Exercices corrigés : sources de lumière, visibilité et ombres (Cinquième)

a) La LAMPE. Une source primaire produit elle-même la lumière qu'elle émet : ici, c'est le filament ou la diode de la lampe, alimentée en électricité. Ni le livre ni l'œil ne produisent quoi que ce soit.

b) Non, le livre ne produit aucune lumière. C'est un objet DIFFUSANT : il reçoit la lumière de la lampe et en renvoie une partie dans toutes les directions. On dit aussi que c'est une source SECONDAIRE, parce qu'une fois éclairé il envoie de la lumière vers l'œil comme le ferait une source. La preuve qu'il n'est pas une source primaire : lampe éteinte, dans le noir complet, le livre devient invisible.

c) La lumière part de la lampe, arrive sur le livre, et le livre en renvoie une partie vers l'œil. On trace donc DEUX segments fléchés : un de la lampe au livre, un du livre à l'œil, les flèches dans le sens lampe vers livre vers œil. Oublier le premier segment revient à dire que le livre brille tout seul, ce qui coûte le point au contrôle.

d) Un seul segment : la lampe est une source primaire, sa lumière va directement d'elle à l'œil, en ligne droite, sans passer par aucun autre objet. La chaîne d'une source vue en direct a un maillon de moins que celle d'un objet éclairé.

e) Le SENS. L'œil est un RÉCEPTEUR : il reçoit la lumière, il n'en envoie aucune. Si l'œil envoyait quelque chose vers les objets, on verrait dans le noir complet, ce qui n'arrive jamais. La flèche doit donc partir du livre et entrer dans l'œil. C'est l'erreur la plus fréquente du chapitre, et un schéma dont la flèche sort de l'œil est compté faux en entier, même si le trait est bien droit. Vérification simple avant de rendre la copie : sur tout schéma de vision, la dernière flèche POINTE vers l'œil.

a) On classe d'après ce que l'œil reçoit. TRANSPARENTS, la lumière passe et on voit la forme de la lampe : le verre de vitre et l'eau claire. TRANSLUCIDES, la lumière passe mais la forme est perdue : le papier calque et l'eau laiteuse. OPAQUES, aucune lumière ne passe : le carton et l'aluminium. Il y a donc $2$ matériaux opaques. Piège : l'eau laiteuse n'est pas opaque, elle laisse passer une lueur, et une lueur suffit à la classer translucide.

b) Le papier calque donne une ombre GRISE et aux contours mal définis : il arrête une partie de la lumière et disperse le reste dans toutes les directions, si bien que l'écran reçoit encore un peu de lumière derrière lui. Le carton, opaque, donne une ombre sombre et nette : derrière lui, l'écran ne reçoit plus rien de la lampe.

c) Il voit la fenêtre éclairée, une lueur, mais il ne distingue ni les meubles ni les personnes. Le voilage laisse passer la lumière mais brouille les directions, donc la forme des objets de la pièce ne parvient pas à l'œil du passant. C'est exactement ce qu'on attend d'un rideau.

d) L'HOMOGÉNÉITÉ. L'eau sucrée du fond et l'eau claire du dessus ne sont pas le même milieu, et la zone de mélange change d'un point à l'autre : le milieu n'est plus homogène, et la lumière n'y va plus en ligne droite. Le milieu reste transparent pourtant, ce qui montre que la transparence seule ne suffit pas.

e) Le milieu doit être TRANSPARENT, pour que la lumière le traverse, et HOMOGÈNE, c'est-à-dire identique en tous ses points. L'air calme d'une pièce, l'eau claire bien mélangée, le verre d'une vitre remplissent les deux conditions. Au contrôle, citer une seule des deux conditions ne rapporte que la moitié des points.

a) A est un faisceau PARALLÈLE : ses rayons gardent le même écart tout au long du trajet. B est un faisceau DIVERGENT : ses rayons partent d'un même point et s'écartent les uns des autres.

b) C est un faisceau CONVERGENT : ses rayons se rapprochent et se rencontrent en un point. La méthode pour trancher est toujours la même : on suit le sens des flèches et on regarde si l'écart entre deux rayons voisins grandit, reste constant ou diminue.

c) La petite lampe de poche : un faisceau DIVERGENT, puisque la lumière part d'une petite ampoule et s'étale, la tache sur le mur grandit quand on recule. La lumière du Soleil dans une cour : un faisceau pratiquement PARALLÈLE, car le Soleil est si loin que les rayons qui arrivent sur la cour viennent tous de la même direction.

d) Deux rayons, les deux BORDS du faisceau. Ils suffisent à dire où la lumière passe et où elle ne passe pas, et à voir si le faisceau s'ouvre ou se ferme. On peut ajouter un rayon au milieu pour la lisibilité, jamais le remplacer par une zone coloriée sans rayons fléchés.

e) Ils CONTINUENT tout droit, puisque rien ne les arrête : ils se croisent au point de rencontre puis s'écartent de nouveau. Après ce point, le faisceau devient divergent. Le piège est d'arrêter les rayons au point de convergence, comme s'ils y disparaissaient : un rayon ne s'arrête que sur un obstacle opaque. On l'observe en approchant une feuille puis en la reculant derrière ce point : la tache rétrécit, devient un point, puis grandit à nouveau.

a) Le tracé 4 : un trait droit, tiré à la règle, qui part de $S$ et arrive en $M$, avec une flèche orientée de $S$ vers $M$. Il respecte les deux règles du modèle, la ligne droite et le sens.

b) Le SENS. Le trait est droit, mais la flèche pointe de $M$ vers $S$, comme si la lumière partait du mur pour aller vers la lampe. Or c'est la lampe qui est la source : la lumière part d'elle. C'est la même faute que la flèche qui sort de l'œil, et elle coûte tout le schéma.

c) Le trait est COURBE. Dans l'air de la pièce, milieu transparent et homogène, la lumière se propage en ligne droite : un rayon se trace donc à la règle, jamais à main levée. La lumière pourrait ne pas aller tout droit si elle traversait un milieu non homogène, comme l'eau sucrée mal mélangée, ou si elle changeait de milieu ; ce n'est pas le cas ici.

d) La FLÈCHE. Sans elle, le trait dit seulement que la lumière suit cette droite, sans dire d'où elle vient. Or toute la physique du chapitre repose sur le sens : qui éclaire qui, et ce qui entre dans l'œil. Un rayon sans flèche est compté faux, même tracé à la règle.

e) Non. Le rayon est un MODÈLE, un outil de dessin. Si l'on fait passer la lumière par un trou de plus en plus fin, on obtient un pinceau de plus en plus étroit, mais toujours un faisceau, jamais un trait sans épaisseur ; et en dessous d'une certaine taille le trou étale même la lumière au lieu de l'amincir. Le modèle du rayon reste pourtant excellent : il prévoit exactement où tombent les ombres et les taches de lumière. Conclusion à retenir : on compte donc $1$ tracé correct sur $4$, et les trois autres illustrent chacun l'une des trois règles du rayon, la droite, le sens, la flèche.

a) La zone 1 est la partie ÉCLAIRÉE de la balle, tournée vers la lampe. La zone 2 est l'OMBRE PROPRE : la partie de la balle elle-même qui ne reçoit pas de lumière, sa face arrière. La frontière entre les deux passe par les points où les deux rayons touchent la balle, en pointillé sur la figure.

b) La zone 3 est le CÔNE D'OMBRE : tout l'espace, derrière la balle, où la lumière de $S$ ne parvient pas. Il est limité par les deux rayons qui frôlent la balle, et il a bien la forme d'un cône, qui s'élargit en s'éloignant de la lampe.

c) La zone 4 est l'OMBRE PORTÉE : la partie de l'écran que le cône d'ombre rencontre, donc qui ne reçoit rien de la lampe. La zone 5 est la partie ÉCLAIRÉE de l'écran. L'ombre portée n'est rien d'autre que la trace du cône d'ombre sur l'écran : c'est la phrase qui relie les trois mots.

d) Elle devient PLUS GRANDE. Les deux rayons qui limitent le cône s'écartent l'un de l'autre à mesure qu'on s'éloigne de $S$ ; un écran placé plus loin coupe donc le cône là où il est plus large. On le vérifie sur la figure en prolongeant les deux rayons au-delà de l'écran.

e) NON. Pour voir la lampe, il faudrait qu'un rayon parti de $S$ entre dans l'œil de la fourmi. Or toute droite qui joint $S$ à un point de la zone 3 traverse la balle, qui est opaque : la lumière est arrêtée avant d'arriver. Être dans l'ombre d'un objet, c'est exactement ne pas voir la source, cachée par cet objet. Réciproquement, de la zone 5 on voit la lampe.

a) On pose la règle sur $S$ et sur $A$, et l'on trace la demi-droite issue de $S$ jusqu'à l'écran ; même geste avec $S$ et $B$. On oriente les deux rayons dans le sens de $S$ vers l'écran. L'ombre portée est le segment de l'écran compris entre les deux points d'arrivée : c'est la figure du corrigé, où l'ombre est doublée d'un trait épais.

b) Le rayon part de $S$ à la hauteur $6$ et passe par $A$ à la hauteur $7$ : il monte de $1$ carreau pour $4$ carreaux parcourus vers la droite. De $S$ à l'écran il y a $12$ carreaux, soit trois fois plus : il monte de $3$ carreaux en tout et touche l'écran à la hauteur $6+3=9$.

c) Par symétrie, le rayon qui passe par $B$, à la hauteur $5$, descend d'un carreau tous les $4$ carreaux : il descend de $3$ carreaux en tout et touche l'écran à la hauteur $6-3=3$. Sur le quadrillage, on vérifie que chaque point d'arrivée tombe exactement sur un nœud : c'est le signe que la règle a été bien posée.

d) L'ombre va de $3$ à $9$ : elle mesure $9-3=6$ carreaux, soit $6\times 10=60\ \mathrm{cm}$. La tige, elle, mesure $2$ carreaux, $20\ \mathrm{cm}$.

e) $6\div 2=3$ : l'ombre est TROIS fois plus grande que la tige. La lampe est à $12$ carreaux de l'écran et à $4$ carreaux de la tige, et $12\div 4=3$ aussi. Ce n'est pas une coïncidence : les rayons issus d'un même point s'écartent régulièrement, donc la taille de l'ombre est proportionnelle à la distance parcourue depuis la source. Piège classique : croire que l'ombre a la taille de l'objet, ce qui n'est vrai qu'avec des rayons parallèles.

a) Pour $S_1$ : un rayon de $S_1$ par le haut de la tige, un autre par le bas, prolongés jusqu'à l'écran. Même construction pour $S_2$, de préférence en pointillé pour ne pas confondre les deux familles. La figure du corrigé montre les quatre rayons et les trois zones obtenues.

b) $S_1$ est à la hauteur $7$, comme le haut de la tige : le premier rayon est horizontal et touche l'écran à la hauteur $7$. Le second descend de $2$ carreaux entre $S_1$ et le bas de la tige, sur $6$ carreaux ; l'écran est $6$ carreaux plus loin, il descend encore de $2$ et arrive à la hauteur $3$. Ombre de $S_1$ : de $3$ à $7$.

c) $S_2$ est à la hauteur $5$, comme le bas de la tige : le rayon par le bas est horizontal et arrive à $5$. Le rayon par le haut monte de $2$ carreaux jusqu'à la tige, puis encore de $2$ jusqu'à l'écran : il arrive à $9$. Ombre de $S_2$ : de $5$ à $9$. Remarque : l'ombre de la lampe du BAS est la plus HAUTE, parce que les rayons se croisent au passage de la tige.

d) La partie commune aux deux ombres, de $5$ à $7$, soit $2$ carreaux. Là, la tige cache les deux lampes à la fois : c'est l'OMBRE au sens strict, la seule zone vraiment sombre.

e) De $3$ à $5$, l'écran est dans l'ombre de $S_1$ mais reçoit la lumière de $S_2$ ; de $7$ à $9$, c'est l'inverse. Au total $2+2=4$ carreaux, moins éclairés que le reste de l'écran mais pas noirs : ce sont des zones de PÉNOMBRE. Le piège est de compter deux ombres noires : un objet éclairé par deux lampes a deux ombres GRISES qui ne sont noires que là où elles se recouvrent.

1) FAUX. Rien ne sort de l'œil : c'est un récepteur. On voit un objet quand de la lumière venue de cet objet ENTRE dans l'œil. Preuve : dans le noir complet, les yeux grands ouverts, on ne voit rien. Énoncé correct : « on voit un objet quand de la lumière issue de lui pénètre dans notre œil ».

2) FAUX. Le livre ne produit aucune lumière : c'est un objet diffusant, qui renvoie celle qu'il reçoit. On le voit parce qu'il est ÉCLAIRÉ. Dans le noir, il est invisible. Énoncé correct : « le livre est un objet diffusant, visible seulement s'il est éclairé ».

3) FAUX, c'est l'inverse. Les rayons issus d'une petite lampe s'écartent, donc l'ombre grandit avec la distance. Exemple : un objet de $5\ \mathrm{cm}$ à $20\ \mathrm{cm}$ de la lampe donne, sur un écran à $40\ \mathrm{cm}$, une ombre de $5\times 40\div 20=10\ \mathrm{cm}$ ; écran à $80\ \mathrm{cm}$, l'ombre mesure $5\times 80\div 20=20\ \mathrm{cm}$. Énoncé correct : « plus l'écran est loin, plus l'ombre est grande ».

4) FAUX. Chaque lampe donne sa propre ombre : on obtient DEUX ombres, chacune éclairée par l'autre lampe, donc grises. Seule leur partie commune, si elle existe, est vraiment sombre. Énoncé correct : « avec deux lampes, un objet donne deux ombres, noires seulement là où elles se recouvrent ».

5) FAUX. Il n'existe pas de lumière noire qui partirait de l'objet. Une ombre est une ABSENCE de lumière : la région où la lumière de la source n'arrive pas, parce que l'objet opaque l'arrête. Énoncé correct : « l'ombre est la zone que la lumière de la source n'atteint pas, cachée par l'objet ».

a) TRANSLUCIDE. Il faut que la lumière traverse la toile pour arriver jusqu'au public, ce qui exclut une toile opaque : le public ne verrait rien. Mais une toile transparente laisserait voir directement la lampe et les marionnettistes, et aucune ombre ne se formerait sur elle. La toile translucide arrête la forme des objets situés derrière et ne laisse passer qu'une lumière diffuse : les zones éclairées paraissent claires, l'ombre paraît sombre.

b) Le rapport des distances vaut $3{,}00\div 1{,}00=3$ : l'ombre mesure $20\times 3=60\ \mathrm{cm}$.

c) Rapport $3{,}00\div 1{,}50=2$ : l'ombre mesure $20\times 2=40\ \mathrm{cm}$. En éloignant la marionnette de la lampe, donc en la rapprochant de la toile, on rapetisse son ombre ; collée contre la toile, l'ombre aurait sa taille réelle, $20\ \mathrm{cm}$.

d) Il faut $1{,}20\ \mathrm{m}=120\ \mathrm{cm}$, soit $120\div 20=6$ fois la taille de la marionnette. Le rapport des distances doit donc valoir $6$ : distance à la lampe $300\div 6=50\ \mathrm{cm}$. Vérification : $20\times 300\div 50=120\ \mathrm{cm}$. Piège : mélanger les mètres et les centimètres ; tout mettre en centimètres avant de calculer évite l'erreur.

e) Parce que le projecteur n'est plus une source ponctuelle mais une source ÉTENDUE. Chaque point de sa vitre donne sa propre ombre, un peu décalée des autres : au bord de l'ombre, certains points de l'écran sont cachés d'une partie du projecteur seulement et restent à moitié éclairés. Il apparaît une bande de pénombre, et le contour n'est plus net. C'est pour cela que les théâtres d'ombres utilisent une lampe aussi petite que possible.

a) On pose la règle de $E$ à chaque camarade. Les droites $EA$ et $EB$ coupent le segment du mur ; les droites $EC$ et $ED$ ne le rencontrent pas. La figure du corrigé trace en trait plein les visées libres et en pointillé les visées bloquées, avec le trajet de la lanterne.

b) DEUX : $C$ et $D$. $D$ est du même côté du mur que l'enfant. $C$ est de l'autre côté, mais assez haut : la droite $EC$ monte de $9$ carreaux pour $6$ vers la droite, et atteint la ligne du mur à la hauteur $4+9\times 4\div 6=10$, au-dessus du bout du mur, qui s'arrête à $8$. Pour $A$, la droite descend de $3$ carreaux sur $12$ et passe la ligne du mur à la hauteur $3$ : bloquée.

c) De $E$ à $B$, on avance de $12$ carreaux et l'on monte de $6$ : $1$ carreau de montée pour $2$ d'avancée. De $E$ à la ligne du mur on avance de $4$ carreaux, donc on monte de $2$ : hauteur $4+2=6$. Comme le mur va jusqu'à $8$, la visée est bloquée.

d) La visée $EB$ passe à la hauteur $6$ : il faut que le mur s'arrête SOUS la hauteur $6$ pour la laisser passer. Tant qu'il dépasse $6$, $B$ ne voit rien de l'enfant, même si le mur est très bas partout ailleurs.

e) AUCUN. Voir l'enfant demande DEUX trajets en ligne droite : de la lanterne à l'enfant, pour qu'il soit éclairé, puis de l'enfant à l'œil. Or la droite $LE$ passe la ligne du mur à la hauteur $5-10\div 14\approx 4{,}3$, en plein dans le mur : l'enfant est dans l'ombre de la lanterne. Il ne renvoie donc aucune lumière, et même $C$ et $D$, dont la visée est libre, ne le voient pas. C'est le fil du chapitre : une ligne de visée libre ne suffit pas, il faut aussi que l'objet soit éclairé.

a) De $T$ (hauteur $7$) par le haut de l'objet (hauteur $8$) : le rayon monte de $1$ sur $6$ carreaux, encore $1$ jusqu'à l'écran, il arrive à $9$. De $T$ par le bas de l'objet (hauteur $4$) : il descend de $3$ puis encore de $3$, il arrive à $1$. Ombre de $T$ : de $1$ à $9$. De $U$ (hauteur $5$) : par le haut, il monte de $3$ puis $3$, arrivée à $11$ ; par le bas, il descend de $1$ puis $1$, arrivée à $3$. Ombre de $U$ : de $3$ à $11$.

b) L'ombre totale est la partie commune aux deux ombres, de $3$ à $9$, soit $6$ carreaux. Un point de cette zone est caché de $T$ ET de $U$, donc de tous les points du tube, qui sont entre les deux.

c) De $1$ à $3$ (caché de $T$, éclairé par $U$) et de $9$ à $11$ (caché de $U$, éclairé par $T$) : $2+2=4$ carreaux de pénombre. La pénombre n'est pas uniforme : elle s'éclaircit de l'ombre vers la zone éclairée, car on y voit une part de plus en plus grande de la lampe.

d) On refait la construction avec les nouvelles extrémités. Depuis le haut du panneau (hauteur $11$), le rayon par le haut de l'objet descend de $3$ puis $3$ : il arrive à $5$. Depuis le bas du panneau (hauteur $1$), le rayon par le bas de l'objet monte de $3$ puis $3$ : il arrive à $7$. L'ombre totale irait de $7$ à $5$, ce qui est impossible : elle a DISPARU, sa hauteur vaut $0$. Tout l'écran derrière l'objet reçoit un peu de lumière d'une partie du panneau.

e) Parce qu'une source très large ne laisse presque aucune ombre totale, comme on vient de le construire : les mains et les instruments du chirurgien ne plongent jamais la zone opérée dans le noir, il n'y a que de la pénombre légère. Le nom le dit : scialytique signifie « qui dissout l'ombre ». Piège à éviter : croire qu'une lampe plus PUISSANTE suffirait ; c'est la LARGEUR de la source qui supprime l'ombre, pas son intensité.

a) Le rayon issu du haut de la flamme descend en ligne droite, passe par le trou et continue jusqu'à l'écran, qu'il touche en BAS. Le rayon issu du pied de la bougie monte, passe par le trou et touche l'écran en HAUT. Les deux rayons se CROISENT au trou : c'est toute l'explication du phénomène, et la figure du corrigé la montre.

b) RENVERSÉE : le haut de la bougie donne le bas de l'image, et inversement, parce que les rayons se croisent au trou. Le même raisonnement montre que la gauche et la droite sont aussi échangées. C'est une preuve directe de la propagation rectiligne : si la lumière pouvait tourner, rien n'obligerait l'image à se retourner.

c) Les deux triangles de part et d'autre du trou ont la même forme ; l'écran est $30\div 10=3$ fois plus près du trou que la bougie, donc l'image est $3$ fois plus petite : $12\div 3=4\ \mathrm{cm}$.

d) La bougie est maintenant $60\div 10=6$ fois plus loin du trou que l'écran : l'image mesure $12\div 6=2\ \mathrm{cm}$. Distance doublée, image deux fois plus petite. Le piège est de dire que l'image ne change pas parce que la bougie ne change pas : c'est le rapport des distances qui fixe la taille.

e) Elle devient plus LUMINEUSE mais FLOUE. Par un trou large, chaque point de la flamme envoie non plus un rayon mais un petit faisceau, qui fait une tache sur l'écran au lieu d'un point ; les taches voisines se chevauchent et les détails se brouillent. Un trou très fin donne une image nette mais sombre : c'est le compromis de tous les appareils à sténopé, les ancêtres de l'appareil photo.

a) Du BUREAU et des MURS, éclairés par la lampe. Ce sont des objets diffusants : ils renvoient la lumière qu'ils reçoivent dans toutes les directions, y compris vers l'affiche. Ils jouent le rôle de sources secondaires, sans rien produire eux-mêmes.

b) Lampe, puis bureau, puis affiche, puis œil : trois segments de rayon, $3$ flèches toutes orientées vers l'œil. Chaque maillon est un trajet en ligne droite entre deux objets qui se « voient ». Oublier le bureau revient à faire passer la lumière à travers l'abat-jour, ce qui est impossible.

c) $120\div 8=15$ : l'affiche est $15$ fois plus éclairée. Les murs noirs absorbent presque toute la lumière qu'ils reçoivent et en renvoient très peu : ils sont de bien mauvaises sources secondaires. Les $8$ lux qui restent viennent de ce que le noir mat renvoie encore un peu.

d) OUI. Le bureau blanc ne produit aucune lumière, et pourtant il éclaire l'affiche. Être une source secondaire, c'est exactement cela : recevoir et renvoyer. C'est pourquoi on voit presque tout dans une pièce claire éclairée par une seule lampe, alors qu'une lampe torche dans une grotte sombre n'éclaire que ce qu'elle vise.

e) Pour qu'il DIFFUSE vers les tables la lumière des fenêtres et des plafonniers : un plafond blanc devient une grande source secondaire, étendue au-dessus de toute la salle, qui éclaire les cahiers sans ombre marquée. Piège : dire que le blanc « produit » de la lumière. Il n'en produit pas ; il renvoie celle qu'il reçoit, et dans le noir complet un plafond blanc est aussi invisible qu'un plafond noir.

a) DIVERGENT : la tache s'agrandit quand on recule, ses bords s'écartent. Mieux, le diamètre est PROPORTIONNEL à la distance, $30\ \mathrm{cm}$ par mètre : les rayons partent comme d'un point situé à la lampe elle-même, exactement ce que dessine un faisceau divergent.

b) PARALLÈLE : le diamètre reste $20\ \mathrm{cm}$ quelle que soit la distance, donc les bords du faisceau gardent le même écart. C'est le faisceau d'un bon projecteur de poursuite.

c) CONVERGENT : la tache rétrécit quand on recule, de $10\ \mathrm{cm}$ par mètre. Les bords du faisceau se rapprochent.

d) Par proportionnalité : $30\times 2{,}5=75\ \mathrm{cm}$. Vérification : $75$ est bien entre $60$ et $90$, et exactement au milieu, comme $2{,}5$ est au milieu de $2$ et $3$.

e) La tache perd $10\ \mathrm{cm}$ par mètre : elle mesure $10\ \mathrm{cm}$ à $4\ \mathrm{m}$, donc $0$ à $5\ \mathrm{m}$, où tous les rayons se rencontrent. Au-delà, les rayons CONTINUENT tout droit et s'écartent de nouveau : la tache regrandit, de $10\ \mathrm{cm}$ par mètre, et vaut par exemple $10\ \mathrm{cm}$ à $6\ \mathrm{m}$. Le piège est de répondre qu'elle reste un point ou qu'elle disparaît : rien n'arrête la lumière au point de convergence.

a) On pose la règle sur $L$ et sur le bord HAUT de la fenêtre, et l'on prolonge jusqu'au plancher ; même geste avec le bord BAS. Les deux rayons se croisent-ils ? Non : celui qui passe par le bord bas descend plus vite et touche le plancher plus près du mur. La tache est entre les deux points d'arrivée, en trait épais sur la figure du corrigé.

b) Rayon par le bord bas $(5\,;6)$ : de $L(1\,;10)$ il descend de $4$ pour $4$ vers la droite, soit $1$ pour $1$. Il lui reste $6$ carreaux à descendre, donc $6$ vers la droite : il touche le plancher en $5+6=11$.

c) Rayon par le bord haut $(5\,;8)$ : il descend de $2$ pour $4$, soit $1$ pour $2$. Il lui reste $8$ carreaux à descendre, donc $16$ vers la droite : il arrive en $5+16=21$.

d) La tache va de $11$ à $21$ : $10$ carreaux. La fenêtre mesure $2$ carreaux de haut : la tache est $10\div 2=5$ fois plus longue. Le faisceau qui passe la fenêtre est divergent, et en plus il arrive en biais sur le plancher, deux raisons pour que la tache soit bien plus grande que l'ouverture. Piège : dessiner une tache de la taille de la fenêtre, juste sous elle.

e) Nouveau rayon par le bord bas : de $(1\,;12)$ à $(5\,;6)$, il descend de $6$ pour $4$, soit $3$ pour $2$ ; il reste $6$ à descendre, donc $4$ vers la droite : début en $5+4=9$. Par le bord haut : de $(1\,;12)$ à $(5\,;8)$, il descend de $4$ pour $4$ ; reste $8$, donc $8$ vers la droite : fin en $13$. La tache va de $9$ à $13$ : elle se rapproche du mur et ne mesure plus que $4$ carreaux. Plus la source est haute, plus les rayons plongent, et plus la tache est courte.