Exercices corrigés : masse volumique, pression et gaz (Quatrième)

a) La masse volumique est la masse d'UN volume donné de matière : $\rho=\frac{m}{V}$. En unités usuelles au collège, $m$ en grammes, $V$ en centimètres cubes, et $\rho$ en grammes par centimètre cube. On peut aussi travailler en kilogrammes par mètre cube, et il faut alors savoir que $1$ g/cm$^{3}$ vaut $1000$ kg/m$^{3}$ : c'est le cas de l'eau, dont la masse volumique vaut 1 dans un système et 1000 dans l'autre.

b) $\rho=\frac{237}{30}=7{,}9$ grammes par centimètre cube. Sur la figure, cette valeur correspond au FER. Le raisonnement ne consiste pas à comparer des masses ni des volumes, qui dépendent de l'échantillon, mais bien le rapport des deux, qui est une propriété du MATÉRIAU. C'est exactement pour cela que la masse volumique permet d'identifier une substance.

c) Chaque morceau a une masse de $\frac{237}{2}=118{,}5$ grammes et un volume de $\frac{30}{2}=15$ centimètres cubes. Sa masse volumique vaut $\frac{118{,}5}{15}=7{,}9$ grammes par centimètre cube : elle N'A PAS CHANGÉ. La masse et le volume ont été divisés par deux tous les deux, donc leur rapport est resté le même. C'est la propriété essentielle du chapitre, et c'est aussi pourquoi un test d'identification par masse volumique fonctionne sur un échantillon de n'importe quelle taille.

d) $m=\rho\times V=2{,}7\times 500=1350$ grammes, soit $1{,}350$ kilogramme. Notez qu'on a utilisé la formule à l'envers : $\rho=\frac{m}{V}$ se réarrange en $m=\rho V$ et en $V=\frac{m}{\rho}$. Savoir passer d'une écriture à l'autre vaut mieux que retenir trois formules.

e) $V=\frac{m}{\rho}=\frac{1000}{11{,}3}\approx 88{,}5$ centimètres cubes, soit à peu près le volume d'un petit verre. Pour le bois, $V=\frac{1000}{0{,}7}\approx 1429$ centimètres cubes, soit plus de seize fois plus, environ une brique et demie. Voilà, en chiffres, la différence entre un kilogramme de plomb et un kilogramme de plumes : même masse, volumes sans rapport.

a) On verse un volume d'eau connu dans une éprouvette graduée et on relève le niveau : 50 millilitres. On y plonge entièrement le solide et on relève le nouveau niveau : 80 millilitres. Le solide occupe la place de l'eau qu'il a fait monter, donc son volume vaut $80-50=30$ millilitres, c'est-à-dire 30 centimètres cubes, puisque $1$ mL $=1$ cm$^{3}$. Cette égalité entre les deux unités est à connaître, elle évite une conversion à chaque exercice.

b) $\rho=\frac{81}{30}=2{,}7$ grammes par centimètre cube : c'est l'ALUMINIUM. Remarquez qu'on a mesuré une masse avec une balance et un volume avec une éprouvette, deux instruments sans rapport, et que leur rapport suffit à nommer le métal.

c) Le SUCRE se dissout dans l'eau : il disparaît au lieu de déplacer un volume, et la mesure n'a aucun sens. Le LIÈGE flotte : il ne s'enfonce pas complètement, donc il ne déplace que le volume de sa partie immergée, ce qui donne un résultat trop petit. Correction pour le liège : le maintenir sous l'eau avec une tige fine, ou le lester d'un objet dont on a mesuré le volume à part et qu'on soustrait ensuite.

d) Il trouve un volume de $79-50=29$ centimètres cubes, donc $\rho=\frac{81}{29}\approx 2{,}79$ grammes par centimètre cube. L'erreur relative vaut $\frac{2{,}79-2{,}70}{2{,}70}\approx 0{,}034$, soit environ $3{,}4$ pour cent. C'est peu en apparence, mais assez pour hésiter entre deux matériaux voisins : une lecture de niveau doit toujours se faire à hauteur des yeux, sur le bas du ménisque.

e) Pour un pavé droit, on mesure les trois dimensions à la règle et on calcule $V=4\times 3\times 2{,}5=30$ centimètres cubes. Cette méthode est préférable parce qu'elle est PLUS PRÉCISE : une règle se lit au millimètre près alors qu'une éprouvette de laboratoire se lit au millilitre près, et parce qu'elle n'exige ni que l'objet soit insoluble, ni qu'il coule. La règle générale : le déplacement d'eau est réservé aux formes irrégulières.

a) Un corps flotte si sa masse volumique est INFÉRIEURE à celle du liquide, et il coule si elle est supérieure. Dans l'eau, dont la masse volumique vaut $1{,}0$ : le bois à $0{,}7$ et la glace à $0{,}92$ FLOTTENT ; l'aluminium à $2{,}7$, le fer à $7{,}9$ et le plomb à $11{,}3$ COULENT. C'est une comparaison de deux nombres, jamais une question de masse : un tronc de plusieurs tonnes flotte, un clou de dix grammes coule.

b) $0{,}92$ est inférieur à $1{,}0$, donc le glaçon flotte. C'est rare parce que, pour presque toutes les substances, le SOLIDE est plus dense que le liquide : les particules y sont mieux rangées et plus serrées. L'eau fait exception, car ses molécules s'organisent en glace selon une structure plus AÉRÉE que dans le liquide. Conséquence majeure : les lacs gèlent en surface et non en profondeur, ce qui permet à la vie de s'y maintenir l'hiver.

c) Volume du cube : $10\times 10\times 10=1000$ centimètres cubes. Masse : $m=0{,}7\times 1000=700$ grammes. Le cube flottant, il s'enfonce jusqu'à déplacer une masse d'eau égale à la sienne, soit 700 grammes d'eau, c'est-à-dire $\frac{700}{1{,}0}=700$ centimètres cubes. Les sept dixièmes du cube sont donc immergés, ce qui est exactement le rapport $\frac{0{,}7}{1{,}0}$ des deux masses volumiques.

d) Parce que ce n'est pas l'acier qui flotte, c'est le BATEAU. Sa coque enferme un très grand volume d'air, et ce qu'il faut comparer à l'eau est la masse volumique MOYENNE de l'ensemble, coque plus air intérieur. Cette moyenne est bien inférieure à 1, donc le navire flotte. Un même acier coule sous forme de bloc plein et flotte sous forme de coque creuse : la forme change le volume sans changer la masse, donc elle change la masse volumique moyenne.

e) Il modifie sa masse volumique moyenne en remplissant ou en vidant ses BALLASTS. Pour plonger, il laisse entrer de l'eau de mer, ce qui augmente sa masse à volume constant. Pour remonter, il chasse cette eau avec de l'air comprimé, ce qui diminue sa masse. C'est la même idée qu'au d, mais pilotée à volonté, et elle explique aussi comment un poisson utilise sa vessie natatoire.

a) La masse retirée vaut $430-423{,}5=6{,}5$ grammes, pour un volume de 5 litres. Donc $\rho=\frac{6{,}5}{5}=1{,}3$ gramme par litre. La pesée du ballon lui-même n'intervient pas : seule la DIFFÉRENCE compte, et c'est ce qui rend l'expérience faisable avec une balance ordinaire.

b) $1{,}3$ g/L $=1{,}3$ kg/m$^{3}$, car un mètre cube contient 1000 litres et un kilogramme vaut 1000 grammes, les deux facteurs se compensant. En grammes par centimètre cube : $1{,}3$ g pour $1000$ cm$^{3}$, soit $0{,}0013$ g/cm$^{3}$. L'eau vaut $1{,}0$ g/cm$^{3}$ : elle est donc environ 770 fois plus dense que l'air. C'est pourquoi on ne sent pas le poids de l'air alors qu'on sent très bien celui de l'eau.

c) Volume de la salle : $8\times 6\times 3=144$ mètres cubes. Masse d'air : $m=1{,}3\times 144=187{,}2$ kilogrammes, soit près de deux quintaux. Ce résultat surprend toujours, et c'est précisément pourquoi il vaut la peine d'être calculé : l'air d'une salle de classe pèse plus lourd que deux élèves.

d) Le dioxyde de carbone est PLUS DENSE que l'air, $1{,}8$ contre $1{,}3$ : il coule dans l'air comme un liquide invisible. En le versant sur la bougie, il chasse l'air et prive la flamme de dioxygène : la bougie S'ÉTEINT. C'est le principe des extincteurs à dioxyde de carbone, et aussi la raison pour laquelle ce gaz s'accumule au fond des cuves et des puits, où il est dangereux.

e) Le ballon à l'HÉLIUM a une masse volumique moyenne inférieure à celle de l'air, $0{,}18$ contre $1{,}3$ : il monte, exactement comme le bois remonte dans l'eau. Le ballon gonflé à l'air expiré contient un gaz de masse volumique proche de celle de l'air ambiant, et l'enveloppe en caoutchouc ajoute sa propre masse : la moyenne dépasse $1{,}3$ et le ballon tombe. La règle « flotte si moins dense que le fluide qui l'entoure » ne vaut donc pas que pour l'eau, elle vaut pour l'air aussi.

a) La pression est le quotient d'une force par la surface sur laquelle elle s'exerce : $p=\frac{F}{S}$. La force $F$ est en NEWTONS, la surface $S$ en MÈTRES CARRÉS, et la pression $p$ en PASCALS. Un pascal est donc un newton par mètre carré, ce qui est très petit : la pression atmosphérique vaut environ 100 000 pascals, soit 1000 hectopascals.

b) $300$ cm$^{2}$ $=\frac{300}{10\,000}=0{,}03$ mètre carré, car un mètre carré contient $100\times 100=10\,000$ centimètres carrés. La conversion est l'endroit exact où l'on perd les points, et le facteur est bien 10 000 et non 100. Pression : $p=\frac{600}{0{,}03}=20\,000$ pascals.

c) $2$ cm$^{2}$ $=0{,}0002$ mètre carré, donc $p=\frac{600}{0{,}0002}=3\,000\,000$ pascals, soit 3 mégapascals. Le rapport vaut $\frac{3\,000\,000}{20\,000}=150$ : la pression est 150 fois plus forte alors que la personne n'a pas changé d'un gramme. C'est exactement le rapport inverse des surfaces, $\frac{300}{2}=150$, puisque la force est la même.

d) Les RAQUETTES augmentent la surface d'appui à force constante : la pression diminue, la neige n'est plus enfoncée et le marcheur ne s'y enfonce pas non plus. Le COUTEAU aiguisé fait l'inverse : sa lame réduit la surface de contact à presque rien, donc la pression devient énorme pour une force modeste, et les fibres de l'aliment cèdent. Les deux exemples sont la même formule lue dans les deux sens.

e) Surface totale : $4\times 600=2400$ cm$^{2}$ $=0{,}24$ mètre carré. Pression : $p=\frac{40\,000}{0{,}24}\approx 166\,667$ pascals. C'est BEAUCOUP MOINS que les 3 millions de pascals des talons aiguilles, environ dix-huit fois moins, alors que l'éléphant est plus de soixante fois plus lourd. Un éléphant abîme donc moins un parquet qu'une personne en talons : c'est contre-intuitif, et c'est le meilleur test de compréhension du chapitre.

a) Dans les deux cas, on bouche l'extrémité de la seringue et on pousse le piston. Avec de l'AIR, le piston descend nettement : le gaz se laisse comprimer, et il repousse le piston quand on le relâche. Avec de l'EAU, le piston ne bouge pratiquement pas, quelle que soit la force appliquée : le liquide est incompressible.

b) Dans un GAZ, les particules sont très éloignées les unes des autres et il y a beaucoup de VIDE entre elles : on peut donc les rapprocher, ce qui réduit le volume sans rien enlever. Dans un LIQUIDE, les particules sont déjà au contact les unes des autres, sans espace disponible : les rapprocher davantage exigerait des forces énormes, donc le volume ne diminue pas. Le modèle explique les deux observations avec la même image, la place disponible.

c) La MASSE ne change pas : on n'a ni ajouté ni retiré de particules, la seringue est fermée. La MASSE VOLUMIQUE, elle, AUGMENTE, puisque la même masse occupe désormais un volume plus petit et que $\rho=\frac{m}{V}$. C'est la question qui sépare ceux qui ont compris la définition de ceux qui la récitent : la masse volumique change sans que la masse change, parce que c'est un rapport.

d) Le volume a été divisé par 3, de 60 à 20 millilitres, et la pression a été MULTIPLIÉE par 3, de 1 à 3 bars. On constate que le produit de la pression par le volume reste constant : $1\times 60=60$ et $3\times 20=60$. Autrement dit, à température constante, comprimer un gaz augmente sa pression dans le même rapport que la réduction de volume. C'est une observation, et elle porte un nom qu'on rencontrera plus tard, la loi de Boyle et Mariotte.

e) APPLICATIONS : l'amortisseur et la suspension d'un véhicule, où un gaz comprimé absorbe les chocs ; le pneumatique, qui déforme sans casser ; l'outillage à air comprimé, qui stocke de l'énergie dans un réservoir. CONSÉQUENCE DANGEREUSE : une bouteille de gaz comprimé stocke une énergie considérable, et sa rupture projette des éclats à grande vitesse. C'est aussi pourquoi il ne faut jamais chauffer ni percer une bombe aérosol, même vide en apparence.

a) $1013$ hectopascals $=1013\times 100=101\,300$ pascals, puisque le préfixe hecto vaut 100. En bars : $\frac{101\,300}{100\,000}=1{,}013$ bar, soit à peu près 1 bar. Retenir l'ordre de grandeur, environ 100 000 pascals ou 1 bar, permet de contrôler tous les résultats du chapitre.

b) Surface : $1{,}2\times 0{,}8=0{,}96$ mètre carré. Force : $F=p\times S=101\,300\times 0{,}96\approx 97\,248$ newtons, soit près de 10 tonnes. La table ne s'effondre pas parce que l'air exerce la MÊME pression par en dessous, et que les deux forces se compensent exactement. C'est aussi pourquoi nous ne sentons pas cette pression : elle s'exerce de tous les côtés à la fois, y compris de l'intérieur du corps.

c) À 20 mètres : 3 bars. À 40 mètres : 5 bars. Règle : on part de 1 bar en surface, la pression de l'atmosphère, et l'on ajoute 1 bar par TRANCHE DE 10 MÈTRES d'eau. La formule mentale est donc « pression en bars égale profondeur en mètres divisée par 10, plus 1 ». Oublier le plus un est l'erreur la plus fréquente, et elle sous-estime toujours le résultat.

d) L'air de ses poumons subit une pression qui passe de 3 bars à 1 bar, soit une division par 3 : son volume est donc MULTIPLIÉ PAR 3, d'après le constat de l'exercice 6. Les poumons ne peuvent pas tripler de volume, et ils risquent une déchirure appelée surpression pulmonaire, accident grave et parfois mortel. C'est pourquoi la première règle de la plongée est de ne JAMAIS bloquer sa respiration en remontant.

e) Parce que la pression atmosphérique est due au POIDS de la colonne d'air située au dessus : plus on monte, moins il reste d'air au dessus de soi, donc moins la pression est forte. Conséquence : l'eau bout à une température plus basse en altitude, environ 90 degrés à 3000 mètres, car il faut moins d'énergie pour vaincre une pression plus faible. Les aliments y cuisent donc moins vite, et l'on utilise un autocuiseur pour rétablir une pression suffisante.

1) FAUX. Ce n'est pas la masse qui décide, c'est la MASSE VOLUMIQUE comparée à celle du liquide. Un tronc d'arbre de plusieurs tonnes flotte parce que le bois vaut $0{,}7$ contre $1{,}0$ pour l'eau ; un clou de dix grammes coule parce que le fer vaut $7{,}9$. L'énoncé correct : un corps flotte si sa masse volumique est inférieure à celle du liquide, quelle que soit sa masse.

2) FAUX. La masse est divisée par deux, MAIS le volume aussi : leur rapport, donc la masse volumique, ne change pas. Sur le bloc de l'exercice 1 : $\frac{118{,}5}{15}=7{,}9$, exactement la même valeur qu'avant la coupe. C'est précisément cette invariance qui permet d'identifier un matériau sur un échantillon de taille quelconque, et qui distingue la masse volumique de la masse.

3) FAUX sur les deux points. L'air a bien une masse, $1{,}3$ gramme par litre, et un ballon gonflé pèse effectivement plus lourd, environ $6{,}5$ grammes de plus pour 5 litres d'air. Si l'on ne s'en aperçoit pas, c'est que l'écart est faible devant la masse du ballon et que la balance de la salle n'est pas assez précise. L'expérience correcte consiste à peser le MÊME ballon avant et après avoir retiré un volume connu d'air.

4) FAUX, et c'est l'erreur de conversion la plus coûteuse du chapitre. Un mètre carré contient $100\times 100=10\,000$ centimètres carrés, et non 100. Donc $300$ cm$^{2}$ $=\frac{300}{10\,000}=0{,}03$ mètre carré. L'affirmation se trompe d'un facteur $100\,000$, et elle diviserait par autant toutes les pressions calculées ensuite. Règle : pour des unités de surface, le facteur de conversion est le CARRÉ de celui des longueurs.

5) FAUX, il manque la pression atmosphérique. À 30 mètres, l'eau ajoute $\frac{30}{10}=3$ bars, mais l'atmosphère en apporte 1 en plus : le plongeur subit donc $3+1=4$ bars. La formule correcte est « profondeur en mètres divisée par 10, PLUS 1 ». Oublier ce plus un revient à ignorer toute l'atmosphère, qui pèse pourtant autant que dix mètres d'eau.

a) Volume : $10\times 5\times 4=200$ centimètres cubes. Masse volumique : $\rho=\frac{540}{200}=2{,}7$ grammes par centimètre cube. C'est l'ALUMINIUM. La forme étant un pavé droit, la mesure à la règle suffit et l'on évite l'éprouvette.

b) Volume par déplacement d'eau : $100-60=40$ centimètres cubes. Masse volumique : $\rho=\frac{356}{40}=8{,}9$ grammes par centimètre cube. C'est le CUIVRE. Notez que la forme irrégulière imposait cette méthode, contrairement à la question a.

c) $\rho=\frac{1130}{100}=11{,}3$ grammes par centimètre cube : c'est le PLOMB. Le plus LOURD est l'échantillon C, avec 1130 grammes, mais cette comparaison ne veut rien dire tant qu'on ne précise pas les volumes. Le plus DENSE est aussi C, à $11{,}3$ : cette fois la comparaison est légitime, car la masse volumique ne dépend pas de la taille de l'échantillon. Confondre les deux questions est la faute type de ce problème.

d) Non, pas avec certitude. La valeur $8{,}4$ tombe entre le fer, $7{,}9$, et le cuivre, $8{,}9$, sans coïncider avec aucun des deux. Trois explications sont possibles : une erreur de mesure, un ALLIAGE des deux métaux, ou un métal absent de la liste, par exemple le laiton qui vaut justement autour de $8{,}4$. La bonne réponse d'un scientifique est donc de refaire la mesure, puis, si la valeur se confirme, de conclure que l'échantillon n'est pas un métal pur de la liste. Un résultat qui ne colle avec rien est une information, pas un échec.

e) Il suffit de SOUPESER deux échantillons de même taille, ou plus rigoureusement de comparer deux cubes identiques : l'aluminium est près de trois fois moins dense que le fer et quatre fois moins que le plomb, la différence est immédiatement sensible à la main. Autre test sans balance : l'aluminium n'est pas attiré par un aimant, mais le fer l'est, ce qui sépare aussi ces deux-là, tandis que ni le cuivre ni le plomb ne le sont. Le test magnétique isole le fer, le soupesé isole l'aluminium ; en combinant les deux, on distingue quatre métaux sans aucun instrument.

a) Le radeau flotte tant que la masse totale ne dépasse pas la masse d'eau déplacée par le volume immergé. À la limite, tout le radeau est immergé et il déplace $V$ litres d'eau, soit $V$ kilogrammes en prenant $1$ kg par litre. La masse totale vaut celle du bois plus la charge : $0{,}7V+210$. La condition limite s'écrit $0{,}7V+210=V$, donc $0{,}3V=210$ et $V=700$ litres, c'est-à-dire $0{,}7$ mètre cube. Remarquez que c'est la DIFFÉRENCE $1-0{,}7=0{,}3$ des masses volumiques qui porte la charge : un matériau à peine moins dense que l'eau serait un très mauvais flotteur.

b) Il faut $V=0{,}7$ mètre cube pour une épaisseur de $0{,}30$ mètre, donc une surface de $\frac{0{,}7}{0{,}30}\approx 2{,}33$ mètres carrés. Un radeau carré ferait donc environ $1{,}53$ mètre de côté, et un radeau rectangulaire de 2 mètres sur $1{,}17$ conviendrait aussi. Toute forme est acceptable pourvu que le produit des trois dimensions donne le volume voulu : c'est le volume, et lui seul, qui décide de la flottaison.

c) $40$ cm$^{2}$ $=0{,}004$ mètre carré. La ventouse tient parce que l'air pousse d'un seul côté, l'autre étant vide : $F=p\times S=100\,000\times 0{,}004=400$ newtons, soit le poids d'une masse de 40 kilogrammes. Une ventouse de la taille d'une main peut donc soutenir un adulte, ce qui paraît invraisemblable jusqu'à ce qu'on fasse le calcul.

d) Sur une BRIQUE, la surface est poreuse et rugueuse : l'air se réinfiltre par les micro-canaux, la dépression disparaît en quelques secondes et la ventouse tombe. Elle exige une surface lisse et étanche, comme le verre ou le carrelage. EN ALTITUDE, la pression atmosphérique est plus faible, par exemple 70 000 pascals à 3000 mètres : la même ventouse ne développerait plus que $70\,000\times 0{,}004=280$ newtons, soit 30 pour cent de force en moins. La ventouse n'aspire rien, c'est l'atmosphère qui la plaque.

e) Dans les deux cas l'air exerce la même pression énorme sur toute surface, mais on ne la ressent que lorsqu'elle s'exerce d'UN SEUL CÔTÉ : sur la table elle se compense de part et d'autre et ne produit aucun effet, sous la ventouse elle ne se compense plus et devient une force de plusieurs centaines de newtons.

a) De bas en haut : miel, eau, huile. Le liquide le plus dense descend sous les autres, le moins dense monte au-dessus : c'est la règle de flottaison appliquée aux liquides entre eux.

b) L'écrou, à $7{,}8$, est plus dense que les trois liquides : il tombe au fond. Le raisin, à $1{,}10$, coule dans l'huile et dans l'eau mais flotte sur le miel : il s'arrête entre l'eau et le miel. La perle, à $0{,}95$, coule dans l'huile mais flotte sur l'eau : elle s'arrête entre l'huile et l'eau. Le liège, à $0{,}24$, flotte sur tout : il reste à la surface.

c) $1\ \mathrm{mL}=1\ \mathrm{cm^{3}}$, donc $m=\rho\times V=1{,}42\times 50=71\ \mathrm{g}$.

d) $m=0{,}92\times 100=92\ \mathrm{g}$. L'huile pèse plus que le miel versé, $92$ contre $71\ \mathrm{g}$, et pourtant elle reste au-dessus : ce qui décide de l'ordre des couches, c'est la masse volumique, pas la masse de chaque couche.

e) Juste après l'agitation, l'huile forme des gouttelettes dispersées dans l'eau. En quelques minutes, les gouttes remontent et se rassemblent : la couche d'huile se reforme au-dessus de l'eau, parce qu'elle reste moins dense.

Le fil : dans une colonne de fluides, chaque objet et chaque liquide s'arrête là où sa masse volumique se place entre celles de ses voisins.

a) Un litre contient $1\,000\ \mathrm{cm^{3}}$, donc $1{,}0\ \mathrm{g/cm^{3}}=1\,000\ \mathrm{g/L}$, soit $1\ \mathrm{kg/L}$. Un mètre cube contient $1\,000\ \mathrm{L}$, donc $1\ \mathrm{kg/L}=1\,000\ \mathrm{kg/m^{3}}$.

b) $13\,600\ \mathrm{kg/m^{3}}=13{,}6\ \mathrm{kg/L}=13\,600\ \mathrm{g/L}$, et en divisant par $1\,000$ pour passer au centimètre cube : $13{,}6\ \mathrm{g/cm^{3}}$. Il suffit de retenir que les valeurs en $\mathrm{g/cm^{3}}$ et en $\mathrm{kg/m^{3}}$ diffèrent d'un facteur $1\,000$.

c) $13{,}6\ \mathrm{kg/L}\times 1{,}5\ \mathrm{L}=20{,}4\ \mathrm{kg}$. Une bouteille d'eau de même taille ne pèse que $1{,}5\ \mathrm{kg}$ : on ne pourrait pas la soulever d'une main.

d) $V=50\times 25\times 2=2\,500\ \mathrm{m^{3}}$, et chaque mètre cube d'eau a une masse de $1\,000\ \mathrm{kg}$, soit une tonne : $2\,500$ tonnes d'eau.

e) La bonne valeur est $2\,700\ \mathrm{kg/m^{3}}$. Avec $2{,}7\ \mathrm{kg/m^{3}}$, un mètre cube d'aluminium aurait la masse de deux mètres cubes d'air : l'aluminium flotterait presque dans l'air. Un résultat absurde signale toujours une conversion oubliée.

Le fil : on convertit une masse volumique en convertissant séparément la masse et le volume, puis on contrôle l'ordre de grandeur avec l'eau.

a) $\rho=\frac{62}{60}\approx 1{,}03\ \mathrm{g/cm^{3}}$. C'est plus que $1{,}00$ : l'œuf frais coule dans l'eau douce.

b) Masse : $1\,000+50=1\,050\ \mathrm{g}$ pour $1\,000\ \mathrm{cm^{3}}$, donc $\rho=\frac{1\,050}{1\,000}=1{,}05\ \mathrm{g/cm^{3}}$. C'est plus que $1{,}03$ : l'œuf flotte.

c) Il faut que la masse volumique de l'eau salée atteigne celle de l'œuf, $\frac{62}{60}$. Pour $1\,000\ \mathrm{cm^{3}}$, la masse doit valoir $1\,000\times\frac{62}{60}\approx 1\,033{,}3\ \mathrm{g}$, soit $33{,}3\ \mathrm{g}$ de sel. Au-delà, l'œuf flotte.

d) $\rho=\frac{57}{60}=0{,}95\ \mathrm{g/cm^{3}}$, inférieure à $1{,}00$ : l'œuf ancien flotte dans l'eau douce. D'où le test de cuisine : un œuf qui coule à plat est frais, un œuf qui remonte à la surface est ancien.

e) Comme pour le cube de bois, la fraction immergée est le rapport des masses volumiques : $\frac{1{,}01}{1{,}24}\approx 0{,}81$, soit environ $81\ \%$. Dans l'eau douce, où ce rapport dépasse $1$, on coule lentement si l'on ne nage pas ; dans la mer Morte, près d'un cinquième du corps reste hors de l'eau.

Le fil : on ne change pas l'œuf, on change le liquide ; c'est toujours la comparaison des deux masses volumiques qui décide.

a) $1\ \mathrm{m}=1\,000\ \mathrm{mm}$, donc $1\ \mathrm{m^{2}}=1\,000\times 1\,000=1\,000\,000\ \mathrm{mm^{2}}$, et $1\ \mathrm{mm^{2}}=0{,}000\,001\ \mathrm{m^{2}}$. Le facteur est le carré de $1\,000$.

b) $p=\frac{F}{S}=\frac{700}{0{,}000\,001}=700\,000\,000\ \mathrm{Pa}$, soit $700$ millions de pascals, cent quarante fois la limite : le clou traverserait le pied.

c) $S=500\times 0{,}000\,001=0{,}000\,5\ \mathrm{m^{2}}$ et $p=\frac{700}{0{,}000\,5}=1\,400\,000\ \mathrm{Pa}$, soit $1{,}4$ million de pascals. C'est sous la limite de $5$ millions : la peau n'est pas percée. Le poids est le même qu'en b, c'est la surface qui a été multipliée par $500$.

d) La surface minimale vaut $S=\frac{F}{p}=\frac{700}{5\,000\,000}=0{,}000\,14\ \mathrm{m^{2}}=140\ \mathrm{mm^{2}}$, soit $140$ clous.

e) Quand il s'assoit : à cet instant, seule une petite partie du corps touche la planche, donc peu de clous portent tout le poids et la pression peut dépasser la limite. Une fois allongé, le poids se répartit sur des centaines de clous. C'est pourquoi l'artiste s'installe lentement, en répartissant son poids avec les mains.

Le fil : plus de clous, c'est plus de surface pour la même force, donc moins de pression sur chacun.

a) $m=\rho\times V=1{,}20\times 2\,500=3\,000\ \mathrm{kg}$, trois tonnes d'air.

b) $m=0{,}95\times 2\,500=2\,375\ \mathrm{kg}$. Le volume est le même, mais l'air chaud est moins dense.

c) $3\,000-2\,375=625\ \mathrm{kg}$. C'est la différence entre la masse d'air froid déplacé et la masse d'air chaud qui porte tout le reste.

d) Il reste $625-400=225\ \mathrm{kg}$ pour les passagers, et $\frac{225}{75}=3$ : trois passagers au plus, pilote compris.

e) Plus l'air extérieur est froid, plus il est dense, et plus l'écart avec l'air chaud de l'enveloppe est grand : la montgolfière emporte davantage de charge pour le même chauffage. En été, en plein après-midi, l'écart se réduit et il faut chauffer plus fort pour la même charge. S'y ajoute un air plus calme le matin.

Le fil : une montgolfière flotte dans l'air comme un bateau dans l'eau ; le brûleur règle sa masse volumique moyenne.