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Spécialité physique-chimie, Terminale • Exercices corrigés à Montréal

Fiche de révision : la lunette astronomique, grossissement et cercle oculaire (Terminale)

La lunette astronomique est un chapitre de géométrie autant que de physique : deux lentilles, deux triangles rectangles et un segment commun. Ce qui coûte des points n'est presque jamais la formule du grossissement, c'est un foyer mal nommé, un angle en degrés là où il faut des radians, ou un rayon émergent tracé dans la mauvaise direction.

Vous trouverez ici les huit erreurs qui reviennent au baccalauréat, avec la phrase exacte à écrire pour chacune, l'arbre qui choisit la relation selon la grandeur cherchée, celui qui dit quel rayon tracer, et la fiche technique d'une lunette 90/900 exploitée ligne par ligne.

Le fil du chapitre

Une lunette afocale grossit des ANGLES, pas des objets : l'objet est à l'infini, l'image finale aussi, et tout se calcule sur l'image intermédiaire A1B1A_{1}B_{1}, vue sous θ\theta depuis l'objectif et sous θ′\theta' depuis l'oculaire.

Ce chapitre fait partie de Spécialité physique-chimie en Terminale

Avant ce chapitre

Cette fiche suppose ces notions acquises. Si une méthode ci-dessous reste opaque, c'est presque toujours l'une d'elles qui manque, pas la fiche.

Remonter plus loin : la chaîne complète (5 chapitres) ↓

Le chemin de remédiation, du plus ancien au plus proche. Un élève qui reprend ce chapitre de zéro le reprend dans cet ordre.

  1. 1Ondes et signauxSeconde
  2. 2Vision et image : lentilles et réfractionSeconde
  3. 3Ondes, lentilles et lumièrePremière
  4. 4Mouvement, vitesse et lumièreQuatrième
  5. 5Lumière, couleurs et spectresTroisième

L'essentiel

Le modèle de la lunette afocale

  • • Objectif L1L_{1} : lentille convergente de GRANDE distance focale f1′f'_{1}, tournée vers l'objet. Oculaire L2L_{2} : lentille convergente de PETITE distance focale f2′f'_{2}, contre l'œil.
  • • Réglage afocal : le foyer IMAGE de l'objectif est confondu avec le foyer OBJET de l'oculaire, F1′=F2F'_{1}=F_{2}, et O1O2=f1′+f2′O_{1}O_{2}=f'_{1}+f'_{2}.
  • • Un objet à l'infini donne une image intermédiaire A1B1A_{1}B_{1} réelle et renversée dans le plan focal image de l'objectif, puis une image finale à l'infini.
  • • Un faisceau parallèle entre, un faisceau parallèle sort : l'œil observe sans accommoder.
  • • Cercle oculaire : image de la monture de l'objectif par l'oculaire, juste derrière F2′F'_{2} ; diamètre d=DGd=\dfrac{D}{G}. C'est là qu'on place la pupille.
L1L2F'1 = F2Dd
Le faisceau parallèle de largeur DD converge en F1′=F2F'_{1}=F_{2} puis ressort parallèle, GG fois plus étroit : c'est le réglage afocal, et la largeur de sortie annonce le cercle oculaire.

Le schéma demandé au baccalauréat porte les deux lentilles, l'axe, les centres optiques et les foyers confondus nommés « F1′=F2F'_{1}=F_{2} » : ce nom rapporte le point du réglage afocal.

Le grossissement se lit sur deux triangles

  • • Diamètre apparent à l'œil nu : θ\theta, angle du rayon qui passe par O1O_{1} ; il aboutit en B1B_{1}, donc tan⁡θ=A1B1f1′\tan\theta=\dfrac{A_{1}B_{1}}{f'_{1}}.
  • • Diamètre apparent dans la lunette : θ′\theta', angle de la droite (B1O2)(B_{1}O_{2}), parallèle au faisceau émergent ; tan⁡θ′=A1B1f2′\tan\theta'=\dfrac{A_{1}B_{1}}{f'_{2}}.
  • • Petits angles en RADIANS : tan⁡θ≈θ\tan\theta\approx\theta, d'où G=θ′θ=f1′f2′G=\dfrac{\theta'}{\theta}=\dfrac{f'_{1}}{f'_{2}}, sans unité.
  • • Taille de l'image intermédiaire : A1B1=f1′ θA_{1}B_{1}=f'_{1}\,\theta, avec θ\theta en radians.
θθ'A1B1O1O2
Le même segment A1B1A_{1}B_{1} est vu sous θ\theta depuis O1O_{1}, loin, et sous θ′\theta' depuis O2O_{2}, près : plus l'oculaire est proche, plus l'angle est grand.

Le segment A1B1A_{1}B_{1} est commun aux deux triangles : c'est lui qui s'élimine dans le rapport, et c'est pour cela qu'on ne demande jamais sa valeur pour calculer GG.

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Écrire le grossissement à l'envers

1 point, et toutes les questions qui utilisent $G$

Ce qu'il ne faut pas écrire

« G=f2′f1′=20800=0,025G=\dfrac{f'_{2}}{f'_{1}}=\dfrac{20}{800}=0{,}025. »

Ce qu'il faut écrire

« G=f1′f2′=80020=40G=\dfrac{f'_{1}}{f'_{2}}=\dfrac{800}{20}=40 : l'objectif, de grande focale, au numérateur. »

Pourquoi : Un grossissement inférieur à 11 décrirait une lunette qui rapetisse : le contrôle G>1G>1 attrape l'inversion en une seconde.

2. Laisser l'angle en degrés dans une tangente

1 point, avec un résultat absurde

Ce qu'il ne faut pas écrire

« A1B1=f1′ θ=1000×0,52=520 mmA_{1}B_{1}=f'_{1}\,\theta=1000\times 0{,}52=520\ \mathrm{mm}. »

Ce qu'il faut écrire

« θ=0,52∘=9,08×10−3 rad\theta=0{,}52^{\circ}=9{,}08\times 10^{-3}\ \mathrm{rad}, donc A1B1=1000×9,08×10−3=9,1 mmA_{1}B_{1}=1000\times 9{,}08\times 10^{-3}=9{,}1\ \mathrm{mm}. »

Pourquoi : tan⁡θ≈θ\tan\theta\approx\theta n'est vrai qu'en radians. Dans un RAPPORT d'angles, G=θ′θG=\frac{\theta'}{\theta}, les degrés conviennent ; dans une longueur, jamais.

3. Confondre les deux foyers de l'oculaire

1 point sur le schéma, et la construction entière fausse

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Pour une lunette afocale, on fait coïncider le foyer image de l'objectif avec le foyer image de l'oculaire. »

Ce qu'il faut écrire

« Pour une lunette afocale, le foyer image de l'objectif est confondu avec le foyer OBJET de l'oculaire : F1′=F2F'_{1}=F_{2}. »

L1L2F'1 = F'2
Oculaire placé avec son foyer IMAGE en F1′F'_{1} : le faisceau converge puis diverge au lieu de sortir parallèle, et l'œil au repos voit flou.

Pourquoi : L'image intermédiaire doit être dans le plan focal OBJET de l'oculaire pour que celui-ci en donne une image à l'infini. Placée ailleurs, elle donne un faisceau convergent ou divergent.

4. Croire que la lunette agrandit l'objet

1 point sur une question d'interprétation

Ce qu'il ne faut pas écrire

« La lunette donne une image de la Lune 4040 fois plus grande que la Lune. »

Ce qu'il faut écrire

« La lunette multiplie par G=40G=40 le diamètre apparent : la Lune, vue sous 0,52∘0{,}52^{\circ} à l'œil nu, est vue sous 21∘21^{\circ}. »

Pourquoi : L'objet et l'image finale sont à l'infini : seule une comparaison d'ANGLES a un sens. Le grossissement n'est pas un grandissement.

5. Attribuer le grossissement au diamètre de l'objectif

1 point

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Cette lunette de 150 mm150\ \mathrm{mm} de diamètre grossit plus que celle de 80 mm80\ \mathrm{mm}. »

Ce qu'il faut écrire

« Le grossissement ne dépend que de f1′f'_{1} et f2′f'_{2} ; le diamètre fixe la lumière collectée, (15080)2=3,5\left(\frac{150}{80}\right)^{2}=3{,}5 fois plus, et la finesse des détails. »

Pourquoi : G=f1′f2′G=\frac{f'_{1}}{f'_{2}} ne contient pas DD. Le diamètre intervient dans le cercle oculaire, la luminosité et le grossissement maximal utile, jamais dans GG lui-même.

6. Oublier le carré dans un rapport de luminosité

1 point

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Un objectif de 83 cm83\ \mathrm{cm} collecte 8306=138\dfrac{830}{6}=138 fois plus de lumière que la pupille. »

Ce qu'il faut écrire

« La lumière collectée est proportionnelle à la surface, donc à D2D^{2} : (8306)2=1,9×104\left(\dfrac{830}{6}\right)^{2}=1{,}9\times 10^{4} fois plus. »

Pourquoi : Une ouverture circulaire a une surface πD24\pi\frac{D^{2}}{4} : doubler le diamètre quadruple la lumière.

7. Se tromper de sens en choisissant un oculaire

1 point sur une question de choix

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Pour grossir davantage, je prends l'oculaire de 25 mm25\ \mathrm{mm} plutôt que celui de 10 mm10\ \mathrm{mm}. »

Ce qu'il faut écrire

« G=f1′f2′G=\dfrac{f'_{1}}{f'_{2}} : le PLUS PETIT oculaire grossit le plus, 100010=100\dfrac{1000}{10}=100 contre 100025=40\dfrac{1000}{25}=40. »

Pourquoi : La distance focale de l'oculaire est au dénominateur : une contrainte « grossissement au moins égal à » donne une focale d'oculaire AU PLUS égale à.

8. Calculer une vergence avec des millimètres

0,5 point

Ce qu'il ne faut pas écrire

« C2=1f2′=120=0,05 δC_{2}=\dfrac{1}{f'_{2}}=\dfrac{1}{20}=0{,}05\ \delta. »

Ce qu'il faut écrire

« f2′=20 mm=0,020 mf'_{2}=20\ \mathrm{mm}=0{,}020\ \mathrm{m}, donc C2=10,020=50 δC_{2}=\dfrac{1}{0{,}020}=50\ \delta. »

Pourquoi : La dioptrie est l'inverse du MÈTRE. Pour le grossissement, rapport de deux longueurs, l'unité importe peu ; pour une vergence, elle décide de tout.

Quelle méthode choisir

Quelle relation selon la grandeur cherchée

On lit la dernière phrase de la question : elle nomme la grandeur, qui désigne la relation.

  • Si le grossissement → G=f1′f2′G=\dfrac{f'_{1}}{f'_{2}} ou G=θ′θG=\dfrac{\theta'}{\theta}

    Exemple : 120030=40\dfrac{1200}{30}=40

  • Si l'angle sous lequel on voit l'objet dans la lunette → θ′=G θ\theta'=G\,\theta, degrés acceptés

    Exemple : Jupiter à 45′′45'' : 40×453600=0,50∘40\times\dfrac{45}{3600}=0{,}50^{\circ}

  • Si la taille de l'image intermédiaire ou d'une image sur un capteur → A1B1=f1′ θA_{1}B_{1}=f'_{1}\,\theta, θ\theta en radians

    Exemple : Lune avec f1′=1000f'_{1}=1000 mm : 9,19{,}1 mm

  • Si la longueur de la lunette afocale → L=f1′+f2′L=f'_{1}+f'_{2}

    Exemple : 16,2+0,040=16,2416{,}2+0{,}040=16{,}24 m

  • Si le diamètre ou la position du cercle oculaire → d=DGd=\dfrac{D}{G} ; position par la relation de conjugaison appliquée à l'oculaire

    Exemple : 8040=2,0\dfrac{80}{40}=2{,}0 mm, à 20,520{,}5 mm de O2O_{2}

    l'objet est l'objectif, à O2O1‾=−(f1′+f2′)\overline{O_{2}O_{1}}=-(f'_{1}+f'_{2})

  • Si une contrainte sur le grossissement → inverser G=f1′f2′G=\dfrac{f'_{1}}{f'_{2}} en retournant l'inégalité pour f2′f'_{2}

    Exemple : G≥23G\geq 23 avec f1′=700f'_{1}=700 mm : f2′≤30f'_{2}\leq 30 mm

Si la question porte sur la luminosité, aucune de ces relations ne sert : c'est la surface de l'objectif, en D2D^{2}, qui répond.

Quel rayon tracer dans une construction

On regarde d'où vient le rayon et quelle lentille il traverse.

  • Si faisceau parallèle venant d'un point à l'infini, avant l'objectif → tracer d'abord le rayon qui passe par O1O_{1}, non dévié

    Exemple : il coupe le plan focal image en B1B_{1}

  • Si les autres rayons du même faisceau, après l'objectif → les faire passer par B1B_{1}

    Exemple : trois rayons incidents, un seul point de convergence

  • Si rayons issus de B1B_{1}, après l'oculaire → les tracer parallèles à la droite (B1O2)(B_{1}O_{2})

    Exemple : pente 0,150{,}15 en entrée, 0,450{,}45 en sortie pour G=3G=3

  • Si rayon parallèle à l'axe → il ressort par le foyer image de la lentille

    Exemple : c'est lui qui montre F1′=F2F'_{1}=F_{2} sur le schéma afocal

Le faisceau émergent monte quand l'incident descend : c'est la signature d'une image renversée, attendue en astronomie.

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Établir l'expression du grossissement

Quand l'utiliser : « Montrer que le grossissement de la lunette afocale s'écrit G=f1′f2′G=\frac{f'_{1}}{f'_{2}} ».

  1. 1 Définir : « le grossissement est G=θ′θG=\dfrac{\theta'}{\theta}, où θ\theta est le diamètre apparent de l'objet à l'œil nu et θ′\theta' celui de l'image à travers la lunette ».
  2. 2 Dans le triangle O1A1B1O_{1}A_{1}B_{1} rectangle en A1A_{1} : « tan⁡θ=A1B1f1′\tan\theta=\dfrac{A_{1}B_{1}}{f'_{1}} ».
  3. 3 Dans le triangle O2A1B1O_{2}A_{1}B_{1} rectangle en A1A_{1}, la lunette étant afocale : « tan⁡θ′=A1B1f2′\tan\theta'=\dfrac{A_{1}B_{1}}{f'_{2}} ».
  4. 4 Invoquer les petits angles : « les angles étant petits et exprimés en radians, tan⁡θ≈θ\tan\theta\approx\theta et tan⁡θ′≈θ′\tan\theta'\approx\theta' ».
  5. 5 Conclure par le rapport, où A1B1A_{1}B_{1} se simplifie.

Phrase de conclusion

« G=θ′θ=A1B1/f2′A1B1/f1′=f1′f2′G=\frac{\theta'}{\theta}=\frac{A_{1}B_{1}/f'_{2}}{A_{1}B_{1}/f'_{1}}=\frac{f'_{1}}{f'_{2}}. »

Le piège : Écrire θ′\theta' dans le triangle O2A1B1O_{2}A_{1}B_{1} sans rappeler que A1A_{1} est dans le plan focal objet de l'oculaire : c'est le réglage afocal qui donne O2A1=f2′O_{2}A_{1}=f'_{2}.

Barème : 0,5 point pour la définition, 1 point pour chaque triangle, 0,5 point pour l'approximation des petits angles et la conclusion.

Construire le faisceau émergent

Quand l'utiliser : « Compléter la marche du faisceau issu du point B à l'infini » sur un schéma fourni.

  1. 1 Prolonger sans déviation le rayon incident qui passe par O1O_{1} jusqu'au plan focal image de l'objectif : placer B1B_{1}.
  2. 2 Faire passer les autres rayons incidents par B1B_{1}.
  3. 3 Tracer en pointillés la droite (B1O2)(B_{1}O_{2}), rayon de construction non dévié par l'oculaire.
  4. 4 Tracer les rayons émergents parallèles à cette droite, à partir de leurs points d'arrivée sur l'oculaire.
  5. 5 Flécher tous les rayons dans le sens de propagation.

Phrase de conclusion

« Les rayons issus de B1B_{1}, point du plan focal objet de l'oculaire, émergent parallèles à (B1O2)(B_{1}O_{2}) : l'image finale est à l'infini. »

Le piège : Faire converger les rayons émergents vers l'œil, ou les tracer parallèles à l'axe : ils sont parallèles ENTRE EUX et inclinés.

Barème : 0,5 point pour B1B_{1}, 1 point pour les rayons entre les lentilles, 1 point pour la direction émergente justifiée.

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

L'exercice type décortiqué

Exploiter la fiche technique d'une lunette 90/900

Une lunette porte l'inscription « 90/900 » : objectif de diamètre D=90 mmD=90\ \mathrm{mm} et de distance focale f1′=900 mmf'_{1}=900\ \mathrm{mm}. Elle est livrée avec un oculaire de 20 mm20\ \mathrm{mm}. Le fabricant indique un grossissement maximal utile égal à deux fois le diamètre en millimètres. La Lune a un diamètre apparent de 0,52∘0{,}52^{\circ}.

1. Calculer le grossissement. 2. Calculer la taille de l'image intermédiaire de la Lune. 3. Sous quel angle voit-on la Lune dans la lunette ? 4. Calculer le diamètre du cercle oculaire. 5. Quel est le plus petit oculaire utile ?

Étape 1

G=f1′f2′=90020=45G=\dfrac{f'_{1}}{f'_{2}}=\dfrac{900}{20}=45.

Pourquoi

Les deux focales sont dans la même unité : pour un rapport, inutile de convertir en mètres. Le « 900 » de l'inscription est la focale de l'OBJECTIF, pas la longueur du tube.

Étape 2

θ=0,52×π180=9,08×10−3 rad\theta=0{,}52\times\dfrac{\pi}{180}=9{,}08\times 10^{-3}\ \mathrm{rad}, donc A1B1=f1′ θ=900×9,08×10−3=8,2 mmA_{1}B_{1}=f'_{1}\,\theta=900\times 9{,}08\times 10^{-3}=8{,}2\ \mathrm{mm}.

Pourquoi

La relation vient d'une tangente : conversion en radians obligatoire. On l'écrit sur la copie, c'est elle que le correcteur cherche.

Étape 3

θ′=G θ=45×0,52=23,4∘\theta'=G\,\theta=45\times 0{,}52=23{,}4^{\circ}.

Pourquoi

Rapport d'angles : les degrés conviennent. On dépasse la dizaine de degrés, l'approximation des petits angles devient grossière pour θ′\theta', mais le sujet l'admet.

Étape 4

d=DG=9045=2,0 mmd=\dfrac{D}{G}=\dfrac{90}{45}=2{,}0\ \mathrm{mm}.

Pourquoi

Ce diamètre, inférieur à la pupille ouverte de nuit, garantit que toute la lumière collectée entre dans l'œil : c'est l'argument attendu si la question demande « commenter ».

Étape 5

Gmax=2×90=180G_{max}=2\times 90=180 et f2′≥900180=5,0 mmf'_{2}\geq\dfrac{900}{180}=5{,}0\ \mathrm{mm}.

Pourquoi

Un maximum sur GG devient un MINIMUM sur f2′f'_{2}, qui est au dénominateur. Écrire le sens de l'inégalité rapporte le point.

Conclusion rédigée

La lunette grossit 4545 fois avec son oculaire de 20 mm20\ \mathrm{mm} ; la Lune y est vue sous 23∘23^{\circ}, son image intermédiaire mesure 8,2 mm8{,}2\ \mathrm{mm}, et un oculaire de moins de 5 mm5\ \mathrm{mm} ne montrerait pas plus de détails.

L'erreur classique sur cet exercice : Prendre la Barlow ou l'oculaire le plus court en croyant voir mieux : au-delà de G=180G=180, l'image grossit mais s'assombrit et reste floue.

À savoir par cœur

  • • Lunette afocale : F1′=F2F'_{1}=F_{2}, foyer image de l'objectif confondu avec le foyer OBJET de l'oculaire.
  • • G=θ′θ=f1′f2′G=\dfrac{\theta'}{\theta}=\dfrac{f'_{1}}{f'_{2}}, sans unité, objectif au numérateur.
  • • A1B1=f1′ θA_{1}B_{1}=f'_{1}\,\theta avec θ\theta en RADIANS.
  • • Rayons émergents parallèles à (B1O2)(B_{1}O_{2}) ; image finale à l'infini et renversée.
  • • Cercle oculaire : d=DGd=\dfrac{D}{G}, juste derrière F2′F'_{2}.
  • • Le diamètre DD ne change pas GG : il fixe la lumière collectée, en D2D^{2}.
  • • Longueur afocale : f1′+f2′f'_{1}+f'_{2} ; vergence C=1f′C=\dfrac{1}{f'} avec f′f' en mètres.

Questions fréquentes

Comment calculer le grossissement d'une lunette astronomique ?

On divise la distance focale de l'objectif par celle de l'oculaire, exprimées dans la même unité. Une lunette de 900 millimètres de focale utilisée avec un oculaire de 20 millimètres grossit 45 fois. Le résultat n'a pas d'unité et doit être supérieur à un ; sinon le rapport a été écrit à l'envers.

Que veut dire qu'une lunette est afocale ?

Le foyer image de l'objectif est placé exactement sur le foyer objet de l'oculaire. Un faisceau de rayons parallèles venant d'un astre ressort alors en un faisceau parallèle : l'image finale est à l'infini et l'œil l'observe au repos, sans accommoder. La longueur de la lunette vaut la somme des deux distances focales.

Qu'est-ce que le cercle oculaire d'une lunette ?

C'est l'image de la monture de l'objectif donnée par l'oculaire, située juste derrière son foyer image. Toute la lumière qui traverse la lunette y passe, c'est donc là qu'il faut placer l'œil. Son diamètre vaut le diamètre de l'objectif divisé par le grossissement.

Pourquoi un objectif plus grand ne grossit-il pas plus ?

Parce que le grossissement ne dépend que des deux distances focales. Le diamètre de l'objectif détermine la quantité de lumière collectée, proportionnelle au carré du diamètre, et la finesse des détails visibles. Une grande ouverture donne donc une image plus lumineuse et plus nette, pas plus grosse.

Passer à la pratique

Exercices corrigés : La lunette astronomique : grossissement et cercle oculaire

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

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