Exercices corrigés hors programme : les oscillateurs mécaniques, au-delà de la Terminale

Trois forces s'exercent : le poids et la réaction normale du support, tous deux verticaux et qui se compensent, et la force de rappel du ressort, horizontale, de valeur algébrique $-kx$. En projetant sur l'axe horizontal : $m\ddot{x}=-kx$.

En divisant par $m$ et en réarrangeant : $\ddot{x}+\dfrac{k}{m}x=0$, soit $\ddot{x}+\omega_{0}^{2}x=0$ en posant $\omega_{0}^{2}=\dfrac{k}{m}$.

$\omega_{0}=\sqrt{\dfrac{k}{m}}$, la pulsation propre, en $\mathrm{rad/s}$. On vérifie l'homogénéité : $k$ est en $\mathrm{N/m}$ soit $\mathrm{kg\cdot s^{-2}}$, donc $\dfrac{k}{m}$ est en $\mathrm{s^{-2}}$ et sa racine en $\mathrm{s^{-1}}$.

En dérivant deux fois : $\dot{x}=-X_{m}\omega_{0}\sin\left(\omega_{0}t+\varphi\right)$ puis $\ddot{x}=-X_{m}\omega_{0}^{2}\cos\left(\omega_{0}t+\varphi\right)=-\omega_{0}^{2}x$. En reportant : $-\omega_{0}^{2}x+\omega_{0}^{2}x=0$, l'équation est vérifiée pour toutes valeurs de $X_{m}$ et $\varphi$.

$X_{m}$ est l'AMPLITUDE, l'écart maximal à l'équilibre, et $\varphi$ la PHASE À L'ORIGINE, qui fixe la position et le sens du mouvement à l'instant initial. Ces deux constantes ne dépendent QUE des conditions initiales, c'est-à-dire de la façon dont on lance l'oscillateur, et nullement de $k$ ni de $m$. C'est l'inverse pour $\omega_{0}$, qui ne dépend que du système et pas du lancement : c'est toute la distinction entre les caractéristiques propres et les conditions initiales.

$\omega_{0}=\sqrt{\dfrac{k}{m}}=\sqrt{\dfrac{40{,}0}{0{,}250}}=\sqrt{160}=12{,}6\ \mathrm{rad/s}$.

$T_{0}=\dfrac{2\pi}{\omega_{0}}=\dfrac{2\pi}{12{,}6}=0{,}497\ \mathrm{s}$ et $f_{0}=\dfrac{1}{T_{0}}=2{,}01\ \mathrm{Hz}$.

$T_{0}=2\pi\sqrt{\dfrac{m}{k}}$ : doubler la masse multiplie la période par $\sqrt{2}\approx 1{,}41$, elle passe donc à $0{,}702\ \mathrm{s}$. Doubler la raideur la DIVISE par $\sqrt{2}$, elle tombe à $0{,}351\ \mathrm{s}$. Un ressort plus raide oscille plus vite, une masse plus lourde plus lentement, et dans les deux cas l'effet est atténué par la racine carrée.

Elle ne change PAS. La période propre est indépendante de l'amplitude, propriété appelée ISOCHRONISME des oscillations. Elle découle directement du fait que $\omega_{0}$ ne dépend que de $k$ et $m$, et c'est elle qui rend l'oscillateur utilisable comme horloge.

Pour le bloc-ressort, la période NE CHANGE PAS : ni $k$ ni $m$ ne dépendent de la pesanteur, et la force de rappel est purement élastique. Pour un pendule simple, en revanche, $T_{0}=2\pi\sqrt{\dfrac{L}{g}}$ dépend de $g$ : sur la Lune, où $g$ vaut environ le sixième de sa valeur terrestre, la période serait multipliée par $\sqrt{6}\approx 2{,}4$. C'est la différence essentielle entre les deux oscillateurs : l'un est élastique, l'autre gravitationnel.

$T_{0}=2\pi\sqrt{\dfrac{0{,}80}{9{,}81}}=2\pi\times 0{,}2856=1{,}79\ \mathrm{s}$.

De $T_{0}=2\pi\sqrt{\dfrac{L}{g}}$ on tire $L=\dfrac{gT_{0}^{2}}{4\pi^{2}}=\dfrac{9{,}81\times 4{,}00}{39{,}48}=0{,}994\ \mathrm{m}$. Un pendule d'environ un mètre a donc une période de deux secondes : on l'appelle pendule battant la SECONDE, puisque chaque aller simple, soit une demi-période, dure une seconde. C'est le principe des horloges à balancier.

Parce que la masse intervient à la fois dans la force de rappel, qui est une composante du poids donc proportionnelle à $m$, et dans l'inertie, également proportionnelle à $m$. Les deux se compensent exactement, comme pour la chute libre. C'est d'ailleurs pourquoi un pendule ne peut pas servir à peser quoi que ce soit.

Parce que l'établissement de la formule utilise l'approximation $\sin\theta\approx\theta$, valable seulement pour de petits angles exprimés en radians. Pour de grandes amplitudes, la force de rappel n'est plus proportionnelle à l'écart, l'oscillateur cesse d'être harmonique et la période AUGMENTE avec l'amplitude : l'isochronisme est perdu. À $30$ degrés l'écart atteint déjà environ $1{,}7$ pour cent, ce qui est considérable pour une horloge.

$L$ est une longueur, en mètres ; $g$ est une accélération, en $\mathrm{m\cdot s^{-2}}$. Le rapport $\dfrac{L}{g}$ est donc en $\mathrm{s^{2}}$, et sa racine carrée en secondes. Le facteur $2\pi$ étant sans dimension, la formule donne bien un temps : elle est homogène.

À l'amplitude, la vitesse est nulle et toute l'énergie est potentielle : $E_{m}=\dfrac{1}{2}kX_{m}^{2}=0{,}5\times 40{,}0\times 0{,}080^{2}=0{,}128\ \mathrm{J}$. Le graphique montre bien la droite horizontale à $0{,}128\ \mathrm{J}$.

Au passage par l'équilibre, toute l'énergie est cinétique : $\dfrac{1}{2}mv_{\max}^{2}=0{,}128$, donc $v_{\max}=\sqrt{\dfrac{2\times 0{,}128}{0{,}250}}=1{,}01\ \mathrm{m/s}$. On retrouve $v_{\max}=\omega_{0}X_{m}=12{,}6\times 0{,}080=1{,}01\ \mathrm{m/s}$.

Le graphique montre que chaque énergie effectue un cycle complet en environ $0{,}25\ \mathrm{s}$, soit la MOITIÉ de la période propre $T_{0}=0{,}497\ \mathrm{s}$. Les énergies oscillent donc à la fréquence DOUBLE du mouvement. L'explication est que $E_{p}$ varie comme $x^{2}$ : le bloc passe par la position d'équilibre deux fois par période, et l'énergie potentielle s'y annule deux fois. Élever au carré une fonction de période $T_{0}$ donne une fonction de période $\dfrac{T_{0}}{2}$.

Elles sont égales quand chacune vaut la moitié de l'énergie totale, soit $0{,}064\ \mathrm{J}$, ce qui correspond aux intersections des deux courbes. Cela se produit pour $x=\pm\dfrac{X_{m}}{\sqrt{2}}=\pm 5{,}7\ \mathrm{cm}$, donc quatre fois par période.

Parce qu'en l'absence de frottements aucune force non conservative ne travaille : l'énergie mécanique se conserve, elle est constante et son graphe est horizontal. Avec frottements, cette droite deviendrait une courbe DÉCROISSANTE, et les deux énergies oscilleraient sous une enveloppe qui se resserre. C'est d'ailleurs la façon la plus claire de visualiser un amortissement.

Le régime PSEUDO-PÉRIODIQUE, pour un amortissement faible : le système oscille encore, avec une amplitude qui décroît exponentiellement. Le régime APÉRIODIQUE, pour un amortissement fort : le système revient à l'équilibre sans jamais le dépasser, lentement. Et le régime CRITIQUE, cas limite entre les deux : retour à l'équilibre sans oscillation, dans le temps le plus court possible.

La pseudo-période est la durée séparant deux passages successifs par la position d'équilibre dans le même sens. Elle n'est pas rigoureusement égale à la période propre : elle lui est légèrement SUPÉRIEURE, l'amortissement ralentissant le mouvement. L'écart est cependant négligeable pour un amortissement faible, ce qui permet en pratique de mesurer $T_{0}$ sur un système réel.

L'énergie étant proportionnelle au carré de l'amplitude, $\dfrac{E}{E_{0}}=\left(\dfrac{5{,}0}{8{,}0}\right)^{2}=0{,}625^{2}=0{,}391$. Il reste donc $39$ pour cent de l'énergie initiale.

Il en a été dissipé $1-0{,}391=0{,}609$, soit $61$ pour cent. Cette énergie n'a pas disparu : elle a été convertie en CHALEUR par les frottements, dans l'air et dans le ressort lui-même, et communiquée au milieu extérieur. Le bilan énergétique global reste rigoureusement équilibré, mais l'énergie est devenue inutilisable pour le mouvement.

On recherche le régime CRITIQUE, ou juste en deçà. Un amortissement trop faible laisserait la voiture osciller longuement après chaque bosse, ce qui est inconfortable et dangereux puisque les roues perdent le contact avec la route. Un amortissement trop fort rendrait la suspension rigide et transmettrait tous les chocs. Le régime critique est exactement le compromis : retour à l'équilibre le plus rapide possible sans rebond, et c'est pourquoi le test du rebond permet de juger l'usure des amortisseurs.

À l'équilibre, la force de rappel compense le poids : $kx=mg$, donc $k=\dfrac{mg}{x}=\dfrac{0{,}200\times 9{,}81}{0{,}049}=40{,}0\ \mathrm{N/m}$.

De $T_{0}=2\pi\sqrt{\dfrac{m}{k}}$ on tire, en élevant au carré, $T_{0}^{2}=\dfrac{4\pi^{2}m}{k}$ puis $k=\dfrac{4\pi^{2}m}{T_{0}^{2}}=\dfrac{39{,}48\times 0{,}200}{0{,}445^{2}}=\dfrac{7{,}896}{0{,}198}=39{,}9\ \mathrm{N/m}$.

L'écart relatif vaut $\dfrac{\left|40{,}0-39{,}9\right|}{40{,}0}=0{,}42$ pour cent. Les deux méthodes concordent remarquablement, ce qui valide à la fois le modèle du ressort idéal et les deux protocoles.

Parce qu'une durée se mesure bien plus précisément qu'une longueur : un chronomètre atteint le centième de seconde, alors que lire un allongement de quelques centimètres à la règle laisse une incertitude d'au moins un millimètre, soit deux pour cent. Chronométrer vingt oscillations divise en outre l'incertitude sur la période par vingt, puisque l'erreur de déclenchement du chronomètre est la même quel que soit le nombre d'oscillations comptées. C'est la façon la plus simple d'améliorer une mesure sans changer d'instrument.

Elle suppose que le ressort suit la loi de Hooke, c'est-à-dire que sa force de rappel est PROPORTIONNELLE à l'allongement, avec un $k$ constant. Pour le vérifier, il suffit de recommencer avec plusieurs masses différentes et de tracer la force en fonction de l'allongement : si le modèle est valide, les points sont alignés et passent par l'origine, et la pente donne $k$. Un ressort trop étiré sort de ce domaine et la droite s'incurve.

$T_{0}=\dfrac{40{,}10}{20}=2{,}005\ \mathrm{s}$.

De $T_{0}=2\pi\sqrt{\dfrac{L}{g}}$ on tire $T_{0}^{2}=\dfrac{4\pi^{2}L}{g}$, donc $g=\dfrac{4\pi^{2}L}{T_{0}^{2}}=\dfrac{39{,}478\times 1{,}000}{2{,}005^{2}}=\dfrac{39{,}478}{4{,}020}=9{,}820\ \mathrm{m/s^{2}}$.

L'écart relatif vaut $\dfrac{\left|9{,}820-9{,}81\right|}{9{,}81}=0{,}11$ pour cent. L'accord est excellent pour un montage aussi simple.

L'incertitude relative sur la longueur vaut $\dfrac{1}{1000}=0{,}10$ pour cent. Celle sur la durée totale vaut $\dfrac{0{,}2}{40{,}10}=0{,}50$ pour cent, mais elle intervient au CARRÉ dans le calcul de $g$, ce qui la double à $1{,}0$ pour cent. C'est donc la mesure de la DURÉE qui domine largement l'incertitude, d'un facteur dix. Pour améliorer la mesure, il faudrait compter davantage d'oscillations plutôt que de mesurer la longueur plus finement.

D'abord la ROTATION de la Terre : à l'équateur, une partie du poids sert à fournir l'accélération centripète du mouvement circulaire, ce qui diminue le poids apparent d'environ $0{,}34$ pour cent, comme calculé à l'exercice 1 de la série sur les satellites. Ensuite l'APLATISSEMENT de la Terre : le rayon équatorial dépasse le rayon polaire d'une vingtaine de kilomètres, et l'on est donc plus loin du centre à l'équateur, ce qui réduit encore l'attraction. On peut ajouter l'altitude et les variations locales de densité du sous-sol, que la gravimétrie exploite pour prospecter.

$T_{0}=2\pi\sqrt{\dfrac{67}{9{,}81}}=2\pi\times 2{,}613=16{,}4\ \mathrm{s}$. Chaque aller-retour dure donc plus d'un quart de minute, ce qui rend le mouvement très lent et parfaitement observable.

$\sin\left(48{,}87^{\circ}\right)=0{,}753$, donc $T_{\mathrm{rot}}=\dfrac{24}{0{,}753}=31{,}9\ \mathrm{h}$. Le plan tourne donc d'environ $11$ degrés par heure.

$\sin\left(45{,}76^{\circ}\right)=0{,}716$, donc $T_{\mathrm{rot}}=\dfrac{24}{0{,}716}=33{,}5\ \mathrm{h}$. La rotation est un peu plus lente qu'à Paris, d'environ une heure quarante, parce que Lyon est plus proche de l'équateur.

À l'équateur, $\lambda=0$ donc $\sin\lambda=0$ et la période tend vers l'INFINI : le plan d'oscillation ne tourne pas du tout, et l'expérience ne montrerait rien. Au pôle Nord, $\lambda=90^{\circ}$ et $\sin\lambda=1$ : la période vaut exactement $24\ \mathrm{h}$, ce qui est le cas le plus simple à comprendre puisque c'est alors la Terre qui tourne sous un plan d'oscillation fixe par rapport aux étoiles.

La longueur donne une période d'oscillation longue, donc un mouvement lent et lisible, et surtout elle réduit l'influence des perturbations au point d'attache. La masse importante assure une grande inertie et une énergie considérable, ce qui rend le pendule insensible aux courants d'air et lui permet d'osciller pendant des heures malgré les frottements : il faut en effet plusieurs heures d'observation pour que la rotation du plan devienne indiscutable, alors qu'elle n'est que de onze degrés par heure. Un petit pendule de laboratoire s'arrêterait bien avant.

Faux, elle est multipliée par $\sqrt{2}\approx 1{,}41$, pas par 2. La formule $T_{0}=2\pi\sqrt{\dfrac{m}{k}}$ fait intervenir une RACINE CARRÉE. L'exercice 2 le chiffre : la période passe de $0{,}497$ à $0{,}702\ \mathrm{s}$ et non à $0{,}994$. Pour doubler réellement la période, il faudrait quadrupler la masse.

Faux. La masse intervient effectivement dans la force de rappel, qui est une composante du poids, mais elle intervient AUSSI dans l'inertie du système, et les deux se compensent exactement. La formule $T_{0}=2\pi\sqrt{\dfrac{L}{g}}$ ne contient pas $m$. C'est le même mécanisme que pour la chute libre, et c'est pourquoi un pendule ne peut servir à peser. En revanche, un bloc-ressort dépend bien de $m$, parce que sa force de rappel est élastique et non gravitationnelle.

Faux, elle varie à la fréquence DOUBLE. L'énergie cinétique est proportionnelle à $v^{2}$ et l'énergie potentielle à $x^{2}$ : élever au carré une fonction sinusoïdale de période $T_{0}$ donne une fonction de période $\dfrac{T_{0}}{2}$. Le graphique de l'exercice 4 le montre, les échanges se répétant tous les $0{,}25\ \mathrm{s}$ pour un mouvement de période $0{,}497\ \mathrm{s}$. Physiquement, le bloc passe deux fois par l'équilibre à chaque aller-retour.

Faux, il ne montrerait RIEN à l'équateur. La période de rotation du plan vaut $\dfrac{24\ \mathrm{h}}{\sin\lambda}$, qui tend vers l'infini quand la latitude tend vers zéro. L'exercice 8 donne $31{,}9\ \mathrm{h}$ à Paris et $33{,}5\ \mathrm{h}$ à Lyon, mais l'effet s'annule complètement sur l'équateur. C'est d'ailleurs pour cette raison que l'expérience fut menée à Paris et non sous les tropiques.

À $t=0$, $x=X_{m}$ et $v=0$ : l'amplitude vaut donc $X_{m}=8{,}0\times 10^{-2}\ \mathrm{m}$ et la phase $\varphi=0$, puisque le cosinus est maximal en zéro. Avec $\omega_{0}=12{,}6\ \mathrm{rad/s}$, l'équation est $x(t)=8{,}0\times 10^{-2}\cos\left(12{,}6\,t\right)$, en mètres.

$x(0{,}10)=8{,}0\times 10^{-2}\cos\left(1{,}265\right)=8{,}0\times 10^{-2}\times 0{,}3018=2{,}4\times 10^{-2}\ \mathrm{m}$. La vitesse vaut $v=-X_{m}\omega_{0}\sin\left(\omega_{0}t\right)=-8{,}0\times 10^{-2}\times 12{,}65\times 0{,}9534=-0{,}965\ \mathrm{m/s}$, le signe indiquant que le bloc revient vers l'équilibre.

$E_{c}=\dfrac{1}{2}\times 0{,}250\times 0{,}965^{2}=0{,}1164\ \mathrm{J}$ et $E_{p}=\dfrac{1}{2}\times 40{,}0\times\left(2{,}4\times 10^{-2}\right)^{2}=0{,}0117\ \mathrm{J}$. Leur somme vaut $0{,}1281\ \mathrm{J}$, égale à l'énergie mécanique $0{,}128\ \mathrm{J}$ aux arrondis près : la conservation est vérifiée.

L'énergie passe de $0{,}128$ à $0{,}050\ \mathrm{J}$, soit une dissipation de $0{,}078\ \mathrm{J}$. Dix oscillations durent $10\times T_{0}=10\times 0{,}497=4{,}97\ \mathrm{s}$. La puissance moyenne dissipée vaut donc $P=\dfrac{0{,}078}{4{,}97}=1{,}57\times 10^{-2}\ \mathrm{W}$, soit environ $16\ \mathrm{mW}$.

L'amplitude est multipliée par $\dfrac{5{,}0}{8{,}0}=0{,}625$ toutes les dix oscillations. On cherche $n$ tel que $8{,}0\times 0{,}625^{n/10}<1{,}0$, soit $0{,}625^{n/10}<0{,}125$. En passant au logarithme : $\dfrac{n}{10}>\dfrac{\ln 0{,}125}{\ln 0{,}625}=\dfrac{-2{,}079}{-0{,}470}=4{,}42$, donc $n>44{,}2$ : il faut environ $45$ oscillations, soit un peu plus de $22\ \mathrm{s}$. La décroissance étant exponentielle, l'oscillateur met beaucoup plus longtemps à s'arrêter qu'une extrapolation linéaire ne le suggérerait.

Par identification avec $X_{m}\cos(\omega_{0}t+\varphi)$ : $X_{m}=0{,}050\ \mathrm{m}=5{,}0\ \mathrm{cm}$ et $\omega_{0}=20\ \mathrm{rad/s}$. Donc $T_{0}=\dfrac{2\pi}{\omega_{0}}=\dfrac{2\pi}{20}=0{,}314\ \mathrm{s}$. Confondre $\omega_{0}$ et la fréquence donnerait $T_{0}=0{,}050\ \mathrm{s}$, six fois trop peu.

$\omega_{0}^{2}=\dfrac{k}{m}$, donc $k=m\,\omega_{0}^{2}=0{,}40\times 20^{2}=160\ \mathrm{N/m}$.

$x(0)=0{,}050\cos\dfrac{\pi}{2}=0$. La vitesse vaut $v(t)=-0{,}050\times 20\sin\left(20t+\dfrac{\pi}{2}\right)$, donc $v(0)=-1{,}0\ \mathrm{m/s}$. À $t=0$, le bloc passe par sa position d'ÉQUILIBRE avec une vitesse de $1{,}0\ \mathrm{m/s}$ dans le sens négatif : on l'a lancé depuis l'équilibre, et non lâché depuis une position écartée.

$v_{\max}=X_{m}\,\omega_{0}=0{,}050\times 20=1{,}0\ \mathrm{m/s}$, atteinte à chaque passage par l'équilibre. $E_{m}=\dfrac{1}{2}kX_{m}^{2}=0{,}5\times 160\times 0{,}050^{2}=0{,}20\ \mathrm{J}$, et aussi $E_{m}=\dfrac{1}{2}mv_{\max}^{2}=0{,}5\times 0{,}40\times 1{,}0^{2}=0{,}20\ \mathrm{J}$.

$x=-X_{m}$ quand $\cos\left(20t+\dfrac{\pi}{2}\right)=-1$, soit $20t+\dfrac{\pi}{2}=\pi$ pour la première fois. Donc $t=\dfrac{\pi}{40}=0{,}0785\ \mathrm{s}$, c'est-à-dire un quart de période : parti de l'équilibre vers les $x$ négatifs, le bloc atteint l'élongation extrême en $\dfrac{T_{0}}{4}$.

$L=\dfrac{g_{P}\,T_{0}^{2}}{4\pi^{2}}=\dfrac{9{,}809\times 4{,}000}{39{,}478}=0{,}9939\ \mathrm{m}$.

$T_{C}=2\pi\sqrt{\dfrac{0{,}99386}{9{,}780}}=2{,}00296\ \mathrm{s}$. Il faut garder de nombreux chiffres : l'écart avec $2{,}000\ \mathrm{s}$ n'apparaît qu'à la troisième décimale. On l'obtient aussi par $T_{C}=T_{0}\sqrt{\dfrac{g_{P}}{g_{C}}}=2{,}000\times 1{,}00148$.

En un jour réel, le balancier effectue $\dfrac{86\,400}{2{,}00296}$ oscillations, et l'horloge affiche donc $86\,400\times\dfrac{2{,}000}{2{,}00296}$ secondes. Le retard vaut $86\,400\left(1-\dfrac{2{,}000}{2{,}00296}\right)=128\ \mathrm{s}$, soit plus de deux minutes, exactement ce que Richard observa.

Il faut $2\pi\sqrt{\dfrac{L'}{g_{C}}}=2{,}000\ \mathrm{s}$, donc $L'=\dfrac{9{,}780\times 4{,}000}{39{,}478}=0{,}99093\ \mathrm{m}$. Le raccourcissement vaut $0{,}99386-0{,}99093=2{,}94\times 10^{-3}\ \mathrm{m}$, soit $2{,}9\ \mathrm{mm}$ : un réglage minuscule pour deux minutes par jour, ce qui montre la sensibilité d'un pendule à $g$.

Deux causes agissent dans le même sens. La ROTATION de la Terre : près de l'équateur, une petite part de l'attraction sert à maintenir le mouvement circulaire, et le poids apparent diminue. L'APLATISSEMENT de la Terre : l'équateur est plus loin du centre que Paris, et l'attraction y est plus faible. L'observation de Richard fut l'un des premiers indices de cet aplatissement, que Newton expliqua ensuite.