Exercices corrigés : l'effet photoélectrique et le photon (Terminale spécialité)

$E=\dfrac{hc}{\lambda}=\dfrac{6{,}63\times 10^{-34}\times 3{,}00\times 10^{8}}{254\times 10^{-9}}=7{,}83\times 10^{-19}\ \mathrm{J}$. En électronvolts : $\dfrac{7{,}83\times 10^{-19}}{1{,}60\times 10^{-19}}=4{,}89\ \mathrm{eV}$. La longueur d'onde doit être en MÈTRES : $254\ \mathrm{nm}=254\times 10^{-9}\ \mathrm{m}$.

$\nu=\dfrac{c}{\lambda}=\dfrac{3{,}00\times 10^{8}}{254\times 10^{-9}}=1{,}18\times 10^{15}\ \mathrm{Hz}$. On vérifie $E=h\nu=6{,}63\times 10^{-34}\times 1{,}18\times 10^{15}=7{,}83\times 10^{-19}\ \mathrm{J}$.

Le photon a une masse NULLE et se déplace dans le vide à la vitesse $c=3{,}00\times 10^{8}\ \mathrm{m\cdot s^{-1}}$. Il n'a pas d'énergie de masse : toute son énergie est $h\nu$.

$E=\dfrac{6{,}63\times 10^{-34}\times 3{,}00\times 10^{8}}{10{,}6\times 10^{-6}}=1{,}88\times 10^{-20}\ \mathrm{J}=0{,}117\ \mathrm{eV}$. Le préfixe micro vaut $10^{-6}$, pas $10^{-9}$ : c'est l'erreur à ne pas faire en passant du nanomètre au micromètre.

Les énergies sont inversement proportionnelles aux longueurs d'onde : $\dfrac{10{,}6\times 10^{-6}}{254\times 10^{-9}}=41{,}7$. Le photon ultraviolet porte environ quarante-deux fois plus d'énergie. C'est pourquoi l'ultraviolet peut casser des molécules, ici l'ADN des bactéries, alors que l'infrarouge du laser ne découpe qu'en chauffant, par l'accumulation d'un nombre énorme de photons.

$W=h\nu_{0}$, donc $\nu_{0}=\dfrac{W}{h}=\dfrac{4{,}31\times 1{,}60\times 10^{-19}}{6{,}63\times 10^{-34}}=1{,}04\times 10^{15}\ \mathrm{Hz}$. La conversion en joules est obligatoire, puisque $h$ est en $\mathrm{J\cdot s}$.

$\lambda_{0}=\dfrac{c}{\nu_{0}}=\dfrac{hc}{W}=\dfrac{6{,}63\times 10^{-34}\times 3{,}00\times 10^{8}}{6{,}90\times 10^{-19}}=2{,}88\times 10^{-7}\ \mathrm{m}=288\ \mathrm{nm}$, dans l'ultraviolet. Le seuil est un MAXIMUM de longueur d'onde : seules les radiations de longueur d'onde plus COURTE que $288\ \mathrm{nm}$ conviennent.

Non. Toutes les radiations visibles ont une longueur d'onde supérieure à $288\ \mathrm{nm}$, donc des photons d'énergie inférieure à $W$ : le photon le plus énergétique du visible, à $400\ \mathrm{nm}$, n'a que $3{,}1\ \mathrm{eV}$. Aucune intensité ni aucune durée d'éclairement n'y changent rien.

Bilan d'énergie d'Einstein : $E_{c,max}=h\nu-W=4{,}89-4{,}31=0{,}58\ \mathrm{eV}$, soit $9{,}3\times 10^{-20}\ \mathrm{J}$. La soustraction se fait dans UNE unité : ici les électronvolts, les deux énergies étant données ainsi. C'est une valeur MAXIMALE : les électrons arrachés plus profondément dans le métal sortent avec moins d'énergie.

$E_{c}=\dfrac{1}{2}mv^{2}$ donne $v=\sqrt{\dfrac{2E_{c}}{m}}=\sqrt{\dfrac{2\times 9{,}35\times 10^{-20}}{9{,}11\times 10^{-31}}}=4{,}5\times 10^{5}\ \mathrm{m\cdot s^{-1}}$. L'énergie doit être en joules dans cette formule : avec $0{,}58$ eV laissé tel quel, on trouverait une vitesse absurde de l'ordre de $10^{15}\ \mathrm{m\cdot s^{-1}}$.

$E=\dfrac{hc}{\lambda}=\dfrac{6{,}63\times 10^{-34}\times 3{,}00\times 10^{8}}{500\times 10^{-9}}=3{,}98\times 10^{-19}\ \mathrm{J}=2{,}49\ \mathrm{eV}$.

Oui, puisque $2{,}49\ \mathrm{eV}>W=2{,}14\ \mathrm{eV}$. $E_{c,max}=2{,}49-2{,}14=0{,}35\ \mathrm{eV}$. Le césium, métal alcalin, a l'un des travaux d'extraction les plus faibles : c'est pour cela qu'on l'utilise dans les cellules sensibles à la lumière visible.

L'énergie cinétique maximale NE CHANGE PAS : chaque électron est arraché par UN photon, dont l'énergie dépend seulement de la longueur d'onde. Le nombre d'électrons par seconde DOUBLE : deux fois plus de photons arrivent par seconde, donc deux fois plus d'électrons sont arrachés. C'est exactement ce que le modèle ondulatoire ne savait pas expliquer.

Non. $E=\dfrac{6{,}63\times 10^{-34}\times 3{,}00\times 10^{8}}{700\times 10^{-9}}=2{,}84\times 10^{-19}\ \mathrm{J}=1{,}78\ \mathrm{eV}<2{,}14\ \mathrm{eV}$. Dix fois plus de photons, mais chacun trop peu énergétique : leurs énergies ne s'additionnent pas sur un même électron. Aucun électron n'est émis.

$\lambda_{0}=\dfrac{hc}{W}=\dfrac{6{,}63\times 10^{-34}\times 3{,}00\times 10^{8}}{2{,}14\times 1{,}60\times 10^{-19}}=5{,}81\times 10^{-7}\ \mathrm{m}=581\ \mathrm{nm}$, dans le jaune. Toute lumière de longueur d'onde inférieure, du jaune au violet, extrait des électrons du césium ; l'orange et le rouge n'en extraient pas. On vérifie la cohérence : $500\ \mathrm{nm}<581\ \mathrm{nm}$ donne l'effet, $700\ \mathrm{nm}>581\ \mathrm{nm}$ ne le donne pas.

La relation $E_{c,max}=h\nu-W$ donnerait une énergie cinétique NÉGATIVE sous le seuil, ce qui n'a pas de sens : une énergie cinétique est positive ou nulle. Physiquement, les photons n'ont pas assez d'énergie pour extraire un électron, et aucun électron n'est émis. Le prolongement pointillé ne sert qu'à lire l'ordonnée à l'origine.

La droite coupe l'axe des abscisses en $\nu_{0}=5{,}5\times 10^{14}\ \mathrm{Hz}$ : c'est la fréquence pour laquelle $E_{c,max}=0$.

Pente $=\dfrac{3{,}11-0{,}62}{(13-7)\times 10^{14}}=\dfrac{2{,}49}{6\times 10^{14}}=4{,}15\times 10^{-15}\ \mathrm{eV\cdot s}$. D'après $E_{c,max}=h\nu-W$, la pente est $h$ : $h=4{,}15\times 10^{-15}\times 1{,}60\times 10^{-19}=6{,}64\times 10^{-34}\ \mathrm{J\cdot s}$. Le facteur $10^{14}$ de l'axe se réintègre dans le calcul, c'est la cause d'erreur la plus fréquente sur ce graphe.

En $\nu=0$, la droite prolongée donne $E_{c,max}=-W$, et on lit $-2{,}3\ \mathrm{eV}$ : $W=2{,}3\ \mathrm{eV}$. Contrôle : $W=h\nu_{0}=4{,}15\times 10^{-15}\times 5{,}5\times 10^{14}=2{,}3\ \mathrm{eV}$. Tous les métaux donneraient des droites PARALLÈLES, de même pente $h$, décalées selon leur travail d'extraction.

$\lambda_{0}=\dfrac{c}{\nu_{0}}=\dfrac{3{,}00\times 10^{8}}{5{,}5\times 10^{14}}=5{,}5\times 10^{-7}\ \mathrm{m}=545\ \mathrm{nm}$, dans le vert : le sodium réagit à la lumière bleue et violette, pas à la lumière rouge.

La courbe coupe l'axe des intensités en $I_{cc}=3{,}0\ \mathrm{A}$, pour $U=0$, et l'axe des tensions en $U_{0}=0{,}60\ \mathrm{V}$, pour $I=0$.

$P=U\,I$ : en court-circuit la tension est nulle, à vide l'intensité est nulle. Dans les deux cas le produit s'annule. La puissance maximale se trouve donc forcément entre les deux, dans le « coude » de la caractéristique.

Avec les valeurs du tableau : $0$ ; $0{,}60$ ; $1{,}18$ ; $1{,}28$ ; $1{,}31$ ; $1{,}24$ ; $1{,}05$ ; $0$ watt. La puissance maximale vaut $P_{max}=1{,}31\ \mathrm{W}$, pour $U=0{,}48\ \mathrm{V}$ et $I=2{,}73\ \mathrm{A}$. La figure du corrigé trace $P(U)$ : un maximum unique, bien marqué. On ne peut pas trouver ce point en multipliant $I_{cc}$ par $U_{0}$, qui donnerait $1{,}80\ \mathrm{W}$, une puissance jamais atteinte.

$S=(0{,}10)^{2}=1{,}0\times 10^{-2}\ \mathrm{m^{2}}$, et la puissance reçue vaut $E\,S=1000\times 1{,}0\times 10^{-2}=10\ \mathrm{W}$. Rendement : $\eta=\dfrac{P_{max}}{E\,S}=\dfrac{1{,}31}{10}=13\ \%$. La surface en $\mathrm{cm^{2}}$ donne un rendement dix mille fois trop petit : $100\ \mathrm{cm^{2}}=10^{-2}\ \mathrm{m^{2}}$.

Une petite partie est réfléchie, mais l'essentiel, environ $87\ \%$, est converti en énergie thermique dans la cellule : les photons trop peu énergétiques ne sont pas absorbés utilement, et l'excès d'énergie des photons trop énergétiques se dissipe en chaleur. C'est pourquoi une cellule chauffe au soleil, et pourquoi son rendement baisse quand elle chauffe.

Les photons ultraviolets de la lampe ont une énergie supérieure au travail d'extraction du zinc : ils arrachent des électrons à la plaque. Ces électrons, repoussés par la charge négative de la plaque, s'éloignent : la plaque perd son excès d'électrons, elle se décharge, et l'aiguille retombe.

Des électrons sont encore arrachés, mais la plaque chargée positivement les ATTIRE : ils y retombent aussitôt et la charge ne change pas. L'effet photoélectrique a lieu, mais il n'est pas visible sur l'électroscope. Ce contrôle prouve que ce sont bien des charges NÉGATIVES qui quittent le métal.

$E=\dfrac{hc}{\lambda}=\dfrac{6{,}63\times 10^{-34}\times 3{,}00\times 10^{8}}{320\times 10^{-9}}=6{,}22\times 10^{-19}\ \mathrm{J}=3{,}89\ \mathrm{eV}$. Le verre ne laisse passer que des photons de longueur d'onde supérieure à $320\ \mathrm{nm}$, donc d'énergie au plus $3{,}89\ \mathrm{eV}$, inférieure à $4{,}31\ \mathrm{eV}$. Plus aucun électron n'est arraché : l'aiguille reste écartée. Le verre arrête précisément les photons efficaces.

Il ne se passe rien : l'aiguille reste écartée. Les photons rouges, autour de $1{,}8\ \mathrm{eV}$, ont chacun une énergie très inférieure à $4{,}31\ \mathrm{eV}$. Ni la puissance du projecteur ni la durée n'y changent quoi que ce soit, car un électron n'absorbe qu'un photon à la fois.

Dans le modèle ondulatoire, l'énergie de l'onde est répartie continûment et proportionnelle à son intensité : une lumière rouge intense, éclairant assez longtemps, devrait finir par apporter à un électron l'énergie nécessaire pour sortir. L'existence d'un SEUIL en fréquence, indépendant de l'intensité et de la durée, ne s'explique qu'avec des quanta de lumière d'énergie $h\nu$ : c'est l'argument d'Einstein en 1905, qui lui valut le prix Nobel de 1921.

$E=\dfrac{6{,}63\times 10^{-34}\times 3{,}00\times 10^{8}}{470\times 10^{-9}}=4{,}23\times 10^{-19}\ \mathrm{J}=2{,}64\ \mathrm{eV}$.

$E_{c,max}=2{,}64-2{,}29=0{,}35\ \mathrm{eV}$. L'effet a bien lieu, avec une faible marge.

$N=\dfrac{P}{E}=\dfrac{2{,}0\times 10^{-3}}{4{,}23\times 10^{-19}}=4{,}7\times 10^{15}$ photons par seconde. La puissance doit être en watts et l'énergie du photon en joules : un watt, c'est un joule par seconde, et le quotient donne des photons par seconde.

Électrons émis par seconde : $0{,}20\times 4{,}7\times 10^{15}=9{,}5\times 10^{14}$. Chacun porte la charge $e$, donc $I=9{,}5\times 10^{14}\times 1{,}60\times 10^{-19}=1{,}5\times 10^{-4}\ \mathrm{A}=0{,}15\ \mathrm{mA}$. L'intensité du courant est proportionnelle à la PUISSANCE lumineuse reçue : c'est ce qui fait de la cellule un capteur de lumière.

Non. $E=\dfrac{6{,}63\times 10^{-34}\times 3{,}00\times 10^{8}}{630\times 10^{-9}}=1{,}97\ \mathrm{eV}<2{,}29\ \mathrm{eV}$ : aucun électron n'est arraché, l'intensité est nulle en permanence et l'alarme sonnerait sans arrêt. Changer la couleur d'une source n'est jamais neutre pour un capteur photoélectrique : il faut vérifier la longueur d'onde seuil de la cathode, ici $\dfrac{hc}{W}=543\ \mathrm{nm}$.

FAUX. Un électron est arraché par UN photon, et un photon rouge du zinc n'a pas l'énergie suffisante : $1{,}8\ \mathrm{eV}$ contre $4{,}31\ \mathrm{eV}$. Les énergies des photons ne s'accumulent pas sur un électron, ni avec l'intensité, ni avec le temps. Il faut une fréquence supérieure à la fréquence seuil.

FAUX. L'énergie cinétique maximale vaut $h\nu-W$ : elle ne dépend que de la fréquence et du métal. Doubler l'intensité double le nombre de photons, donc le NOMBRE d'électrons émis et l'intensité du courant.

FAUX. La masse du photon est NULLE, c'est pourquoi il se déplace à la vitesse $c$. Son énergie $h\nu$ n'a rien d'une énergie de masse.

FAUX. Le travail d'extraction est l'énergie MINIMALE à fournir pour arracher un électron au métal. L'énergie cinétique de sortie est ce qui reste du photon une fois ce travail payé : $E_{c,max}=h\nu-W$.

FAUX. Une cellule réfléchit peu de lumière, surtout avec son revêtement antireflet. L'essentiel des $80\ \%$ non convertis est absorbé et transformé en énergie THERMIQUE : excès d'énergie des photons trop énergétiques, photons non absorbés utilement, pertes électriques.

$E_{g}=\dfrac{hc}{\lambda}=\dfrac{6{,}63\times 10^{-34}\times 3{,}00\times 10^{8}}{625\times 10^{-9}}=3{,}18\times 10^{-19}\ \mathrm{J}=1{,}99\ \mathrm{eV}$.

$E_{g}=\dfrac{6{,}63\times 10^{-34}\times 3{,}00\times 10^{8}}{450\times 10^{-9}}=4{,}42\times 10^{-19}\ \mathrm{J}=2{,}76\ \mathrm{eV}$. Plus la longueur d'onde est courte, plus le matériau doit présenter un grand écart d'énergie : la LED bleue a été la plus difficile à fabriquer, et son invention a été récompensée par le prix Nobel de physique 2014.

Environ $2{,}8\ \mathrm{V}$, puisque chaque électron doit fournir $2{,}76\ \mathrm{eV}$ et qu'un électron traversant une tension de $1\ \mathrm{V}$ reçoit $1\ \mathrm{eV}$. C'est l'intérêt de l'électronvolt : une énergie en eV se lit directement comme une tension en volts pour une charge élémentaire. Une pile de $1{,}5\ \mathrm{V}$ ne peut allumer ni la LED bleue ni la rouge.

$E_{jaune}=\dfrac{6{,}63\times 10^{-34}\times 3{,}00\times 10^{8}}{580\times 10^{-9}}=2{,}14\ \mathrm{eV}$. Pour chaque photon bleu converti, l'énergie perdue vaut $2{,}76-2{,}14=0{,}62\ \mathrm{eV}$ : c'est la flèche en pointillés de la figure, une désexcitation sans émission de lumière.

$\dfrac{2{,}14}{2{,}76}=0{,}78$, soit $78\ \%$. Un photon absorbé ne peut jamais donner un photon PLUS énergétique : le luminophore décale toujours la lumière vers les grandes longueurs d'onde, et la différence chauffe la LED. Émission et absorption obéissent à la même règle, $h\nu=|\Delta E|$, lue dans les deux sens.

En série, les tensions s'ajoutent et l'intensité est commune : $U=36\times 0{,}50=18\ \mathrm{V}$, $I=3{,}2\ \mathrm{A}$, et $P_{max}=18\times 3{,}2=57{,}6\ \mathrm{W}$.

$S=36\times 156\ \mathrm{cm^{2}}=5616\ \mathrm{cm^{2}}=0{,}562\ \mathrm{m^{2}}$. Puissance reçue : $800\times 0{,}562=449\ \mathrm{W}$. Rendement : $\eta=\dfrac{57{,}6}{449}=12{,}8\ \%$. La conversion des $\mathrm{cm^{2}}$ en $\mathrm{m^{2}}$ se fait en divisant par $10^{4}$, pas par $100$.

La puissance est proportionnelle à l'éclairement : $57{,}6\times\dfrac{200}{800}=14{,}4\ \mathrm{W}$.

Production : $14{,}4\ \mathrm{W}\times 4\ \mathrm{h}=57{,}6\ \mathrm{Wh}$. Consommation : $2{,}0\ \mathrm{W}\times 24\ \mathrm{h}=48\ \mathrm{Wh}$. La production couvre la consommation, avec une marge de $20\ \%$ seulement : une batterie est indispensable pour la nuit, et quelques jours très couverts suffiraient à la vider. Des watts se multiplient par des HEURES pour donner des wattheures ; comparer $14{,}4\ \mathrm{W}$ à $2{,}0\ \mathrm{W}$ ne dirait rien.

Énergie d'un photon : $\dfrac{6{,}63\times 10^{-34}\times 3{,}00\times 10^{8}}{550\times 10^{-9}}=3{,}62\times 10^{-19}\ \mathrm{J}$. $N=\dfrac{449}{3{,}62\times 10^{-19}}=1{,}24\times 10^{21}$ photons par seconde. Un nombre aussi gigantesque explique que la lumière paraisse continue à notre échelle, alors qu'elle arrive par quanta.

$\dfrac{hc}{e}=\dfrac{6{,}63\times 10^{-34}\times 3{,}00\times 10^{8}}{1{,}60\times 10^{-19}}=1{,}243\times 10^{-6}\ \mathrm{eV\cdot m}=1243\ \mathrm{eV\cdot nm}$. D'où la règle $E(\mathrm{eV})=\dfrac{1243}{\lambda(\mathrm{nm})}$, souvent arrondie à $1240$.

$E=\dfrac{1243}{400}=3{,}11\ \mathrm{eV}$.

$E=\dfrac{1243}{800}=1{,}55\ \mathrm{eV}$ : longueur d'onde double, énergie moitié. Le spectre visible couvre donc les photons d'environ $1{,}6$ à $3{,}1\ \mathrm{eV}$, un repère utile pour juger d'un résultat.

$\lambda=\dfrac{1243}{2{,}0}=622\ \mathrm{nm}$, dans le rouge orangé.

$10\ \mathrm{keV}=10\,000\ \mathrm{eV}$, donc $\lambda=\dfrac{1243}{10\,000}=0{,}124\ \mathrm{nm}$, de l'ordre de la taille d'un atome. La règle ne vaut que si l'énergie est en ÉLECTRONVOLTS : oublier le préfixe kilo donnerait $124\ \mathrm{nm}$, de l'ultraviolet.

$\Delta E=-3{,}03-(-5{,}14)=2{,}11\ \mathrm{eV}$, donc $\lambda=\dfrac{1243}{2{,}11}=589\ \mathrm{nm}$, dans le jaune orangé : c'est la célèbre raie D du sodium. On calcule toujours l'écart en valeur ABSOLUE, puisque l'énergie du photon est positive.