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Spécialité physique-chimie, Terminale • Exercices corrigés à Montréal

Fiche de révision : les oscillateurs mécaniques (Terminale spécialité)

Un oscillateur harmonique se résume à une équation différentielle et à une pulsation propre. Le calcul est court, les formules tiennent en deux lignes, et pourtant c'est un chapitre qui se perd. La raison est presque toujours la même : les dépendances sont en racine carrée ou au carré, et l'intuition, elle, est linéaire.

Cette fiche liste les huit erreurs qui coûtent des points, avec la phrase exacte qui les remet, l'arbre des formules selon l'oscillateur étudié, la lecture des trois régimes d'amortissement, et une mesure de l'intensité de pesanteur au pendule décortiquée ligne par ligne.

Le fil du chapitre

La période d'un oscillateur ne dépend QUE du système, jamais de la façon dont on l'a lancé : c'est l'isochronisme. Et elle dépend des paramètres par une RACINE CARRÉE, ce qui fait que doubler la masse ne double pas la période.

Ce chapitre fait partie de Spécialité physique-chimie en Terminale

Avant ce chapitre

Cette fiche suppose ces notions acquises. Si une méthode ci-dessous reste opaque, c'est presque toujours l'une d'elles qui manque, pas la fiche.

Remonter plus loin : la chaîne complète (18 chapitres) ↓

Le chemin de remédiation, du plus ancien au plus proche. Un élève qui reprend ce chapitre de zéro le reprend dans cet ordre.

  1. 1Vecteurs et géométrie repéréeSeconde, Mathématiques
  2. 2Configurations et trigonométrieSeconde, Mathématiques
  3. 3Généralités sur les fonctionsSeconde, Mathématiques
  4. 4Fonctions affines et systèmesSeconde, Mathématiques
  5. 5Mouvement et interactionsSeconde
  6. 6La dérivationPremière, Mathématiques
  7. 7La trigonométriePremière, Mathématiques
  8. 8Mouvement, Newton et champsPremière
  9. 9Mouvement dans un champ uniforme
  10. 10Pythagore et cosinusQuatrième, Mathématiques
  11. 11Translations, symétries et rotationsQuatrième, Mathématiques
  12. 12Thalès et les agrandissementsQuatrième, Mathématiques
  13. 13La notion de fonctionTroisième, Mathématiques
  14. 14Les fonctions affinesTroisième, Mathématiques
  15. 15Trigonométrie : sinus et cosinusTroisième, Mathématiques
  16. 16Thalès, réciproque et agrandissementsTroisième, Mathématiques
  17. 17Équations, équations produit et inéquationsTroisième, Mathématiques
  18. 18Poids, gravitation et signauxTroisième

L'essentiel

L'isochronisme : la période ne dépend pas de l'amplitude

  • • Un oscillateur harmonique vérifie x¨+ω02x=0\ddot{x}+\omega_{0}^{2}x=0, dont les solutions sont x(t)=Xmcos⁡(ω0t+φ)x(t)=X_{m}\cos\left(\omega_{0}t+\varphi\right).
  • • ω0\omega_{0} ne dépend QUE du système : ω0=km\omega_{0}=\sqrt{\frac{k}{m}} pour un bloc-ressort, ω0=gL\omega_{0}=\sqrt{\frac{g}{L}} pour un pendule simple.
  • • L'amplitude XmX_{m} et la phase φ\varphi viennent des CONDITIONS INITIALES, c'est-à-dire de la façon dont on a lancé l'oscillateur.
  • • Conséquence : deux lancements d'amplitudes différentes donnent exactement la même période. C'est l'isochronisme, et c'est ce qui a permis de fabriquer des horloges.
24681012-1.5-1-0.50.511.5meme periode
Deux amplitudes dans un rapport de 2,52{,}5, et pourtant les deux courbes s'annulent et culminent aux MÊMES instants. C'est l'isochronisme : l'amplitude ne change pas la période.

L'isochronisme du pendule simple n'est vrai que pour de PETITES oscillations, en pratique en dessous de 15∘15^{\circ}. Au-delà, la période augmente avec l'amplitude et la formule du cours ne s'applique plus.

Les deux oscillateurs du programme, et ce dont ils dépendent

  • • Bloc-ressort horizontal : x¨+kmx=0\ddot{x}+\frac{k}{m}x=0, donc ω0=km\omega_{0}=\sqrt{\frac{k}{m}} et T0=2πmkT_{0}=2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}. La période DÉPEND de la masse.
  • • Pendule simple : T0=2πLgT_{0}=2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}, INDÉPENDANT de la masse, et valable seulement aux petites oscillations.
  • • Dans les deux cas, la dépendance est en RACINE CARRÉE : quadrupler la masse ou la longueur double la période, la doubler la multiplie seulement par 2≈1,41\sqrt{2}\approx 1{,}41.
  • • Pulsation, période et fréquence : ω0=2πT0=2πf0\omega_{0}=\frac{2\pi}{T_{0}}=2\pi f_{0}. La pulsation s'exprime en radians par seconde, la fréquence en hertz.

Le pendule simple est le seul oscillateur du programme dont la période ne dépend pas de la masse : c'est exactement la même raison que la chute libre, le poids étant proportionnel à la masse.

L'énergie oscille deux fois plus vite que la position

  • • Sans frottement, l'énergie mécanique est constante : Em=12kXm2E_{m}=\frac{1}{2}kX_{m}^{2} pour un bloc-ressort, et vmax⁡=ω0Xmv_{\max}=\omega_{0}X_{m}.
  • • EpE_{p} et EcE_{c} échangent en permanence : l'une est maximale quand l'autre est nulle, aux instants où l'oscillateur passe aux extrémités ou par la position d'équilibre.
  • • Comme Ep∝x2E_{p}\propto x^{2} et Ec∝v2E_{c}\propto v^{2}, les deux énergies varient en cos⁡2\cos^{2} et sin⁡2\sin^{2} : elles oscillent à la fréquence DOUBLE de celle de la position.
  • • L'énergie varie comme le CARRÉ de l'amplitude : une amplitude réduite aux 58\frac{5}{8} laisse (58)2≈39 %\left(\frac{5}{8}\right)^{2}\approx 39\ \% de l'énergie.

Les trois régimes d'un oscillateur amorti

  • • Amortissement faible : régime PSEUDO-PÉRIODIQUE. L'oscillateur oscille encore en passant plusieurs fois par l'équilibre, avec une amplitude qui décroît.
  • • Amortissement fort : régime APÉRIODIQUE. L'oscillateur revient à l'équilibre sans jamais le dépasser, mais lentement.
  • • Cas frontière : régime CRITIQUE. C'est le retour à l'équilibre le PLUS RAPIDE sans aucun dépassement, d'où son usage dans les suspensions et les portes automatiques.
  • • La pseudo-période est légèrement supérieure à la période propre, et l'énergie mécanique décroît, transférée au milieu par les frottements.

Un amortisseur de voiture usé passe du régime critique au régime pseudo-périodique : la voiture rebondit après une bosse. C'est l'exemple que les sujets utilisent le plus souvent.

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Rendre la période proportionnelle à la masse

1 à 2 points, et un facteur $1{,}4$ d'erreur sur toute la suite

Ce qu'il ne faut pas écrire

« On double la masse accrochée au ressort, donc la période double. »

Ce qu'il faut écrire

« T0=2πmkT_{0}=2\pi\sqrt{\frac{m}{k}} : la période varie comme la RACINE CARRÉE de la masse. La doubler multiplie donc la période par 2≈1,41\sqrt{2}\approx 1{,}41; il faut la QUADRUPLER pour doubler la période. »

12341234T varie en racine de mproportionnel : faux
En doublant la masse, la droite pointillée monterait à 22 alors que la vraie période monte à 1,411{,}41. Les deux points superposés en abscisse 22 montrent l'écart entre l'intuition et la formule.

Pourquoi : La racine carrée écrase les variations : c'est ce qui rend les horloges à pendule stables malgré les petites variations de longueur, et c'est aussi ce qui trompe l'intuition, toujours linéaire.

2. Faire dépendre la période d'un pendule simple de sa masse

1 point, et une confusion avec le bloc-ressort

Ce qu'il ne faut pas écrire

« On remplace la bille par une bille deux fois plus lourde : la période augmente. »

Ce qu'il faut écrire

« T0=2πLgT_{0}=2\pi\sqrt{\frac{L}{g}} : la période d'un pendule simple ne dépend QUE de sa longueur et de l'intensité de pesanteur. Changer la masse ne change rien. »

Pourquoi : Le poids, moteur du mouvement, est proportionnel à la masse, exactement comme l'inertie qui s'y oppose : les deux se compensent. C'est le même mécanisme que pour la chute libre, où tous les corps tombent identiquement.

3. Croire que la période dépend de l'amplitude

1 point, et l'intérêt même du pendule d'horloge est manqué

Ce qu'il ne faut pas écrire

« On lance le pendule avec une plus grande amplitude, il met donc plus de temps à revenir. »

Ce qu'il faut écrire

« La période propre ne dépend que du système, pas des conditions initiales : c'est l'isochronisme. Une plus grande amplitude donne une plus grande vitesse maximale, mais la même durée d'aller-retour, tant que les oscillations restent petites. »

Pourquoi : Une plus grande amplitude allonge le trajet ET augmente la vitesse dans exactement la même proportion : les deux effets se compensent. C'est ce qui a permis à Huygens de fabriquer la première horloge précise.

4. Faire osciller les énergies à la même fréquence que la position

1 à 2 points, et le graphique demandé est faux

Ce qu'il ne faut pas écrire

« EpE_{p} oscille comme xx, donc à la même fréquence que le mouvement. »

Ce qu'il faut écrire

« Ep=12kx2E_{p}=\frac{1}{2}kx^{2} varie comme le CARRÉ de xx, donc en cos⁡2\cos^{2} : elle passe deux fois par son maximum et deux fois par zéro à chaque période du mouvement. Sa fréquence est DOUBLE. »

24681012-1.5-1-0.50.511.5x(t)Ep : frequence double
La position passe une fois par période à chaque extrémité; l'énergie potentielle, elle, culmine aux deux. Elle reste toujours positive et bat deux fois plus vite.

Pourquoi : L'énergie potentielle est maximale aux DEUX extrémités du mouvement, à droite comme à gauche, alors que la position n'y passe qu'une fois chacune. Élever au carré supprime le signe et double le nombre de maximums.

5. Rendre l'énergie proportionnelle à l'amplitude

1 point, et un pourcentage faux de plus de vingt points

Ce qu'il ne faut pas écrire

« L'amplitude est tombée aux 58\frac{5}{8} de sa valeur initiale, donc il reste 62,5 %62{,}5\ \% de l'énergie. »

Ce qu'il faut écrire

« Em=12kXm2E_{m}=\frac{1}{2}kX_{m}^{2} varie comme le CARRÉ de l'amplitude : il reste (58)2=2564≈39 %\left(\frac{5}{8}\right)^{2}=\frac{25}{64}\approx 39\ \% de l'énergie initiale. »

Pourquoi : Toutes les énergies mécaniques sont quadratiques : en x2x^{2} pour un ressort, en v2v^{2} pour la cinétique. Une perte d'amplitude modeste correspond donc à une perte d'énergie beaucoup plus grande.

6. Confondre la pulsation et la fréquence

1 point, et un facteur $2\pi$ sur tous les résultats

Ce qu'il ne faut pas écrire

« ω0=5 rad⋅s−1\omega_{0}=5\ \mathrm{rad\cdot s^{-1}}, donc la fréquence vaut 5 Hz5\ \mathrm{Hz} et la période 0,2 s0{,}2\ \mathrm{s}. »

Ce qu'il faut écrire

« ω0=2πf0\omega_{0}=2\pi f_{0}, donc f0=52π≈0,80 Hzf_{0}=\frac{5}{2\pi}\approx 0{,}80\ \mathrm{Hz} et T0=2π5≈1,26 sT_{0}=\frac{2\pi}{5}\approx 1{,}26\ \mathrm{s}. »

Pourquoi : La pulsation compte des radians par seconde, la fréquence des tours par seconde. Un tour vaut 2π2\pi radians, d'où le facteur. Les unités de l'énoncé sont le seul indice, et elles sont souvent le seul point de contrôle.

7. Croire que le régime critique est le plus lent

1 point, et l'interprétation technologique est inversée

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Le régime critique est le plus amorti, donc c'est le retour le plus lent à l'équilibre. »

Ce qu'il faut écrire

« Le régime critique est le retour le PLUS RAPIDE à l'équilibre sans dépassement. Un amortissement plus fort donne un régime apériodique, plus lent; un amortissement plus faible donne des oscillations qui traversent l'équilibre. »

12345678910-0.4-0.20.20.40.60.811.2pseudo-periodiquecritique
La courbe critique rejoint l'équilibre sans jamais le traverser et y reste; l'autre repasse encore et encore de part et d'autre. C'est la seule qui ne descend jamais sous l'axe.

Pourquoi : C'est précisément parce qu'il est le plus rapide sans rebond qu'on le recherche dans les amortisseurs de voiture, les portes automatiques et les balances. Aller plus loin dans l'amortissement ralentit le retour.

8. Appliquer la formule du pendule à de grandes oscillations

1 point, celui du domaine de validité

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Le pendule est lancé avec une amplitude de 60∘60^{\circ} : sa période vaut 2πLg2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}. »

Ce qu'il faut écrire

« La formule T0=2πLgT_{0}=2\pi\sqrt{\frac{L}{g}} suppose l'approximation sin⁡θ≈θ\sin\theta\approx\theta, valable pour de PETITES oscillations, en pratique sous 15∘15^{\circ}. À 60∘60^{\circ}, la période réelle est environ 7 %7\ \% plus longue. »

Pourquoi : L'équation différentielle exacte contient sin⁡θ\sin\theta, qui n'est pas linéaire : ce n'est un oscillateur harmonique qu'en approximation. L'énoncé précise presque toujours « petites oscillations », et cette mention doit être reprise sur la copie.

9. Confondre l'énergie mécanique et l'énergie potentielle maximale d'un pendule

toute la question d'énergie, avec un résultat des dizaines de fois trop grand

Ce qu'il ne faut pas écrire

« L'énergie mécanique du pendule vaut mgLmgL. »

Ce qu'il faut écrire

« La hauteur dont s'élève la masse n'est pas LL mais L(1−cos⁡θm)L(1-\cos\theta_{m}), donc Em=mgL(1−cos⁡θm)E_{m}=mgL\left(1-\cos\theta_{m}\right). Pour θm=10∘\theta_{m}=10^{\circ}, ce facteur vaut 0,0150{,}015, soit soixante fois moins. »

Pourquoi : La masse ne monte pas de toute la longueur du fil : elle décrit un arc et ne s'élève que de la différence entre la longueur et sa projection verticale. C'est un calcul de géométrie, pas de physique, et c'est là qu'il se perd.

Quelle méthode choisir

Quelle formule selon l'oscillateur étudié

On identifie d'abord le système, puis on écrit la pulsation propre qui lui correspond. Tout le reste en découle.

  • Si un solide accroché à un ressort de raideur kk → ω0=km\omega_{0}=\sqrt{\frac{k}{m}} et T0=2πmkT_{0}=2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}; la période dépend de la masse

    Exemple : m=0,50 kgm=0{,}50\ \mathrm{kg} et k=20 N⋅m−1k=20\ \mathrm{N\cdot m^{-1}} donnent T0≈0,99 sT_{0}\approx 0{,}99\ \mathrm{s}

  • Si une masse au bout d'un fil de longueur LL, oscillations petites → ω0=gL\omega_{0}=\sqrt{\frac{g}{L}} et T0=2πLgT_{0}=2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}; la masse n'intervient PAS

    Exemple : L=1,00 mL=1{,}00\ \mathrm{m} donne T0≈2,01 sT_{0}\approx 2{,}01\ \mathrm{s}

  • Si l'énoncé donne la pulsation et demande la période ou la fréquence → T0=2πω0T_{0}=\frac{2\pi}{\omega_{0}} et f0=ω02πf_{0}=\frac{\omega_{0}}{2\pi}, sans jamais oublier le 2π2\pi

  • Si l'énoncé demande la vitesse maximale → vmax⁡=ω0Xmv_{\max}=\omega_{0}X_{m}, ou l'énergie : 12mvmax⁡2=12kXm2\frac{1}{2}mv_{\max}^{2}=\frac{1}{2}kX_{m}^{2}

  • Si l'énoncé demande l'amplitude ou la phase → conditions initiales : la position et la vitesse à t=0t=0 donnent deux équations et deux inconnues

    Un lâcher sans vitesse initiale donne toujours φ=0\varphi=0 et Xm=x(0)X_{m}=x(0), ce qui est le cas de presque tous les sujets.

  • Si l'énoncé demande de MESURER kk, LL ou gg → isoler la grandeur dans la formule de période, puis mesurer T0T_{0} sur un grand nombre d'oscillations

    Exemple : g=4π2LT02g=\frac{4\pi^{2}L}{T_{0}^{2}}

Toutes ces formules sortent de la même équation x¨+ω02x=0\ddot{x}+\omega_{0}^{2}x=0 : ce qui change d'un oscillateur à l'autre, c'est uniquement l'expression de ω02\omega_{0}^{2}, obtenue en établissant l'équation différentielle.

Quel régime d'amortissement, et comment le reconnaître

On regarde le graphique fourni, ou la description de l'énoncé : combien de fois le mobile traverse-t-il sa position d'équilibre ?

  • Si le mobile traverse plusieurs fois l'équilibre, avec une amplitude décroissante → régime pseudo-périodique, amortissement faible; on peut mesurer la pseudo-période entre deux maximums consécutifs

  • Si le mobile revient à l'équilibre sans jamais le dépasser, lentement → régime apériodique, amortissement fort

  • Si le mobile revient à l'équilibre sans dépassement, mais le plus vite possible → régime critique, le cas frontière entre les deux précédents

    Exemple : un amortisseur de voiture neuf, une porte à fermeture douce

  • Si l'énoncé demande l'énergie perdue entre deux passages → calculer 12kX12−12kX22\frac{1}{2}kX_{1}^{2}-\frac{1}{2}kX_{2}^{2} à partir des DEUX amplitudes lues sur le graphique

    L'énergie perdue est transférée au milieu extérieur sous forme thermique : c'est la phrase de conclusion attendue.

  • Si l'énoncé compare la pseudo-période à la période propre → la pseudo-période est légèrement SUPÉRIEURE, et l'écart est d'autant plus grand que l'amortissement est fort

Sur un graphique, le régime critique et le régime apériodique se ressemblent : ils ne se distinguent que par la rapidité du retour. L'énoncé le précise, ou fournit les deux courbes à comparer.

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Établir l'équation différentielle d'un oscillateur

Quand l'utiliser : La première question de tout exercice d'oscillateur, et celle qui porte le plus de points.

  1. 1 Définir le système, le référentiel et l'axe d'étude, en précisant l'ORIGINE à la position d'équilibre.
  2. 2 Faire le bilan des forces et dire lesquelles se compensent : « le poids et la réaction du support se compensent, il ne reste que la force de rappel du ressort ».
  3. 3 Écrire la force de rappel avec son signe : F=−kxF=-kx, le signe moins traduisant qu'elle ramène vers l'équilibre.
  4. 4 Appliquer la deuxième loi de Newton et projeter : −kx=mx¨-kx=m\ddot{x}.
  5. 5 Mettre sous forme CANONIQUE, c'est-à-dire x¨+kmx=0\ddot{x}+\frac{k}{m}x=0, avec le coefficient de x¨\ddot{x} égal à 11.
  6. 6 IDENTIFIER ω02\omega_{0}^{2} au coefficient de xx, puis en déduire la période.

Phrase de conclusion

La deuxième loi de Newton projetée sur l'axe donne −kx=mx¨-kx=m\ddot{x}, soit x¨+kmx=0\ddot{x}+\frac{k}{m}x=0 : par identification avec x¨+ω02x=0\ddot{x}+\omega_{0}^{2}x=0, on obtient ω0=km\omega_{0}=\sqrt{\frac{k}{m}} et T0=2πmkT_{0}=2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}.

Le piège : Oublier de diviser par mm avant d'identifier. Une équation laissée sous la forme mx¨+kx=0m\ddot{x}+kx=0 n'est pas canonique, et l'identification donne alors ω02=k\omega_{0}^{2}=k, ce qui n'est même pas homogène.

Barème : 0,5 point pour le système et l'axe, 1 point pour le bilan des forces, 1 point pour la loi de Newton projetée, 1 point pour la forme canonique et l'identification.

Mesurer une grandeur à partir d'une période

Quand l'utiliser : Le protocole expérimental du chapitre : mesurer gg avec un pendule, ou la raideur d'un ressort avec un bloc.

  1. 1 Écrire la formule de période et ISOLER la grandeur cherchée : g=4π2LT02g=\frac{4\pi^{2}L}{T_{0}^{2}}.
  2. 2 Expliquer le protocole de mesure : chronométrer NN oscillations complètes, avec NN de l'ordre de vingt.
  3. 3 Justifier ce choix : l'incertitude sur le déclenchement du chronomètre est divisée par NN, ce qui améliore d'autant la précision sur T0T_{0}.
  4. 4 Calculer T0=ΔtNT_{0}=\frac{\Delta t}{N}, avec l'unité.
  5. 5 Appliquer la formule numériquement, en respectant les chiffres significatifs des données.
  6. 6 Comparer à la valeur attendue et commenter l'écart relatif.

Phrase de conclusion

Vingt oscillations en 35,9 s35{,}9\ \mathrm{s} donnent T0=1,795 sT_{0}=1{,}795\ \mathrm{s}, d'où g=4π2×0,8001,7952≈9,80 m⋅s−2g=\frac{4\pi^{2}\times 0{,}800}{1{,}795^{2}}\approx 9{,}80\ \mathrm{m\cdot s^{-2}}, en accord avec la valeur attendue à moins de 0,2 %0{,}2\ \% près.

Le piège : Oublier d'élever la période au carré. La formule contient T02T_{0}^{2} au dénominateur, et l'oubli du carré donne un résultat de l'ordre de 1717, absurde pour une intensité de pesanteur.

Barème : 1 point pour l'isolement de la grandeur, 1 point pour le protocole justifié, 1 point pour l'application numérique, 1 point pour la comparaison commentée.

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

L'exercice type décortiqué

Mesurer l'intensité de pesanteur avec un pendule

Un pendule simple est constitué d'une masse de 50 g50\ \mathrm{g} suspendue à un fil inextensible de longueur L=0,800 mL=0{,}800\ \mathrm{m}. On l'écarte de 10∘10^{\circ} et on le lâche sans vitesse initiale. On chronomètre 2020 oscillations complètes : Δt=35,9 s\Delta t=35{,}9\ \mathrm{s}.

1. Rappeler l'expression de la période propre et son domaine de validité. 2. Pourquoi chronométrer vingt oscillations plutôt qu'une ? 3. Calculer l'intensité de pesanteur. 4. Quelle longueur donnerait une période de 1,00 s1{,}00\ \mathrm{s} ? 5. Que deviendrait la période si l'on doublait la masse, puis si l'on doublait la longueur ?

θLmasse m
La configuration de l'énoncé : un fil de longueur LL, un écart angulaire θ\theta par rapport à la verticale, et une masse dont on verra qu'elle n'intervient nulle part dans la période.

Étape 1

T0=2πLgT_{0}=2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}, valable pour de PETITES oscillations, c'est-à-dire lorsque l'approximation sin⁡θ≈θ\sin\theta\approx\theta est acceptable, en pratique pour θm\theta_{m} inférieur à 15∘15^{\circ}. Ici θm=10∘\theta_{m}=10^{\circ}, la formule s'applique.

Pourquoi

Le domaine de validité fait partie de la réponse et vaut un demi-point. Vérifier explicitement que 10∘<15∘10^{\circ}<15^{\circ} est ce que le correcteur cherche, pas la formule seule.

Étape 2

Chronométrer vingt oscillations divise par vingt l'effet de l'incertitude de déclenchement du chronomètre. Si celle-ci vaut 0,2 s0{,}2\ \mathrm{s} sur la durée totale, elle ne vaut plus que 0,01 s0{,}01\ \mathrm{s} sur la période.

Pourquoi

La réponse attendue est quantitative : « pour réduire l'incertitude » ne suffit pas, il faut dire qu'elle est DIVISÉE PAR LE NOMBRE d'oscillations, avec un ordre de grandeur.

Étape 3

T0=Δt20=35,920=1,795 sT_{0}=\frac{\Delta t}{20}=\frac{35{,}9}{20}=1{,}795\ \mathrm{s}.

Pourquoi

On calcule la période AVANT de l'injecter dans la formule. Beaucoup de copies remplacent directement Δt\Delta t dans l'expression de gg, ce qui donne un résultat quatre cents fois trop petit.

Étape 4

De T0=2πLgT_{0}=2\pi\sqrt{\frac{L}{g}} on tire T02=4π2LgT_{0}^{2}=\frac{4\pi^{2}L}{g}, donc g=4π2LT02=4π2×0,8001,7952=31,583,222≈9,80 m⋅s−2g=\frac{4\pi^{2}L}{T_{0}^{2}}=\frac{4\pi^{2}\times 0{,}800}{1{,}795^{2}}=\frac{31{,}58}{3{,}222}\approx 9{,}80\ \mathrm{m\cdot s^{-2}}.

Pourquoi

L'isolement passe par un carré : c'est là que le facteur se perd. Le contrôle est immédiat, une intensité de pesanteur doit tomber près de 9,89{,}8, jamais près de 1717 ni de 0,50{,}5.

Étape 5

Écart relatif avec la valeur attendue 9,81 m⋅s−29{,}81\ \mathrm{m\cdot s^{-2}} : ∣9,80−9,81∣9,81≈0,1 %\frac{|9{,}80-9{,}81|}{9{,}81}\approx 0{,}1\ \%. La mesure est en excellent accord avec la valeur de référence.

Pourquoi

La comparaison chiffrée est une question à part entière du programme. Un écart relatif, pas un écart absolu, et une phrase de conclusion sur la compatibilité.

Étape 6

Pour T0=1,00 sT_{0}=1{,}00\ \mathrm{s} : L=gT024π2=9,81×1,0039,48≈0,248 mL=\frac{gT_{0}^{2}}{4\pi^{2}}=\frac{9{,}81\times 1{,}00}{39{,}48}\approx 0{,}248\ \mathrm{m}, soit environ 25 cm25\ \mathrm{cm}.

Pourquoi

On inverse la même formule dans l'autre sens. Le résultat est cohérent : une période deux fois plus courte demande une longueur quatre fois plus petite, ce qui est bien le cas puisque 0,8000{,}800 divisé par 44 vaut 0,2000{,}200, du même ordre.

Étape 7

Doubler la masse ne change RIEN : la masse n'apparaît pas dans T0=2πLgT_{0}=2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}. Doubler la longueur multiplie la période par 2≈1,41\sqrt{2}\approx 1{,}41, soit T0≈2,54 sT_{0}\approx 2{,}54\ \mathrm{s}.

Pourquoi

Les deux réponses résument le chapitre : une indépendance et une racine carrée. Ce sont exactement les deux pièges les plus fréquents, posés ici côte à côte.

Étape 8

Contrôle : 2π1,6009,81=2π×0,4038≈2,54 s2\pi\sqrt{\frac{1{,}600}{9{,}81}}=2\pi\times 0{,}4038\approx 2{,}54\ \mathrm{s}, et 2,541,795≈1,41\frac{2{,}54}{1{,}795}\approx 1{,}41, bien égal à 2\sqrt{2}.

Pourquoi

Le calcul direct confirme le raisonnement par proportionnalité. Deux méthodes indépendantes qui concordent valident à la fois la formule et son exposant.

Conclusion rédigée

Le pendule de 0,800 m0{,}800\ \mathrm{m} bat en 1,795 s1{,}795\ \mathrm{s}, ce qui donne g≈9,80 m⋅s−2g\approx 9{,}80\ \mathrm{m\cdot s^{-2}}, à 0,1 %0{,}1\ \% de la valeur attendue; une période d'une seconde demanderait un fil de 25 cm25\ \mathrm{cm}, doubler la masse ne changerait rien et doubler la longueur porterait la période à 2,54 s2{,}54\ \mathrm{s}.

L'erreur classique sur cet exercice : Remplacer directement Δt=35,9 s\Delta t=35{,}9\ \mathrm{s} par T0T_{0} dans la formule. On obtient g=31,581288≈0,025 m⋅s−2g=\frac{31{,}58}{1288}\approx 0{,}025\ \mathrm{m\cdot s^{-2}}, une valeur absurde que le contrôle d'ordre de grandeur détecte immédiatement.

À savoir par cœur

  • • Bloc-ressort : T0=2πmkT_{0}=2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}, la masse compte. Pendule simple : T0=2πLgT_{0}=2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}, la masse ne compte PAS.
  • • Toutes les dépendances sont en RACINE CARRÉE : doubler donne 2\sqrt{2}, il faut quadrupler pour doubler.
  • • Isochronisme : la période ne dépend pas de l'amplitude. ω0\omega_{0} vient du système, XmX_{m} et φ\varphi des conditions initiales.
  • • ω0=2πT0=2πf0\omega_{0}=\frac{2\pi}{T_{0}}=2\pi f_{0} : le facteur 2π2\pi ne s'oublie jamais.
  • • Em=12kXm2E_{m}=\frac{1}{2}kX_{m}^{2} et vmax⁡=ω0Xmv_{\max}=\omega_{0}X_{m} : l'énergie varie comme le CARRÉ de l'amplitude.
  • • EpE_{p} et EcE_{c} oscillent à la fréquence DOUBLE de celle de la position, et restent toujours positives.
  • • Le régime CRITIQUE est le retour le plus RAPIDE sans dépassement, d'où les amortisseurs.
  • • Le pendule simple n'est harmonique que pour de petites oscillations, sous 15∘15^{\circ} environ.
  • • Hauteur dont s'élève un pendule : L(1−cos⁡θm)L(1-\cos\theta_{m}), jamais LL.

Questions fréquentes

La période d'un pendule dépend-elle de la masse accrochée ?

Non. La période d'un pendule simple ne dépend que de la longueur du fil et de l'intensité de pesanteur. Le poids, qui met le pendule en mouvement, est proportionnel à la masse, tout comme l'inertie qui s'y oppose : les deux se compensent exactement. Pour un bloc accroché à un ressort, en revanche, la masse intervient bel et bien.

Que se passe-t-il sur la période si on double la masse d'un bloc-ressort ?

Elle est multipliée par la racine carrée de deux, soit environ un virgule quarante et un, et non par deux. La période varie comme la racine carrée de la masse. Pour doubler réellement la période, il faudrait quadrupler la masse. C'est l'erreur la plus fréquente du chapitre, parce que l'intuition est toujours linéaire.

Qu'est-ce que l'isochronisme des oscillations ?

C'est le fait que la période ne dépende pas de l'amplitude du mouvement. Lancer un pendule plus fort augmente sa vitesse maximale et la longueur du trajet dans la même proportion, si bien que la durée de l'aller-retour ne change pas. C'est cette propriété qui a permis de construire les premières horloges précises.

Pourquoi les énergies oscillent-elles deux fois plus vite que la position ?

Parce qu'elles dépendent du carré de la position ou de la vitesse. Élever au carré supprime le signe : l'énergie potentielle est maximale aux deux extrémités du mouvement, à droite comme à gauche, alors que la position n'atteint chacune qu'une fois par période. Il y a donc deux maximums d'énergie par période.

Quelle différence entre le régime critique et le régime apériodique ?

Les deux ramènent le mobile à l'équilibre sans le dépasser, mais le régime critique le fait le plus vite possible. Un amortissement plus fort donne le régime apériodique, plus lent. C'est pour cette raison que les amortisseurs de voiture et les portes à fermeture douce sont réglés au voisinage du régime critique.

Pourquoi chronométrer plusieurs oscillations pour mesurer une période ?

Parce que l'incertitude vient surtout du déclenchement et de l'arrêt du chronomètre, et qu'elle est la même quel que soit le nombre d'oscillations mesurées. En divisant la durée totale par vingt, on divise aussi cette incertitude par vingt sur la période, ce qui améliore beaucoup la précision de la mesure.

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Exercices corrigés : Oscillateurs mécaniques

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

  • 15 exercices corrigés
  • 150 points
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