Spécialité physique-chimie, Terminale • Exercices corrigés à Montréal

Fiche de révision : mouvement dans un champ uniforme (Terminale spécialité)

La deuxième loi de Newton dans un champ uniforme donne toujours le même schéma : une accélération constante, deux intégrations successives, deux équations horaires. La mécanique n'y est pas difficile. Ce qui coûte des points, c'est le raisonnement physique autour : quelle composante s'annule, quelle grandeur se simplifie, quelle force peut être négligée.

Cette fiche liste les huit endroits où les points partent, avec la phrase exacte qui les remet, l'arbre qui dit quelle méthode employer selon la question posée, la comparaison ligne à ligne entre champ de pesanteur et champ électrique, et un tir parabolique décortiqué du bilan des forces jusqu'à la portée.

Le fil du chapitre

Un mouvement dans un champ uniforme se décompose en DEUX mouvements indépendants : uniforme sur un axe, uniformément accéléré sur l'autre. Tout ce qui se perd sur ce chapitre vient d'avoir mélangé les deux, à commencer par la vitesse au sommet, qui n'est jamais nulle.

Ce chapitre fait partie de Spécialité physique-chimie en Terminale

Avant ce chapitre

Cette fiche suppose ces notions acquises. Si une méthode ci-dessous reste opaque, c'est presque toujours l'une d'elles qui manque, pas la fiche.

Remonter plus loin : la chaîne complète (16 chapitres) ↓

Le chemin de remédiation, du plus ancien au plus proche. Un élève qui reprend ce chapitre de zéro le reprend dans cet ordre.

1Vecteurs et géométrie repéréeSeconde, Mathématiques
2Généralités sur les fonctionsSeconde, Mathématiques
3Fonctions affines et systèmesSeconde, Mathématiques
4Mouvement et interactionsSeconde
5La dérivationPremière, Mathématiques
6Mouvement, Newton et champsPremière
7Géométrie de CinquièmeCinquième, Mathématiques
8Calcul littéral et équationsQuatrième, Mathématiques
9Translations, symétries et rotationsQuatrième, Mathématiques
10Mouvement, vitesse et lumièreQuatrième
11La notion de fonctionTroisième, Mathématiques
12Les fonctions linéairesTroisième, Mathématiques
13Les fonctions affinesTroisième, Mathématiques
14Développer et factoriserTroisième, Mathématiques
15Équations, équations produit et inéquationsTroisième, Mathématiques
16Poids, gravitation et signauxTroisième

L'essentiel

Deux mouvements indépendants, sur deux axes

• Deuxième loi de Newton : $\sum\vec{F}=m\vec{a}$ , égalité VECTORIELLE, donc une équation par axe.
• Sur l'axe horizontal, aucune force : $a_{x}=0$ , la vitesse $v_{x}$ reste constante et $x=v_{0}\cos\alpha\,t$ . C'est un mouvement uniforme.
• Sur l'axe vertical : $a_{y}=-g$ , donc $v_{y}=-gt+v_{0}\sin\alpha$ et $y=-\frac{1}{2}gt^{2}+v_{0}\sin\alpha\,t$ . C'est un mouvement uniformément accéléré.
• L'équation de la TRAJECTOIRE s'obtient en éliminant $t$ entre les deux : $t=\frac{x}{v_{0}\cos\alpha}$ , ce qui donne une parabole.

Les points sont pris à intervalles de temps ÉGAUX : leur écart horizontal ne change jamais, leur écart vertical diminue puis s'inverse. Un seul dessin, deux mouvements superposés.

Les deux axes ne communiquent que par le temps. C'est pourquoi une bille lâchée et une bille lancée horizontalement au même instant touchent le sol EN MÊME TEMPS, quelle que soit la vitesse de lancement.

Champ de pesanteur et champ électrique : ce qui change

• Champ de pesanteur : $\vec{P}=m\vec{g}$ , donc $\vec{a}=\vec{g}$ et la MASSE SE SIMPLIFIE. Tous les corps tombent de la même façon.
• Champ électrique : $\vec{F}=q\vec{E}$ , donc $\vec{a}=\frac{q}{m}\vec{E}$ et la masse NE SE SIMPLIFIE PAS. Deux particules de charges égales et de masses différentes ne suivent pas la même trajectoire.
• Le signe de la charge décide du SENS de la force : une charge négative est accélérée vers la plaque positive, donc dans le sens opposé au champ.
• Entre deux plaques parallèles distantes de $d$ et soumises à une tension $U$ , le champ est uniforme et vaut $E=\frac{U}{d}$ , dirigé de la plaque positive vers la plaque négative.

Tout le reste est identique : même deuxième loi, mêmes deux intégrations, même trajectoire parabolique. Seule l'expression de l'accélération change, et c'est la seule ligne à adapter.

Portée, flèche et vitesse : les formules et leur sens

• Portée depuis le sol, sur terrain horizontal : $P=\frac{v_{0}^{2}\sin(2\alpha)}{g}$ , maximale pour $\alpha=45^{\circ}$ , et IDENTIQUE pour deux angles complémentaires.
• Flèche, c'est-à-dire hauteur maximale : $h=\frac{\left(v_{0}\sin\alpha\right)^{2}}{2g}$ , atteinte quand $v_{y}$ s'annule.
• Au sommet, SEULE $v_{y}$ s'annule : la vitesse y vaut $v_{0}\cos\alpha$ , jamais zéro sauf pour un tir strictement vertical.
• Vitesse d'arrivée depuis une hauteur $h$ : $v=\sqrt{v_{0}^{2}+2gh}$ , indépendante de l'angle de tir, par conservation de l'énergie mécanique.

Déviation entre deux plaques

• Une particule entre horizontalement à la vitesse $v_{0}$ dans un condensateur plan de longueur $L$ : elle y reste pendant $t=\frac{L}{v_{0}}$ .
• Sa déviation à la sortie vaut $y=\frac{1}{2}a\left(\frac{L}{v_{0}}\right)^{2}$ , avec $a=\frac{|q|E}{m}=\frac{|q|U}{md}$ .
• La déviation varie donc comme l'INVERSE DU CARRÉ de la vitesse d'entrée : doubler $v_{0}$ divise la déviation par $4$ .
• Le poids d'un électron est négligeable devant la force électrique, mais cela se VÉRIFIE par un rapport chiffré, jamais par principe.

L'ordre de grandeur du rapport pour un électron entre deux plaques de laboratoire est de $10^{13}$ : c'est ce nombre, écrit sur la copie, qui justifie de négliger le poids.

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Déclarer la vitesse nulle au sommet de la trajectoire

1 à 2 points, et l'énergie cinétique au sommet devient fausse

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Au sommet, la vitesse du projectile est nulle puisque le mouvement s'inverse. »

Ce qu'il faut écrire

« Au sommet, seule la composante VERTICALE de la vitesse s'annule. La composante horizontale reste $v_{0}\cos\alpha$ , donc la vitesse au sommet vaut exactement $v_{0}\cos\alpha$ . »

Au sommet la tangente est HORIZONTALE, elle n'est pas réduite à un point : la vitesse y est horizontale et vaut

v_{0}\cos\alpha

. Une vitesse nulle donnerait un rebroussement, pas un sommet arrondi.

Pourquoi : Rien n'agit horizontalement : $v_{x}$ ne peut pas changer. Un projectile qui aurait une vitesse nulle au sommet tomberait à la verticale, ce qu'aucune photographie de trajectoire ne montre.

2. Simplifier la masse dans un champ électrique

toute la question, avec une accélération fausse de plusieurs ordres de grandeur

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $q\vec{E}=m\vec{a}$ , donc $\vec{a}=\vec{E}$ : la masse se simplifie comme pour la pesanteur. »

Ce qu'il faut écrire

« $q\vec{E}=m\vec{a}$ donne $\vec{a}=\frac{q}{m}\vec{E}$ : la masse reste au dénominateur. Elle ne se simplifie que dans le champ de pesanteur, où la force est elle-même proportionnelle à $m$ . »

Pourquoi : Le poids vaut $m\vec{g}$ : le $m$ des deux côtés se compense. La force électrique vaut $q\vec{E}$ et ne contient aucun $m$ : rien ne se compense. C'est ce qui permet de trier des particules par leur rapport charge sur masse.

3. Négliger le poids sans le justifier par un rapport

1 point, systématiquement prévu au barème

Ce qu'il ne faut pas écrire

« On néglige le poids de l'électron, comme d'habitude. »

Ce qu'il faut écrire

« Le poids vaut $P=mg\approx 8{,}9\times 10^{-30}\ \mathrm{N}$ et la force électrique $F=|q|E\approx 6{,}4\times 10^{-16}\ \mathrm{N}$ , soit un rapport de l'ordre de $10^{13}$ : le poids est donc négligeable devant la force électrique. »

Pourquoi : « Comme d'habitude » n'est pas un argument physique, et l'approximation devient fausse pour une goutte d'huile chargée ou un ion lourd. Le rapport chiffré est la seule justification acceptée.

4. Mesurer l'angle de tir depuis la mauvaise direction

toute la question, avec des composantes échangées

Ce qu'il ne faut pas écrire

« L'angle vaut $30^{\circ}$ avec la verticale, donc $v_{0x}=v_{0}\cos 30^{\circ}$ . »

Ce qu'il faut écrire

« L'angle est donné avec la VERTICALE, donc l'angle avec l'horizontale vaut $60^{\circ}$ et $v_{0x}=v_{0}\cos 60^{\circ}=v_{0}\sin 30^{\circ}$ . »

Pourquoi : Les formules du cours supposent l'angle mesuré depuis l'HORIZONTALE. Le repère de l'énoncé peut en décider autrement, et le schéma est le seul endroit où cela se voit : il faut le lire avant d'écrire une projection.

5. Croire qu'un seul angle donne une portée demandée

1 point, et une seule des deux réponses attendues

Ce qu'il ne faut pas écrire

« La portée vaut $35\ \mathrm{m}$ , donc l'angle de tir est nécessairement $30^{\circ}$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $\sin(2\alpha)$ prend la même valeur pour $2\alpha$ et $180^{\circ}-2\alpha$ : deux angles COMPLÉMENTAIRES donnent la même portée. Ici $30^{\circ}$ et $60^{\circ}$ conviennent tous les deux, avec des trajectoires très différentes. »

Deux trajectoires, deux allures opposées, et pourtant le même point de chute à

35{,}3\ \mathrm{m}

. La portée ne dépend de l'angle que par

\sin(2\alpha)

, symétrique autour de

45^{\circ}

Pourquoi : La portée ne dépend de l'angle que par $\sin(2\alpha)$ , qui est symétrique autour de $45^{\circ}$ . Le tir tendu et le tir en cloche atteignent le même point, mais pas au même instant ni à la même hauteur.

6. Confondre les équations horaires et l'équation de la trajectoire

toute la question, environ 2 points

Ce qu'il ne faut pas écrire

« La trajectoire a pour équation $y=-\frac{1}{2}gt^{2}+v_{0}\sin\alpha\,t$ . »

Ce qu'il faut écrire

« Cette expression est une équation HORAIRE, elle donne $y$ en fonction du TEMPS. L'équation de la trajectoire donne $y$ en fonction de $x$ : on élimine $t$ grâce à $t=\frac{x}{v_{0}\cos\alpha}$ , ce qui donne $y=-\frac{g}{2v_{0}^{2}\cos^{2}\alpha}x^{2}+x\tan\alpha$ . »

Pourquoi : Une trajectoire est la courbe suivie dans l'espace : elle ne contient pas le temps. Confondre les deux rend impossible tout calcul de portée, qui consiste précisément à résoudre $y=0$ en $x$ .

7. Faire varier la déviation comme l'inverse de la vitesse d'entrée

1 point, et un facteur $2$ d'erreur sur le résultat final

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Doubler la vitesse d'entrée divise la déviation par $2$ . »

Ce qu'il faut écrire

« La déviation vaut $y=\frac{1}{2}a\left(\frac{L}{v_{0}}\right)^{2}$ : elle varie comme $\frac{1}{v_{0}^{2}}$ . Doubler $v_{0}$ divise donc la déviation par $4$ . »

Entre les plaques, le faisceau suit une parabole exactement comme un projectile pesant. La déviation à la sortie dépend du temps passé dans le champ, donc de

v_{0}

au carré.

Pourquoi : La vitesse d'entrée intervient deux fois : elle fixe le TEMPS passé entre les plaques, et ce temps intervient au carré dans la loi horaire verticale. C'est l'exposant $2$ de la chute libre qui se reporte sur $v_{0}$ .

8. Oublier le signe de la charge pour orienter la force

1 point, et la déviation est dessinée du mauvais côté

Ce qu'il ne faut pas écrire

« La particule est chargée, donc elle est déviée dans le sens du champ électrique. »

Ce qu'il faut écrire

« $\vec{F}=q\vec{E}$ : pour une charge POSITIVE la force est dans le sens du champ, pour une charge NÉGATIVE elle est dans le sens opposé. Un électron est donc attiré par la plaque positive, contre le sens de $\vec{E}$ . »

Pourquoi : Le champ est dirigé de la plaque positive vers la plaque négative, par convention. Un électron, de charge négative, remonte donc le champ. Toute la géométrie du schéma en dépend.

9. Utiliser la portée depuis le sol pour un tir depuis une hauteur

toute la question, avec une portée sous-estimée

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Le ballon part d'un balcon à $10\ \mathrm{m}$ : sa portée vaut $\frac{v_{0}^{2}\sin(2\alpha)}{g}$ . »

Ce qu'il faut écrire

« Cette formule suppose un départ et une arrivée à la MÊME altitude. Depuis une hauteur, il faut résoudre $y(t)=-h$ , c'est-à-dire une équation du second degré en $t$ , puis reporter dans $x=v_{0}\cos\alpha\,t$ . »

Pourquoi : La formule de portée est la solution particulière de $y=0$ sur terrain plat. Dès que l'altitude d'arrivée change, l'angle optimal n'est plus $45^{\circ}$ non plus, et il faut repartir des équations horaires.

Quelle méthode choisir

Quelle méthode selon la question posée

Toutes les questions du chapitre partent des mêmes deux équations horaires. Ce que l'énoncé demande décide de ce qu'on en fait.

Si « établir les équations horaires » → bilan des forces, deuxième loi de Newton, projection sur les deux axes, puis DEUX intégrations avec les conditions initiales

Exemple : $a_{y}=-g$ donne $v_{y}=-gt+v_{0}\sin\alpha$ puis $y=-\frac{1}{2}gt^{2}+v_{0}\sin\alpha\,t$
Si « déterminer l'équation de la trajectoire » → isoler $t$ dans l'équation en $x$ , puis le remplacer dans celle en $y$

Exemple : $t=\frac{x}{v_{0}\cos\alpha}$ donne une parabole en $x$
Si « calculer la portée » → résoudre $y=0$ , garder la solution non nulle, et reporter dans $x$ ; sur terrain plat, la formule $\frac{v_{0}^{2}\sin(2\alpha)}{g}$ va plus vite
Si « calculer la flèche » ou « la hauteur maximale » → annuler $v_{y}$ , en déduire le temps de montée, puis reporter dans $y$

Exemple : $t=\frac{v_{0}\sin\alpha}{g}$ , puis $h=\frac{\left(v_{0}\sin\alpha\right)^{2}}{2g}$
Si « calculer la vitesse en un point » → composer les deux composantes : $v=\sqrt{v_{x}^{2}+v_{y}^{2}}$ , ou passer par l'énergie mécanique si la hauteur est connue
Si il s'agit d'une particule chargée entre des plaques → même méthode, avec $a=\frac{|q|U}{md}$ à la place de $g$ , et après avoir justifié qu'on néglige le poids

Aucune de ces questions ne demande de formule apprise par cœur : toutes se retrouvent en deux lignes à partir des équations horaires. Apprendre la méthode plutôt que les formules évite de se tromper de cas particulier.

Champ de pesanteur ou champ électrique : la seule ligne qui change

On compare les deux situations point par point pour repérer ce qu'il faut adapter, et ce qu'il ne faut surtout pas adapter.

Si la force est le poids → $\vec{a}=\vec{g}$ , la masse se simplifie, l'accélération vaut $9{,}81\ \mathrm{m\cdot s^{-2}}$ vers le bas pour tout corps
Si la force est électrique dans un condensateur plan → $\vec{a}=\frac{q}{m}\vec{E}$ avec $E=\frac{U}{d}$ , la masse RESTE, et le signe de $q$ donne le sens

Exemple : $U=200\ \mathrm{V}$ et $d=5\ \mathrm{cm}$ donnent $E=4000\ \mathrm{V\cdot m^{-1}}$
Si les deux forces sont présentes → comparer $mg$ et $|q|E$ par un rapport chiffré, puis négliger la plus petite EN L'ÉCRIVANT
Si la particule entre perpendiculairement au champ → trajectoire parabolique, exactement comme un tir horizontal, avec $\frac{|q|E}{m}$ à la place de $g$
Si la particule entre parallèlement au champ → mouvement rectiligne uniformément accéléré, et le théorème de l'énergie cinétique donne directement la vitesse de sortie

Exemple : canon à électrons : $\frac{1}{2}mv^{2}=|q|U$

Le reste est rigoureusement identique : mêmes projections, mêmes intégrations, même parabole. C'est pourquoi les sujets traitent souvent les deux situations dans le même exercice.

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Établir les équations horaires, du bilan des forces aux positions

Quand l'utiliser : La première question de tout exercice de mécanique, et celle qui porte le plus de points.

1 Définir le système et le référentiel : « le système est le ballon de masse $m$ , étudié dans le référentiel terrestre supposé galiléen ».
2 Faire le bilan des forces et dire ce qu'on néglige, avec sa justification : « le ballon n'est soumis qu'à son poids, les frottements de l'air étant négligés ».
3 Écrire la deuxième loi de Newton sous forme VECTORIELLE, puis la projeter sur chacun des deux axes.
4 Intégrer une première fois pour obtenir les composantes de la vitesse, en écrivant les constantes d'intégration puis en les identifiant aux conditions initiales.
5 Intégrer une seconde fois pour obtenir les positions, avec les mêmes précautions sur les constantes.
6 Encadrer ou souligner les deux équations horaires : elles serviront à toutes les questions suivantes.

Phrase de conclusion

Le système n'étant soumis qu'à son poids, la deuxième loi de Newton donne $m\vec{g}=m\vec{a}$ , soit $\vec{a}=\vec{g}$ ; par projection puis double intégration avec les conditions initiales, $x(t)=v_{0}\cos\alpha\,t$ et $y(t)=-\frac{1}{2}gt^{2}+v_{0}\sin\alpha\,t$ .

Le piège : Sauter les constantes d'intégration. Elles valent $v_{0}\cos\alpha$ et $v_{0}\sin\alpha$ pour la vitesse, et zéro pour la position seulement si le tir part de l'origine. Un tir depuis une hauteur ajoute un $+h$ qui change toute la suite.

Barème : 0,5 point pour le système et le référentiel, 1 point pour le bilan des forces justifié, 1 point pour la loi de Newton projetée, 1 point par intégration.

Justifier qu'on néglige le poids devant la force électrique

Quand l'utiliser : Tout exercice de particule chargée dans un champ électrique, et le point est presque toujours prévu au barème.

1 Calculer le champ à partir des données : $E=\frac{U}{d}$ , avec les unités converties en mètres et en volts.
2 Calculer la force électrique : $F=|q|E$ , en valeur absolue puisqu'on compare des intensités.
3 Calculer le poids : $P=mg$ , avec la masse de la particule donnée par l'énoncé.
4 Former le RAPPORT $\frac{F}{P}$ et donner son ordre de grandeur.
5 Conclure explicitement : le poids est négligeable, et il sera absent du bilan des forces qui suit.

Phrase de conclusion

Le rapport $\frac{F}{P}=\frac{|q|E}{mg}$ est de l'ordre de $10^{13}$ : le poids de l'électron est donc totalement négligeable devant la force électrique, et on ne le fera pas figurer dans le bilan des forces.

Le piège : Comparer des grandeurs sans les avoir calculées, ou comparer une force et un champ. Le rapport doit être un NOMBRE sans unité, obtenu en divisant deux forces exprimées dans la même unité.

Barème : 0,5 point pour chaque force calculée, 1 point pour le rapport et la conclusion.

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

Contrôler l'homogénéité de chaque formule

Une portée est une longueur : $\frac{v^{2}}{g}$ donne bien des mètres carrés par seconde carrée divisés par des mètres par seconde carrée, donc des mètres. Toute formule qui n'est pas homogène est fausse.

Une portée écrite $\frac{v_{0}\sin(2\alpha)}{g}$ donnerait des secondes : il manque un facteur $v_{0}$ .
Vérifier l'ordre de grandeur physique du résultat

Un ballon lancé à $20\ \mathrm{m\cdot s^{-1}}$ ne parcourt pas $400\ \mathrm{m}$ , et une vitesse d'électron ne dépasse pas $3\times 10^{8}\ \mathrm{m\cdot s^{-1}}$ . Ces deux bornes attrapent la plupart des erreurs de puissance de dix.

Une portée de $408\ \mathrm{m}$ au lieu de $40{,}8\ \mathrm{m}$ : un facteur $10$ est passé, probablement le $g$ .
Tester la formule sur un cas limite connu

Un tir à $0^{\circ}$ doit donner une portée nulle, un tir à $90^{\circ}$ aussi, et un tir à $45^{\circ}$ doit donner le maximum. Trois substitutions valident la formule de portée.

$\sin(2\times 90^{\circ})=\sin 180^{\circ}=0$ : la portée d'un tir vertical est bien nulle.
Recouper la vitesse par l'énergie mécanique

La vitesse d'arrivée au sol se calcule aussi par conservation de l'énergie : $\frac{1}{2}v^{2}=\frac{1}{2}v_{0}^{2}+gh$ . Les deux méthodes doivent donner le même nombre.

Un tir à $20\ \mathrm{m\cdot s^{-1}}$ depuis $10\ \mathrm{m}$ arrive à $\sqrt{400+196}\approx 24{,}4\ \mathrm{m\cdot s^{-1}}$ , quel que soit l'angle.
Relire le schéma pour l'orientation des axes

Le signe de $g$ dans les équations dépend de l'orientation choisie pour l'axe vertical. Un axe dirigé vers le bas donne $a_{y}=+g$ , et toutes les équations changent de signe.

Une flèche négative dans le résultat : l'axe a été orienté vers le bas sans que les signes suivent.

L'exercice type décortiqué

Un tir parabolique complet, comme au baccalauréat

Un ballon est frappé depuis le sol avec une vitesse initiale de $v_{0}=20{,}0\ \mathrm{m\cdot s^{-1}}$ faisant un angle $\alpha=40^{\circ}$ avec l'horizontale. On prend $g=9{,}81\ \mathrm{m\cdot s^{-2}}$ et on néglige les frottements de l'air.

1. Établir les équations horaires du mouvement. 2. En déduire l'équation de la trajectoire. 3. Calculer la flèche et le temps auquel elle est atteinte. 4. Calculer la portée. 5. Donner la vitesse au sommet. 6. Quel autre angle donnerait la même portée ?

La configuration de l'énoncé : départ du sol, angle avec l'horizontale, et deux points remarquables à déterminer, le sommet et le point de chute.

Étape 1

Le système est le ballon, de masse $m$ , dans le référentiel terrestre supposé galiléen. Les frottements étant négligés, il n'est soumis qu'à son poids. La deuxième loi de Newton donne $m\vec{g}=m\vec{a}$ , soit $\vec{a}=\vec{g}$ .

Pourquoi

La masse se simplifie parce que le poids lui est proportionnel : c'est la particularité du champ de pesanteur, et c'est la ligne qui n'existera pas dans un champ électrique.

Étape 2

Projection : $a_{x}=0$ et $a_{y}=-g$ . Première intégration : $v_{x}=v_{0}\cos\alpha=20{,}0\times\cos 40^{\circ}\approx 15{,}3\ \mathrm{m\cdot s^{-1}}$ et $v_{y}=-gt+v_{0}\sin\alpha$ avec $v_{0}\sin\alpha\approx 12{,}9\ \mathrm{m\cdot s^{-1}}$ .

Pourquoi

Les constantes d'intégration sont les composantes de la vitesse initiale, obtenues par projection sur le schéma. Les écrire numériquement dès maintenant évite de traîner des cosinus jusqu'à la fin.

Étape 3

Seconde intégration, avec un départ à l'origine : $x(t)=15{,}3\,t$ et $y(t)=-4{,}905\,t^{2}+12{,}9\,t$ , en mètres et en secondes.

Pourquoi

Les deux constantes sont nulles ICI parce que le tir part du sol et de l'origine. Un tir depuis un balcon ajouterait un terme constant à $y$ , et c'est le seul changement.

Étape 4

Trajectoire : $t=\frac{x}{15{,}3}$ , d'où $y=-4{,}905\left(\frac{x}{15{,}3}\right)^{2}+12{,}9\times\frac{x}{15{,}3}$ , soit $y\approx-0{,}0209\,x^{2}+0{,}839\,x$ .

Pourquoi

Le temps disparaît : c'est ce qui distingue la trajectoire des équations horaires. La courbe obtenue est une parabole tournée vers le bas, ce qui est cohérent avec le signe négatif du coefficient de $x^{2}$ .

Étape 5

Flèche : $v_{y}=0$ donne $t=\frac{12{,}9}{9{,}81}\approx 1{,}31\ \mathrm{s}$ . En reportant, $y_{\max}=-4{,}905\times 1{,}31^{2}+12{,}9\times 1{,}31\approx 8{,}42\ \mathrm{m}$ .

Pourquoi

C'est l'annulation de $v_{y}$ , et non de $v$ , qui caractérise le sommet. Cette distinction est exactement le piège numéro un du chapitre.

Étape 6

Portée : $y=0$ donne $t(-4{,}905t+12{,}9)=0$ , donc $t=0$ (le départ) ou $t\approx 2{,}62\ \mathrm{s}$ . En reportant dans $x$ : $P\approx 15{,}3\times 2{,}62\approx 40{,}2\ \mathrm{m}$ .

Pourquoi

Le temps de vol vaut exactement le double du temps de montée, ce qui donne un contrôle immédiat : $2\times 1{,}31=2{,}62$ . La solution $t=0$ se rejette en une phrase, elle correspond au point de départ.

Étape 7

Vitesse au sommet : $v_{y}=0$ et $v_{x}=15{,}3\ \mathrm{m\cdot s^{-1}}$ , donc la vitesse vaut $15{,}3\ \mathrm{m\cdot s^{-1}}$ , dirigée horizontalement.

Pourquoi

Le ballon est le plus lent au sommet, mais il n'y est jamais immobile. Sa vitesse y vaut $77\ \%$ de la vitesse initiale, ce qui est loin de zéro.

Étape 8

Autre angle : $P=\frac{v_{0}^{2}\sin(2\alpha)}{g}$ , et $\sin(2\times 40^{\circ})=\sin 80^{\circ}=\sin 100^{\circ}=\sin(2\times 50^{\circ})$ . L'angle $50^{\circ}$ donne donc la même portée. Contrôle : $\frac{400\times\sin 80^{\circ}}{9{,}81}\approx 40{,}2\ \mathrm{m}$ .

Pourquoi

Les deux angles sont complémentaires, $40^{\circ}+50^{\circ}=90^{\circ}$ . Le calcul de portée par la formule redonne aussi la valeur de la question 4, ce qui valide les deux.

Conclusion rédigée

Le ballon suit la parabole $y\approx-0{,}0209\,x^{2}+0{,}839\,x$ , atteint sa flèche de $8{,}42\ \mathrm{m}$ au bout de $1{,}31\ \mathrm{s}$ , retombe à $40{,}2\ \mathrm{m}$ après $2{,}62\ \mathrm{s}$ de vol, passe au sommet à $15{,}3\ \mathrm{m\cdot s^{-1}}$ et non à vitesse nulle; un tir à $50^{\circ}$ atteindrait exactement le même point de chute.

L'erreur classique sur cet exercice : Annoncer une vitesse nulle au sommet, puis en déduire une énergie cinétique nulle et une énergie mécanique égale à la seule énergie potentielle. Toute la question d'énergie s'effondre, alors que le calcul de la flèche, lui, était juste.

À savoir par cœur

• Deux axes, deux mouvements indépendants : uniforme en $x$ , uniformément accéléré en $y$ . Ils ne communiquent que par $t$ .
• Champ de pesanteur : $\vec{a}=\vec{g}$ , la masse se simplifie. Champ électrique : $\vec{a}=\frac{q}{m}\vec{E}$ , elle ne se simplifie PAS.
• Au sommet, seule $v_{y}$ s'annule. La vitesse y vaut $v_{0}\cos\alpha$ .
• Trajectoire = équations horaires SANS le temps : on élimine $t$ entre $x(t)$ et $y(t)$ .
• Portée sur terrain plat : $\frac{v_{0}^{2}\sin(2\alpha)}{g}$ , maximale à $45^{\circ}$ , identique pour deux angles complémentaires.
• Flèche : $\frac{\left(v_{0}\sin\alpha\right)^{2}}{2g}$ , atteinte quand $v_{y}=0$ .
• Entre deux plaques : $E=\frac{U}{d}$ et la déviation varie comme $\frac{1}{v_{0}^{2}}$ .
• Négliger le poids se JUSTIFIE par un rapport chiffré, jamais par habitude.
• Le signe de la charge décide du sens de la force : un électron remonte le champ.

Questions fréquentes

La vitesse est-elle nulle au sommet d'une trajectoire parabolique ?

Non. Seule la composante verticale s'annule au sommet. La composante horizontale, elle, ne change jamais, puisque aucune force n'agit dans cette direction. La vitesse au sommet vaut donc la vitesse initiale multipliée par le cosinus de l'angle de tir, ce qui reste une valeur importante pour un tir tendu.

Pourquoi la masse disparaît-elle en chute libre mais pas dans un champ électrique ?

Parce que le poids est lui-même proportionnel à la masse : le facteur se simplifie des deux côtés de la deuxième loi de Newton. La force électrique, elle, ne dépend que de la charge et du champ, donc la masse reste au dénominateur de l'accélération. C'est ce qui permet de trier des particules selon leur rapport charge sur masse.

Comment passer des équations horaires à l'équation de la trajectoire ?

On isole le temps dans l'équation qui donne l'abscisse, ce qui est facile puisque le mouvement horizontal est uniforme, puis on remplace ce temps dans l'équation qui donne l'ordonnée. Le résultat ne contient plus le temps : c'est une relation entre les deux coordonnées, et c'est une parabole.

Deux angles de tir différents peuvent-ils donner la même portée ?

Oui, dès qu'ils sont complémentaires, c'est-à-dire que leur somme vaut quatre-vingt-dix degrés. La portée ne dépend de l'angle que par le sinus du double de cet angle, qui prend la même valeur de part et d'autre de quarante-cinq degrés. Les deux trajectoires diffèrent pourtant beaucoup : l'une est tendue, l'autre en cloche.

Pourquoi peut-on négliger le poids d'un électron entre deux plaques ?

Parce que le rapport entre la force électrique et le poids est de l'ordre de dix puissance treize. Mais cela doit être calculé et écrit sur la copie : on compare l'intensité de la force électrique, produit de la charge par le champ, à celle du poids, produit de la masse par l'intensité de pesanteur. Pour une goutte chargée plus lourde, l'approximation tomberait.

Comment varie la déviation d'un faisceau avec sa vitesse d'entrée ?

Comme l'inverse du carré de cette vitesse. La vitesse d'entrée fixe la durée passée entre les plaques, et cette durée intervient au carré dans le mouvement uniformément accéléré transversal. Doubler la vitesse d'entrée divise donc la déviation par quatre, et non par deux.

Passer à la pratique

Exercices corrigés : Mouvement dans un champ uniforme

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

15 exercices corrigés
150 points
225 minutes

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