Examen de synthèse corrigé : maths expertes

a) $P(3)=27-27+12-12=0$, donc 3 est bien une racine.

b) En développant $(z-3)(z^{2}+bz+c)=z^{3}+(b-3)z^{2}+(c-3b)z-3c$ et en identifiant : $b-3=-3$ donne $b=0$, puis $-3c=-12$ donne $c=4$, et on vérifie $c-3b=4$. Donc $P(z)=(z-3)\left(z^{2}+4\right)$.

c) $P(z)=0$ équivaut à $z=3$ ou $z^{2}=-4$, c'est-à-dire $z=2\mathrm{i}$ ou $z=-2\mathrm{i}$. L'ensemble des solutions est $\{3\ ;\ 2\mathrm{i}\ ;\ -2\mathrm{i}\}$.

d) Les points d'affixes $2\mathrm{i}$ et $-2\mathrm{i}$ sont symétriques par rapport à l'axe des réels, sur lequel se trouve le point d'affixe 3. Le triangle est donc isocèle en ce dernier sommet. Sa base est le segment joignant $2\mathrm{i}$ à $-2\mathrm{i}$, de longueur 4, et la hauteur correspondante vaut 3. Son aire vaut $\frac{4\times 3}{2}=6$.

e) $3+2\mathrm{i}+(-2\mathrm{i})=3$ et $3\times 2\mathrm{i}\times(-2\mathrm{i})=3\times(-4\mathrm{i}^{2})=12$. Pour un polynôme unitaire de degré 3 écrit $z^{3}+pz^{2}+qz+r$, la somme des racines vaut $-p$ et leur produit vaut $-r$ : ici $-(-3)=3$ et $-(-12)=12$. Les deux racines non réelles étant conjuguées, leur somme et leur produit sont réels, ce qui garantit que ces relations restent à coefficients réels.

a) $b-a=3+\mathrm{i}$ donc $AB=\sqrt{9+1}=\sqrt{10}$. $c-b=-1+3\mathrm{i}$ donc $BC=\sqrt{1+9}=\sqrt{10}$. $c-a=2+4\mathrm{i}$ donc $AC=\sqrt{4+16}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$.

b) $AB=BC=\sqrt{10}$, donc le triangle est isocèle en $B$. De plus $AB^{2}+BC^{2}=10+10=20=AC^{2}$ : d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle est rectangle en $B$. Il est donc rectangle isocèle en $B$.

c) $\dfrac{c-b}{a-b}=\dfrac{-1+3\mathrm{i}}{-3-\mathrm{i}}$. On multiplie haut et bas par le conjugué du dénominateur : $\dfrac{(-1+3\mathrm{i})(-3+\mathrm{i})}{(-3)^{2}+(-1)^{2}}=\dfrac{3-\mathrm{i}-9\mathrm{i}+3\mathrm{i}^{2}}{10}=\dfrac{-10\mathrm{i}}{10}=-\mathrm{i}$.

d) Le quotient vaut $-\mathrm{i}$, de module 1 et d'argument $-\frac{\pi}{2}$. Le module 1 donne $\dfrac{BC}{BA}=1$, donc $BA=BC$ : le triangle est isocèle en $B$. L'argument $-\frac{\pi}{2}$ est une mesure de l'angle orienté entre $\overrightarrow{BA}$ et $\overrightarrow{BC}$, donc ces deux vecteurs sont orthogonaux : le triangle est rectangle en $B$. C'est la même conclusion, obtenue d'un seul calcul.

e) Dans un carré $ABCD$, les diagonales $AC$ et $BD$ ont le même milieu, donc $\frac{a+c}{2}=\frac{b+d}{2}$, d'où $d=a+c-b=(1+\mathrm{i})+(3+5\mathrm{i})-(4+2\mathrm{i})=4\mathrm{i}$. Comme le triangle $ABC$ est rectangle isocèle en $B$, $ABCD$ est bien un carré. Son centre est le milieu de $[AC]$, d'affixe $\frac{a+c}{2}=\frac{4+6\mathrm{i}}{2}=2+3\mathrm{i}$.

a) $-64=64\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi}$. Si $z^{6}=-64$ alors $|z|^{6}=64$, donc $|z|=64^{1/6}=2$ puisque $|z|$ est un réel positif.

b) En écrivant $z=2\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}$, l'équation devient $64\,\mathrm{e}^{6\mathrm{i}\theta}=64\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi}$, soit $6\theta=\pi+2k\pi$ et donc $\theta=\frac{\pi}{6}+\frac{k\pi}{3}$ pour $k$ entier. Les valeurs $k=0,1,2,3,4,5$ donnent six solutions distinctes : $z_{k}=2\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\left(\frac{\pi}{6}+\frac{k\pi}{3}\right)}$.

c) $z_{0}=\sqrt{3}+\mathrm{i}$, $z_{1}=2\mathrm{i}$, $z_{2}=-\sqrt{3}+\mathrm{i}$, $z_{3}=-\sqrt{3}-\mathrm{i}$, $z_{4}=-2\mathrm{i}$ et $z_{5}=\sqrt{3}-\mathrm{i}$.

d) Les six points sont sur le cercle de centre l'origine et de rayon 2, et deux arguments consécutifs diffèrent de $\frac{\pi}{3}$ : les six points partagent donc le cercle en six arcs égaux, ce qui caractérise un hexagone régulier. Le côté vaut $|z_{1}-z_{0}|=|2\mathrm{i}-\sqrt{3}-\mathrm{i}|=|-\sqrt{3}+\mathrm{i}|=2$, ce qui redonne la propriété connue : dans un hexagone régulier le côté égale le rayon. Le périmètre vaut $6\times 2=12$. L'hexagone se découpe en six triangles équilatéraux de côté 2, chacun d'aire $\frac{2^{2}\sqrt{3}}{4}=\sqrt{3}$, donc l'aire vaut $6\sqrt{3}$.

e) La somme vaut 0 et le produit vaut 64. On les obtient directement sur l'équation écrite $z^{6}+64=0$ : le coefficient de $z^{5}$ est nul, donc la somme des racines est nulle ; et le produit des six racines vaut $(-1)^{6}\times 64=64$. Géométriquement, la somme nulle traduit le fait que le centre de gravité d'un polygone régulier centré à l'origine est l'origine.

a) $7^{1}=7$, $7^{2}=49$, $7^{3}=343=3\times 100+43$ donc le reste est 43, et $7^{4}=7\times 343=2401=24\times 100+1$ donc le reste est 1.

b) On a $7^{4}\equiv 1\ [100]$. En élevant à la puissance $n$ et en utilisant la compatibilité des congruences avec le produit : $7^{4n}=\left(7^{4}\right)^{n}\equiv 1^{n}=1\ [100]$.

c) La division euclidienne de 2026 par 4 donne $2026=4\times 506+2$. Donc $7^{2026}=\left(7^{4}\right)^{506}\times 7^{2}\equiv 1\times 49=49\ [100]$. Le reste est 49, donc l'écriture décimale de $7^{2026}$ se termine par 49.

d) Petit théorème de Fermat : si $p$ est un nombre premier et si $p$ ne divise pas l'entier $a$, alors $a^{p-1}\equiv 1\ [p]$. Ici $p=7$ est premier et ne divise pas 3, donc $3^{6}\equiv 1\ [7]$. Or $2026=6\times 337+4$, donc $3^{2026}=\left(3^{6}\right)^{337}\times 3^{4}\equiv 3^{4}=81\ [7]$. Comme $81=11\times 7+4$, le reste est 4.

e) Parce que 100 n'est pas premier : $100=2^{2}\times 5^{2}$. Le petit théorème de Fermat exige un modulo premier, et il n'y a donc rien à en tirer modulo 100. C'est exactement pourquoi la question a) passe par la recherche explicite d'un cycle, qui ne suppose rien sur le modulo.

a) L'algorithme d'Euclide donne $23=1\times 17+6$, puis $17=2\times 6+5$, puis $6=1\times 5+1$ et enfin $5=5\times 1$. Donc $\mathrm{pgcd}(17\ ;\ 23)=1$. Comme 1 divise 1000, le théorème de Bézout assure que l'équation admet des solutions entières.

b) On remonte l'algorithme : $1=6-5=6-(17-2\times 6)=3\times 6-17=3\times(23-17)-17=3\times 23-4\times 17$. Donc $17\times(-4)+23\times 3=1$, c'est-à-dire $u=-4$ et $v=3$.

c) En multipliant par 1000 : $17\times(-4000)+23\times 3000=1000$. Le couple $(-4000\ ;\ 3000)$ est donc une solution particulière, mais elle n'est pas à coordonnées positives. On peut lui préférer $(2\ ;\ 42)$, obtenue à la question suivante, et qu'on vérifie directement : $17\times 2+23\times 42=34+966=1000$.

d) Si $(x\ ;\ y)$ et $(2\ ;\ 42)$ sont solutions, la soustraction donne $17(x-2)=-23(y-42)$. Comme 17 et 23 sont premiers entre eux, le théorème de Gauss impose que 23 divise $x-2$ : il existe un entier $k$ tel que $x=2+23k$, et alors $y=42-17k$. Réciproquement tous ces couples sont solutions. L'ensemble des solutions entières est donc $\{(2+23k\ ;\ 42-17k),\ k\in\mathbb{Z}\}$.

e) Il faut de plus $x\geq 0$ et $y\geq 0$, soit $2+23k\geq 0$ et $42-17k\geq 0$, c'est-à-dire $k\geq -\frac{2}{23}$ et $k\leq \frac{42}{17}\approx 2{,}47$. Comme $k$ est entier, $k$ vaut 0, 1 ou 2. Il y a donc trois achats possibles : 2 romans et 42 carnets, 25 romans et 25 carnets, ou 48 romans et 8 carnets.

a) Soit $d$ un diviseur commun de $5n+3$ et $2n+1$. Alors $d$ divise toute combinaison linéaire entière de ces deux nombres, en particulier $2(5n+3)-5(2n+1)=10n+6-10n-5=1$. Donc $d$ divise 1, soit $d=1$ : les deux nombres sont premiers entre eux pour tout $n$, sans exception.

b) Le numérateur et le dénominateur étant premiers entre eux, la fraction est irréductible pour tout $n$. Aucune valeur de $n$ ne permet de la simplifier.

c) $10-(-1)=11$, donc $11$ divise $10-(-1)$, c'est-à-dire $10\equiv -1\ [11]$. En élevant à la puissance $k$ et en utilisant la compatibilité des congruences avec le produit : $10^{k}\equiv(-1)^{k}\ [11]$.

d) Un entier $N$ de chiffres $a_{0}$ (unités), $a_{1}$ (dizaines), et ainsi de suite, s'écrit $N=\sum a_{k}10^{k}$. D'après c), $N\equiv\sum a_{k}(-1)^{k}\ [11]$ : le reste de $N$ modulo 11 est celui de la somme alternée de ses chiffres, en commençant par les unités avec le signe plus. Donc $N$ est divisible par 11 si et seulement si cette somme alternée l'est. Pour 1 234 567 : $7-6+5-4+3-2+1=4$. Comme 4 n'est pas divisible par 11, 1 234 567 ne l'est pas non plus, et son reste modulo 11 vaut 4.

e) 101 est premier et ne divise pas 2, donc le petit théorème de Fermat donne directement $2^{100}\equiv 1\ [101]$ : le reste est 1. Modulo 100, le théorème ne s'applique pas puisque 100 n'est pas premier ; il faudrait chercher à la main l'ordre de 2, qui n'existe même pas au sens habituel puisque 2 et 100 ne sont pas premiers entre eux. Le choix du modulo change complètement la difficulté du calcul.

a) Le produit $MX_{n}$ a pour coordonnées $3u_{n}+2v_{n}$ et $u_{n}+2v_{n}$, qui sont exactement $u_{n+1}$ et $v_{n+1}$. Ensuite $u_{1}=3\times 1+2\times 0=3$ et $v_{1}=1+2\times 0=1$, puis $u_{2}=3\times 3+2\times 1=11$ et $v_{2}=3+2\times 1=5$.

b) $s_{n+1}=u_{n+1}+v_{n+1}=(3u_{n}+2v_{n})+(u_{n}+2v_{n})=4u_{n}+4v_{n}=4s_{n}$. La suite $(s_{n})$ est donc géométrique de raison 4, de premier terme $s_{0}=1+0=1$. Ainsi $s_{n}=4^{n}$.

c) $d_{n+1}=u_{n+1}-2v_{n+1}=(3u_{n}+2v_{n})-2(u_{n}+2v_{n})=u_{n}-2v_{n}=d_{n}$. La suite est donc constante, égale à $d_{0}=1-0=1$. Autrement dit $u_{n}-2v_{n}=1$ pour tout $n$.

d) On résout le système $u_{n}+v_{n}=4^{n}$ et $u_{n}-2v_{n}=1$. En soustrayant : $3v_{n}=4^{n}-1$, donc $v_{n}=\dfrac{4^{n}-1}{3}$. Puis $u_{n}=4^{n}-v_{n}=\dfrac{3\times 4^{n}-4^{n}+1}{3}=\dfrac{2\times 4^{n}+1}{3}$. On vérifie pour $n=2$ : $v_{2}=\frac{15}{3}=5$ et $u_{2}=\frac{33}{3}=11$.

e) $\dfrac{u_{n}}{v_{n}}=\dfrac{2\times 4^{n}+1}{4^{n}-1}$. En divisant haut et bas par $4^{n}$, qui tend vers $+\infty$, le quotient tend vers 2. Ce nombre n'est pas un hasard : les deux suites $(s_{n})$ et $(d_{n})$ correspondent aux deux valeurs propres 4 et 1 de $M$, et $\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}$ est un vecteur propre associé à la valeur propre dominante 4. À long terme, $X_{n}$ s'aligne sur cette direction, donc le rapport de ses coordonnées tend vers $\frac{2}{1}=2$.

a) Les arêtes sont $AB$, $BC$, $CD$, $DA$ et la diagonale $AC$, soit 5 arêtes. Donc $\deg(A)=3$, $\deg(B)=2$, $\deg(C)=3$ et $\deg(D)=2$. La somme vaut $10=2\times 5$, conformément au lemme des poignées de main. La matrice d'adjacence est $M=\begin{pmatrix}0&1&1&1\\1&0&1&0\\1&1&0&1\\1&0&1&0\end{pmatrix}$

b) $M^{2}=\begin{pmatrix}3&1&2&1\\1&2&1&2\\2&1&3&1\\1&2&1&2\end{pmatrix}$

c) Parce que $B$ et $D$ ont exactement les mêmes voisins : tous deux sont reliés à $A$ et à $C$, et à rien d'autre. Or la ligne $i$ de $M$ est la liste des voisins de $i$ ; si deux lignes de $M$ sont égales, les lignes correspondantes de $M^{2}$ le sont aussi. Le graphe ne fait aucune différence entre $B$ et $D$ : l'échange de ces deux sommets est une symétrie du graphe.

d) Chaque triangle est compté six fois dans la somme des coefficients diagonaux de $M^{3}$, une fois par sommet et dans les deux sens de parcours. Le graphe possède donc $12/6=2$ triangles, à savoir $ABC$ et $ACD$. Ils partagent l'arête diagonale $AC$, qui est justement l'arête ajoutée au carré.

e) Le coefficient d'indice $(B\ ;\ D)$ de $M^{2}$ vaut 2 : les deux chaînes sont $B-A-D$ et $B-C-D$. Le coefficient d'indice $(A\ ;\ C)$ vaut lui aussi 2, avec les chaînes $A-B-C$ et $A-D-C$. Les deux nombres sont en fait égaux : c'est une conséquence de la symétrie vue en c), qui échange $B$ et $D$ tout en fixant $A$ et $C$. L'énoncé de la question contenait donc une comparaison trompeuse.

a) Tous les coefficients sont positifs et chaque ligne somme à 1 : $0{,}6+0{,}3+0{,}1=1$, $0{,}3+0{,}6+0{,}1=1$ et $0{,}2+0{,}2+0{,}6=1$. La troisième ligne signifie qu'un abonné de la plateforme 3 la garde avec la probabilité $0{,}6$, et passe à la plateforme 1 ou à la plateforme 2 avec la probabilité $0{,}2$ dans chaque cas.

b) $\pi_{0}=(1\ ;\ 0\ ;\ 0)$, donc $\pi_{1}$ est la première ligne de $M$ : $(0{,}6\ ;\ 0{,}3\ ;\ 0{,}1)$. Puis $\pi_{2}=(0{,}36+0{,}09+0{,}02\ ;\ 0{,}18+0{,}18+0{,}02\ ;\ 0{,}06+0{,}03+0{,}06)=(0{,}47\ ;\ 0{,}38\ ;\ 0{,}15)$.

c) On cherche $\pi=(a\ ;\ b\ ;\ c)$ avec $\pi M=\pi$ et $a+b+c=1$. La troisième équation s'écrit $0{,}1a+0{,}1b+0{,}6c=c$, soit $0{,}1(a+b)=0{,}4c$. Comme $a+b=1-c$, il vient $0{,}1-0{,}1c=0{,}4c$, donc $0{,}5c=0{,}1$ et $c=0{,}2$. La première équation s'écrit $0{,}6a+0{,}3b+0{,}2c=a$, soit $0{,}3b+0{,}04=0{,}4a$. Avec $b=0{,}8-a$ : $0{,}24-0{,}3a+0{,}04=0{,}4a$, donc $0{,}7a=0{,}28$ et $a=0{,}4$, puis $b=0{,}4$.

d) Vérification sur la deuxième coordonnée : $0{,}4\times 0{,}3+0{,}4\times 0{,}6+0{,}2\times 0{,}2=0{,}12+0{,}24+0{,}04=0{,}4$. Donc $\pi=(0{,}4\ ;\ 0{,}4\ ;\ 0{,}2)$. À long terme, les plateformes 1 et 2 se partagent $80\ \%$ du marché à égalité, et la plateforme 3 en conserve $20\ \%$, quelle que soit la répartition de départ.

e) Non, $M$ n'est pas symétrique : par exemple le coefficient d'indice $(1\ ;\ 3)$ vaut $0{,}1$ alors que celui d'indice $(3\ ;\ 1)$ vaut $0{,}2$. L'égalité $a=b$ n'est pourtant pas une coïncidence : l'échange des états 1 et 2 laisse $M$ inchangée, puisque la première et la deuxième ligne se déduisent l'une de l'autre par cet échange, et que la troisième ligne leur attribue la même probabilité $0{,}2$. Cette symétrie de la chaîne, plus faible que la symétrie de la matrice, force la distribution invariante à donner la même valeur aux deux états.

a) $|\omega|=\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{3}{4}}=1$, et son argument $\theta$ vérifie $\cos\theta=\frac{1}{2}$ et $\sin\theta=\frac{\sqrt{3}}{2}$, donc $\theta=\frac{\pi}{3}$. Ainsi $\omega=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{\pi}{3}}$.

b) $\omega z=\left(\frac{1}{2}+\mathrm{i}\frac{\sqrt{3}}{2}\right)(x+\mathrm{i}y)=\frac{x}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}y+\mathrm{i}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}x+\frac{y}{2}\right)$. Par ailleurs $R\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{1}{2}x-\frac{\sqrt{3}}{2}y\\\frac{\sqrt{3}}{2}x+\frac{1}{2}y\end{pmatrix}$. Les deux coordonnées coïncident bien avec la partie réelle et la partie imaginaire de $\omega z$.

c) Comme $|\omega|=1$ et $\arg(\omega)=\frac{\pi}{3}$, la multiplication par $\omega$ conserve les modules et ajoute $\frac{\pi}{3}$ aux arguments : c'est la rotation de centre l'origine et d'angle $\frac{\pi}{3}$, soit 60 degrés.

d) $\omega^{3}=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi}=-1$ et $\omega^{6}=\mathrm{e}^{2\mathrm{i}\pi}=1$. Comme la multiplication par $\omega$ correspond à $R$, la multiplication par $\omega^{n}$ correspond à $R^{n}$. Donc $R^{3}$ correspond à la multiplication par $-1$, c'est-à-dire $R^{3}=-I=\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}$, et $R^{6}=I$. Trois rotations de 60 degrés font un demi-tour, six font un tour complet : c'est exactement ce que disent ces deux égalités.

e) $R^{n}=I$ équivaut à $\omega^{n}=1$, soit $\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{n\pi}{3}}=1$, c'est-à-dire $\frac{n\pi}{3}=2k\pi$ pour un entier $k$, donc $n=6k$. Le plus petit entier strictement positif est $n=6$. Les puissances $R^{1}$ à $R^{5}$ sont donc toutes différentes de l'identité, et les puissances de $R$ ne prennent que six valeurs.

a) Posons $z=a+\mathrm{i}b$ et $z'=c+\mathrm{i}d$. Alors $zz'=(ac-bd)+\mathrm{i}(ad+bc)$, donc $N(zz')=(ac-bd)^{2}+(ad+bc)^{2}=a^{2}c^{2}-2abcd+b^{2}d^{2}+a^{2}d^{2}+2abcd+b^{2}c^{2}=a^{2}c^{2}+b^{2}d^{2}+a^{2}d^{2}+b^{2}c^{2}$. Or $N(z)N(z')=(a^{2}+b^{2})(c^{2}+d^{2})=a^{2}c^{2}+a^{2}d^{2}+b^{2}c^{2}+b^{2}d^{2}$ : les deux expressions sont identiques. On peut aussi remarquer que $N(z)=|z|^{2}$ et invoquer la multiplicativité du module.

b) Si $m=a^{2}+b^{2}$ et $n=c^{2}+d^{2}$, posons $z=a+\mathrm{i}b$ et $z'=c+\mathrm{i}d$, de sorte que $m=N(z)$ et $n=N(z')$. Alors $mn=N(z)N(z')=N(zz')$, et comme $zz'$ a encore des parties réelle et imaginaire entières, $mn$ est bien une somme de deux carrés d'entiers.

c) $(1+2\mathrm{i})(2+3\mathrm{i})=2+3\mathrm{i}+4\mathrm{i}+6\mathrm{i}^{2}=-4+7\mathrm{i}$, donc $65=(-4)^{2}+7^{2}=16+49$. Et $(1-2\mathrm{i})(2+3\mathrm{i})=2+3\mathrm{i}-4\mathrm{i}-6\mathrm{i}^{2}=8-\mathrm{i}$, donc $65=8^{2}+(-1)^{2}=64+1$. Les deux écritures sont $65=4^{2}+7^{2}=8^{2}+1^{2}$. Changer un signe dans un facteur donne une décomposition réellement différente.

d) Un entier $n$ est pair ou impair. Si $n=2k$ alors $n^{2}=4k^{2}\equiv 0\ [4]$. Si $n=2k+1$ alors $n^{2}=4k^{2}+4k+1\equiv 1\ [4]$. Une somme de deux carrés est donc congrue à $0+0$, $0+1$, $1+0$ ou $1+1$ modulo 4, c'est-à-dire à 0, 1 ou 2, mais jamais à 3. Or $2027=4\times 506+3$, donc $2027\equiv 3\ [4]$ : 2027 n'est pas somme de deux carrés.

e) On teste les possibilités : $21-0=21$, $21-1=20$, $21-4=17$, $21-9=12$ et $21-16=5$, et aucun de ces nombres n'est un carré parfait. Donc 21 n'est pas somme de deux carrés, bien qu'il soit congru à 1 modulo 4. Le critère de la question d) est donc une condition nécessaire mais pas suffisante : il permet d'éliminer, jamais de conclure positivement. La caractérisation complète fait intervenir les facteurs premiers congrus à 3 modulo 4, et ici $21=3\times 7$ en contient deux.

a) Faux. L'inégalité triangulaire donne seulement $\left|z+z'\right|\leq|z|+\left|z'\right|$, avec égalité uniquement quand les deux nombres ont le même argument, autrement dit quand l'un est un multiple réel positif de l'autre. Contre-exemple : $z=1$ et $z'=-1$ donnent $\left|z+z'\right|=0$ alors que $|z|+\left|z'\right|=2$. Avec $z=1$ et $z'=\mathrm{i}$ on obtient $\sqrt{2}$ d'un côté et 2 de l'autre.

b) Faux. La bonne identité est $z\bar{z}=|z|^{2}$, avec le conjugué et non le carré. Contre-exemple : $z=\mathrm{i}$ donne $z^{2}=-1$ tandis que $|z|^{2}=1$. L'égalité $z^{2}=|z|^{2}$ ne vaut que si $z$ est un réel : à gauche le résultat est un complexe quelconque, à droite c'est toujours un réel positif.

c) Faux. C'est le théorème de Gauss privé de son hypothèse : il faut que $a$ soit premier avec l'un des deux facteurs, ou que $a$ soit premier. Contre-exemple : $a=4$ divise $bc=2\times 6=12$, mais 4 ne divise ni 2 ni 6. Le nombre 4 n'est pas premier, et il se répartit entre les deux facteurs.

d) Faux. De $a\equiv b\ [n]$ on tire $a^{2}\equiv b^{2}\ [n]$, avec le même modulo, pas son carré. Contre-exemple : $1\equiv 4\ [3]$, mais $1^{2}=1$ et $4^{2}=16$ ne sont pas congrus modulo 9, puisque $16-1=15$ n'est pas divisible par 9. En écrivant $a=b+kn$ on obtient $a^{2}=b^{2}+2bkn+k^{2}n^{2}$, et le terme $2bkn$ n'est en général pas divisible par $n^{2}$.

e) Faux. L'équation $M^{2}=I$ s'écrit $(M-I)(M+I)=O$, mais un produit de matrices peut être nul sans qu'aucun facteur le soit : le raisonnement valable sur les réels ne se transpose pas. Contre-exemple : $M=\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}$ vérifie $M^{2}=I$ sans être ni $I$ ni $-I$. La matrice $\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}$ convient également. Géométriquement, toute symétrie axiale est involutive.