des ordonnées. Ce n'est le sommet QUE pour $x\mapsto ax^2+c$ , sans terme en $x$ .
• Quand l'entrée double, $ax^2$ est multiplié par $4$ : c'est la signature d'un modèle quadratique.

Même sommet

(0\,;0)

a=2

resserre la parabole plus que

a=0{,}5

, et

a=-1

, négatif, la tourne vers le bas.

Le signe d'une forme factorisée

• $a(x-x_1)(x-x_2)$ a le signe de $a$ à l'EXTÉRIEUR des racines, et le signe contraire ENTRE elles.
• En cas de doute, tableau de signes : une ligne par facteur, et une ligne pour $a$ , qui retourne tout quand il est négatif.
• Pour résoudre $f(x)\ge k$ , on écrit $f(x)-k$ sous forme factorisée, puis on lit son signe.

2(x-1)(x+3)

, avec

a=2>0

: positif à l'extérieur des racines

-3

1

(en bleu), négatif entre elles (en orange).

Les règles de calcul en tableau

Chaque ligne se lit de gauche à droite : les hypothèses, puis le résultat. Une case rouge n'est pas une réponse, c'est le constat que la forme ne décide rien et l'ordre de transformer l'écriture. Chaque cas est suivi d'un exemple chiffré.

Trois écritures, ce que chacune donne sans calcul

Avant tout calcul, on regarde la forme de l'expression : chacune affiche une information et en cache d'autres. La dernière ligne est une règle fausse qu'on lit dans beaucoup de copies.

Écriture	Exemple	Ce qu'on lit tout de suite
$ax^2$	$3x^2$	sommet à l'origine
Exemple : $3\times 0^2=0$ et $3\times(-1)^2=3\times 1^2=3$ : sommet $(0\,;0)$ , axe $x=0$ .
$ax^2+c$	$-2x^2+5$	sommet $(0\,;c)$
Exemple : Sommet $(0\,;5)$ , maximum car $-2<0$ ; $-2\times 1+5=3$ en $x=\pm 1$ .
$a(x-x_1)(x-x_2)$	$2(x-1)(x+3)$	racines $x_1$ , $x_2$
Exemple : Racines $1$ et $-3$ , axe $x=-1$ , sommet $2\times(-2)\times 2=-8$ .
$ax^2+bx+c$	$x^2-8x+5$	$f(0)=c$
Exemple : $f(x)=5\iff x(x-8)=0$ : $x=0$ ou $8$ , axe $x=4$ , sommet $16-32+5=-11$ .
$ax^2+bx+c$	$x^2-8x+5$	sommet $(0\,;c)$ règle inexistante
Exemple : $f(0)=5$ mais $f(4)=-11<5$ : le point $(0\,;5)$ n'est pas le point le plus bas. Ce qu'il faut faire : Résoudre $f(x)=c$ pour trouver l'axe, puis calculer l'image de l'axe.

La forme développée est celle qui en dit le moins : seule l'ordonnée à l'origine s'y lit. Tout le reste passe par l'équation f(x) = c.

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Lire une racine avec le mauvais signe

la question, puis l'axe, le sommet et le signe qui en dépendent

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Les racines de $(x+3)(x-5)$ sont $3$ et $-5$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $x+3=0\iff x=-3$ et $x-5=0\iff x=5$ : les racines sont $-3$ et $5$ . »

La courbe de

(x+3)(x-5)

coupe l'axe en

-3

et en

5

(en vert). En

3

elle vaut

-12

(en rouge) :

3

-5

ne sont pas des racines.

Pourquoi : Le nombre écrit dans le facteur est l'OPPOSÉ de la racine. Écrire l'équation $x+3=0$ avant de conclure prend deux secondes et supprime l'erreur.

2. Prendre $c$ pour l'ordonnée du sommet

2 points, et tout le tableau de variations

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $g(x)=x^2-4x+1$ a pour sommet $(0\,;1)$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $g(x)=1\iff x(x-4)=0$ , donc l'axe est $x=2$ et le sommet $(2\,;g(2))=(2\,;-3)$ . »

La courbe passe par

(0\,;1)

, c'est

c

, mais descend encore jusqu'au sommet

(2\,;-3)

c

n'est pas la hauteur du sommet.

Pourquoi : $c=g(0)$ est le point de la courbe sur l'axe des ordonnées. Il n'est le sommet que si l'expression n'a pas de terme en $x$ . Ici $g(2)=-3<1$ : le point $(0\,;1)$ n'est même pas le plus bas.

3. Lire le sens de la parabole sur le mauvais coefficient

le tableau de variations entier

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $-3x^2+7$ est tournée vers le haut, car $7$ est positif. »

Ce qu'il faut écrire

« Le coefficient de $x^2$ vaut $-3<0$ : la parabole est tournée vers le bas, son sommet $(0\,;7)$ est un maximum. »

-3x^2+7

(en vert) est tournée vers le bas, sommet

(0\,;7)

maximum ; le

+7

ne la retourne pas, comme le ferait

3x^2+7

(en rouge).

Pourquoi : Seul le coefficient de $x^2$ décide du sens, parce que c'est le terme qui l'emporte loin de l'axe. Le signe de $c$ ne dit que si la courbe coupe l'axe des ordonnées au-dessus ou au-dessous de $0$ .

4. Oublier le coefficient devant les facteurs

toute la question de signe ou d'inéquation

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $-(x-1)(x-4)$ est positif à l'extérieur de $1$ et $4$ . »

Ce qu'il faut écrire

« Coefficient $-1<0$ : $-(x-1)(x-4)$ est négatif à l'extérieur de $[1\,;4]$ et positif entre $1$ et $4$ . »

-(x-1)(x-4)

(en vert) est positive entre

1

4

et vaut

-4

0

; la règle « positif à l'extérieur » décrit

(x-1)(x-4)

(en rouge), sans le signe moins.

Pourquoi : La règle « positif à l'extérieur » ne vaut que pour $a>0$ . Contrôle immédiat : en $x=0$ , $-(0-1)(0-4)=-4<0$ .

5. Le carré d'un nombre négatif

1 point, et un sommet placé du mauvais côté

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Pour $h(x)=x^2+4x-1$ , le sommet est en $x=-2$ et $h(-2)=-4-8-1=-13$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $h(-2)=(-2)^2+4\times(-2)-1=4-8-1=-5$ . »

h(0)=h(-4)=-1

: l'axe est

x=-2

et le sommet

(-2\,;-5)

(en vert). Avec

-2^2=-4

, on le place en

-13

(en rouge), loin sous la courbe.

Pourquoi : Sans calculatrice, on remplace $x$ par $(-2)$ AVEC ses parenthèses. $(-2)^2=4$ ; écrire $-2^2$ donne $-4$ , qui est une autre expression.

6. Chercher le discriminant, ou abandonner faute de l'avoir

la question entière, laissée blanche

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Je ne peux pas résoudre $f(x)=c$ sans le discriminant, qui n'est pas au programme. »

Ce qu'il faut écrire

« $f(x)=c\iff ax^2+bx=0\iff x(ax+b)=0$ : on factorise par $x$ . »

Pourquoi : Le discriminant n'est pas au programme du tronc commun, et la méthode du programme ne le demande jamais : une fois $c$ retiré des deux côtés, il reste TOUJOURS une expression qui se factorise par $x$ .

7. Rejeter une solution parce qu'elle est négative

1 point par solution perdue

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $0{,}01x^2+5=6$ donne $x=10$ ou $x=-10$ ; on garde $10$ car une distance est positive. »

Ce qu'il faut écrire

« Dans un repère centré sous le sommet, $x=-10$ désigne le point symétrique, de l'autre côté : les deux solutions conviennent. »

La droite

y=6

coupe la parabole en DEUX points symétriques,

x=-10

x=10

: les deux solutions sont des points de la courbe.

Pourquoi : On rejette une solution quand la GRANDEUR qu'elle représente n'a pas de sens, pas parce qu'elle est négative. Une abscisse négative est un point à gauche de l'origine ; un temps négatif, lui, est souvent hors du domaine du modèle.

8. Utiliser le modèle hors de son domaine

la question de critique du modèle, souvent notée à part

Ce qu'il ne faut pas écrire

« D'après le modèle $P(t)=-10t(t-8)$ , la population vaut $-90$ à la semaine $9$ . »

Ce qu'il faut écrire

« Le modèle s'annule en $t=8$ : il n'a de sens que sur $[0\,;8]$ , et ne dit rien de la semaine $9$ . »

Le modèle vaut

0

t=0

et en

t=8

: il décrit la population sur

[0\,;8]

(en vert). Prolongé (en rouge), il donne

-90

t=9

Pourquoi : Le programme insiste sur l'interrogation critique des modèles : une réponse négative pour une population, une longueur ou un prix signale qu'on est sorti du domaine de validité.

Quelle méthode choisir

Quelle forme choisir, selon ce que la situation donne

Un énoncé décrit une parabole par des mots ou par une figure, et demande son expression

Deux racines données : forme factorisée (

0

10

, sommet à

5

). Sommet sur l'axe des ordonnées :

ax^2+c

(

-x^2+4

). Sommet à l'origine :

ax^2

(

2x^2

par

(3\,;18)

Si Deux points au niveau zéro sont donnés (départ et arrivée au sol, pieds d'une arche, prix qui ne rapportent rien) → Forme factorisée $a(x-x_1)(x-x_2)$ , puis $a$ par un troisième point, souvent le sommet

Exemple : Racines $0$ et $10$ , sommet à la hauteur $5$ : $a\times 5\times(-5)=5$ , $a=-0{,}2$
Si Le sommet est sur l'axe des ordonnées (repère centré sous le point le plus haut ou le plus bas) → Forme $ax^2+c$ avec $c$ la hauteur du sommet, puis $a$ par un autre point

Exemple : Sommet $(0\,;4)$ , passage par $(2\,;0)$ : $4a+4=0$ , $a=-1$
Si Le sommet est à l'origine du repère → Forme $ax^2$ , un seul point suffit pour trouver $a$

Exemple : Passage par $(3\,;18)$ : $9a=18$ , $a=2$
Si L'expression est donnée développée et l'on demande l'axe ou le sommet → Résoudre $f(x)=c$ , factoriser par $x$ , prendre le milieu, puis calculer l'image

Exemple : $f(x)=2x^2+8x+1$ : $2x(x+4)=0$ , axe $x=-2$ , sommet $f(-2)=-7$
Si On demande le signe, ou une inéquation $f(x)\ge k$ → Écrire $f(x)-k$ sous forme factorisée, puis appliquer la règle du signe de $a$

Exemple : $-(x-2)(x-6)\ge 0\iff x\in[2\,;6]$

l'énoncé donne presque toujours la factorisation à vérifier : on la développe pour la contrôler

Le choix du repère décide de la forme : placer l'origine sous le sommet donne ax² + c, la placer sur un point au niveau zéro donne la forme factorisée. Le coefficient a, lui, ne dépend pas de ce choix. Le discriminant n'est jamais la bonne branche : il n'est pas au programme.

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Axe et sommet d'une fonction donnée sous forme développée

Quand l'utiliser : « Déterminez l'axe de symétrie et le sommet de la parabole » avec f(x) = ax² + bx + c

1 Calculer $f(0)=c$ et poser l'équation $f(x)=c$ .
2 Retirer $c$ des deux côtés, factoriser par $x$ , résoudre l'équation produit nul.
3 Dire pourquoi l'axe est au milieu : deux points à la même hauteur sont symétriques.
4 Calculer l'ordonnée du sommet comme l'image de l'abscisse de l'axe.
5 Conclure sur le sens avec le signe de $a$ , et dresser le tableau de variations.

Phrase de conclusion

« $f(0)=3$ et $f(x)=3\iff 2x^2-12x=0\iff 2x(x-6)=0\iff x=0$ ou $x=6$ . Les points $(0\,;3)$ et $(6\,;3)$ sont à la même hauteur, donc l'axe de symétrie est la droite $x=3$ . Le sommet est $(3\,;f(3))=(3\,;-15)$ , et comme $a=2>0$ , c'est un minimum. »

Le piège : Oublier la phrase de symétrie : le milieu tombe du ciel, et le point de justification est perdu.

Barème : 1 point pour l'équation f(x) = c résolue, 1 point pour l'axe justifié, 1 point pour le sommet, 1 point pour le tableau de variations.

Étudier le signe d'une forme factorisée

Quand l'utiliser : « Étudiez le signe de f(x) » ou « résolvez f(x) ≥ k » avec une factorisation donnée

1 Donner les racines en résolvant chaque facteur égal à zéro.
2 Citer le signe de $a$ , ou dresser le tableau de signes avec une ligne par facteur et une ligne pour $a$ .
3 Écrire l'ensemble des solutions en intervalles, crochets fermés si l'inégalité est large.
4 Contrôler avec une valeur prise dans chaque zone.

Phrase de conclusion

« $f(x)=-3(x+1)(x-4)$ a pour racines $-1$ et $4$ ; son coefficient $-3$ est négatif, donc $f(x)\ge 0$ entre les racines : $f(x)\ge 0\iff x\in[-1\,;4]$ . »

Le piège : Écrire des crochets ouverts pour une inégalité large : les racines donnent f(x) = 0, qui convient.

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

La symétrie autour de l'axe

On calcule l'image d'un point à une unité à gauche et d'un point à une unité à droite de l'axe trouvé : elles doivent être égales.

Axe $x=3$ pour $-x^2+6x-2$ : $f(2)=6$ et $f(4)=6$ , l'axe est juste. Deux valeurs différentes disent qu'il est faux.
Le sens et la nature du sommet

Un coefficient a positif va avec un minimum, un coefficient négatif avec un maximum. Un tableau qui dit l'inverse contient une erreur.

$a=-1$ et « minimum $7$ » : incompatible, la parabole est tournée vers le bas.
Les deux formes donnent la même ordonnée à l'origine

Quand on dispose d'une forme factorisée et d'une forme développée, on calcule f(0) avec chacune.

$-2(x-1)(x-3)$ en $0$ : $-2\times(-1)\times(-3)=-6$ , et $-2x^2+8x-6$ donne $-6$ : cohérent.
La réponse relue dans la situation

Une hauteur, une population ou un prix négatif, un instant avant le début de l'étude : la réponse est hors du domaine du modèle.

Une population de $-90$ individus dit qu'on a dépassé la racine où le modèle s'annule.

L'exercice type décortiqué

Le saut d'un dauphin

Un dauphin sort de l'eau et y retombe $6$ m plus loin. Au plus haut de son saut, il est à $3$ m au-dessus de l'eau. On repère un point de sa trajectoire par la distance horizontale $x$ au point de sortie et par la hauteur $h(x)$ au-dessus de l'eau, en mètres, et l'on admet que la trajectoire est une parabole.

Un soigneur tient un cerceau à $\frac{5}{3}$ m au-dessus de l'eau. Entre quelles positions le dauphin est-il au moins à cette hauteur ?

Les deux points au niveau de l'eau,

x=0

x=6

, sont les racines ; le point le plus haut est au milieu, à

3

Étape 1

Racines $0$ et $6$ , donc $h(x)=a\,x(x-6)$ .

Pourquoi

La situation donne deux passages au niveau zéro : c'est la forme factorisée qui les affiche. Le coefficient $a$ reste à trouver.

Étape 2

Sommet au milieu des racines, en $x=3$ : $h(3)=a\times 3\times(-3)=-9a=3$ , donc $a=-\frac{1}{3}$ et $h(x)=-\frac{1}{3}x(x-6)$ .

Pourquoi

La hauteur maximale est la troisième information, celle qui fixe l'ouverture. Le signe négatif est attendu : la trajectoire monte puis redescend.

Étape 3

$h(x)\ge\frac{5}{3}\iff -\frac{1}{3}x(x-6)\ge\frac{5}{3}\iff x(x-6)\le -5\iff x^2-6x+5\le 0$ .

Pourquoi

Multiplier par $-3$ , un nombre NÉGATIF, retourne le sens de l'inégalité. C'est l'étape où la moitié des copies perd le point.

Étape 4

$x^2-6x+5=(x-1)(x-5)$ : coefficient $1>0$ , donc le produit est négatif ou nul entre les racines, $x\in[1\,;5]$ .

Pourquoi

On vérifie la factorisation en développant : $(x-1)(x-5)=x^2-6x+5$ . Puis la règle du signe de $a$ donne la réponse sans tableau.

Étape 5

Contrôle : $h(1)=-\frac{1}{3}\times 1\times(-5)=\frac{5}{3}$ et $h(5)=\frac{5}{3}$ , symétriques par rapport à $x=3$ ; et $[1\,;5]\subset[0\,;6]$ .

Pourquoi

Les bornes trouvées sont bien à la hauteur du cerceau, de part et d'autre de l'axe, et à l'intérieur du domaine du modèle, entre la sortie et le retour dans l'eau.

Conclusion rédigée

Le dauphin est au moins à $\frac{5}{3}$ m au-dessus de l'eau entre $1$ m et $5$ m après son point de sortie : le cerceau doit être placé sur cette zone de $4$ m, centrée sous le sommet du saut.

L'erreur classique sur cet exercice : Oublier de retourner l'inégalité en multipliant par $-3$ , et trouver $x\in[0\,;1]\cup[5\,;6]$ : les zones où le dauphin est au contraire SOUS le cerceau.

À savoir par cœur

• Signe de $a$ : sens de la parabole. $|a|$ : ouverture. $c=f(0)$ : point sur l'axe des ordonnées.
• Deux points à la MÊME hauteur : l'axe est au milieu de leurs abscisses.
• Forme développée : résoudre $f(x)=c$ , factoriser par $x$ , prendre le milieu.
• Forme factorisée $a(x-x_1)(x-x_2)$ : axe $x=\frac{x_1+x_2}{2}$ .
• Le sommet est sur l'axe : son ordonnée est l'image de l'abscisse de l'axe.
• Signe : celui de $a$ à l'EXTÉRIEUR des racines, le contraire ENTRE elles.
• Modéliser : la forme se choisit selon les données, et le modèle ne vaut que sur son domaine.
• Le discriminant n'est pas au programme du tronc commun.

Questions fréquentes

Comment trouver l'axe de symétrie d'une parabole sans formule ?

On cherche deux points de la courbe à la même hauteur : l'axe passe au milieu de leurs abscisses, par symétrie. Avec une forme factorisée, ce sont les deux racines. Avec une forme développée, on résout l'équation f de x égale c, où c est le terme constant : on trouve zéro et une autre solution, et l'axe est au milieu. Le sommet se calcule ensuite comme une image.

Le discriminant est-il au programme de maths du tronc commun de Première ?

Non. Le programme de mathématiques intégré à l'enseignement scientifique précise que le calcul des racines à l'aide du discriminant n'y figure pas. On travaille avec des formes factorisées, données ou obtenues en factorisant par x, et avec la symétrie de la parabole. Le discriminant est au programme de la spécialité maths.

Comment savoir si une parabole est tournée vers le haut ou vers le bas ?

On regarde uniquement le coefficient de x au carré. S'il est positif, la parabole est tournée vers le haut et son sommet est un minimum ; s'il est négatif, elle est tournée vers le bas et son sommet est un maximum. Le terme constant ne joue aucun rôle dans le sens : il donne seulement le point où la courbe coupe l'axe des ordonnées.

Comment trouver le signe d'un polynôme du second degré factorisé ?

On lit d'abord les racines, les valeurs qui annulent chaque facteur. Le polynôme a le signe de son coefficient dominant à l'extérieur des racines, et le signe contraire entre elles. Si le coefficient est négatif, il est donc positif entre les racines. Un tableau de signes avec une ligne par facteur, plus une ligne pour le coefficient, permet de vérifier.

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Exercices corrigés : Modélisation quadratique

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

11 exercices corrigés
110 points
120 minutes

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© Ahmed Squalli Houssaini. Fiche publiée sur www.letuteurscientifique.ca/fiches/1mtc-modelisation-quadratique. Libre pour l'usage personnel et en classe ; sa republication ailleurs demande une autorisation écrite (mentions légales).

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L'axe sans formule : deux points à la même hauteur

Ce que dit chaque coefficient

Le signe d'une forme factorisée

Les règles de calcul en tableau

Trois écritures, ce que chacune donne sans calcul

Les pièges qui coûtent des points

1. Lire une racine avec le mauvais signe

2. Prendre $c$ pour l'ordonnée du sommet

3. Lire le sens de la parabole sur le mauvais coefficient

4. Oublier le coefficient devant les facteurs

5. Le carré d'un nombre négatif

6. Chercher le discriminant, ou abandonner faute de l'avoir

7. Rejeter une solution parce qu'elle est négative

8. Utiliser le modèle hors de son domaine

Quelle méthode choisir

Quelle forme choisir, selon ce que la situation donne

La rédaction attendue

Axe et sommet d'une fonction donnée sous forme développée

Étudier le signe d'une forme factorisée

Vérifier avant de rendre

L'exercice type décortiqué

Le saut d'un dauphin

À savoir par cœur

Questions fréquentes

Comment trouver l'axe de symétrie d'une parabole sans formule ?

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1. Lire une racine avec le mauvais signe

2. Prendre ccc pour l'ordonnée du sommet

3. Lire le sens de la parabole sur le mauvais coefficient

4. Oublier le coefficient devant les facteurs

5. Le carré d'un nombre négatif

6. Chercher le discriminant, ou abandonner faute de l'avoir

7. Rejeter une solution parce qu'elle est négative

8. Utiliser le modèle hors de son domaine

Quelle méthode choisir

Quelle forme choisir, selon ce que la situation donne

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2. Prendre $c$ pour l'ordonnée du sommet