Exercices corrigés : ondes, lentilles et modèles de la lumière (Première spécialité)

a) $\tau=\dfrac{d}{v}=\dfrac{3{,}0}{12}=0{,}25\ \mathrm{s}$.

b) Parce que chaque point du milieu se contente d'osciller autour de sa position d'équilibre, puis y revient : aucun morceau de corde ne parcourt les $3{,}0\ \mathrm{m}$. C'est le MOTIF de la perturbation qui se déplace, pas la matière. Ce que l'onde transporte, c'est de l'énergie, et avec elle de l'information : c'est pourquoi un son peut nous atteindre sans que l'air se déplace en bloc du haut-parleur jusqu'à l'oreille.

c) Le son fait l'aller-retour, donc il parcourt $2d$ pendant les $2{,}0\ \mathrm{s}$. Ainsi $d=\dfrac{v\times\Delta t}{2}=\dfrac{340\times 2{,}0}{2}=340\ \mathrm{m}$. Oublier le facteur 2 est l'erreur classique, et elle double la réponse.

d) Oui, tendre la corde augmente la célérité : celle-ci ne dépend que des propriétés du MILIEU, ici la tension et la masse linéique. En revanche, frapper plus fort ne change rien à la célérité : cela augmente l'amplitude de la perturbation, donc l'énergie transportée, mais pas sa vitesse de propagation. Amplitude et célérité sont deux grandeurs indépendantes.

e) Une onde est TRANSVERSALE quand la perturbation est perpendiculaire à la direction de propagation : c'est le cas d'une corde que l'on secoue verticalement alors que l'onde avance horizontalement, ou d'une vague. Elle est LONGITUDINALE quand la perturbation a lieu dans la direction même de la propagation : c'est le cas du son dans l'air, où les tranches d'air se compriment et se dilatent le long du trajet, ou d'un ressort que l'on comprime brusquement.

a) $f=\dfrac{1}{T}=\dfrac{1}{0{,}020}=50\ \mathrm{Hz}$.

b) $\lambda=vT=12\times 0{,}020=0{,}24\ \mathrm{m}$, soit $24\ \mathrm{cm}$. On retrouve la même valeur par $\lambda=\dfrac{v}{f}=\dfrac{12}{50}=0{,}24\ \mathrm{m}$.

c) La longueur d'onde est la distance parcourue par l'onde pendant une période, autrement dit la plus petite distance séparant deux points du milieu qui vibrent en phase. C'est une périodicité SPATIALE, à distinguer de la période $T$ qui est la périodicité temporelle. Une onde périodique possède donc deux périodicités, et la célérité est précisément ce qui les relie.

d) La célérité ne change PAS : elle ne dépend que du milieu, et la source n'a aucune prise sur elle. La longueur d'onde, elle, est divisée par deux et vaut $0{,}12\ \mathrm{m}$, puisque $\lambda=\dfrac{v}{f}$ avec $v$ constante. C'est la confusion la plus fréquente du chapitre : changer la source change $f$ et $\lambda$, changer le milieu change $v$ et $\lambda$, mais $f$ est imposée par la source seule et $v$ par le milieu seul.

e) $\dfrac{0{,}36}{0{,}24}=1{,}5$. La distance vaut donc une longueur d'onde et demie, soit un nombre NON entier de longueurs d'onde. Les deux points ne vibrent pas en phase : ils sont même en opposition de phase, puisque le demi-restant correspond exactement à un décalage d'une demi-période. Quand l'un est au maximum, l'autre est au minimum.

La figure du corrigé est une PHOTOGRAPHIE de l'onde, c'est-à-dire son élongation en fonction de la position à un instant fixé, et il faut bien voir que ce n'est pas la même chose qu'un enregistrement en un point donné. Sur cette photographie, la période spatiale se lit directement : c'est la longueur d'onde $\lambda=0{,}24\ \mathrm{m}$, distance entre deux crêtes consécutives, marquée par le crochet. Si l'on avait au contraire enregistré l'élongation d'un SEUL point au cours du temps, on aurait obtenu une sinusoïde d'allure identique mais dont la période serait $T=0{,}020\ \mathrm{s}$, une durée et non une longueur. La relation $\lambda=v\,T$ n'est rien d'autre que le lien entre ces deux lectures : $12{,}0\times 0{,}020=0{,}24\ \mathrm{m}$ ✓. C'est la source d'erreur la plus fréquente du chapitre, et la parade est de regarder l'UNITÉ portée par l'axe des abscisses avant toute lecture, des mètres pour une photographie, des secondes pour un enregistrement. On retiendra aussi que la longueur d'onde dépend du milieu, puisque la célérité en dépend, alors que la période et la fréquence sont imposées par la source et traversent tous les milieux sans changer.

a) Le rayon issu de $B$ et PARALLÈLE à l'axe optique émerge en passant par le foyer image $F'$. Le rayon passant par le CENTRE optique $O$ n'est pas dévié. Le rayon passant par le foyer objet $F$ émerge parallèle à l'axe optique. Deux rayons suffisent à déterminer $B'$, le troisième servant de vérification, et sur la figure les trois se coupent bien au même point.

b) Avec $\overline{OA}=-60\ \mathrm{cm}$ et $f'=20\ \mathrm{cm}$ : $\dfrac{1}{\overline{OA'}}=\dfrac{1}{f'}+\dfrac{1}{\overline{OA}}=\dfrac{1}{20}-\dfrac{1}{60}=\dfrac{3-1}{60}=\dfrac{1}{30}$, donc $\overline{OA'}=+30\ \mathrm{cm}$. L'image se forme à $30\ \mathrm{cm}$ derrière la lentille.

c) $\gamma=\dfrac{\overline{OA'}}{\overline{OA}}=\dfrac{30}{-60}=-0{,}50$. La taille de l'image vaut $\left|\gamma\right|\times 4{,}0=2{,}0\ \mathrm{cm}$.

d) $\overline{OA'}$ est positif, donc l'image est RÉELLE, située du côté opposé à l'objet. Le grandissement est négatif, donc l'image est RENVERSÉE. Sa valeur absolue est inférieure à 1, donc l'image est RÉDUITE, deux fois plus petite que l'objet.

e) Oui. Une image réelle est formée par des rayons lumineux qui convergent effectivement en un point de l'espace : en plaçant un écran à $30\ \mathrm{cm}$ derrière la lentille, la lumière y arrive réellement et l'image s'y forme. Une image virtuelle, au contraire, n'existe qu'à l'intersection des PROLONGEMENTS des rayons, où aucune lumière ne passe : un écran n'y recueillerait rien. C'est exactement la différence entre l'image d'un projecteur, réelle, et celle d'une loupe, virtuelle.

a) Parce que l'oeil au repos, c'est-à-dire n'accommodant pas, est réglé pour voir net à l'infini. Recevoir une image à l'infini permet donc une observation prolongée sans fatigue oculaire. C'est aussi ce qui rend le réglage indépendant de l'observateur, du moins tant que sa vision est normale.

b) Dans une lunette afocale, le foyer image de l'objectif et le foyer objet de l'oculaire sont confondus, donc la distance entre les centres optiques vaut $f'_{1}+f'_{2}=50+2{,}0=52\ \mathrm{cm}$.

c) $G=\dfrac{f'_{1}}{f'_{2}}=\dfrac{50}{2{,}0}=25$. L'objet est vu 25 fois plus grand en diamètre apparent qu'à l'oeil nu.

d) Le grossissement croît avec $f'_{1}$ et décroît avec $f'_{2}$ : il faut donc un objectif de GRANDE focale et un oculaire de PETITE focale. C'est pourquoi les lunettes de fort grossissement sont longues, leur longueur valant approximativement $f'_{1}$, et pourquoi on change d'oculaire pour changer de grossissement sur un même instrument.

e) Parce que le grossissement ne sert à rien si l'image est trop peu lumineuse ou trop floue. Le diamètre de l'objectif détermine deux choses que la focale ne détermine pas : la quantité de lumière collectée, proportionnelle à la SURFACE donc au carré du diamètre, ce qui permet d'observer des objets faibles ; et le pouvoir de résolution, limité par la diffraction, qui fixe le plus petit détail séparable. Grossir une image floue ne fait qu'agrandir le flou. C'est pourquoi on désigne les télescopes par leur diamètre, et non par leur grossissement.

a) $\nu=\dfrac{c}{\lambda}=\dfrac{3{,}00\times 10^{8}}{532\times 10^{-9}}=5{,}64\times 10^{14}\ \mathrm{Hz}$.

b) $E=\dfrac{hc}{\lambda}=\dfrac{6{,}63\times 10^{-34}\times 3{,}00\times 10^{8}}{532\times 10^{-9}}=3{,}74\times 10^{-19}\ \mathrm{J}$. En électronvolts : $\dfrac{3{,}74\times 10^{-19}}{1{,}602\times 10^{-19}}=2{,}33\ \mathrm{eV}$.

c) Moins énergétique. L'énergie est inversement proportionnelle à la longueur d'onde, or le rouge a une longueur d'onde plus grande, autour de $700\ \mathrm{nm}$, que le bleu, autour de $450\ \mathrm{nm}$. Un photon bleu transporte donc environ une fois et demie l'énergie d'un photon rouge, ce qui explique par exemple pourquoi les ultraviolets sont dangereux et pas les infrarouges.

d) Un spectre d'émission de raies est obtenu en analysant la lumière émise par un gaz chaud : il montre des raies COLORÉES sur fond noir, aux longueurs d'onde que l'entité sait émettre. Un spectre d'absorption est obtenu en traversant un gaz froid avec de la lumière blanche : il montre des raies NOIRES sur fond coloré, exactement aux mêmes longueurs d'onde. Les deux nous apprennent la même chose : la composition chimique du gaz, chaque entité possédant un jeu de raies qui lui est propre, comme une signature.

e) Parce qu'aucun des deux ne rend compte de tous les phénomènes à lui seul. Le modèle ondulatoire explique la diffraction et les interférences, que le modèle particulaire ne peut pas produire. Le modèle particulaire explique l'effet photoélectrique et les spectres de raies, que le modèle ondulatoire ne peut pas expliquer. On utilise donc celui qui convient à la situation étudiée, ce qui n'est pas une faiblesse de la physique mais l'aveu que la lumière n'est ni exactement une onde ni exactement une particule au sens ordinaire : ces deux images sont des approximations d'un objet quantique que notre intuition ne contient pas.

a) Parce qu'elles vont plus vite et parcourent exactement la même distance. Les deux types d'ondes partent au même instant depuis le foyer, mais $v_{P}>v_{S}$, donc la durée de parcours des ondes P est toujours la plus courte. C'est d'ailleurs de là que viennent leurs noms : P pour premières, S pour secondes.

b) $t_{P}=\dfrac{d}{v_{P}}$ et $t_{S}=\dfrac{d}{v_{S}}$.

c) Le retard vaut $\Delta t=t_{S}-t_{P}=\dfrac{d}{v_{S}}-\dfrac{d}{v_{P}}=d\left(\dfrac{1}{v_{S}}-\dfrac{1}{v_{P}}\right)$. Donc $d=\dfrac{\Delta t}{\dfrac{1}{v_{S}}-\dfrac{1}{v_{P}}}=\dfrac{8{,}0}{\dfrac{1}{3{,}5}-\dfrac{1}{6{,}0}}=\dfrac{8{,}0}{0{,}2857-0{,}1667}=\dfrac{8{,}0}{0{,}1190}=67\ \mathrm{km}$. Vérification : $\dfrac{67{,}2}{3{,}5}-\dfrac{67{,}2}{6{,}0}=19{,}2-11{,}2=8{,}0\ \mathrm{s}$.

d) Non. Une station ne donne que la DISTANCE à l'épicentre, donc elle le situe quelque part sur un cercle de rayon $67\ \mathrm{km}$ autour d'elle. Une deuxième station donne un second cercle, et deux cercles se coupent en général en deux points. Il faut donc une TROISIÈME station pour lever l'ambiguïté : les trois cercles ne se croisent qu'en un seul point. C'est exactement le principe de la triangulation, et c'est aussi celui du positionnement par satellite.

e) Oui. La relation $\Delta t=d\left(\dfrac{1}{v_{S}}-\dfrac{1}{v_{P}}\right)$ est une proportionnalité entre $\Delta t$ et $d$, le facteur entre parenthèses ne dépendant que des célérités, donc du milieu. Doubler la distance double donc exactement le retard, qui passerait à $16\ \mathrm{s}$. C'est précisément ce qui rend la méthode utilisable : le retard est une mesure directe de la distance.

La figure du corrigé est exactement l'outil qu'utilise un sismologue, et elle explique pourquoi une SEULE station suffit à estimer la distance de l'épicentre. Les deux ondes partent au même instant du foyer mais voyagent à des célérités différentes, donc leurs temps d'arrivée croissent linéairement avec la distance, avec des pentes différentes : $\dfrac{1}{6{,}0}$ pour les ondes P, les plus rapides, et $\dfrac{1}{3{,}5}$ pour les ondes S. L'écart vertical entre les deux droites est donc lui aussi PROPORTIONNEL à la distance, avec un coefficient $\dfrac{1}{3{,}5}-\dfrac{1}{6{,}0}=0{,}119\ \mathrm{s/km}$. Mesurer un écart de $8{,}0\ \mathrm{s}$ revient à trouver l'abscisse où la bande entre les deux droites atteint cette hauteur, soit $67\ \mathrm{km}$, ce que la figure donne par lecture directe. Deux remarques importantes. Une station donne la DISTANCE mais pas la direction : l'épicentre est quelque part sur un cercle de $67\ \mathrm{km}$ de rayon, et il faut donc trois stations pour le localiser par intersection de trois cercles, ce qui est exactement la méthode employée en pratique. Et l'écart croissant avec la distance est une aubaine : plus le séisme est lointain, plus la mesure du décalage est facile et précise, alors qu'un séisme très proche donne deux arrivées presque simultanées.

a) $G=\dfrac{f'_{1}}{f'_{2}}=\dfrac{900}{25}=36$.

b) Le diamètre apparent est multiplié par le grossissement : $\theta'=G\theta=36\times 0{,}52=18{,}7^{\circ}$. La Lune paraît alors aussi large qu'une main grande ouverte tenue à bout de bras, soit près de vingt degrés, ce qui explique l'impression saisissante que donne une première observation.

c) $\theta=0{,}52\times\dfrac{\pi}{180}=9{,}08\times 10^{-3}\ \mathrm{rad}$. L'objectif forme l'image dans son plan focal, à la distance $f'_{1}$, donc sa taille vaut $A'B'=f'_{1}\theta=900\times 9{,}08\times 10^{-3}=8{,}2\ \mathrm{mm}$. C'est cette petite image de $8\ \mathrm{mm}$ que l'oculaire grossit ensuite comme une loupe.

d) $G=\dfrac{900}{10}=90$, soit deux fois et demie plus. La longueur vaut $f'_{1}+f'_{2}=900+10=910\ \mathrm{mm}$, contre $925\ \mathrm{mm}$ auparavant : elle change à peine, puisqu'elle est dominée par la focale de l'objectif.

e) Non. Deux limites apparaissent. D'abord la LUMINOSITÉ : la quantité de lumière collectée est fixée par le diamètre de l'objectif, donc grossir davantage étale la même lumière sur une image plus grande, qui devient de plus en plus sombre. Ensuite la RÉSOLUTION : la diffraction par l'ouverture de l'objectif fixe le plus petit détail discernable, et aucun oculaire ne peut faire apparaître un détail que l'objectif n'a pas résolu. Au-delà d'un grossissement de l'ordre de deux fois le diamètre de l'objectif exprimé en millimètres, on ne fait qu'agrandir une image floue. C'est ce qu'on appelle le grossissement vide.

a) Le coeur de l'étoile émet un spectre continu, contenant toutes les longueurs d'onde. En traversant l'atmosphère plus froide de l'étoile, cette lumière rencontre des atomes qui absorbent précisément les radiations dont l'énergie correspond à l'une de leurs transitions possibles. Ces radiations manquent alors dans le spectre reçu : elles apparaissent comme des raies noires sur le fond coloré continu.

b) $E=\dfrac{hc}{\lambda}=\dfrac{6{,}63\times 10^{-34}\times 3{,}00\times 10^{8}}{656\times 10^{-9}}=3{,}03\times 10^{-19}\ \mathrm{J}$, soit $\dfrac{3{,}03\times 10^{-19}}{1{,}602\times 10^{-19}}=1{,}89\ \mathrm{eV}$.

c) C'est exactement l'écart d'énergie entre deux niveaux de l'atome d'hydrogène. Un atome ne peut absorber que des photons dont l'énergie coïncide avec une telle différence, ce qui explique que le spectre soit fait de raies fines et non de bandes continues : les niveaux d'énergie de l'atome sont QUANTIFIÉS, et le photon est absorbé en totalité ou pas du tout.

d) Que l'étoile s'éloigne de nous. Un décalage de toutes les raies vers le rouge, c'est-à-dire vers les grandes longueurs d'onde, est la signature de l'effet Doppler appliqué à la lumière. Le point essentiel est que ce sont TOUTES les raies qui se décalent, dans le même rapport, alors que leurs écarts relatifs restent identiques : c'est ce qui permet de reconnaître le motif de l'hydrogène malgré le décalage, et donc de distinguer un mouvement d'une différence de composition.

e) Parce qu'aucun échantillon ne peut être rapporté et qu'aucune sonde ne peut y être envoyée : la lumière est la seule chose qui nous parvienne d'une étoile. Or chaque élément chimique possède un jeu de raies qui lui est propre, une signature qu'aucun autre ne partage, et qui est la même sur Terre que dans une galaxie lointaine. Lire les raies revient donc à lire directement la liste des éléments présents. C'est ainsi que l'hélium a été identifié dans le Soleil en 1868, avant même d'être isolé sur Terre, et c'est ce qui a donné son nom à cet élément.

a) Faux. Frapper plus fort augmente l'AMPLITUDE de la perturbation, donc l'énergie transportée, mais la célérité ne dépend que des propriétés du milieu, ici la tension et la masse linéique de la corde. Tendre la corde changerait la célérité, frapper plus fort ne la change pas. Amplitude et célérité sont deux grandeurs indépendantes, comme vu à l'exercice 1.

b) Faux, et c'est la même confusion vue par l'autre bout. La célérité est imposée par le MILIEU, la fréquence par la SOURCE, et elles sont indépendantes. Doubler $f$ à célérité constante divise la longueur d'onde par deux, comme le montre l'exercice 2 où $\lambda$ passe de $0{,}24$ à $0{,}12\ \mathrm{m}$ alors que $v$ reste à $12\ \mathrm{m/s}$. La relation $\lambda=\dfrac{v}{f}$ ne dit pas que $v$ dépend de $f$ : elle dit que $\lambda$ s'ajuste.

c) Faux. Cela n'est vrai que pour les images RÉELLES, celles obtenues quand l'objet est au-delà du foyer objet, comme dans l'exercice 3 où l'image se forme à $30\ \mathrm{cm}$ derrière la lentille. Si l'objet est placé entre le foyer et la lentille, l'image est VIRTUELLE : les rayons émergents divergent et ne se croisent qu'en prolongement, là où aucune lumière ne passe. C'est le cas de la loupe, et aucun écran n'y recueillerait quoi que ce soit.

d) Faux. Un oculaire de plus courte focale augmente effectivement le GROSSISSEMENT, comme le montre l'exercice 7 où l'on passe de 36 à 90. Mais il n'ajoute aucun détail : la quantité d'information est fixée en amont par l'objectif, à travers son diamètre, qui détermine à la fois la lumière collectée et la limite de résolution imposée par la diffraction. Au-delà d'un certain point on agrandit une image floue et de plus en plus sombre, ce qu'on appelle précisément un grossissement vide. Pour voir plus de détails, il faut un objectif plus grand, pas un oculaire plus court.

a) $E=\dfrac{hc}{\lambda}=\dfrac{6{,}63\times 10^{-34}\times 3{,}00\times 10^{8}}{532\times 10^{-9}}=3{,}74\times 10^{-19}\ \mathrm{J}$.

b) La puissance est l'énergie émise par seconde, donc le nombre de photons vaut $N=\dfrac{P}{E}=\dfrac{5{,}0\times 10^{-3}}{3{,}74\times 10^{-19}}=1{,}3\times 10^{16}$ photons par seconde.

c) L'ordre de grandeur est colossal : plus de dix millions de milliards de photons chaque seconde. C'est précisément ce qui justifie que le modèle ondulatoire suffise dans la vie courante : avec un flux aussi dense, le caractère granulaire de la lumière est totalement noyé, comme l'écoulement d'un liquide masque le fait qu'il est fait de molécules. Le modèle particulaire ne devient indispensable que lorsqu'on descend à des flux très faibles, ou lorsqu'on étudie un échange d'énergie photon par photon comme dans l'effet photoélectrique.

d) $E_{\mathrm{tot}}=P\Delta t=5{,}0\times 10^{-3}\times 60=0{,}30\ \mathrm{J}$. C'est peu en valeur absolue, à peine de quoi soulever une pomme de $100\ \mathrm{g}$ d'une trentaine de centimètres, mais toute cette énergie est concentrée sur une surface minuscule, et c'est cette CONCENTRATION qui fait le danger d'un laser, non son énergie totale.

e) Le photon infrarouge est deux fois moins énergétique, puisque sa longueur d'onde est double : $E=\dfrac{hc}{1064\times 10^{-9}}=1{,}87\times 10^{-19}\ \mathrm{J}$. À puissance égale, il faut donc DEUX FOIS PLUS de photons par seconde, soit $2{,}7\times 10^{16}$. Il est pourtant plus dangereux pour une raison qui n'est pas énergétique : l'infrarouge est INVISIBLE. L'oeil ne déclenche donc ni réflexe de clignement ni contraction de la pupille, et le faisceau peut brûler la rétine sans que la victime ait rien vu ni ressenti avant que le dommage ne soit fait. Le danger d'un laser ne se lit pas seulement dans son énergie par photon.

La figure du corrigé porte le nombre de photons émis par seconde en fonction de la longueur d'onde, à puissance FIXÉE de $5{,}0\ \mathrm{mW}$, et c'est une droite passant par l'origine. La raison est simple et vaut d'être comprise : la puissance est le produit du nombre de photons par seconde et de l'énergie de chacun, $P=N\,\dfrac{hc}{\lambda}$, donc $N=\dfrac{P\,\lambda}{hc}$ est proportionnel à $\lambda$. La lecture donne $1{,}34\times 10^{16}$ photons par seconde pour le vert à $532\ \mathrm{nm}$ et exactement le double aux arrondis près, $2{,}67\times 10^{16}$, pour l'infrarouge à $1\,064\ \mathrm{nm}$, ce qui n'est pas un hasard puisque cette longueur d'onde est le double de la précédente. Le résultat contredit une intuition courante : à puissance égale, un laser infrarouge émet PLUS de photons qu'un laser vert, pas moins, parce que chacun de ses photons transporte deux fois moins d'énergie. C'est précisément ce qui rend les lasers infrarouges dangereux : l'œil ne les voit pas, aucun réflexe de fermeture ne se déclenche, et la puissance déposée sur la rétine est pourtant la même. On notera enfin l'ordre de grandeur, plus de dix millions de milliards de photons chaque seconde pour un pointeur de poche : c'est ce qui explique que l'on ne perçoive jamais la nature granulaire de la lumière dans la vie courante.

a) Onze crêtes consécutives délimitent DIX intervalles : $\lambda=\dfrac{12{,}0}{10}=1{,}20\ \mathrm{cm}$. Diviser par onze est l'erreur classique, celle des piquets et des intervalles.

b) $T=\dfrac{1}{25}=0{,}040\ \mathrm{s}$ et $v=\lambda f=1{,}20\times 10^{-2}\times 25=0{,}30\ \mathrm{m/s}$.

c) L'onde paraît immobile quand, entre deux éclairs, elle a avancé d'un nombre ENTIER de longueurs d'onde, c'est-à-dire quand la durée entre deux éclairs est un multiple de $T$. À $25\ \mathrm{Hz}$, les éclairs sont séparés de $T$ : immobile. À $12{,}5\ \mathrm{Hz}$, ils sont séparés de $0{,}080\ \mathrm{s}=2T$ : immobile aussi. À $20\ \mathrm{Hz}$, ils sont séparés de $0{,}050\ \mathrm{s}=1{,}25\,T$ : l'onde a avancé d'un quart de longueur d'onde en plus à chaque éclair et paraît défiler lentement.

d) La fréquence est imposée par le vibreur : elle reste $25\ \mathrm{Hz}$. C'est le milieu qui a changé, donc la célérité et, avec elle, la longueur d'onde : $v'=\lambda'f=0{,}80\times 10^{-2}\times 25=0{,}20\ \mathrm{m/s}$. Les ondes sont plus lentes en eau peu profonde.

e) $\tau=\dfrac{d}{v}=\dfrac{0{,}060}{0{,}30}=0{,}20\ \mathrm{s}$, soit exactement $5\,T$ ; de même, $6{,}0\ \mathrm{cm}$ font $5$ longueurs d'onde. Le bouchon reproduit le mouvement de la source avec un retard d'un nombre entier de périodes : il vibre EN PHASE avec elle.

Une onde périodique a deux périodes, $T$ dans le temps et $\lambda$ dans l'espace, reliées par la célérité. Le stroboscope les relie à l'œil : l'onde paraît figée quand le temps entre deux éclairs est un multiple entier de $T$.

a) $E=E_{D}-E_{C}=-2{,}71-(-4{,}99)=2{,}28\ \mathrm{eV}$, soit $2{,}28\times 1{,}602\times 10^{-19}=3{,}65\times 10^{-19}\ \mathrm{J}$. Alors $\lambda=\dfrac{hc}{E}=\dfrac{6{,}63\times 10^{-34}\times 3{,}00\times 10^{8}}{3{,}65\times 10^{-19}}=5{,}45\times 10^{-7}\ \mathrm{m}$, soit $545\ \mathrm{nm}$ : c'est la raie VERTE du mercure. On soustrait toujours le niveau d'arrivée au niveau de départ, et la conversion en joules précède le calcul de $\lambda$.

b) $D\rightarrow B$ : $E=-2{,}71+5{,}55=2{,}84\ \mathrm{eV}$ et $\lambda=437\ \mathrm{nm}$, raie bleue. $D\rightarrow A$ : $E=-2{,}71+5{,}77=3{,}06\ \mathrm{eV}$ et $\lambda=406\ \mathrm{nm}$, raie violette. Plus l'écart d'énergie est grand, plus la longueur d'onde est courte.

c) $E=-5{,}55+10{,}44=4{,}89\ \mathrm{eV}$ et $\lambda=\dfrac{hc}{4{,}89\times 1{,}602\times 10^{-19}}=2{,}54\times 10^{-7}\ \mathrm{m}$, soit $254\ \mathrm{nm}$ : c'est un rayonnement ULTRAVIOLET, invisible. Dans un tube fluorescent, une poudre déposée sur le verre absorbe cet ultraviolet et réémet de la lumière visible.

d) Depuis le fondamental, les seules énergies absorbables sont les écarts vers les niveaux supérieurs : $4{,}67$, $4{,}89$, $5{,}45$ et $7{,}73\ \mathrm{eV}$ pour les niveaux proposés. Aucune ne vaut $3{,}00\ \mathrm{eV}$ : le photon n'est PAS absorbé, il traverse la vapeur. Un atome n'absorbe pas « un peu » d'un photon : c'est tout ou rien.

e) Il faut un photon d'au moins $10{,}44\ \mathrm{eV}$, donc une longueur d'onde au plus égale à $\lambda=\dfrac{hc}{10{,}44\times 1{,}602\times 10^{-19}}=1{,}19\times 10^{-7}\ \mathrm{m}$, soit $119\ \mathrm{nm}$, dans l'ultraviolet lointain. Au-delà de l'ionisation, toute énergie convient, car l'électron arraché emporte l'excédent.

Un diagramme de niveaux se lit par différences : l'énergie du photon est l'écart entre deux niveaux, jamais la valeur d'un niveau. Émission et absorption se font aux mêmes énergies, ce qui fait des raies une signature de l'élément.

a) Une image sur un écran est réelle, et renversée signifie $\gamma<0$ : $\gamma=-3$.

b) $\dfrac{1}{-3\,\overline{OA}}-\dfrac{1}{\overline{OA}}=\dfrac{1}{f'}$ donne $\dfrac{-1-3}{3\,\overline{OA}}=\dfrac{1}{10{,}0}$, soit $\overline{OA}=-\dfrac{4\times 10{,}0}{3}=-13{,}3\ \mathrm{cm}$. Puis $\overline{OA'}=-3\times(-13{,}3)=+40{,}0\ \mathrm{cm}$. L'objet est à $13{,}3\ \mathrm{cm}$ devant la lentille, un peu au-delà du foyer objet, et l'écran à $40{,}0\ \mathrm{cm}$ derrière.

c) $D=13{,}3+40{,}0=53{,}3\ \mathrm{cm}$. On vérifie par la relation de conjugaison : $\dfrac{1}{40{,}0}+\dfrac{3}{40{,}0}=\dfrac{4}{40{,}0}=\dfrac{1}{10{,}0}$ ✓.

d) Image droite : $\gamma=+3$. $\dfrac{1}{3\,\overline{OA}}-\dfrac{1}{\overline{OA}}=\dfrac{1}{10{,}0}$ donne $\dfrac{1-3}{3\,\overline{OA}}=\dfrac{1}{10{,}0}$, soit $\overline{OA}=-6{,}67\ \mathrm{cm}$ et $\overline{OA'}=-20{,}0\ \mathrm{cm}$. L'objet est entre le foyer et la lentille ; $\overline{OA'}<0$ : l'image est du même côté que l'objet, elle est VIRTUELLE. C'est le fonctionnement d'une loupe.

e) $\overline{OA'}$ infini impose $\dfrac{1}{\overline{OA}}=-\dfrac{1}{f'}$, soit $\overline{OA}=-10{,}0\ \mathrm{cm}$ : l'objet est dans le PLAN FOCAL objet. C'est ainsi qu'on utilise une loupe ou un oculaire pour observer sans accommoder.

Le signe du grandissement traduit le sens de l'image et celui de $\overline{OA'}$ sa nature. Imposer $\gamma$ transforme la relation de conjugaison en une équation à une seule inconnue, $\overline{OA}$ : c'est ainsi qu'on conçoit un montage au lieu de seulement l'analyser.

a) Avec $\overline{OA}=-p$ et $\overline{OA'}=p'$ : $\dfrac{1}{p'}+\dfrac{1}{p}=\dfrac{1}{f'}$. En remplaçant $p'=D-p$ : $\dfrac{p+D-p}{p(D-p)}=\dfrac{1}{f'}$, soit $p(D-p)=f'D$, c'est-à-dire $p^{2}-Dp+f'D=0$.

b) C'est une équation du second degré en $p$, de discriminant $\Delta=D^{2}-4f'D$. Deux positions nettes existent si $\Delta>0$, soit $D>4f'$. Les solutions sont $\dfrac{D\pm\sqrt{\Delta}}{2}$, et leur différence vaut $\sqrt{\Delta}=\sqrt{D^{2}-4f'D}$.

c) $d^{2}=D^{2}-4f'D$ donne $f'=\dfrac{D^{2}-d^{2}}{4D}=\dfrac{1{,}00^{2}-0{,}400^{2}}{4\times 1{,}00}=\dfrac{0{,}840}{4}=0{,}210\ \mathrm{m}$, soit $f'=21{,}0\ \mathrm{cm}$.

d) $p_{1}=\dfrac{100+40{,}0}{2}=70{,}0\ \mathrm{cm}$ et $p_{2}=30{,}0\ \mathrm{cm}$. Avec $p_{1}=70{,}0$, l'écran est à $p'_{1}=30{,}0\ \mathrm{cm}$ et $\gamma_{1}=\dfrac{30{,}0}{-70{,}0}=-0{,}429$ ; avec $p_{2}=30{,}0$, $p'_{2}=70{,}0\ \mathrm{cm}$ et $\gamma_{2}=-2{,}33$. Les deux positions sont SYMÉTRIQUES : on échange les rôles de $p$ et $p'$, et $\gamma_{1}\gamma_{2}=1$, une image réduite puis une image agrandie dans le même rapport.

e) Il faudrait $D>4f'=84{,}0\ \mathrm{cm}$. Avec $D=80{,}0\ \mathrm{cm}$, le discriminant est négatif : aucune position de la lentille ne donne d'image nette sur l'écran. Une lentille convergente ne peut former une image réelle que si l'objet et l'écran sont séparés d'au moins quatre fois sa distance focale.

La méthode de Bessel remplace la mesure délicate de la position du centre optique par celle, très précise, d'un déplacement $d$. La relation de conjugaison y devient une équation du second degré, et son discriminant contient toute la physique du montage.