Exercices corrigés : le logarithme népérien, réciproque de l'exponentielle (maths complémentaires)

a) Chaque réponse se lit en revenant à la définition : $\ln a$ est l'exposant $b$ tel que $\mathrm{e}^{b}=a$. Comme $\mathrm{e}^{0}=1$, on a $\ln 1=0$ ; comme $\mathrm{e}^{1}=\mathrm{e}$, $\ln\mathrm{e}=1$ ; l'exposant qui donne $\mathrm{e}^{-3}$ est $-3$, donc $\ln\left(\mathrm{e}^{-3}\right)=-3$. Enfin $\ln 5$ est PAR DÉFINITION l'exposant qui donne $5$, donc $\mathrm{e}^{\ln 5}=5$. Les deux égalités à retenir, $\ln\left(\mathrm{e}^{b}\right)=b$ pour tout réel $b$ et $\mathrm{e}^{\ln a}=a$ pour tout $a>0$, disent la même chose : chacune des deux fonctions défait ce que fait l'autre. Attention à la seconde : elle exige $a>0$.

b) Le symétrique d'un point $(x\,;y)$ par rapport à la droite $y=x$ est le point $(y\,;x)$ : on échange les deux coordonnées. Donc $B'(\mathrm{e}^{2}\,;2)$, avec $\mathrm{e}^{2}\approx 7{,}389$. Ce point est sur la courbe de $\ln$ car $\ln\left(\mathrm{e}^{2}\right)=2$ : son ordonnée est bien le logarithme de son abscisse. C'est la raison géométrique de la symétrie des deux courbes : dire que $(a\,;b)$ est sur la courbe de l'exponentielle, c'est dire $b=\mathrm{e}^{a}$, c'est-à-dire $a=\ln b$, c'est-à-dire que $(b\,;a)$ est sur la courbe de $\ln$. Sur la figure, le segment $[AA']$ est perpendiculaire à $\Delta$ et coupé en son milieu par elle. Pour que cette symétrie se VOIE, il faut un repère orthonormé ; dans un repère aux unités inégales, les deux courbes ne paraissent plus symétriques.

c) $\mathrm{e}^{x}=12$ a pour unique solution l'exposant qui donne $12$ : $x=\ln 12\approx 2{,}485$. L'équation $\ln x=1{,}5$ se lit dans l'autre sens : $x$ est le nombre dont l'exposant est $1{,}5$, donc $x=\mathrm{e}^{1{,}5}\approx 4{,}482$, et ce nombre est bien positif, donc dans le domaine de $\ln$. Vérification par substitution : $\mathrm{e}^{2{,}485}\approx 12{,}00$ et $\ln 4{,}482\approx 1{,}500$. L'erreur classique est de répondre $x=\ln 1{,}5$ à la seconde équation : on a alors appliqué $\ln$ au lieu de l'exponentielle, c'est-à-dire refait l'opération au lieu de la défaire.

d) La fonction exponentielle est strictement croissante et vaut $1$ en $0$. Pour $x>0$, posons $b=\ln x$, de sorte que $x=\mathrm{e}^{b}$. Alors $b<0$ équivaut à $\mathrm{e}^{b}<\mathrm{e}^{0}$, c'est-à-dire $x<1$. Donc $\ln x<0$ exactement sur $]0\,;1[$, $\ln 1=0$ et $\ln x>0$ sur $]1\,;+\infty[$. Quant à $\ln(-4)$, il faudrait un exposant $b$ avec $\mathrm{e}^{b}=-4$ ; or une exponentielle est toujours strictement positive, donc ce nombre n'existe pas. Graphiquement, la courbe de l'exponentielle reste au-dessus de l'axe des abscisses, donc sa symétrique reste à droite de l'axe des ordonnées : la courbe de $\ln$ n'a aucun point d'abscisse négative ou nulle. C'est LA condition à écrire avant toute équation : ce qui est sous le $\ln$ doit être strictement positif.

a) Première façon, avec la propriété de l'exponentielle : $\mathrm{e}^{\ln a+\ln b}=\mathrm{e}^{\ln a}\times\mathrm{e}^{\ln b}=a\times b$, car $\mathrm{e}^{\ln a}=a$ et $\mathrm{e}^{\ln b}=b$, ce qui est permis puisque $a>0$ et $b>0$. Seconde façon : $ab>0$, donc $\mathrm{e}^{\ln(ab)}=ab$. Les deux nombres $\ln a+\ln b$ et $\ln(ab)$ ont donc la même exponentielle. Or l'exponentielle est strictement croissante, donc deux exposants différents donnent deux valeurs différentes : les deux exposants sont égaux, $\ln(ab)=\ln a+\ln b$. Toute la démonstration tient en une idée : la règle de $\ln$ est la règle $\mathrm{e}^{x+y}=\mathrm{e}^{x}\mathrm{e}^{y}$ lue à l'envers. Une somme d'exposants correspond à un produit, donc le logarithme d'un produit est une somme.

b) On applique a) avec $b=\dfrac{1}{a}$, qui est bien strictement positif : $\ln a+\ln\dfrac{1}{a}=\ln\left(a\times\dfrac{1}{a}\right)=\ln 1=0$, donc $\ln\dfrac{1}{a}=-\ln a$. Puis $\dfrac{a}{b}=a\times\dfrac{1}{b}$, donc $\ln\dfrac{a}{b}=\ln a+\ln\dfrac{1}{b}=\ln a-\ln b$. Application : $\ln\dfrac{1}{5}=-\ln 5\approx -1{,}6094$. Retenez l'enchaînement : on ne démontre qu'UNE règle, celle du produit ; l'inverse et le quotient en sont des conséquences immédiates. Un logarithme négatif n'a rien d'anormal : c'est le logarithme d'un nombre compris entre $0$ et $1$.

c) On décompose chaque nombre en produits et quotients de $2$ et de $5$. $10=2\times 5$, donc $\ln 10=\ln 2+\ln 5\approx 0{,}6931+1{,}6094=2{,}3025$. $0{,}4=\dfrac{2}{5}$, donc $\ln 0{,}4=\ln 2-\ln 5\approx 0{,}6931-1{,}6094=-0{,}9163$. $250=2\times 5^{3}$, donc $\ln 250=\ln 2+3\ln 5\approx 0{,}6931+4{,}8282=5{,}5213$. La calculatrice donne $\ln 10\approx 2{,}302585$, arrondi à $2{,}3026$ : l'écart d'un dix-millième vient des arrondis des deux valeurs de départ, qui s'additionnent. Multiplier $\ln 5$ par $3$ multiplie aussi son erreur d'arrondi par $3$, c'est pourquoi $\ln 250$ est la moins précise des trois.

d) Avec $a=b$, la règle a) donne $\ln\left(a^{2}\right)=\ln a+\ln a=2\ln a$. Puis $\ln\left(a^{3}\right)=\ln\left(a^{2}\times a\right)=2\ln a+\ln a=3\ln a$, et de proche en proche, chaque facteur $a$ supplémentaire ajoute $\ln a$ : $\ln\left(a^{n}\right)=n\ln a$. Pour la racine, $a=\sqrt{a}\times\sqrt{a}$, donc $\ln a=2\ln\sqrt{a}$ et $\ln\sqrt{a}=\dfrac{1}{2}\ln a$. Application : $20=2^{2}\times 5$, donc $\ln 20=2\ln 2+\ln 5\approx 2{,}9956$ et $\ln\sqrt{20}\approx 1{,}4978$. Ces règles valent parce que $a>0$ ; l'exposant $n$, lui, peut être n'importe quel entier, et c'est lui qui descend devant le logarithme, jamais le contraire.

a) La courbe atteint la hauteur $3$ vers $x=20$. Le calcul le confirme : $\ln x=3$ équivaut à $x=\mathrm{e}^{3}\approx 20{,}09$. Il a fallu aller jusqu'à $20$ pour gagner $3$ unités de hauteur ; pour atteindre $4$, il faudrait aller jusqu'à $\mathrm{e}^{4}\approx 54{,}6$. C'est l'image à garder : la courbe de $\ln$ monte toujours, mais de plus en plus lentement.

b) $\ln$ est strictement croissante, donc $\ln x>10$ équivaut à $x>\mathrm{e}^{10}\approx 22\,026$. Le même raisonnement vaut pour n'importe quel réel $A$ : $\ln x>A$ dès que $x>\mathrm{e}^{A}$. Aussi grand que soit $A$, il existe un seuil au-delà duquel $\ln x$ le dépasse, et le reste : c'est exactement la définition de $\lim\limits_{x\to+\infty}\ln x=+\infty$. Le seuil est énorme, mais il existe. L'erreur à ne pas commettre est de croire qu'une courbe qui s'aplatit se stabilise : la pente $\dfrac{1}{x}$ tend vers $0$, pas la fonction vers une valeur finie.

c) $\ln x<-20$ équivaut, pour $x>0$, à $x<\mathrm{e}^{-20}\approx 2{,}06\times 10^{-9}$ : $S=\left]0\,;\mathrm{e}^{-20}\right[$. Sans la condition $x>0$, on écrirait un intervalle faux qui contient des nombres négatifs. Pour tout réel $B$, $\ln x<B$ dès que $0<x<\mathrm{e}^{B}$ : quand $x$ s'approche de $0$ par la droite, $\ln x$ descend sous toute valeur, donc $\lim\limits_{x\to 0^{+}}\ln x=-\infty$. La droite d'équation $x=0$, l'axe des ordonnées, est asymptote verticale à la courbe. C'est la symétrique de l'asymptote horizontale $y=0$ de l'exponentielle en $-\infty$ : l'échange des coordonnées échange aussi les asymptotes.

d) Quand $x\to 0^{+}$, $\ln x\to-\infty$, donc $-3\ln x\to+\infty$ (on multiplie par un nombre NÉGATIF, ce qui retourne le signe de l'infini) et $f(x)\to+\infty$. Quand $x\to+\infty$, $\ln x\to+\infty$, donc $-3\ln x\to-\infty$ et $f(x)\to-\infty$. Vérification numérique : $f\left(\mathrm{e}^{-10}\right)=4+30=34$ et $f\left(\mathrm{e}^{10}\right)=4-30=-26$. Le coefficient $-3$ fait de $f$ une fonction décroissante, dont la courbe est celle de $\ln$ retournée et étirée.

e) Quand $x\to+\infty$, $\ln x\to+\infty$, donc $g(x)=\dfrac{1}{\ln x}\to 0$ : la droite $y=0$ est asymptote horizontale en $+\infty$. Quand $x\to 1$ avec $x>1$, $\ln x$ tend vers $\ln 1=0$ en restant POSITIF, puisque $\ln x>0$ sur $]1\,;+\infty[$ ; l'inverse d'un nombre positif qui tend vers $0$ tend vers $+\infty$, donc $\lim\limits_{x\to 1^{+}}g(x)=+\infty$ et la droite $x=1$ est asymptote verticale. Écrire « $\frac{1}{0}$ » ne suffit pas : c'est le signe du dénominateur qui décide entre $+\infty$ et $-\infty$, et il se lit sur le signe de $\ln$ établi à l'exercice 1.

a) Pour tout $x>0$, $\mathrm{e}^{\ln x}=x$. Les deux membres sont des fonctions de $x$ égales, donc leurs dérivées sont égales. À gauche, avec $v=\ln$ : la dérivée est $\ln'(x)\,\mathrm{e}^{\ln x}=\ln'(x)\times x$. À droite, la dérivée de $x$ est $1$. Donc $x\,\ln'(x)=1$, et comme $x\neq 0$, $\ln'(x)=\dfrac{1}{x}$. En particulier $\ln'(4)=\dfrac{1}{4}=0{,}25$. On voit au passage pourquoi $\ln$ est croissante : sa dérivée est positive sur tout son domaine. Et pourquoi elle monte de plus en plus lentement : sa pente $\dfrac{1}{x}$ diminue quand $x$ grandit.

b) $f'(x)=2-\dfrac{6}{x}=\dfrac{2x-6}{x}=\dfrac{2(x-3)}{x}$. Sur $]0\,;+\infty[$, le dénominateur $x$ est positif, donc $f'(x)$ a le signe de $x-3$ : négatif sur $]0\,;3[$, nul en $3$, positif sur $]3\,;+\infty[$. La fonction décroît puis croît, et son minimum est $f(3)=6-6\ln 3\approx -0{,}592$. Mettre au même dénominateur est le geste qui rend le signe lisible : sous la forme $2-\dfrac{6}{x}$, on ne voit rien. Et le signe du dénominateur ne se discute pas, il est fixé par le domaine de $\ln$. Vérification : $f(2)\approx -0{,}159$ et $f(4)\approx -0{,}318$ sont bien au-dessus de $-0{,}592$.

c) Pour $u>0$, $\mathrm{e}^{\ln u(x)}=u(x)$. En dérivant les deux membres, $(\ln u)'(x)\times\mathrm{e}^{\ln u(x)}=u'(x)$, c'est-à-dire $(\ln u)'(x)\times u(x)=u'(x)$, d'où $(\ln u)'=\dfrac{u'}{u}$. La condition $u>0$ est indispensable : sans elle, $\ln u$ n'existe même pas. Application : $u(x)=3x+1$ est strictement positif exactement sur $\left]-\dfrac{1}{3}\,;+\infty\right[$, et $u'(x)=3$, donc $g'(x)=\dfrac{3}{3x+1}$ et $g'(1)=\dfrac{3}{4}=0{,}75$. L'erreur courante est d'écrire $g'(x)=\dfrac{1}{3x+1}$ : on a dérivé $\ln$ mais oublié de dériver ce qui est dedans, et la réponse est fausse d'un facteur $3$.

d) $x^{2}+4x+5=(x+2)^{2}+1\geq 1>0$ pour tout réel $x$ (ou : discriminant $16-20=-4<0$ et coefficient de $x^{2}$ positif). Le logarithme est donc défini partout. Avec $u(x)=x^{2}+4x+5$ et $u'(x)=2x+4$ : $h'(x)=\dfrac{2x+4}{x^{2}+4x+5}$. Le dénominateur est positif, donc $h'$ a le signe de $2x+4$ : négatif avant $-2$, positif après. Le minimum est $h(-2)=\ln(4-8+5)=\ln 1=0$. On pouvait le prévoir : $\ln$ étant croissante, $h$ est minimale là où $u$ l'est, et le minimum de $u$ est $1$, atteint en $-2$. Composer par $\ln$ garde les variations, mais ne garde pas les valeurs.

a) Domaine : $2x+1>0$, soit $x>-\dfrac{1}{2}$. Puis $\ln(2x+1)=3$ équivaut à $2x+1=\mathrm{e}^{3}$, car un logarithme égal à $3$ désigne le nombre $\mathrm{e}^{3}$. D'où $x=\dfrac{\mathrm{e}^{3}-1}{2}\approx 9{,}543$, qui est bien dans le domaine. Vérification : $\ln(2\times 9{,}543+1)=\ln 20{,}086\approx 3{,}000$.

b) Domaine : il faut $x>0$ ET $x+6>0$, donc $x>0$. Sur ce domaine, $2\ln x=\ln\left(x^{2}\right)$, et l'équation devient $\ln\left(x^{2}\right)=\ln(x+6)$. Comme $\ln$ est strictement croissante, deux nombres positifs de même logarithme sont égaux : $x^{2}=x+6$, soit $x^{2}-x-6=0$, de discriminant $25$ et de racines $3$ et $-2$. Or $-2$ n'est pas dans le domaine : il est REJETÉ, et $S=\{3\}$. Vérification : $2\ln 3=\ln 9=\ln(3+6)$. Sans l'écriture du domaine, l'élève garde $-2$ et perd la question, alors que tout son calcul est juste.

c) Domaine : $x>1$. Puis $\ln(x-1)<2$ équivaut à $x-1<\mathrm{e}^{2}$, car l'exponentielle est croissante et conserve l'ordre. Donc $x<1+\mathrm{e}^{2}\approx 8{,}389$. On croise avec le domaine : $S=\left]1\,;1+\mathrm{e}^{2}\right[$. La borne $1$ ne vient pas du calcul, elle vient du domaine ; l'oublier donne $\left]-\infty\,;1+\mathrm{e}^{2}\right[$, qui contient $x=0$, pour lequel $\ln(-1)$ n'existe pas.

d) Ici l'inconnue auxiliaire est $X=\ln x$, et l'équation devient $X^{2}-X-6=0$ : le MÊME trinôme qu'en b), de racines $X=3$ et $X=-2$. Mais cette fois $X$ est un logarithme, et un logarithme peut être négatif : aucune racine n'est rejetée. $\ln x=3$ donne $x=\mathrm{e}^{3}\approx 20{,}086$ et $\ln x=-2$ donne $x=\mathrm{e}^{-2}\approx 0{,}135$, deux nombres positifs, donc dans le domaine $]0\,;+\infty[$. La comparaison est la leçon de l'exercice : on ne rejette pas une valeur parce qu'elle est négative, on la rejette si elle sort du domaine de l'INCONNUE. En b) l'inconnue $x$ devait être positive ; en d) l'inconnue $X$ peut prendre n'importe quelle valeur réelle.

e) On isole l'exponentielle : $\mathrm{e}^{-0{,}2x}<0{,}2$. On applique $\ln$, croissante, qui conserve le sens : $-0{,}2x<\ln 0{,}2$. On divise par $-0{,}2$, NÉGATIF, ce qui retourne l'inégalité : $x>\dfrac{\ln 0{,}2}{-0{,}2}=-5\ln 0{,}2=5\ln 5\approx 8{,}047$, puisque $\ln 0{,}2=-\ln 5$. Vérification : $3\,\mathrm{e}^{-0{,}2\times 9}\approx 0{,}496<0{,}6$ et $3\,\mathrm{e}^{-0{,}2\times 8}\approx 0{,}606>0{,}6$. Le sens de l'inégalité ne change jamais quand on applique $\ln$ ou $\exp$ ; il change quand on multiplie ou divise par un négatif.