Exercices corrigés : la lunette astronomique (Terminale spécialité)

L'objectif est $L_{1}$, la lentille de GRANDE distance focale, tournée vers l'objet. C'est elle qui forme une première image de l'objet lointain ; l'oculaire $L_{2}$, de petite distance focale, sert de loupe pour observer cette image. Sur le schéma, la plus grande lentille est l'objectif : un grand diamètre collecte plus de lumière.

Un objet à l'infini donne une image dans le PLAN FOCAL IMAGE de la lentille : $A_{1}$ est confondu avec $F'_{1}$, à $800\ \mathrm{mm}$ de $O_{1}$. On le justifie par la relation de conjugaison : avec $\overline{O_{1}A}\to -\infty$, $\dfrac{1}{\overline{O_{1}A_{1}}}=\dfrac{1}{f'_{1}}$.

L'image intermédiaire est RÉELLE : les rayons y passent effectivement, on pourrait la recueillir sur un écran ou un capteur. Elle est RENVERSÉE, puisque le rayon issu de $B$ passant par $O_{1}$ n'est pas dévié et traverse l'axe au centre optique. La lunette étant afocale, $A_{1}=F'_{1}=F_{2}$ : l'image est à $f'_{2}=20\ \mathrm{mm}$ de $O_{2}$, dans le plan focal OBJET de l'oculaire.

$C_{1}=\dfrac{1}{f'_{1}}=\dfrac{1}{0{,}800}=1{,}25\ \delta$ et $C_{2}=\dfrac{1}{0{,}020}=50\ \delta$. La distance focale doit être en MÈTRES pour obtenir des dioptries : écrire $\dfrac{1}{800}$ donnerait un nombre mille fois trop petit.

Non : $F'_{1}$ et $F_{2}$ ne sont plus confondus, le système n'est plus afocal. L'objet de l'oculaire, $A_{1}B_{1}$, est situé entre son foyer objet et son centre optique : l'oculaire fonctionne alors en loupe et donne une image finale VIRTUELLE, droite par rapport à $A_{1}B_{1}$, à distance finie. C'est exactement ce que cherche un œil myope, qui ne voit nettement que des objets proches : chaque observateur règle la mise au point pour sa propre vue.

Des rayons parallèles entre eux convergent, après une lentille convergente, en un point du PLAN FOCAL IMAGE. Les trois rayons se croisent donc en un point $B_{1}$ du plan focal image de l'objectif, au-dessous de l'axe, puisque le faisceau descend vers la droite.

Le rayon qui passe par le centre optique $O_{1}$ n'est pas dévié : on le prolonge en ligne droite jusqu'au plan focal image, et son intersection avec ce plan donne $B_{1}$. Les deux autres rayons y sont ensuite tracés en rejoignant simplement $B_{1}$. C'est la seule construction qui ne demande aucun rayon auxiliaire.

Des rayons issus d'un même point du plan focal OBJET d'une lentille convergente en ressortent PARALLÈLES entre eux. Les trois rayons, qui divergent depuis $B_{1}$, sortent donc de l'oculaire en un faisceau parallèle : l'image finale est à l'infini, et l'œil la voit sans accommoder.

Pour trouver leur direction, on trace le rayon fictif issu de $B_{1}$ qui passerait par $O_{2}$ sans être dévié : tous les rayons émergents sont parallèles à la droite $(B_{1}O_{2})$. Sur la figure du corrigé, cette droite est en pointillés et les rayons émergents en rouge.

L'image est RENVERSÉE : le faisceau incident venait d'en haut à gauche, le faisceau émergent monte vers la droite, c'est-à-dire que l'œil reçoit la lumière d'un point qu'il voit sous l'axe. Et l'angle avec l'axe est PLUS GRAND : sur le schéma, la pente passe de $0{,}15$ à $0{,}45$, soit un grossissement $G=3$, égal à $\dfrac{f'_{1}}{f'_{2}}=\dfrac{6}{2}$ dans les unités du dessin. Le renversement est sans importance en astronomie, mais il interdit l'usage terrestre d'une lunette sans système redresseur.

Le rayon issu de $B$ qui passe par $O_{1}$ n'est pas dévié et fait l'angle $\theta$ avec l'axe ; il aboutit en $B_{1}$, dans le plan focal image. Le triangle $O_{1}A_{1}B_{1}$ est rectangle en $A_{1}$, avec $O_{1}A_{1}=f'_{1}$ : $\tan\theta=\dfrac{A_{1}B_{1}}{f'_{1}}$, donc $\theta\approx\dfrac{A_{1}B_{1}}{f'_{1}}$.

Le faisceau émergent est parallèle à $(B_{1}O_{2})$, qui fait l'angle $\theta'$ avec l'axe. Dans le triangle $O_{2}A_{1}B_{1}$, rectangle en $A_{1}$ avec $O_{2}A_{1}=f'_{2}$ : $\theta'\approx\dfrac{A_{1}B_{1}}{f'_{2}}$. C'est le même segment $A_{1}B_{1}$ dans les deux triangles, et c'est tout l'intérêt de la lunette afocale : l'image intermédiaire est commune aux deux lentilles.

$G=\dfrac{\theta'}{\theta}=\dfrac{A_{1}B_{1}/f'_{2}}{A_{1}B_{1}/f'_{1}}=\dfrac{f'_{1}}{f'_{2}}$. Ici $G=\dfrac{1200}{30}=40$. Le grossissement est un nombre SANS UNITÉ : les deux distances focales doivent être dans la même unité, mais laquelle importe peu.

$\theta=45''=\dfrac{45}{3600}=0{,}0125^{\circ}=2{,}18\times 10^{-4}\ \mathrm{rad}$. $A_{1}B_{1}=f'_{1}\,\theta=1200\times 2{,}18\times 10^{-4}=0{,}26\ \mathrm{mm}$ : l'angle doit être en RADIANS dans cette formule, qui vient d'une tangente. Puis $\theta'=G\,\theta=40\times 0{,}0125=0{,}50^{\circ}$ : dans un rapport d'angles, les degrés conviennent.

Jupiter vue dans la lunette, $0{,}50^{\circ}$, paraît à peu près aussi grande que la Lune à l'œil nu. La lunette ne rapproche pas Jupiter : elle multiplie par $40$ l'angle sous lequel on la voit, et c'est cet angle, pas la taille réelle, qui décide de ce que l'œil distingue.

Toute la lumière qui entre par l'objectif et traverse la lunette passe par l'image de la monture de l'objectif : le cercle oculaire est la section la plus étroite de tous les faisceaux émergents. Une pupille placée là reçoit la totalité de la lumière et voit tout le champ ; placée ailleurs, elle en perd une partie et le bord du champ s'assombrit.

L'objet est l'objectif lui-même, en $O_{1}$ : $\overline{O_{2}A}=-(f'_{1}+f'_{2})=-820\ \mathrm{mm}$. $\dfrac{1}{\overline{O_{2}A'}}=\dfrac{1}{20}+\dfrac{1}{-820}=\dfrac{41-1}{820}=\dfrac{40}{820}$, donc $\overline{O_{2}A'}=20{,}5\ \mathrm{mm}$. Le cercle oculaire est juste après le foyer image de l'oculaire, à $0{,}5\ \mathrm{mm}$ de $F'_{2}$ : c'est l'endroit où l'on pose l'œil, presque contre la lentille. Le signe moins de $\overline{O_{2}A}$ est le piège : l'objet est AVANT l'oculaire.

$\gamma=\dfrac{20{,}5}{-820}=-0{,}025$ : image renversée et quarante fois plus petite. $d=|\gamma|\times D=0{,}025\times 80=2{,}0\ \mathrm{mm}$. La figure du corrigé montre les rayons issus des bords $M$ et $N$ de l'objectif : ils se recoupent dans le plan du cercle oculaire, où $M$ et $N$ ont échangé leurs places.

$G=\dfrac{800}{20}=40$ et $\dfrac{D}{G}=\dfrac{80}{40}=2{,}0\ \mathrm{mm}$ : on retrouve $d$. La relation $d=\dfrac{D}{G}$ donne une mesure expérimentale du grossissement sans aucun angle, en mesurant deux diamètres.

Oui : $2{,}0\ \mathrm{mm}$ est inférieur à $6\ \mathrm{mm}$, le faisceau entre en entier dans la pupille. Avec $f'_{2}=5\ \mathrm{mm}$, $G=160$ et $d=\dfrac{80}{160}=0{,}50\ \mathrm{mm}$ : la lumière de l'objectif, étalée sur une image angulairement plus grande, passe par un trou minuscule, et l'image paraît sombre. C'est l'une des raisons pour lesquelles on ne pousse pas le grossissement indéfiniment.

$f'_{1}=\dfrac{1}{5{,}0}=0{,}20\ \mathrm{m}=20\ \mathrm{cm}$ et $f'_{2}=\dfrac{1}{20}=0{,}050\ \mathrm{m}=5{,}0\ \mathrm{cm}$. L'objectif est la lentille de plus faible vergence, donc de plus grande distance focale, $L_{1}$.

Pour une maquette afocale, $F'_{1}$ et $F_{2}$ sont confondus : $O_{1}O_{2}=f'_{1}+f'_{2}=25\ \mathrm{cm}$. Grossissement théorique $G=\dfrac{20}{5{,}0}=4{,}0$, ou directement $G=\dfrac{C_{2}}{C_{1}}$, puisque les vergences sont les inverses des distances focales.

$\theta\approx\dfrac{1{,}2}{30}=0{,}040\ \mathrm{rad}$. L'immeuble est à $30\ \mathrm{m}$, soit $150$ fois la distance focale de l'objectif : on peut le considérer à l'infini. $A_{1}B_{1}=f'_{1}\,\theta=20\times 0{,}040=0{,}80\ \mathrm{cm}$.

$\theta'\approx\dfrac{A_{1}B_{1}}{f'_{2}}=\dfrac{0{,}80}{5{,}0}=0{,}16\ \mathrm{rad}$, et $G=\dfrac{0{,}16}{0{,}040}=4{,}0$ : on retrouve la valeur théorique.

La tache de diamètre minimal est le CERCLE OCULAIRE, image de la monture de l'objectif par l'oculaire. Son diamètre vaut $d=\dfrac{D}{G}$, d'où $G=\dfrac{D}{d}=\dfrac{3{,}0}{0{,}75}=4{,}0$. Cette méthode, qui remplace une mesure d'angle difficile par deux mesures de longueur, est celle qu'on utilise en travaux pratiques pour contrôler une lunette commerciale.

$G=\dfrac{f'_{1}}{f'_{2}}$ avec $f'_{1}=1000\ \mathrm{mm}$ : $G_{25}=\dfrac{1000}{25}=40$, $G_{10}=100$ et $G_{6}=\dfrac{1000}{6}=167$. Le plus PETIT oculaire donne le plus FORT grossissement : c'est l'inverse de ce que suggère l'intuition, et c'est la raison pour laquelle on lit la distance focale gravée sur l'oculaire avant tout.

Avec la lentille de Barlow, la distance focale effective vaut $2000\ \mathrm{mm}$ et $G=\dfrac{2000}{6}=333$. Le grossissement maximal utile vaut $2\times 102=204$ : on le dépasse largement. L'image serait plus grande mais pas plus détaillée, seulement plus floue et plus sombre, car la finesse des détails est limitée par le diamètre de l'objectif, pas par l'oculaire.

Champ réel $=\dfrac{52^{\circ}}{40}=1{,}3^{\circ}$. La Lune, $0{,}52^{\circ}$, tient en entier avec une marge confortable : c'est l'oculaire qui convient pour la voir tout entière. Avec l'oculaire de $6\ \mathrm{mm}$, le champ ne serait plus que de $0{,}31^{\circ}$, et l'on n'en verrait qu'une partie.

$d=\dfrac{D}{G}=\dfrac{102}{40}=2{,}6\ \mathrm{mm}$, largement dans une pupille ouverte de nuit.

L'oculaire de $25\ \mathrm{mm}$, le plus faible grossissement. Andromède s'étend sur $3^{\circ}$ : même ce champ de $1{,}3^{\circ}$ n'en montre que le cœur, et un grossissement plus fort réduirait encore le champ. Et pour un objet peu lumineux, un faible grossissement concentre la lumière sur une image angulairement plus petite, avec un cercle oculaire plus large : l'image est plus lumineuse.

$\theta\approx\dfrac{5{,}0}{384\,000}=1{,}30\times 10^{-5}\ \mathrm{rad}$. Les deux longueurs sont en kilomètres, le rapport est sans unité : c'est un angle en radians. Écrire la distance en mètres et la taille en kilomètres fausserait le résultat d'un facteur mille.

Non : $1{,}30\times 10^{-5}\ \mathrm{rad}$ est vingt-trois fois plus petit que le pouvoir séparateur de l'œil. À l'œil nu, ce cratère se fond dans la surface grise de la Lune.

Il faut $\theta'=G\,\theta\geq 3{,}0\times 10^{-4}$, soit $G\geq\dfrac{3{,}0\times 10^{-4}}{1{,}30\times 10^{-5}}=23$. Un grossissement de $23$ suffit en théorie ; en pratique on prend une marge, car un détail vu tout juste à la limite de l'œil n'est pas confortablement visible.

$G=\dfrac{f'_{1}}{f'_{2}}\geq 23$ donne $f'_{2}\leq\dfrac{700}{23}=30\ \mathrm{mm}$. Le sens de l'inégalité est le point délicat : pour grossir PLUS, il faut un oculaire de distance focale PLUS PETITE.

Le plus petit angle distinguable à l'œil nu, $3{,}0\times 10^{-4}\ \mathrm{rad}$, correspond dans le ciel à $\theta=\dfrac{3{,}0\times 10^{-4}}{100}=3{,}0\times 10^{-6}\ \mathrm{rad}$, soit un cratère de $3{,}0\times 10^{-6}\times 384\,000=1{,}2\ \mathrm{km}$. En réalité, la diffraction par l'objectif et la turbulence de l'atmosphère fixent une limite qui peut être plus sévère que celle de l'œil : augmenter le grossissement ne fait alors plus apparaître de nouveaux détails.

FAUX. L'image intermédiaire de la Lune mesure quelques millimètres, et l'image finale est à l'infini : parler de sa taille n'a pas de sens. La lunette augmente l'ANGLE sous lequel on voit la Lune, son diamètre apparent, d'un facteur $G$.

FAUX. C'est le foyer image de l'objectif, $F'_{1}$, qui est confondu avec le foyer OBJET de l'oculaire, $F_{2}$. L'image intermédiaire se trouve ainsi dans le plan focal objet de l'oculaire, qui en donne une image à l'infini.

FAUX. Le grossissement $G=\dfrac{f'_{1}}{f'_{2}}$ ne dépend que des distances focales. Le diamètre de l'objectif fixe la quantité de lumière collectée, proportionnelle à $D^{2}$, et la finesse des détails : un grand diamètre donne une image plus lumineuse et plus détaillée, pas plus grossie.

FAUX. L'image intermédiaire est RÉELLE : les rayons issus de chaque point de l'objet s'y croisent effectivement. Si l'on retire l'oculaire et qu'on place un écran ou un capteur dans le plan focal de l'objectif, elle s'y forme nettement ; c'est le principe de la photographie au foyer.

FAUX. Les rayons issus d'un même point de l'objet ressortent PARALLÈLES entre eux, puisque l'image finale est à l'infini. C'est le cristallin de l'œil, au repos, qui les fait converger sur la rétine.

Dans le PLAN FOCAL IMAGE de l'objectif : un objet à l'infini y forme une image réelle et nette. C'est l'image intermédiaire de la lunette, qu'on enregistre au lieu de l'observer à l'oculaire.

$\theta=0{,}52\times\dfrac{\pi}{180}=9{,}08\times 10^{-3}\ \mathrm{rad}$, et le diamètre de l'image vaut $f'_{1}\,\theta=1000\times 9{,}08\times 10^{-3}=9{,}1\ \mathrm{mm}$. L'angle doit être en radians : avec $0{,}52$ en degrés, on trouverait $520\ \mathrm{mm}$, plus grand que l'appareil.

Le diamètre est proportionnel à la distance focale : $2000\times 9{,}08\times 10^{-3}=18{,}2\ \mathrm{mm}$. C'est plus que la petite dimension du capteur, $15{,}6\ \mathrm{mm}$ : la Lune ne tient plus en entier, ses bords haut et bas sont coupés, comme le montre la figure du corrigé.

Il faut $f\,\theta\leq 15{,}6\ \mathrm{mm}$, soit $f\leq\dfrac{15{,}6}{9{,}08\times 10^{-3}}=1{,}72\times 10^{3}\ \mathrm{mm}$, environ $1{,}7\ \mathrm{m}$. Au-delà, on photographie des régions de la Lune et non la Lune entière.

La Lune doit parcourir un angle égal à son diamètre apparent : $t=\dfrac{0{,}52^{\circ}}{15^{\circ}/\mathrm{h}}=0{,}0347\ \mathrm{h}=125\ \mathrm{s}$, environ deux minutes. Un angle parcouru dans le ciel se retrouve à l'identique en diamètres apparents, donc en diamètres d'image : sans monture motorisée, la pose doit rester très courte devant cette durée pour que l'image ne soit pas floue.

$L=f'_{1}+f'_{2}=16{,}2+0{,}040=16{,}24\ \mathrm{m}$. On additionne des distances dans la même unité : l'oculaire ne pèse presque rien dans la longueur, qui est fixée par l'objectif. D'où les coupoles immenses de ces instruments.

$G=\dfrac{16\,200}{40}=405$. Avec un oculaire de $40\ \mathrm{mm}$, qui donnerait $G=25$ sur une lunette d'amateur de $1\ \mathrm{m}$ de focale, la grande focale de l'objectif suffit à obtenir un fort grossissement.

$\theta'=G\,\theta=405\times\dfrac{44}{3600}=4{,}95^{\circ}$, soit presque dix fois le diamètre apparent de la Lune à l'œil nu. Le rapport d'angles permet de rester en degrés, sans conversion en radians.

$d=\dfrac{D}{G}=\dfrac{830}{405}=2{,}05\ \mathrm{mm}$, qui entre en entier dans la pupille de $6{,}0\ \mathrm{mm}$ : toute la lumière collectée atteint l'œil.

La lumière collectée est proportionnelle à la SURFACE de l'ouverture, donc au carré du diamètre : $\left(\dfrac{830}{6{,}0}\right)^{2}=1{,}9\times 10^{4}$. L'objectif collecte près de vingt mille fois plus de lumière que l'œil nu : c'est cette capacité, bien plus que le grossissement, qui justifiait de tels diamètres. Ne pas oublier le carré : le rapport des diamètres, $138$, sous-estime le gain d'un facteur $138$.

$\overline{O_{1}A}=-500\ \mathrm{m}$ et $f'_{1}=0{,}500\ \mathrm{m}$ : $\dfrac{1}{\overline{O_{1}A_{1}}}=\dfrac{1}{0{,}500}+\dfrac{1}{-500}=2-0{,}002=1{,}998$, donc $\overline{O_{1}A_{1}}=0{,}5005\ \mathrm{m}=50{,}05\ \mathrm{cm}$. Le signe moins de $\overline{O_{1}A}$ est indispensable : l'objet est avant la lentille.

$\dfrac{50{,}05-50{,}00}{50{,}00}=0{,}1\ \%$. L'image est pratiquement dans le plan focal image, et l'approximation « objet à l'infini » est excellente.

$\gamma=\dfrac{0{,}5005}{-500}=-1{,}0\times 10^{-3}$, donc $A_{1}B_{1}=|\gamma|\times 30=3{,}0\times 10^{-2}\ \mathrm{m}=3{,}0\ \mathrm{cm}$, image renversée. On retrouve le résultat de l'approximation des petits angles, $f'_{1}\,\theta=0{,}50\times\dfrac{30}{500}=3{,}0\ \mathrm{cm}$.

$\dfrac{1}{\overline{O_{1}A_{1}}}=\dfrac{1}{0{,}500}-\dfrac{1}{5{,}0}=2-0{,}2=1{,}8$, soit $\overline{O_{1}A_{1}}=0{,}556\ \mathrm{m}=55{,}6\ \mathrm{cm}$. L'image s'est éloignée de l'objectif de $55{,}6-50{,}05=5{,}5\ \mathrm{cm}$ : l'oculaire doit reculer d'autant pour que l'image intermédiaire reste dans son plan focal objet. C'est le rôle de la crémaillère de mise au point.

Quand la distance de l'objet est très grande devant $f'_{1}$ : à $500\ \mathrm{m}$, soit mille distances focales, l'écart est de $0{,}1\ \%$ ; à $5\ \mathrm{m}$, dix distances focales seulement, il atteint $11\ \%$. Pour les astres, à des millions de kilomètres, l'approximation est parfaite.