Exercices corrigés : ondes, effet Doppler et interférences (Terminale spécialité)

a) $\lambda=\dfrac{v}{f}=\dfrac{340}{440}=0{,}773\ \mathrm{m}$, soit environ $77\ \mathrm{cm}$.

b) La FRÉQUENCE ne change pas, elle reste $440\ \mathrm{Hz}$. La longueur d'onde, elle, devient $\lambda=\dfrac{1500}{440}=3{,}41\ \mathrm{m}$, soit environ quatre fois et demie plus grande.

c) Parce que la fréquence est imposée par la SOURCE : c'est le nombre d'oscillations qu'elle impose par seconde, et ce rythme se transmet de proche en proche sans se modifier. À l'interface entre deux milieux, les particules du second milieu sont mises en mouvement par celles du premier, exactement au même rythme. La célérité, elle, dépend du milieu, donc la longueur d'onde s'ajuste pour satisfaire $\lambda=\dfrac{v}{f}$.

d) Dans un milieu d'indice $n$, la célérité vaut $v=\dfrac{c}{n}=\dfrac{3{,}00\times 10^{8}}{1{,}50}=2{,}00\times 10^{8}\ \mathrm{m/s}$. La fréquence étant conservée, $\lambda_{\mathrm{verre}}=\dfrac{\lambda_{0}}{n}=\dfrac{633}{1{,}50}=422\ \mathrm{nm}$.

e) Non. La couleur perçue dépend de la FRÉQUENCE, qui est conservée. C'est d'ailleurs pourquoi on identifie une radiation par sa longueur d'onde DANS LE VIDE : c'est la seule valeur qui caractérise la lumière indépendamment du milieu traversé. Un faisceau rouge reste rouge dans le verre, même si sa longueur d'onde y vaut $422\ \mathrm{nm}$, valeur qui correspondrait au violet dans le vide.

a) De $L=85$ on tire $\dfrac{I}{I_{0}}=10^{8{,}5}$, donc $I=1{,}0\times 10^{-12}\times 10^{8{,}5}=3{,}2\times 10^{-4}\ \mathrm{W/m^{2}}$.

b) L'énergie traverse une sphère de rayon $2{,}0\ \mathrm{m}$ : $P=I\times 4\pi r^{2}=3{,}2\times 10^{-4}\times 4\pi\times 4{,}0=1{,}6\times 10^{-2}\ \mathrm{W}$. Seize milliwatts acoustiques suffisent donc à produire $85\ \mathrm{dB}$ à deux mètres.

c) La distance est multipliée par $4$, donc l'intensité est divisée par $4^{2}=16$ : $I=\dfrac{3{,}2\times 10^{-4}}{16}=2{,}0\times 10^{-5}\ \mathrm{W/m^{2}}$. Le niveau vaut $L=10\log\left(2{,}0\times 10^{7}\right)=73{,}0\ \mathrm{dB}$.

d) La baisse vaut $85-73{,}0=12{,}0\ \mathrm{dB}$. On la retrouve directement : diviser l'intensité par $16$ retire $10\log 16=12{,}0\ \mathrm{dB}$, ou de façon équivalente multiplier la distance par $4$ retire $20\log 4=12{,}0\ \mathrm{dB}$. La règle pratique est que doubler la distance coûte toujours $6\ \mathrm{dB}$.

e) Non, absolument pas. Deux sources identiques doublent l'INTENSITÉ, ce qui ajoute $10\log 2=3{,}0\ \mathrm{dB}$ : on obtient $88\ \mathrm{dB}$ et non $170$. Les décibels ne s'additionnent jamais, parce qu'ils sont une échelle logarithmique. Un niveau de $170\ \mathrm{dB}$ correspondrait d'ailleurs à une intensité de $10^{5}\ \mathrm{W/m^{2}}$, bien au-delà de ce qu'un haut-parleur peut produire et suffisante pour causer des dommages physiques immédiats.

a) $f'=700\times\dfrac{340}{340-20}=700\times\dfrac{340}{320}=744\ \mathrm{Hz}$.

b) En s'éloignant : $f'=700\times\dfrac{340}{340+20}=700\times\dfrac{340}{360}=661\ \mathrm{Hz}$.

c) L'écart vaut $744-661=83\ \mathrm{Hz}$. Au passage de l'ambulance, on entend donc la hauteur du son CHUTER brusquement d'environ $83\ \mathrm{Hz}$, soit près de deux tons. Le saut est perçu comme instantané parce qu'il se produit sur la courte durée du passage devant l'observateur.

d) Un décalage vers le rouge signifie une AUGMENTATION de la longueur d'onde reçue, donc $\Delta\lambda>0$ et $v>0$ : la source S'ÉLOIGNE. C'est l'observation qui a conduit Hubble à conclure que les galaxies lointaines s'éloignent toutes de nous, et donc à l'expansion de l'Univers. Le décalage vers le bleu signifie au contraire un rapprochement.

e) Parce que le son a besoin d'un MILIEU matériel pour se propager, et que la formule acoustique fait intervenir les vitesses par rapport à ce milieu. Il en résulte que déplacer la source ou déplacer l'observateur ne donne pas exactement le même résultat. La lumière, elle, se propage dans le vide et sa célérité est la même pour tous les observateurs : seule la vitesse RELATIVE compte, et la formule est symétrique. C'est là une différence de nature, pas de degré, et elle mène directement à la relativité restreinte.

a) $\theta=\dfrac{\lambda}{a}=\dfrac{633\times 10^{-9}}{1{,}0\times 10^{-4}}=6{,}33\times 10^{-3}\ \mathrm{rad}$, soit environ $0{,}36$ degré.

b) L'angle étant très petit, $\tan\theta\approx\theta$, donc la demi-largeur vaut $D\theta$ et la largeur totale $L=2D\theta=\dfrac{2D\lambda}{a}$. Numériquement : $L=\dfrac{2\times 3{,}00\times 633\times 10^{-9}}{1{,}0\times 10^{-4}}=3{,}80\times 10^{-2}\ \mathrm{m}$, soit $3{,}8\ \mathrm{cm}$.

c) Elle est plus marquée avec une fente plus FINE, puisque $\theta=\dfrac{\lambda}{a}$ croît quand $a$ diminue. Le résultat surprend parce qu'on s'attend à ce qu'une ouverture plus étroite donne une tache plus étroite, comme avec un jet de peinture. C'est l'inverse : plus on cherche à confiner l'onde, plus elle s'étale. C'est une propriété profondément ondulatoire, sans équivalent corpusculaire, et on la retrouve en mécanique quantique sous le nom d'inégalité de Heisenberg.

d) Avec $a=1{,}0\ \mathrm{mm}$, dix fois plus large, $L$ serait dix fois plus petite, soit $3{,}8\ \mathrm{mm}$. Avec $a=1{,}0\ \mathrm{cm}$, on aurait $L=0{,}38\ \mathrm{mm}$ : la tache devient plus étroite que la fente elle-même et la diffraction cesse d'être observable. C'est pourquoi la lumière semble se propager en ligne droite dans la vie courante, où les ouvertures sont énormes devant sa longueur d'onde.

e) Parce que la diffraction n'est notable que si l'obstacle est comparable à la longueur d'onde. Un son de $340\ \mathrm{Hz}$ a une longueur d'onde de $1{,}0\ \mathrm{m}$, comparable à la largeur d'une porte ou d'un couloir : il est donc fortement diffracté et contourne l'angle. La lumière visible a une longueur d'onde d'environ $0{,}5\ \mathrm{\mu m}$, deux millions de fois plus petite : son écart angulaire est totalement négligeable et elle ne contourne rien. On entend donc sans voir.

a) Interférence CONSTRUCTIVE si $\delta=k\lambda$ avec $k$ entier : les deux ondes arrivent en phase et leurs amplitudes s'ajoutent. Interférence DESTRUCTIVE si $\delta=\left(k+\dfrac{1}{2}\right)\lambda$ : elles arrivent en opposition de phase et s'annulent.

b) $i=\dfrac{\lambda D}{b}=\dfrac{633\times 10^{-9}\times 2{,}50}{3{,}0\times 10^{-4}}=5{,}28\times 10^{-3}\ \mathrm{m}$, soit $5{,}3\ \mathrm{mm}$.

c) Rapprocher les fentes diminue $b$, donc AUGMENTE l'interfrange : les franges s'écartent. Éloigner l'écran augmente $D$, donc augmente aussi l'interfrange. Dans les deux cas la figure se dilate, ce qui est le moyen pratique de la rendre mesurable.

d) Parce que la figure d'interférences n'est stable que si le déphasage entre les deux ondes reste constant au cours du temps. Deux lampes indépendantes émettent par trains d'ondes de phases aléatoires, changeant des millions de fois par seconde : la figure existerait à chaque instant mais se déplacerait si vite qu'aucun détecteur, et surtout pas l'oeil, ne pourrait la suivre. On ne verrait qu'un éclairement uniforme, moyenne de toutes les positions. C'est pourquoi on fait passer une SEULE source par deux fentes.

e) Oui, et c'est décisif. Les interférences et la diffraction sont des phénomènes exclusivement ONDULATOIRES : deux flux de particules classiques ne peuvent en aucun cas s'annuler mutuellement pour produire une frange sombre. L'observation de franges impose donc un modèle ondulatoire de la lumière. Elle ne l'impose cependant pas exclusivement, puisque l'effet photoélectrique impose de son côté le modèle particulaire, et c'est cette double contrainte qui a mené à la dualité onde-corpuscule.

a) Le véhicule joue successivement deux rôles. En s'approchant de l'émetteur, il RECOIT une fréquence déjà décalée vers le haut : c'est un premier effet Doppler, observateur en mouvement. Puis, en réfléchissant l'onde, il se comporte comme une SOURCE en mouvement vers le radar : c'est un second effet Doppler, qui décale à nouveau vers le haut. Les deux décalages s'ajoutent, d'où le facteur 2.

b) $v=\dfrac{50}{3{,}6}=13{,}9\ \mathrm{m/s}$, donc $\Delta f=\dfrac{2\times 13{,}9\times 24{,}0\times 10^{9}}{3{,}00\times 10^{8}}=2{,}22\times 10^{3}\ \mathrm{Hz}$, soit environ $2{,}2\ \mathrm{kHz}$.

c) Le rapport vaut $\dfrac{2{,}22\times 10^{3}}{24{,}0\times 10^{9}}=9{,}3\times 10^{-8}$, soit moins d'un dixième de millionième. L'appareil doit donc mesurer un écart relatif inférieur à $10^{-7}$, ce qui exclut toute mesure directe des deux fréquences : on procède par BATTEMENTS, en mélangeant l'onde émise et l'onde reçue pour obtenir directement la différence, qui est de quelques kilohertz et donc parfaitement mesurable.

d) De $\Delta f=\dfrac{2vf_{0}}{c}$ on tire $v=\dfrac{c\Delta f}{2f_{0}}=\dfrac{3{,}00\times 10^{8}\times 5{,}78\times 10^{3}}{2\times 24{,}0\times 10^{9}}=36{,}1\ \mathrm{m/s}$, soit $36{,}1\times 3{,}6=130\ \mathrm{km/h}$. La limite est donc atteinte tout juste, sans être dépassée compte tenu de l'incertitude de mesure.

e) Le radar ne mesure que la composante de la vitesse dans SA direction, soit $v\cos\alpha$. La vitesse déduite est donc $v\cos 20^{\circ}=0{,}940\,v$ : elle est SOUS-estimée d'environ $6{,}0$ pour cent. C'est un choix délibéré des constructeurs et des services de contrôle : l'erreur joue toujours en faveur de l'automobiliste, ce qui rend la mesure incontestable devant un tribunal. Un placement de biais ne peut jamais faire verbaliser quelqu'un à tort.

a) Parce que $L=\dfrac{2D\lambda}{a}$ : la largeur de la tache est INVERSEMENT proportionnelle à celle de l'obstacle. Le produit $La$ est donc constant, ce qui est l'équation d'une hyperbole. La courbe décroît très vite pour les petites valeurs de $a$ puis s'aplatit, exactement comme le montre le graphique.

b) Sur le graphique, l'ordonnée $38\ \mathrm{mm}$ correspond à une abscisse de $0{,}10\ \mathrm{mm}$, comme l'indiquent les pointillés. Par le calcul : $a=\dfrac{2D\lambda}{L}=\dfrac{2\times 3{,}00\times 633\times 10^{-9}}{3{,}8\times 10^{-2}}=1{,}0\times 10^{-4}\ \mathrm{m}$, soit $0{,}10\ \mathrm{mm}$, valeur tout à fait typique pour un cheveu.

c) Parce que la largeur totale est bien plus facile à repérer avec précision : ses deux bords sont des extinctions nettes, alors que le centre de la tache est une zone brillante étendue dont le milieu s'estime mal. Mesurer $L$ puis diviser revient à moyenner deux mesures et divise l'incertitude relative par deux. C'est le même principe que compter vingt oscillations d'un pendule plutôt qu'une.

d) $a$ étant inversement proportionnelle à $L$, l'incertitude relative se transmet à l'identique : $\dfrac{\Delta a}{a}=\dfrac{\Delta L}{L}=\dfrac{2}{38}=5{,}3$ pour cent. La largeur du cheveu est donc connue à environ $5$ pour cent près, soit $0{,}100\pm 0{,}005\ \mathrm{mm}$.

e) Pour une feuille de papier de $0{,}1\ \mathrm{mm}$, oui, c'est exactement l'ordre de grandeur traité ici. Pour un atome, de l'ordre de $10^{-10}\ \mathrm{m}$, non : l'écart angulaire vaudrait $\dfrac{633\times 10^{-9}}{10^{-10}}=6\times 10^{3}\ \mathrm{rad}$, ce qui n'a aucun sens physique puisqu'un angle ne peut dépasser quelques radians. La diffraction n'est observable que si $\lambda$ est comparable à $a$, jamais énormément plus grande. Pour voir un atome, il faut une onde de longueur d'onde comparable, ce que fournissent les électrons rapides, et c'est précisément le principe du microscope électronique.

a) De la première à la onzième frange, il y a $11-1=10$ intervalles, et non 11. L'interfrange vaut donc $i=\dfrac{52{,}8}{10}=5{,}28\ \mathrm{mm}$. Compter les franges plutôt que les intervalles est l'erreur classique, et elle fausse le résultat de dix pour cent.

b) De $i=\dfrac{\lambda D}{b}$ on tire $\lambda=\dfrac{ib}{D}=\dfrac{5{,}28\times 10^{-3}\times 3{,}0\times 10^{-4}}{2{,}50}=6{,}33\times 10^{-7}\ \mathrm{m}$, soit $633\ \mathrm{nm}$.

c) Une longueur d'onde de $633\ \mathrm{nm}$ correspond au ROUGE. C'est la raie caractéristique du laser hélium-néon, longtemps le plus répandu en travaux pratiques.

d) Pour la même raison qu'on chronomètre vingt oscillations d'un pendule : l'incertitude de pointé sur la position d'une frange est la même que l'on mesure un intervalle ou dix, donc mesurer dix interfranges divise l'incertitude relative par dix. Avec une règle au millimètre, mesurer un seul interfrange de $5\ \mathrm{mm}$ donnerait $20$ pour cent d'incertitude, contre $2$ pour cent sur dix.

e) $i=\dfrac{532\times 10^{-9}\times 2{,}50}{3{,}0\times 10^{-4}}=4{,}43\times 10^{-3}\ \mathrm{m}$, soit $4{,}43\ \mathrm{mm}$. La figure se RESSERRE, puisque l'interfrange est proportionnel à $\lambda$ et que le vert a une longueur d'onde plus courte que le rouge. Le rapport des interfranges, $\dfrac{4{,}43}{5{,}28}=0{,}840$, est exactement celui des longueurs d'onde, $\dfrac{532}{633}=0{,}840$.

a) Faux. Deux sources identiques doublent l'INTENSITÉ, ce qui ajoute $10\log 2=3{,}0\ \mathrm{dB}$ et non un facteur deux sur le niveau. L'exercice 2 le chiffre : on passe de $85$ à $88\ \mathrm{dB}$, pas à $170$. Les décibels forment une échelle logarithmique, précisément conçue pour comprimer une plage d'intensités qui s'étend sur douze ordres de grandeur.

b) Faux, c'est exactement l'inverse. L'écart angulaire vaut $\theta=\dfrac{\lambda}{a}$ : rétrécir la fente ÉLARGIT la tache. L'exercice 4 le chiffre, $3{,}8\ \mathrm{cm}$ pour une fente de $0{,}10\ \mathrm{mm}$ contre $0{,}38\ \mathrm{mm}$ pour une fente de $1{,}0\ \mathrm{cm}$. Plus on cherche à confiner une onde, plus elle s'étale, et cette propriété n'a aucun équivalent corpusculaire.

c) Faux, c'est la fréquence qui se CONSERVE et la longueur d'onde qui s'ajuste. La fréquence est imposée par la source et se transmet inchangée d'un milieu à l'autre, tandis que la célérité dépend du milieu : $\lambda=\dfrac{v}{f}$ s'adapte donc. L'exercice 1 le montre, un son de $440\ \mathrm{Hz}$ garde sa fréquence en passant dans l'eau mais voit sa longueur d'onde passer de $0{,}77$ à $3{,}4\ \mathrm{m}$. C'est aussi pourquoi la couleur d'une lumière ne change pas dans le verre.

d) Faux au sens de la précision. C'est correct en principe, mais désastreux en pratique : l'incertitude de pointé étant la même quel que soit le nombre d'intervalles mesurés, mesurer un seul interfrange de $5\ \mathrm{mm}$ à la règle donne environ $20$ pour cent d'incertitude. L'exercice 8 mesure dix interfranges et ramène l'incertitude à $2$ pour cent. Il faut de plus compter les INTERVALLES et non les franges : de la première à la onzième il y en a dix, pas onze.

a) $\Delta\lambda=670{,}0-656{,}3=13{,}7\ \mathrm{nm}$, donc $z=\dfrac{\Delta\lambda}{\lambda_{0}}=\dfrac{13{,}7}{656{,}3}=2{,}09\times 10^{-2}$.

b) Elle S'ÉLOIGNE. La longueur d'onde observée est plus GRANDE que celle mesurée au laboratoire : c'est un décalage vers le rouge, signature d'une source qui s'éloigne, exactement comme le son d'une ambulance qui s'éloigne devient plus grave.

c) $v=zc=2{,}09\times 10^{-2}\times 3{,}00\times 10^{8}=6{,}26\times 10^{6}\ \mathrm{m/s}$, soit $6{,}26\times 10^{3}\ \mathrm{km/s}$.

d) $d=\dfrac{v}{H_{0}}=\dfrac{6{,}26\times 10^{3}}{70}=89{,}5\ \mathrm{Mpc}$, soit environ $290$ millions d'années-lumière. La lumière que nous recevons a donc quitté cette galaxie bien avant l'apparition des dinosaures.

e) Oui, ici il est parfaitement justifié : $\dfrac{v}{c}=2{,}09\times 10^{-2}$, soit $2$ pour cent, et les corrections relativistes sont de l'ordre de $\dfrac{v^{2}}{c^{2}}$, donc de $4\times 10^{-4}$, totalement négligeables. Pour $z=2$, en revanche, la formule naïve donnerait $v=2c$, ce qui est impossible : il faut alors la formule relativiste, et surtout il faut abandonner l'interprétation en termes de vitesse. Le décalage cosmologique n'est pas un effet Doppler ordinaire mais la dilatation de l'espace lui-même pendant le trajet de la lumière, ce qui est une notion différente et ne viole aucune limite de vitesse.