Exercices corrigés : tension, intensité et loi d'Ohm (Quatrième)

a) Trois branches : celle du générateur et les deux branches des lampes. Deux noeuds, un en haut et un en bas, là où les fils se séparent puis se rejoignent. Un noeud est un point où au moins trois fils se rencontrent.

b) La loi des noeuds donne $I=I_{1}+I_{2}=0{,}30+0{,}15=0{,}45\ \mathrm{A}$. L'intensité débitée par le générateur est la SOMME de celles des branches : elle est donc toujours la plus grande du circuit.

c) $1\ \mathrm{A}=1000\ \mathrm{mA}$, donc $I=0{,}45\times 1000=450\ \mathrm{mA}$. Le calibre d'un ampèremètre est souvent gradué en milliampères, et c'est là que se perdent les points.

d) Dans la branche de $L_{1}$, rien ne change : elle reste soumise à la même tension du générateur, donc traversée par $0{,}30\ \mathrm{A}$. En revanche le générateur ne débite plus que $0{,}30\ \mathrm{A}$ au lieu de $0{,}45$. C'est le grand avantage du montage en dérivation : chaque branche est indépendante.

e) Un ampèremètre se branche TOUJOURS en série : il doit être traversé par le courant qu'il mesure. Branché en dérivation, il court-circuite la lampe, car sa résistance est presque nulle : un courant très intense le traverse, il peut griller son fusible interne ou détériorer le générateur.

a) La loi d'additivité donne $U_{1}+U_{2}=6{,}0$, donc $U_{2}=6{,}0-2{,}0=4{,}0\ \mathrm{V}$.

b) $\dfrac{U_{2}}{U_{1}}=\dfrac{4{,}0}{2{,}0}=2$ et $\dfrac{R_{2}}{R_{1}}=\dfrac{40}{20}=2$. Les deux rapports sont égaux : dans un circuit en série, la tension se répartit PROPORTIONNELLEMENT aux résistances. La plus grosse résistance prend la plus grosse part de la tension.

c) Non, elles ne peuvent pas rester inchangées : la somme des trois tensions doit toujours valoir $6{,}0\ \mathrm{V}$, et $2{,}0+4{,}0+1{,}5=7{,}5\ \mathrm{V}$ dépasserait la tension du générateur. En réalité l'ajout d'une résistance diminue l'intensité, donc toutes les tensions changent.

d) Il faut brancher le voltmètre EN DÉRIVATION, c'est-à-dire relier sa borne V à une borne du générateur et sa borne COM à l'autre, sans ouvrir le circuit. Le circuit continue de fonctionner pendant la mesure.

e) Le courant s'arrête, ou devient négligeable, et les lampes s'éteignent. Un voltmètre a une très GRANDE résistance, justement pour ne pas perturber le circuit quand il est branché en dérivation ; placé en série, cette grande résistance bloque le passage du courant.

a) Pour $I=0{,}10\ \mathrm{A}$, on lit $U=5{,}0\ \mathrm{V}$. Pour $I=0{,}20\ \mathrm{A}$, on lit $U=10{,}0\ \mathrm{V}$. L'intensité double, la tension double : c'est bien une situation de proportionnalité.

b) $R=\dfrac{U}{I}=\dfrac{5{,}0}{0{,}10}=50\ \Omega$, et l'autre point donne $\dfrac{10{,}0}{0{,}20}=50\ \Omega$ également. Deux points, la même valeur : c'est la vérification qui prouve que le dipôle est bien ohmique.

c) $U=R\times I=50\times 0{,}25=12{,}5\ \mathrm{V}$. Sur le graphique, le point d'abscisse $0{,}25$ est bien à la hauteur $12{,}5$, entre les graduations $12{,}5$ et $15$.

d) Non, ce n'est pas un conducteur ohmique : la loi d'Ohm ne s'applique qu'aux dipôles dont la caractéristique est une droite passant par l'origine. Une lampe à filament en est le contre-exemple classique : sa résistance augmente quand elle chauffe, donc sa caractéristique se courbe.

e) $I=\dfrac{U}{R}=\dfrac{12}{50}=0{,}24\ \mathrm{A}$, soit $240\ \mathrm{mA}$. Vérification d'ordre de grandeur : $12\ \mathrm{V}$ est un peu plus du double de $5{,}0\ \mathrm{V}$, et $0{,}24$ est un peu plus du double de $0{,}10\ \mathrm{A}$.

a) Dans le montage 2, en dérivation. Chaque lampe y reçoit la tension ENTIÈRE du générateur, $6{,}0\ \mathrm{V}$, alors qu'en série les deux se partagent cette tension et n'en reçoivent que $3{,}0\ \mathrm{V}$ chacune. Moins de tension, moins d'éclat.

b) Montage 1 : l'autre s'éteint aussi, car le circuit est ouvert et plus aucun courant ne circule. Montage 2 : l'autre continue de briller normalement, sa branche étant intacte. C'est la différence pratique décisive entre les deux montages.

c) En dérivation, le générateur débite la somme des intensités des deux branches, donc davantage qu'en série où il n'y a qu'un seul courant, plus faible de surcroît. Le générateur s'épuise donc plus vite dans le montage 2 : plus de lumière, mais plus de consommation.

d) En série, la tension se partage désormais entre trois lampes, $2{,}0\ \mathrm{V}$ chacune : les trois brillent encore moins. En dérivation, chaque lampe reçoit toujours $6{,}0\ \mathrm{V}$ et brille autant qu'avant, mais le générateur débite encore plus.

e) En DÉRIVATION. Première raison : chaque lampe reçoit la tension du secteur et brille normalement, quel que soit le nombre de lampes allumées. Seconde raison : une lampe grillée n'éteint pas les autres, et chaque pièce garde son interrupteur indépendant.

a) La tension aux bornes de $L_{2}$ devient NULLE : ses deux bornes sont reliées par un fil sans résistance, donc au même potentiel. La lampe $L_{2}$ s'éteint complètement, bien qu'elle soit intacte et toujours branchée.

b) Toute la tension du générateur se retrouve aux bornes de $L_{1}$ : elle passe de $3{,}0$ à $6{,}0\ \mathrm{V}$. La lampe $L_{1}$ brille donc BEAUCOUP plus, et risque même de griller si elle n'est pas prévue pour cette tension. Court-circuiter un dipôle surcharge les autres.

c) Parce que plus rien ne limite le courant : la résistance du circuit devient quasi nulle, et l'intensité devient énorme. Les fils chauffent violemment, la gaine fond, un incendie peut se déclarer, et une pile peut exploser. C'est le court-circuit contre lequel protègent fusibles et disjoncteurs.

d) Conducteurs : le cuivre, l'eau salée, l'aluminium. Isolants : le verre, le plastique, l'air sec. Un fil électrique associe les deux parce qu'il faut à la fois laisser passer le courant, d'où l'âme en cuivre, et empêcher qu'il aille ailleurs ou atteigne la main, d'où la gaine en plastique.

e) Parce que l'eau du robinet contient des ions dissous qui la rendent CONDUCTRICE, alors que la peau sèche est un assez mauvais conducteur. Les mains mouillées offrent donc un chemin facile au courant à travers le corps, et une électrisation qui serait sans conséquence à sec peut devenir mortelle.

a) Les $20$ ampoules se partagent la tension : $\dfrac{24}{20}=1{,}2\ \mathrm{V}$ chacune. C'est pourquoi les ampoules d'une guirlande en série sont de toutes petites ampoules basse tension.

b) Toute la guirlande s'éteint d'un coup, car le circuit est ouvert en un point. La réparation est pénible parce que rien n'indique QUELLE ampoule a grillé : les vingt sont éteintes de la même façon, et il faut les tester une par une.

c) En dérivation, les intensités s'ajoutent : $I=20\times 20=400\ \mathrm{mA}=0{,}40\ \mathrm{A}$. La prise fournit donc bien plus de courant que pour la guirlande en série, mais chaque ampoule reçoit la pleine tension.

d) Pour une ampoule : $R=\dfrac{U}{I}=\dfrac{1{,}2}{0{,}050}=24\ \Omega$. Pour la guirlande entière : $R_{tot}=\dfrac{24}{0{,}050}=480\ \Omega$, ce qui vaut bien $20\times 24$. Les résistances en série s'ajoutent.

e) Elles brilleront MOINS. Avec $25$ ampoules, chacune ne reçoit plus que $\dfrac{24}{25}=0{,}96\ \mathrm{V}$ au lieu de $1{,}2\ \mathrm{V}$. La résistance totale augmente, l'intensité diminue, et la lumière avec. Une guirlande en série ne se rallonge pas impunément.

a) $I=\dfrac{P}{U}=\dfrac{1500}{120}=12{,}5\ \mathrm{A}$. Une bouilloire à elle seule occupe donc déjà les trois quarts de ce que la prise supporte.

b) Le grille-pain appelle $\dfrac{900}{120}=7{,}5\ \mathrm{A}$. Ensemble, ils appelleraient $12{,}5+7{,}5=20{,}0\ \mathrm{A}$, au-delà des $16\ \mathrm{A}$ : le disjoncteur coupe. On ne peut donc pas les utiliser en même temps.

c) Les intensités sont : bouilloire $12{,}5$, grille-pain $7{,}5$, micro-ondes $10{,}0$, cafetière $6{,}67\ \mathrm{A}$. Dépassent $16\ \mathrm{A}$ : bouilloire et grille-pain ($20{,}0$), bouilloire et micro-ondes ($22{,}5$), bouilloire et cafetière ($19{,}2$), grille-pain et micro-ondes ($17{,}5$), micro-ondes et cafetière ($16{,}7$). Cinq couples sur six sont donc interdits ; seul le couple grille-pain et cafetière, avec $14{,}2\ \mathrm{A}$, peut fonctionner.

d) Le fil s'échauffe par effet Joule, d'autant plus que l'intensité est grande. Au-delà de son intensité admissible, la gaine isolante ramollit puis fond, les conducteurs peuvent se toucher, et le bois ou l'isolant voisins peuvent s'enflammer. C'est la première cause d'incendie d'origine électrique.

e) Parce que le disjoncteur ne protège pas les appareils, il protège les FILS de l'installation. Ces fils ont été choisis pour supporter $16\ \mathrm{A}$ ; un disjoncteur de $32\ \mathrm{A}$ les laissera chauffer bien au-delà sans jamais couper. L'occupant supprime exactement la sécurité qui l'empêchait de provoquer un incendie.

1) FAUX. L'intensité est la MÊME en tout point d'un circuit en série : il n'y a qu'un seul chemin et la charge électrique ne s'accumule nulle part. Ce qui se dépense dans la lampe, c'est de l'énergie, pas du courant.

2) FAUX. L'ampèremètre se branche EN SÉRIE, car il doit être traversé par le courant qu'il mesure. C'est le voltmètre qui se branche en dérivation, aux bornes du dipôle.

3) FAUX. La loi d'Ohm ne vaut que pour les conducteurs OHMIQUES, ceux dont la caractéristique est une droite passant par l'origine. Le filament d'une lampe voit sa résistance augmenter en chauffant, sa caractéristique se courbe, et $U=R\,I$ n'y est plus valable avec une valeur unique de $R$.

4) FAUX. En dérivation, la tension est la MÊME aux bornes de chaque branche : c'est l'intensité qui se partage. En série, c'est l'inverse, la tension se partage et l'intensité est commune. Retenir la paire dans les deux sens évite la moitié des erreurs du chapitre.

5) FAUX. Le disjoncteur protège l'INSTALLATION, c'est-à-dire les fils, contre l'échauffement et l'incendie. Les appareils, eux, ont leurs propres protections internes. C'est pour cela qu'on ne remplace jamais un disjoncteur par un calibre supérieur.

a) $\dfrac{1{,}0}{0{,}020}=50$ ; $\dfrac{2{,}0}{0{,}040}=50$ ; $\dfrac{3{,}0}{0{,}061}=49$ ; $\dfrac{4{,}0}{0{,}080}=50$ ; $\dfrac{5{,}0}{0{,}099}=51$. Tous les quotients valent $50$ à une unité près.

b) Non, ils ne sont pas rigoureusement égaux, mais les écarts sont d'environ $2\ \%$, ce qui est l'ordre de grandeur de la précision des appareils de laboratoire. Le dipôle EST donc bien un conducteur ohmique : en physique, deux mesures ne tombent jamais exactement pareilles, et exiger l'égalité parfaite serait une erreur de méthode.

c) On retient $R=50\ \Omega$. C'est la valeur autour de laquelle les cinq quotients se répartissent, et c'est aussi leur moyenne à moins d'un ohm près. On ne retient jamais le résultat d'une seule mesure quand on en a cinq.

d) On attend une DROITE passant par l'origine, puisque $U$ est proportionnelle à $I$. On place les cinq points, puis on trace la droite qui passe au plus près de tous, en la faisant partir de l'origine : elle ne passera pas exactement par chacun, et c'est normal.

e) $I=\dfrac{U}{R}=\dfrac{9{,}0}{50}=0{,}18\ \mathrm{A}$. La précaution est de vérifier qu'on reste dans le domaine où le dipôle a été testé : les mesures s'arrêtent à $5{,}0\ \mathrm{V}$, et rien ne garantit que la résistance reste constante à $9{,}0\ \mathrm{V}$, notamment si le dipôle chauffe. Extrapoler au-delà du domaine mesuré est toujours une prise de risque.

a) Chacune reçoit $120\ \mathrm{V}$, la tension entière du secteur. C'est la propriété du montage en dérivation : la tension est la même aux bornes de toutes les branches, elle ne se partage pas.

b) Les intensités des branches s'ajoutent : $I=8\times 0{,}30=2{,}4\ \mathrm{A}$. L'interrupteur, placé dans la branche principale, est bien traversé par ce courant total, et il doit donc être dimensionné pour le supporter.

c) Une réglette : $R=\dfrac{120}{0{,}30}=400\ \Omega$. L'ensemble : $R_{eq}=\dfrac{120}{2{,}4}=50\ \Omega$. La résistance équivalente est huit fois PLUS PETITE que celle d'une réglette : en dérivation, ajouter une branche ouvre un chemin de plus au courant, donc diminue la résistance de l'ensemble. C'est l'inverse du montage en série.

d) Les sept autres continuent de fonctionner normalement, à $120\ \mathrm{V}$ et $0{,}30\ \mathrm{A}$ chacune : leurs branches ne sont pas touchées. L'intensité totale tombe à $7\times 0{,}30=2{,}1\ \mathrm{A}$.

e) Il faut séparer les huit réglettes en deux groupes de quatre, chacun en dérivation, et placer le second interrupteur en série AVEC le groupe des fenêtres uniquement, en amont de ses quatre branches. L'interrupteur général reste sur la branche principale. Ainsi le groupe des fenêtres s'éteint sans rien changer aux quatre autres, qui reçoivent toujours $120\ \mathrm{V}$.

a) Le calibre est en ampères, donc l'intensité vaut $0{,}14\ \mathrm{A}$, soit $0{,}14\times 1000=140\ \mathrm{mA}$.

b) Le calibre $2\ \mathrm{mA}$ et le calibre $20\ \mathrm{mA}$ sont inférieurs à $140\ \mathrm{mA}$ : l'appareil saturerait. Le plus petit calibre supérieur à $140\ \mathrm{mA}$ est $200\ \mathrm{mA}$.

c) $138{,}6\ \mathrm{mA}=0{,}1386\ \mathrm{A}$. Sur le calibre $10\ \mathrm{A}$, l'écran ne donnait que deux chiffres après la virgule, au centième d'ampère ; sur le calibre $200\ \mathrm{mA}$, il donne la valeur au dixième de milliampère, soit cent fois plus finement.

d) Ce « 1 » isolé signale un DÉPASSEMENT : l'intensité, $140\ \mathrm{mA}$, est plus grande que le calibre, $20\ \mathrm{mA}$. Ce n'est pas une mesure, il faut remonter d'un calibre.

e) Pour protéger l'appareil : si l'intensité réelle est inconnue et dépasse beaucoup le calibre choisi, le fusible interne de l'ampèremètre peut fondre. Partir du plus grand calibre donne d'abord un ordre de grandeur sans risque, puis on affine.

Le fil : le bon calibre est le plus petit calibre supérieur à la valeur mesurée ; on y arrive en descendant, jamais en montant.

a) Loi des noeuds au point où le courant se sépare : $I=I_{2}+I_{3}$, donc $I_{3}=0{,}50-0{,}20=0{,}30\ \mathrm{A}$.

b) $L_{1}$ est dans la branche principale, en série avec le générateur : elle est traversée par tout le courant, $0{,}50\ \mathrm{A}$.

c) Sur la boucle formée du générateur, de $L_{1}$ et de $L_{2}$, les tensions s'additionnent : $U_{1}+U_{2}=9{,}0$, donc $U_{2}=9{,}0-3{,}5=5{,}5\ \mathrm{V}$.

d) $L_{2}$ et $L_{3}$ sont en dérivation, reliées aux mêmes deux points : elles ont la même tension, $U_{3}=U_{2}=5{,}5\ \mathrm{V}$.

e) Si l'on dévisse $L_{2}$, le courant passe encore par $L_{1}$ puis $L_{3}$ : les deux restent allumées, leur éclat change seulement. Si l'on dévisse $L_{1}$, la branche principale est coupée : plus aucun courant ne circule, et $L_{2}$ comme $L_{3}$ s'éteignent.

Le fil : dans un circuit mixte, on applique la loi des noeuds aux dérivations et la loi d'additivité le long d'une boucle.

a) Dans le sens bloquant, la diode ne laisse passer aucun courant : elle reste éteinte, et une lampe placée en série resterait éteinte aussi. Rien n'est détruit : retourner la DEL suffit.

b) La DEL et le conducteur ohmique sont en série, les tensions s'additionnent : $U_{R}=9{,}0-2{,}0=7{,}0\ \mathrm{V}$.

c) En série, l'intensité est la même partout : $20\ \mathrm{mA}$, soit $0{,}020\ \mathrm{A}$, celle que l'on veut dans la DEL.

d) $R=\dfrac{U_{R}}{I}=\dfrac{7{,}0}{0{,}020}=350\ \Omega$. Le piège est de diviser la tension de la pile, $9{,}0\ \mathrm{V}$, qui donnerait $450\ \Omega$ : la loi d'Ohm s'applique aux bornes du conducteur ohmique seulement.

e) Avec $330\ \Omega$ : $I=\dfrac{7{,}0}{330}\approx 0{,}0212\ \mathrm{A}$, soit $21{,}2\ \mathrm{mA}$, au-dessus de la valeur nominale. Avec $390\ \Omega$ : $I=\dfrac{7{,}0}{390}\approx 0{,}0179\ \mathrm{A}$, soit $17{,}9\ \mathrm{mA}$. On choisit $390\ \Omega$ : la DEL brille un peu moins, mais elle ne risque rien. Entre deux valeurs disponibles, on prend toujours la résistance supérieure.

Le fil : la résistance de protection prend l'excédent de tension, et c'est avec cette tension-là qu'on la calcule.

a) $I=\dfrac{U}{R}=\dfrac{4{,}5}{5\,000}=0{,}000\,9\ \mathrm{A}$, soit $0{,}9\ \mathrm{mA}$. C'est bien en dessous de $10\ \mathrm{mA}$ : on ne sent presque rien, il n'y a pas de danger.

b) $I=\dfrac{230}{5\,000}=0{,}046\ \mathrm{A}$, soit $46\ \mathrm{mA}$. C'est au-delà de $30\ \mathrm{mA}$ : la respiration peut s'arrêter, et la contraction musculaire empêche de lâcher le fil.

c) $I=\dfrac{230}{1\,000}=0{,}230\ \mathrm{A}$, soit $230\ \mathrm{mA}$, cinq fois plus que peau sèche et trois fois le seuil cardiaque. La résistance ayant été divisée par cinq, l'intensité est multipliée par cinq.

d) $I=\dfrac{120}{1\,000}=0{,}120\ \mathrm{A}$, soit $120\ \mathrm{mA}$. C'est moins qu'à $230\ \mathrm{V}$, mais encore au-dessus de $75\ \mathrm{mA}$ : le contact reste potentiellement mortel.

e) $U=R\times I=1\,000\times 0{,}030=30\ \mathrm{V}$. Sous $12\ \mathrm{V}$, $I=\dfrac{12}{1\,000}=0{,}012\ \mathrm{A}$, soit $12\ \mathrm{mA}$, sous le seuil de $30\ \mathrm{mA}$. C'est pour cela qu'on alimente en très basse tension les appareils placés dans l'eau ou près d'elle.

Le fil : ce qui blesse, c'est l'intensité ; la loi d'Ohm montre qu'elle dépend autant de la tension que de la résistance de la peau.

a) $R=\dfrac{U}{I}=\dfrac{5{,}0}{0{,}0025}=2\,000\ \Omega$. Le tableau associe $2\,000\ \Omega$ à $10\ ^{\circ}\mathrm{C}$.

b) $R=\dfrac{5{,}0}{0{,}0040}=1\,250\ \Omega$, ce qui correspond à $20\ ^{\circ}\mathrm{C}$. L'intensité a augmenté parce que la résistance a diminué : il fait plus chaud.

c) À $40\ ^{\circ}\mathrm{C}$, $R=530\ \Omega$ et $I=\dfrac{5{,}0}{530}\approx 0{,}0094\ \mathrm{A}$, soit $9{,}4\ \mathrm{mA}$.

d) Entre $0$ et $10\ ^{\circ}\mathrm{C}$ : $3\,300-2\,000=1\,300\ \Omega$. Entre $30$ et $40\ ^{\circ}\mathrm{C}$ : $800-530=270\ \Omega$. Un même écart de température change beaucoup plus la résistance vers $0\ ^{\circ}\mathrm{C}$ : c'est là que le thermomètre est le plus sensible.

e) Il confond deux choses. À une température donnée, la tension reste proportionnelle à l'intensité et $U=R\times I$ s'applique, avec la résistance de CETTE température. Ce qui change avec la température, c'est la valeur de $R$, pas la loi. C'est d'ailleurs la loi d'Ohm qui permet de calculer $R$ à partir des mesures, donc de lire la température.

Le fil : un capteur transforme une grandeur physique en résistance, et la loi d'Ohm transforme cette résistance en mesure.