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Spécialité maths, Terminale • Exercices corrigés à Montréal

Fiche de révision : la convexité (Terminale spécialité)

La convexité tient en une phrase : une fonction est convexe quand sa dérivée seconde est positive, et sa courbe est alors au-dessus de toutes ses tangentes. Le chapitre est court, il tombe presque chaque année au baccalauréat, et il se rate par confusion de vocabulaire beaucoup plus que par erreur de calcul.

Cette fiche liste les huit confusions qui coûtent des points, avec la phrase exacte qui les remet, l'arbre qui dit combien de fois dériver selon la question posée, la méthode des inégalités de convexité, et une étude complète avec point d'inflexion décortiquée ligne par ligne.

Le fil du chapitre

La convexité décrit la COURBURE, pas le sens de variation : elle se lit sur f′′f'', jamais sur f′f'. Et un point d'inflexion n'est pas un point où f′′f'' s'annule, c'est un point où f′′f'' CHANGE DE SIGNE.

Ce chapitre fait partie de Spécialité mathématiques en Terminale

Avant ce chapitre

Cette fiche suppose ces notions acquises. Si une méthode ci-dessous reste opaque, c'est presque toujours l'une d'elles qui manque, pas la fiche.

Remonter plus loin : la chaîne complète (11 chapitres) ↓

Le chemin de remédiation, du plus ancien au plus proche. Un élève qui reprend ce chapitre de zéro le reprend dans cet ordre.

  1. 1Configurations et trigonométrieSeconde
  2. 2Généralités sur les fonctionsSeconde
  3. 3Fonctions affines et systèmesSeconde
  4. 4La dérivationPremière
  5. 5La trigonométriePremière
  6. 6Dérivation et trigonométrie
  7. 7La notion de fonctionTroisième
  8. 8Les fonctions affinesTroisième
  9. 9Trigonométrie : sinus et cosinusTroisième
  10. 10Thalès, réciproque et agrandissementsTroisième
  11. 11Équations, équations produit et inéquationsTroisième

L'essentiel

Convexe, c'est une courbure, pas un sens de variation

  • • ff est CONVEXE sur II lorsque f′′≥0f''\ge 0 sur II; elle est CONCAVE lorsque f′′≤0f''\le 0.
  • • Une fonction convexe a sa courbe AU-DESSUS de chacune de ses tangentes. Une fonction concave a sa courbe EN DESSOUS.
  • • Autre formulation, équivalente : ff est convexe si et seulement si f′f' est CROISSANTE. La pente augmente, la courbe se redresse.
  • • Convexité et croissance sont indépendantes : e−x\mathrm{e}^{-x} est convexe et décroissante, x\sqrt{x} est concave et croissante.
-3-2-1123-2-11234567courbe convexe
Deux tangentes à la même parabole, deux points de contact, et dans les deux cas la courbe reste au-dessus. C'est la définition géométrique de la convexité, celle qui sert à démontrer les inégalités.

Moyen mnémotechnique qui tient : une fonction convexe forme un creux qui retient l'eau, une concave forme une bosse. La lettre est dans le mot, la variation n'y est pour rien.

Le point d'inflexion : un changement de signe, pas une annulation

  • • Un point d'inflexion est un point où la courbe TRAVERSE sa tangente, autrement dit où la courbure change de sens.
  • • Il correspond à un CHANGEMENT DE SIGNE de f′′f'', jamais à sa simple annulation.
  • • f′′(a)=0f''(a)=0 ne suffit donc pas : pour f(x)=x4f(x)=x^{4}, on a f′′(0)=0f''(0)=0 et pourtant la fonction est convexe partout, sans aucun point d'inflexion.
  • • Un point d'inflexion n'a rien à voir avec un extremum : celui-ci vient d'un changement de signe de f′f', pas de f′′f''.

En pratique, on dresse un tableau de signes de f′′f'' exactement comme on dresse celui de f′f' : les colonnes où le signe change donnent les points d'inflexion, les autres ne donnent rien.

Les deux inégalités de référence, et d'où elles viennent

  • • ex≥x+1\mathrm{e}^{x}\ge x+1 pour tout réel xx : c'est la convexité de l'exponentielle, dont la tangente en 00 est la droite y=x+1y=x+1.
  • • ln⁡x≤x−1\ln x\le x-1 pour tout x>0x>0 : c'est la concavité du logarithme, dont la tangente en 11 est la droite y=x−1y=x-1.
  • • Concavité du logarithme, version corde : pour aa et bb strictement positifs, ln⁡a+b2≥ln⁡a+ln⁡b2\ln\frac{a+b}{2}\ge\frac{\ln a+\ln b}{2}.
  • • Toute inégalité du type f(x)≥f(x)\ge droite se démontre de la même façon : on montre que ff est convexe, et que la droite est une tangente.

L'égalité a lieu exactement au point de contact : e0=0+1\mathrm{e}^{0}=0+1 et ln⁡1=1−1\ln 1=1-1. Une inégalité de convexité est donc toujours LARGE, jamais stricte.

Lire la convexité sur un graphique

  • • Sur la courbe de ff : la partie qui creuse vers le haut est convexe, celle qui bombe vers le haut est concave, et le point de bascule est le point d'inflexion.
  • • Sur la courbe de f′f' : ff est convexe là où f′f' est CROISSANTE. On lit donc des variations, pas un signe.
  • • Sur la courbe de f′′f'' : ff est convexe là où f′′f'' est au-dessus de l'axe. On lit un signe, comme d'habitude.
  • • Trois graphiques, trois lectures différentes : l'énoncé précise toujours de quelle courbe il parle, et c'est la première chose à repérer.

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Prendre convexe pour croissant

1 à 2 points, et une conclusion qui peut être franchement fausse

Ce qu'il ne faut pas écrire

« f′′(x)>0f''(x)>0 sur [0 ;3][0\,;3], donc ff est croissante sur cet intervalle. »

Ce qu'il faut écrire

« f′′(x)>0f''(x)>0 sur [0 ;3][0\,;3], donc ff est CONVEXE sur cet intervalle : sa courbe y est au-dessus de ses tangentes. Le sens de variation, lui, dépend du signe de f′f' et reste à étudier. »

Pourquoi : La fonction e−x\mathrm{e}^{-x} est convexe sur R\mathbb{R} et strictement décroissante : les deux notions sont indépendantes. La convexité décrit comment la pente évolue, pas son signe.

2. Déclarer un point d'inflexion dès que la dérivée seconde s'annule

toute la question, environ 2 points

Ce qu'il ne faut pas écrire

« f(x)=x4f(x)=x^{4} donne f′′(x)=12x2f''(x)=12x^{2}, qui s'annule en 00 : la courbe admet donc un point d'inflexion en 00. »

Ce qu'il faut écrire

« f′′(x)=12x2≥0f''(x)=12x^{2}\ge 0 pour tout réel xx, et f′′f'' ne change PAS de signe en 00 : ff est convexe sur R\mathbb{R} et sa courbe n'a aucun point d'inflexion. »

-1.5-1-0.50.511.5-1.5-1-0.50.511.5x^4x^3
Les deux dérivées secondes s'annulent en 00. Celle de x3x^{3} change de signe et la courbe traverse sa tangente; celle de x4x^{4} garde le même signe et la courbe reste au-dessus, sans inflexion.

Pourquoi : L'annulation est nécessaire, jamais suffisante. Le critère est le CHANGEMENT DE SIGNE, exactement comme pour un extremum avec f′f' : la dérivée de x3x^{3} s'annule aussi en 00 sans qu'il y ait d'extremum.

3. Lire la convexité sur le tableau de variations de ff

toute la question de convexité, souvent 2 points

Ce qu'il ne faut pas écrire

« ff est croissante puis décroissante, donc elle est concave puis convexe. »

Ce qu'il faut écrire

« Le tableau de variations de ff ne dit rien de sa convexité. Il faut le tableau de signes de f′′f'', ou le tableau de VARIATIONS de f′f' : ff est convexe là où f′f' croît. »

Pourquoi : Le tableau de variations de ff contient le signe de f′f', une information sur la pente, pas sur son évolution. Il faut descendre d'un cran de plus dans la dérivation.

4. Inverser la position par rapport à la tangente pour une fonction concave

toute la question, et l'inégalité rendue est fausse

Ce qu'il ne faut pas écrire

« ln⁡\ln est concave, donc sa courbe est au-dessus de sa tangente en 11, d'où ln⁡x≥x−1\ln x\ge x-1. »

Ce qu'il faut écrire

« ln⁡\ln est concave, donc sa courbe est EN DESSOUS de sa tangente en 11, d'où ln⁡x≤x−1\ln x\le x-1 pour tout x>0x>0. »

Pourquoi : Convexe et au-dessus vont ensemble, concave et en dessous aussi. Le contrôle en trois secondes : tester avec un nombre. ln⁡2≈0,69\ln 2\approx 0{,}69 et 2−1=12-1=1, donc c'est bien ln⁡\ln qui est en dessous.

5. Dériver deux fois une composée en oubliant le facteur à la seconde dérivation

1 à 2 points, et la convexité annoncée est l'inverse de la vraie

Ce qu'il ne faut pas écrire

« f(x)=e−2xf(x)=\mathrm{e}^{-2x} donc f′(x)=−2e−2xf'(x)=-2\mathrm{e}^{-2x} et f′′(x)=−2e−2xf''(x)=-2\mathrm{e}^{-2x}. »

Ce qu'il faut écrire

« f′(x)=−2e−2xf'(x)=-2\mathrm{e}^{-2x}, puis f′′(x)=(−2)×(−2)e−2x=4e−2xf''(x)=(-2)\times(-2)\mathrm{e}^{-2x}=4\mathrm{e}^{-2x}, qui est strictement positive : ff est convexe sur R\mathbb{R}. »

Pourquoi : Le facteur intérieur ressort à CHAQUE dérivation. Ici il change deux fois le signe, ce qui rend la dérivée seconde positive alors que la première était négative : c'est exactement le cas d'une fonction convexe et décroissante.

6. Confondre point d'inflexion et extremum

1 point, et la réponse porte sur la mauvaise notion

Ce qu'il ne faut pas écrire

« f′′f'' s'annule en changeant de signe en x=1x=1, donc ff admet un extremum en 11. »

Ce qu'il faut écrire

« f′′f'' change de signe en 11, donc la courbe de ff admet un POINT D'INFLEXION d'abscisse 11. Un extremum viendrait d'un changement de signe de f′f', ce qui est une autre question. »

Pourquoi : Les deux notions se lisent au même endroit du raisonnement mais sur des objets différents : f′f' pour les extremums, f′′f'' pour les inflexions. Une courbe peut parfaitement avoir un point d'inflexion en un point où elle est strictement croissante.

7. Affirmer une inégalité de convexité sans dire de quelle tangente elle vient

2 points sur 3 : le résultat est juste, la démonstration est absente

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Par convexité, ex≥x+1\mathrm{e}^{x}\ge x+1. »

Ce qu'il faut écrire

« f(x)=exf(x)=\mathrm{e}^{x} vérifie f′′(x)=ex>0f''(x)=\mathrm{e}^{x}>0, donc ff est convexe sur R\mathbb{R}. Sa tangente en 00 a pour équation y=f′(0)(x−0)+f(0)=x+1y=f'(0)(x-0)+f(0)=x+1. Une courbe convexe étant au-dessus de ses tangentes, ex≥x+1\mathrm{e}^{x}\ge x+1 pour tout réel xx. »

-2-11234-3-2-112345e^x au-dessusln x en dessous
Deux inégalités, une seule idée : l'exponentielle, convexe, reste au-dessus de sa tangente en 00; le logarithme, concave, reste en dessous de sa tangente en 11. Les points marqués sont les cas d'égalité.

Pourquoi : Une inégalité de convexité est une démonstration en trois temps : convexité, équation de la tangente, position. Sauter l'un des trois laisse une affirmation, pas une preuve.

8. Juger la convexité à l'œil sur un graphique, sans repérer la bascule

1 point, et l'intervalle rendu est trop grand

Ce qu'il ne faut pas écrire

« La courbe monte de plus en plus vite, elle est donc convexe partout sur l'écran. »

Ce qu'il faut écrire

« La courbe est convexe tant que sa pente augmente. Ici la pente augmente jusqu'à x=1x=1 puis diminue, donc la courbe est convexe sur ]−∞ ;1]]-\infty\,;1] et concave ensuite : x=1x=1 est l'abscisse du point d'inflexion. »

Pourquoi : Une courbe croissante peut parfaitement passer de convexe à concave sans cesser de monter : c'est le cas de toute courbe en S, comme un modèle logistique. Le repère graphique est la tangente qui bascule d'un côté à l'autre, pas le sens de la montée.

Quelle méthode choisir

Que dériver, et combien de fois, selon la question

Le mot de la question désigne l'objet à étudier. Il n'y a que trois niveaux : ff, f′f' et f′′f''.

  • Si « étudier les variations de ff », « déterminer les extremums » → signe de f′f', dans un tableau de signes

    Exemple : f′(x)=3x(x−2)f'(x)=3x(x-2) s'annule en 00 et 22, avec changement de signe : deux extremums

  • Si « étudier la convexité », « déterminer les intervalles de convexité » → signe de f′′f'', dans un second tableau, indépendant du premier

    Exemple : f′′(x)=6(x−1)f''(x)=6(x-1) est négative avant 11, positive après : concave puis convexe

  • Si « déterminer les points d'inflexion » → annulations de f′′f'' AVEC changement de signe, puis calcul de l'ordonnée f(a)f(a)

    Exemple : f′′f'' change de signe en 11 et f(1)=0f(1)=0 : le point d'inflexion est (1 ;0)(1\,;0)

  • Si « la courbe est-elle au-dessus ou en dessous de sa tangente » → convexité sur l'intervalle, ou signe de la différence f(x)−(f′(a)(x−a)+f(a))f(x)-\bigl(f'(a)(x-a)+f(a)\bigr)

    Exemple : f(x)−(−3x+3)=(x−1)3f(x)-(-3x+3)=(x-1)^{3} change de signe en 11 : la courbe traverse sa tangente

  • Si l'énoncé fournit la courbe de f′f' et demande la convexité de ff → lire les VARIATIONS de la courbe fournie, pas son signe : ff est convexe là où f′f' croît

    C'est la question la plus piégeuse du chapitre, parce que le réflexe est de lire un signe.

  • Si l'énoncé demande de démontrer une inégalité du type f(x)≥ax+bf(x)\ge ax+b → montrer que ff est convexe, puis que la droite est la tangente au point de contact

    Exemple : ex≥x+1\mathrm{e}^{x}\ge x+1 vient de la tangente en 00

Les deux tableaux, celui de f′f' et celui de f′′f'', sont indépendants : leurs zéros n'ont aucune raison de coïncider, et un tableau à quatre lignes qui mélange les deux est presque toujours faux.

Comment démontrer une inégalité par convexité

On regarde ce que l'inégalité compare : une courbe et une droite, ou une courbe et une corde.

  • Si l'inégalité compare f(x)f(x) à une expression AFFINE en xx → c'est une position par rapport à une tangente : trouver le point de contact en cherchant où l'égalité a lieu

    Exemple : ex≥x+1\mathrm{e}^{x}\ge x+1, égalité en x=0x=0, donc tangente en 00

  • Si l'inégalité compare f(a+b2)f\left(\frac{a+b}{2}\right) à f(a)+f(b)2\frac{f(a)+f(b)}{2} → c'est une comparaison courbe et corde : une fonction concave est au-dessus de sa corde, une convexe en dessous

    Exemple : ln⁡a+b2≥ln⁡a+ln⁡b2\ln\frac{a+b}{2}\ge\frac{\ln a+\ln b}{2} par concavité du logarithme

  • Si l'inégalité n'a pas de forme reconnaissable → revenir à l'étude classique : poser g=f−droiteg=f-\text{droite}, étudier g′g' puis le signe de gg

    Cette méthode marche toujours, mais elle est deux fois plus longue : la convexité est un raccourci, pas un passage obligé.

  • Si l'énoncé impose « en utilisant la convexité » → rédiger les trois temps, sans étude de fonction : convexité, équation de la tangente, position

    Exemple : f′′(x)=ex>0f''(x)=\mathrm{e}^{x}>0, tangente y=x+1y=x+1, courbe au-dessus

Le point de contact ne se devine pas : on le trouve en cherchant la valeur pour laquelle l'inégalité devient une ÉGALITÉ. C'est le premier geste de la démonstration, et il est presque toujours 00 ou 11.

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Étudier la convexité et déterminer les points d'inflexion

Quand l'utiliser : La deuxième partie de presque toute étude de fonction au baccalauréat, après le tableau de variations.

  1. 1 Calculer f′f', puis f′′f'' à partir de f′f', en écrivant les deux sur des lignes séparées.
  2. 2 FACTORISER f′′f'', exactement comme on factorise f′f' : un tableau de signes se fait sur un produit, pas sur une somme.
  3. 3 Dresser le tableau de signes de f′′f'', indépendamment de celui de f′f'.
  4. 4 Traduire chaque signe en convexité : « f′′≥0f''\ge 0 sur [1 ;+∞[[1\,;+\infty[ donc ff est convexe sur cet intervalle ».
  5. 5 Repérer les CHANGEMENTS de signe, et pour chacun calculer l'ordonnée f(a)f(a) afin de donner le point complet.
  6. 6 Conclure en nommant les coordonnées du point d'inflexion, pas seulement son abscisse.

Phrase de conclusion

f′′f'' s'annule en changeant de signe en x=1x=1, donc la courbe C\mathcal{C} admet un point d'inflexion de coordonnées (1 ;0)(1\,;0); ff est concave sur ]−∞ ;1]]-\infty\,;1] et convexe sur [1 ;+∞[[1\,;+\infty[.

Le piège : Donner l'abscisse seule. La question demande un POINT, donc deux coordonnées, et l'ordonnée se calcule avec ff et non avec f′′f''.

Barème : 1 point pour f′′f'', 1 point pour le tableau de signes, 1 point pour les intervalles de convexité nommés, 1 point pour les coordonnées du point d'inflexion.

Démontrer une inégalité par la position par rapport à la tangente

Quand l'utiliser : L'énoncé demande de montrer que f(x)≥ax+bf(x)\ge ax+b pour tout xx, en précisant souvent « en utilisant la convexité ».

  1. 1 Calculer f′′f'' et donner son SIGNE sur l'intervalle, avec une justification : « f′′(x)=ex>0f''(x)=\mathrm{e}^{x}>0 car l'exponentielle est strictement positive ».
  2. 2 Conclure sur la convexité : « donc ff est convexe sur R\mathbb{R} ».
  3. 3 Identifier le point de contact en cherchant où l'inégalité devient une égalité, et le vérifier par le calcul.
  4. 4 Écrire l'équation de la tangente en ce point avec la formule complète y=f′(a)(x−a)+f(a)y=f'(a)(x-a)+f(a), puis la développer.
  5. 5 Constater que la droite obtenue est exactement celle de l'énoncé.
  6. 6 Conclure par la propriété : une courbe convexe est au-dessus de toutes ses tangentes.

Phrase de conclusion

ff étant convexe sur R\mathbb{R}, sa courbe est au-dessus de chacune de ses tangentes, en particulier de celle d'équation y=x+1y=x+1 tracée en 00 : ainsi ex≥x+1\mathrm{e}^{x}\ge x+1 pour tout réel xx, avec égalité si et seulement si x=0x=0.

Le piège : Oublier de préciser le cas d'égalité. L'inégalité est LARGE et devient une égalité au point de contact : le signaler vaut souvent le dernier demi-point.

Barème : 1 point pour la convexité justifiée, 1 point pour l'équation de la tangente, 1 point pour la conclusion citant la propriété.

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

L'exercice type décortiqué

Étude complète avec point d'inflexion, comme au baccalauréat

Soit ff la fonction définie sur R\mathbb{R} par f(x)=x3−3x2+2f(x)=x^{3}-3x^{2}+2, de courbe C\mathcal{C}.

1. Étudier les variations de ff. 2. Étudier la convexité de ff et déterminer les coordonnées du point d'inflexion. 3. Donner l'équation de la tangente TT en ce point. 4. Étudier la position de C\mathcal{C} par rapport à TT.

Étape 1

f′(x)=3x2−6x=3x(x−2)f'(x)=3x^{2}-6x=3x(x-2). Ce trinôme s'annule en 00 et en 22, il est positif à l'extérieur des racines et négatif entre elles.

Pourquoi

On factorise avant de signer : un trinôme développé demande un discriminant, le même trinôme factorisé se signe de tête. Le coefficient 33 est positif, donc la parabole est tournée vers le haut.

Étape 2

ff est donc croissante sur ]−∞ ;0]]-\infty\,;0], décroissante sur [0 ;2][0\,;2], croissante sur [2 ;+∞[[2\,;+\infty[, avec un maximum local f(0)=2f(0)=2 et un minimum local f(2)=−2f(2)=-2.

Pourquoi

Le tableau de variations est la question 1 et n'a rien à voir avec la convexité. Le séparer clairement évite le tableau à quatre lignes qui mélange f′f' et f′′f''.

Étape 3

f′′(x)=6x−6=6(x−1)f''(x)=6x-6=6(x-1). Elle est négative sur ]−∞ ;1[]-\infty\,;1[ et positive sur ]1 ;+∞[]1\,;+\infty[.

Pourquoi

La dérivée seconde se calcule à partir de f′f', jamais à partir de ff directement. Elle est ici affine, donc son signe se lit sans tableau : c'est le cas général quand ff est un polynôme de degré 33.

Étape 4

Donc ff est CONCAVE sur ]−∞ ;1]]-\infty\,;1] et CONVEXE sur [1 ;+∞[[1\,;+\infty[. Comme f′′f'' change de signe en 11 et que f(1)=1−3+2=0f(1)=1-3+2=0, la courbe admet un point d'inflexion de coordonnées (1 ;0)(1\,;0).

Pourquoi

Deux gestes en une phrase : le changement de signe justifie l'inflexion, et le calcul de f(1)f(1) donne l'ordonnée. Une réponse qui ne donne que l'abscisse perd la moitié du point.

Étape 5

f′(1)=3−6=−3f'(1)=3-6=-3 et f(1)=0f(1)=0, donc TT a pour équation y=f′(1)(x−1)+f(1)=−3(x−1)y=f'(1)(x-1)+f(1)=-3(x-1), soit y=−3x+3y=-3x+3.

-11234-4-2246tangenteinflexion en 1

Pourquoi

On utilise la formule complète avec le décalage. Le contrôle immédiat : x=1x=1 donne y=0y=0, qui est bien f(1)f(1).

Étape 6

f(x)−(−3x+3)=x3−3x2+2+3x−3=x3−3x2+3x−1=(x−1)3f(x)-(-3x+3)=x^{3}-3x^{2}+2+3x-3=x^{3}-3x^{2}+3x-1=(x-1)^{3}.

Pourquoi

La factorisation en cube n'est pas un hasard : au point d'inflexion, la différence entre la courbe et sa tangente s'annule à l'ordre trois, ce qui est exactement ce qui la fait changer de signe.

Étape 7

(x−1)3(x-1)^{3} est du signe de x−1x-1 : négatif avant 11, positif après. Donc C\mathcal{C} est EN DESSOUS de TT sur ]−∞ ;1[]-\infty\,;1[ et AU-DESSUS sur ]1 ;+∞[]1\,;+\infty[, avec contact en x=1x=1.

Pourquoi

Le résultat confirme la convexité trouvée à la question 2 : en dessous là où ff est concave, au-dessus là où elle est convexe. Les deux questions se contrôlent l'une l'autre.

Étape 8

Vérification numérique : f(0)=2f(0)=2 et T(0)=3T(0)=3, donc la courbe est bien en dessous en 00; f(2)=−2f(2)=-2 et T(2)=−3T(2)=-3, donc elle est bien au-dessus en 22.

Pourquoi

Deux calculs de dix secondes, un de chaque côté du point d'inflexion. Ils attrapent l'erreur classique du signe inversé dans la différence.

Conclusion rédigée

ff est concave sur ]−∞ ;1]]-\infty\,;1] et convexe sur [1 ;+∞[[1\,;+\infty[, sa courbe admet un point d'inflexion en (1 ;0)(1\,;0), et elle traverse en ce point sa tangente d'équation y=−3x+3y=-3x+3, en passant du dessous au dessus.

L'erreur classique sur cet exercice : Répondre que le point d'inflexion est en x=0x=0 ou x=2x=2, parce que ce sont les zéros de f′f'. Ces deux abscisses donnent les extremums; l'inflexion vient de f′′f'', et son abscisse tombe justement entre les deux.

À savoir par cœur

  • • ff convexe   ⟺  f′′≥0  ⟺  f′\iff f''\ge 0 \iff f' croissante   ⟺  \iff courbe AU-DESSUS de ses tangentes.
  • • ff concave   ⟺  f′′≤0  ⟺  f′\iff f''\le 0 \iff f' décroissante   ⟺  \iff courbe EN DESSOUS de ses tangentes.
  • • Convexité et croissance sont indépendantes : e−x\mathrm{e}^{-x} est convexe et décroissante.
  • • Point d'inflexion : f′′f'' CHANGE DE SIGNE. L'annulation seule ne suffit pas, le contre-exemple est x4x^{4} en 00.
  • • Un point d'inflexion se donne avec ses DEUX coordonnées, l'ordonnée venant de ff.
  • • ex≥x+1\mathrm{e}^{x}\ge x+1 pour tout réel xx, et ln⁡x≤x−1\ln x\le x-1 pour tout x>0x>0 : ce sont deux positions par rapport à une tangente.
  • • Sur la courbe de f′f', on lit la convexité de ff dans les VARIATIONS, pas dans le signe.
  • • Le facteur intérieur ressort à chaque dérivation : deux fois pour f′′f''.

Questions fréquentes

Quelle différence entre une fonction convexe et une fonction croissante ?

Aucun lien. Croissante décrit le signe de la pente, convexe décrit son évolution. Une fonction convexe a une pente qui augmente, qu'elle soit positive ou négative. L'exponentielle de moins x est convexe et pourtant strictement décroissante, et la racine carrée est croissante mais concave. Les deux propriétés s'étudient séparément.

Comment trouver un point d'inflexion ?

On calcule la dérivée seconde, on cherche où elle s'annule, puis on vérifie qu'elle change de signe en ce point. L'annulation seule ne suffit pas. Une fois l'abscisse trouvée, on calcule son image par la fonction pour donner les deux coordonnées du point, car la question demande un point et non une abscisse.

Pourquoi la dérivée seconde nulle ne suffit-elle pas pour un point d'inflexion ?

Parce que la courbure peut s'annuler un instant sans changer de sens. La fonction x puissance quatre a une dérivée seconde nulle en zéro et reste convexe de part et d'autre : sa courbe ne traverse jamais sa tangente. Le critère est donc le changement de signe, exactement comme pour un extremum avec la dérivée première.

Comment démontrer que l'exponentielle est supérieure à x plus un ?

En trois temps. On montre d'abord que la dérivée seconde de l'exponentielle est strictement positive, donc que la fonction est convexe. On écrit ensuite l'équation de sa tangente au point d'abscisse zéro, qui est la droite d'équation y égale x plus un. On conclut enfin qu'une courbe convexe reste au-dessus de toutes ses tangentes.

Comment lire la convexité sur la courbe de la dérivée ?

On regarde les variations de cette courbe, pas son signe. La fonction est convexe là où sa dérivée est croissante, et concave là où elle est décroissante. Les extremums de la courbe de la dérivée correspondent donc aux points d'inflexion de la fonction de départ, ce qui est exactement l'inverse du réflexe habituel.

Une courbe convexe est-elle au-dessus ou en dessous de ses tangentes ?

Au-dessus, toujours, et le contact a lieu au point de tangence. Une courbe concave est au contraire en dessous de ses tangentes. Le moyen de contrôle le plus rapide est de tester avec un nombre : pour le logarithme, qui est concave, la valeur en deux vaut environ zéro virgule sept alors que sa tangente y vaut un.

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Exercices corrigés : La convexité

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

  • 15 exercices corrigés
  • 150 points
  • 225 minutes
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