Exercices corrigés : mouvement, vitesse et lumière (Quatrième)

$12\ \mathrm{min}=0{,}20\ \mathrm{h}$, donc $v=\dfrac{3{,}0}{0{,}20}=15\ \mathrm{km/h}$. En mètres par seconde : $\dfrac{15}{3{,}6}=4{,}2\ \mathrm{m/s}$. On peut vérifier directement : $\dfrac{3000}{720}=4{,}17\ \mathrm{m/s}$, les deux chemins concordent.

$v=\dfrac{1400}{100}=14\ \mathrm{m/s}$, soit $14\times 3{,}6=50{,}4\ \mathrm{km/h}$. Pour passer des mètres par seconde aux kilomètres par heure, on MULTIPLIE par $3{,}6$ : c'est le sens inverse de la conversion précédente, et l'inverser est l'erreur la plus courante.

$7\ \mathrm{h}\ 30=7{,}5\ \mathrm{h}$, donc $v=\dfrac{5500}{7{,}5}=733\ \mathrm{km/h}$. Attention, $7\ \mathrm{h}\ 30$ ne s'écrit pas $7{,}30\ \mathrm{h}$ : trente minutes valent une demi-heure.

$1\ \mathrm{min}\ 20\ \mathrm{s}=80\ \mathrm{s}$, donc $v=\dfrac{400}{80}=5{,}0\ \mathrm{m/s}$. Il est plus rapide que le cycliste, qui roule à $4{,}2\ \mathrm{m/s}$. Comparer deux vitesses exige la même unité des deux côtés : $5{,}0\ \mathrm{m/s}$ contre $15\ \mathrm{km/h}$ ne se compare pas à vue.

$9\ \mathrm{min}=0{,}15\ \mathrm{h}$, donc $v=\dfrac{3{,}0}{0{,}15}=20\ \mathrm{km/h}$. Réduire la durée d'un quart oblige à augmenter la vitesse d'un tiers : la vitesse et la durée sont inversement proportionnelles, à distance fixée.

Mobile A : les points sont régulièrement espacés, le mouvement est UNIFORME. Mobile B : les écarts augmentent, le mouvement est ACCÉLÉRÉ. Mobile C : les écarts diminuent, le mouvement est RALENTI. La durée entre deux points étant toujours la même, l'écart mesure la vitesse.

La trajectoire est une DROITE pour les trois : les points sont alignés. On dit que le mouvement est rectiligne. Un mouvement se décrit toujours par deux informations, la forme de la trajectoire et la façon dont la vitesse évolue.

Cinq intervalles de $0{,}20\ \mathrm{s}$, soit une durée totale de $1{,}0\ \mathrm{s}$. La vitesse moyenne vaut $\dfrac{6{,}0}{1{,}0}=6{,}0\ \mathrm{m/s}$. Sur chaque intervalle, le mobile avance de $1{,}2\ \mathrm{m}$ en $0{,}20\ \mathrm{s}$, soit $\dfrac{1{,}2}{0{,}20}=6{,}0\ \mathrm{m/s}$ : c'est bien la même valeur, ce qui est la définition d'un mouvement uniforme.

Vitesse moyenne : $\dfrac{5{,}2}{1{,}0}=5{,}2\ \mathrm{m/s}$. Sur le dernier intervalle, le mobile avance de $5{,}2-3{,}4=1{,}8\ \mathrm{m}$ en $0{,}20\ \mathrm{s}$, soit $9{,}0\ \mathrm{m/s}$. Les deux diffèrent parce que la vitesse CHANGE : la vitesse moyenne écrase les variations, elle ne dit rien de ce qui se passe à un instant donné.

Reculer voudrait dire revenir en arrière, donc que les points repartent vers la gauche. Ce n'est pas le cas : le mobile C continue d'avancer, dans le même sens, mais de moins en moins vite. Des points qui se resserrent signalent un RALENTISSEMENT, jamais un changement de sens.

On lit $20\ \mathrm{km}$ au bout de $25\ \mathrm{min}$. En heures, $25\ \mathrm{min}=\dfrac{25}{60}=0{,}4167\ \mathrm{h}$, donc $v=\dfrac{20}{0{,}4167}=48\ \mathrm{km/h}$.

La courbe est HORIZONTALE : la distance n'augmente plus, le cycliste est à l'arrêt. Sa vitesse est nulle pendant ces $15\ \mathrm{min}$. Un palier sur un graphique distance-temps signifie toujours un arrêt, jamais un retour en arrière.

De $40$ à $60\ \mathrm{min}$, il passe de $20$ à $40\ \mathrm{km}$, soit $20\ \mathrm{km}$ en $20\ \mathrm{min}=\dfrac{1}{3}\ \mathrm{h}$ : $v=\dfrac{20}{1/3}=60\ \mathrm{km/h}$. Il va donc PLUS VITE qu'au début, ce que confirme la pente plus raide.

Sur l'ensemble : $40\ \mathrm{km}$ en $60\ \mathrm{min}=1{,}0\ \mathrm{h}$, soit $40\ \mathrm{km/h}$. La moyenne des trois vitesses vaudrait $\dfrac{48+0+60}{3}=36\ \mathrm{km/h}$, ce qui est FAUX. Une vitesse moyenne ne se calcule jamais en moyennant des vitesses : elle se calcule toujours comme la distance totale divisée par la durée totale, parce que les phases n'ont pas la même durée.

La courbe monterait, puis REDESCENDRAIT jusqu'à zéro, puisque la distance au point de départ diminue pendant le retour. Une descente sur ce type de graphique signale un rapprochement du point de départ, tandis qu'un palier signale un arrêt.

L'ombre propre est la partie de l'OBJET lui-même qui n'est pas éclairée, c'est-à-dire sa face arrière. L'ombre portée est la zone sombre projetée sur l'ÉCRAN, là où la lumière ne parvient pas parce que l'objet la bloque. Les deux mots ne désignent pas la même chose et l'énoncé d'un contrôle les distingue toujours.

Parce que la lumière se propage en ligne droite dans un milieu transparent et homogène, ce qui est le cas de l'air de la salle. Le tracé serait faux si le milieu n'était pas homogène, par exemple au-dessus d'une route surchauffée où l'air se stratifie, ou si la lumière changeait de milieu, en entrant dans l'eau ou dans un verre.

Plus GRANDE. Les deux rayons issus de $S$ et frôlant l'objet s'écartent d'autant plus qu'ils viennent de loin : en rapprochant l'objet de la source, on intercepte le faisceau plus tôt, et le cône d'ombre a plus de place pour s'élargir avant d'atteindre l'écran. C'est l'expérience quotidienne de la main approchée d'une lampe de poche.

Il apparaît une zone de PÉNOMBRE autour de l'ombre portée : une bande grise où l'écran ne reçoit la lumière que d'une partie de la lampe. L'ombre n'a plus de contour net, elle est cernée d'un dégradé.

Transparent : une vitre. Translucide : un verre dépoli ou une feuille de papier calque. Opaque : un livre. Seul l'objet OPAQUE donne une ombre nette, car il bloque entièrement la lumière ; le translucide en laisse passer une partie diffusée, sans image nette.

Sources primaires : l'étoile, l'écran de téléphone allumé, la luciole. Objets diffusants : la Lune, le miroir, le nuage blanc. Le cas du miroir mérite une nuance : il RENVOIE la lumière dans une seule direction au lieu de la diffuser dans toutes, mais il ne la produit pas.

Dans le noir complet, aucun objet ne reçoit de lumière, donc aucun n'en renvoie vers l'oeil, et rien n'entre dans l'oeil. Ouvrir les yeux ne sert à rien : l'oeil est un récepteur, il n'émet aucune lumière. C'est exactement ce que l'on veut faire comprendre en corrigeant l'idée intuitive d'un regard qui irait toucher les objets.

En $1{,}0\ \mathrm{s}$ : $3{,}0\times 10^{8}\ \mathrm{m}$, soit $300\,000\ \mathrm{km}$, sept fois et demie le tour de la Terre. En $1{,}0\ \mathrm{ms}=1{,}0\times 10^{-3}\ \mathrm{s}$ : $3{,}0\times 10^{8}\times 10^{-3}=3{,}0\times 10^{5}\ \mathrm{m}$, soit $300\ \mathrm{km}$.

$384\,000\ \mathrm{km}=3{,}84\times 10^{8}\ \mathrm{m}$, donc $t=\dfrac{3{,}84\times 10^{8}}{3{,}0\times 10^{8}}=1{,}28\ \mathrm{s}$. La Lune que l'on regarde est celle d'il y a un peu plus d'une seconde.

C'est une DISTANCE, malgré le mot « année ». C'est la distance parcourue par la lumière en un an, et le calcul le confirme par les unités : une vitesse en mètres par seconde multipliée par une durée en secondes donne des mètres. Le nom est trompeur et c'est le piège le plus fréquent du chapitre.

Une ÉCLIPSE DE SOLEIL : la Lune, en s'interposant, projette son ombre sur la Terre et masque le Soleil aux observateurs qui s'y trouvent. Ce n'est possible que parce que la Lune, bien plus petite, est aussi bien plus proche : les deux astres nous apparaissent presque de la même taille.

Parce que le cône d'ombre de la Lune est ÉTROIT quand il atteint la Terre, quelques centaines de kilomètres au plus : seule la bande balayée par cette ombre voit l'éclipse. Pour une éclipse de Lune, au contraire, c'est la Lune ENTIÈRE qui s'assombrit, et tous ceux qui la voient dans le ciel, donc toute la face nuit de la Terre, l'observent en même temps.

Parce que le plan de l'orbite de la Lune est légèrement incliné par rapport à celui de la Terre autour du Soleil. La plupart du temps la Lune passe un peu au-dessus ou un peu en dessous de l'alignement, et son ombre manque la Terre. L'alignement exact ne se produit que quelques fois par an.

La pleine lune et la nouvelle lune sont diamétralement opposées sur l'orbite, donc séparées d'un DEMI-tour : $\dfrac{29{,}5}{2}=14{,}75$ jours, soit un peu moins de quinze jours.

C'est faux : la nouvelle lune est une PHASE, elle vient de ce que la Lune nous présente alors sa face non éclairée, tournée du côté opposé au Soleil. Aucune ombre de la Terre n'intervient. Une phase se produit chaque mois et vient de la géométrie de l'éclairage ; une éclipse est un événement rare qui exige un alignement précis et une véritable interposition.

$v=\dfrac{100}{10{,}20}=9{,}80\ \mathrm{m/s}$, soit $9{,}80\times 3{,}6=35{,}3\ \mathrm{km/h}$. C'est l'ordre de grandeur d'un très bon sprinteur amateur.

De $0$ à $20\ \mathrm{m}$ : $\dfrac{20}{3{,}00}=6{,}67\ \mathrm{m/s}$. De $20$ à $40$ : $\dfrac{20}{2{,}00}=10{,}0\ \mathrm{m/s}$. De $40$ à $60$ : $\dfrac{20}{1{,}80}=11{,}1\ \mathrm{m/s}$. De $60$ à $80$ : $\dfrac{20}{1{,}70}=11{,}8\ \mathrm{m/s}$. De $80$ à $100$ : $\dfrac{20}{1{,}70}=11{,}8\ \mathrm{m/s}$.

Il court le plus vite sur les deux derniers tronçons, à $11{,}8\ \mathrm{m/s}$. Le mouvement n'est donc pas uniforme, puisque la vitesse varie de $6{,}67$ à $11{,}8\ \mathrm{m/s}$ : elle a presque doublé entre le départ et la fin.

La vitesse augmente fortement au début, puis de moins en moins, et se stabilise sur la fin. Le premier tronçon est lent parce que le coureur part à l'arrêt : il lui faut plusieurs foulées pour se redresser et atteindre son régime. La vitesse moyenne d'un $100\ \mathrm{m}$ est donc toujours nettement inférieure à la vitesse maximale atteinte.

À $60\ \mathrm{m}$, le second est passé en $6{,}50\ \mathrm{s}$ contre $6{,}80\ \mathrm{s}$ : c'est LUI qui mène au passage des $60\ \mathrm{m}$. À l'arrivée, il met $10{,}40\ \mathrm{s}$ contre $10{,}20\ \mathrm{s}$ : c'est le PREMIER qui gagne. Une vitesse moyenne calculée sur une partie du parcours ne permet donc jamais de conclure sur l'ensemble, et c'est exactement le piège de ce genre d'exercice.

FAUX. $\dfrac{100}{20}=5$, mais en MÈTRES PAR SECONDE. En kilomètres par heure, il faut multiplier par $3{,}6$ : $5\times 3{,}6=18\ \mathrm{km/h}$. Le nombre est juste, l'unité ne l'est pas, et une réponse sans la bonne unité ne vaut rien.

FAUX. Un palier signifie que la distance parcourue n'augmente plus, donc que le mobile est à l'ARRÊT. C'est une courbe qui redescend qui traduirait un retour vers le point de départ.

FAUX. La Lune est un objet DIFFUSANT : elle renvoie la lumière qu'elle reçoit du Soleil. Une source primaire produit sa lumière, comme le Soleil ou une lampe ; la Lune n'en produit aucune.

FAUX. L'année-lumière est une DISTANCE, celle que la lumière parcourt en un an, soit environ $9{,}5\times 10^{12}\ \mathrm{km}$. Le mot « année » désigne la durée qui sert à la définir, pas la grandeur mesurée.

FAUX. La vitesse moyenne est le quotient de la distance TOTALE par la durée TOTALE. Moyenner deux vitesses ne donne le bon résultat que si les deux étapes durent exactement le même temps, ce qui n'arrive presque jamais.

Chaque triangle a un angle droit, entre l'objet vertical et le sol horizontal. Les rayons du Soleil étant parallèles, ils font le même angle avec le sol dans les deux triangles. Deux angles égaux deux à deux suffisent : les triangles sont SEMBLABLES, et leurs côtés sont donc proportionnels. C'est exactement la configuration du théorème de Thalès vue en mathématiques.

Le rapport hauteur sur ombre est le même pour les deux : $\dfrac{h}{4{,}20}=\dfrac{1{,}80}{1{,}43}$, donc $h=4{,}20\times \dfrac{1{,}80}{1{,}43}=5{,}29\ \mathrm{m}$. L'immeuble mesure environ $5{,}29\ \mathrm{m}$, soit un peu plus de deux étages.

Le rapport hauteur sur ombre est passé à $\dfrac{1{,}80}{2{,}30}$ pour le mât, donc l'ombre de l'immeuble vaut $5{,}29\times \dfrac{2{,}30}{1{,}80}=6{,}76\ \mathrm{m}$. Le rapport des deux OMBRES, lui, n'a pas changé : $\dfrac{6{,}76}{2{,}30}=2{,}94=\dfrac{4{,}20}{1{,}43}$. Le Soleil a baissé, les deux ombres se sont allongées dans la même proportion.

Parce que les rayons d'un lampadaire ne sont pas parallèles : ils divergent d'un point unique et proche. L'angle avec le sol n'est alors pas le même pour le mât et pour l'immeuble, les deux triangles ne sont plus semblables, et le rapport des ombres ne donne plus le rapport des hauteurs.

Non, elle ne serait plus valable telle quelle : l'angle droit entre l'objet et le sol disparaît, donc les triangles ne sont plus semblables à celui du mât vertical. Avant de mesurer, il faut vérifier la verticalité des deux objets, au fil à plomb ou au niveau, et s'assurer que le sol est horizontal et plan sur toute la longueur des ombres.

$d=v\times t=3{,}00\times 10^{8}\times 2{,}56=7{,}68\times 10^{8}\ \mathrm{m}$. C'est la distance TOTALE, aller et retour compris.

La distance Terre-Lune en est la moitié : $\dfrac{7{,}68\times 10^{8}}{2}=3{,}84\times 10^{8}\ \mathrm{m}$, soit $384\,000\ \mathrm{km}$. Oublier de diviser par deux donnerait une Lune deux fois trop loin, et c'est l'erreur qui coûte le plus cher dans tout exercice d'écho.

Pour $2{,}34\ \mathrm{s}$ : $\dfrac{3{,}00\times 10^{8}\times 2{,}34}{2}=3{,}51\times 10^{8}\ \mathrm{m}$, soit $351\,000\ \mathrm{km}$. Pour $2{,}71\ \mathrm{s}$ : $4{,}065\times 10^{8}\ \mathrm{m}$, soit environ $406\,500\ \mathrm{km}$. L'écart atteint donc plus de $55\,000\ \mathrm{km}$ entre les deux extrêmes.

Une incertitude de $10^{-7}\ \mathrm{s}$ sur l'aller-retour correspond à $\dfrac{3{,}00\times 10^{8}\times 10^{-7}}{2}=15\ \mathrm{m}$ sur la distance. Autrement dit, on connaît la position de la Lune à une quinzaine de mètres près sur près de $400\,000\ \mathrm{km}$, ce qui est une précision relative d'environ quatre cent-millionièmes.

Parce que le son ne se propage PAS dans le vide : il lui faut un milieu matériel, et l'espace entre la Terre et la Lune n'en offre aucun. Même avec un réflecteur parfait, aucune onde sonore ne partirait. Et à supposer un milieu, à $340\ \mathrm{m/s}$ l'aller-retour prendrait plus de $26$ jours.

La trajectoire est un CERCLE, presque parfait, et la Terre le parcourt à vitesse constante en valeur : le mouvement est circulaire et uniforme. Uniforme ne veut pas dire rectiligne : la direction du mouvement change sans cesse, seule la valeur de la vitesse reste la même.

En $24\ \mathrm{h}$, un point de l'équateur parcourt la circonférence : $v=\dfrac{40\,000}{24}\approx 1\,667\ \mathrm{km/h}$, plus vite qu'un avion de ligne.

$2\pi\times 150\approx 942$ millions de kilomètres.

$365$ jours valent $365\times 24=8\,760\ \mathrm{h}$, donc $v=\dfrac{942\,000\,000}{8\,760}\approx 107\,600\ \mathrm{km/h}$. En secondes, $365$ jours valent $31\,536\,000\ \mathrm{s}$, et $v\approx\dfrac{942\,000\,000}{31\,536\,000}\approx 29{,}9\ \mathrm{km/s}$.

Parce que tout ce qui nous entoure, le sol, l'air, les bâtiments, se déplace avec nous à la même vitesse : PAR RAPPORT au sol, nous sommes immobiles. Un mouvement se décrit toujours par rapport à un objet de référence. Et comme ce mouvement est presque uniforme, aucune secousse ne le trahit, comme dans un avion qui vole sans turbulence.

Le mur est un objet DIFFUSANT : il renvoie dans toutes les directions une partie de la lumière qu'il reçoit, et une partie de cette lumière entre dans l'œil de chaque spectateur.

Pour voir quelque chose, il faut que de la lumière venant de cet endroit entre dans l'œil. L'air pur diffuse très peu : la lumière du faisceau continue tout droit vers le mur et presque rien n'est renvoyé sur le côté, vers les spectateurs.

Le faisceau apparaît comme un trait rouge parfaitement RECTILIGNE : les grains de craie diffusent un peu de la lumière qui les frappe vers l'œil. On voit alors le trajet de la lumière, et il confirme sa propagation en ligne droite.

$t=\dfrac{d}{v}=\dfrac{6{,}0}{3{,}0\times 10^{8}}=2{,}0\times 10^{-8}\ \mathrm{s}$, vingt milliardièmes de seconde : pour nos sens, l'arrivée est instantanée.

La tache sur le mur ne nous renvoie qu'une toute petite partie de la lumière, dispersée dans toutes les directions. Un faisceau dirigé vers l'œil y fait entrer toute sa lumière, concentrée sur un point minuscule du fond de l'œil, qu'elle peut brûler définitivement.

$t=\dfrac{5{,}6\times 10^{7}}{3{,}0\times 10^{5}}\approx 187\ \mathrm{s}$, soit $3\ \mathrm{min}\ 7\ \mathrm{s}$.

Le signal met $187\ \mathrm{s}$ pour venir et l'ordre autant pour repartir : au minimum $2\times 187\approx 373\ \mathrm{s}$, soit $6\ \mathrm{min}\ 13\ \mathrm{s}$, sans compter le temps de réaction de l'opérateur. Le rocher est heurté depuis longtemps : un robot martien ne peut pas être piloté en direct, il doit éviter seul les obstacles.

$\dfrac{4{,}0\times 10^{13}}{9{,}5\times 10^{12}}\approx 4{,}2$ années-lumière : la lumière de cette étoile voyage plus de quatre ans avant de nous parvenir.

$t=\dfrac{4{,}0\times 10^{13}}{17}\approx 2{,}35\times 10^{12}\ \mathrm{s}$, et $\dfrac{2{,}35\times 10^{12}}{3{,}15\times 10^{7}}\approx 74\,700$ ans, environ $75$ milliers d'années. La lumière fait le trajet en quatre ans, la sonde la plus lointaine jamais lancée en mettrait soixante-quinze mille.

Elle est partie il y a $2{,}5$ millions d'années, puisque la lumière parcourt une année-lumière par an. Nous voyons la galaxie telle qu'elle était à ce moment-là, et rien ne nous dit à quoi elle ressemble aujourd'hui : l'information la plus récente dont nous disposons a deux millions et demi d'années.

L'éclipse a lieu au même instant dans les deux cas, mais on ne la voit que lorsque la lumière venue de Jupiter atteint la Terre. Quand la Terre est de l'autre côté du Soleil, cette lumière doit traverser en plus toute l'orbite terrestre : elle arrive plus tard, et l'éclipse paraît en retard.

$16\times 60+40=1\,000\ \mathrm{s}$.

$v=\dfrac{d}{t}=\dfrac{3{,}0\times 10^{8}}{1\,000}=3{,}0\times 10^{5}\ \mathrm{km/s}$, soit $300\,000$ kilomètres par seconde.

$22\ \mathrm{min}=1\,320\ \mathrm{s}$, donc $v=\dfrac{3{,}0\times 10^{8}}{1\,320}\approx 227\,000\ \mathrm{km/s}$, soit $227$ milliers de kilomètres par seconde.

$\dfrac{300\,000-227\,000}{300\,000}\approx 0{,}24$, soit un écart de $24\ \%$. Mais l'essentiel n'était pas la valeur : jusque-là, beaucoup pensaient que la lumière arrivait instantanément. Rømer a montré qu'elle a une vitesse FINIE, et il en a donné pour la première fois l'ordre de grandeur, des centaines de milliers de kilomètres par seconde.

De $8\ \mathrm{h}\ 00$ à $9\ \mathrm{h}\ 30$ : $1\ \mathrm{h}\ 30=1{,}5\ \mathrm{h}$. $v=\dfrac{270}{1{,}5}=180\ \mathrm{km/h}$.

De B à C : $510-270=240\ \mathrm{km}$ entre $9\ \mathrm{h}\ 33$ et $10\ \mathrm{h}\ 33$, soit $1\ \mathrm{h}$ : $240\ \mathrm{km/h}$. De C à D : $810-510=300\ \mathrm{km}$ entre $10\ \mathrm{h}\ 36$ et $11\ \mathrm{h}\ 51$, soit $1\ \mathrm{h}\ 15=1{,}25\ \mathrm{h}$ : $\dfrac{300}{1{,}25}=240\ \mathrm{km/h}$. Le tronçon le plus lent est le premier, de A à B.

De $8\ \mathrm{h}\ 00$ à $11\ \mathrm{h}\ 51$ : $3\ \mathrm{h}\ 51\ \mathrm{min}$, soit $231\ \mathrm{min}$. Les arrêts durent $3$ minutes en B et $3$ minutes en C : $6$ minutes à l'arrêt.

$231\ \mathrm{min}=3{,}85\ \mathrm{h}$, donc $v=\dfrac{810}{3{,}85}\approx 210{,}4\ \mathrm{km/h}$. La moyenne des trois vitesses, $\dfrac{180+240+240}{3}=220\ \mathrm{km/h}$, est fausse : les tronçons n'ont pas la même durée, et les arrêts ne figurent dans aucune des trois vitesses.

En roulant, le train met $231-6=225\ \mathrm{min}=3{,}75\ \mathrm{h}$, donc $v=\dfrac{810}{3{,}75}=216\ \mathrm{km/h}$. La vitesse moyenne arrêts compris est plus faible parce que la même distance est divisée par une durée plus longue : pendant les arrêts, le temps passe et la distance n'augmente pas, exactement comme un palier sur un graphique distance-temps.