Exercices corrigés : décrire un mouvement et mesurer une vitesse (Sixième)

a) Objet 1 : les points sont alignés, la trajectoire est RECTILIGNE. Objet 2 : les points sont tous à la même distance d'un même centre, la trajectoire est CIRCULAIRE. Objet 3 : les points dessinent une courbe qui n'est ni une droite ni un cercle, la trajectoire est CURVILIGNE. Le mot trajectoire désigne la LIGNE suivie par l'objet, pas sa vitesse.

b) Les photographies sont prises à intervalles de temps égaux, $0{,}2\ \mathrm{s}$. Si les points sont également espacés, l'objet parcourt la même distance pendant des durées égales : sa vitesse ne change pas. Le mouvement est UNIFORME.

c) Un resserrement signifie que l'objet parcourt moins de distance pendant la même durée, donc qu'il RALENTIT; un écartement signifie qu'il ACCÉLÈRE. Le ballon monte en ralentissant, s'arrête un instant tout en haut, puis redescend en accélérant. L'espacement des points est une mesure de vitesse déguisée.

d) Il confond trajectoire fermée et absence de mouvement. La nacelle change de position à chaque instant, donc elle est bel et bien en mouvement; le fait qu'elle repasse par le même point au bout d'un tour n'y change rien. Un objet est en mouvement dès que sa position change au cours du temps.

e) Rectiligne : un ascenseur, une bille lâchée dans un tube vertical, un train sur une ligne droite. Circulaire : une aiguille d'horloge, une valve de roue de vélo, un cheval de carrousel. Curviligne : un ballon de football au-dessus du terrain, une goutte d'eau qui sort d'un tuyau d'arrosage, une voiture qui prend un virage puis une ligne droite.

a) Par rapport à Sam, Léa est IMMOBILE : la distance qui les sépare ne change pas, et Léa reste toujours dans la même direction pour Sam. Par rapport à l'arbre du quai, Léa est EN MOUVEMENT : la distance entre elle et l'arbre change à chaque seconde. Une même personne est donc à la fois immobile et en mouvement, selon l'objet de référence choisi. Ce n'est pas une contradiction, c'est la définition.

b) Oui. Par rapport à Sam, l'arbre s'éloigne, donc il est en mouvement, et il se déplace dans le sens contraire de celui du train. C'est exactement ce que Sam voit par la fenêtre : le paysage qui « défile » vers l'arrière. Le paysage ne bouge pas pour un voyageur resté sur le quai, il bouge pour Sam.

c) Le crayon tombe à ses PIEDS, comme dans une salle de classe. Avant d'être lâché, le crayon accompagnait le train : il est immobile par rapport au wagon, et il le reste pendant sa chute. Rien ne le pousse vers l'arrière. C'est pour la même raison qu'on peut poser un verre sur une tablette dans un train qui roule à vitesse constante.

d) Deux réponses correctes : « Léa est immobile par rapport à Sam, et en mouvement par rapport à l'arbre » ; « Léa est immobile par rapport au wagon, et en mouvement par rapport au quai ». On peut aussi écrire qu'elle est immobile par rapport à son siège et en mouvement par rapport à la gare. Ce qui compte est de nommer les deux objets de référence.

e) Nous disons cela par rapport au SOL, c'est-à-dire par rapport à la Terre, et c'est le choix implicite de toute la vie courante. Par rapport au Soleil, la salle n'est plus immobile du tout : elle tourne avec la Terre et fait le tour du Soleil en un an, à environ $30\ \mathrm{km}$ par seconde. Aucun de ces deux points de vue n'est faux : ils répondent simplement à deux questions différentes.

a) Une vitesse compare une DISTANCE et une DURÉE : il faut donc mesurer les deux. La distance se mesure avec un décamètre ou un ruban gradué, en mètres. La durée se mesure avec un chronomètre, en secondes. Sans l'une des deux, aucune vitesse n'est calculable : c'est pour cela qu'un protocole de mesure de vitesse comporte toujours ces deux mesures.

b) La durée moyenne vaut $(8{,}4+8{,}0+8{,}2)\div 3 = 24{,}6\div 3 = 8{,}2\ \mathrm{s}$. On additionne les trois valeurs puis on divise par trois : la moyenne d'une mesure répétée est plus fiable que n'importe laquelle des trois valeurs prises seule.

c) En $8{,}2\ \mathrm{s}$ il parcourt $50\ \mathrm{m}$. En $1\ \mathrm{s}$, il parcourt donc $8{,}2$ fois moins loin : $50\div 8{,}2 \approx 6{,}1\ \mathrm{m}$. Sa vitesse est d'environ $6{,}1\ \mathrm{m}$ par seconde, ce que l'on écrit $6{,}1\ \mathrm{m/s}$. Le mot « par » de l'unité est exactement la division que l'on vient de faire.

d) Parce qu'une mesure unique porte toujours une part d'erreur : le doigt du chronométreur part avec un léger retard, l'élève démarre plus ou moins vite, le vent aide ou gêne. En répétant, les erreurs se compensent en partie, et la moyenne se rapproche de la valeur réelle. Ici les trois durées ne diffèrent que de $0{,}4\ \mathrm{s}$, ce qui montre que la mesure est fiable.

e) Un départ chronométré EN RETARD raccourcit la durée mesurée. Comme on divise ensuite les $50\ \mathrm{m}$ par une durée trop petite, la vitesse trouvée est TROP GRANDE. La règle générale : toute erreur qui diminue la durée, ou qui augmente la distance annoncée, gonfle la vitesse calculée.

a) En $5\ \mathrm{s}$ : $5\times 6 = 30\ \mathrm{m}$. En $10\ \mathrm{s}$ : $10\times 6 = 60\ \mathrm{m}$. Pour $300\ \mathrm{m}$ : $300\div 6 = 50\ \mathrm{s}$. En $60\ \mathrm{s}$ : $60\times 6 = 360\ \mathrm{m}$. Le tableau complété est donc $1\,;\,5\,;\,10\,;\,50\,;\,60$ pour les durées, et $6\,;\,30\,;\,60\,;\,300\,;\,360$ pour les distances.

b) On multiplie chaque durée par $6$ pour obtenir la distance. Ce coefficient de proportionnalité EST la vitesse, et son unité est le mètre par seconde : il transforme des secondes en mètres. Toute situation « à vitesse constante » est une situation de proportionnalité, et c'est le même tableau qu'en mathématiques.

c) Une minute vaut $60\ \mathrm{s}$, donc $60\times 6 = 360\ \mathrm{m}$. Une heure vaut $60$ minutes, donc $60\times 360 = 21\,600\ \mathrm{m}$. On peut aussi passer directement par les secondes : une heure vaut $3600\ \mathrm{s}$, et $3600\times 6 = 21\,600\ \mathrm{m}$, ce qui donne le même résultat et sert de vérification.

d) $21\,600\ \mathrm{m} = 21{,}6\ \mathrm{km}$, donc la vitesse vaut $21{,}6\ \mathrm{km/h}$. Personne ne tient cette allure pendant une heure entière, mais le calcul reste utile : il permet de comparer un coureur à un cycliste ou à une voiture, dont les vitesses sont toujours annoncées en kilomètres par heure.

e) Il a confondu la vitesse et la distance. La vitesse $6\ \mathrm{m/s}$ ne dit pas « $6$ mètres en tout », elle dit « $6$ mètres CHAQUE seconde ». En $3\ \mathrm{s}$ le coureur parcourt donc $3\times 6 = 18\ \mathrm{m}$, et non $3$. Le mot « par » de l'unité est ce qui signale la répétition.

a) Escargot, environ $0{,}001\ \mathrm{m/s}$; marcheur, environ $1{,}4\ \mathrm{m/s}$; cycliste, environ $5\ \mathrm{m/s}$; avion de ligne, environ $250\ \mathrm{m/s}$. D'un bout à l'autre de cette liste, le rapport dépasse $200\,000$ : voilà pourquoi une même unité sert du plus lent au plus rapide.

b) $2\times 25 = 50\ \mathrm{m}$, soit près de deux terrains de basket, parcourus sans regarder la route. C'est l'argument que reprennent toutes les campagnes de sécurité routière, et il ne demande qu'une multiplication.

c) $140\ \mathrm{m/s}$ est plus rapide qu'un train à grande vitesse et dépasse la moitié de la vitesse d'un avion. Aucun piéton ne parcourt la longueur d'un terrain de football en une seconde. La réponse est donc absurde avant même le calcul : c'est à cela que servent les ordres de grandeur. L'erreur la plus probable est une confusion entre secondes et minutes.

d) $340\div 250 = 1{,}36$. Le son est donc environ $1{,}4$ fois plus rapide qu'un avion de ligne, ce qui est peu : un avion supersonique est précisément un avion qui dépasse cette vitesse-là.

e) $1\ \mathrm{km} = 1000\ \mathrm{m}$, donc il faut $1000\div 1{,}4 \approx 714\ \mathrm{s}$. Or $714\div 60 \approx 11{,}9$, soit environ $12$ minutes. C'est le repère utile à retenir : à pied, on compte un peu plus de dix minutes par kilomètre.

a) $1{,}8\ \mathrm{km} = 1800\ \mathrm{m}$. En $22$ minutes, Nour parcourt donc $1800\div 22 \approx 82\ \mathrm{m}$ par minute. Comme une minute vaut $60\ \mathrm{s}$, cela fait $82\div 60 \approx 1{,}4\ \mathrm{m/s}$, ce qui est exactement la vitesse de marche du repère de la frise.

b) Ilyas : $1800\div 8 = 225\ \mathrm{m}$ par minute, soit $225\div 60 = 3{,}75\ \mathrm{m/s}$. Maya : $1800\div 12 = 150\ \mathrm{m}$ par minute, soit $150\div 60 = 2{,}5\ \mathrm{m/s}$. Du plus lent au plus rapide : Nour, puis Maya, puis Ilyas.

c) Parce que la vitesse moyenne ne mesure pas la vitesse de pointe. L'autobus roule vite entre deux arrêts, mais il s'arrête plusieurs fois, attend les voyageurs, redémarre, et ne suit pas forcément le chemin le plus court. Toutes ces pauses comptent dans la durée totale, donc elles abaissent la vitesse moyenne. Le vélo, lui, roule moins vite mais presque sans interruption.

d) Nour arrive à $7$ h $35 + 22$ min $= 7$ h $57$. Maya doit partir $12$ minutes avant $7$ h $55$, donc à $7$ h $43$.

e) Sous la pluie, Ilyas fait $1800\div 11 \approx 164\ \mathrm{m}$ par minute au lieu de $225$. La baisse est d'environ $225-164 = 61\ \mathrm{m}$ par minute, soit un peu plus du quart de sa vitesse habituelle.

a) Le tour du cercle de rayon $5\ \mathrm{m}$ mesure environ $6{,}28\times 5 = 31{,}4\ \mathrm{m}$. C'est la distance parcourue par la nacelle A à chaque tour, même si elle revient exactement à son point de départ : la distance parcourue et le déplacement à vol d'oiseau sont deux choses différentes.

b) Elle parcourt $31{,}4\ \mathrm{m}$ en $60\ \mathrm{s}$, donc $31{,}4\div 60 \approx 0{,}52\ \mathrm{m/s}$. C'est un peu plus lent qu'un marcheur, ce qui correspond bien à la sensation en nacelle.

c) Le tour du cercle intérieur mesure $6{,}28\times 2{,}5 = 15{,}7\ \mathrm{m}$, deux fois moins. Sa vitesse vaut $15{,}7\div 60 \approx 0{,}26\ \mathrm{m/s}$, deux fois moins également.

d) Parce que la vitesse compare une distance à une durée, et que les deux points ne parcourent pas la même distance dans la même durée. Celui du bord décrit un grand cercle, celui de l'intérieur un petit. Plus un point est loin de l'axe, plus il va vite : c'est pourquoi l'extrémité d'une pale d'éolienne file à plusieurs centaines de kilomètres par heure alors que le moyeu tourne lentement.

e) Non. A et B sont fixées sur la même structure rigide : la distance entre elles vaut toujours $10\ \mathrm{m}$, et A garde toujours la même position vue depuis B. L'une est donc immobile par rapport à l'autre, exactement comme Léa par rapport à Sam dans le train. Par rapport au sol, en revanche, toutes deux sont en mouvement.

1) Faux. La distance parcourue est la longueur du chemin suivi, et elle vaut ici un tour de cercle, soit $6{,}28\times r$. Ce qui est nul, c'est le déplacement à vol d'oiseau entre le point de départ et le point d'arrivée. Correction : « il revient à son point de départ, mais il a parcouru une distance égale au tour du cercle ».

2) Incomplet, donc faux. Il manque l'objet de référence. Par rapport au wagon, Léa est immobile; par rapport au quai, elle est en mouvement. Correction : « elle est immobile par rapport au train, et en mouvement par rapport au sol ».

3) Faux. $4\ \mathrm{m/s}$ signifie $4$ mètres CHAQUE seconde, pas $4$ mètres en tout. En $10\ \mathrm{s}$, l'objet parcourt $40\ \mathrm{m}$. Correction : « l'objet parcourt $4$ mètres par seconde ».

4) Faux, et c'est l'inverse. Les photographies sont prises à intervalles de temps ÉGAUX : c'est la règle du procédé. Des points très espacés signifient donc que l'objet va vite, pas que l'appareil est lent. Correction : « des points très espacés signifient que l'objet parcourt beaucoup de distance pendant la même durée, donc qu'il va vite ».

5) Faux. Ils font le même nombre de tours dans le même temps, mais le point le plus éloigné du centre parcourt un plus grand cercle, donc une plus grande distance, donc il va plus vite. Correction : « ils font un tour dans la même durée, mais celui du bord a la plus grande vitesse ».

a) De $8$ h $15$ à $9$ h $45$, il s'écoule $1$ h $30$ min, soit $90$ minutes ou $1{,}5\ \mathrm{h}$. En retirant les $15$ minutes d'arrêt, la durée de roulage est de $75$ minutes, soit $1{,}25\ \mathrm{h}$.

b) $108\div 1{,}5 = 72\ \mathrm{km/h}$. C'est la vitesse moyenne au sens habituel : elle répond à la question « quelle vitesse constante aurait donné le même trajet dans le même temps total ? ».

c) $108\div 1{,}25 = 86{,}4\ \mathrm{km/h}$. Cette valeur est la plus grande, parce qu'on divise la même distance par une durée plus courte. Retirer les arrêts fait toujours monter la vitesse moyenne, et c'est pourquoi il faut toujours préciser si les arrêts sont comptés.

d) Le compteur affiche la vitesse À CET INSTANT, pas sur l'ensemble du trajet. Pendant le voyage, l'autocar a roulé plus vite sur l'autoroute, moins vite en ville, et pas du tout sur l'aire de repos. La vitesse moyenne est une valeur calculée après coup sur tout le trajet; la vitesse du compteur est une valeur lue à la seconde près. Les deux coïncideraient seulement si l'autocar roulait à allure rigoureusement constante.

e) $108\div 72 = 1{,}5\ \mathrm{h}$, soit $1$ h $30$ min. Parti à $16$ h $30$, l'autocar arrive donc à $18$ h.

a) 1. Coller les deux repères sur la table, assez loin l'un de l'autre. 2. Mesurer la distance entre les deux repères au décamètre, et la noter en mètres. 3. Lancer la bille et déclencher le chronomètre au moment précis où elle passe le premier repère. 4. Arrêter le chronomètre au passage du second repère, et noter la durée en secondes. 5. Recommencer trois fois, calculer la durée moyenne, puis diviser la distance par cette durée moyenne.

b) La règle, ou plutôt le décamètre ici, mesure une DISTANCE, que l'on écrit en mètres. Le chronomètre mesure une DURÉE, que l'on écrit en secondes. Une vitesse en mètres par seconde s'obtient en divisant la première par la seconde, et son unité rappelle cette division.

c) Sur $20\ \mathrm{cm}$, la bille ne met qu'une fraction de seconde. Or le temps de réaction de la main qui déclenche le chronomètre est d'environ $0{,}2\ \mathrm{s}$ : l'erreur serait presque aussi grande que la mesure elle-même. Plus la distance est longue, plus la durée est longue, et moins le temps de réaction pèse dans le résultat.

d) $1{,}20\div 1{,}5 = 0{,}80\ \mathrm{m/s}$. On écrit $0{,}80\ \mathrm{m/s}$ et non $0{,}8$ tout court, pour rappeler que les mesures étaient données à deux chiffres après la virgule.

e) Il suffit de coller un troisième repère au milieu et de chronométrer séparément les deux moitiés. Si la bille gardait une vitesse constante, les deux durées seraient égales, puisque les deux distances le sont. Si la seconde durée est plus longue que la première, c'est que la bille a mis plus de temps pour la même distance : elle a donc ralenti. C'est le même raisonnement que l'espacement des points d'une chronophotographie, fait avec un chronomètre au lieu d'un appareil photo.

a) On soustrait deux positions successives : $20-0=20\ \mathrm{cm}$, $40-20=20\ \mathrm{cm}$, $60-40=20\ \mathrm{cm}$, $75-60=15\ \mathrm{cm}$, $85-75=10\ \mathrm{cm}$. Les positions se lisent dans le tableau, les distances parcourues se calculent.

b) Pendant des durées égales, la voiture parcourt des distances égales, $20\ \mathrm{cm}$ à chaque fois : le mouvement est UNIFORME.

c) Les distances diminuent, $15$ puis $10\ \mathrm{cm}$, pendant des durées égales : la voiture RALENTIT. Sur une chronophotographie, les points se resserreraient.

d) $60\ \mathrm{cm}$ en $1{,}5\ \mathrm{s}$ : $60\div 1{,}5=40\ \mathrm{cm/s}$. Comme $1\ \mathrm{m}=100\ \mathrm{cm}$, cela fait $0{,}4\ \mathrm{m/s}$.

e) $85\ \mathrm{cm}$ en $2{,}5\ \mathrm{s}$ : $85\div 2{,}5=34\ \mathrm{cm/s}$. Elle est plus petite parce que la voiture a ralenti à la fin : les derniers intervalles, parcourus lentement, font baisser la moyenne.

a) $36\ \mathrm{km}=36\,000\ \mathrm{m}$ en une heure. Une heure compte $3600\ \mathrm{s}$ : en une seconde, $36\,000\div 3600=10\ \mathrm{m}$. Donc $36\ \mathrm{km/h}=10\ \mathrm{m/s}$.

b) $90\ \mathrm{km/h}$ : $90\,000\ \mathrm{m}$ en $3600\ \mathrm{s}$, soit $90\,000\div 3600=25\ \mathrm{m/s}$.

c) $36\div 3{,}6=10$ et $90\div 3{,}6=25$ : on retrouve les mêmes valeurs, car diviser par $3600$ puis multiplier par $1000$ revient à diviser par $3{,}6$. Et $18\div 3{,}6=5\ \mathrm{m/s}$.

d) Dans l'autre sens, on multiplie par $3{,}6$ : $10\times 3{,}6=36\ \mathrm{km/h}$. En une heure, à cette allure, on ferait $10\times 3600=36\,000\ \mathrm{m}$.

e) $340\times 3{,}6=1224\ \mathrm{km/h}$. Le nombre en $\mathrm{km/h}$ est toujours PLUS GRAND que le nombre en $\mathrm{m/s}$ : un piège classique est de diviser au lieu de multiplier.

a) À $0{,}1\ \mathrm{m}$ par seconde, il faut $100\div 0{,}1=1000\ \mathrm{s}$. Et $1000=16\times 60+40$ : $16$ min $40$ s.

b) $100\div 10=10\ \mathrm{s}$ de course, $5\ \mathrm{s}$ avant la sieste et $5\ \mathrm{s}$ après.

c) $20$ min $=20\times 60=1200\ \mathrm{s}$. Total : $10+1200=1210\ \mathrm{s}$.

d) La tortue gagne, en $1000\ \mathrm{s}$ contre $1210\ \mathrm{s}$ : $210\ \mathrm{s}$ d'avance, soit $3$ min $30$ s. Cent fois plus rapide quand il court, le lièvre perd parce que la vitesse moyenne compte aussi le temps passé à l'arrêt.

e) Pour arriver en $1000\ \mathrm{s}$ avec $10\ \mathrm{s}$ de course, il pouvait dormir $1000-10=990\ \mathrm{s}$, soit $16$ min $30$ s.

a) Le courant emporte l'eau, et le bateau avance dans cette eau : les deux vitesses s'ajoutent, $4+1=5\ \mathrm{m/s}$ par rapport à la rive.

b) Le courant le ramène en arrière pendant qu'il avance : $4-1=3\ \mathrm{m/s}$ par rapport à la rive.

c) Descente : $600\div 5=120\ \mathrm{s}$. Remontée : $600\div 3=200\ \mathrm{s}$. Le même trajet prend beaucoup plus de temps à contre-courant.

d) Oui, il est immobile par rapport à l'eau : il ne s'en éloigne pas. Par rapport à la rive, il avance avec le courant, à $1\ \mathrm{m/s}$. Encore un objet à la fois immobile et en mouvement.

e) $120+200=320\ \mathrm{s}$ pour $1200\ \mathrm{m}$ : $1200\div 320=3{,}75\ \mathrm{m/s}$. Ce n'est pas $4\ \mathrm{m/s}$, la moyenne de $5$ et $3$ : le bateau passe plus de temps à la vitesse lente qu'à la vitesse rapide.

a) À $15\ \mathrm{km}$ par heure, $15\ \mathrm{km}$ prennent $1$ h ; les $5\ \mathrm{km}$ restants, le tiers de $15$, prennent le tiers d'une heure, $20$ min. La montée dure $1$ h $20$ min, soit $80$ min.

b) $20\div 40=0{,}5\ \mathrm{h}$, soit $30$ min.

c) $20+20=40\ \mathrm{km}$, en $80+30=110$ min, c'est-à-dire $1$ h $50$ min.

d) $110$ min $=\dfrac{110}{60}$ h. Vitesse moyenne : $40\div\dfrac{110}{60}=\dfrac{40\times 60}{110}=\dfrac{2400}{110}\approx 21{,}8\ \mathrm{km/h}$.

e) La moyenne de $15$ et $40$ supposerait que le cycliste roule AUTANT DE TEMPS à chaque vitesse. Or il passe $80$ min à $15\ \mathrm{km/h}$ et seulement $30$ min à $40\ \mathrm{km/h}$ : la vitesse lente pèse bien plus lourd. Une vitesse moyenne se calcule toujours avec la distance totale et la durée totale.