Logarithme népérien maths complémentaires : fiche de révision

Q: Pourquoi le logarithme népérien n'est-il pas défini pour les nombres négatifs ?

Parce que ln de a est l'exposant qu'il faut donner à e pour obtenir a, et qu'une puissance de e est toujours strictement positive. Aucun exposant ne donne un résultat négatif ou nul, donc ln de moins quatre ou ln de zéro n'existent pas. En revanche, ln de x peut lui-même être négatif : c'est le cas pour tout x compris entre zéro et un.

Q: Comment démontrer que ln de ab égale ln a plus ln b ?

On calcule e puissance ln a plus ln b de deux façons. Par la propriété de l'exponentielle, c'est e puissance ln a fois e puissance ln b, donc a fois b. Par définition, c'est aussi e puissance ln de ab. Deux exposants qui donnent la même exponentielle sont égaux, car l'exponentielle est strictement croissante : ln de ab égale ln a plus ln b.

Q: Quand faut-il changer le sens d'une inégalité avec un logarithme ?

Jamais quand on applique ln ou l'exponentielle aux deux membres, car ces fonctions sont croissantes. Seulement quand on multiplie ou divise par un nombre négatif. Le cas qui piège est la division par ln q avec q plus petit que un : ln q est alors négatif, et l'inégalité change de sens. Donnez toujours le signe de ln q avant de diviser.

Q: Comment calculer la dérivée de ln de u ?

On vérifie d'abord que u est strictement positive sur l'intervalle étudié, puis on écrit la dérivée de u divisée par u. Par exemple, la dérivée de ln de cinq x moins deux est cinq sur cinq x moins deux. L'oubli le plus fréquent est celui de la dérivée de u au numérateur, qui fausse ensuite tout le tableau de variation.

Le fil du chapitre

$\ln a$ est un EXPOSANT : le nombre $b$ tel que $\mathrm{e}^{b}=a$ . Chaque règle du logarithme est une règle de l'exponentielle lue à l'envers, et elle ne vaut que pour des nombres strictement positifs : presque toutes les erreurs du chapitre sont une règle relue de travers ou un domaine oublié.

Notions couvertes

Logarithme népérien
Fonction réciproque
Relation fonctionnelle du logarithme
Limites de la fonction logarithme
Asymptote verticale
Dérivée de ln u
Équation avec logarithme
Inéquation avec logarithme
Recherche de seuil
Algorithme de Briggs

L'essentiel

Un logarithme est un exposant

• Pour $a>0$ , $\ln a$ est l'unique réel $b$ tel que $\mathrm{e}^{b}=a$ . Donc $\mathrm{e}^{\ln a}=a$ pour $a>0$ , et $\ln\left(\mathrm{e}^{b}\right)=b$ pour tout réel $b$ .
• $\ln x$ n'existe que pour $x>0$ , car une exponentielle est toujours strictement positive. Mais $\ln x$ lui-même peut être négatif : $\ln x<0$ sur $]0\,;1[$ , $\ln 1=0$ , $\ln x>0$ sur $]1\,;+\infty[$ .
• Résoudre $\ln x=k$ , c'est DÉFAIRE le logarithme : $x=\mathrm{e}^{k}$ . Résoudre $\mathrm{e}^{x}=k$ avec $k>0$ , c'est défaire l'exponentielle : $x=\ln k$ .
• Les deux courbes sont symétriques par rapport à la droite $y=x$ : le point $(a\,;b)$ est sur l'une si et seulement si $(b\,;a)$ est sur l'autre. L'asymptote horizontale $y=0$ de $\exp$ devient l'asymptote verticale $x=0$ de $\ln$ .

Chaque point de la courbe de

\exp

a son jumeau sur celle de

\ln

, coordonnées échangées :

(0\,;1)

(1\,;0)

\left(-1\,;\mathrm{e}^{-1}\right)

\left(\mathrm{e}^{-1}\,;-1\right)

En cas de doute sur une règle, écrire $a=\mathrm{e}^{\ln a}$ et raisonner sur les exposants : c'est la démonstration que le correcteur attend quand l'énoncé dit « démontrer ».

Limites et dérivées, tirées de l'exponentielle

• $\lim\limits_{x\to+\infty}\ln x=+\infty$ , car $\ln x>A$ dès que $x>\mathrm{e}^{A}$ ; $\lim\limits_{x\to 0^{+}}\ln x=-\infty$ , d'où l'asymptote verticale $x=0$ . Pas d'asymptote horizontale.
• $\ln'(x)=\frac{1}{x}$ sur $]0\,;+\infty[$ , obtenu en dérivant $\mathrm{e}^{\ln x}=x$ . Si $u$ est dérivable et strictement positive, $(\ln u)'=\frac{u'}{u}$ .
• $\ln$ est strictement croissante : $\ln A<\ln B\iff A<B$ pour $A,B>0$ . Appliquer $\ln$ ou $\exp$ ne change JAMAIS le sens d'une inégalité.

La pente de

\ln

x

vaut

\frac{1}{x}

2

\frac{1}{2}

1

1

\frac{1}{4}

4

. Elle diminue sans jamais s'annuler : la courbe monte toujours, de plus en plus lentement.

Les règles de calcul en tableau

Chaque ligne se lit de gauche à droite : les hypothèses, puis le résultat. Une case rouge n'est pas une réponse, c'est le constat que la forme ne décide rien et l'ordre de transformer l'écriture. Chaque cas est suivi d'un exemple chiffré.

Les règles qui existent, et celles qui n'existent pas

Toutes les règles vraies viennent de $\mathrm{e}^{x+y}=\mathrm{e}^{x}\mathrm{e}^{y}$ , et toutes demandent des nombres strictement positifs. Les deux cases rouges sont des règles inventées par les copies : elles ne sont pas des réponses, elles sont l'ordre de revenir à la définition.

Écriture	Condition	Se transforme en
$\ln(ab)$	$a>0$ , $b>0$	$\ln a+\ln b$
Exemple : $\ln 6=\ln 2+\ln 3\approx 0{,}693+1{,}099=1{,}792$
$\ln\frac{a}{b}$	$a>0$ , $b>0$	$\ln a-\ln b$
Exemple : $\ln 1{,}5=\ln 3-\ln 2\approx 0{,}405$
$\ln\left(a^{n}\right)$	$a>0$	$n\ln a$
Exemple : $\ln 32=5\ln 2\approx 3{,}466$
$\ln(a+b)$	aucune	ne se décompose pas règle inexistante
Exemple : $\ln 5\approx 1{,}609$ contre $\ln 2+\ln 3\approx 1{,}792$ . Ce qu'il faut faire : Calculer la somme d'abord, puis son logarithme ; ou factoriser pour faire apparaître un produit.
$\frac{\ln a}{\ln b}$	aucune	n'est pas $\ln\frac{a}{b}$ règle inexistante
Exemple : $\frac{\ln 9}{\ln 3}=2$ contre $\ln 3\approx 1{,}099$ . Ce qu'il faut faire : Lire $\frac{\ln a}{\ln b}$ comme l'exposant $n$ tel que $b^{n}=a$ : c'est le nombre d'un seuil.

Le logarithme d'un produit est une somme, le logarithme d'une puissance fait descendre l'exposant. Rien ne transforme une somme ni un quotient de logarithmes.

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Garder une solution qui sort du domaine

1 point, souvent la moitié de la question

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $2\ln x=\ln(3x+10)$ donne $x^{2}=3x+10$ , donc $x=5$ ou $x=-2$ . »

Ce qu'il faut écrire

« Domaine : $x>0$ . […] $x=5$ ou $x=-2$ ; $-2$ est rejeté car $\ln(-2)$ n'existe pas. $S=\{5\}$ . »

2\ln x

(bleu) n'existe que pour

x>0

et ne rencontre

\ln(3x+10)

(orange) qu'en

5

. La valeur

-2

(rouge) vient de la branche gauche de

\ln(x^{2})

, apparue en transformant l'équation.

Pourquoi : Passer de $2\ln x$ à $\ln\left(x^{2}\right)$ agrandit le domaine : $x^{2}$ existe pour $x$ négatif, $\ln x$ non. Le domaine s'écrit AVANT de transformer, et se relit à la fin.

2. Rejeter une valeur négative de ln x

1 point, une solution sur deux

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $(\ln x)^{2}+\ln x-2=0$ : $X=1$ ou $X=-2$ , et je rejette $-2$ car il est négatif. »

Ce qu'il faut écrire

« $\ln x=1$ ou $\ln x=-2$ , donc $x=\mathrm{e}$ ou $x=\mathrm{e}^{-2}\approx 0{,}135$ ; les deux sont positifs, aucune n'est rejetée. »

Les droites

y=1

y=-2

coupent toutes deux la courbe de

\ln

x=\mathrm{e}

x=\mathrm{e}^{-2}

sont positifs. C'est

x

qui doit être positif, pas

\ln x

Pourquoi : C'est le piège jumeau du précédent : le domaine porte sur ce qui est SOUS le logarithme, jamais sur le logarithme lui-même, qui prend toutes les valeurs réelles.

3. Confondre un produit et une puissance sous le logarithme

toute la question

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\ln(2x)=2\ln x$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $\ln(2x)=\ln 2+\ln x$ ; c'est $\ln\left(x^{2}\right)$ qui vaut $2\ln x$ , pour $x>0$ . »

\ln(2x)

(vert) est la courbe de

\ln x

montée de

\ln 2

;

2\ln x

(rouge) l'étire deux fois en hauteur. En

3

\ln 6\approx 1{,}792

contre

2\ln 3\approx 2{,}197

Pourquoi : Avec $x=3$ : $\ln 6\approx 1{,}792$ alors que $2\ln 3=\ln 9\approx 2{,}197$ . Le facteur $2$ d'un produit devient un TERME $\ln 2$ ; seul un EXPOSANT descend devant.

4. Dériver ln u sans dériver u

1 point, et tout le tableau de variation qui suit

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\left(\ln(5x-2)\right)'=\dfrac{1}{5x-2}$ . »

Ce qu'il faut écrire

« Avec $u(x)=5x-2>0$ et $u'(x)=5$ : $\left(\ln u\right)'=\dfrac{u'}{u}=\dfrac{5}{5x-2}$ . »

La tangente en

1

à la courbe de

\ln(5x-2)

a pour pente

\frac{5}{3}

(vert). La droite de pente

\frac{1}{3}

(rouge), tirée de la dérivée fausse, ne colle pas à la courbe.

Pourquoi : En $1$ , la bonne dérivée vaut $\frac{5}{3}\approx 1{,}667$ , la fausse $\frac{1}{3}$ : un facteur $5$ d'écart. Nommer $u$ et $u'$ par écrit avant de dériver suffit à l'éviter.

5. Refaire le logarithme au lieu de le défaire

toute la question

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\ln x=2$ , donc $x=\ln 2\approx 0{,}693$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $\ln x=2$ équivaut à $x=\mathrm{e}^{2}\approx 7{,}389$ . »

La droite

y=2

coupe la courbe en

x=\mathrm{e}^{2}\approx 7{,}39

(vert). En

x=\ln 2\approx 0{,}69

(rouge), la courbe est à

-0{,}37

, loin de

2

Pourquoi : Pour isoler $x$ , on applique la fonction qui DÉFAIT $\ln$ , c'est-à-dire l'exponentielle. Contrôle immédiat : $\ln 0{,}693\approx -0{,}37$ , pas $2$ .

6. Arrondir un seuil du mauvais côté

0,5 point, et le point entier si le sens n'a pas été retourné

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $0{,}9^{n}<0{,}1$ donne $n>\dfrac{\ln 0{,}1}{\ln 0{,}9}\approx 21{,}85$ , donc $n=21$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $n>21{,}85$ , et $n$ est entier : le plus petit rang est $n=22$ . Contrôle : $0{,}9^{21}\approx 0{,}109$ et $0{,}9^{22}\approx 0{,}098$ . »

La borne

21{,}85

n'est pas un rang : en

n=21

(rouge),

0{,}9^{21}\approx 0{,}109

est encore au-dessus de

0{,}1

; le premier rang sous la droite est

n=22

(vert).

Pourquoi : Le seuil est le premier ENTIER qui dépasse la borne, jamais l'arrondi de la borne. Et comme $\ln 0{,}9<0$ , la division a retourné l'inégalité : sans ce retournement, on écrit $n<21{,}85$ , absurde pour une quantité qui décroît.

7. Prendre une courbe qui s'aplatit pour une courbe bornée

1 point sur la limite, et l'allure de la courbe fausse

Ce qu'il ne faut pas écrire

« La pente $\frac{1}{x}$ de $\ln$ tend vers $0$ , donc $\ln$ a une asymptote horizontale. »

Ce qu'il faut écrire

« $\ln x>A$ dès que $x>\mathrm{e}^{A}$ : $\lim\limits_{x\to+\infty}\ln x=+\infty$ , sans asymptote horizontale. »

Les deux courbes s'aplatissent. Celle de

3-\frac{3}{x}

reste sous

y=3

; celle de

\ln

la traverse en

x=\mathrm{e}^{3}\approx 20{,}1

et continue de monter.

Pourquoi : Une pente qui tend vers $0$ ralentit la montée sans l'arrêter. Il faut dépasser $\mathrm{e}^{3}\approx 20{,}1$ pour atteindre $3$ , mais on l'atteint, puis on dépasse tout.

8. Conclure « 1 sur 0 égale plus l'infini » sans le signe

1 point par côté

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\ln x\to 0$ quand $x\to 1$ , donc $\dfrac{1}{\ln x}\to+\infty$ . »

Ce qu'il faut écrire

« Si $x\to 1^{+}$ , $\ln x\to 0^{+}$ et $\dfrac{1}{\ln x}\to+\infty$ ; si $x\to 1^{-}$ , $\ln x\to 0^{-}$ et $\dfrac{1}{\ln x}\to-\infty$ . »

De part et d'autre de la droite

x=1

, la courbe de

\frac{1}{\ln x}

part dans deux directions opposées, parce que

\ln x

y change de signe.

Pourquoi : Le signe de $\ln$ change en $1$ : c'est lui, lu sur $]0\,;1[$ et $]1\,;+\infty[$ , qui décide entre $+\infty$ et $-\infty$ . « $\frac{1}{0}$ » n'est pas une réponse.

Quelle méthode choisir

Quelle méthode selon la forme de l'équation

Regardez où est l'inconnue, et ce qui l'entoure.

Si forme $\ln(u)=k$ → défaire le logarithme : $u=\mathrm{e}^{k}$ , puis le domaine $u>0$

Exemple : $\ln(4x-1)=1$ donne $x=\frac{\mathrm{e}+1}{4}\approx 0{,}930$
Si forme $\ln u=\ln v$ → $u=v$ , en écrivant d'abord $u>0$ ET $v>0$

Exemple : $\ln(x+4)=\ln(3x)$ donne $x=2$ , qui vérifie $x>0$
Si plusieurs logarithmes d'un même côté → les regrouper en un seul par $\ln a+\ln b=\ln(ab)$ , puis la branche précédente

Exemple : $\ln x+\ln 2=\ln 10$ donne $2x=10$ , $x=5$
Si $\ln x$ au carré, ou $\ln x$ en plusieurs endroits → poser $X=\ln x$ , résoudre en $X$ sans rien rejeter, puis $x=\mathrm{e}^{X}$

Exemple : $(\ln x)^{2}=4$ donne $x=\mathrm{e}^{2}$ ou $x=\mathrm{e}^{-2}$
Si inconnue en exposant, $q^{n}$ ou $\mathrm{e}^{ax}$ → appliquer $\ln$ aux deux membres positifs, puis diviser en surveillant le signe

Exemple : $1{,}2^{n}>5$ donne $n>\frac{\ln 5}{\ln 1{,}2}\approx 8{,}83$ , donc $n\geq 9$

Si aucune branche ne s'applique, par exemple $\ln x=2-x$ , la résolution exacte est hors de portée : on encadre la solution par balayage ou par dichotomie, après avoir justifié son existence par le tableau de variation.

Quelle dérivée selon la forme de la fonction

Repérez ce qui est sous le logarithme avant de dériver.

Si $\ln x$ seul, multiplié par une constante → $(k\ln x)'=\frac{k}{x}$

Exemple : $(3\ln x)'=\frac{3}{x}$ , qui vaut $1{,}5$ en $2$
Si $\ln$ d'une expression $u(x)$ → $(\ln u)'=\frac{u'}{u}$ , après avoir vérifié $u>0$

Exemple : $\left(\ln\left(x^{2}+1\right)\right)'=\frac{2x}{x^{2}+1}$
Si $\ln$ d'un produit ou d'un quotient → développer d'abord avec la relation fonctionnelle, puis dériver chaque terme

Exemple : $\ln\frac{x}{x+1}=\ln x-\ln(x+1)$ , de dérivée $\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}$

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Résoudre une équation qui contient des logarithmes

Quand l'utiliser : L'énoncé dit « résoudre » et l'inconnue est sous un ln.

1 Écrire le domaine : chaque expression sous un $\ln$ est strictement positive, et l'on résout ces conditions.
2 Regrouper les logarithmes par la relation fonctionnelle, valable sur ce domaine.
3 Passer à l'égalité des nombres, « $\ln$ étant strictement croissante, $\ln A=\ln B\iff A=B$ ».
4 Résoudre l'équation obtenue sans logarithme.
5 Confronter chaque valeur au domaine, et rejeter par écrit celles qui en sortent.

Phrase de conclusion

« Sur le domaine $D$ , l'équation équivaut à … ; la valeur … est rejetée car elle n'appartient pas à $D$ . L'ensemble des solutions est $S=\{…\}$ . »

Le piège : La cinquième étape : une valeur trouvée n'est pas une solution tant qu'elle n'a pas été confrontée au domaine.

Barème : Domaine 1 point, résolution 1 point, rejet justifié 1 point, sur 3 en général.

Déterminer un seuil par le logarithme

Quand l'utiliser : L'énoncé demande « à partir de quel rang » une quantité $A\,q^{n}$ dépasse ou passe sous une valeur.

1 Isoler $q^{n}$ en divisant par $A>0$ .
2 Appliquer $\ln$ , « qui est strictement croissante et conserve l'ordre », puis écrire $\ln\left(q^{n}\right)=n\ln q$ .
3 Donner le signe de $\ln q$ AVANT de diviser : négatif si $0<q<1$ , et alors l'inégalité change de sens.
4 Prendre le premier entier au-delà de la borne, puis contrôler par le calcul des deux rangs voisins.

Phrase de conclusion

« Comme $0<q<1$ , $\ln q<0$ , donc $n>\dfrac{\ln k}{\ln q}\approx …$ ; le plus petit entier qui convient est $n=…$ . »

Le piège : Oublier que $\ln q$ est négatif quand $q<1$ , et garder le sens de départ.

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

Réinjecter la solution

Calculer les deux membres de l'équation de départ avec la valeur trouvée, à la calculatrice.

Pour $2\ln x=\ln(3x+10)$ : avec $x=5$ , $2\ln 5\approx 3{,}219$ et $\ln 25\approx 3{,}219$ ; avec $x=-2$ , la calculatrice affiche une erreur, et c'est la réponse.
Le signe de ln q avant de diviser

Regarder si $q$ est plus petit que $1$ . Si oui, $\ln q<0$ et le sens change.

Une quantité qui décroît ( $q<1$ ) passe SOUS un seuil pour tous les grands rangs : une réponse « $n<21$ » trahit un sens oublié.
Défaire, pas refaire

Après avoir résolu $\ln x=k$ , calculer $\ln$ de la réponse : on doit retrouver $k$ .

$\ln\left(\mathrm{e}^{2}\right)=2$ confirme $x=\mathrm{e}^{2}$ ; $\ln(\ln 2)\approx -0{,}37$ dénonce $x=\ln 2$ .
Une dérivée se contrôle en un point

Calculer $\frac{f(a+0{,}001)-f(a)}{0{,}001}$ et comparer à $f'(a)$ .

Pour $\ln(5x-2)$ en $1$ , le taux vaut environ $1{,}67$ : c'est $\frac{5}{3}$ , pas $\frac{1}{3}$ .

L'exercice type décortiqué

Résoudre $\ln(x+3)+\ln(x-1)=\ln(2x+9)$

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $\ln(x+3)+\ln(x-1)=\ln(2x+9)$ . Donner les solutions sous forme exacte, puis au millième.

Étape 1

Domaine : $x+3>0$ , $x-1>0$ et $2x+9>0$ , soit $x>-3$ , $x>1$ et $x>-4{,}5$ . Donc $D=]1\,;+\infty[$ .

Pourquoi

C'est la condition la plus forte qui compte ; ce domaine servira à trier les valeurs à la fin, il rapporte le premier point.

Étape 2

Sur $D$ , $\ln(x+3)+\ln(x-1)=\ln\left((x+3)(x-1)\right)$ , donc l'équation devient $\ln\left(x^{2}+2x-3\right)=\ln(2x+9)$ .

Pourquoi

On regroupe pour se ramener à la forme $\ln A=\ln B$ . La règle du produit n'est valable que parce que les deux facteurs sont positifs sur $D$ .

Étape 3

$\ln$ étant strictement croissante, $x^{2}+2x-3=2x+9$ , soit $x^{2}=12$ .

Pourquoi

On ne « simplifie » pas les ln : on invoque la stricte croissance, que le correcteur veut lire.

Étape 4

$x=2\sqrt{3}\approx 3{,}464$ ou $x=-2\sqrt{3}\approx -3{,}464$ .

Pourquoi

L'équation sans logarithme a deux solutions ; l'équation de départ n'en a peut-être qu'une.

Étape 5

$-2\sqrt{3}\notin D$ : rejeté. $2\sqrt{3}>1$ : conservé.

Pourquoi

Le tri se fait contre le domaine écrit à l'étape 1, pas contre le signe : c'est le point que la moitié des copies perd.

Étape 6

Vérification : $\ln(6{,}464)+\ln(2{,}464)\approx 1{,}866+0{,}902=2{,}768$ et $\ln(15{,}928)\approx 2{,}768$ .

Pourquoi

La substitution confirme la valeur gardée et coûte trente secondes.

Conclusion rédigée

« Sur $D=]1\,;+\infty[$ , l'équation équivaut à $x^{2}=12$ ; la valeur $-2\sqrt{3}$ est rejetée. $S=\left\{2\sqrt{3}\right\}$ , avec $2\sqrt{3}\approx 3{,}464$ . »

L'erreur classique sur cet exercice : Garder $-2\sqrt{3}$ parce que $x^{2}=12$ a deux solutions, ou écrire le domaine $x>-3$ en ne regardant que le premier logarithme.

À savoir par cœur

• $\ln a$ est l'exposant $b$ tel que $\mathrm{e}^{b}=a$ ; il n'existe que pour $a>0$ , et il est négatif sur $]0\,;1[$ .
• $\ln(ab)=\ln a+\ln b$ , $\ln\frac{1}{a}=-\ln a$ , $\ln\frac{a}{b}=\ln a-\ln b$ , $\ln\left(a^{n}\right)=n\ln a$ , pour $a,b>0$ .
• AUCUNE règle pour $\ln(a+b)$ ni pour $\frac{\ln a}{\ln b}$ .
• $\lim\limits_{x\to+\infty}\ln x=+\infty$ , $\lim\limits_{x\to 0^{+}}\ln x=-\infty$ ; asymptote verticale $x=0$ SEULEMENT.
• $\ln'(x)=\frac{1}{x}$ et $(\ln u)'=\frac{u'}{u}$ pour $u>0$ .
• Le domaine s'écrit AVANT de transformer, et se relit À LA FIN.
• $q^{n}<k\iff n\ln q<\ln k$ ; si $q<1$ , $\ln q<0$ et le sens CHANGE à la division.

Questions fréquentes

Pourquoi le logarithme népérien n'est-il pas défini pour les nombres négatifs ?

Parce que ln de a est l'exposant qu'il faut donner à e pour obtenir a, et qu'une puissance de e est toujours strictement positive. Aucun exposant ne donne un résultat négatif ou nul, donc ln de moins quatre ou ln de zéro n'existent pas. En revanche, ln de x peut lui-même être négatif : c'est le cas pour tout x compris entre zéro et un.

Comment démontrer que ln de ab égale ln a plus ln b ?

On calcule e puissance ln a plus ln b de deux façons. Par la propriété de l'exponentielle, c'est e puissance ln a fois e puissance ln b, donc a fois b. Par définition, c'est aussi e puissance ln de ab. Deux exposants qui donnent la même exponentielle sont égaux, car l'exponentielle est strictement croissante : ln de ab égale ln a plus ln b.

Quand faut-il changer le sens d'une inégalité avec un logarithme ?

Jamais quand on applique ln ou l'exponentielle aux deux membres, car ces fonctions sont croissantes. Seulement quand on multiplie ou divise par un nombre négatif. Le cas qui piège est la division par ln q avec q plus petit que un : ln q est alors négatif, et l'inégalité change de sens. Donnez toujours le signe de ln q avant de diviser.

Comment calculer la dérivée de ln de u ?

On vérifie d'abord que u est strictement positive sur l'intervalle étudié, puis on écrit la dérivée de u divisée par u. Par exemple, la dérivée de ln de cinq x moins deux est cinq sur cinq x moins deux. L'oubli le plus fréquent est celui de la dérivée de u au numérateur, qui fausse ensuite tout le tableau de variation.

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Exercices corrigés : Le logarithme népérien, réciproque de l'exponentielle

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

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© Ahmed Squalli Houssaini. Fiche publiée sur www.letuteurscientifique.ca/fiches/complementaires-logarithme-neperien. Libre pour l'usage personnel et en classe ; sa republication ailleurs demande une autorisation écrite (mentions légales).

Voir aussi

Toutes les fiches Tous les exercices Fiche : fonctions et modèles d'évolution Maths complémentaires Tuteur Terminale

Fiche de révision : le logarithme népérien, réciproque de l'exponentielle (maths complémentaires)

L'essentiel

Un logarithme est un exposant

Limites et dérivées, tirées de l'exponentielle

Les règles de calcul en tableau

Les règles qui existent, et celles qui n'existent pas

Les pièges qui coûtent des points

1. Garder une solution qui sort du domaine

2. Rejeter une valeur négative de ln x

3. Confondre un produit et une puissance sous le logarithme

4. Dériver ln u sans dériver u

5. Refaire le logarithme au lieu de le défaire

6. Arrondir un seuil du mauvais côté

7. Prendre une courbe qui s'aplatit pour une courbe bornée

8. Conclure « 1 sur 0 égale plus l'infini » sans le signe

Quelle méthode choisir

Quelle méthode selon la forme de l'équation

Quelle dérivée selon la forme de la fonction

La rédaction attendue

Résoudre une équation qui contient des logarithmes

Déterminer un seuil par le logarithme

Vérifier avant de rendre

L'exercice type décortiqué

Résoudre $\ln(x+3)+\ln(x-1)=\ln(2x+9)$

À savoir par cœur

Questions fréquentes

Pourquoi le logarithme népérien n'est-il pas défini pour les nombres négatifs ?

Comment démontrer que ln de ab égale ln a plus ln b ?

Quand faut-il changer le sens d'une inégalité avec un logarithme ?

Comment calculer la dérivée de ln de u ?

Exercices corrigés : Le logarithme népérien, réciproque de l'exponentielle

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Fiche de révision : le logarithme népérien, réciproque de l'exponentielle (maths complémentaires)

L'essentiel

Un logarithme est un exposant

Limites et dérivées, tirées de l'exponentielle

Les règles de calcul en tableau

Les règles qui existent, et celles qui n'existent pas

Les pièges qui coûtent des points

1. Garder une solution qui sort du domaine

2. Rejeter une valeur négative de ln x

3. Confondre un produit et une puissance sous le logarithme

4. Dériver ln u sans dériver u

5. Refaire le logarithme au lieu de le défaire

6. Arrondir un seuil du mauvais côté

7. Prendre une courbe qui s'aplatit pour une courbe bornée

8. Conclure « 1 sur 0 égale plus l'infini » sans le signe

Quelle méthode choisir

Quelle méthode selon la forme de l'équation

Quelle dérivée selon la forme de la fonction

La rédaction attendue

Résoudre une équation qui contient des logarithmes

Déterminer un seuil par le logarithme

Vérifier avant de rendre

L'exercice type décortiqué

Résoudre ln⁡(x+3)+ln⁡(x−1)=ln⁡(2x+9)\ln(x+3)+\ln(x-1)=\ln(2x+9)ln(x+3)+ln(x−1)=ln(2x+9)

À savoir par cœur

Questions fréquentes

Pourquoi le logarithme népérien n'est-il pas défini pour les nombres négatifs ?

Comment démontrer que ln de ab égale ln a plus ln b ?

Quand faut-il changer le sens d'une inégalité avec un logarithme ?

Comment calculer la dérivée de ln de u ?

Exercices corrigés : Le logarithme népérien, réciproque de l'exponentielle

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Résoudre $\ln(x+3)+\ln(x-1)=\ln(2x+9)$