Exercice 0.1 : Calculer des probabilités avec les lois uniforme et exponentielle : onze calculs directs

11 réponses vérifiables

Pour chaque ligne, calculez la probabilité, l'espérance ou le paramètre demandé, en valeur exacte quand elle est simple, sinon au millième. Rappels : la loi uniforme sur $[a\,;b]$ a pour densité la constante $\frac{1}{b-a}$ sur cet intervalle ; la loi exponentielle de paramètre $\lambda>0$ vérifie $P(X\le t)=1-\mathrm{e}^{-\lambda t}$ pour tout $t\ge 0$ .

Une seule question avant tout calcul : quelle loi, et quel intervalle. Pour la loi uniforme, on coupe d'abord ce qui dépasse de $[a\,;b]$ , puis on divise la longueur qui reste par $b-a$ . Pour la loi exponentielle, on écrit l'événement avec $P(X\le t)=1-\mathrm{e}^{-\lambda t}$ ou $P(X>t)=\mathrm{e}^{-\lambda t}$ , et un intervalle $[s\,;t]$ se calcule par différence. L'espérance vaut $\frac{a+b}{2}$ pour la loi uniforme, $\frac{1}{\lambda}$ pour la loi exponentielle.

a) $X$ suit la loi uniforme sur $[2\,;10]$ : calculez $P(X\le 5)$ .
b) $X$ suit la loi uniforme sur $[-1\,;3]$ : calculez $P(0\le X\le 2{,}5)$ .
c) $X$ suit la loi uniforme sur $[20\,;50]$ : calculez $P(X>41)$ .
d) $X$ suit la loi uniforme sur $[0\,;6]$ : calculez $P(4\le X\le 9)$ .
e) $X$ suit la loi uniforme sur $[4\,;13]$ : calculez $E(X)$ .
f) $X$ suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda=0{,}5$ : calculez $P(X\le 3)$ .
g) $X$ suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda=0{,}04$ : calculez $P(X>30)$ .
h) $X$ suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda=0{,}3$ : calculez $P(2\le X\le 5)$ .
i) $X$ suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda=0{,}025$ : calculez $E(X)$ .
j) $X$ suit une loi exponentielle d'espérance $8$ : calculez son paramètre $\lambda$ .
k) $X$ suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda=0{,}15$ : calculez $P_{X>4}(X>10)$ .

Tape tes réponses, la page te dit juste ou faux 0/11

a)

P(X\le 5)

b)

P(0\le X\le 2{,}5)

c)

P(X>41)

d)

P(4\le X\le 9)

e)

E(X)

f)

P(X\le 3)

g)

P(X>30)

h)

P(2\le X\le 5)

i)

E(X)

j)

\lambda

k)

P_{X>4}(X>10)

Voir la correction

Réponses

a) $\frac{5-2}{10-2}=\frac{3}{8}=0{,}375$
b) $\frac{2{,}5}{4}=0{,}625$
c) $\frac{9}{30}=0{,}3$
d) $\frac{6-4}{6}=\frac{1}{3}\approx 0{,}333$
e) $\frac{4+13}{2}=8{,}5$
f) $1-\mathrm{e}^{-1{,}5}\approx 0{,}777$
g) $\mathrm{e}^{-1{,}2}\approx 0{,}301$
h) $\mathrm{e}^{-0{,}6}-\mathrm{e}^{-1{,}5}\approx 0{,}326$
i) $\frac{1}{0{,}025}=40$
j) $\lambda=\frac{1}{8}=0{,}125$
k) $\mathrm{e}^{-0{,}9}\approx 0{,}407$

Le geste qui décide de tout : écrire la loi et l'intervalle AVANT de calculer. Une probabilité de loi uniforme est un rapport de longueurs, une probabilité de loi exponentielle s'écrit toujours avec $\mathrm{e}^{-\lambda t}$ ; tout le reste découle de cette première ligne.

a)

Densité $\frac{1}{8}$ sur $[2\,;10]$ : $P(X\le 5)=P(2\le X\le 5)=\frac{5-2}{10-2}=\frac{3}{8}=0{,}375$ . Piège : $\frac{5}{10}$ , qui oublie que la loi commence à $2$ et non à $0$ .

b)

$b-a=3-(-1)=4$ , et $[0\,;2{,}5]$ est inclus dans $[-1\,;3]$ : $P(0\le X\le 2{,}5)=\frac{2{,}5}{4}=\frac{5}{8}=0{,}625$ . Piège : prendre $b-a=3-1=2$ , en perdant le signe de $-1$ .

c)

$P(X>41)=P(41<X\le 50)=\frac{50-41}{50-20}=\frac{9}{30}=0{,}3$ .

d)

$X$ ne dépasse jamais $6$ : $P(4\le X\le 9)=P(4\le X\le 6)=\frac{6-4}{6}=\frac{1}{3}\approx 0{,}333$ . Piège : $\frac{9-4}{6}=\frac{5}{6}$ , qui compte une longueur où la densité est nulle.

e)

$E(X)=\frac{a+b}{2}=\frac{4+13}{2}=\frac{17}{2}=8{,}5$ , le milieu de l'intervalle.

f)

$P(X\le 3)=1-\mathrm{e}^{-0{,}5\times 3}=1-\mathrm{e}^{-1{,}5}\approx 1-0{,}2231=0{,}777$ .

g)

$P(X>30)=\mathrm{e}^{-0{,}04\times 30}=\mathrm{e}^{-1{,}2}\approx 0{,}301$ . Piège : $1-\mathrm{e}^{-1{,}2}\approx 0{,}699$ , qui est $P(X\le 30)$ .

h)

$P(2\le X\le 5)=P(X\le 5)-P(X\le 2)=\left(1-\mathrm{e}^{-1{,}5}\right)-\left(1-\mathrm{e}^{-0{,}6}\right)=\mathrm{e}^{-0{,}6}-\mathrm{e}^{-1{,}5}\approx 0{,}5488-0{,}2231=0{,}326$ . Les deux $1$ s'annulent : la différence s'écrit directement avec les deux exponentielles, la plus petite borne devant.

i)

$E(X)=\frac{1}{\lambda}=\frac{1}{0{,}025}=40$ .

j)

$E(X)=\frac{1}{\lambda}=8$ , donc $\lambda=\frac{1}{8}=0{,}125$ . Piège : répondre $\lambda=8$ , qui donnerait une espérance de $\frac{1}{8}$ .

k)

Par définition, $P_{X>4}(X>10)=\frac{P(X>10)}{P(X>4)}=\frac{\mathrm{e}^{-1{,}5}}{\mathrm{e}^{-0{,}6}}=\mathrm{e}^{-0{,}9}\approx 0{,}407$ . C'est l'absence de mémoire : la probabilité vaut $P(X>6)$ , l'attente déjà écoulée ne compte pas. Piège : $P(X>10)=\mathrm{e}^{-1{,}5}\approx 0{,}223$ , qui oublie la condition.

Contrôle : toute probabilité trouvée est entre $0$ et $1$ ; une loi uniforme donne un rapport de deux longueurs lisible sur un dessin de l'intervalle ; et pour la loi exponentielle, $P(X\le t)+P(X>t)=1$ à chaque ligne, ce qui permet de vérifier f) et g) en calculant l'autre membre.

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Exercice 1 : Est-ce une densité ? Deux conditions, pas une

6 réponses vérifiables

Une fonction $f$ définie sur un intervalle $I$ est une DENSITÉ DE PROBABILITÉ sur $I$ si elle est continue (éventuellement par morceaux), POSITIVE sur $I$ , et si l'aire totale sous sa courbe vaut $1$ , c'est-à-dire $\int_{I}f(x)\,dx=1$ . Une variable aléatoire $X$ de densité $f$ vérifie alors $P(c\le X\le d)=\int_{c}^{d}f(x)\,dx$ pour tout intervalle $[c\,;d]$ inclus dans $I$ .

On étudie quatre fonctions. La figure représente les deux premières sur $[0\,;2]$ : $f_{1}(x)=1-\dfrac{x}{2}$ en trait plein et $f_{2}(x)=1{,}5-x$ en pointillés.

a) Montrez que $f_{1}$ est une densité de probabilité sur $[0\,;2]$ .
b) Calculez $\int_{0}^{2}f_{2}(x)\,dx$ . La fonction $f_{2}$ est-elle une densité sur $[0\,;2]$ ? Justifiez.
c) Déterminez le réel $k>0$ pour lequel $f_{3}(x)=kx^{2}$ est une densité sur $[0\,;3]$ .
d) Déterminez le réel $k>0$ pour lequel $f_{4}(x)=k\,\mathrm{e}^{-x}$ est une densité sur $[0\,;\ln 4]$ .

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Réponses

a) $f_{1}\ge 0$ sur $[0\,;2]$ et $\int_{0}^{2}f_{1}(x)\,dx=1$ : c'est une densité
b) $\int_{0}^{2}f_{2}(x)\,dx=1$ , mais $f_{2}(2)=-0{,}5<0$ : ce n'est PAS une densité
c) $9k=1$ , donc $k=\dfrac{1}{9}$
d) $\dfrac{3}{4}k=1$ , donc $k=\dfrac{4}{3}$

a)

On vérifie les DEUX conditions, dans l'ordre. Positivité : pour $0\le x\le 2$ , on a $\dfrac{x}{2}\le 1$ , donc $f_{1}(x)=1-\dfrac{x}{2}\ge 0$ ; la fonction est de plus continue, affine. Aire totale : une primitive de $f_{1}$ est $x\mapsto x-\dfrac{x^{2}}{4}$ , donc $\int_{0}^{2}f_{1}(x)\,dx=\left(2-\dfrac{4}{4}\right)-0=1$ . Contrôle géométrique : la région est un triangle de base $2$ et de hauteur $f_{1}(0)=1$ , d'aire $\dfrac{2\times 1}{2}=1$ . Les deux conditions sont remplies, $f_{1}$ est une densité sur $[0\,;2]$ .

b)

Une primitive de $f_{2}$ est $x\mapsto 1{,}5x-\dfrac{x^{2}}{2}$ , donc $\int_{0}^{2}f_{2}(x)\,dx=(3-2)-0=1$ . L'aire vaut $1$ , et pourtant $f_{2}$ n'est PAS une densité : $f_{2}(2)=-0{,}5<0$ , la fonction est négative sur $]1{,}5\,;2]$ , ce que montre la courbe pointillée passée sous l'axe. L'intégrale compte cette partie NÉGATIVEMENT : c'est l'aire du triangle au-dessus de l'axe, $\dfrac{1{,}5\times 1{,}5}{2}=1{,}125$ , moins celle du petit triangle sous l'axe, $\dfrac{0{,}5\times 0{,}5}{2}=0{,}125$ , qui fait bien $1$ . Si l'on acceptait $f_{2}$ , on obtiendrait $P(1{,}5\le X\le 2)=-0{,}125$ , une probabilité négative. C'est tout le piège de l'exercice : vérifier seulement que l'intégrale vaut $1$ coûte la question entière. La positivité se vérifie AVANT l'intégrale.

c)

Pour $k>0$ , $kx^{2}\ge 0$ sur $[0\,;3]$ : la positivité est acquise. Il reste l'aire : $\int_{0}^{3}kx^{2}\,dx=k\left[\dfrac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{3}=k\times\dfrac{27}{3}=9k$ . On impose $9k=1$ , d'où $k=\dfrac{1}{9}\approx 0{,}111$ . La constante n'est pas là pour décorer : elle NORMALISE, elle règle la hauteur de la courbe pour que l'aire totale fasse exactement $1$ . Sur un intervalle plus long, la même forme demanderait une constante plus petite.

d)

$k\,\mathrm{e}^{-x}>0$ pour $k>0$ . Une primitive de $\mathrm{e}^{-x}$ est $-\mathrm{e}^{-x}$ : le signe moins vient de la dérivée de $-x$ , et l'oublier est l'erreur la plus fréquente ici. $\int_{0}^{\ln 4}k\,\mathrm{e}^{-x}\,dx=k\left[-\mathrm{e}^{-x}\right]_{0}^{\ln 4}=k\left(-\mathrm{e}^{-\ln 4}+\mathrm{e}^{0}\right)=k\left(1-\dfrac{1}{4}\right)=\dfrac{3}{4}k$ , car $\mathrm{e}^{-\ln 4}=\dfrac{1}{\mathrm{e}^{\ln 4}}=\dfrac{1}{4}$ . On impose $\dfrac{3}{4}k=1$ , d'où $k=\dfrac{4}{3}\approx 1{,}33$ . Remarquez que $f_{4}(0)=\dfrac{4}{3}>1$ : une densité peut dépasser $1$ , puisque ce n'est pas une probabilité. Seule l'AIRE est bornée par $1$ .

Exercice 2 : Le créneau de livraison : une probabilité est une aire

6 réponses vérifiables

Un livreur annonce son passage entre 14 h et 16 h. On note $X$ l'instant de son passage, mesuré en heures après 14 h, et l'on modélise $X$ par la densité $f(x)=0{,}75\,x(2-x)$ sur $[0\,;2]$ , représentée ci-dessous. La courbe est symétrique par rapport à la droite $x=1$ .

a) Vérifiez que $f$ est une densité de probabilité sur $[0\,;2]$ .
b) Montrez que la fonction de répartition de $X$ est $F(x)=P(X\le x)=0{,}75x^{2}-0{,}25x^{3}$ pour $x\in[0\,;2]$ , puis calculez $P(X\le 0{,}5)$ .
c) Calculez la probabilité que le livreur passe entre 14 h 30 et 15 h 30, puis celle qu'il passe après 15 h 30.
d) On a $f(1)=0{,}75$ . Un élève en déduit : « le livreur a $75\ \%$ de chances de passer à 15 h pile ». Que vaut $P(X=1)$ ? Comparez $P(X<1)$ et $P(X\le 1)$ .

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Réponses

a) $f\ge 0$ sur $[0\,;2]$ et $\int_{0}^{2}f(x)\,dx=1$
b) $F(x)=\int_{0}^{x}f(t)\,dt=0{,}75x^{2}-0{,}25x^{3}$ ; $P(X\le 0{,}5)=0{,}15625$
c) $P(0{,}5\le X\le 1{,}5)=0{,}6875$ et $P(X>1{,}5)=0{,}15625$
d) $P(X=1)=0$ ; $P(X<1)=P(X\le 1)=F(1)=0{,}5$

a)

Positivité : sur $[0\,;2]$ , $x\ge 0$ et $2-x\ge 0$ , donc le produit $0{,}75\,x(2-x)$ est positif. Aire totale : on développe d'abord, $f(x)=1{,}5x-0{,}75x^{2}$ , dont une primitive est $0{,}75x^{2}-0{,}25x^{3}$ . Donc $\int_{0}^{2}f(x)\,dx=0{,}75\times 4-0{,}25\times 8=3-2=1$ . Développer avant d'intégrer n'est pas un détail : on ne sait pas intégrer un produit facteur par facteur, et $\int x\times\int(2-x)$ n'a aucun sens.

b)

Par définition, $F(x)=P(X\le x)=P(0\le X\le x)=\int_{0}^{x}f(t)\,dt$ : c'est l'AIRE ACCUMULÉE sous la courbe depuis la borne gauche. Avec la primitive du a), qui s'annule en $0$ , $F(x)=0{,}75x^{2}-0{,}25x^{3}$ . Contrôles immédiats : $F(0)=0$ , $F(2)=3-2=1$ , et $F$ est croissante puisque sa dérivée est $f\ge 0$ . Alors $P(X\le 0{,}5)=F(0{,}5)=0{,}75\times 0{,}25-0{,}25\times 0{,}125=0{,}1875-0{,}03125=0{,}15625$ : environ une chance sur six que le livreur passe avant 14 h 30.

c)

14 h 30 et 15 h 30 correspondent à $x=0{,}5$ et $x=1{,}5$ . L'aire entre ces deux bornes, ombrée sur la figure, se lit comme une DIFFÉRENCE de répartition : $P(0{,}5\le X\le 1{,}5)=F(1{,}5)-F(0{,}5)$ . Or $F(1{,}5)=0{,}75\times 2{,}25-0{,}25\times 3{,}375=1{,}6875-0{,}84375=0{,}84375$ , donc $P(0{,}5\le X\le 1{,}5)=0{,}84375-0{,}15625=0{,}6875$ . Après 15 h 30 : $P(X>1{,}5)=1-F(1{,}5)=0{,}15625$ . On retrouve $P(X<0{,}5)$ , ce qu'annonçait la symétrie de la courbe autour de $x=1$ . Vérification : $0{,}15625+0{,}6875+0{,}15625=1$ .

d)

$P(X=1)=\int_{1}^{1}f(x)\,dx=0$ : une aire de largeur nulle est nulle. Pour une variable à densité, TOUTE valeur isolée a une probabilité nulle. Le nombre $f(1)=0{,}75$ n'est pas une probabilité mais une densité, une probabilité PAR HEURE : sur une petite durée $h$ autour de 15 h, $P(1\le X\le 1+h)\approx 0{,}75\,h$ . Avec $h=0{,}1$ , soit six minutes, $F(1{,}1)-F(1)=0{,}57475-0{,}5=0{,}07475$ , très proche de $0{,}75\times 0{,}1=0{,}075$ . Conséquence pratique : $P(X<1)=P(X\le 1)-P(X=1)=F(1)=0{,}75-0{,}25=0{,}5$ . Inégalité stricte ou large, c'est la même probabilité, ce qui est FAUX pour une loi discrète comme la binomiale. Écrire que $f(1)$ est une probabilité revient à confondre une hauteur et une aire, l'erreur que toute la série combat.

Exercice 3 : La loi uniforme, de random() à l'arrêt de bus

7 réponses vérifiables

La fonction random() de Python renvoie un nombre $U$ qui suit la LOI UNIFORME sur $[0\,;1]$ : sa densité est constante, égale à $1$ sur cet intervalle. Plus généralement, $X$ suit la loi uniforme sur $[a\,;b]$ si sa densité est la constante $\dfrac{1}{b-a}$ sur $[a\,;b]$ .

Un bus passe à un arrêt exactement toutes les $15$ minutes. Un voyageur arrive sans consulter l'horaire, à un instant quelconque. Son temps d'attente $X$ , en minutes, suit la loi uniforme sur $[0\,;15]$ .

La figure ci-dessous représente la situation.

a) Calculez $P(U\le 0{,}3)$ et $P(0{,}25\le U\le 0{,}6)$ , puis donnez la fonction de répartition de $U$ sur $[0\,;1]$ .
b) Donnez la densité de $X$ , puis calculez $P(X\le 4)$ et $P(5\le X\le 12)$ .
c) Calculez $E(X)=\int_{0}^{15}x\,f(x)\,dx$ et interprétez.
d) Calculez la variance $V(X)=\int_{0}^{15}(x-E(X))^{2}f(x)\,dx$ et l'écart type $\sigma(X)$ .

Voir la correction

Réponses

a) $P(U\le 0{,}3)=0{,}3$ ; $P(0{,}25\le U\le 0{,}6)=0{,}35$ ; $F_{U}(x)=x$ sur $[0\,;1]$
b) $f(x)=\dfrac{1}{15}$ ; $P(X\le 4)=\dfrac{4}{15}\approx 0{,}267$ ; $P(5\le X\le 12)=\dfrac{7}{15}\approx 0{,}467$
c) $E(X)=7{,}5$ minutes : l'attente moyenne est la moitié de l'intervalle entre deux bus
d) $V(X)=18{,}75$ et $\sigma(X)\approx 4{,}33$ minutes

a)

La densité de $U$ vaut $1$ , donc l'aire au-dessus d'un intervalle est un rectangle de hauteur $1$ : sa valeur est la LONGUEUR de l'intervalle. $P(U\le 0{,}3)=\int_{0}^{0{,}3}1\,dx=0{,}3$ et $P(0{,}25\le U\le 0{,}6)=0{,}6-0{,}25=0{,}35$ . La fonction de répartition est $F_{U}(x)=\int_{0}^{x}1\,dt=x$ pour $x\in[0\,;1]$ (elle vaut $0$ avant, $1$ après). C'est cette propriété, $P(U\le x)=x$ , qui servira à simuler toutes les autres lois à l'exercice 7.

b)

La densité de $X$ est $f(x)=\dfrac{1}{15}$ sur $[0\,;15]$ : c'est la hauteur qui rend l'aire du rectangle égale à $1$ , puisque $15\times\dfrac{1}{15}=1$ . Chaque probabilité est encore un rectangle, largeur fois hauteur : $P(X\le 4)=\dfrac{4}{15}\approx 0{,}267$ et $P(5\le X\le 12)=\dfrac{12-5}{15}=\dfrac{7}{15}\approx 0{,}467$ , l'aire ombrée de la figure de correction. Retenez la règle de la loi uniforme : longueur favorable sur longueur totale. On remarque aussi que $X$ a la même loi que $15U$ : multiplier random() par $15$ simule l'attente.

c)

$E(X)=\int_{0}^{15}\dfrac{x}{15}\,dx=\dfrac{1}{15}\left[\dfrac{x^{2}}{2}\right]_{0}^{15}=\dfrac{225}{30}=7{,}5$ . En moyenne, sur un grand nombre de voyageurs arrivant au hasard, l'attente est de $7{,}5$ minutes, la moitié des $15$ minutes : c'est le milieu de l'intervalle, le point d'équilibre du rectangle. En général, pour la loi uniforme sur $[a\,;b]$ , $E(X)=\dfrac{a+b}{2}$ . Gardez ce $7{,}5$ en tête : l'exercice 9 montre que des bus IRRÉGULIERS, avec le même nombre de passages, font attendre plus longtemps.

d)

$V(X)=\dfrac{1}{15}\int_{0}^{15}(x-7{,}5)^{2}\,dx=\dfrac{1}{15}\left[\dfrac{(x-7{,}5)^{3}}{3}\right]_{0}^{15}=\dfrac{1}{45}\left(7{,}5^{3}+7{,}5^{3}\right)=\dfrac{843{,}75}{45}=18{,}75$ . Contrôle par la formule de König-Huygens : $E(X^{2})=\dfrac{1}{15}\left[\dfrac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{15}=75$ , et $75-7{,}5^{2}=75-56{,}25=18{,}75$ . L'écart type vaut $\sigma(X)=\sqrt{18{,}75}\approx 4{,}33$ minutes, et l'on retrouve la formule générale $V(X)=\dfrac{(b-a)^{2}}{12}=\dfrac{225}{12}$ . Le piège classique est d'oublier le facteur $\dfrac{1}{15}$ de la densité dans l'intégrale : on obtient alors $281{,}25$ , quinze fois trop, un écart type de près de $17$ minutes pour une attente qui n'en dépasse jamais $15$ .

Exercice 4 : La loi exponentielle : des kilomètres avant la première crevaison

5 réponses vérifiables

Un cycliste note la distance $X$ , en kilomètres, parcourue avec un pneu neuf avant la première crevaison. On modélise $X$ par la LOI EXPONENTIELLE de paramètre $\lambda=0{,}002$ , de densité $f(x)=0{,}002\,\mathrm{e}^{-0{,}002x}$ sur $[0\,;+\infty[$ . La loi exponentielle ne sert pas qu'aux durées : toute grandeur qui « attend » un événement survenant sans usure s'y prête.

La figure représente la fonction de répartition $F$ de $X$ sur $[0\,;1\,500]$ .

a) Montrez que, pour tout $x\ge 0$ , $\int_{0}^{x}f(t)\,dt=1-\mathrm{e}^{-0{,}002x}$ . Quelle est la limite de cette intégrale quand $x$ tend vers $+\infty$ ? Concluez.
b) Calculez $P(X\le 200)$ et $P(X>1\,000)$ , arrondies au millième.
c) Calculez $P(200\le X\le 1\,000)$ de deux manières.
d) Déterminez la distance médiane $m$ , telle que $P(X\le m)=0{,}5$ , arrondie au dixième de kilomètre.

Voir la correction

Réponses

a) $\int_{0}^{x}f(t)\,dt=1-\mathrm{e}^{-0{,}002x}\to 1$ : l'aire totale vaut $1$ , $f$ est une densité
b) $P(X\le 200)=1-\mathrm{e}^{-0{,}4}\approx 0{,}330$ ; $P(X>1\,000)=\mathrm{e}^{-2}\approx 0{,}135$
c) $P(200\le X\le 1\,000)=\mathrm{e}^{-0{,}4}-\mathrm{e}^{-2}\approx 0{,}535$
d) $m=\dfrac{\ln 2}{0{,}002}=500\ln 2\approx 346{,}6$ km

a)

Une primitive de $t\mapsto 0{,}002\,\mathrm{e}^{-0{,}002t}$ est $t\mapsto-\mathrm{e}^{-0{,}002t}$ : en dérivant, $-(-0{,}002)\,\mathrm{e}^{-0{,}002t}$ , on retrouve bien $f$ . Donc $\int_{0}^{x}f(t)\,dt=\left[-\mathrm{e}^{-0{,}002t}\right]_{0}^{x}=-\mathrm{e}^{-0{,}002x}+1$ . Quand $x$ tend vers $+\infty$ , $-0{,}002x$ tend vers $-\infty$ , donc $\mathrm{e}^{-0{,}002x}$ tend vers $0$ et l'intégrale tend vers $1$ . Comme $f$ est positive, c'est une densité sur $[0\,;+\infty[$ : l'aire sous une courbe qui ne touche jamais l'axe est pourtant FINIE. On en tire la fonction de répartition $F(x)=P(X\le x)=1-\mathrm{e}^{-\lambda x}$ et surtout, par complément, la formule la plus utile du chapitre, $P(X>x)=\mathrm{e}^{-\lambda x}$ . La courbe de $F$ monte vers la droite $y=1$ sans jamais l'atteindre.

b)

$P(X\le 200)=F(200)=1-\mathrm{e}^{-0{,}002\times 200}=1-\mathrm{e}^{-0{,}4}\approx 1-0{,}6703\approx 0{,}330$ : un pneu sur trois crève dans les $200$ premiers kilomètres. $P(X>1\,000)=\mathrm{e}^{-0{,}002\times 1\,000}=\mathrm{e}^{-2}\approx 0{,}135$ . Ici, pas besoin de calculer $1-F$ : la probabilité de dépasser se lit directement dans l'exponentielle. L'erreur coûteuse est d'écrire $P(X>1\,000)=1-\mathrm{e}^{-2}\approx 0{,}865$ , qui confond « dépasser » et « ne pas dépasser » : on la repère en voyant qu'elle ferait crever presque tous les pneus avant $1\,000$ km, alors que la courbe de $F$ en $1\,000$ n'atteint que $0{,}86$ .

c)

Première manière, par les répartitions : $P(200\le X\le 1\,000)=F(1\,000)-F(200)=(1-\mathrm{e}^{-2})-(1-\mathrm{e}^{-0{,}4})=\mathrm{e}^{-0{,}4}-\mathrm{e}^{-2}\approx 0{,}6703-0{,}1353\approx 0{,}535$ . Seconde manière, par le complément : on retire à $1$ les deux queues calculées au b), $1-0{,}3297-0{,}1353\approx 0{,}535$ . Les deux calculs concordent, et c'est la meilleure vérification possible. Retenez la forme $\mathrm{e}^{-\lambda c}-\mathrm{e}^{-\lambda d}$ pour $P(c\le X\le d)$ : la plus petite borne donne la plus grande exponentielle, et le résultat est bien positif.

d)

On résout $F(m)=0{,}5$ , soit $1-\mathrm{e}^{-0{,}002m}=0{,}5$ , c'est-à-dire $\mathrm{e}^{-0{,}002m}=0{,}5$ . En prenant le logarithme népérien, $-0{,}002m=\ln 0{,}5=-\ln 2$ , donc $m=\dfrac{\ln 2}{0{,}002}=500\ln 2\approx 346{,}6$ km. La moitié des pneus crèvent avant $346{,}6$ km. Ce nombre n'est pas la distance MOYENNE, qui vaut $\dfrac{1}{\lambda}=500$ km (exercice 5) : la loi exponentielle a une longue traîne à droite, quelques pneus très résistants tirent la moyenne vers le haut, et la médiane $\dfrac{\ln 2}{\lambda}$ reste toujours sous l'espérance $\dfrac{1}{\lambda}$ , dans le rapport $\ln 2\approx 0{,}69$ .

Exercice 5 : Vie moyenne et demi-vie : la désintégration du radon 222

4 réponses vérifiables

Un noyau de radon 222 finit toujours par se désintégrer, mais on ne peut pas prévoir quand. Sa durée de vie $X$ , en jours, suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda>0$ : $P(X>t)=\mathrm{e}^{-\lambda t}$ pour $t\ge 0$ . On sait que la DEMI-VIE du radon 222 vaut environ $3{,}8$ jours : c'est la durée $T$ telle que $P(X>T)=\dfrac{1}{2}$ .

L'espérance d'une variable $X$ de densité $f$ sur $[0\,;+\infty[$ est la limite, quand $x$ tend vers $+\infty$ , de $\int_{0}^{x}t\,f(t)\,dt$ . On admet que $x\,\mathrm{e}^{-\lambda x}$ tend vers $0$ quand $x$ tend vers $+\infty$ .

La figure ci-dessous représente la fonction $t\mapsto P(X>t)$ .

a) Montrez que $\lambda=\dfrac{\ln 2}{3{,}8}$ et donnez-en une valeur arrondie au millième.
b) On pose $G(t)=-\left(t+\dfrac{1}{\lambda}\right)\mathrm{e}^{-\lambda t}$ . Montrez que $G'(t)=\lambda t\,\mathrm{e}^{-\lambda t}$ , puis exprimez $\int_{0}^{x}\lambda t\,\mathrm{e}^{-\lambda t}\,dt$ en fonction de $x$ .
c) Déduisez-en que $E(X)=\dfrac{1}{\lambda}$ , puis calculez la vie moyenne d'un noyau de radon 222, au centième de jour.
d) Quelle proportion des noyaux d'un grand échantillon s'est désintégrée au bout de la vie moyenne ? Quelle proportion reste-t-il au bout de $7{,}6$ jours ?

Voir la correction

Réponses

a) $\mathrm{e}^{-3{,}8\lambda}=\dfrac{1}{2}$ donc $\lambda=\dfrac{\ln 2}{3{,}8}\approx 0{,}182$ par jour
b) $\int_{0}^{x}\lambda t\,\mathrm{e}^{-\lambda t}\,dt=\dfrac{1}{\lambda}-\left(x+\dfrac{1}{\lambda}\right)\mathrm{e}^{-\lambda x}$
c) $E(X)=\dfrac{1}{\lambda}=\dfrac{3{,}8}{\ln 2}\approx 5{,}48$ jours
d) $1-\mathrm{e}^{-1}\approx 0{,}632$ désintégrés à la vie moyenne ; il reste $\dfrac{1}{4}$ au bout de $7{,}6$ jours

a)

La demi-vie traduit $P(X>3{,}8)=\dfrac{1}{2}$ , soit $\mathrm{e}^{-3{,}8\lambda}=\dfrac{1}{2}$ . On prend le logarithme népérien : $-3{,}8\lambda=\ln\dfrac{1}{2}=-\ln 2$ , donc $\lambda=\dfrac{\ln 2}{3{,}8}\approx 0{,}182$ par jour. Le paramètre a pour unité l'inverse de celle de $X$ : ici « par jour ». Pour un noyau, la demi-vie n'est pas une durée au bout de laquelle il se désintègre à coup sûr, c'est la durée qu'il a une chance sur deux de dépasser.

b)

$G$ est un produit $u\times v$ avec $u(t)=-\left(t+\dfrac{1}{\lambda}\right)$ et $v(t)=\mathrm{e}^{-\lambda t}$ , donc $u'(t)=-1$ et $v'(t)=-\lambda\,\mathrm{e}^{-\lambda t}$ . $G'(t)=-\mathrm{e}^{-\lambda t}+\lambda\left(t+\dfrac{1}{\lambda}\right)\mathrm{e}^{-\lambda t}=-\mathrm{e}^{-\lambda t}+\lambda t\,\mathrm{e}^{-\lambda t}+\mathrm{e}^{-\lambda t}=\lambda t\,\mathrm{e}^{-\lambda t}$ . $G$ est donc une primitive de $t\mapsto t\,f(t)$ , et $\int_{0}^{x}\lambda t\,\mathrm{e}^{-\lambda t}\,dt=G(x)-G(0)=-\left(x+\dfrac{1}{\lambda}\right)\mathrm{e}^{-\lambda x}+\dfrac{1}{\lambda}$ , car $G(0)=-\dfrac{1}{\lambda}$ . On ne devine pas une telle primitive en Terminale : l'énoncé la donne, et le travail consiste à la VÉRIFIER en dérivant, sans oublier le facteur $-\lambda$ de la dérivée de $\mathrm{e}^{-\lambda t}$ .

c)

Quand $x$ tend vers $+\infty$ , $x\,\mathrm{e}^{-\lambda x}$ tend vers $0$ (admis) et $\dfrac{1}{\lambda}\mathrm{e}^{-\lambda x}$ aussi, donc l'intégrale tend vers $\dfrac{1}{\lambda}$ : $E(X)=\dfrac{1}{\lambda}$ . Pour le radon, la vie moyenne vaut $\dfrac{1}{\lambda}=\dfrac{3{,}8}{\ln 2}\approx 5{,}48$ jours. Elle est PLUS LONGUE que la demi-vie : $\dfrac{3{,}8}{\ln 2}>3{,}8$ car $\ln 2<1$ . Confondre vie moyenne et demi-vie est l'erreur type de ce thème ; la demi-vie est la MÉDIANE de $X$ , la vie moyenne son ESPÉRANCE.

d)

Dans un grand échantillon de $N_{0}$ noyaux, la proportion de noyaux désintégrés avant la date $t$ est proche de $P(X\le t)$ , par la loi des grands nombres. Au bout de la vie moyenne : $P\left(X\le\dfrac{1}{\lambda}\right)=1-\mathrm{e}^{-\lambda\times\frac{1}{\lambda}}=1-\mathrm{e}^{-1}\approx 0{,}632$ , pas $0{,}5$ . Au bout de $7{,}6$ jours, deux demi-vies, il reste $\mathrm{e}^{-7{,}6\lambda}=\left(\mathrm{e}^{-3{,}8\lambda}\right)^{2}=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{2}=\dfrac{1}{4}$ des noyaux. C'est la loi de décroissance du physicien, $N(t)\approx N_{0}\,\mathrm{e}^{-\lambda t}$ , vue ici comme ce qu'elle est : la probabilité de survie d'UN noyau, multipliée par un très grand nombre de noyaux. Un seul noyau, lui, reste imprévisible.

Exercice 6 : L'absence de mémoire : les étoiles filantes ne se font pas attendre davantage

6 réponses vérifiables

Une nuit d'août, un observateur guette les étoiles filantes. Le temps $X$ , en minutes, avant la prochaine étoile filante suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda=0{,}2$ : $P(X>t)=\mathrm{e}^{-0{,}2t}$ pour $t\ge 0$ .

On compare avec le voyageur de l'exercice 3, dont l'attente $Y$ suit la loi uniforme sur $[0\,;15]$ : $P(Y>t)=1-\dfrac{t}{15}$ pour $t\in[0\,;15]$ .

a) Montrez que, pour tous réels $s\ge 0$ et $t\ge 0$ , $P_{X>s}(X>s+t)=P(X>t)$ . C'est la propriété d'ABSENCE DE MÉMOIRE.
b) L'observateur attend depuis $10$ minutes sans avoir rien vu. Quelle est la probabilité qu'il attende encore plus de $5$ minutes ? Comparez avec la probabilité, à son arrivée, d'attendre plus de $5$ minutes.
c) Le voyageur attend son bus depuis $10$ minutes. Calculez $P_{Y>10}(Y>13)$ et comparez avec $P(Y>3)$ .
d) L'observateur ne regarde plus sa montre à la seconde : il note seulement le numéro $N$ de la première minute pleine (la $1^{\text{re}}$ , la $2^{\text{e}}$ ...) pendant laquelle il voit une étoile filante. Montrez que $P(N>k)=(1-p)^{k}$ pour tout entier $k\ge 0$ , avec $p=1-\mathrm{e}^{-0{,}2}$ . Quelle loi reconnaissez-vous ? Comparez $E(N)$ et $E(X)$ .

Voir la correction

Réponses

a) $P_{X>s}(X>s+t)=\dfrac{\mathrm{e}^{-\lambda(s+t)}}{\mathrm{e}^{-\lambda s}}=\mathrm{e}^{-\lambda t}=P(X>t)$
b) $P_{X>10}(X>15)=\mathrm{e}^{-1}\approx 0{,}368=P(X>5)$ : l'attente passée ne change rien
c) $P_{Y>10}(Y>13)=\dfrac{2}{5}=0{,}4$ , contre $P(Y>3)=0{,}8$ : l'attente du bus a une mémoire
d) $P(N>k)=P(X>k)=\left(\mathrm{e}^{-0{,}2}\right)^{k}=(1-p)^{k}$ : loi géométrique de paramètre $p\approx 0{,}181$ ; $E(N)=\dfrac{1}{p}\approx 5{,}52$ contre $E(X)=5$

a)

L'événement $\{X>s+t\}$ est inclus dans $\{X>s\}$ : dépasser $s+t$ , c'est en particulier dépasser $s$ . Donc $\{X>s\}\cap\{X>s+t\}=\{X>s+t\}$ , et par définition de la probabilité conditionnelle, $P_{X>s}(X>s+t)=\dfrac{P(X>s+t)}{P(X>s)}=\dfrac{\mathrm{e}^{-\lambda(s+t)}}{\mathrm{e}^{-\lambda s}}=\mathrm{e}^{-\lambda t}=P(X>t)$ . Tout repose sur la propriété $\mathrm{e}^{a+b}=\mathrm{e}^{a}\mathrm{e}^{b}$ : la fonction de survie exponentielle transforme une somme de durées en produit de probabilités. Le programme présente d'ailleurs la loi exponentielle comme LA loi continue sans mémoire : on admet que c'est la seule.

b)

On applique a) avec $s=10$ et $t=5$ : $P_{X>10}(X>15)=P(X>5)=\mathrm{e}^{-0{,}2\times 5}=\mathrm{e}^{-1}\approx 0{,}368$ . Les dix minutes déjà passées n'ont rien « préparé » : la probabilité d'attendre encore plus de cinq minutes est exactement celle qu'avait un observateur qui venait de s'installer. Le raisonnement « j'attends depuis longtemps, elle va forcément arriver » est le sophisme du joueur, transposé au temps continu. Sur la figure de correction, la courbe exponentielle garde la même forme où qu'on la coupe : recommencer à $t=10$ revient à repartir de $t=0$ avec une échelle verticale réduite.

c)

Même inclusion : $P_{Y>10}(Y>13)=\dfrac{P(Y>13)}{P(Y>10)}=\dfrac{2/15}{5/15}=\dfrac{2}{5}=0{,}4$ . À son arrivée, le voyageur avait $P(Y>3)=1-\dfrac{3}{15}=0{,}8$ d'attendre plus de trois minutes. La probabilité a été DIVISÉE PAR DEUX : puisque le bus passe au plus tard au bout de $15$ minutes, chaque minute écoulée rapproche l'échéance. L'attente uniforme « vieillit », l'attente exponentielle non. Sur la figure, la droite pointillée plonge vers $0$ en $15$ , tandis que la courbe exponentielle ne touche jamais l'axe.

d)

$N>k$ signifie qu'aucune étoile filante n'est apparue pendant les $k$ premières minutes, c'est-à-dire $X>k$ . Donc $P(N>k)=P(X>k)=\mathrm{e}^{-0{,}2k}=\left(\mathrm{e}^{-0{,}2}\right)^{k}=(1-p)^{k}$ avec $1-p=\mathrm{e}^{-0{,}2}\approx 0{,}819$ , soit $p=1-\mathrm{e}^{-0{,}2}\approx 0{,}181$ . On reconnaît la caractérisation de la LOI GÉOMÉTRIQUE de paramètre $p$ , celle du rang du premier succès, étudiée dans le chapitre de probabilités : chaque minute est une épreuve de Bernoulli dont le succès est « voir une étoile filante », de probabilité $p$ , et les minutes sont indépendantes justement parce que $X$ est sans mémoire. La loi géométrique est la version DISCRÈTE, la loi exponentielle la version CONTINUE du même temps d'attente sans mémoire, et $(1-p)^{k}$ n'est que $\mathrm{e}^{-\lambda k}$ lu aux instants entiers. Les espérances le confirment : $E(N)=\dfrac{1}{p}\approx 5{,}52$ minutes contre $E(X)=\dfrac{1}{0{,}2}=5$ minutes. L'écart d'environ une demi-minute vient de ce que $N$ arrondit $X$ à la minute SUPÉRIEURE. C'est la « discrétisation d'une loi exponentielle » citée par le programme.

Exercice 7 : Simuler avec random() : Bernoulli, dé et loi exponentielle

6 réponses vérifiables

La fonction random() renvoie un nombre $U$ de loi uniforme sur $[0\,;1[$ . Le programme ci-dessous s'en sert pour simuler trois lois. La fonction int tronque un nombre positif à sa partie entière, et log est le logarithme népérien.

python

from random import random
from math import log

def bernoulli(p):
    if random() < p:
        return 1
    return 0

def de():
    return int(6 * random()) + 1

def expo(lam):
    return -log(1 - random()) / lam

def moyenne(n, lam):
    s = 0
    for k in range(n):
        s = s + expo(lam)
    return s / n

a) Quelle est la probabilité que bernoulli(0.35) renvoie $1$ ? Le résultat change-t-il si l'on remplace random() < p par random() <= p ?
b) Pour quelles valeurs de $U$ la fonction de() renvoie-t-elle $4$ ? Déduisez-en la probabilité d'obtenir $4$ .
c) Montrez que, pour $x\ge 0$ , $P\left(-\dfrac{\ln(1-U)}{\lambda}\le x\right)=1-\mathrm{e}^{-\lambda x}$ . Que renvoie expo(0.5) si random() renvoie $0{,}8$ ?
d) Autour de quelle valeur se trouve moyenne(10000, 0.5) ? Pourquoi le programme écrit-il log(1 - random()) plutôt que log(random()) ?

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Réponses

a) $P(U<0{,}35)=0{,}35$ ; rien ne change, car $P(U=0{,}35)=0$
b) $4$ pour $0{,}5\le U<\dfrac{2}{3}$ , avec probabilité $\dfrac{1}{6}\approx 0{,}167$
c) L'événement équivaut à $U\le 1-\mathrm{e}^{-\lambda x}$ ; expo(0.5) renvoie $-\dfrac{\ln 0{,}2}{0{,}5}\approx 3{,}219$
d) Autour de $\dfrac{1}{0{,}5}=2$ ; $1-U\in\,]0\,;1]$ ne vaut jamais $0$ , alors que random() peut renvoyer $0$

a)

bernoulli(0.35) renvoie $1$ exactement quand $U<0{,}35$ . Pour la loi uniforme sur $[0\,;1[$ , $P(U<0{,}35)$ est la longueur de l'intervalle $[0\,;0{,}35[$ , soit $0{,}35$ : la fonction simule bien une loi de Bernoulli de paramètre $0{,}35$ . Remplacer le test strict par un test large ne change rien, puisque $P(U\le 0{,}35)=P(U<0{,}35)+P(U=0{,}35)$ et qu'une valeur isolée a une probabilité nulle pour une loi à densité. C'est la question d) de l'exercice 2, vue du côté de l'ordinateur.

b)

de() renvoie $4$ quand $\mathrm{int}(6U)+1=4$ , c'est-à-dire quand la partie entière de $6U$ vaut $3$ : $3\le 6U<4$ , soit $0{,}5\le U<\dfrac{2}{3}$ . La probabilité est la longueur $\dfrac{2}{3}-\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{6}\approx 0{,}167$ . Le même calcul donne $\dfrac{1}{6}$ pour chaque face : $[0\,;1[$ est découpé en six morceaux de même longueur, et la fonction simule un dé équilibré. Oublier le « $+1$ » ferait sortir des valeurs de $0$ à $5$ , le piège classique de cette fonction.

c)

Pour $\lambda>0$ : $-\dfrac{\ln(1-U)}{\lambda}\le x\iff\ln(1-U)\ge-\lambda x$ (on multiplie par $-\lambda<0$ , le sens change) $\iff 1-U\ge\mathrm{e}^{-\lambda x}$ (la fonction exponentielle est croissante) $\iff U\le 1-\mathrm{e}^{-\lambda x}$ . Comme $1-\mathrm{e}^{-\lambda x}$ est dans $[0\,;1[$ , la probabilité de cet événement est $1-\mathrm{e}^{-\lambda x}$ : c'est la fonction de répartition de la loi exponentielle de paramètre $\lambda$ . La fonction expo simule donc cette loi ; c'est l'algorithme « simulation d'une loi exponentielle à partir d'une loi uniforme » du programme. Avec $U=0{,}8$ et $\lambda=0{,}5$ : $-\dfrac{\ln 0{,}2}{0{,}5}=2\ln 5\approx 3{,}219$ .

d)

moyenne(10000, 0.5) calcule la moyenne de $10\,000$ tirages indépendants de la loi exponentielle de paramètre $0{,}5$ . Par la loi des grands nombres, elle est proche de l'espérance $\dfrac{1}{\lambda}=2$ (exercice 5) ; une exécution typique affiche un nombre comme $1{,}98$ ou $2{,}03$ , jamais exactement $2$ . Quant au choix de $1-U$ : random() peut renvoyer $0$ mais jamais $1$ , donc $1-U$ est dans $]0\,;1]$ et le logarithme est toujours défini, alors que log(random()) planterait le jour où random() renvoie $0$ . Les deux écritures simulent la même loi, puisque $1-U$ suit aussi la loi uniforme ; seule la seconde est sûre.

Exercice 8 : Cinq affirmations à corriger

6 réponses vérifiables

Chacune des cinq affirmations suivantes a été relevée dans un devoir. Chacune est fausse. Expliquez l'erreur et appuyez la correction sur un calcul.

a) « Une densité ne dépasse jamais $1$ , puisque c'est une probabilité. » Contre-exemple : la loi uniforme sur $[0\,;0{,}5]$ .
b) « Si $X$ a une densité, $P(X<3)$ est strictement plus petit que $P(X\le 3)$ . »
c) « Si $X$ suit la loi exponentielle de paramètre $0{,}25$ , alors $E(X)=4$ , donc la moitié des valeurs de $X$ sont inférieures à $4$ . »
d) « $X$ a pour densité $f(x)=2x$ sur $[0\,;1]$ . Comme $0{,}5$ est le milieu de l'intervalle, $P(X\le 0{,}5)=0{,}5$ . »
e) « La durée de vie d'un détecteur de fumée suit la loi exponentielle de paramètre $0{,}1$ (en années). Un détecteur qui fonctionne depuis $8$ ans a donc moins de chances qu'un neuf de fonctionner encore $2$ ans. »

Voir la correction

Réponses

a) Sur $[0\,;0{,}5]$ , la densité vaut $2>1$ ; seule l'aire totale vaut $1$
b) $P(X=3)=0$ , donc $P(X<3)=P(X\le 3)$
c) $P(X\le 4)=1-\mathrm{e}^{-1}\approx 0{,}632$ ; la médiane est $4\ln 2\approx 2{,}77$
d) $P(X\le 0{,}5)=0{,}5^{2}=0{,}25$
e) Dans ce modèle, les deux probabilités valent $\mathrm{e}^{-0{,}2}\approx 0{,}819$ ; c'est le MODÈLE qu'il faut discuter

a)

La loi uniforme sur $[0\,;0{,}5]$ a pour densité la constante $\dfrac{1}{0{,}5-0}=2$ . Son aire totale vaut $0{,}5\times 2=1$ : c'est une densité parfaitement valable, et elle vaut $2$ partout. Une densité n'est pas une probabilité mais une probabilité PAR UNITÉ de la variable ; elle peut prendre n'importe quelle valeur positive, d'autant plus grande que la loi est concentrée sur un intervalle court. Ce qui est borné par $1$ , ce sont les AIRES : ici $P(0{,}1\le X\le 0{,}3)=0{,}2\times 2=0{,}4$ .

b)

$P(X\le 3)=P(X<3)+P(X=3)$ , et $P(X=3)=\int_{3}^{3}f(x)\,dx=0$ : une aire de largeur nulle. Les deux probabilités sont donc ÉGALES, et l'on peut écrire indifféremment $<$ ou $\le$ dans tout calcul avec une loi à densité. La distinction redevient essentielle pour une loi discrète : pour une loi géométrique, $P(N<3)$ et $P(N\le 3)$ diffèrent de $P(N=3)$ , qui n'est pas nul. Savoir quel type de loi on manipule est le premier réflexe.

c)

L'espérance vaut bien $\dfrac{1}{0{,}25}=4$ , mais $P(X\le 4)=1-\mathrm{e}^{-0{,}25\times 4}=1-\mathrm{e}^{-1}\approx 0{,}632$ : près des deux tiers des valeurs sont inférieures à la moyenne, pas la moitié. La valeur qui partage en deux est la MÉDIANE $m$ , solution de $\mathrm{e}^{-0{,}25m}=0{,}5$ , soit $m=4\ln 2\approx 2{,}77$ . Moyenne et médiane ne coïncident que pour une loi symétrique, comme la loi uniforme ; la loi exponentielle est dissymétrique, avec une longue traîne à droite qui tire la moyenne vers le haut.

d)

Le raisonnement « milieu de l'intervalle, donc une chance sur deux » ne vaut que pour une loi UNIFORME, dont la densité est constante. Ici la densité $2x$ croît : les grandes valeurs sont plus probables. Le calcul donne $P(X\le 0{,}5)=\int_{0}^{0{,}5}2x\,dx=\left[x^{2}\right]_{0}^{0{,}5}=0{,}25$ , et non $0{,}5$ . Contrôle géométrique : le triangle de base $0{,}5$ et de hauteur $f(0{,}5)=1$ a une aire $\dfrac{0{,}5\times 1}{2}=0{,}25$ . La médiane est en fait $\sqrt{0{,}5}\approx 0{,}707$ .

e)

Dans le modèle exponentiel, l'absence de mémoire donne $P_{X>8}(X>10)=P(X>2)=\mathrm{e}^{-0{,}1\times 2}=\mathrm{e}^{-0{,}2}\approx 0{,}819$ : exactement la même probabilité pour le détecteur de $8$ ans et pour un neuf. L'affirmation contredit donc le modèle qu'elle prétend utiliser. En revanche, son INTUITION peut être juste : si le détecteur vieillit réellement (pile, capteur qui s'encrasse), alors la loi exponentielle est un mauvais modèle, car une pièce qui s'use a une mémoire. La bonne réponse corrige le calcul ET signale que le choix du modèle se discute : l'exponentielle convient aux pannes accidentelles sans vieillissement, pas à l'usure.

Exercice 9 : Le paradoxe de l'inspection : des bus irréguliers font attendre plus longtemps

7 réponses vérifiables

Sur une ligne, les bus passent en moyenne toutes les $10$ minutes, mais irrégulièrement : les intervalles entre deux passages alternent entre $4$ minutes et $16$ minutes. Le motif se répète donc toutes les $20$ minutes. Un voyageur arrive à un instant quelconque, uniformément réparti sur ce cycle de $20$ minutes.

S'il tombe dans un intervalle de longueur $L$ , son attente est uniforme sur $[0\,;L]$ . On admet que son temps d'attente $W$ , en minutes, a pour densité la fonction en escalier $g$ représentée ci-dessous : $g(w)=0{,}1$ sur $[0\,;4]$ et $g(w)=0{,}05$ sur $]4\,;16]$ .

a) Quelle est la probabilité que le voyageur arrive pendant un intervalle de $16$ minutes ? Vérifiez que $g$ est une densité sur $[0\,;16]$ .
b) Calculez $P(W\le 2)$ et $P(W>10)$ .
c) Calculez l'attente moyenne $E(W)=\int_{0}^{16}w\,g(w)\,dw$ .
d) Quelle serait l'attente moyenne avec des bus parfaitement réguliers, toutes les $10$ minutes ? Calculez la longueur moyenne de l'intervalle dans lequel tombe le voyageur, et expliquez le paradoxe.

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Réponses

a) $\dfrac{16}{20}=0{,}8$ ; aire totale $4\times 0{,}1+12\times 0{,}05=1$
b) $P(W\le 2)=0{,}2$ ; $P(W>10)=6\times 0{,}05=0{,}3$
c) $E(W)=0{,}8+6=6{,}8$ minutes
d) Bus réguliers : $5$ minutes ; intervalle moyen vécu : $0{,}2\times 4+0{,}8\times 16=13{,}6$ minutes, plus que $10$

a)

L'arrivée est uniforme sur un cycle de $20$ minutes, dont $16$ appartiennent à l'intervalle long : la probabilité est $\dfrac{16}{20}=0{,}8$ . Les deux types d'intervalles sont aussi NOMBREUX l'un que l'autre, mais le long occupe quatre fois plus de TEMPS, et c'est le temps que l'arrivée au hasard échantillonne. Pour la densité : $g$ est positive, et l'aire sous l'escalier est une somme de deux rectangles, $4\times 0{,}1+12\times 0{,}05=0{,}4+0{,}6=1$ . D'où vient la marche ? Une attente de moins de $4$ minutes peut venir des deux types d'intervalles, une attente entre $4$ et $16$ minutes seulement du long : la densité est donc plus haute sur $[0\,;4]$ .

b)

Chaque probabilité est une aire de rectangle, largeur fois hauteur. $P(W\le 2)=2\times 0{,}1=0{,}2$ . $P(W>10)=\int_{10}^{16}0{,}05\,dw=6\times 0{,}05=0{,}3$ : près d'un voyageur sur trois attend plus de $10$ minutes, alors que les bus passent « en moyenne toutes les $10$ minutes ». Le piège est de lire une hauteur, $g(10)=0{,}05$ , au lieu d'une aire, ou d'oublier que la densité change de valeur en $4$ et de multiplier toute la largeur par $0{,}1$ .

c)

L'intégrale se coupe à la marche, par la relation de Chasles : $E(W)=\int_{0}^{4}0{,}1\,w\,dw+\int_{4}^{16}0{,}05\,w\,dw=0{,}1\left[\dfrac{w^{2}}{2}\right]_{0}^{4}+0{,}05\left[\dfrac{w^{2}}{2}\right]_{4}^{16}=0{,}1\times 8+0{,}05\times\dfrac{256-16}{2}=0{,}8+6=6{,}8$ minutes. Vérification par le raisonnement de l'énoncé : avec probabilité $0{,}2$ on tombe dans un intervalle de $4$ minutes et l'on attend en moyenne $2$ minutes, avec probabilité $0{,}8$ dans un intervalle de $16$ minutes et l'on attend en moyenne $8$ minutes : $0{,}2\times 2+0{,}8\times 8=0{,}4+6{,}4=6{,}8$ . Les deux calculs concordent.

d)

Avec des bus réguliers toutes les $10$ minutes, l'attente est uniforme sur $[0\,;10]$ et $E=\dfrac{0+10}{2}=5$ minutes. Les bus irréguliers, pour le MÊME nombre de passages, font donc attendre $1{,}8$ minute de plus en moyenne. L'intervalle dans lequel tombe le voyageur mesure en moyenne $0{,}2\times 4+0{,}8\times 16=13{,}6$ minutes, et non $10$ : en arrivant au hasard, on a plus de chances de tomber dans un LONG intervalle, simplement parce qu'il est long. C'est le paradoxe de l'inspection, cité par le programme : l'intervalle que l'on « inspecte » en arrivant n'est pas un intervalle typique. Il explique pourquoi les usagers trouvent toujours que les bus passent moins souvent que ne le dit la compagnie, et pourquoi la régularité compte autant que la fréquence.

Exercice 10 : La carte électronique d'un thermostat : garantie, montage en série et redondance

8 réponses vérifiables

Un fabricant de thermostats connectés équipe chaque appareil d'une carte électronique dont la durée de vie $X$ , en années, suit la loi exponentielle de moyenne $6$ ans. Les pannes de ces cartes sont accidentelles (surtension, défaut de soudure) et non dues à l'usure, ce qui justifie le modèle. Les durées de vie de cartes différentes sont indépendantes.

Le schéma ci-dessous représente les deux montages.

a) Donnez le paramètre $\lambda$ de la loi de $X$ , puis la probabilité qu'une carte tombe en panne pendant une garantie de $2$ ans.
b) Le fabricant veut qu'au plus $10\ \%$ des cartes tombent en panne pendant la garantie. Quelle durée maximale de garantie peut-il offrir, en années au millième, puis en mois entiers ?
c) Un modèle haut de gamme contient DEUX cartes indispensables : il tombe en panne dès que l'une des deux lâche. On note $T$ sa durée de vie. Montrez que $P(T>t)=\mathrm{e}^{-t/3}$ , reconnaissez la loi de $T$ et donnez $E(T)$ . Calculez $P(T>2)$ .
d) Un modèle « secouru » contient deux cartes, dont une de secours : il fonctionne tant qu'AU MOINS une carte fonctionne. Calculez la probabilité qu'il fonctionne encore au bout de $6$ ans, et comparez avec un appareil à une seule carte.

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Réponses

a) $\lambda=\dfrac{1}{6}$ ; $P(X\le 2)=1-\mathrm{e}^{-1/3}\approx 0{,}283$
b) $t\le-6\ln 0{,}9\approx 0{,}632$ an, soit $7$ mois entiers
c) $P(T>t)=\left(\mathrm{e}^{-t/6}\right)^{2}=\mathrm{e}^{-t/3}$ : loi exponentielle de paramètre $\dfrac{1}{3}$ , $E(T)=3$ ans ; $P(T>2)=\mathrm{e}^{-2/3}\approx 0{,}513$
d) $1-\left(1-\mathrm{e}^{-1}\right)^{2}\approx 0{,}600$ , contre $\mathrm{e}^{-1}\approx 0{,}368$ pour une seule carte

a)

Pour la loi exponentielle, $E(X)=\dfrac{1}{\lambda}$ , donc une moyenne de $6$ ans donne $\lambda=\dfrac{1}{6}$ par an. Écrire $\lambda=6$ est l'erreur la plus coûteuse de l'exercice : toutes les réponses suivantes seraient fausses, et l'on s'en aperçoit en constatant que $P(X\le 2)=1-\mathrm{e}^{-12}$ vaudrait presque $1$ . Avec la bonne valeur, $P(X\le 2)=1-\mathrm{e}^{-2/6}=1-\mathrm{e}^{-1/3}\approx 1-0{,}7165\approx 0{,}283$ : plus d'une carte sur quatre tombe en panne pendant une garantie de deux ans, alors que la durée de vie moyenne est de six ans. C'est la longue traîne de la loi exponentielle, vue du côté des pannes précoces.

b)

On cherche $t$ tel que $P(X\le t)\le 0{,}1$ , soit $1-\mathrm{e}^{-t/6}\le 0{,}1$ , c'est-à-dire $\mathrm{e}^{-t/6}\ge 0{,}9$ . La fonction $\ln$ est croissante : $-\dfrac{t}{6}\ge\ln 0{,}9$ , puis, en multipliant par $-6<0$ , ce qui CHANGE le sens, $t\le-6\ln 0{,}9\approx 0{,}632$ an. En mois : $0{,}632\times 12\approx 7{,}59$ mois, donc au plus $7$ mois entiers. On arrondit vers le BAS : $8$ mois ferait dépasser les $10\ \%$ , puisque $1-\mathrm{e}^{-8/72}\approx 0{,}105$ . Le sens de l'inégalité et le sens de l'arrondi sont les deux points qui coûtent ici.

c)

Notons $X_{1}$ et $X_{2}$ les durées de vie des deux cartes. L'appareil fonctionne au-delà de $t$ si et seulement si LES DEUX cartes fonctionnent au-delà de $t$ : $\{T>t\}=\{X_{1}>t\}\cap\{X_{2}>t\}$ . Par indépendance, $P(T>t)=P(X_{1}>t)\times P(X_{2}>t)=\mathrm{e}^{-t/6}\times\mathrm{e}^{-t/6}=\mathrm{e}^{-t/3}$ . C'est la fonction de survie de la loi exponentielle de paramètre $\dfrac{1}{3}$ : $T$ suit cette loi, et $E(T)=3$ ans. Deux cartes indispensables divisent la durée de vie moyenne par deux : les paramètres s'ADDITIONNENT, ce qui se comprend bien, deux sources de pannes indépendantes cumulant leurs risques. Enfin $P(T>2)=\mathrm{e}^{-2/3}\approx 0{,}513$ , contre $\mathrm{e}^{-1/3}\approx 0{,}717$ pour une seule carte.

d)

L'appareil secouru est en panne au bout de $6$ ans si et seulement si LES DEUX cartes sont en panne : $P(X_{1}\le 6)\times P(X_{2}\le 6)=\left(1-\mathrm{e}^{-1}\right)^{2}\approx 0{,}632^{2}\approx 0{,}400$ . Il fonctionne donc encore avec la probabilité $1-\left(1-\mathrm{e}^{-1}\right)^{2}\approx 0{,}600$ , contre $P(X>6)=\mathrm{e}^{-1}\approx 0{,}368$ pour un appareil à une carte. La redondance fait passer la survie à six ans d'un peu plus d'un tiers à trois sur cinq. Le piège est de calculer $\mathrm{e}^{-1}\times\mathrm{e}^{-1}$ , qui est la probabilité que les DEUX cartes fonctionnent, c'est-à-dire la survie du montage en série de la question c) : « au moins une » se traite toujours par l'événement contraire, « aucune ».

Exercices corrigés : lois à densité et temps d'attente (maths complémentaires)

Rappel de cours

Calculs : les probabilités à calculer

Exercice 0.1 : Calculer des probabilités avec les lois uniforme et exponentielle : onze calculs directs

Partie A : les bases (/50)

Exercice 1 : Est-ce une densité ? Deux conditions, pas une

Exercice 2 : Le créneau de livraison : une probabilité est une aire

Exercice 3 : La loi uniforme, de random() à l'arrêt de bus

Exercice 4 : La loi exponentielle : des kilomètres avant la première crevaison

Exercice 5 : Vie moyenne et demi-vie : la désintégration du radon 222

Partie B : problèmes et raisonnement (/50)

Exercice 6 : L'absence de mémoire : les étoiles filantes ne se font pas attendre davantage

Exercice 7 : Simuler avec random() : Bernoulli, dé et loi exponentielle

Exercice 8 : Cinq affirmations à corriger

Exercice 9 : Le paradoxe de l'inspection : des bus irréguliers font attendre plus longtemps

Exercice 10 : La carte électronique d'un thermostat : garantie, montage en série et redondance

Voir aussi

Les lois à densité bloquent en maths complémentaires à Montréal ?