Exercices corrigés : mouvement, lois de Newton et champs (Première spécialité)

a) On approche la vitesse instantanée en $M_{2}$ par la vitesse moyenne sur l'intervalle qui l'encadre : $\vec{v_{2}}\approx\dfrac{\overrightarrow{M_{1}M_{3}}}{2\tau}$, le déplacement de $M_{1}$ à $M_{3}$ s'effectuant pendant deux intervalles.

b) Parce que l'encadrement rend l'approximation bien meilleure. En utilisant $M_{2}$ et $M_{3}$, on obtiendrait la vitesse moyenne sur l'intervalle suivant, c'est-à-dire une vitesse représentative d'un instant situé entre $M_{2}$ et $M_{3}$, et non de $M_{2}$ lui-même. En centrant sur $M_{2}$, les erreurs commises de part et d'autre se compensent au premier ordre.

c) Le vecteur variation de vitesse est simplement $\Delta\vec{v}=\vec{v_{2}}-\vec{v_{1}}$. Graphiquement, on trace les deux vecteurs vitesse à partir d'une même origine, puis $\Delta\vec{v}$ est le vecteur qui joint l'extrémité de $\vec{v_{1}}$ à celle de $\vec{v_{2}}$ : il ferme le triangle, dans ce sens et pas dans l'autre.

d) $\Delta\vec{v}=\left(3{,}0-3{,}0\ ;\ 0{,}4-2{,}0\right)=\left(0\ ;\ -1{,}6\right)\ \mathrm{m/s}$. Le vecteur accélération vaut $\vec{a}=\dfrac{\Delta\vec{v}}{\tau}=\left(0\ ;\ \dfrac{-1{,}6}{0{,}16}\right)=\left(0\ ;\ -10\right)\ \mathrm{m/s^{2}}$. Il est vertical, dirigé vers le bas, de norme $10\ \mathrm{m/s^{2}}$.

e) Le mouvement n'est pas uniforme : la norme de la vitesse passe de $\sqrt{3{,}0^{2}+2{,}0^{2}}=3{,}6\ \mathrm{m/s}$ à $\sqrt{3{,}0^{2}+0{,}4^{2}}=3{,}0\ \mathrm{m/s}$, donc elle diminue. Il n'est pas non plus rectiligne : la direction du vecteur vitesse change, puisque sa composante verticale passe de $2{,}0$ à $0{,}4$ alors que l'horizontale reste constante. Les deux questions sont bien indépendantes : uniforme concerne la NORME, rectiligne concerne la DIRECTION, et un mouvement peut parfaitement être l'un sans être l'autre.

a) La contraposée s'énonce : si la somme des forces n'est pas nulle, alors le mouvement n'est ni rectiligne ni uniforme, et réciproquement si le mouvement n'est pas rectiligne uniforme, alors la somme des forces n'est pas nulle. C'est cette seconde formulation qui sert le plus : observer une trajectoire courbe ou une vitesse variable garantit l'existence d'une force résultante non nulle, et permet donc de la chercher.

b) Le palet est soumis à son poids, vertical vers le bas, et à la force pressante du coussin d'air, verticale vers le haut. Le coussin d'air supprimant pratiquement tout frottement, il n'y a pas d'autre force horizontale. Les deux forces verticales se compensent, donc la somme est nulle, ce qui est cohérent avec le mouvement rectiligne uniforme observé.

c) Oui, la somme des forces est bien nulle, et non, cela ne signifie pas que le moteur ne fournit rien. La force motrice transmise par la route aux roues existe bel et bien, mais elle est exactement compensée par les frottements de l'air et de la route. Le bilan nul est celui de la SOMME, pas de chaque force prise isolément. C'est d'ailleurs pourquoi il faut continuer d'appuyer sur l'accélérateur pour maintenir une vitesse constante.

d) Non, elle n'est pas nulle. La vitesse est constante en NORME mais sa DIRECTION change en permanence, puisque la trajectoire est un cercle. Le mouvement n'est donc pas rectiligne, et le principe d'inertie impose une somme des forces non nulle : c'est l'attraction gravitationnelle exercée par la Terre, dirigée vers le centre de l'orbite. Confondre vitesse constante en norme et vecteur vitesse constant est l'erreur la plus fréquente sur cette loi.

e) Parce que la loi est fausse dans un référentiel non galiléen. Dans un train qui freine, un objet posé sur une tablette se met en mouvement vers l'avant alors qu'aucune force horizontale ne s'exerce sur lui : un observateur dans le train conclurait à tort que le principe d'inertie est violé. En réalité c'est le train qui décélère sous lui, et vu du sol, référentiel galiléen, l'objet continue simplement en ligne droite à vitesse constante, conformément à la loi. Le référentiel n'est donc pas un détail de rédaction : c'est la condition de validité de l'énoncé.

a) $F=6{,}67\times 10^{-11}\times\dfrac{5{,}97\times 10^{24}\times 7{,}35\times 10^{22}}{\left(3{,}84\times 10^{8}\right)^{2}}=\dfrac{2{,}93\times 10^{37}}{1{,}47\times 10^{17}}=1{,}98\times 10^{20}\ \mathrm{N}$.

b) Elle a exactement la même norme, $1{,}98\times 10^{20}\ \mathrm{N}$, en vertu de la troisième loi de Newton, dite loi des actions réciproques. La formule le montre d'ailleurs directement : elle est symétrique en $m_{A}$ et $m_{B}$. Le fait que la Terre soit 81 fois plus massive ne change rien à la force ; il change en revanche l'accélération que chacune subit.

c) Les deux forces ont même norme, même direction, celle de la droite joignant les centres des deux astres, et des sens opposés : chacune pointe vers l'autre corps, puisque la gravitation est toujours attractive. Elles s'appliquent en des points différents, les centres respectifs, ce qui est essentiel : elles ne se compensent donc pas, n'agissant pas sur le même système.

d) $g=\dfrac{6{,}67\times 10^{-11}\times 5{,}97\times 10^{24}}{\left(6{,}37\times 10^{6}\right)^{2}}=\dfrac{3{,}98\times 10^{14}}{4{,}06\times 10^{13}}=9{,}81\ \mathrm{m/s^{2}}$, ce qui est bien la valeur usuelle.

e) La force gravitationnelle exercée par la Terre sur un corps de masse $m$ posé à sa surface vaut $F=G\dfrac{M_{T}m}{R_{T}^{2}}=m\times\dfrac{GM_{T}}{R_{T}^{2}}=mg$. On reconnaît l'expression du poids. Le poids n'est donc pas une force d'une nature particulière : c'est le nom que l'on donne à l'attraction gravitationnelle terrestre, et le champ de pesanteur $g$ n'est que le champ gravitationnel de la Terre évalué à sa surface.

a) $F=8{,}99\times 10^{9}\times\dfrac{2{,}0\times 10^{-6}\times 3{,}0\times 10^{-6}}{0{,}15^{2}}=\dfrac{5{,}39\times 10^{-2}}{2{,}25\times 10^{-2}}=2{,}40\ \mathrm{N}$. Les charges étant de signes opposés, la force est attractive.

b) La force varie comme l'inverse du carré de la distance, donc tripler $d$ divise $F$ par $3^{2}=9$ : elle vaut alors $0{,}266\ \mathrm{N}$.

c) Le produit des charges est multiplié par $2\times 2=4$, donc la force est multipliée par 4 : elle vaut $9{,}59\ \mathrm{N}$.

d) Les deux lois ont la même structure : une constante multipliée par le produit de deux grandeurs caractéristiques des corps, divisé par le carré de la distance. Les deux différences essentielles sont d'abord le SIGNE : la gravitation est toujours attractive car les masses sont toujours positives, alors que la force électrique peut être attractive ou répulsive selon les signes des charges. Ensuite l'INTENSITÉ : la constante $k$ est environ vingt ordres de grandeur au-dessus de $G$ rapportée aux masses en jeu, ce qui rend la force électrique écrasante à l'échelle atomique, comme l'exercice 6 le chiffrera.

e) $E=k\dfrac{\left|q\right|}{r^{2}}=8{,}99\times 10^{9}\times\dfrac{5{,}0\times 10^{-9}}{0{,}10^{2}}=\dfrac{44{,}95}{1{,}0\times 10^{-2}}=4{,}5\times 10^{3}\ \mathrm{V/m}$.

a) L'interaction GRAVITATIONNELLE, de portée infinie, toujours attractive. L'interaction ÉLECTROMAGNÉTIQUE, également de portée infinie, attractive ou répulsive. L'interaction FORTE, de portée très courte, de l'ordre du femtomètre, soit la taille d'un noyau. L'interaction FAIBLE, de portée plus courte encore, responsable de certaines désintégrations radioactives.

b) Les interactions forte et électromagnétique. Dans un noyau, les protons se repoussent violemment par répulsion électrostatique, puisqu'ils sont tous positifs et extrêmement proches. C'est l'interaction forte, attractive et bien plus intense à courte distance, qui les maintient assemblés. Le conflit est un rapport de portées : l'interaction forte cesse d'agir au-delà de quelques femtomètres alors que la répulsion électrique, elle, continue. C'est pourquoi les noyaux trop gros deviennent instables, la répulsion finissant par l'emporter, et pourquoi il n'existe pas d'élément stable au-delà du plomb.

c) Le champ de gravitation vaut $\mathcal{G}=\dfrac{GM}{r^{2}}$, dirigé vers le corps qui le crée, et il est tel que la force subie par une masse $m$ vaut $\vec{F}=m\vec{\mathcal{G}}$. Le champ électrostatique vaut $E=\dfrac{k\left|q\right|}{r^{2}}$, et la force subie par une charge $q'$ vaut $\vec{F}=q'\vec{E}$. Dans les deux cas, le champ décrit la propriété de l'espace indépendamment du corps qu'on y placera.

d) Pour une charge positive isolée, les lignes de champ sont des demi-droites radiales orientées vers l'extérieur, la charge étant une source : un autre corps positif y serait repoussé. Pour une charge négative, elles sont radiales mais orientées vers la charge, qui se comporte comme un puits. On retiendra que le champ électrique sort du positif et entre dans le négatif.

e) Un champ est uniforme lorsque son vecteur a la même direction, le même sens et la même norme en tout point de la région considérée ; ses lignes de champ sont alors des droites parallèles régulièrement espacées. Le champ entre les deux armatures planes d'un condensateur en est l'exemple type, de même que le champ de pesanteur à l'échelle d'une salle de classe. Un champ non uniforme varie d'un point à l'autre : c'est le cas du champ d'une charge ponctuelle, qui décroît en $\dfrac{1}{r^{2}}$, ou du champ de pesanteur à l'échelle de la Terre entière, dont la direction change avec la latitude.

a) $F_{e}=k\dfrac{e^{2}}{r^{2}}=8{,}99\times 10^{9}\times\dfrac{\left(1{,}602\times 10^{-19}\right)^{2}}{\left(5{,}3\times 10^{-11}\right)^{2}}=\dfrac{2{,}31\times 10^{-28}}{2{,}81\times 10^{-21}}=8{,}21\times 10^{-8}\ \mathrm{N}$. Les charges étant de signes opposés, la force est attractive.

b) $F_{g}=G\dfrac{m_{p}m_{e}}{r^{2}}=6{,}67\times 10^{-11}\times\dfrac{1{,}673\times 10^{-27}\times 9{,}109\times 10^{-31}}{2{,}81\times 10^{-21}}=3{,}62\times 10^{-47}\ \mathrm{N}$.

c) $\dfrac{F_{e}}{F_{g}}=\dfrac{8{,}21\times 10^{-8}}{3{,}62\times 10^{-47}}=2{,}3\times 10^{39}$.

d) On peut négliger complètement la gravitation. Le rapport vaut $10^{39}$, un nombre sans équivalent en physique : la force gravitationnelle est plus petite que l'incertitude sur n'importe quelle mesure de la force électrique, de très loin. Toute la structure des atomes, des molécules et donc de la chimie entière est gouvernée par la seule interaction électromagnétique.

e) Parce que la matière ordinaire est électriquement NEUTRE. Les charges positives et négatives y sont présentes en nombres égaux, et leurs effets se compensent presque parfaitement à grande distance : la Terre et le Soleil, bien que constitués d'un nombre colossal de charges, n'exercent l'un sur l'autre pratiquement aucune force électrique. La masse, elle, ne se compense jamais puisqu'il n'existe pas de masse négative : toutes les contributions s'additionnent. Une interaction faible mais qui s'accumule finit donc par dominer une interaction intense mais qui s'annule. C'est la neutralité de la matière, et non l'intensité des interactions, qui décide de laquelle gouverne à chaque échelle.

a) Sur la figure, $\Delta\vec{v}$ joint l'extrémité de $\vec{v_{1}}$ à celle de $\vec{v_{2}}$. Comme les deux vecteurs ont la même composante horizontale, ce segment est vertical, dirigé vers le bas. Ses coordonnées sont $\left(0\ ;\ -1{,}6\right)\ \mathrm{m/s}$.

b) $\vec{a}=\dfrac{\Delta\vec{v}}{\tau}=\left(\dfrac{0}{0{,}16}\ ;\ \dfrac{-1{,}6}{0{,}16}\right)=\left(0\ ;\ -10\right)\ \mathrm{m/s^{2}}$, de norme $10\ \mathrm{m/s^{2}}$, verticale vers le bas.

c) $\vec{F}=m\vec{a}=0{,}15\times\left(0\ ;\ -10\right)=\left(0\ ;\ -1{,}5\right)\ \mathrm{N}$, soit une force de $1{,}5\ \mathrm{N}$ dirigée verticalement vers le bas.

d) Le poids vaut $P=mg=0{,}15\times 9{,}81=1{,}47\ \mathrm{N}$, également vertical vers le bas. La force trouvée, $1{,}5\ \mathrm{N}$, lui est égale à moins de 2 pour cent près, écart parfaitement compatible avec la précision d'un pointage. On en conclut que le poids est la seule force notable : les frottements de l'air sont négligeables à cette vitesse pour cet objet. C'est d'ailleurs cohérent avec la composante horizontale de la vitesse, qui reste rigoureusement constante à $3{,}0\ \mathrm{m/s}$ : une force de frottement l'aurait freinée.

e) En chute libre, la seule force est le poids, donc $\vec{a}=\vec{g}$ et $\Delta\vec{v}=\vec{g}\tau=\left(0\ ;\ -9{,}81\times 0{,}16\right)=\left(0\ ;\ -1{,}57\right)\ \mathrm{m/s}$, ce qui est bien ce que l'on observe. La composante horizontale ne serait pas modifiée : le poids étant vertical, il n'a aucune composante horizontale et ne peut donc rien changer au mouvement horizontal. C'est exactement l'indépendance des deux mouvements, qui fait qu'une balle lancée horizontalement et une balle lâchée sans vitesse touchent le sol en même temps.

a) $g(h)=\dfrac{GM_{T}}{\left(R_{T}+h\right)^{2}}=\dfrac{6{,}67\times 10^{-11}\times 5{,}97\times 10^{24}}{\left(6{,}37\times 10^{6}+4{,}00\times 10^{5}\right)^{2}}=\dfrac{3{,}98\times 10^{14}}{4{,}58\times 10^{13}}=8{,}69\ \mathrm{m/s^{2}}$.

b) $\dfrac{g(h)}{g_{0}}=\dfrac{8{,}69}{9{,}81}=0{,}885$, soit $88{,}5$ pour cent. La gravité terrestre est donc encore présente à près de 90 pour cent à cette altitude : elle n'a pratiquement pas diminué.

c) Parce que la Station ET les astronautes sont tous deux en chute libre autour de la Terre. Ils tombent en permanence vers le centre de la Terre, avec exactement la même accélération $8{,}69\ \mathrm{m/s^{2}}$, mais leur vitesse horizontale est telle qu'ils manquent la Terre indéfiniment : c'est cela, une orbite. Comme l'astronaute et le plancher tombent ensemble, le plancher n'exerce plus aucune force sur lui, et c'est cette absence de réaction du support, et non l'absence de gravité, qui donne la sensation de flotter. On observerait la même chose pendant la chute d'un ascenseur.

d) On cherche $h$ tel que $\dfrac{GM_{T}}{\left(R_{T}+h\right)^{2}}=\dfrac{1}{2}\dfrac{GM_{T}}{R_{T}^{2}}$, ce qui donne $\left(R_{T}+h\right)^{2}=2R_{T}^{2}$, soit $R_{T}+h=R_{T}\sqrt{2}$ et $h=R_{T}\left(\sqrt{2}-1\right)=6{,}37\times 10^{6}\times 0{,}414=2{,}64\times 10^{6}\ \mathrm{m}$, soit environ $2\,640\ \mathrm{km}$. Il faut donc monter plus de six fois plus haut que la Station pour seulement diviser la pesanteur par deux.

e) $P=mg(h)=75\times 8{,}69=652\ \mathrm{N}$, contre $736\ \mathrm{N}$ au sol. L'astronaute pèse donc toujours près de $90$ pour cent de son poids terrestre. Le mot apesanteur est donc trompeur : il décrit une SENSATION, celle de ne plus être soutenu, et non une réalité physique. Le terme exact serait impesanteur, ou mieux, chute libre. C'est d'ailleurs pour cela que l'on parle de microgravité dans les publications scientifiques.

a) Faux. Le principe d'inertie exige que le VECTEUR vitesse soit constant, donc à la fois sa norme ET sa direction. Un satellite en orbite circulaire garde une vitesse constante en norme mais tourne en permanence : son vecteur vitesse change de direction à chaque instant, donc la somme des forces n'est pas nulle. C'est justement l'attraction terrestre qui courbe sa trajectoire. Uniforme et rectiligne sont deux conditions distinctes, et il faut les deux.

b) Faux, les deux forces ont rigoureusement la même norme, $1{,}98\times 10^{20}\ \mathrm{N}$ comme calculé à l'exercice 3. C'est la troisième loi de Newton, et la formule $F=G\dfrac{m_{A}m_{B}}{d^{2}}$ le montre immédiatement puisqu'elle est symétrique. Ce qui diffère, c'est l'ACCÉLÉRATION que chacun subit : à force égale, $a=\dfrac{F}{m}$ est 81 fois plus petite pour la Terre que pour la Lune. C'est pourquoi on dit que la Lune tourne autour de la Terre, alors qu'en toute rigueur les deux tournent autour de leur centre de masse commun.

c) Faux, et le calcul de l'exercice 8 le réfute : à $400\ \mathrm{km}$, la pesanteur vaut encore $8{,}69\ \mathrm{m/s^{2}}$, soit $88{,}5$ pour cent de sa valeur au sol. Il faudrait monter à $2\,640\ \mathrm{km}$ pour seulement la diviser par deux. Les astronautes flottent parce qu'ils sont en chute libre en même temps que leur vaisseau : rien ne les soutient, donc ils ne ressentent aucune réaction de support. La gravité, elle, est bien là, et c'est même elle qui les maintient en orbite.

d) Faux, et pourtant la prémisse est exacte : le rapport calculé à l'exercice 6 vaut $2{,}3\times 10^{39}$ en faveur de l'électromagnétisme. L'erreur est d'oublier que la matière astronomique est électriquement NEUTRE. Les charges positives et négatives s'y compensent presque parfaitement, si bien que la force électrique résultante entre deux astres est négligeable. Les masses, elles, s'additionnent toujours sans jamais se compenser, faute de masse négative. À grande échelle, c'est donc la gravitation qui l'emporte, non par intensité mais par accumulation.

a) Trois forces : le poids $\vec{P}$, vertical vers le bas, de norme $mg$ ; la force électrique $\vec{F}=q\vec{E}$, horizontale, de norme $qE$ et dirigée dans le sens de $\vec{E}$ puisque la charge est positive ; et la tension $\vec{T}$ du fil, dirigée selon le fil vers le point d'attache.

b) La sphère étant immobile, la somme des trois forces est nulle. En projetant sur l'horizontale : $T\sin\alpha-qE=0$. En projetant sur la verticale : $T\cos\alpha-mg=0$.

c) En divisant membre à membre la première équation par la seconde, la tension inconnue disparaît : $\dfrac{T\sin\alpha}{T\cos\alpha}=\dfrac{qE}{mg}$, soit $\tan\alpha=\dfrac{qE}{mg}$. On en tire $E=\dfrac{mg\tan\alpha}{q}=\dfrac{2{,}0\times 10^{-3}\times 9{,}81\times\tan 20^{\circ}}{5{,}0\times 10^{-6}}=\dfrac{7{,}14\times 10^{-3}}{5{,}0\times 10^{-6}}=1{,}4\times 10^{3}\ \mathrm{V/m}$.

d) De la projection verticale, $T=\dfrac{mg}{\cos\alpha}=\dfrac{1{,}962\times 10^{-2}}{\cos 20^{\circ}}=\dfrac{1{,}962\times 10^{-2}}{0{,}940}=2{,}09\times 10^{-2}\ \mathrm{N}$. On vérifie que $T>mg$, ce qui est attendu : le fil doit soutenir le poids ET s'opposer à la force électrique.

e) L'angle ne change pas. La relation $\tan\alpha=\dfrac{qE}{mg}$ ne dépend que du RAPPORT de la charge à la masse. En doublant les deux, ce rapport est inchangé, donc $\tan\alpha$ aussi, et l'angle reste $20^{\circ}$. Seule la tension du fil double, puisqu'elle vaut $\dfrac{mg}{\cos\alpha}$. C'est le même principe que pour la chute libre, où l'accélération ne dépend pas de la masse : dès qu'une force est proportionnelle à la grandeur qui mesure aussi l'inertie ou le poids, cette grandeur se simplifie.