Exercices corrigés : le logarithme népérien, réciproque de l'exponentielle (maths complémentaires)

$\ln\left(\mathrm{e}^{-4}\right)=-4$, puisque $\ln$ rend l'exposant. $\mathrm{e}^{\ln 9}=9$, puisque $\exp$ défait $\ln$ sur $]0\,;+\infty[$.

$\ln 12+\ln 5-\ln 15=\ln\frac{12\times 5}{15}=\ln\frac{60}{15}=\ln 4$, donc $d=4$. Piège : $\ln(12+5-15)=\ln 2$ ; le logarithme d'une somme n'est pas la somme des logarithmes.

$16=2^{4}$ et $8=2^{3}$, donc $\ln 16+\ln 8=4\ln 2+3\ln 2=7\ln 2$, et $k=7$. Autre chemin : $\ln(16\times 8)=\ln 128=\ln\left(2^{7}\right)$. Piège : multiplier les exposants, $4\times 3=12$.

$81=3^{4}$, donc $\ln\frac{1}{81}=-\ln 81=-\ln\left(3^{4}\right)=-4\ln 3$, et $k=-4$. Piège : $\frac{1}{4}\ln 3$, qui confond l'inverse du nombre avec l'inverse de l'exposant.

$\ln x=-0{,}5$ équivaut à $x=\mathrm{e}^{-0{,}5}\approx 0{,}607$, qui est bien strictement positif. Un logarithme négatif ne signale pas une impossibilité : il dit seulement que $x$ est compris entre $0$ et $1$.

On applique $\ln$ aux deux membres : $4x=\ln 20$, donc $x=\frac{\ln 20}{4}\approx 0{,}749$. Piège : $x=\ln\frac{20}{4}=\ln 5\approx 1{,}609$, le $4$ divisé sous le logarithme.

Condition d'existence : $1-2x>0$, soit $x<\frac{1}{2}$. Puis $\ln(1-2x)=1$ équivaut à $1-2x=\mathrm{e}$, donc $x=\frac{1-\mathrm{e}}{2}\approx-0{,}859$. Cette valeur vérifie $x<\frac{1}{2}$ : on la GARDE. Piège : la rejeter parce qu'elle est négative ; ce qui doit être positif, c'est $1-2x$, ici égal à $\mathrm{e}$, pas $x$ lui-même.

Condition d'existence : $x>0$. Puis $\ln x<-1$ équivaut à $x<\mathrm{e}^{-1}$, par croissance de $\exp$. L'ensemble des solutions est $\left]0\,;\mathrm{e}^{-1}\right[$, de borne $\mathrm{e}^{-1}=\frac{1}{\mathrm{e}}\approx 0{,}368$. Piège : $\left]-\infty\,;\mathrm{e}^{-1}\right[$, qui oublie que $\ln x$ n'existe que pour $x>0$.

On applique $\ln$, qui conserve le sens : $-0{,}5x>\ln 3$. On divise par $-0{,}5$, NÉGATIF, ce qui retourne l'inégalité : $x<\frac{\ln 3}{-0{,}5}=-2\ln 3\approx-2{,}197$. L'ensemble des solutions est $\left]-\infty\,;-2\ln 3\right[$. Contrôle : en $x=-4$, $\mathrm{e}^{2}\approx 7{,}39>3$ ; en $x=0$, $\mathrm{e}^{0}=1<3$.

$0{,}92^{n}<0{,}1$ équivaut à $n\ln 0{,}92<\ln 0{,}1$. Or $\ln 0{,}92<0$, donc en divisant, $n>\frac{\ln 0{,}1}{\ln 0{,}92}\approx 27{,}6$. Le plus petit entier est $n=28$. Vérification : $0{,}92^{27}\approx 0{,}105$ et $0{,}92^{28}\approx 0{,}097$. Piège : garder le sens et écrire $n<27{,}6$.

Chaque réponse se lit en revenant à la définition : $\ln a$ est l'exposant $b$ tel que $\mathrm{e}^{b}=a$. Comme $\mathrm{e}^{0}=1$, on a $\ln 1=0$ ; comme $\mathrm{e}^{1}=\mathrm{e}$, $\ln\mathrm{e}=1$ ; l'exposant qui donne $\mathrm{e}^{-3}$ est $-3$, donc $\ln\left(\mathrm{e}^{-3}\right)=-3$. Enfin $\ln 5$ est PAR DÉFINITION l'exposant qui donne $5$, donc $\mathrm{e}^{\ln 5}=5$. Les deux égalités à retenir, $\ln\left(\mathrm{e}^{b}\right)=b$ pour tout réel $b$ et $\mathrm{e}^{\ln a}=a$ pour tout $a>0$, disent la même chose : chacune des deux fonctions défait ce que fait l'autre. Attention à la seconde : elle exige $a>0$.

Le symétrique d'un point $(x\,;y)$ par rapport à la droite $y=x$ est le point $(y\,;x)$ : on échange les deux coordonnées. Donc $B'(\mathrm{e}^{2}\,;2)$, avec $\mathrm{e}^{2}\approx 7{,}389$. Ce point est sur la courbe de $\ln$ car $\ln\left(\mathrm{e}^{2}\right)=2$ : son ordonnée est bien le logarithme de son abscisse. C'est la raison géométrique de la symétrie des deux courbes : dire que $(a\,;b)$ est sur la courbe de l'exponentielle, c'est dire $b=\mathrm{e}^{a}$, c'est-à-dire $a=\ln b$, c'est-à-dire que $(b\,;a)$ est sur la courbe de $\ln$. Sur la figure, le segment $[AA']$ est perpendiculaire à $\Delta$ et coupé en son milieu par elle. Pour que cette symétrie se VOIE, il faut un repère orthonormé ; dans un repère aux unités inégales, les deux courbes ne paraissent plus symétriques.

$\mathrm{e}^{x}=12$ a pour unique solution l'exposant qui donne $12$ : $x=\ln 12\approx 2{,}485$. L'équation $\ln x=1{,}5$ se lit dans l'autre sens : $x$ est le nombre dont l'exposant est $1{,}5$, donc $x=\mathrm{e}^{1{,}5}\approx 4{,}482$, et ce nombre est bien positif, donc dans le domaine de $\ln$. Vérification par substitution : $\mathrm{e}^{2{,}485}\approx 12{,}00$ et $\ln 4{,}482\approx 1{,}500$. L'erreur classique est de répondre $x=\ln 1{,}5$ à la seconde équation : on a alors appliqué $\ln$ au lieu de l'exponentielle, c'est-à-dire refait l'opération au lieu de la défaire.

La fonction exponentielle est strictement croissante et vaut $1$ en $0$. Pour $x>0$, posons $b=\ln x$, de sorte que $x=\mathrm{e}^{b}$. Alors $b<0$ équivaut à $\mathrm{e}^{b}<\mathrm{e}^{0}$, c'est-à-dire $x<1$. Donc $\ln x<0$ exactement sur $]0\,;1[$, $\ln 1=0$ et $\ln x>0$ sur $]1\,;+\infty[$. Quant à $\ln(-4)$, il faudrait un exposant $b$ avec $\mathrm{e}^{b}=-4$ ; or une exponentielle est toujours strictement positive, donc ce nombre n'existe pas. Graphiquement, la courbe de l'exponentielle reste au-dessus de l'axe des abscisses, donc sa symétrique reste à droite de l'axe des ordonnées : la courbe de $\ln$ n'a aucun point d'abscisse négative ou nulle. C'est LA condition à écrire avant toute équation : ce qui est sous le $\ln$ doit être strictement positif.

Première façon, avec la propriété de l'exponentielle : $\mathrm{e}^{\ln a+\ln b}=\mathrm{e}^{\ln a}\times\mathrm{e}^{\ln b}=a\times b$, car $\mathrm{e}^{\ln a}=a$ et $\mathrm{e}^{\ln b}=b$, ce qui est permis puisque $a>0$ et $b>0$. Seconde façon : $ab>0$, donc $\mathrm{e}^{\ln(ab)}=ab$. Les deux nombres $\ln a+\ln b$ et $\ln(ab)$ ont donc la même exponentielle. Or l'exponentielle est strictement croissante, donc deux exposants différents donnent deux valeurs différentes : les deux exposants sont égaux, $\ln(ab)=\ln a+\ln b$. Toute la démonstration tient en une idée : la règle de $\ln$ est la règle $\mathrm{e}^{x+y}=\mathrm{e}^{x}\mathrm{e}^{y}$ lue à l'envers. Une somme d'exposants correspond à un produit, donc le logarithme d'un produit est une somme.

On applique a) avec $b=\dfrac{1}{a}$, qui est bien strictement positif : $\ln a+\ln\dfrac{1}{a}=\ln\left(a\times\dfrac{1}{a}\right)=\ln 1=0$, donc $\ln\dfrac{1}{a}=-\ln a$. Puis $\dfrac{a}{b}=a\times\dfrac{1}{b}$, donc $\ln\dfrac{a}{b}=\ln a+\ln\dfrac{1}{b}=\ln a-\ln b$. Application : $\ln\dfrac{1}{5}=-\ln 5\approx -1{,}6094$. Retenez l'enchaînement : on ne démontre qu'UNE règle, celle du produit ; l'inverse et le quotient en sont des conséquences immédiates. Un logarithme négatif n'a rien d'anormal : c'est le logarithme d'un nombre compris entre $0$ et $1$.

On décompose chaque nombre en produits et quotients de $2$ et de $5$. $10=2\times 5$, donc $\ln 10=\ln 2+\ln 5\approx 0{,}6931+1{,}6094=2{,}3025$. $0{,}4=\dfrac{2}{5}$, donc $\ln 0{,}4=\ln 2-\ln 5\approx 0{,}6931-1{,}6094=-0{,}9163$. $250=2\times 5^{3}$, donc $\ln 250=\ln 2+3\ln 5\approx 0{,}6931+4{,}8282=5{,}5213$. La calculatrice donne $\ln 10\approx 2{,}302585$, arrondi à $2{,}3026$ : l'écart d'un dix-millième vient des arrondis des deux valeurs de départ, qui s'additionnent. Multiplier $\ln 5$ par $3$ multiplie aussi son erreur d'arrondi par $3$, c'est pourquoi $\ln 250$ est la moins précise des trois.

Avec $a=b$, la règle a) donne $\ln\left(a^{2}\right)=\ln a+\ln a=2\ln a$. Puis $\ln\left(a^{3}\right)=\ln\left(a^{2}\times a\right)=2\ln a+\ln a=3\ln a$, et de proche en proche, chaque facteur $a$ supplémentaire ajoute $\ln a$ : $\ln\left(a^{n}\right)=n\ln a$. Pour la racine, $a=\sqrt{a}\times\sqrt{a}$, donc $\ln a=2\ln\sqrt{a}$ et $\ln\sqrt{a}=\dfrac{1}{2}\ln a$. Application : $20=2^{2}\times 5$, donc $\ln 20=2\ln 2+\ln 5\approx 2{,}9956$ et $\ln\sqrt{20}\approx 1{,}4978$. Ces règles valent parce que $a>0$ ; l'exposant $n$, lui, peut être n'importe quel entier, et c'est lui qui descend devant le logarithme, jamais le contraire.

La courbe atteint la hauteur $3$ vers $x=20$. Le calcul le confirme : $\ln x=3$ équivaut à $x=\mathrm{e}^{3}\approx 20{,}09$. Il a fallu aller jusqu'à $20$ pour gagner $3$ unités de hauteur ; pour atteindre $4$, il faudrait aller jusqu'à $\mathrm{e}^{4}\approx 54{,}6$. C'est l'image à garder : la courbe de $\ln$ monte toujours, mais de plus en plus lentement.

$\ln$ est strictement croissante, donc $\ln x>10$ équivaut à $x>\mathrm{e}^{10}\approx 22\,026$. Le même raisonnement vaut pour n'importe quel réel $A$ : $\ln x>A$ dès que $x>\mathrm{e}^{A}$. Aussi grand que soit $A$, il existe un seuil au-delà duquel $\ln x$ le dépasse, et le reste : c'est exactement la définition de $\lim\limits_{x\to+\infty}\ln x=+\infty$. Le seuil est énorme, mais il existe. L'erreur à ne pas commettre est de croire qu'une courbe qui s'aplatit se stabilise : la pente $\dfrac{1}{x}$ tend vers $0$, pas la fonction vers une valeur finie.

$\ln x<-20$ équivaut, pour $x>0$, à $x<\mathrm{e}^{-20}\approx 2{,}06\times 10^{-9}$ : $S=\left]0\,;\mathrm{e}^{-20}\right[$. Sans la condition $x>0$, on écrirait un intervalle faux qui contient des nombres négatifs. Pour tout réel $B$, $\ln x<B$ dès que $0<x<\mathrm{e}^{B}$ : quand $x$ s'approche de $0$ par la droite, $\ln x$ descend sous toute valeur, donc $\lim\limits_{x\to 0^{+}}\ln x=-\infty$. La droite d'équation $x=0$, l'axe des ordonnées, est asymptote verticale à la courbe. C'est la symétrique de l'asymptote horizontale $y=0$ de l'exponentielle en $-\infty$ : l'échange des coordonnées échange aussi les asymptotes.

Quand $x\to 0^{+}$, $\ln x\to-\infty$, donc $-3\ln x\to+\infty$ (on multiplie par un nombre NÉGATIF, ce qui retourne le signe de l'infini) et $f(x)\to+\infty$. Quand $x\to+\infty$, $\ln x\to+\infty$, donc $-3\ln x\to-\infty$ et $f(x)\to-\infty$. Vérification numérique : $f\left(\mathrm{e}^{-10}\right)=4+30=34$ et $f\left(\mathrm{e}^{10}\right)=4-30=-26$. Le coefficient $-3$ fait de $f$ une fonction décroissante, dont la courbe est celle de $\ln$ retournée et étirée.

Quand $x\to+\infty$, $\ln x\to+\infty$, donc $g(x)=\dfrac{1}{\ln x}\to 0$ : la droite $y=0$ est asymptote horizontale en $+\infty$. Quand $x\to 1$ avec $x>1$, $\ln x$ tend vers $\ln 1=0$ en restant POSITIF, puisque $\ln x>0$ sur $]1\,;+\infty[$ ; l'inverse d'un nombre positif qui tend vers $0$ tend vers $+\infty$, donc $\lim\limits_{x\to 1^{+}}g(x)=+\infty$ et la droite $x=1$ est asymptote verticale. Écrire « $\frac{1}{0}$ » ne suffit pas : c'est le signe du dénominateur qui décide entre $+\infty$ et $-\infty$, et il se lit sur le signe de $\ln$ établi à l'exercice 1.

Pour tout $x>0$, $\mathrm{e}^{\ln x}=x$. Les deux membres sont des fonctions de $x$ égales, donc leurs dérivées sont égales. À gauche, avec $v=\ln$ : la dérivée est $\ln'(x)\,\mathrm{e}^{\ln x}=\ln'(x)\times x$. À droite, la dérivée de $x$ est $1$. Donc $x\,\ln'(x)=1$, et comme $x\neq 0$, $\ln'(x)=\dfrac{1}{x}$. En particulier $\ln'(4)=\dfrac{1}{4}=0{,}25$. On voit au passage pourquoi $\ln$ est croissante : sa dérivée est positive sur tout son domaine. Et pourquoi elle monte de plus en plus lentement : sa pente $\dfrac{1}{x}$ diminue quand $x$ grandit.