Exercices corrigés : énergie, puissance et conversions (Troisième)

Pile, puis lampe, puis le milieu extérieur. La pile stocke de l'énergie CHIMIQUE ; elle la transfère à la lampe sous forme électrique, et la lampe la restitue au milieu sous forme de lumière et de chaleur.

Ventilateur : le secteur (réservoir) transfère de l'énergie électrique au moteur (convertisseur), qui la restitue à l'air sous forme d'énergie de mouvement, plus de la chaleur. Panneau solaire : le Soleil transfère de l'énergie lumineuse au panneau, qui la convertit en énergie électrique, stockée ensuite sous forme chimique dans la batterie du téléphone.

Réservoir : l'essence, énergie chimique. Convertisseur : le moteur. Forme utile en sortie : l'énergie de mouvement de la voiture. Le reste, c'est-à-dire la plus grande part, sort en chaleur par le radiateur et les gaz d'échappement.

Parce qu'aucun convertisseur réel n'est parfait : frottements, échauffement des fils, vibrations. Une chaîne sans aucune perte n'existe pas. C'est une observation expérimentale constante, pas un défaut de fabrication que l'on saurait corriger.

L'énergie de la pile n'est pas détruite, elle est CONVERTIE : d'abord en énergie électrique, puis en lumière et en chaleur qui se dispersent dans la pièce. Elle est devenue inutilisable, ce qui n'est pas la même chose que disparue. C'est exactement le sens de la conservation de l'énergie.

$200\ \mathrm{g}=0{,}200\ \mathrm{kg}$. Alors $E_{pp}=m\,g\,h=0{,}200\times 10\times 1{,}5=3{,}0\ \mathrm{J}$. La conversion des grammes en kilogrammes est la première source d'erreur du chapitre : une masse laissée en grammes donne un résultat mille fois trop grand.

$E_{c}=\dfrac{1}{2}\times 0{,}200\times 3^{2}=\dfrac{1}{2}\times 0{,}200\times 9=0{,}90\ \mathrm{J}$. Attention, c'est bien la vitesse qui est au carré, pas le produit $m\,v$.

L'énergie de position valait $3{,}0\ \mathrm{J}$ et l'énergie cinétique n'en récupère que $0{,}90\ \mathrm{J}$. La différence, $3{,}0-0{,}90=2{,}1\ \mathrm{J}$, est partie en chaleur à cause des frottements de la bille sur la piste et dans l'air. Rien n'a disparu : on retrouve tout en comptant la chaleur.

La vitesse double, or elle intervient au carré : l'énergie cinétique est multipliée par $2^{2}=4$. On passe donc de $0{,}90$ à $3{,}6\ \mathrm{J}$, sans avoir à réappliquer la formule complète.

La masse double et elle intervient à la puissance un : l'énergie cinétique est simplement multipliée par 2, soit $1{,}8\ \mathrm{J}$. Doubler la vitesse multiplie donc l'énergie par 4, doubler la masse ne la multiplie que par 2. C'est la vitesse qui compte le plus, et c'est exactement pour cela que les limitations de vitesse font plus pour la sécurité routière que le poids des véhicules.

$30\ \mathrm{min}=30\times 60=1800\ \mathrm{s}$. Donc $E=2000\times 1800=3{,}6\times 10^{6}\ \mathrm{J}$, soit $3{,}6\ \mathrm{MJ}$. Oublier de convertir les minutes en secondes divise le résultat par 60, c'est l'erreur la plus fréquente du chapitre.

$E=\dfrac{3{,}6\times 10^{6}}{3{,}6\times 10^{6}}=1{,}0\ \mathrm{kWh}$. On peut aussi le voir directement : $2\ \mathrm{kW}$ pendant une demi-heure, soit $2\times 0{,}5=1\ \mathrm{kWh}$. Cette seconde lecture est celle qui sert sur une facture.

$0{,}150\ \mathrm{kW}\times 24\ \mathrm{h}=3{,}6\ \mathrm{kWh}$ par jour, et $3{,}6\times 30=108\ \mathrm{kWh}$ sur 30 jours. Le réfrigérateur est peu puissant mais il ne s'arrête jamais, et c'est la durée qui fait la facture.

Four : $1{,}0\ \mathrm{kWh}$. Réfrigérateur : $3{,}6\ \mathrm{kWh}$. Ordinateur : $0{,}045\times 4=0{,}18\ \mathrm{kWh}$. Bouilloire : $1{,}8\times 0{,}05=0{,}09\ \mathrm{kWh}$. Classement : réfrigérateur, four, ordinateur, bouilloire. Non : l'appareil le plus puissant, le four, n'arrive qu'en deuxième position, et la bouilloire, presque aussi puissante, consomme le MOINS parce qu'elle ne fonctionne que trois minutes. Le réfrigérateur, le moins puissant après l'ordinateur, consomme le plus : c'est la durée qui décide.

$E=1800\times 180=324\,000\ \mathrm{J}=324\ \mathrm{kJ}$, la valeur est correcte. Pour fournir la même énergie en deux fois plus de temps, il faut deux fois moins de puissance : $P=\dfrac{324\,000}{360}=900\ \mathrm{W}$. Puissance et durée se compensent exactement, à énergie fixée.

$3\ \mathrm{kW}\times 2\ \mathrm{h}=6{,}0\ \mathrm{kWh}$ par jour. Le passage des watts aux kilowatts se fait en divisant par 1000, et c'est indispensable pour que le produit tombe directement en kilowattheures.

Éclairage : $10\times 9=90\ \mathrm{W}=0{,}090\ \mathrm{kW}$, pendant $5\ \mathrm{h}$, soit $0{,}45\ \mathrm{kWh}$ par jour. Téléviseur : $0{,}120\times 3=0{,}36\ \mathrm{kWh}$ par jour.

Total par jour : $6{,}0+0{,}45+0{,}36=6{,}81\ \mathrm{kWh}$. Sur 30 jours : $6{,}81\times 30=204{,}3\ \mathrm{kWh}$. Facture : $204{,}3\times 0{,}08=16{,}34$ dollars, arrondi au cent.

Le chauffe-eau, et de très loin : $6{,}0$ des $6{,}81\ \mathrm{kWh}$ quotidiens, soit $\dfrac{6{,}0}{6{,}81}=0{,}881$, environ $88\ \%$ du total. Chauffer de l'eau coûte beaucoup plus cher que tout le reste réuni, ce qui est vrai dans la quasi-totalité des logements.

L'éclairage passe de $90$ à $600\ \mathrm{W}$, soit $0{,}600\times 5=3{,}0\ \mathrm{kWh}$ par jour au lieu de $0{,}45$. L'écart quotidien vaut $2{,}55\ \mathrm{kWh}$, soit $76{,}5\ \mathrm{kWh}$ sur le mois et $76{,}5\times 0{,}08=6{,}12$ dollars de plus. La facture augmente donc de plus d'un tiers, pour la même quantité de lumière.

$\text{rendement}=\dfrac{3}{60}=0{,}05$, soit $5\ \%$. Dix-neuf joules sur vingt, l'énergie payée ne sert pas à éclairer.

$60-3=57\ \mathrm{W}$ partent en chaleur. Elle chauffe l'ampoule, puis l'air de la pièce. C'est pour cela qu'une ampoule à incandescence brûle les doigts et qu'une lampe à diodes reste tiède.

$\dfrac{3}{9}=0{,}33$, soit environ $33\ \%$. Le rendement est plus de six fois meilleur : pour la même lumière, la lampe à diodes consomme $9\ \mathrm{W}$ au lieu de $60$.

Non, jamais. L'énergie utile est une PART de l'énergie reçue, elle ne peut pas la dépasser sans que de l'énergie soit créée à partir de rien, ce que la conservation de l'énergie interdit. Un rendement supérieur à 1 dans un exercice signale toujours une erreur de calcul ou une confusion d'unités.

Son rendement vaut $100\ \%$, parce que la chaleur EST ici l'effet recherché. Ce qui est une perte pour l'ampoule est le produit utile pour le radiateur. Le rendement ne mesure donc pas la qualité d'un appareil dans l'absolu, il mesure l'accord entre ce qui sort et ce que l'on voulait.

Non. $E_{c}=\dfrac{1}{2}\,m\,v^{2}$ : la vitesse intervient au CARRÉ, donc la relation n'est pas proportionnelle. Doubler la vitesse ne double pas l'énergie, il la quadruple. Une relation proportionnelle donnerait une droite passant par l'origine, ce que le graphique ne montre pas.

La vitesse double, l'énergie est multipliée par $2^{2}=4$. Sur le graphique, la distance passe de $14$ à $56\ \mathrm{m}$, soit exactement $\dfrac{56}{14}=4$ fois plus. La mesure confirme le carré.

$100\ \mathrm{km/h}=\dfrac{100\,000}{3600}=27{,}8\ \mathrm{m/s}$. Alors $E_{c}=\dfrac{1}{2}\times 1200\times 27{,}8^{2}=4{,}63\times 10^{5}\ \mathrm{J}$, soit environ $463\ \mathrm{kJ}$. Diviser par $3{,}6$ pour passer des kilomètres par heure aux mètres par seconde est un réflexe à installer.

$P=\dfrac{E}{t}=\dfrac{4{,}63\times 10^{5}}{4{,}0}=1{,}16\times 10^{5}\ \mathrm{W}$, soit environ $116\ \mathrm{kW}$. C'est plus de mille fois la puissance d'un téléviseur, dissipée en chaleur dans quatre disques de frein : voilà pourquoi ils rougissent en descente de montagne.

Vingt pour cent de plus que $50$, c'est $60\ \mathrm{km/h}$. L'énergie, donc la distance, est multipliée par $\left(\dfrac{60}{50}\right)^{2}=1{,}44$. La distance passe de $14$ à $14\times 1{,}44=20{,}2\ \mathrm{m}$, soit $44\ \%$ de plus et non $20\ \%$. Les six mètres supplémentaires sont exactement la longueur d'un passage piéton.

L'élévation vaut $60-12=48\ \mathrm{^\circ C}$. La masse d'eau vaut $150\ \mathrm{kg}$. L'énergie nécessaire est donc $E=150\times 4200\times 48=3{,}02\times 10^{7}\ \mathrm{J}$, soit $30{,}2\ \mathrm{MJ}$.

$E=\dfrac{3{,}024\times 10^{7}}{3{,}6\times 10^{6}}=8{,}4\ \mathrm{kWh}$. Un ordre de grandeur à retenir : une chauffe complète de ballon, c'est presque une dizaine de kilowattheures, soit plusieurs journées de réfrigérateur.

$t=\dfrac{E}{P}=\dfrac{3{,}024\times 10^{7}}{3000}=10\,080\ \mathrm{s}$. En divisant par 3600, cela fait $2{,}80\ \mathrm{h}$, c'est-à-dire $2\ \mathrm{h}$ et $0{,}80\times 60=48\ \mathrm{min}$.

La durée réelle vaut $3\ \mathrm{h}\ 30=3{,}50\ \mathrm{h}$, alors qu'un chauffage sans perte n'aurait demandé que $2{,}80\ \mathrm{h}$. Le rendement vaut donc $\dfrac{2{,}80}{3{,}50}=0{,}80$, soit $80\ \%$. Les $20\ \%$ manquants partent en chaleur perdue par la paroi du ballon et par les tuyaux : le chauffe-eau réchauffe aussi le local où il est installé, et c'est exactement ce que réduit une jaquette isolante.

À $50\ \mathrm{^\circ C}$, l'élévation n'est plus que de $38\ \mathrm{^\circ C}$. L'énergie vaut $150\times 4200\times 38=2{,}394\times 10^{7}\ \mathrm{J}$, soit $6{,}65\ \mathrm{kWh}$. L'économie est de $8{,}4-6{,}65=1{,}75\ \mathrm{kWh}$ par chauffe, soit environ $21\ \%$.

FAUX. L'énergie n'est jamais détruite, elle est CONVERTIE : l'énergie électrique devient lumière et chaleur, qui se dispersent dans la pièce. Ce que l'on paie, c'est un transfert, pas une disparition.

FAUX. La formule $E=P\times t$ exige un temps en SECONDES : $2\ \mathrm{min}=120\ \mathrm{s}$, donc $E=1000\times 120=1{,}2\times 10^{5}\ \mathrm{J}$. Le résultat annoncé est 60 fois trop petit.

FAUX. $E_{c}=\dfrac{1}{2}\,m\,v^{2}$ : la vitesse est au carré, donc l'énergie est multipliée par $2^{2}=4$. C'est ce facteur 4 qui explique que la distance de freinage quadruple elle aussi.

FAUX. Le kilowattheure est une unité d'ÉNERGIE, obtenue en multipliant une puissance par une durée. L'unité de puissance est le watt. Le nom composé de l'unité contient d'ailleurs la durée, l'heure.

FAUX. L'énergie utile est une part de l'énergie reçue : le rendement est toujours inférieur ou égal à 1, c'est-à-dire à $100\ \%$. Un rendement supérieur reviendrait à créer de l'énergie à partir de rien.

Durée totale : $3\times 1095=3\,285\ \mathrm{h}$. Incandescence : $0{,}060\times 3285=197{,}1\ \mathrm{kWh}$. Diodes : $0{,}009\times 3285=29{,}6\ \mathrm{kWh}$, soit près de sept fois moins.

Incandescence : $197{,}1\times 0{,}08=15{,}77$ dollars d'électricité, plus $1$ dollar d'achat, soit $16{,}77$ dollars. Diodes : $29{,}6\times 0{,}08=2{,}37$ dollars, plus $6$ dollars d'achat, soit $8{,}37$ dollars.

La lampe à diodes, avec $16{,}77-8{,}37=8{,}40$ dollars d'économie sur trois ans. Le prix d'achat six fois plus élevé est remboursé plusieurs fois par la consommation.

Chaque jour, l'écart d'énergie vaut $(0{,}060-0{,}009)\times 3=0{,}153\ \mathrm{kWh}$, soit $0{,}153\times 0{,}08=0{,}01224$ dollars économisés par jour. Il faut rattraper les $6-1=5$ dollars de surcoût à l'achat : $\dfrac{5}{0{,}01224}=409$ jours, soit environ un an et deux mois.

$3\,285\ \mathrm{h}$ d'usage à $1\,000\ \mathrm{h}$ par ampoule : il en faut 4, en comptant l'ampoule entamée. L'achat coûte alors $4$ dollars et non $1$, ce qui porte le total à $19{,}77$ dollars contre $8{,}37$. La lampe à diodes, elle, tient sans être remplacée. L'écart passe à $11{,}40$ dollars, et la conclusion de la question c) est renforcée.

$0{,}250\ \mathrm{kW}\times 5\ \mathrm{h}=1{,}25\ \mathrm{kWh}$ par jour. La puissance affichée sur un panneau est une puissance de crête : elle ne dit rien tant qu'on ne la multiplie pas par une durée d'ensoleillement réelle.

Besoins : $0{,}20+0{,}60+0{,}15=0{,}95\ \mathrm{kWh}$. Le panneau produit $1{,}25\ \mathrm{kWh}$, donc il suffit et il reste même $0{,}30\ \mathrm{kWh}$ par jour pour recharger la batterie.

$\dfrac{2{,}4}{0{,}95}=2{,}5$ jours. En pratique on compte deux jours pleins, la fraction restante ne permettant pas de couvrir une journée entière.

La bouilloire consomme $1{,}8\times \dfrac{10}{60}=0{,}30\ \mathrm{kWh}$ par jour. Le besoin passe à $0{,}95+0{,}30=1{,}25\ \mathrm{kWh}$, exactement la production. Le bilan tient tout juste, sans aucune marge : le moindre jour couvert vide la batterie.

Le chauffe-eau demanderait $3\times 2=6{,}0\ \mathrm{kWh}$ par jour, soit un besoin total de $6{,}95\ \mathrm{kWh}$. Il faudrait $\dfrac{6{,}95}{1{,}25}=5{,}56$ panneaux, donc 6 panneaux, et une batterie bien plus grosse. La conclusion est celle de tous les sites isolés : on n'y produit pas de la chaleur avec de l'électricité solaire, on chauffe l'eau au bois ou au gaz et on réserve l'électricité aux usages peu gourmands.

$P=230\times 8{,}7=2\ 001\ \mathrm{W}$, soit environ $2\ 000\ \mathrm{W}$.

$I=\dfrac{P}{U}=\dfrac{2\ 200}{230}\approx 9{,}6\ \mathrm{A}$.

Puissance totale : $2\ 001+2\ 200+1\ 200=5\ 401\ \mathrm{W}$. Intensité totale : $\dfrac{5\ 401}{230}\approx 23{,}5\ \mathrm{A}$. Les appareils étant en dérivation, leurs intensités s'ADDITIONNENT dans le fil de la multiprise, qui en supporterait $23{,}5$ au lieu de $16$ : il chaufferait dangereusement.

$P_{max}=230\times 16=3\ 680\ \mathrm{W}$. Le four et la bouilloire ensemble dépassent déjà cette limite.

Il coupe automatiquement le courant quand l'intensité dépasse la valeur prévue, avant que les fils ne s'échauffent au point de provoquer un incendie.

$E_{pp}=0{,}150\times 10\times 3{,}2=4{,}8\ \mathrm{J}$.

Toute l'énergie de position s'est convertie en énergie cinétique : $E_{c}=4{,}8\ \mathrm{J}$.

$\dfrac{1}{2}\times 0{,}150\times v^{2}=4{,}8$ donne $v^{2}=\dfrac{2\times 4{,}8}{0{,}150}=64$, donc $v=8\ \mathrm{m/s}$, soit près de $29\ \mathrm{km/h}$.

À $1{,}6\ \mathrm{m}$, $E_{pp}=2{,}4\ \mathrm{J}$, donc $E_{c}=4{,}8-2{,}4=2{,}4\ \mathrm{J}$. Alors $v^{2}=\dfrac{2\times 2{,}4}{0{,}150}=32$ et $v=\sqrt{32}\approx 5{,}66\ \mathrm{m/s}$, plus que la moitié de $8$. L'énergie est partagée en deux, pas la vitesse, puisque l'énergie cinétique dépend du CARRÉ de la vitesse.

Toujours $8\ \mathrm{m/s}$. Doubler la masse double l'énergie de position ET l'énergie cinétique, et la masse disparaît du calcul de la vitesse : sans air, tous les objets tombent de la même façon.

Trois : le vent, le rayonnement solaire et l'eau du barrage, qui se renouvellent à l'échelle humaine. Le charbon, le gaz et l'uranium sont des stocks qui s'épuisent.

L'énergie de mouvement du vent, dite énergie cinétique, fait tourner les pales ; l'alternateur la convertit en énergie électrique.

$E_{pp}=1\ 000\times 10\times 100=1\ 000\ 000\ \mathrm{J}$, soit $1\ \mathrm{MJ}$.

$\dfrac{10^{6}}{3{,}6\times 10^{6}}\approx 0{,}278\ \mathrm{kWh}$. Un mètre cube d'eau tombant de $100\ \mathrm{m}$ ne fournit donc qu'un peu plus d'un quart de kilowattheure : les barrages ont besoin d'énormes volumes.

$0{,}9\times 0{,}278=0{,}25\ \mathrm{kWh}$ par mètre cube. Pour $1\ \mathrm{kWh}$, il faut $\dfrac{1}{0{,}25}=4\ \mathrm{m^{3}}$ d'eau, soit quatre tonnes.

$\dfrac{60}{16}\times 100=375\ \mathrm{km}$.

$t=\dfrac{E}{P}=\dfrac{60}{7{,}4}\approx 8{,}11\ \mathrm{h}$. Or $0{,}11\times 60\approx 6{,}5$ : environ $8$ h $6$ min, une nuit. Le piège est de lire $8{,}11$ h comme $8$ h $11$ min.

De $10$ à $80$ %, la batterie reçoit $70$ % de $60\ \mathrm{kWh}$, soit $42\ \mathrm{kWh}$. Durée : $\dfrac{42}{150}=0{,}28\ \mathrm{h}$, soit $0{,}28\times 60\approx 17$ minutes. En pratique, la borne ralentit en fin de charge et le temps réel est un peu plus long.

Recharge complète : $60\times 0{,}08=4{,}80$ dollars. Pour $100\ \mathrm{km}$ : $16\times 0{,}08=1{,}28$ dollar.

Seuls $90$ % de l'énergie prélevée sont stockés : $0{,}9\times E=60$, donc $E=\dfrac{60}{0{,}9}\approx 66{,}7\ \mathrm{kWh}$. Le piège est d'ajouter $10$ % à $60$, ce qui donne $66\ \mathrm{kWh}$ : les pertes portent sur l'énergie prélevée, pas sur l'énergie stockée.

$0{,}010\ \mathrm{kW}\times 24\times 365=87{,}6\ \mathrm{kWh}$. Une puissance faible, multipliée par une durée énorme, donne une énergie notable.

$87{,}6\times 0{,}08\approx 7{,}01$ dollars par an.

Téléviseur : $0{,}001\times 20\times 365=7{,}3\ \mathrm{kWh}$. Console : $0{,}012\times 22\times 365=96{,}36\ \mathrm{kWh}$. Décodeur : $0{,}015\times 24\times 365=131{,}4\ \mathrm{kWh}$. Total : environ $235{,}1\ \mathrm{kWh}$.

$\dfrac{235{,}06}{3\ 000}\approx 0{,}078$, soit environ $7{,}8$ % de la consommation du foyer, pour des appareils qui ne servent à rien pendant ce temps.

Pendant ces $8$ heures, les trois veilles consomment $1+12+15=28\ \mathrm{W}$. Économie : $0{,}028\times 8\times 365\approx 81{,}8\ \mathrm{kWh}$ par an.